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find . -type f -name '*.md' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
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find . -type f -name '*.tex' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
were used to do so.
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6 KiB
TeX
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TeX
\section*{Aufgabe 5}
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Zunächst ist nach der Familie von Quadraturformeln gefragt, für die gilt: ($p := $ Ordnung der QF)
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\begin{align}
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s = 3 \\
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0 = c_1 < c_2 < c_3 \\
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p \ge 4
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\end{align}
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Nach Satz 29 sind in der Familie genau die QFs, für die gilt: \\
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Für alle Polynome $g(x)$ mit Grad $\le m-1 = 0$ gilt:
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\begin{align}
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\int_0^1 M(x) \cdot g(x) \mathrm{d}x = 0 \label{a3}
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\end{align}
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Da eine Quadraturformel höchstens Grad $2s=6$ (Satz 30) haben kann und es wegen
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$c_1 = 0$ nicht die Gauss-Quadratur sein kann (Satz 31), kommt nur Ordnung $p=4$
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und $p=5$ in Frage.
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In dieser Aufgabe sind nur die symmetrischen QF, also die von Ordnung
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$p=4$ explizit anzugeben. Für die QF von Ordnung $p=5$ hätte man nur
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die Gewichte in Abhängigkeit der Knoten darstellen müssen und
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eine Bedinung nur an die Knoten herleiten müssen.
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\subsection*{Ordnung 4}
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Es gilt $g(x) = c$ für eine Konstante $c$, da $\text{Grad}(g(x))=0$ ist.
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Also ist \ref{a3} gleichbedeutend mit:
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\begin{align}
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\int_0^1 M(x) \cdot c \mathrm{d}x &= 0 \\
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\Leftrightarrow c \cdot \int_0^1 M(x) \mathrm{d}x &= 0 \\
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\Leftrightarrow \int_0^1 M(x) \mathrm{d}x &= 0 \\
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\Leftrightarrow \int_0^1 (x-c_1)(x-c_2)(x-c_3) \mathrm{d}x &= 0 \\
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\Leftrightarrow \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot (c_2 + c_3) + \frac{1}{2} \cdot c_2 \cdot c_3 &= 0 \\
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\Leftrightarrow \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot c_3}
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{\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \cdot c_3} &= c_2
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\end{align}
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Natürlich müssen auch die Gewichte optimal gewählt werden. Dafür wird Satz 28 genutzt:
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Sei $b^T = (b_1, b_2, b_3)$ der Gewichtsvektor. Sei zudem $C :=
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\begin{pmatrix}
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{c_1}^0 & {c_2}^0 & {c_3}^0 \\
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{c_1}^1 & {c_2}^1 & {c_3}^1 \\
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{c_1}^2 & {c_2}^2 & {c_3}^2
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\end{pmatrix}
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$. \\
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Dann gilt: $C$ ist invertierbar und $b = C^{-1} \cdot
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\begin{pmatrix}
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1 \\
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\frac{1}{2} \\
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\frac{1}{3}
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\end{pmatrix}
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$.
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Es gibt genau eine symmetrische QF in der Familie. Begründung: \\
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Aus $c_1 = 0 $ folgt, dass $c_3 = 1$ ist. Außerdem muss $c_2 = \frac{1}{2} $ sein. Also sind die Knoten festgelegt. Da wir die Ordnung $\ge s = 3$ fordern, sind auch die Gewichte eindeutig. \\
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Es handelt sich um die aus der Vorlesung bekannte Simpsonregel.
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\subsection*{Ordnung 5}
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Es gilt $g(x) = ax+c$ für Konstanten $a \neq 0, c$, da $\text{Grad}(g(x))=1$ ist.
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Also ist \ref{a3} gleichbedeutend mit:
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\begin{align}
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\int_0^1 M(x) \cdot (ax+c) \mathrm{d}x &= 0 \\
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\Leftrightarrow a \int_0^1 x M(x) \mathrm{d}x + c \int_0^1 M(x) \mathrm{d}x &= 0 \\
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\Leftrightarrow a \int_0^1 x (x-c_1)(x-c_2)(x-c_3) \mathrm{d}x + c \int_0^1 (x-c_1)(x-c_2)(x-c_3) \mathrm{d}x &= 0 \\
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\stackrel{c_1=0}{\Leftrightarrow} a \int_0^1 x^2(x-c_2)(x-c_3) \mathrm{d}x + c \int_0^1 x(x-c_2)(x-c_3) \mathrm{d}x &= 0 \\
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\Leftrightarrow a \left (\frac{c_2 c_3}{3}-\frac{c_2}{4}-\frac{c_3}{4}+\frac{1}{5} \right ) + c \left ( \frac{c_2 c_3}{2}-\frac{c_2}{3}-\frac{c_3}{3}+\frac{1}{4} \right ) &= 0 \\
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\Leftrightarrow \left (\frac{c_2 c_3}{3}-\frac{c_2}{4}-\frac{c_3}{4}+\frac{1}{5} \right ) + \underbrace{\frac{c}{a}}_{=: d} \left ( \frac{c_2 c_3}{2}-\frac{c_2}{3}-\frac{c_3}{3}+\frac{1}{4} \right ) &= 0
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\end{align}
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Nun habe ich \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2F5+-+c%2F4+%2B+(b+(-3+%2B+4+c))%2F12)%2B+d*(3+-+4+c+%2B+b+(-4+%2B+6+c))%2F12%3D0}{Wolfram|Alpha} lösen lassen:
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\begin{align}
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c_2 &= \frac{6-\sqrt{6}}{10} \approx 0.355\\
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c_3 &= \frac{6+\sqrt{6}}{10} \approx 0.845
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\end{align}
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Wegen der Ordnungsbedingungen gilt nun:
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\begin{align}
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1 &= b_1 + b_2 + b_3\\
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\frac{1}{2} &= b_2 \cdot \frac{6-\sqrt{6}}{10} + b_3 \cdot \frac{6+\sqrt{6}}{10}\\
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\frac{1}{3} &= b_2 \cdot \left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^2 + b_3 \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right )^2\\
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\Leftrightarrow \frac{1}{3} - b_3 \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right )^2 &= b_2 \cdot \left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^2\\
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\Leftrightarrow \frac{\frac{1}{3} - b_3 \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right )^2}{\left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^2} &= b_2\\
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\Leftrightarrow b_2 &= \frac{100}{3 \cdot (6-\sqrt{6})^2} - b_3 \cdot \frac{(6+\sqrt{6})^2}{(6-\sqrt{6})^2}\\
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\Rightarrow \frac{1}{2} &= \left ( \frac{100}{3 \cdot (6-\sqrt{6})^2} - b_3 \cdot \frac{(6+\sqrt{6})^2}{(6-\sqrt{6})^2} \right ) \cdot \frac{6-\sqrt{6}}{10} + b_3 \cdot \frac{6+\sqrt{6}}{10}\\
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&= \left (\frac{10}{3 \cdot (6 - \sqrt{6})} - b_3 \cdot \frac{(6+\sqrt{6})^2}{10 \cdot (6 - \sqrt{6})} \right ) + b_3 \cdot \frac{6+\sqrt{6}}{10}\\
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&= b_3 \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} - \frac{(6+\sqrt{6})^2}{10 \cdot (6 - \sqrt{6})} \right ) + \frac{10}{3 \cdot (6 - \sqrt{6})}\\
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&= b_3 \cdot \left (\frac{30-(6+\sqrt{6})^2}{10 \cdot (6 - \sqrt{6})} \right ) + \frac{10}{3 \cdot (6 - \sqrt{6})}\\
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\Leftrightarrow \frac{1}{2} - \frac{10}{3 \cdot (6 - \sqrt{6})} &= b_3 \cdot \left (\frac{30-(6+\sqrt{6})^2}{10 \cdot (6 - \sqrt{6})} \right )\\
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\Leftrightarrow \frac{3 \cdot (6 - \sqrt{6}) - 20}{6\cdot (6 - \sqrt{6})} &= b_3 \cdot \left (\frac{30-(6+\sqrt{6})^2}{10 \cdot (6 - \sqrt{6})} \right )\\
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\Leftrightarrow b_3 &= \frac{(3 \cdot (6 - \sqrt{6}) - 20) \cdot 10 \cdot (6 - \sqrt{6})}{6\cdot (6 - \sqrt{6}) \cdot (30-(6+\sqrt{6})^2)}\\
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&= \frac{(3 \cdot (6 - \sqrt{6}) - 20) \cdot 5}{3 \cdot (30-(6+\sqrt{6})^2)}\\
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&= \frac{15 \cdot (6 - \sqrt{6}) - 100}{90-3 \cdot (6+\sqrt{6})^2}\\
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\Aboxed{b_3 &= \frac{16-\sqrt{6}}{36}} \approx 0.3764\\
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\Aboxed{b_2 &= \frac{16+\sqrt{6}}{36}} \approx 0.5125\\
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\stackrel{\text{Ordnungsbedinung 1}}{\Rightarrow} \Aboxed{b_1 &= \frac{1}{9}}\\
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\frac{1}{4} &\stackrel{?}{=} \frac{16+\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^3 + \frac{16-\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right)^3 \text{ \cmark}\\
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\frac{1}{5} &\stackrel{?}{=} \frac{16+\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^4 + \frac{16-\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right)^4 \text{ \cmark}\\
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\frac{1}{6} &\stackrel{?}{=} \frac{16+\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^5 + \frac{16-\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right)^5 = \frac{33}{200} \text{ \xmark}
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\end{align}
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