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The commands

find . -type f -name '*.md' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+

and

find . -type f -name '*.tex' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+

were used to do so.

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe1.tex

@@ -2,7 +2,7 @@
 \subsection*{Teilaufgabe a}
 \textbf{Gegeben:}
 
-\[A = 
+\[A =
 \begin{pmatrix}
     3 & 15 & 13 \\
     6 & 6  & 6  \\
@@ -11,7 +11,7 @@
 
 \textbf{Aufgabe:} LR-Zerlegung von $A$ mit Spaltenpivotwahl
 
-\textbf{Lösung:} 
+\textbf{Lösung:}
 
 \begin{align*}
 	&
@@ -85,7 +85,7 @@ Nun gilt: $P A = L R = A^{(1)}$ (Kontrolle mit \href{http://www.wolframalpha.com
 
 \textbf{Gegeben:}
 
-\[A = 
+\[A =
 \begin{pmatrix}
     9 & 4 & 12 \\
     4 & 1  & 4 \\
@@ -111,7 +111,7 @@ Falls $A$ symmetrisch ist, gilt:
 
 \begin{align}
 	\det(A_1) &= 9 > 0\\
-	\det(A_2) &= 
+	\det(A_2) &=
 		\begin{vmatrix}
 			9 & 4 \\
 			4 & 1 \\

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe2.tex

@@ -7,7 +7,7 @@ wobei $L$ eine invertierbare, untere Dreiecksmatrix ist.
 
 Geben Sie die Formel zur Berechnung von $y_i$ an.
 
-\textbf{Lösung:} 
+\textbf{Lösung:}
 \[y_i = \frac{b_i - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik} \cdot y_k}{l_{ii}}\]
 
 \begin{algorithm}[H]

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex

@@ -33,7 +33,7 @@ mit Hilfe der LR Zerlegung nach $\Delta x$ auf.
 	\overbrace{\begin{pmatrix}
 		1      & 0\\
 		\frac{1}{9} & 1
-	\end{pmatrix}}^{=: L} \cdot 
+	\end{pmatrix}}^{=: L} \cdot
 	\overbrace{\begin{pmatrix}
 		3 & 1\\
 		0      & \frac{8}{9}
@@ -81,7 +81,7 @@ Anschließend berechnen wir
 	\begin{pmatrix}
 		x_1\\
 		y_1
-	\end{pmatrix} &= 
+	\end{pmatrix} &=
 	\begin{pmatrix}
 		x_0\\
 		y_0
@@ -89,7 +89,7 @@ Anschließend berechnen wir
 	\Leftrightarrow\begin{pmatrix}
 		x_1\\
 		y_1
-	\end{pmatrix} &= 
+	\end{pmatrix} &=
 	\begin{pmatrix}
 		-\frac{1}{3}\\
 		0
@@ -102,7 +102,7 @@ Anschließend berechnen wir
 	\Leftrightarrow\begin{pmatrix}
 		x_1\\
 		y_1
-	\end{pmatrix} &= 
+	\end{pmatrix} &=
 	\begin{pmatrix}
 		-\nicefrac{13}{18}\\
 		-\nicefrac{15}{18}
@@ -124,7 +124,7 @@ also ausführlich:
 	\overbrace{\begin{pmatrix}
 		1      & 0\\
 		l_{12} & 1
-	\end{pmatrix}}^L \cdot 
+	\end{pmatrix}}^L \cdot
 	\overbrace{\begin{pmatrix}
 		r_{11} & r_{12}\\
 		0      & r_{22}
@@ -139,7 +139,7 @@ also ausführlich:
 	\begin{pmatrix}
 		1      & 0\\
 		l_{12} & 1
-	\end{pmatrix} \cdot 
+	\end{pmatrix} \cdot
 	\begin{pmatrix}
 		3 & \cos y\\
 		0 & r_{22}
@@ -156,7 +156,7 @@ also ausführlich:
 	\begin{pmatrix}
 		1   & 0\\
 		x^2 & 1
-	\end{pmatrix} \cdot 
+	\end{pmatrix} \cdot
 	\begin{pmatrix}
 		3 & \cos y\\
 		0 & -x^2 \cdot \cos y + e^y

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe4.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 \section*{Aufgabe 4}
-\textbf{Aufgabe}: 
+\textbf{Aufgabe}:
 
 \[I(f) = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \]
 

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe5.tex

@@ -15,7 +15,7 @@ maximaler Ordnung zu erhalten. Wie hoch ist die Ordnung?
 
 \paragraph{Lösung}
 
-Nach VL kann bei Vorgabe von $s$ Knoten auch die Ordnung $s$ durch 
+Nach VL kann bei Vorgabe von $s$ Knoten auch die Ordnung $s$ durch
 geschickte Wahl der Gewichte erreicht werden. Nach Satz 27 ist diese
 Wahl eindeutig.
 Also berechnen wir die Gewichte, um die Ordnung $p=2$ zu sichern.
@@ -56,7 +56,7 @@ LGS lösen können:
 \begin{align}
     \begin{pmatrix}
         c_1^0 & c_2^0\\
-        c_1^1 & c_2^1 
+        c_1^1 & c_2^1
     \end{pmatrix}
     \cdot x
     =

documents/Numerik/Klausur1/Klausur1.tex

@@ -26,10 +26,10 @@
 \title{Numerik Klausur 1 - Musterlösung}
 \makeatletter
 \AtBeginDocument{
-	\hypersetup{ 
+	\hypersetup{
 	  pdfauthor   = {Martin Thoma, Peter, Felix},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
-	  pdftitle    = {\@title} 
+	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
+	  pdftitle    = {\@title}
   	}
 	\pagestyle{fancy}
 	\lhead{\@title}

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe1.tex

@@ -83,5 +83,5 @@ Das Verfahren ist also:
 
 Alternativ kann man auch in einer angepassten LR-Zerlegung direkt die
 Anzahl an Zeilenvertauschungen zählen. Dann benötigt man $P$ nicht mehr.
-Ist die Anzahl der Zeilenvertauschungen ungerade, muss das Produkt 
+Ist die Anzahl der Zeilenvertauschungen ungerade, muss das Produkt
 der $r_ii$ negiert werden.

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe2.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \section*{Aufgabe 2}
 
-\paragraph{Voraussetzung:} 
+\paragraph{Voraussetzung:}
 Gegeben sei eine Funktion $F$:
 \begin{align*}
     F: \mathbb{R} &\rightarrow [-1, 1]\\
@@ -32,23 +32,23 @@ Sei $0 \leq x < y \leq 1$. Dann folgt:\marginnote{Teil 2: $F$ ist auf $[0,1]$ ei
 \end{align}
 
 Da $F|_{[0,1]}$ eine Selbstabbildung und eine Kontraktion ist und
-offensichtlich $[0,1]$ abgeschlossen ist, greift der 
+offensichtlich $[0,1]$ abgeschlossen ist, greift der
 Banachsche Fixpunktsatz. Es folgt direkt, dass auch für alle $x \in [0,1]$
 die Folge $(x)_k$ gegen den einzigen Fixpunkt $x^*$ konvergiert.
 \end{proof}
 
 \subsection*{Anmerkung}
-Um zu zeigen, dass es genau einen Fixpunkt $x^*$ in $(0,1)$ gibt, 
-braucht man den Banachschen Fixpunktsatz nicht. Nur um zu zeigen, 
+Um zu zeigen, dass es genau einen Fixpunkt $x^*$ in $(0,1)$ gibt,
+braucht man den Banachschen Fixpunktsatz nicht. Nur um zu zeigen,
 dass die Fixpunktiteration auf für jedes $x \in \mathbb{R}$ gegen
 diesen Fixpunkt $x^*$ konvergiert, braucht man ihn.
 
 So kann man die existenz eines Fixpunktes zeigen:
 
-Offensichtlich ist $F(0) \neq 0$ und $F(1) \neq 1$, also ist der 
+Offensichtlich ist $F(0) \neq 0$ und $F(1) \neq 1$, also ist der
 Fixpunkt - falls vorhanden - in $(0,1)$. $F$ ist in $(0,1)$ stetig
 und streng monoton fallend. Da auch $-x$ in $(0,1)$ streng monoton
-fallend ist, folgt, dass $\cos(x) - x$ in $(0,1)$ streng monoton 
+fallend ist, folgt, dass $\cos(x) - x$ in $(0,1)$ streng monoton
 fallend ist.
 
 $x=0 \Rightarrow \cos(x) - x = \cos(0) - 0 = 1$

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe4.tex

@@ -36,11 +36,11 @@ ist. Wenn diese nun auf $N$ Intervalle aufgepflittet wird gilt folgendes:
 \end{align}
 
 $\sum_{i=1}^{N-1} f(a + i \cdot h)$ steht für die Grenzknoten
- (deshalb werden sie doppelt gezählt). Von den Grenzknoten gibt es 
-insgesamt $N-2$ Stück, da die tatsächlichen Integralgrenzen $a$ und $b$ 
+ (deshalb werden sie doppelt gezählt). Von den Grenzknoten gibt es
+insgesamt $N-2$ Stück, da die tatsächlichen Integralgrenzen $a$ und $b$
 nur einmal in die Berechnung mit einfließen.
 
-$\sum_{l=0}^{N-1} f(a + \frac{1}{2} \cdot h + l \cdot h)$ sind die jeweiligen 
+$\sum_{l=0}^{N-1} f(a + \frac{1}{2} \cdot h + l \cdot h)$ sind die jeweiligen
 mittleren Knoten der Intervalle. Davon gibt es $N$ Stück.
 
 \subsection*{Teilaufgabe c)}

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe5.tex

@@ -18,12 +18,12 @@ $c_1 = 0$ nicht die Gauss-Quadratur sein kann (Satz 31), kommt nur Ordnung $p=4$
 und $p=5$ in Frage.
 
 In dieser Aufgabe sind nur die symmetrischen QF, also die von Ordnung
-$p=4$ explizit anzugeben. Für die QF von Ordnung $p=5$ hätte man nur 
+$p=4$ explizit anzugeben. Für die QF von Ordnung $p=5$ hätte man nur
 die Gewichte in Abhängigkeit der Knoten darstellen müssen und
 eine Bedinung nur an die Knoten herleiten müssen.
 
 \subsection*{Ordnung 4}
-Es gilt $g(x) = c$ für eine Konstante $c$, da $\text{Grad}(g(x))=0$ ist. 
+Es gilt $g(x) = c$ für eine Konstante $c$, da $\text{Grad}(g(x))=0$ ist.
 Also ist \ref{a3} gleichbedeutend mit:
 \begin{align}
 	 \int_0^1 M(x) \cdot c \mathrm{d}x &= 0 \\
@@ -56,7 +56,7 @@ Aus $c_1 = 0 $ folgt, dass $c_3 = 1$ ist. Außerdem muss $c_2 = \frac{1}{2} $ se
 Es handelt sich um die aus der Vorlesung bekannte Simpsonregel.
 
 \subsection*{Ordnung 5}
-Es gilt $g(x) = ax+c$ für Konstanten $a \neq 0, c$, da $\text{Grad}(g(x))=1$ ist. 
+Es gilt $g(x) = ax+c$ für Konstanten $a \neq 0, c$, da $\text{Grad}(g(x))=1$ ist.
 Also ist \ref{a3} gleichbedeutend mit:
 \begin{align}
 	 \int_0^1 M(x) \cdot (ax+c) \mathrm{d}x &= 0 \\

documents/Numerik/Klausur2/Klausur2.tex

@@ -28,10 +28,10 @@
 \title{Numerik Klausur 2{} - Musterlösung}
 \makeatletter
 \AtBeginDocument{
-	\hypersetup{ 
+	\hypersetup{
 	  pdfauthor   = {Felix Benz-Baldas, Martin Thoma, Peter Merkert},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
-	  pdftitle    = {\@title} 
+	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
+	  pdftitle    = {\@title}
   	}
 	\pagestyle{fancy}
 	\lhead{\@title}

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe3.tex

@@ -15,7 +15,7 @@
 	\end{align}
 
 \item Abgeschlossenheit: $D$ ist offentsichtlich abgeschlossen.
-\item Kontraktion: \\ %TODO: 
+\item Kontraktion: \\ %TODO:
     %\textbf{Behauptung:} $F(x)$ ist auf $A$ eine Kontraktion.
     %\textbf{Beweis:}
     %z.Z.: $\exists L \in [0, 1): \forall x,y \in A: || F(x) - F(y) || \leq L \cdot || x - y||$

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe5.tex

@@ -14,7 +14,7 @@ Für die ersten 3. Ordnungsbedingungen gilt:
 \end{align*}
 
 \subsection*{Teilaufgabe c}
-Wähle die Simpson-Regel, also $c_1=0, c_2 = \frac{1}{2}, c_3 = 1$ und 
+Wähle die Simpson-Regel, also $c_1=0, c_2 = \frac{1}{2}, c_3 = 1$ und
 $b_1 = b_3 = \frac{1}{6}$ und $b_2 = \frac{4}{6}$.
 
 Überprüfe nun Ordnungsbedingungen 1-4 $\Rightarrow$ Simpson-Regel hat Ordnung 4

documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.tex

@@ -25,10 +25,10 @@
 \title{Numerik Klausur 3 - Musterlösung}
 \makeatletter
 \AtBeginDocument{
-	\hypersetup{ 
+	\hypersetup{
 	  pdfauthor   = {Felix Benz-Baldas, Martin Thoma, Peter Merkert},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
-	  pdftitle    = {\@title} 
+	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
+	  pdftitle    = {\@title}
   	}
 	\pagestyle{fancy}
 	\lhead{\@title}

documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe1.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \section*{Aufgabe 1}
 \textbf{Gegeben:}
 
-\[A = 
+\[A =
 \begin{pmatrix}
     6 & -6 & 0 \\
    -3 & 7  & 2  \\
@@ -15,7 +15,7 @@ b =\begin{pmatrix}
 
 \textbf{Aufgabe:} $Ax = b$ mit Gaußelimination und Spaltenpivotwahl lösen
 
-\textbf{Lösung:} 
+\textbf{Lösung:}
 
 \begin{align}
 	\begin{gmatrix}[p]

documents/Numerik/Klausur4/Klausur4.tex

@@ -25,10 +25,10 @@
 \title{Numerik Klausur 4 - Musterlösung}
 \makeatletter
 \AtBeginDocument{
-	\hypersetup{ 
+	\hypersetup{
 	  pdfauthor   = {Martin Thoma, Peter, Felix},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
-	  pdftitle    = {\@title} 
+	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
+	  pdftitle    = {\@title}
   	}
 	\pagestyle{fancy}
 	\lhead{\@title}

documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe2.tex

@@ -25,7 +25,7 @@ Für alle tridiagonalen Matrizen gilt:
 
 Offensichtlich ändert diese Operation nur Zeile 2. $a_{21}$ wird zu 0,
 $a_{22}$ ändert sich irgendwie, alles andere bleibt unverändert.
-Die gesammte Matrix ist keine tridiagonale Matrix mehr, aber die 
+Die gesammte Matrix ist keine tridiagonale Matrix mehr, aber die
 um Submatrix  in $R^{(n-1) \times (n-1)}$ ist noch eine.
 
 Muss man zuvor Zeile 1 und 2 tauschen (andere Zeilen kommen nicht in
@@ -35,7 +35,7 @@ an der tridiagonalen Struktur der Submatrix.
 
 \paragraph{Teil 2: (ii) für $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$}
 Sei $\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$
-beliebig. 
+beliebig.
 
 O.B.d.A sei die Spaltenpivotwahl bereits durchgeführt, also $|a_{11}| \geq |a_{21}|$.
 
@@ -55,7 +55,7 @@ Nun folgt:
     \end{gmatrix}
 \end{align}
 
-Wegen $|a_{11}| \geq |a_{21}|$ gilt: 
+Wegen $|a_{11}| \geq |a_{21}|$ gilt:
 \begin{align}
     \|\frac{a_{21}}{a_{11}}\| \leq 1
 \end{align}
@@ -71,7 +71,7 @@ Damit ist Aussage (ii) für $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ gezeigt.
 \paragraph{Teil 3: (ii) für allgemeinen Fall}
 
 Aus Teil 2 folgt die Aussage auch direkt für größere Matrizen.
-Der worst case ist, wenn man beim Addieren einer Zeile auf eine 
+Der worst case ist, wenn man beim Addieren einer Zeile auf eine
 andere mit $\max_{i,j}|a_{ij}|$ multiplizieren muss um das erste nicht-0-Element
 der Zeile zu entfernen und das zweite auch $\max_{i,j}|a_{ij}|$ ist.
 Dann muss man aber im nächsten schritt mit einem Faktor $\leq \frac{1}{2}$

documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe5.tex

@@ -4,14 +4,14 @@ Bestimme alle Quadraturformeln mit $s=3$ und Knoten
 $0 = c_1 < c_2, c_3$ und Ordnung $p \geq 4$.
 
 Schreiben Sie ein Programm in Pseudocode, welches zu vorgegebenem
-$c_2$ den Knoten $c_3$ und die Gewichte $b_i$ möglichst effizient 
+$c_2$ den Knoten $c_3$ und die Gewichte $b_i$ möglichst effizient
 berechnet.
 
 Wie viele symmetrische Quadraturformeln gibt es mit diesen Eigneschaften?
 
 \subsection*{Lösung}
-Da $c_1 = 0$ kann es keine Gauß-Quadraturformel sein. Daher kann 
-die Ordnung nicht $2 \cdot s = 6$ sein. Interessant sind also 
+Da $c_1 = 0$ kann es keine Gauß-Quadraturformel sein. Daher kann
+die Ordnung nicht $2 \cdot s = 6$ sein. Interessant sind also
 \begin{itemize}
     \item[(A)] Symmetrische Quadraturformeln der Ordnung 4
     \item[(B)] Unsymmetrische Quadraturformeln der Ordnung 4

documents/Numerik/Klausur5/Klausur5.tex

@@ -26,10 +26,10 @@
 \title{Numerik Klausur 5 - Musterlösung}
 \makeatletter
 \AtBeginDocument{
-	\hypersetup{ 
+	\hypersetup{
 	  pdfauthor   = {Martin Thoma, Peter, Felix},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
-	  pdftitle    = {\@title} 
+	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
+	  pdftitle    = {\@title}
   	}
 	\pagestyle{fancy}
 	\lhead{\@title}

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe2.tex

@@ -34,10 +34,10 @@ und diese liegt in $[0,1]$.
     \Leftrightarrow x &= - \ln(2x) = F_2(x)\label{a2iif2}
     \end{align}
 
-Gleichung \ref{a2iif1} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der 
+Gleichung \ref{a2iif1} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der
 Nullstelle von $f$ übereinstimmt.
 
-Gleichung \ref{a2iif2} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der 
+Gleichung \ref{a2iif2} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der
 Nullstelle von $f$ übereinstimmt. Da es nur in $[0,1]$ eine Nullstelle
 gibt (vgl. Teilaufgabe i), ist die Einschränkung von $x$ auf $\mathbb{R}^+$
 irrelevant.
@@ -49,7 +49,7 @@ Rechenungenauigkeit)
 
 $F_1$ ist auf $[0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta = \frac{1}{2}$:
 
-Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ex. ein $\xi \in (a,b)$ mit $ 0 \leq a < b \leq 1$, sodass 
+Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ex. ein $\xi \in (a,b)$ mit $ 0 \leq a < b \leq 1$, sodass
 gilt:
 
 

documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.tex

@@ -28,10 +28,10 @@
 \title{Numerik Klausur 6 - Musterlösung}
 \makeatletter
 \AtBeginDocument{
-	\hypersetup{ 
+	\hypersetup{
 	  pdfauthor   = {Martin Thoma, Peter, Felix},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
-	  pdftitle    = {\@title} 
+	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
+	  pdftitle    = {\@title}
   	}
 	\pagestyle{fancy}
 	\lhead{\@title}

documents/Numerik/README.md

@@ -1,7 +1,7 @@
 Diese Lösungen sind noch im Aufbau.
 
 Wenn du einen Fehler findest (auch Textsetzungs- und Rechtschreibfehler
-oder missverständliche Stellen) 
+oder missverständliche Stellen)
 oder selbst eine Lösung geschrieben hast, kannst du mir eine Email
 schreiben (info@martin-thoma.de). Oder du machst direkt einen Pull-Request.
 

documents/Numerik/UB11/Aufgabe31.tex

@@ -53,7 +53,7 @@ sie auf jeden Fall für $a=1, b=0$ sowie für $a=1, b=1$ gelten. Aber:
     \frac{2\cdot1+5\cdot0}{5\cdot1+10\cdot0} = \frac{3}{5} &\neq \frac{8}{15} = \frac{3\cdot1+5\cdot1}{5\cdot1+10\cdot1}
 \end{align}
 
-Offensichtlich gibt also es kein $c_2$, dass diese Bedingung für jedes $a,b \in \mathbb{R}$ 
+Offensichtlich gibt also es kein $c_2$, dass diese Bedingung für jedes $a,b \in \mathbb{R}$
 erfüllt. Daher kann es keine Quadraturformel der Ordnung $5$ mit den Knoten
 $0$ und $1$ geben.
 
@@ -83,7 +83,7 @@ Und damit:
 \end{align}
 
 Nun könnte man das ganze in die 4. Ordnungsbedinung einsetzen \dots aber ich
-glaube nicht, dass das schön wird. Mache das, wer will. 
+glaube nicht, dass das schön wird. Mache das, wer will.
 
 \subsubsection*{Ordnung 4}
 Die Simpson-Regel erfüllt offensichtlich alle Bedinungen und hat
@@ -97,4 +97,4 @@ Ordnung 4:
 \end{align}
 
 Dass die Simpson-Regel Ordnung 4 hat, lässt sich schnell über
-die Ordnungsbedingungen zeigen. 
+die Ordnungsbedingungen zeigen.

documents/Numerik/UB11/UB11.tex

@@ -28,10 +28,10 @@
 \title{Numerik Übungsblatt 11 - Musterlösung}
 \makeatletter
 \AtBeginDocument{
-	\hypersetup{ 
+	\hypersetup{
 	  pdfauthor   = {Martin Thoma, Peter, Felix},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Übungsblatt}, 
-	  pdftitle    = {\@title} 
+	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Übungsblatt},
+	  pdftitle    = {\@title}
   	}
 	\pagestyle{fancy}
 	\lhead{\@title}