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find . -type f -name '*.md' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
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find . -type f -name '*.tex' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
were used to do so.
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3.6 KiB
TeX
100 lines
3.6 KiB
TeX
\section*{Aufgabe 31}
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\subsection*{Gesucht:}
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Eine Quadraturformel maximaler Ordnung mit:
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\begin{align}
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s &= 3\\
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c_1 &= 0\\
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c_3 &= 1\\
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\end{align}
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\subsection*{Lösung:}
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Nach Satz 28 können Ordnungen $\geq s = 3$ erreicht werden.
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Die Ordnung kann nach Satz 31 höchstens $2s = 6$ sein. Da $c_1 = 0$
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ist, kann es jedoch keine Gauß-Quadraturformel sein. Also kann
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die Ordnung höchstens $5$ sein.
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\subsubsection*{Ordnung 5}
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Es gibt mindestens zwei Möglichkeiten, zu zeigen, dass es keine
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QF der Ordnung 5 mit den Knoten $c_1 = 0$ und $c_3 = 1$ gibt:
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Mit hilfe von Satz 29 oder über die Ordnungsbedingungen.
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\paragraph*{Mit Satz 29}
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\begin{align}
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M(x) &= (x-c_1) (x-c_2) (x-c_3)\\
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&= x (x-c_2) (x-1)\\
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&= (x^2- x) (x-c_2)\\
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&= x^3 - (1+c_2)x^2 + c_2 x\\
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\int_0^1 M(x) \cdot g(x) \mathrm{d} x &\stackrel{!}{=} 0
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\end{align}
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Da wir Ordnung $5 = s + 2$ erreichen wollen, muss $g$ ein beliebiges
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Polynom vom Grad $\leq 2-1 = 1$ sein. Also:
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\begin{align}
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g(x) &= ax + b\\
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M(x) \cdot g(x) &= ax^4 + (b-a-ac_2)x^3 + (ac_2-bc_2-b)x^2 + b c_2 x\\
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\int_0^1 M(x) g(x) \mathrm{d} x &= \frac{a}{5} + \frac{b-a-ac_2}{4} + \frac{ac_2 - bc_2-b}{3} + \frac{b c_2}{2}\\
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&= \frac{a c_2}{12}-\frac{a}{20}+\frac{b c_2}{6}-\frac{b}{12}\\
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0 &\stackrel{!}{=}\frac{a c_2}{12}-\frac{a}{20}+\frac{b c_2}{6}-\frac{b}{12}\\
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\Leftrightarrow 0 &\stackrel{!}{=} 5 a c_2 - 3a + 10 b c_2 - 5 b\\
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\Leftrightarrow -5 a c_2 - 10 b c_2&\stackrel{!}{=} - 3a - 5 b\\
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\Leftrightarrow 5 a c_2 + 10 b c_2&\stackrel{!}{=} 3a + 5 b\\
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\Leftrightarrow c_2(5 a + 10 b)&\stackrel{!}{=} 3a + 5 b\\
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\Leftrightarrow c_2 &\stackrel{!}{=} \frac{3a + 5 b}{5 a + 10 b}
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\end{align}
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Da diese Bedingung für alle $a, b \in \mathbb{R}$ gelten soll, muss
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sie auf jeden Fall für $a=1, b=0$ sowie für $a=1, b=1$ gelten. Aber:
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\begin{align}
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\frac{2\cdot1+5\cdot0}{5\cdot1+10\cdot0} = \frac{3}{5} &\neq \frac{8}{15} = \frac{3\cdot1+5\cdot1}{5\cdot1+10\cdot1}
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\end{align}
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Offensichtlich gibt also es kein $c_2$, dass diese Bedingung für jedes $a,b \in \mathbb{R}$
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erfüllt. Daher kann es keine Quadraturformel der Ordnung $5$ mit den Knoten
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$0$ und $1$ geben.
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\paragraph*{Mit Ordnungsbedingungen}
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Wir kennen $c_1 = 0$ und $c_3=1$, was die Ordnungsbedingungen
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sehr vereinfacht:
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\begin{align}
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1 &\stackrel{!}{=} b_1 + b_2 + b_3\\
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\nicefrac{1}{2} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2 + b_3 \label{eq:bed2}\\
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\nicefrac{1}{3} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^2 + b_3 \label{eq:bed3}\\
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\nicefrac{1}{4} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^3 + b_3\\
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\nicefrac{1}{5} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^4 + b_3
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\end{align}
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Aus \ref{eq:bed2} folgt:
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\begin{align}
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c_2 &= \frac{\nicefrac{1}{2} - b_3}{b_2}
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\end{align}
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Und damit:
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\begin{align}
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\nicefrac{1}{3} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot \left (\frac{\nicefrac{1}{2} - b_3}{b_2} \right )^2 + b_3\\
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&= \frac{(\nicefrac{1}{2} - b_3)^2}{b_2} + b_3\\
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\Leftrightarrow \frac{1}{3} b_2 - b_2 b_3&= (\nicefrac{1}{2} - b_3)^2\\
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\Leftrightarrow b_2 (\frac{1}{3} - b_3) &= (\nicefrac{1}{2} - b_3)^2\\
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\Leftrightarrow b_2 &= \frac{(\nicefrac{1}{2} - b_3)^2}{\frac{1}{3} - b_3}
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\end{align}
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Nun könnte man das ganze in die 4. Ordnungsbedinung einsetzen \dots aber ich
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glaube nicht, dass das schön wird. Mache das, wer will.
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\subsubsection*{Ordnung 4}
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Die Simpson-Regel erfüllt offensichtlich alle Bedinungen und hat
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Ordnung 4:
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\begin{align}
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c_2 &= \nicefrac{1}{2}\\
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b_1 &= \nicefrac{1}{6}\\
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b_2 &= \nicefrac{4}{6}\\
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b_3 &= \nicefrac{1}{6}
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\end{align}
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Dass die Simpson-Regel Ordnung 4 hat, lässt sich schnell über
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die Ordnungsbedingungen zeigen.
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