mirror of
https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples.git
synced 2025-04-18 19:18:21 +02:00
7740f0147f
The commands
find . -type f -name '*.md' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
and
find . -type f -name '*.tex' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
were used to do so.
67 lines
2.6 KiB
TeX
67 lines
2.6 KiB
TeX
\section*{Aufgabe 5}
|
|
\subsection*{Teilaufgabe a}
|
|
Eine Quadraturformel $(b_i, c_i)_{i=1, \dots, s}$ hat die Ordnung
|
|
$p$, falls sie exakte Lösungen für alle Polynome vom Grad $\leq p -1$
|
|
liefert.
|
|
|
|
\subsection*{Teilaufgabe b}
|
|
Die Ordnungsbedingungen, mit denen man zeigen kann, dass eine Quadraturformel
|
|
mindestens Ordnung $p$ hat, lautet:
|
|
\[\forall p \in \Set{1, \dots, p}: \sum_{i=1}^s b_i c_i^{q-1} = \frac{1}{q}\]
|
|
|
|
\subsection*{Teilaufgabe c}
|
|
\paragraph{Aufgabe} Bestimmen Sie zu den Knoten $c_1 = 0$ und $c_2 = \frac{2}{3}$ Gewichte, um eine Quadraturformel
|
|
maximaler Ordnung zu erhalten. Wie hoch ist die Ordnung?
|
|
|
|
\paragraph{Lösung}
|
|
|
|
Nach VL kann bei Vorgabe von $s$ Knoten auch die Ordnung $s$ durch
|
|
geschickte Wahl der Gewichte erreicht werden. Nach Satz 27 ist diese
|
|
Wahl eindeutig.
|
|
Also berechnen wir die Gewichte, um die Ordnung $p=2$ zu sichern.
|
|
|
|
Dazu stellen wir zuerst die Lagrange-Polynome auf:
|
|
|
|
\begin{align}
|
|
L_1(x) &= \frac{x-x_2}{x_1 - x_2} = \frac{x-c_2}{c_1-c_2} = \frac{x-\nicefrac{2}{3}}{-\nicefrac{2}{3}} = -\frac{3}{2} x + 1\\
|
|
L_2(x) &= \frac{x-x_1}{x_2 - x_1} = \frac{x-c_1}{c_2-c_1} = \frac{x}{\nicefrac{2}{3}} = \frac{3}{2} x
|
|
\end{align}
|
|
|
|
Nun gilt für die Gewichte:
|
|
\begin{align}
|
|
b_i &= \int_0^1 L_i(x) \mathrm{d}x\\
|
|
b_1 &= \int_0^1 -\frac{3}{2} x + 1 \mathrm{d}x = \left [ -\frac{3}{4}x^2 + x \right ]_0^1 = \frac{1}{4}\\
|
|
b_2 &= \frac{3}{4}
|
|
\end{align}
|
|
|
|
Nun sind die Ordnungsbedingungen zu überprüfen:
|
|
\begin{align}
|
|
\nicefrac{1}{1} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^0 + b_2 c_2^0 = \nicefrac{1}{4} + \nicefrac{3}{4} \text{\;\;\cmark}\\
|
|
\nicefrac{1}{2} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^1 + b_2 c_2^1 = \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \text{\;\;\cmark}\\
|
|
\nicefrac{1}{3} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^2 + b_2 c_2^2 = \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9} \text{\;\;\cmark}\\
|
|
\nicefrac{1}{4} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^3 + b_2 c_2^3 = \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{27} \text{\;\;\xmark}\\
|
|
\end{align}
|
|
|
|
Die Quadraturformel mit den Knoten $c_1 = 0$, $c_2 = \nicefrac{2}{3}$ sowie
|
|
den Gewichten $b_1 = \nicefrac{1}{4}$, $b_2 = \nicefrac{3}{4}$ erfüllt
|
|
also die 1., 2. und 3. Ordnungsbedingung, nicht jedoch die 4.
|
|
Ordnungsbedingung. Ihre maximale Ordnung ist also $p=3$.
|
|
|
|
\textbf{Anmerkungen:} Da $c_1 = 0$ kann es sich nicht um die Gauß-QF handeln.
|
|
Somit können wir nicht Ordnung $p=4$ erreichen.
|
|
|
|
Bei der Suche nach den Gewichten hätte man alternativ auch das folgende
|
|
LGS lösen können:
|
|
|
|
\begin{align}
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
c_1^0 & c_2^0\\
|
|
c_1^1 & c_2^1
|
|
\end{pmatrix}
|
|
\cdot x
|
|
=
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
1\\
|
|
\nicefrac{1}{2}
|
|
\end{pmatrix}
|
|
\end{align}
|