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find . -type f -name '*.md' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
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find . -type f -name '*.tex' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
were used to do so.
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3 KiB
TeX
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TeX
\section*{Aufgabe 4}
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\textbf{Aufgabe}:
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\[I(f) = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \]
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\begin{enumerate}
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\item Integrand am linken und am rechten Rand interpolieren
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\item Interpolationspolynom mit Quadraturformel integrieren
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\end{enumerate}
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\textbf{Lösung}:
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Nutze Interpolationsformel von Lagrange:
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\begin{align}
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L_i &= \frac{\prod_{j=1, j \neq i}^n (x-x_j)}{\prod_{j=1, j \neq i}^n (x_i - x_j)}\\
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p(x) &= \sum_{i=0}^{1} f_i \cdot L_i(x)
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\end{align}
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Berechne Lagrangepolynome:
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\begin{align}
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L_0(x) = \frac{x-b}{a-b} \\
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L_1(x) = \frac{x-a}{b-a}
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\end{align}
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So erhalten wir:
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\begin{align}
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p(x) &= f(a) \frac{x-b}{a-b} + f(b) \frac{x-a}{b-a}\\
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&= \frac{f(a) (b-x) + f(b) (x-a)}{b-a} \\
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&= \frac{f(a)b- f(a)x + f(b) x- f(b)a}{b-a}\\
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&=\frac{x \cdot \left (f(b)-f(a) \right ) + f(a)b- f(b)a}{b-a}\\
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&= x \cdot \underbrace{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}_{=:r} + \underbrace{\frac{f(a)b - f(b)a}{b-a}}_{=: s}
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\end{align}
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Nun integrieren wir das Interpolationspolynom:
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\begin{align}
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\int_a^b p(x) \mathrm{d} x &= \left [\frac{r}{2} x^2 + sx \right ]_a^b\\
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&= \left (\frac{a^2 r}{2} + sa \right ) - \left (\frac{b^2 r}{2} + sb \right )\\
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&= a\left (\frac{a r}{2} + s \right ) - b \left (\frac{b r}{2} + s \right )\\
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&= a\left (\frac{a \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{2} + \frac{f(a)b - f(b)a}{b-a} \right ) - b \left (\frac{b \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{2} + \frac{f(a)b - f(b)a}{b-a} \right )\\
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&= a\left (\frac{-a f(a)+2b f(a)-a f(b)}{2 \cdot(b-a)}\right ) - b \left (\frac{bf(b) + b f(a) - 2 a f(b)}{2 \cdot (b-a)} \right )\\
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& \dots \text{theoretisch sollte das zu } (b-a)(\frac{f(a)}{2} + \frac{f(b)}{2}) \text{ zu vereinfachen sein}
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\end{align}
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Alternativer Rechenweg
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\[ \int_a^b p(x)dx = \int_a^b f(a) \frac{x-b}{a-b}dx + \int_a^b f(b) \frac{x-a}{b-a}dx \]
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\[ = \int_a^b \frac{f(a) \cdot x}{a-b}dx - \int_a^b \frac{f(a) \cdot b}{a-b}dx + \int_a^b \frac{f(b) \cdot x}{b-a}dx - \int_a^b \frac{f(b) \cdot a}{b-a}dx \]
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\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{f(a) \cdot b^2}{a-b} - \frac{1}{2} \cdot \frac{f(a) \cdot a^2}{a-b} - \frac{f(a) \cdot b^2}{a-b} + \frac{f(a) \cdot b \cdot a}{a-b} + \frac{1}{2} \cdot \frac{f(b) \cdot b^2}{b-a} \]
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\[ - \frac{1}{2} \cdot \frac{f(b) \cdot a^2}{b-a} - \frac{f(b) \cdot a \cdot b}{b-a} + \frac{f(b) \cdot a^2}{b-a}\]
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\[=(b-a)\cdot(\frac{f(a)}{2} + \frac{f(b)}{2})\]
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Betrachtet man nun die allgemeine Quadraturformel,
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\[
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\int_a^b f(x)dx \approx (b-a) \sum_{i=1}^s b_i f(a+c_i(b-a))
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\]
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so gilt für die hergeleitete Quadraturformel also $s=2$, $c_1=0, c_2=1$ und $b_1 = b_2 = \frac{1}{2}$. Sie entspricht damit der Trapezregel.
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\subsection*{Teilaufgabe b)}
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Sei nun $f(x) = x^2$ und $a = 0$ sowie $b = 4$. Man soll die ermittelte
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Formel zwei mal auf äquidistanten Intervallen anwenden.
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\textbf{Lösung:}
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\begin{align}
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\int_0^4 p(x) \mathrm{d}x &= \int_0^2 p(x)\mathrm{d}x + \int_2^4 p(x)\mathrm{d}x \\
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&= (2-0)\cdot \left (\frac{0}{2} + \frac{4}{2} \right ) + (4-2) \cdot \left (\frac{4}{2} + \frac{16}{2} \right )\\
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&= 2 \cdot 2 + 2 \cdot (2+8)\\
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&= 24
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\end{align}
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