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find . -type f -name '*.md' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
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find . -type f -name '*.tex' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
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130 lines
3.1 KiB
TeX
130 lines
3.1 KiB
TeX
\section*{Aufgabe 1}
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\subsection*{Teilaufgabe a}
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\textbf{Gegeben:}
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\[A =
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\begin{pmatrix}
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3 & 15 & 13 \\
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6 & 6 & 6 \\
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2 & 8 & 19
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\end{pmatrix}\]
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\textbf{Aufgabe:} LR-Zerlegung von $A$ mit Spaltenpivotwahl
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\textbf{Lösung:}
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\begin{align*}
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&
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&
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A^{(0)} &= \begin{gmatrix}[p]
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3 & 15 & 13 \\
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|
6 & 6 & 6 \\
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2 & 8 & 19
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\rowops
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\swap{0}{1}
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\end{gmatrix}
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&\\
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P^{(1)} &= \begin{pmatrix}
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0 & 1 & 0\\
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1 & 0 & 0\\
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|
0 & 0 & 1
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|
\end{pmatrix},
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|
&
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|
A^{(1)} &= \begin{gmatrix}[p]
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|
6 & 6 & 6 \\
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|
3 & 15 & 13 \\
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|
2 & 8 & 19
|
|
\rowops
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|
\add[\cdot (-\frac{1}{2})]{0}{1}
|
|
\add[\cdot (-\frac{1}{3})]{0}{2}
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|
\end{gmatrix}
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&\\
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|
L^{(1)} &= \begin{pmatrix}
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|
1 & 0 & 0\\
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-\frac{1}{2} & 1 & 0\\
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|
-\frac{1}{3} & 0 & 1
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|
\end{pmatrix},
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|
&
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|
A^{(2)} &= \begin{gmatrix}[p]
|
|
6 & 6 & 6 \\
|
|
0 & 12 & 10 \\
|
|
0 & 6 & 17
|
|
\rowops
|
|
\add[\cdot (-\frac{1}{2})]{1}{2}
|
|
\end{gmatrix}
|
|
&\\
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|
L^{(2)} &= \begin{pmatrix}
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|
1 & 0 & 0\\
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|
0 & 1 & 0\\
|
|
0 & -\frac{1}{2} & 1
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|
\end{pmatrix},
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|
&
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A^{(3)} &= \begin{gmatrix}[p]
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|
6 & 6 & 6 \\
|
|
0 & 12 & 10 \\
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|
0 & 0 & 12
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|
\end{gmatrix}
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|
\end{align*}
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Es gilt:
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\begin{align}
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L^{(2)} \cdot L^{(1)} \cdot \underbrace{P^{(1)}}_{=: P} \cdot A^{0} &= \underbrace{A^{(3)}}_{=: R}\\
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\Leftrightarrow P A &= (L^{(2)} \cdot L^{(1)})^{-1} \cdot R \\
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|
\Rightarrow L &= (L^{(2)} \cdot L^{(1)})^{-1}\\
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&= \begin{pmatrix}
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1 & 0 & 0\\
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\frac{1}{2} & 1 & 0\\
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|
\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1
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|
\end{pmatrix}
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|
\end{align}
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Nun gilt: $P A = L R = A^{(1)}$ (Kontrolle mit \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C0%2C0%7D%2C%7B0.5%2C1%2C0%7D%2C%7B1%2F3%2C0.5%2C1%7D%7D*%7B%7B6%2C6%2C6%7D%2C%7B0%2C12%2C10%7D%2C%7B0%2C0%2C12%7D%7D}{Wolfram|Alpha})
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\subsection*{Teilaufgabe b}
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\textbf{Gegeben:}
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\[A =
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\begin{pmatrix}
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9 & 4 & 12 \\
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4 & 1 & 4 \\
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12 & 4 & 17
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\end{pmatrix}\]
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\textbf{Aufgabe:} $A$ auf positive Definitheit untersuchen, ohne Eigenwerte zu berechnen.
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\textbf{Vorüberlegung:}
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Eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißt positiv definit $\dots$
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\begin{align*}
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\dots & \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}^n \setminus \Set{0}: x^T A x > 0\\
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& \Leftrightarrow \text{Alle Eigenwerte sind größer als 0}
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\end{align*}
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Falls $A$ symmetrisch ist, gilt:
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\begin{align*}
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\text{$A$ ist positiv definit} & \Leftrightarrow \text{alle führenden Hauptminore von $A$ sind positiv}\\
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& \Leftrightarrow \text{es gibt eine Cholesky-Zerlegung $A=GG^T$}\\
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\end{align*}
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\subsubsection*{Lösung 1: Hauptminor-Kriterium}
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\begin{align}
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\det(A_1) &= 9 > 0\\
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\det(A_2) &=
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\begin{vmatrix}
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9 & 4 \\
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4 & 1 \\
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\end{vmatrix} = 9 - 16 < 0\\
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|
&\Rightarrow \text{$A$ ist nicht positiv definit}
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\end{align}
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\subsubsection*{Lösung 2: Cholesky-Zerlegung}
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\begin{align}
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l_{11} &= \sqrt{a_{11}} = 3\\
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l_{21} &= \frac{a_{21}}{l_{11}} = \frac{4}{3}\\
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l_{31} &= \frac{a_{31}}{l_{11}} = \frac{12}{3} = 4\\
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l_{22} &= \sqrt{a_{22} - {l_{21}}^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{9}}= \sqrt{-\frac{7}{9}} \notin \mathbb{R}\\
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|
& \Rightarrow \text{Es ex. keine Cholesky-Zerlegung, aber $A$ ist symmetrisch}\\
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|
& \Rightarrow \text{$A$ ist nicht positiv definit}
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|
\end{align}
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