diff --git a/CONTRIBUTING.md b/CONTRIBUTING.md index f0e3020..510e723 100644 --- a/CONTRIBUTING.md +++ b/CONTRIBUTING.md @@ -10,6 +10,7 @@ this should include the rendered image. For documents, there should be some example text explaining what it is about. 3. Use spaces for indenting. +4. Don't have trailing spaces. ## Commit messages diff --git a/asymptote/torus-three-paths/README.md b/asymptote/torus-three-paths/README.md index 78bd2aa..9e05b3c 100644 --- a/asymptote/torus-three-paths/README.md +++ b/asymptote/torus-three-paths/README.md @@ -5,7 +5,7 @@ Compiled example Currently, this one is not working, because of this error: ``` -/usr/local/texlive/2013/texmf-dist/asymptote/three.asy: +/usr/local/texlive/2013/texmf-dist/asymptote/three.asy: 2906.13: runtime: to support onscreen rendering, please install glut library, run ./configure, and recompile ``` diff --git a/cheat-sheets/Tikz/README.md b/cheat-sheets/Tikz/README.md index cab0774..5f54d52 100644 --- a/cheat-sheets/Tikz/README.md +++ b/cheat-sheets/Tikz/README.md @@ -1,7 +1,7 @@ I took this from a [StackExchange Question](http://tex.stackexchange.com/a/84757/5645) If you want to change it (I know you can make it better with LaTeX!) -or if you have some important commant, feel free to submit a merge +or if you have some important commant, feel free to submit a merge request or send me an email (info@martin-thoma.de) diff --git a/cheat-sheets/Tikz/Tikz-cheat-sheet.tex b/cheat-sheets/Tikz/Tikz-cheat-sheet.tex index 05c557f..6bcf118 100644 --- a/cheat-sheets/Tikz/Tikz-cheat-sheet.tex +++ b/cheat-sheets/Tikz/Tikz-cheat-sheet.tex @@ -33,7 +33,7 @@ \item Basic path: \myCode{\textbackslash drawing-command [options] path-specification;} \item Path specification: \myCode{(coordinate) path-component (coordinate);} \item Path Reusage \myCode{postaction=\{ or \}} When this option is given to any basic drawing commands below, the path is not immediately discarded and reused after the initial drawing command is finished. \\ - \myCode{preaction=\{ or \}} When this option is given to any basic drawing commands below, the path is used once before the initial drawing command is executed. + \myCode{preaction=\{ or \}} When this option is given to any basic drawing commands below, the path is used once before the initial drawing command is executed. \end{itemize} \section*{Basic Drawing Commands} diff --git a/circuits/simple-example/simple-example.tex b/circuits/simple-example/simple-example.tex index 354f3cb..ab0d626 100644 --- a/circuits/simple-example/simple-example.tex +++ b/circuits/simple-example/simple-example.tex @@ -8,8 +8,8 @@ \begin{preview} \begin{circuitikz} \draw (0,0) node[european and port] (myand){} - (myand.in 1) node[anchor=east]{P} - (myand.in 2) node[anchor=east]{Q} + (myand.in 1) node[anchor=east]{P} + (myand.in 2) node[anchor=east]{Q} (1.8,0) node[european not port] (mynot){} (mynot.out) node[anchor=west]{S} (myand.out) -- (mynot.in); diff --git a/documents/2048/2048.tex b/documents/2048/2048.tex index 0878ce4..a50bba3 100644 --- a/documents/2048/2048.tex +++ b/documents/2048/2048.tex @@ -11,11 +11,11 @@ \title{The Game '2048'} \author{Martin Thoma} -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Game, combinatorics, 2048}, - pdftitle = {The Game '2048'} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Game, combinatorics, 2048}, + pdftitle = {The Game '2048'} +} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Begin document % @@ -36,7 +36,6 @@ \section{Related} \begin{itemize} \item \url{http://math.stackexchange.com/q/716469/6876} - \item \end{itemize} \end{document} diff --git a/documents/2048/template/pixel-art.tex b/documents/2048/template/pixel-art.tex index 19f569e..08e74c4 100644 --- a/documents/2048/template/pixel-art.tex +++ b/documents/2048/template/pixel-art.tex @@ -33,7 +33,7 @@ \foreach \line [count=\y] in \pixels { \foreach \pix [count=\x] in \line { \draw[fill=pixel \pix] (\x,-\y) rectangle +(1,1); - + \ifthenelse{\equal{0}{\pix}} {} {\node at ($(\x,-\y) + (0.5,0.5)$) {\Huge \pix};} diff --git a/documents/Analysis I/Analysis-I.tex b/documents/Analysis I/Analysis-I.tex index 1128490..fc3a7e1 100644 --- a/documents/Analysis I/Analysis-I.tex +++ b/documents/Analysis I/Analysis-I.tex @@ -10,11 +10,11 @@ \semester{Wintersemester 04/05} \scriptstate{complete} -\hypersetup{ - pdfauthor = {Die Mitarbeiter von http://mitschriebwiki.nomeata.de/ und GitHub-Beiträge}, - pdfkeywords = {Analysis}, - pdftitle = {Analysis I} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Die Mitarbeiter von http://mitschriebwiki.nomeata.de/ und GitHub-Beiträge}, + pdfkeywords = {Analysis}, + pdftitle = {Analysis I} +} \author{Die Mitarbeiter von \url{http://mitschriebwiki.nomeata.de/} und GitHub-Beiträge} \title{Analysis I} @@ -95,7 +95,7 @@ In $\MdR$ sind zwei Verknüpfungen "`+"' und "`$\cdot$"' gegeben, die jedem Paar \end{liste} \end{axiom} -Dabei nennt man \textbf{A1} und \textbf{A2} \begriff{Assoziativgesetze}, \textbf{A3} und \textbf{A4} \begriff{Kommutativgesetze} und \textbf{A9} \begriff{Distributivgesetz}, +Dabei nennt man \textbf{A1} und \textbf{A2} \begriff{Assoziativgesetze}, \textbf{A3} und \textbf{A4} \begriff{Kommutativgesetze} und \textbf{A9} \begriff{Distributivgesetz}, Alle Regeln der Grundrechenarten lassen sich aus \textbf{(A1)} bis \textbf{(A9)} herleiten. Diese Regeln seien von nun an bekannt. @@ -140,11 +140,11 @@ In \MdR\ ist eine Relation "`$\le$"' gegeben. Es sollen gelten: \end{schreibweisen} \begin{definition}[Betrag] -Für $a \in \MdR$ heißt $ |a| := +Für $a \in \MdR$ heißt $ |a| := \begin{cases} a & \mbox{falls } a \ge 0 \\ -a & \mbox{falls } a < 0 -\end{cases} $. +\end{cases} $. $|a|$ wird der \begriff{Betrag} von a genannt und entspricht dem "`Abstand"' von $a$ und $0$. $|a-b|$ entspricht dem "`Abstand"' von $a$ und $b$. \end{definition} @@ -275,12 +275,12 @@ Für jedes $n \in \MdN$ sei eine Aussage $A(n)$ gemacht. Es gelte: (I) $A(1)$ is \item $A(n) := n \ge 1$. $A(n)\ \forall n \in \MdN$. Beweis (induktiv):\\ Induktionsanfang (IA): $1 \ge 1$, also ist $A(1)$ wahr. \\ Induktionsvorausseztung (IV): Sei $n \in \MdN$ und $A(n)$ wahr (also $n \ge 1$) \\ -Induktionsschritt (IS, $n \curvearrowright n + 1$): $n+1 +Induktionsschritt (IS, $n \curvearrowright n + 1$): $n+1 \stackrel{(IV)}{\ge} 1 + 1 \ge 1$, also $A(n+1)$ wahr. \item Für $n \in \MdN$ sei $A_n:=(\MdN\ \cap\ [1,n])\ \cup\ [n+1, \infty)$. \\ Behauptung: $\underbrace{A_n \text{ ist eine Induktionsmenge}}_{A(n)} \ \forall n \in \MdN$ \item Sei $n \in \MdN, x \in \MdR$ und $n 0$ ein $n_0 = n_0(\varepsilon) \in \MdN$ gibt, so dass $|a_n - a| < \varepsilon \ \forall n \ge n_0$ gilt. In diesem Fall heißt $a$ der \begriff{Grenzwert} (GW) oder \begriff{Limes} von $(a_n)$ und man schreibt: $\lim_{n \to \infty}(a_n) = a$ oder $\lim{a_n} = a$ oder $a_n \to a \ (n \to \infty)$ oder $a_n \to a$. Ist $(a_n)$ nicht konvergent, so heißt $(a_n)$ \begriff{divergent}. \begin{eqnarray*} -\text{Also: } a_n \to a \ (n \to \infty) +\text{Also: } a_n \to a \ (n \to \infty) &\equizu& \forall\varepsilon > 0 \ \exists n_0 = n_0(\varepsilon) \in\MdN: |a_n - a| < \varepsilon \ \forall n \ge n_0 \\ &\equizu& \forall\varepsilon > 0 \ \exists n_0 = n_0(\varepsilon) \in\MdN: a_n \in U_{\varepsilon}(a)\ \forall n \ge n_0 \\ &\equizu& \forall\varepsilon > 0 \text{ gilt: } a_n \in U_\varepsilon(a) \text{ \ffa } n \in \MdN. @@ -737,7 +737,7 @@ $a_n := \sqrt[n]{n} -1 \folgt a_n > 0 \ \forall n \in\MdN$. Zu zeigen ist: $a_n Sei $c>0$. Dann: $\sqrt[n]{c} \to 1 \ (n\to\infty)$. \end{wichtigesbeispiel} -\begin{beweis} +\begin{beweis} Fall 1: $c\ge 1 \ \exists m \in\MdN: m \ge c \folgt 1\le c\le n \ \forall n\ge m \folgt \sqrt[n]{n} \le \underbrace{\sqrt[n]{n}}_{\to 1} \folgtnach{7.4} \sqrt[n]{c} \to 1$ \\ Fall 2: $c<1 \folgt \frac{1}{c} > 1 \folgtnach{Fall 1} \underbrace{\sqrt[n]{\frac{1}{c}}}_{=\frac{1}{\sqrt[n]{c}}} \to 1 \folgtnach{6.2(vii)} \sqrt[n]{c} \to 1$ \end{beweis} @@ -789,12 +789,12 @@ $(a_n)$ sei eine Folge und $\alpha \in\MdR$. $\alpha$ heißt ein \begriff{Häufu \end{definition} \begin{beispiele} -\item $a_n = (-1)^n$. $a_{2n} = 1, a_{2n-1} = -1.$ -Sei $\ep > 0: a_{2n} \in U_{\ep}(1)\ \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow a_n \in U_{\ep}(1)$ -für unendlich viele $n \in \mathbb{N} \Rightarrow 1 \in H (a_n)$. -Analog: $a_n \in U_{\ep}(-1)$ für unendlich viele $n \in \mathbb{N} \Rightarrow -1 \in \H(a_n)$. -Sei $\alpha \in \mathbb{R}$ und 1 $\neq \alpha \neq -1$. -Wähle $\ep > 0$ so, dass $1, -1 \not\in U_{\ep}(\alpha) \Rightarrow a_n \not\in U_{\ep}(\alpha)\ \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \alpha \not\in \H(a_{n})$. +\item $a_n = (-1)^n$. $a_{2n} = 1, a_{2n-1} = -1.$ +Sei $\ep > 0: a_{2n} \in U_{\ep}(1)\ \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow a_n \in U_{\ep}(1)$ +für unendlich viele $n \in \mathbb{N} \Rightarrow 1 \in H (a_n)$. +Analog: $a_n \in U_{\ep}(-1)$ für unendlich viele $n \in \mathbb{N} \Rightarrow -1 \in \H(a_n)$. +Sei $\alpha \in \mathbb{R}$ und 1 $\neq \alpha \neq -1$. +Wähle $\ep > 0$ so, dass $1, -1 \not\in U_{\ep}(\alpha) \Rightarrow a_n \not\in U_{\ep}(\alpha)\ \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \alpha \not\in \H(a_{n})$. Fazit: $\H(a_n) = \{1; -1\}$. \item $a_n = n$. Sei $\alpha \in \mathbb{R}$ und $\varepsilon > 0$. $\exists n_0 \in \mathbb{N}: n_0 > \alpha + \ep \Rightarrow n > \alpha + \ep\ \forall n \geq n_0 \Rightarrow a_n \not\in U_{\ep}(\alpha)\ \forall n \geq n_0 \Rightarrow a_n \in U_{\ep}(\alpha)$ für höchstens endlich viele $n \in \mathbb{N}$. $\Rightarrow \alpha \not\in \H(a_n)$. Fazit: $\H(a_n) = \emptyset$. \item $\mathbb{Q}$ ist abzählbar. Also: $\mathbb{Q} = \{a_1, a_2, \ldots\}$.\\ @@ -853,7 +853,7 @@ $(a_n)$ sei eine beschränkte Folge. Dann H$(a_n) \ne \emptyset$. \end{satz} \begin{beweis} -$\exists c>0: |a_n| \le c \ \forall n\in\MdN$. Hilfssatz $\folgt (a_n)$ enthält eine monotone Teilfolge $(a_{n_k})$. $|a_{n_k}| \le c \ \forall k \in\MdN$. $(a_{n_k})$ ist aber schränkt. 6.3 $\folgt (a_{n_k})$ ist konvergent. $\alpha := \lim_{k\to\infty}a_{n_k}$. 8.1(1) $\folgt \alpha \in \H(a_n)$. +$\exists c>0: |a_n| \le c \ \forall n\in\MdN$. Hilfssatz $\folgt (a_n)$ enthält eine monotone Teilfolge $(a_{n_k})$. $|a_{n_k}| \le c \ \forall k \in\MdN$. $(a_{n_k})$ ist aber schränkt. 6.3 $\folgt (a_{n_k})$ ist konvergent. $\alpha := \lim_{k\to\infty}a_{n_k}$. 8.1(1) $\folgt \alpha \in \H(a_n)$. \end{beweis} \chapter{Oberer und unterer Limes} @@ -1075,13 +1075,13 @@ klar. \end{beweis} \begin{definition} -Die Reihe $\areihe$ heißt \begriff{absolut konvergent} $:\equizu \reihe{|a_n|}$ ist konvergent. +Die Reihe $\areihe$ heißt \begriff{absolut konvergent} $:\equizu \reihe{|a_n|}$ ist konvergent. \end{definition} \begin{satz}[Dreiecksungleichung für Reihen] Ist $\areihe$ absolut konvergent, so ist $\areihe$ konvergent und $$|\areihe| \le \reihe{|a_n|}$$ -\ +\ \end{satz} \begin{beweis} @@ -1099,7 +1099,7 @@ Die \begriff{alternierende Harmonische Reihe} $\reihe{(-1)^{n+1} \frac{1}n}$.\\ Hier: $a_n = (-1)^{n+1}\frac{1}{n}$. $|a_n| = \frac{1}{n} \folgt \reihe{a_n}$ konvergiert nicht absolut.\\ \textbf{Behauptung:} $\reihe{a_n}$ ist konvergent. (Später: $\reihe{a_n} = \log 2$)\\ \textbf{Beweis:} $s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$. \\ -$s_{2n+2} = s_{2n} + a_{2n+1} + a_{2n+2} = s_{2n} + \underbrace{\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2}}_{>0} \folgt (s_{2n})$ ist monoton wachsend. Analog: $(s_{2n-1})$ ist monoton fallend. +$s_{2n+2} = s_{2n} + a_{2n+1} + a_{2n+2} = s_{2n} + \underbrace{\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2}}_{>0} \folgt (s_{2n})$ ist monoton wachsend. Analog: $(s_{2n-1})$ ist monoton fallend. $s_{2n} = s_{2n-1} + a_{2n} = s_{2n-1} - \frac{1}{2n}$ $(*)$\\ Dann gilt $s_2 \le s_4 \le \ldots \le s_{2n} \gleichwegen{(*)} s_{2n-1} - \frac{1}{2n} < s_{2n-1} \le \ldots \le s_3 \le s_1 \folgt (s_{2n})$ und $(s_{2n-1})$ sind beschränkt. 6.3 $\folgt$ $(s_{2n})$ und $(s_{2n-1})$ sind konvergent. Aus $(*)$ folgt dann $\lim s_{2n} = \lim s_{2n-1}$. A16 $\folgt$ $(s_n)$ hat genau einen Häufungswert. 9.3 $\folgt$ $(s_n)$ ist konvergent. \end{beispiel} @@ -1155,7 +1155,7 @@ Sei $(a_n)$ eine Folge und $\alpha := \limsup \sqrt[n]{|a_n|}$. \begin{beweise} \item $\alpha < 1 $. Sei $\ep>0$ so, dass $x:= \alpha+\ep<1$. 9.2 $\folgt \sqrt[n]{|a_n|} < \alpha + \ep = x \ffa n\in\MdN \folgt |a_n| < x^n \ffa n\in\MdN$. $\reihe{x^n}$ ist konvergent $\folgtnach{12.1(1)}$ Behauptung. -\item +\item \begin{liste} \item $\alpha>1$, $\alpha<\infty$: Sei $\ep>0$ so, dass $\alpha-\ep>1$. 9.2 $\folgt \sqrt[n]{|a_n|}>\alpha-\ep>1$ für unendlich viele $n\in\MdN$ \folgt $|a_n|>1$ für unendlich viele $n\in\MdN$ \folgt $a_n \to 0 \folgtnach{11.1} \reihe{a_n}$ ist divergent. \item $\alpha = \infty \folgt \sqrt[n]{|a_n|} > 1$ für unendlich viele \natn \folgtnach{wie eben} $\reihe{a_n}$ ist divergent. @@ -1194,7 +1194,7 @@ Sei $(a_n)$ eine Folge in $\MdR$ und $a_n \ne 0 \ffa \natn$. $\alpha_n := \frac{ O.B.d.A.: $a_n \ne 0 \ \forall\natn$ \begin{liste} \item Dann: $|a_2|\ge |a_1|>0$, $|a_3|\ge|a_2|\ge|a_1|>0$, \ldots allgemein: $|a_n|\ge|a_1|>0\ \forall\natn \folgt a_n\nrightarrow 0 \folgt$ die Behauptung. -\item +\item \begin{liste} \item Sei $\beta >1$, Sei $\ep>0$ so, dass $\beta-\ep>1$. 9.2 $\folgt |\alpha_n|>\beta-\ep>1 \ffa n\in\MdN \folgt$ die Behauptung. \item Sei $\alpha < 1$. Sei $\ep>0$ so, dass $x:=\alpha+\ep<1$. 9.2 $\folgt |\alpha_n|<\alpha+\ep=x \ffa\natn$. Dann: $|a_2|\le|a_1|x$, $|a_3|\le|a_2|x\le|a_1|x^2$,\ldots allgemein: $|a_n|\le|a_n1|x^{n-1} \ffa\natn$. $\reihe{|a_1|x^{n-1}}$ ist konvergent \folgtnach{12.2} $\reihe{a_n}$ ist absolut konvergent. @@ -1499,7 +1499,7 @@ $\displaystyle{a_n := (-1)^n\cdot\frac{x^{2n}}{(2n)!} \folgt \sqrt[n]{|a_n|} = \ \begin{definition}[Potenzreihe] Sei $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ eine Folge in \MdR. Eine Reihe der Form $\sum_{n=0}^{\infty}\ -{a_nx^n} = {\nobreak a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots}$ heißt eine \begriff{Potenzreihe} (PR). Die Menge +{a_nx^n} = {\nobreak a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots}$ heißt eine \begriff{Potenzreihe} (PR). Die Menge $\{x \in\MdR : \reihenull{a_nx^n}$ konvergent$\}$ heißt der \begriff{Konvergenzbereich} (KB) der Potenzreihe. Klar: Die Potenzreihe konvergiert für $x=0$. \end{definition} @@ -1541,13 +1541,13 @@ $(\sqrt[n]{|a_nx^n|})=(\sqrt[n]{|a_n|}|x|) \folgt\ (\sqrt[n]{|a_nx^n|})$ ist nic n2^n&\text{n ungerade}\end{cases}$. A16 \folgt $\H(\sqrt[n]{|a_n|})=\{0, 2\} \folgt \rho=2 \folgt r=\frac{1}{2}$. Die Potenzreihe konvergiert absolut für $|x|<\frac{1}{2}$, sie divergiert für $|x|>\frac{1}{2}$. Sei $|x|=\frac{1}{2}$. $|a_nx^n|=|a_n|\frac{1}{2^n}=n$ falls $n$ ungerade \folgt $a_nx^n \nrightarrow 0 \folgt$ die Potenzreihe divergiert für $|x|=\frac{1}{2}$. \end{beispiele} -Die folgenden Potenzreihen haben jeweils den Konvergenzradius $r=\infty:$\\ +Die folgenden Potenzreihen haben jeweils den Konvergenzradius $r=\infty:$\\ $e^x=\reihenull{\frac{x^n}{n!},\ \sin x=\reihenull{(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}},\\ \cos x = \reihenull{(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}},\ f'(x)=\reihenull{a_nnx^{n-1}}$, falls $f(x)=\reihenull{a_nx^n}$ KR $r=\infty$ hat. \begin{definition} $\cosh x:=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})\ (x\in\MdR)$ (Cosinus Hyperbolikus)\\ $\sinh x:=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\ (x\in\MdR)$ (Sinus Hyperbolikus)\\ -Nachrechnen: $\cosh x=\reihenull{\frac{x^{2n}}{(2n)!}}, +Nachrechnen: $\cosh x=\reihenull{\frac{x^{2n}}{(2n)!}}, \sinh x=\reihenull{\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}} (x\in\MdR)$ \end{definition} @@ -1571,7 +1571,7 @@ Sei $x \in (-R, R): (\reihenull{a_nx^n})(\reihenull{b_nx^n})\overset{\text{13.4} \end{beweis} \begin{bemerkung} -Sei $(a_n)^{\infty}_{n=0}$ eine Folge und $x_0 \in\MdR$. Eine Reihe der Form $(*) \reihenull{a_n(x-x_0)^n}$ heißt ebenfalls eine Potenzreihe ($x_0$ heißt \begriff{Entwicklungspunkt} der Potenzreihe). Substitution $t:=x-x_0$, dann erhält man die Potenzreihe $\reihenull{a_nt^n}$. Sei $r$ der Konvergenzradius dieser Potenzreihe. Dann: ist $r=0$, so konvergiert die Potenzreihe in $(*)$ \emph{nur} in $x=x_0$. Ist $r=\infty$, so konvergiert die Potenzreihe absolut $\forall\ x\in\MdR.$ Ist $0r.$ +Sei $(a_n)^{\infty}_{n=0}$ eine Folge und $x_0 \in\MdR$. Eine Reihe der Form $(*) \reihenull{a_n(x-x_0)^n}$ heißt ebenfalls eine Potenzreihe ($x_0$ heißt \begriff{Entwicklungspunkt} der Potenzreihe). Substitution $t:=x-x_0$, dann erhält man die Potenzreihe $\reihenull{a_nt^n}$. Sei $r$ der Konvergenzradius dieser Potenzreihe. Dann: ist $r=0$, so konvergiert die Potenzreihe in $(*)$ \emph{nur} in $x=x_0$. Ist $r=\infty$, so konvergiert die Potenzreihe absolut $\forall\ x\in\MdR.$ Ist $0r.$ \end{bemerkung} \chapter{$g$-adische Entwicklungen} @@ -1619,7 +1619,7 @@ Sei $a=0,z_1z_2z_3\ldots$ ein $g$-adischer Bruch. \begin{beweise} \item $0 \le a = \reihe{\frac{z_n}{g^n}} \stackrel{\text{($*$)}, Bem. (2)}{<} \reihe{\frac{g-1}{g^n}} \gleichnach{15.1} 1$. -\item \textbf{Annahme:} $\exists n\in\MdN: z_n \ne w_n$. Sei $m$ der kleinste solche Index, also $z_m \ne w_m$ und $z_j = w_j$ für $j=1,\ldots ,m-1$. Etwa $z_m < w_m \folgt z_m - w_m < 0 \overset{z_m - w_m \in\MdZ}{\folgt} z_m - w_m \le -1$. $\forall n\in\MdN: z_n - w_n \le z_n \le g-1$. $\exists \nu \in\MdN$ mit $\nu \ge m+1$ und $z_\nu - w_\nu < g-1$. (andererenfalls $z_\nu - w_\nu = g-1 \ \forall \nu \ge m+1 \folgt z_\nu = w_\nu + g-1 \ \forall \nu \ge m+1 \folgt w_\nu = 0 \ \forall \nu \ge m+1 \folgt z_\nu = g-1 \ \forall \nu \ge m+1$. Widerspruch zu $(*)$). Dann: +\item \textbf{Annahme:} $\exists n\in\MdN: z_n \ne w_n$. Sei $m$ der kleinste solche Index, also $z_m \ne w_m$ und $z_j = w_j$ für $j=1,\ldots ,m-1$. Etwa $z_m < w_m \folgt z_m - w_m < 0 \overset{z_m - w_m \in\MdZ}{\folgt} z_m - w_m \le -1$. $\forall n\in\MdN: z_n - w_n \le z_n \le g-1$. $\exists \nu \in\MdN$ mit $\nu \ge m+1$ und $z_\nu - w_\nu < g-1$. (andererenfalls $z_\nu - w_\nu = g-1 \ \forall \nu \ge m+1 \folgt z_\nu = w_\nu + g-1 \ \forall \nu \ge m+1 \folgt w_\nu = 0 \ \forall \nu \ge m+1 \folgt z_\nu = g-1 \ \forall \nu \ge m+1$. Widerspruch zu $(*)$). Dann: $\displaystyle{0 = a-a = \reihe{\frac{z_n}{g^n}} - \reihe{\frac{w_n}{g^n}} = \reihe{\frac{z_n - w_n}{g^n}} = \sum_{n=m}^\infty{\frac{z_n - w_n}{g^n}}}$\\ $\displaystyle{= \underbrace{\frac{z_m - w_m}{g^m}}_{\le -\frac{1}{g^m}} + \underbrace{\sum_{n=m+1}^\infty{\frac{z_n-w_n}{g^n}}}_{< \sum_{n=m+1}^\infty{\frac{g-1}{g^n}}} < - \frac{1}{g^m} + \underbrace{\sum_{n=m+1}^\infty{\frac{g-1}{g^n}}}_{\gleichnach{15.1} \frac{1}{g^n}} = 0}$\\ $\folgt 0<0 \text{ Widerspruch.}$ @@ -1651,7 +1651,7 @@ Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar. \begin{beweis} Es genügt zu zeigen: $[0,1)$ ist überabzählbar. -\textbf{Annahme}: $[0,1)$ ist abzählbar, also $[0,1) = \{a_1,a_2,\ldots\}, a_j \ne a_k$ für $j\ne k$. +\textbf{Annahme}: $[0,1)$ ist abzählbar, also $[0,1) = \{a_1,a_2,\ldots\}, a_j \ne a_k$ für $j\ne k$. Für $j \in\MdN$ sei $a_j = 0,z_1^{(j)} z_2^{(j)} z_3^{(j)}\ldots$ die 3-adische Entwicklung von $a_j$. ($z_k^{(j)} \in \{0,1,2\}$). $$ z_k := \begin{cases} 1 & \text{falls } z_k^{(k)} \in \{0,2\} \\0 & \text{falls } z_k^{(k)}= 1 \end{cases}$$ Dann: $z_k \ne z_k^{(k)} \ \forall k \in\MdN$, $z_k \ne g-1 \ \forall k\in\MdN$. $a := 0,z_1z_2z_3\ldots = \reihe{\frac{z_n}{g^n}}.$ 15.2 $\folgt a \in [0,1) \folgt \exists m\in\MdN: a= a_m \folgt 0,z_1z_2z_3\ldots = 0,z_1^{(m)}z_2^{(m)}z_3^{(m)}\ldots$. 15.2 $\folgt z_j = z_j^{(m)} \ \forall j\in\MdN \folgt z_m = z_m^{(m)}$. Widerspruch! @@ -1712,7 +1712,7 @@ Für $\delta >0$: $D_\delta(x_n) = D \cap U_\delta(x_0)$. $\dot D_\delta(x_0) = \begin{satz}[Grenzwertsätze bei Funktionen] \begin{liste} \item $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$ existiert $\equizu$ für jede Folge $(x_n)$ in $D\backslash\{x_0\}$ mit $x_n \to x_0$ ist $f(x_n)$ konvergent. -\item Für $a\in\MdR$ gilt: $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$ existiert und ist gleich $a$ $\equizu$ $\forall \ep>0 \ \exists \delta(\ep) > 0$ mit $(*)$ $|f(x) - a|< \ep \ \forall x \in \dot D_\delta(x_0)$. +\item Für $a\in\MdR$ gilt: $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$ existiert und ist gleich $a$ $\equizu$ $\forall \ep>0 \ \exists \delta(\ep) > 0$ mit $(*)$ $|f(x) - a|< \ep \ \forall x \in \dot D_\delta(x_0)$. \item \textit{Cauchykriterium}\indexlabel{Cauchykriterium!bei Funktionsgrenzwerten}: $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)$ existiert $\equizu$ $\forall \ep>0 \ \exists \delta >0$: $|f(x) - f(x')|<\ep \forall x,x' \in \dot D_\delta(x_0)$ \end{liste} \end{satz} @@ -1744,8 +1744,8 @@ Zum Beispiel: (3) Sei $(x_n)$ Folge in $D\backslash\{x_0\}$ und $x_n \to x_0$. D \begin{definition} \begin{liste} \item Sei $(a_n)$ eine Folge in $\MdR$.\\ -$\lim a_n = \infty$ (oder $a_n \to \infty$) $:\equizu \forall c>0 \ \exists n_0 = n_0(c)\in\MdN: a_n > c \forall n\ge n_0$.\\ -$\lim a_n = -\infty$ (oder $a_n \to -\infty$) $:\equizu \forall c<0 \ \exists n_0 = n_0(c)\in\MdN: a_n < c \forall n\ge n_0$. +$\lim a_n = \infty$ (oder $a_n \to \infty$) $:\equizu \forall c>0 \ \exists n_0 = n_0(c)\in\MdN: a_n > c \forall n\ge n_0$.\\ +$\lim a_n = -\infty$ (oder $a_n \to -\infty$) $:\equizu \forall c<0 \ \exists n_0 = n_0(c)\in\MdN: a_n < c \forall n\ge n_0$. \item $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = \infty$ (oder $f(x) \to \infty\ (x\to x_0)$) $:\equizu$ für jede Folge $(x_n)$ in $D\backslash\{x_0\}$ und $x_n \to x_0$ gilt: $f(x_n) \to \infty$. \\ $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = -\infty$ (oder $f(x) \to -\infty\ (x\to x_0)$) $:\equizu$ für jede Folge $(x_n)$ in $D\backslash\{x_0\}$ und $x_n \to x_0$ gilt: $f(x_n) \to -\infty$. \item Sei $D$ nicht nach oben beschränkt. $\displaystyle\lim_{x\to \infty} f(x) = a$ (oder $f(x) \to a$) $:\equizu$ für jede Folge $(x_n)$ in $D$ mit $x_n\to \infty$ gilt: $f(x_n) \to a$ ($a = \pm\infty$ zugelassen). \\ @@ -1896,8 +1896,8 @@ $B \subseteq \MdR$ heißt \indexlabel{offene Menge}\textbf{offen} $:\equizu \for \begin{beweis} \begin{liste} \item Übung -\item "`\folgt "': Sei $(x_n)$ eine konvergente Folge in $\MdR\ \backslash\ B$ und $x_0:=\lim x_n$.Annahme: $x_0 \in B$. B offen $\folgt \exists \delta>0 : U_\delta(x_0) \subseteq B$. $x_n \to x_0 \folgt x_n \in U_\delta(x_0) \subseteq B \ffa n \in\MdN$, Widerspruch! "`$\Leftarrow$ "': Sei $x \in B$. Annahme: $U_\delta(x) \nsubseteq B \forall \delta>0$. -\folgt $U_{\frac{1}{n}}(x) \nsubseteq B \forall n \in \MdN +\item "`\folgt "': Sei $(x_n)$ eine konvergente Folge in $\MdR\ \backslash\ B$ und $x_0:=\lim x_n$.Annahme: $x_0 \in B$. B offen $\folgt \exists \delta>0 : U_\delta(x_0) \subseteq B$. $x_n \to x_0 \folgt x_n \in U_\delta(x_0) \subseteq B \ffa n \in\MdN$, Widerspruch! "`$\Leftarrow$ "': Sei $x \in B$. Annahme: $U_\delta(x) \nsubseteq B \forall \delta>0$. +\folgt $U_{\frac{1}{n}}(x) \nsubseteq B \forall n \in \MdN \folgt \forall n \in \MdN \exists x_n \in U_{\frac{1}{n}}$ mit: $x_n \in \MdR\ \backslash\ B \folgt (x_n)$ ist eine Folge in $\MdR\ \backslash\ B: x_n \to x$. $\MdR\ \backslash\ B$ abgeschlossen \folgt $x \in \MdR\ \backslash\ B$, Widerspruch! \item "`\folgt "': Sei $(x_n)$ Folge in $D$. $D$ beschränkt \folgt $(x_n)$ beschränkt. 8.2 \folgt $(x_n)$ enthält eine konvergente Teilfolge $(x_{n_k})$. $D$ abgeschlossen $\folgt \lim x_{n_k} \in D$. "`$\Leftarrow$ "': Übung. Sei $D$ beschränkt und abgeschlossen. Sei $s:=\sup D$. z.z.: $s \in D$ (analog zeigt man $\inf D \in D$). $\forall n \in \MdN$ ist $s-\frac{1}{n}$ keine obere Schranke von s. \folgt $\forall n \in\MdN\exists\ x_n \in D$ mit $s - \frac{1}{n} < x_n \le s \folgt x_n \to s$. D abgeschlossen \folgt $s \in D$ \end{liste} @@ -1933,7 +1933,7 @@ Sei $I \subseteq \MdR$ ein Intervall und $f \in C(I)$. \end{beweis} \begin{satz}[Der Logarithmus] -Sei $I=\MdR$ und $f(x)=e^x$. Bekannt: $f \in C(\MdR)$, f ist streng monoton wachsend und $f(I) = f(\MdR) = (0, \infty)$. Also existiert $f^{-1}: (0, \infty) \to \MdR$. +Sei $I=\MdR$ und $f(x)=e^x$. Bekannt: $f \in C(\MdR)$, f ist streng monoton wachsend und $f(I) = f(\MdR) = (0, \infty)$. Also existiert $f^{-1}: (0, \infty) \to \MdR$. \[ \log x := \ln x := f^{-1}(x)\ (x \in (0, \infty))\ \text{\emph{Logarithmus}} \] \end{satz} @@ -2005,7 +2005,7 @@ $(f_n)$ konvergiert punktweise auf $D$ gegen $f$. Konvergiert $(f_n)$ auf $D$ punktweise gegen $f:D\to\MdR$, so bedeutet dies: Ist $\ep>0$ und $x\in D$, so existiert ein $n_0 = n_0(\ep,x)\in\MdN$: $|f_n(x)-f(x)|<\ep \ \forall n\ge n_0$ \begin{definition} -$(f_n)$ heißt auf $D$ \begriff{gleichmäßig konvergent} +$(f_n)$ heißt auf $D$ \begriff{gleichmäßig konvergent} $:\equizu \exists \text{ Funktion } f:D\to\MdR$ für die gilt:\\ \hspace*{10mm} $\forall \ep>0 \ \exists n_0 = n_0(\ep) \in\MdN \ \forall n\ge n_0 \ \forall x\in D\colon |f_n(x) - f(x)|<\ep$. @@ -2475,24 +2475,24 @@ Dann: $\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k = 0 \ne f(x) \ \forall x\in\Md \begin{definition} Sei $n\in\MdN_0$, $f\in C^n(I)$ und $x_0 \in I$.\\ -$T_n(x;x_0) := \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$ +$T_n(x;x_0) := \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$ heißt das \begriff{k-te Taylorpolynom} von $f$ vom Grad $\leq k$. \end{definition} \begin{eigenschaftenNoCounter} \begin{enumerate} - \item $p$ ist ein Polynom vom Grad $\leq n$ und es gilt: + \item $p$ ist ein Polynom vom Grad $\leq n$ und es gilt: $p^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0)$ für $k=0, 1, \dots, n$ \item Ist $q$ ein Polynom vom Grad $\leq n$ und gilt $q^{(k)} (x_0) = f^{(k)} (x_0)$ für $k=0, 1, \dots, n$, so ist $p=q$. - \item Ist $f \in C^\infty(1)$, so ist $T_n(x, x_0)$ die n-te + \item Ist $f \in C^\infty(1)$, so ist $T_n(x, x_0)$ die n-te Teilsumme der Taylorreihe $f$ (in $x_0$). \end{enumerate} \end{eigenschaftenNoCounter} \begin{satz}[Satz von Taylor] -Voraussetzungen wie in obiger Definition. Weiter sei $f\ (n+1)$-mal -differenzierbar auf $I$ und $x\in I$. Dann existiert ein $\xi$ +Voraussetzungen wie in obiger Definition. Weiter sei $f\ (n+1)$-mal +differenzierbar auf $I$ und $x\in I$. Dann existiert ein $\xi$ zwischen $x$ und $x_0$ mit: \[ f(x) = T_n(x;x_0) + \underbrace{\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}}_\text{Restglied nach Lagrange} \] \end{satz} @@ -2501,7 +2501,7 @@ zwischen $x$ und $x_0$ mit: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei $x_0 = 0$ und $x>x_0$.\\ $\rho := (f(x) - T_n(x;0)) \frac{(n+1)!}{x^{n+1}} \folgt f(x) - T_n(x;0) = \frac{\rho}{(n+1)!}x^{n+1}$\\ Zu zeigen ist: $\exists \xi\in[0,x]: \rho = f^{(n+1)}(\xi).$ \\ -Definiere $h: [0,x]\to \MdR$ durch $f(x) = f(x) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!} (x-t)^k - \rho\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}$. +Definiere $h: [0,x]\to \MdR$ durch $f(x) = f(x) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!} (x-t)^k - \rho\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}$. Nachrechnen: $h(0) = h(x)$ und $h'(t) = \rho\frac{(x-t)^n}{n!} - \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n$. \\ $0 = \frac{h(x)-h(0)}{x-0} \gleichnach{MWS} h'(\xi) \ \xi \in (0,x) \folgt \rho\frac{(x-\xi)^n}{n!} = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n \folgt \rho = f^{(n+1)}(\xi)$. \end{beweis} @@ -2684,16 +2684,16 @@ $f \in R[a,b] \equizu \forall \ep>0\ \exists Z \in \Z: S_f(Z)-s_f(Z) < \ep$. \begin{beweise} \item O.B.d.A: $f$ ist wachsend auf $[a,b]$.\\ - Sei $n\in\MdN$ und $Z_n=\{x_0,\cdots,x_n\}$ sei die - \begriff{äquidistante Zerlegung} von $[a,b]$ mit $n+1$ - Teilpunkten. $x_j = a+j\frac{b-a}{n}\ (j=0,\cdots,n)$. - Dann: $|I_j|=\frac{b-a}{n}$. $m_j, M_j$ wie immer: + Sei $n\in\MdN$ und $Z_n=\{x_0,\cdots,x_n\}$ sei die + \begriff{äquidistante Zerlegung} von $[a,b]$ mit $n+1$ + Teilpunkten. $x_j = a+j\frac{b-a}{n}\ (j=0,\cdots,n)$. + Dann: $|I_j|=\frac{b-a}{n}$. $m_j, M_j$ wie immer: $S_f(Z_n)-s_f(Z_n)=\sum^n_{j=1}(\underbrace{M_j}_{=f(x_j)}-\underbrace{m_j}_{f(x_{j-1})})|I_j|=\sum_{j=1}^n(f(x_j)_-f(x_{j-1}))\frac{b-a}{n}=\frac{b-a}{n}(f(x_1)-f(x_0)+f(x_2)-f(x_1)+\cdots+f(x_n)-f(x_{n-1}))=\frac{b-a}{n}(f(x_n)-f(x_0))=\frac{b-a}{n}(f(b)-f(a))=:\alpha_n$. Sei $\ep>0$, dann: $\exists n\in\MdN: \alpha_n <\ep\folgtnach{23.3}$Behauptung. \item Sei $f \in C[a, b]$ und $\ep>0$. $\exists \delta>0: (*)\ |f(t)-f(s)|<\frac{\ep}{b-a}\ \forall t,s\in[a,b]$ mit $|t-s|<\delta$. Sei $Z=\{x_0,\cdots,x_n\}\in\Z\ m_j,\ M_j,\ |I_J|$ seien wie immer; $z$ sei so gewählt, da"s $|I_j|<\delta\ (j=1,\cdots,n)$. Betrachte $I_j:$ 18.3$\folgt\ \exists s_j, t_j \in I_j: m_j=f(s_j),\ M_j=f(t_j)$. $|t_j-s_j|<\delta \folgtwegen{(*)}\underbrace{f(t_j)-f(s_j)}_{=M_j-m_j}<\frac{\ep}{b-a}\folgt S_f(Z)-s_f(Z)=\sum^n_{j=1}(\underbrace{M_j-m_j}_{\le\frac{\ep}{b-a}})|I_j|<\frac{\ep}{b-a}\sum^n_{j=1}|I_j|=\ep\folgtnach{23.3}f\in R[a,b]$ \end{beweise} \begin{definition} -Sei $J\subseteq\MdR$ ein Intervall und $G,g: J\to\MdR$ seien Funktionen. +Sei $J\subseteq\MdR$ ein Intervall und $G,g: J\to\MdR$ seien Funktionen. $G$ heißt eine \begriff{Stammfunktion} von $g$ auf $J$ :$\equizu$ G ist auf $J$ differenzierbar und $G'=g$ auf $J$.\\ \end{definition} \textbf{Beachte:} @@ -2715,7 +2715,7 @@ Sei $[a,b]=[-1,1]$, $f(x):=\begin{cases} \end{liste} \begin{satz}[1. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung] -Es sei $f\in R[a,b]$ und $f$ besitze auf $[a,b]$ die Stammfunktion $F$. Dann: +Es sei $f\in R[a,b]$ und $f$ besitze auf $[a,b]$ die Stammfunktion $F$. Dann: $$\int_a^bf(x)dx = F(b) - F(a) =: F(x)|_a^b =: [F(x)]_a^b$$ \end{satz} @@ -2738,19 +2738,19 @@ Aber: $\lim_{n\to\infty}\int_0^1f_ndx = 1 \ne 0 = \int_0^1fdx = \int_0^1(\lim_{n \end{beispiele} \begin{satz}[Integrierbarkeit gleichmäßig konvergierender Funktionsfolgen] -$(f_n)$ sei eine Folge in $R[a,b]$ und $(f_n)$ konvergiert auf $[a,b]$ \emph{gleichmäßig} gegen $f:[a,b]\to\MdR$. Dann ist $f\in R[a,b]$ und +$(f_n)$ sei eine Folge in $R[a,b]$ und $(f_n)$ konvergiert auf $[a,b]$ \emph{gleichmäßig} gegen $f:[a,b]\to\MdR$. Dann ist $f\in R[a,b]$ und $$\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)dx = \int_a^bfdx = \int_a^b(\lim_{n\to\infty} f_n)dx$$ -$(f_n)$ sei eine Folge in $R[a,b]$ und $\sum_{n=1}^{\infty}f_n$ konvergiert auf $[a,b]$ \emph{gleichmäßig} gegen $f:[a,b]\to\MdR$. Dann ist $f\in R[a,b]$ und +$(f_n)$ sei eine Folge in $R[a,b]$ und $\sum_{n=1}^{\infty}f_n$ konvergiert auf $[a,b]$ \emph{gleichmäßig} gegen $f:[a,b]\to\MdR$. Dann ist $f\in R[a,b]$ und $$\sum_{n=1}^\infty \int_a^bf_n(x)dx = \int_a^b \sum_{n=1}^\infty f_n(x)dx $$ \end{satz} \begin{beweis} 1. Zu $\ep=1 \ \exists m \in \MdN$: $f_m-10$. $\exists n_0\in\MdN: f_n-\ep0$. $\exists n_0\in\MdN: f_n-\ep 0.$ Wähle $\alpha \in (a,b)$ mit $2\gamma(\alpha-a) < \ep/2.$ -$f \in C[\alpha,b] \folgt f \in R[\alpha,b] \folgtnach{23.3}$ Es gibt eine Zerlegung $Z_1$ von $[\alpha,b]$ mit:\\ +$f \in C[\alpha,b] \folgt f \in R[\alpha,b] \folgtnach{23.3}$ Es gibt eine Zerlegung $Z_1$ von $[\alpha,b]$ mit:\\ $S_f(Z_1) - s_f(Z_1) < \ep/2.\ Z:=Z_1 \cup \{a\} \folgt Z \in \Z$ und es gilt:\\ \begin{align*} S_f(Z) - s_f(Z) &= \underbrace{\sup f([a,\alpha]) - \inf f([a,\alpha]))(\alpha-1)}_{\le 2 \gamma} + \underbrace{S_f(Z_1)-s_f(Z_1)}_{< \ep/2}\\ @@ -2927,7 +2927,7 @@ Es ist $\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}\gleichnach{s.o.}\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f \end{beweise} \begin{satz}[Anwendung des 2. Hauptsatzes auf stetige Funktionen] -Sei $J \subseteq \MdR$ ein beliebiges Intervall, $f \in C(J)$ und $\xi \in J$ (fest). $F:J\to\MdR$ sei definiert durch $F(x):=\int_{\xi}^xf(t)\dt$. Dann ist $F\in C^1(J)$ und $F'=f$ auf $J$. +Sei $J \subseteq \MdR$ ein beliebiges Intervall, $f \in C(J)$ und $\xi \in J$ (fest). $F:J\to\MdR$ sei definiert durch $F(x):=\int_{\xi}^xf(t)\dt$. Dann ist $F\in C^1(J)$ und $F'=f$ auf $J$. \end{satz} @@ -3216,7 +3216,7 @@ $\folgt \exists c \in (1,\infty): \frac{f(x)}{g(x)} \ge \frac{1}{2}\ \forall x \ \begin{definition} Sei $f:[a,b]\to\MdR$ und $Z=\{x_0,\ldots,x_n\} \in\Z$. $V_f(Z):=\sum_{j=1}^n|f(x_j)-f(x_{j-1})|$ ist die \begriff{Variation} von $f$ bezüglich Z.\\ -\textbf{Beachte}: Sind $Z_1,Z_2 \in \Z$ und $Z_1 \subseteq Z_2\folgt V_f(Z_1) \le V_f(Z_2)$. $M_f=\{V_f(Z):Z \in \Z\}.\ f$ heißt von \begriff{beschränkter Variation}, in Zeichen: $f\in\BV[a,b]\ :\equizu M_f$ ist nach oben beschränkt. In diesem Fall heißt $V_f[a,b]:=\sup M_f$ die \begriff{Totalvariation} von $f$ (auf $[a,b]$). +\textbf{Beachte}: Sind $Z_1,Z_2 \in \Z$ und $Z_1 \subseteq Z_2\folgt V_f(Z_1) \le V_f(Z_2)$. $M_f=\{V_f(Z):Z \in \Z\}.\ f$ heißt von \begriff{beschränkter Variation}, in Zeichen: $f\in\BV[a,b]\ :\equizu M_f$ ist nach oben beschränkt. In diesem Fall heißt $V_f[a,b]:=\sup M_f$ die \begriff{Totalvariation} von $f$ (auf $[a,b]$). \end{definition} \begin{beispiel} @@ -3372,7 +3372,7 @@ Sei $g \in \BV[a,b]$ und $f \in R_{g}$. Dann: $${\left|\int_a^b fdg\right|}\le\g \begin{beweis} Sei $(Z, \xi) \in \Z^*, Z = \{x_0,\ldots,x_n\},\ \xi = (\xi_1,\ldots,\xi_n)$.\\ -$|\sigma_f(Z,\xi, g)|=|\displaystyle\sum_{j=1}^nf(\xi_j)(g(x_j)-g(x_{j-1}))|\le\displaystyle\sum_{j=1}^n|f(\xi_j)||g(x_j)-g(x_{j-1})|\le\gamma V_g(Z)\le\gamma V_g[a, b]$ +$|\sigma_f(Z,\xi, g)|=|\displaystyle\sum_{j=1}^nf(\xi_j)(g(x_j)-g(x_{j-1}))|\le\displaystyle\sum_{j=1}^n|f(\xi_j)||g(x_j)-g(x_{j-1})|\le\gamma V_g(Z)\le\gamma V_g[a, b]$ \end{beweis} \begin{bezeichnungen} diff --git a/documents/Analysis II/Analysis-II.tex b/documents/Analysis II/Analysis-II.tex index 6db605f..8e3a32c 100644 --- a/documents/Analysis II/Analysis-II.tex +++ b/documents/Analysis II/Analysis-II.tex @@ -11,11 +11,11 @@ \title{Analysis II} \makeindex -\hypersetup{ - pdfauthor = {Die Mitarbeiter von mitschriebwiki.nomeata.de und GitHub}, - pdfkeywords = {Analysis}, - pdftitle = {Analysis II} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Die Mitarbeiter von mitschriebwiki.nomeata.de und GitHub}, + pdfkeywords = {Analysis}, + pdftitle = {Analysis II} +} \begin{document} \maketitle @@ -29,26 +29,26 @@ \section*{Über dieses Skriptum} Dies ist ein erweiterter Mitschrieb der Vorlesung "`Analysis II"' von Herrn Schmoeger im -Sommersemester 2005 (bis einschließlich §14) und im Sommersemester 2010 (ab §15) an der Universität -Karlsruhe (KIT). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit ausdrücklicher Genehmigung -von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger ist für den Inhalt nicht +Sommersemester 2005 (bis einschließlich §14) und im Sommersemester 2010 (ab §15) an der Universität +Karlsruhe (KIT). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit ausdrücklicher Genehmigung +von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger ist für den Inhalt nicht verantwortlich. \section*{Wer} -Gestartet wurde das Projekt von Joachim Breitner. Beteiligt am +Gestartet wurde das Projekt von Joachim Breitner. Beteiligt am Mitschrieb (von 2005) sind außer Joachim -noch Pascal Maillard, Wenzel Jakob und andere. +noch Pascal Maillard, Wenzel Jakob und andere. Beteiligt am Mitschrieb (von 2010) sind Rebecca Schwerdt, Philipp Ost und Manuel Kaiser. -Im September 2012 wurde das Skript mit der Revisionsnummer 7255 von +Im September 2012 wurde das Skript mit der Revisionsnummer 7255 von \href{http://svn.nomeata.de/wsvn/mitschriebwiki/SS10/Ana2Bachelor.tex?op=log&}{mitschriebwiki} auf \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/blob/master/documents/Analysis%20II}{GitHub} hochgeladen. \section*{Wo} -Alle Kapitel inklusive \LaTeX-Quellen können unter -\href{http://mitschriebwiki.nomeata.de}{mitschriebwiki.nomeata.de} +Alle Kapitel inklusive \LaTeX-Quellen können unter +\href{http://mitschriebwiki.nomeata.de}{mitschriebwiki.nomeata.de} abgerufen werden. -Dort ist ein \emph{Wiki} eingerichtet und von Joachim Breitner um die +Dort ist ein \emph{Wiki} eingerichtet und von Joachim Breitner um die \LaTeX-Funktionen erweitert. Das heißt, jeder kann Fehler nachbessern und sich an der Entwicklung beteiligen. Auf Wunsch ist auch ein Zugang über \emph{Subversion} möglich. @@ -152,7 +152,7 @@ Sei $x_0 \in \MdR^n$, $\delta > 0$, $A, U\subseteq \MdR^n$. \begin{beispiele} \index{abgeschlossen!Kugel} -\item $\MdR^n$ ist abgeschlossen, $\emptyset$ ist abgeschlossen; \\ +\item $\MdR^n$ ist abgeschlossen, $\emptyset$ ist abgeschlossen; \\ $\bar{A}=\overline{U_\delta(x_0)} = \{x\in\MdR^n: \|x-x_0\| \le \delta\}$ (\textbf{abgeschlossene Kugel} um $x_0$ mit Radius $\delta$) \item $\partial U_\delta(x_0) = \{x\in\MdR^n: \|x-x_0\|=\delta\} = \partial \overline{U_\delta(x_0)}$ \item $A = \{(x_1,x_2)\in\MdR^2; x_2 = x_1^2\}$. $A=\bar{A}=\partial A$ @@ -186,9 +186,9 @@ Sei $x_0 \in \MdR^n$, $\delta > 0$, $A, U\subseteq \MdR^n$. Sei $(a^{(k)})$ eine Folge in $\MdR^n$, also $(a^{(k)}) = ( a^{(1)}, a^{(2)}, \ldots ) $ mit $a^{(k)} = (a_1^{(k)}, \ldots a_n^{(k)}) \in \MdR^n$. Die Begriffe \begriff{Teilfolge} und \begriff{Umordnung} definiert man wie in Analysis I. $(a^{(k)})$ heißt beschränkt $:\equizu$ $\exists c\ge0: \|a^{(k)}\| \le c \ \forall k\in\MdN$. \begin{definition*}[Grenzwert und Beschränktheit] - \indexlabel{Konvergenz}$(a^{(k)})$ heißt \textbf{konvergent} - $:\equizu$ $\exists a\in\MdR^n: \|a^{(k)} - a\| \to 0 \ (k\to\infty)$ ($\equizu\ \exists a\in\MdR^n: \forall \ep>0\exists k_0 \in\MdN: \|a^{(k)} - a\|<\ep \ \forall k\ge k_0$). - In diesem Fall heißt $a$ der \begriff{Grenzwert} (GW) oder \begriff{Limes} von $(a^{(k)})$ und man schreibt: + \indexlabel{Konvergenz}$(a^{(k)})$ heißt \textbf{konvergent} + $:\equizu$ $\exists a\in\MdR^n: \|a^{(k)} - a\| \to 0 \ (k\to\infty)$ ($\equizu\ \exists a\in\MdR^n: \forall \ep>0\exists k_0 \in\MdN: \|a^{(k)} - a\|<\ep \ \forall k\ge k_0$). + In diesem Fall heißt $a$ der \begriff{Grenzwert} (GW) oder \begriff{Limes} von $(a^{(k)})$ und man schreibt: $a=\lim_{k\to\infty}a^{(k)}$ oder $a^{(k)} \to a \ (k\to\infty)$ \end{definition*} @@ -199,14 +199,14 @@ $(n=2)$: $a^{(k)} = (\frac{1}{k}, 1+\frac{1}{k^2})$ (Erinnerung: $\frac{1}{n}$ k \begin{satz}[Konvergenz] Sei $(a^{(k)})$ eine Folge in $\MdR^n$. \begin{enumerate} - \item Sei $a^{(k)} = (a_1^{(k)}, \ldots, a_n^{(k)})$ und + \item Sei $a^{(k)} = (a_1^{(k)}, \ldots, a_n^{(k)})$ und $a = (a_1,\ldots,a_n)\in\MdR^n$. Dann: \[ a^{(k)} \to a \ (k\to\infty) \equizu a_1^{(k)} \to a_1, \ldots, a_n^{(k)} \to a_n \ (k\to\infty) \] \item Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. - \item Ist $(a^{(k)})$ konvergent $\folgt \ a^{(k)}$ ist beschränkt + \item Ist $(a^{(k)})$ konvergent $\folgt \ a^{(k)}$ ist beschränkt und jede Teilfolge und jede Umordnung von $(a^{(k)})$ konvergiert gegen $\lim a^{(k)}$. - \item Sei $(b^{(k)})$ eine weitere Folge, $a,b\in\MdR^n$ und $\alpha\in\MdR$. - Es gelte $a^{(k)}\to a$, $b^{(k)} \to b$ Dann: + \item Sei $(b^{(k)})$ eine weitere Folge, $a,b\in\MdR^n$ und $\alpha\in\MdR$. + Es gelte $a^{(k)}\to a$, $b^{(k)} \to b$ Dann: \begin{align*} \|a^{(k)}\| &\to \|a\|\\ a^{(k)} + b ^{(k)} &\to a+b\\ @@ -214,7 +214,7 @@ Sei $(a^{(k)})$ eine Folge in $\MdR^n$. a^{(k)}\cdot b^{(k)}&\to a\cdot b \end{align*} \item \begriff{Bolzano-Weierstraß}: Ist $(a^{(k)})$ beschränkt, so enthält $(a^{(k)})$ eine konvergente Teilfolge. - \item \indexlabel{Cauchy!-Kriterium}\textbf{Cauchy-Kriterium}: + \item \indexlabel{Cauchy!-Kriterium}\textbf{Cauchy-Kriterium}: $(a^{(k)})$ konvergent $\equizu \ \forall\ep>0\ \exists k_0\in\MdN: \|a^{(k)} - a^{(l)}\| <\ep \ \forall k,l \ge k_0$ \end{enumerate} \end{satz} @@ -236,7 +236,7 @@ Sei $A\subseteq\MdR^n$ \item $A$ ist abgeschlossen $\equizu$ der Grenzwert jeder konvergenten Folge in $A$ gehört zu $A$. \item Die folgenden Aussagen sind äquivalent: \begin{enumerate} - \item $A$ ist beschränkt und abgeschlossen + \item $A$ ist beschränkt und abgeschlossen \item Jede Folge in $A$ enthält eine konvergente Teilfolge, deren Grenzwert zu $A$ gehört. \item A ist kompakt \end{enumerate} @@ -263,7 +263,7 @@ $A \subseteq \MdR^n$ sei abgeschlossen und beschränkt \item Sei $\ep>0$. Annahme: Die Behauptung ist falsch. Sei $a^{(1)}\in A$. Dann: $A\nsubseteq U_{\ep}(a^{(1)})\folgt\exists a^{(2)}\in A: a^{(2)}\notin U_\ep(a^{(1)})\folgt\|a^{(2)}-a^{(1)}\|\ge\ep$. $A\nsubseteq U_\ep(a^{(1)})\cup U_\ep(a^{(2)})\folgt\exists a^{(3)} \in A: \|a^{(3)}-a^{(2)}\|\ge\ep,\ \|a^{(3)}-a^{(1)}\|\ge\ep$ etc.. Wir erhalten so eine Folge $(a^{(k)})$ in A: $\|a^{(k)}-a^{(l)}\|\ge\ep$ für $k\ne l$. 2.2(4) $\folgt (a^{(k)})$ enthält eine konvergente Teilfolge $\folgtnach{2.1(6)}\ \exists j_0 \in\MdN:\ \|a^{(k_j)}-a^{(k_l)}\|<\ep\ \forall j,l\ge j_0$, Widerspruch! \item Sei $j\in\MdN$. $\ep:=\frac{1}{j}$. (1) $\folgt\exists$ endl. Teilmenge $B_j$ von $A$ mit $(*)\ A\subseteq \displaystyle\bigcup_{x \in B_j}U_{\frac{1}{j}}(x)$. $B:=\displaystyle\bigcup_{j\in\MdN}B_j\folgt B\subseteq A$ und $B$ ist abzählbar. Dann: $\bar B\subseteq\bar A\gleichnach{Vor.}A$. Noch zu zeigen: $A\subseteq\bar B$. Sei $x_0\in A$ und $\delta>0$: zu zeigen: $U_\delta(x_0)\cap B\ne\emptyset$. Wähle $j\in\MdN$ so, dass $\frac{1}{j}<\delta\ (*)\folgt\exists x \in B_j\subseteq B:\ x_0\in U_{\frac{1}{j}}(x)\folgt \|x_0-x\|<\frac{1}{j}<\delta\folgt x\in U_\delta(x_0)\folgt x\in U_\delta(x_0)\cap B$. \item Teil 1: Behauptung: $\exists \ep>0:\ \forall a \in A\ \exists\lambda\in M: U_\ep(a)\subseteq G_\lambda$. Beweis: Annahme: Die Behauptung ist falsch. $\forall k\in\MdN\ \exists a^{(k)}\in A:\ (**) U_{\frac{1}{k}}(a^{(k)})\nsubseteq G_\lambda\ \forall \lambda\in M$. 2.2(4) $\folgt (a^{(k)})$ enthält eine konvergente Teilfolge $(a^{(k_j)})$ und $x_0:=\displaystyle\lim_{j\to\infty}a^{k_j}\in A\folgt\exists \lambda_0\in M: x_0 \in G_{\lambda_0};\ G_{\lambda_0}$ offen $\folgt\exists \delta>0: U_\delta(x_0)\subseteq G_{\lambda_0}.\ a^{(k_j)}\to x_0\ (j\to\infty)\folgt\exists m_0\in\MdN: a^{(m_0)}\in U_{\frac{\delta}{2}}(x_0)$ und $m_0\ge\frac{2}{\delta}$. Sei $x\in U_{\frac{1}{m_0}}(a^{(m_0)})\folgt \|x-x_0\|=\|x-a^{(m_0)}+a^{(m_0)}-x_0\|\le\|x-a^{(m_0)}\|+\|a^{(m_0)}-x_0\|\le\frac{1}{m_0}+\frac{\delta}{2}\le\frac{\delta}{2}+\frac{\delta}{2}=\delta\folgt x\in U_\delta(x_0)\folgt x \in G_{\lambda_0}$. Also: $U_{\frac{1}{m_0}}(a^{(m_0)})\subseteq G_{\lambda_0}$, Widerspruch zu $(**)$!\\ -Teil 2: Sei $\ep>0$ wie in Teil 1. (1) $\folgt\exists a^{(1)},\ldots,a^{(m)}\in A: A\subseteq\displaystyle\bigcup_{j=1}^mU_\ep(a^{(j)})$. Teil 1 $\folgt\exists \lambda_j\in M: U_\ep(a^{(j)})\subseteq G_{\lambda_j}\ (j=1,\ldots,m)\folgt A\subseteq \displaystyle\bigcup_{j=1}^m G_{\lambda_j}$ +Teil 2: Sei $\ep>0$ wie in Teil 1. (1) $\folgt\exists a^{(1)},\ldots,a^{(m)}\in A: A\subseteq\displaystyle\bigcup_{j=1}^mU_\ep(a^{(j)})$. Teil 1 $\folgt\exists \lambda_j\in M: U_\ep(a^{(j)})\subseteq G_{\lambda_j}\ (j=1,\ldots,m)\folgt A\subseteq \displaystyle\bigcup_{j=1}^m G_{\lambda_j}$ \end{beweise} \chapter{Grenzwerte bei Funktionen, Stetigkeit} @@ -453,11 +453,11 @@ Die Gerade durch $x_0$ mit der Richtung $e_j$ ist gegeben durch folgende Menge: Es ist $g(t) = f(x_1^{(0)}, \ldots, x_{j-1}^{(0)}, x_j^{(0)} + t, x_{j+1}^{(0)}, \ldots, x_n^{(0)} )$ \begin{definition} -$f$ heißt in $x_0$ \textbf{partiell differenzierbar} nach $x_j$ :\equizu es exisitert -der Grenzwert +$f$ heißt in $x_0$ \textbf{partiell differenzierbar} nach $x_j$ :\equizu es exisitert +der Grenzwert \[\lim_{t\to0}\frac{f(x_0+te_j) - f(x_0)}t\] -und ist $\in\MdR$. In diesem Fall heißt obiger Grenzwert die \textbf{partielle Ableitung -von $f$ in $x_0$} nach $x_j$ und man schreibt für diesen Grenzwert: +und ist $\in\MdR$. In diesem Fall heißt obiger Grenzwert die \textbf{partielle Ableitung +von $f$ in $x_0$} nach $x_j$ und man schreibt für diesen Grenzwert: \[f_{x_j}(x_0) \text{ oder }\frac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)\] Im Falle $n=2$ oder $n=3$ schreibt man $f_x$, $f_y$, $f_z$ bzw. $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$, $\frac{\partial f}{\partial z}$ @@ -483,9 +483,9 @@ $\frac{f(t,0) - f(0,0)}{t} = 0 \to 0 \ (t\to0) \folgt f$ ist in $(0,0)$ partiell \indexlabel{Differenzierbarkeit!partielle} \indexlabel{Ableitung!partielle} \begin{enumerate} -\item $f$ heißt in $x_0$ \textbf{partiell differenzierbar} $:\equizu$ $f$ ist in $x_0$ -partiell differenzierbar nach allen Variablen $x_1,\ldots, x_n$. In diesem Fall heißt -$\grad f(x_0) := \nabla f(x_0) := (f_{x_1}(x_0),\ldots, f_{x_n}(x_0))$ der \textbf{Gradient} von +\item $f$ heißt in $x_0$ \textbf{partiell differenzierbar} $:\equizu$ $f$ ist in $x_0$ +partiell differenzierbar nach allen Variablen $x_1,\ldots, x_n$. In diesem Fall heißt +$\grad f(x_0) := \nabla f(x_0) := (f_{x_1}(x_0),\ldots, f_{x_n}(x_0))$ der \textbf{Gradient} von $f$ in $x_0$. \indexlabel{Gradient} \item $f$ ist auf $D$ \textbf{partiell differenzierbar} nach $x_j$ oder $f_{x_j}$ ist auf $D$ vorhanden :\equizu $f$ ist in jedem $x\in D$ partiell differenzierbar nach $x_j$. In diesem Fall wird durch $x\mapsto f_{x_j}(x)$ eine Funktion $f_{x_j}: D\to \MdR$ definiert die \textbf{partielle Ableitung} von $f$ auf $D$ nach $x_j$. \item $f$ heißt \textbf{partiell differenzierbar} auf $D$ :\equizu $f_{x_1},\ldots,f_{x_n}$ sind auf $D$ vorhanden. @@ -499,10 +499,10 @@ $f$ in $x_0$. \indexlabel{Gradient} \end{beispiele} \begin{definition} -Seien $j,k\in\{1,\ldots,n\}$ und $f_{x_j}$ sei auf $D$ vorhanden. Ist $f_{x_j}$ in -$x_0\in D$ partiell differenzierbar nach $x_k$, so heißt +Seien $j,k\in\{1,\ldots,n\}$ und $f_{x_j}$ sei auf $D$ vorhanden. Ist $f_{x_j}$ in +$x_0\in D$ partiell differenzierbar nach $x_k$, so heißt \[f_{x_jx_k}(x_0) := \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_k}(x_0) := \left(f_{x_j}\right)_{x_k}(x_0)\] -die \textbf{partielle Ableitung zweiter Ordnung} von $f$ in $x_0$ +die \textbf{partielle Ableitung zweiter Ordnung} von $f$ in $x_0$ nach $x_j$ und $x_k$. Ist $k=j$, so schreibt man: \[\frac{\partial^2 f}{\partial x_j^2}(x_0) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_j}(x_0) \] Entsprechend definiert man partielle Ableitungen höherer Ordnung (soweit vorhanden). @@ -531,26 +531,26 @@ Es sei $f\in C^2(D,\MdR)$, $x_0\in D$ und $j,k\in\{1,\ldots,n\}$. Dann: $f_{x_jx \end{satz} \begin{satz}[Folgerung] -Ist $f\in C^m(D,\MdR)$, so sind die partiellen Ableitungen von $f$ +Ist $f\in C^m(D,\MdR)$, so sind die partiellen Ableitungen von $f$ der Ordnung $\le m$ unabhängig von der Reihenfolge der Differentation. \end{satz} \begin{beweis} -O.B.d.A: $n=2$ und $x_0=(0,0)$. Zu zeigen: $f_{xy}(0,0)=f_{yx}(0,0)$. $D$ -offen $\folgt\exists\delta>0: U_\delta(0,0)\subseteq D$. Sei $(x,y) \in U_\delta(0,0)$ und $x\ne 0\ne y$. -\[\nabla:=f(x,y)-f(x,0)-(f(0,y)-f(0,0)),\quad\varphi(t):=f(t,y)-f(t,0)\] -für $t$ zwischen $0$ und $x$. $\varphi$ ist differenzierbar und -$\varphi'(t)=f_x(t,y)-f_x(t,0)$. $\varphi(x)-\varphi(0)=\nabla$. -MWS, Analysis I $\folgt\exists\xi=\xi(x,y)$ zwischen $0$ und $x$: -$\nabla=x\varphi'(\xi)=x(f_x(\xi,y)-f_x(\xi,0))$. $g(s):=f_x(\xi,s)$ -für s zwischen $0$ und $y$; $g$ ist differenzierbar und -$g'(s)=f_{xy}(\xi,s)$. Es ist $\nabla=x(g(y)-g(0))\gleichnach{MWS}xyg'(\eta),\ \eta=\eta(x,y)$ +O.B.d.A: $n=2$ und $x_0=(0,0)$. Zu zeigen: $f_{xy}(0,0)=f_{yx}(0,0)$. $D$ +offen $\folgt\exists\delta>0: U_\delta(0,0)\subseteq D$. Sei $(x,y) \in U_\delta(0,0)$ und $x\ne 0\ne y$. +\[\nabla:=f(x,y)-f(x,0)-(f(0,y)-f(0,0)),\quad\varphi(t):=f(t,y)-f(t,0)\] +für $t$ zwischen $0$ und $x$. $\varphi$ ist differenzierbar und +$\varphi'(t)=f_x(t,y)-f_x(t,0)$. $\varphi(x)-\varphi(0)=\nabla$. +MWS, Analysis I $\folgt\exists\xi=\xi(x,y)$ zwischen $0$ und $x$: +$\nabla=x\varphi'(\xi)=x(f_x(\xi,y)-f_x(\xi,0))$. $g(s):=f_x(\xi,s)$ +für s zwischen $0$ und $y$; $g$ ist differenzierbar und +$g'(s)=f_{xy}(\xi,s)$. Es ist $\nabla=x(g(y)-g(0))\gleichnach{MWS}xyg'(\eta),\ \eta=\eta(x,y)$ zwischen $0$ und $y$. $\folgt \nabla=xyf_{xy}(\xi,\eta).$ (1)\\ -$\psi(t):=f(x,t)-f(0,t)$, $t$ zwischen $0$ und $y$. -$\psi'(t)=f_y(x,t)-f_y(0,t)$. $\nabla=\psi(y)-\psi(0)$. -Analog: $\exists \bar\eta=\bar\eta(x,y)$ und $\bar\xi=\bar\xi(x,y)$, $\bar\eta$ +$\psi(t):=f(x,t)-f(0,t)$, $t$ zwischen $0$ und $y$. +$\psi'(t)=f_y(x,t)-f_y(0,t)$. $\nabla=\psi(y)-\psi(0)$. +Analog: $\exists \bar\eta=\bar\eta(x,y)$ und $\bar\xi=\bar\xi(x,y)$, $\bar\eta$ zwischen $0$ und $y$, $\bar\xi$ zwischen $0$ und $x$. $\nabla=xyf_{yx}(\bar\xi,\bar\eta).$ (2)\\ -Aus (1), (2) und $xy\ne0$ folgt $f_{xy}(\xi,\eta)=f_{yx}(\bar\xi,\bar\eta)$. +Aus (1), (2) und $xy\ne0$ folgt $f_{xy}(\xi,\eta)=f_{yx}(\bar\xi,\bar\eta)$. $(x,y)\to(0,0)\folgt\xi,\bar\xi,\eta,\bar\eta\to 0\folgtwegen{f\in C^2}f_{xy}(0,0)=f_{yx}(0,0)$ \end{beweis} @@ -564,8 +564,8 @@ Stets in dem Paragraphen: $\emptyset\ne D\subseteq\MdR^n$, $D$ offen und $f:D\to \begin{definition*} \begin{enumerate} \item Sei $k\in\MdN$. $f\in C^k(D,\MdR^m) :\equizu f_j\in C^k(D,\MdR)\ (j=1,\ldots,m)$ -\item Sei $x_0\in D$. $f$ heißt \textbf{partiell differenzierbar} in -$x_0 :\equizu$ jedes $f_j$ ist in $x_0$ partiell differenzierbar. +\item Sei $x_0\in D$. $f$ heißt \textbf{partiell differenzierbar} in +$x_0 :\equizu$ jedes $f_j$ ist in $x_0$ partiell differenzierbar. In diesem Fall heißt \[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0):=\frac{\partial(f_1,\ldots,f_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}:=J_f(x_0):= \begin{pmatrix} @@ -586,7 +586,7 @@ die \textbf{Jacobi-} oder \textbf{Funktionalmatrix} von $f$ in $x_0$. \begin{erinnerung} Sei $I\subseteq\MdR$ ein Intervall, $\varphi:I\to\MdR$ eine Funktion, $x_0\in I$. $\varphi$ ist in $x_0$ differenzierbar -\[ +\[ \overset{\text{ANA 1}}{\equizu}\exists a \in\MdR: \ds\lim_{h\to 0}\frac{\varphi(x_0+h)-\varphi(x_0)}{h}=a \equizu\exists a\in\MdR:\ds\lim_{h\to 0}\frac{\varphi(x_0+h)-\varphi(x_0)-ah}{h}=0 \equizu\exists a\in\MdR: \ds\lim_{h\to 0}\frac{\varphi(x_0+h)-\varphi(x_0)-ah}{|h|}=0 @@ -596,26 +596,26 @@ Sei $I\subseteq\MdR$ ein Intervall, $\varphi:I\to\MdR$ eine Funktion, $x_0\in I$ \begin{definition*} \begin{enumerate} \index{Differenzierbarkeit} - \item Sei $x_0\in D$. $f$ heißt \textbf{differenzierbar} (db) in + \item Sei $x_0\in D$. $f$ heißt \textbf{differenzierbar} (db) in $x_0 :\equizu \exists (m \times n)$-Matrix $A$, sodass gilt: \begin{align*} \ds\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-Ah}{\|h\|}=0\ \tag{$*$} \end{align*} - \item $f$ heißt differenzierbar auf $D\ :\equizu f$ ist in + \item $f$ heißt differenzierbar auf $D\ :\equizu f$ ist in jedem $x\in D$ differenzierbar. \end{enumerate} \end{definition*} \begin{bemerkungen} - \item $f$ ist differenzierbar in + \item $f$ ist differenzierbar in $x_0\equizu\exists (m \times n)$-Matrix $A$: \[ \ds\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{\|x-x_0\|}=0 \] - \item Ist $m=1$, so gilt: $f$ ist differenzierbar in $x_0$ + \item Ist $m=1$, so gilt: $f$ ist differenzierbar in $x_0$ \begin{align*} \equizu \exists a \in\MdR^n: \ds\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-ah}{\|h\|}=0\ \tag{$**$} \end{align*} - \item Aus 2.1 folgt: $f$ ist differenzierbar in $x_0\equizu$ jedes + \item Aus 2.1 folgt: $f$ ist differenzierbar in $x_0\equizu$ jedes $f_j$ ist differenzierbar in $x_0$. \end{bemerkungen} @@ -623,7 +623,7 @@ Sei $I\subseteq\MdR$ ein Intervall, $\varphi:I\to\MdR$ eine Funktion, $x_0\in I$ $f$ sei in $x_0\in D$ differenzierbar \begin{enumerate} \item $f$ ist in $x_0$ stetig -\item $f$ ist in $x_0$ partiell differenzierbar und die Matrix A in +\item $f$ ist in $x_0$ partiell differenzierbar und die Matrix A in $(*)$ ist eindeutig bestimmt: \\ $A=J_f(x_0)$. $f'(x_0):=A=J_f(x_0)$ (\begriff{Ableitung} von $f$ in $x_0$). \item Ist $m=1$, so ist $f'(x_0) = a$ (aus $(**)$), also $f'(x_0) = \grad(f(x_0))$ @@ -631,15 +631,15 @@ $f$ sei in $x_0\in D$ differenzierbar \end{satz} \begin{beweis} -Sei A wie in $(*)$, $A=(a_{jk})$, $\varrho(h):=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-Ah}{\|h\|}$, -also: $\varrho(h)\to0\ (h\to 0)$. Sei $\varrho=(\varrho_1,\ldots,\varrho_m)$. +Sei A wie in $(*)$, $A=(a_{jk})$, $\varrho(h):=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-Ah}{\|h\|}$, +also: $\varrho(h)\to0\ (h\to 0)$. Sei $\varrho=(\varrho_1,\ldots,\varrho_m)$. 2.1 $\folgt \varrho_j(h)\to 0\ (h\to 0)\ (j=1,\ldots,m)$ \begin{enumerate} \item $f(x_0+h)=f(x_0)+\underbrace{Ah}_{\overset{\text{3.5}}{\to}0}+\underbrace{\|h\|\varrho(h)}_{\to 0\ (h\to 0)}\to f(x_0)\ (h\to 0)$ -\item Sei $j\in\{1,\ldots,m\}$ und $k\in\{1,\ldots,n\}$. - Zu zeigen: $f_j$ ist partiell differenzierbar und - $\frac{\partial f_j}{\partial x_k}(x_0)=a_{jk}$. - $\varrho_j(h)=\frac{1}{\|h\|}(f_j(x_0+h)-f_j(x_0)-(a_{j1},\ldots,a_{jn})\cdot h)\to 0\ (h \to 0)$. +\item Sei $j\in\{1,\ldots,m\}$ und $k\in\{1,\ldots,n\}$. + Zu zeigen: $f_j$ ist partiell differenzierbar und + $\frac{\partial f_j}{\partial x_k}(x_0)=a_{jk}$. + $\varrho_j(h)=\frac{1}{\|h\|}(f_j(x_0+h)-f_j(x_0)-(a_{j1},\ldots,a_{jn})\cdot h)\to 0\ (h \to 0)$. Für $t\in\MdR$ sei $h=te_k\folgt\varrho(h)=\frac{1}{|t|}(f(x_0+te_k)-a_{jk}t)\to 0\ (t\to 0)\folgt\left|\frac{f(x_0+te_k)-f(x_0)}{t}-a_{jk}\right|\to 0\ (t\to 0)\folgt f_j$ ist in $x_0$ partiell differenzierbar und $\frac{\partial f_j}{\partial x_k}(x_0)=a_{jk}$. \end{enumerate} \end{beweis} @@ -649,8 +649,8 @@ also: $\varrho(h)\to0\ (h\to 0)$. Sei $\varrho=(\varrho_1,\ldots,\varrho_m)$. \frac{xy}{x^2+y^2}&\text{, falls } (x,y)\ne(0,0)\\ 0&\text{, falls } (x,y)=(0,0) \end{cases}$$ -Bekannt: $f$ ist in $(0,0)$ \textbf{nicht} stetig, aber partiell -differenzierbar und $\grad f(0,0)=(0,0)$ 5.1 $\folgt f$ ist in +Bekannt: $f$ ist in $(0,0)$ \textbf{nicht} stetig, aber partiell +differenzierbar und $\grad f(0,0)=(0,0)$ 5.1 $\folgt f$ ist in $(0,0)$ \textbf{nicht} differenzierbar. \item \[ f(x,y)= @@ -660,11 +660,11 @@ $(0,0)$ \textbf{nicht} differenzierbar. \end{cases} \] Für $(x,y)\ne(0,0): \left|f(x,y)\right|=(x^2+y^2)\left|\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| -\le x^2+y^2\overset{(x,y)\to(0,0)}{\to}0 \folgt f$ ist in $(0,0)$ stetig. -$\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\frac{1}{t}t^2\sin\frac{1}{|t|}=t\sin\frac{1}{|t|}\to 0\ (t\to 0)\folgt f$ -ist in $(0,0)$ partiell differenzierbar nach $x$ und $f_x(0,0)=0$. -Analog: $f$ ist in $(0,0)$ partiell differenzierbar nach $y$ und -$f_y(0,0)=0$. $\varrho(h)=\frac{1}{\|h\|}f(h)\gleichwegen{h=(h_1,h_2)}\frac{1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}(h_1^2+h_2^2)\sin\frac{1}{h_1^2+h_2^2}=\sqrt{h_1^2+h_2^2}\underbrace{\sin\frac{1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}}_{\text{beschränkt}}\to 0\ (h\to 0)\folgt f$ +\le x^2+y^2\overset{(x,y)\to(0,0)}{\to}0 \folgt f$ ist in $(0,0)$ stetig. +$\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\frac{1}{t}t^2\sin\frac{1}{|t|}=t\sin\frac{1}{|t|}\to 0\ (t\to 0)\folgt f$ +ist in $(0,0)$ partiell differenzierbar nach $x$ und $f_x(0,0)=0$. +Analog: $f$ ist in $(0,0)$ partiell differenzierbar nach $y$ und +$f_y(0,0)=0$. $\varrho(h)=\frac{1}{\|h\|}f(h)\gleichwegen{h=(h_1,h_2)}\frac{1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}(h_1^2+h_2^2)\sin\frac{1}{h_1^2+h_2^2}=\sqrt{h_1^2+h_2^2}\underbrace{\sin\frac{1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}}_{\text{beschränkt}}\to 0\ (h\to 0)\folgt f$ ist differenzierbar in $(0,0)$ und $f'(0,0)=\grad f(0,0)=(0,0)$ \item $$f(x,y) := \begin{cases} @@ -683,9 +683,9 @@ Für $h_2 = h_1 > 0: \rho(h) = \frac{-h_1^3}{(\sqrt{2})^3 h_1^3} = - \frac{1}{(\ \end{beispiele} \begin{satz}[Stetigkeit aller partiellen Ableitungen] -Sei $x_0 \in D$ und \emph{alle} partiellen Ableitungen -$\frac{\partial f_j}{\partial x_k}$ seien auf $D$ vorhanden und in -$x_0$ stetig $(j=1,\ldots,m,\ k=1,\ldots,n)$. Dann ist $f$ in $x_0$ +Sei $x_0 \in D$ und \emph{alle} partiellen Ableitungen +$\frac{\partial f_j}{\partial x_k}$ seien auf $D$ vorhanden und in +$x_0$ stetig $(j=1,\ldots,m,\ k=1,\ldots,n)$. Dann ist $f$ in $x_0$ db. \end{satz} @@ -716,7 +716,7 @@ Ist $f \in C^1(D,\MdR^m) \folgt f$ ist auf $D$ db. \end{folgerung} \begin{definition*} -Sei $k \in \MdN$ und $f \in C^k(D,\MdR^m)$. +Sei $k \in \MdN$ und $f \in C^k(D,\MdR^m)$. Dann heißt $f$ \textbf{auf $D$ $k$-mal stetig db}. \end{definition*} @@ -742,10 +742,10 @@ Also: $f$ ist auf $\MdR^n$ db und $f'(x) = A\ \forall x \in \MdR^n$. Insbesonder (x^2+y^2) \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} & \text{, falls} (x,y) \ne (0,0)\\ 0 & \text{, falls} (x,y) = (0,0)\end{cases}$$ -Bekannt: $f$ ist in $(0,0)$ db. Übungsblatt: $f_x,f_y$ sind in +Bekannt: $f$ ist in $(0,0)$ db. Übungsblatt: $f_x,f_y$ sind in $(0,0)$ \emph{nicht} stetig. -\item Sei $I \subseteq \MdR$ ein Intervall und +\item Sei $I \subseteq \MdR$ ein Intervall und $g = (g_1,\ldots,g_m): I \to \MdR^m;\ g_1,\ldots,g_m: I \to \MdR.$ $g$ ist in $t_0 \in I$ db $\equizu g_1,\ldots,g_m$ sind in $t_0 \in I$ db. In diesem Fall gilt: $g'(t_0) = (g_1'(t_0),\ldots,g_m'(t_0)).$ @@ -780,8 +780,8 @@ $0 \le D(x) = \ds{\frac{\|f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)+A(x-x_0)\|}{\|x-x_0\|}}$\\ $\ds{= \underbrace{\frac{\|f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)\|}{\|x-x_0\|}}_{\to 0\ (x \to x_0)} + \underbrace{\frac{\|A(x-x_0)\|}{\|x-x_0\|}}_{\le \|A\|}}.$ \end{beweis} -\paragraph{Wichtigster Fall} -$g = g(x_1,\ldots,x_m)$ reellwertig, +\paragraph{Wichtigster Fall} +$g = g(x_1,\ldots,x_m)$ reellwertig, \begin{align*} h(x) &= h(x_1,\ldots,x_n) \\ &= g(f_1(x_1,\ldots,x_n),f_2(x_1,\ldots,x_n),\ldots,f_m(x_1,\ldots,x_n)) \\ @@ -991,7 +991,7 @@ Induktiv: $\Phi^{(j)}(t)=(h\cdot\nabla)^{(j)}f(x_0+th)\ (j=0,\ldots,k+1, t\in[0, \end{beweis} \begin{spezialfall} -Sei $f\in C^2(D,\MdR),x_0\in D, h\in \MdR^n, S[x_0,x_0+h]\subseteq D$. Dann: +Sei $f\in C^2(D,\MdR),x_0\in D, h\in \MdR^n, S[x_0,x_0+h]\subseteq D$. Dann: $$f(x_0+h)=f(x_0)+\grad f(x_0)\cdot h+\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^nh_jh_k\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_k}(x_0+\eta h)$$ \end{spezialfall} @@ -999,7 +999,7 @@ $$f(x_0+h)=f(x_0)+\grad f(x_0)\cdot h+\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^nh_jh_k\frac{\part \def\grad{\mathop{\rm grad}\nolimits} \begin{vereinbarung} -In diesem Paragraphen sei $A$ stets eine reelle und symmetrische $(n\times n)$-Matrix, $(A=A^\top)$. Also: $A=(a_{jk})$, dann $a_{jk}=a_{kj}\ (k,j=1,\ldots,n)$ +In diesem Paragraphen sei $A$ stets eine reelle und symmetrische $(n\times n)$-Matrix, $(A=A^\top)$. Also: $A=(a_{jk})$, dann $a_{jk}=a_{kj}\ (k,j=1,\ldots,n)$ \end{vereinbarung} \begin{definition*} @@ -1137,7 +1137,7 @@ Es ist $f(x,y)=(x-y)^2-5\ge -5\ \forall\ (x,y)\in\MdR^2$ und $f(x,x)=-5\ \forall \item $D=\MdR^2, f(x,y)=x^3-12xy+8y^3$.\\ $f_x=3x^2-12y=3(x^2-4y),\ f_y=-12x+24y^2=12(-x+2y^2)$. $\grad f(x,y)=(0,0)\equizu x^2=4y, x=2y^2\folgt 4y^4=4y\folgt y=0$ oder $y=1\folgt (x,y)=(0,0)$ oder $(x,y)=(2,1)$\\ $$f_{xx}=6x,\ f_{xy}=-12=f_{yx},\ f_{yy}=48y.\ H_f(0,0)=\begin{pmatrix}0&-12&\\-12&0\end{pmatrix}$$ -$\det H_f(0,0)=-144<0\folgt H_f(0,0)$ ist indefinit $\folgt f$ hat in $(0,0)$ kein lokales Extremum. +$\det H_f(0,0)=-144<0\folgt H_f(0,0)$ ist indefinit $\folgt f$ hat in $(0,0)$ kein lokales Extremum. $$H_f(2,1)=\begin{pmatrix}12&-12\\-12&48\end{pmatrix}$$ $12>0, \det H_f(2,1)>0\folgt H_f(2,1)$ ist positiv definit $\folgt f$ hat in $(2,1)$ ein lokales Minimum. \item $K:=\{(x,y)\in\MdR^2: x,y\ge 0, y\le -x+3\}, f(x,y)=3xy-x^2y-xy^2$. Bestimme $\max f(K), \min f(K)$. $f(x,y)=xy(3-x-y).\ K=\partial K \cup K^\circ$. $K$ ist beschränkt und abgeschlossen $\folgtnach{3.3}\exists\ (x_1,y_1), (x_2,y_2)\in K: \max f(K)=f(x_1, y_1), \min f(K)=f(x_2,y_2)$. $f\ge 0$ auf $K$, $f=0$ auf $\partial K$, also $\min f(K)=0$. $f$ ist nicht konstant $\folgt f(x_2,y_2)>0\folgt (x_2,y_2)\in K^\circ\folgtnach{8.1}\grad f(x_1,x_2)=0$. Nachrechnen: $(x_2,y_2)=(1,1); f(1,1)=1=\max f(K)$. @@ -1182,15 +1182,15 @@ $\folgt \grad g_j(y)\cdot f'(x)=e_j\folgt f'(x)^\top\cdot \grad g_j(y)^\top=e_j^ \end{beweis} \begin{satz}[Der Umkehrsatz] - Sei $\emptyset \ne D \subseteq \MdR ^n$, $D$ sei offen, + Sei $\emptyset \ne D \subseteq \MdR ^n$, $D$ sei offen, $f\in C^1(D, \MdR^n)$, $x_0\in D$ und $\det f'(x_0) \ne 0$.\\ Dann existiert eine offene Umgebung $U$ von $x_0$ und eine offene Umgebung $V$ von $f(x_0)$ mit: \begin{enumerate}[(a)] - \item $f$ ist auf $U$ injektiv, $f(U)=V$ und + \item $f$ ist auf $U$ injektiv, $f(U)=V$ und $\det f'(x) \ne 0 \ \forall x\in U$ - \item Für $f^{-1}: V\to U$ gilt: $f^{-1}$ ist stetig - differenzierbar auf $V$ und + \item Für $f^{-1}: V\to U$ gilt: $f^{-1}$ ist stetig + differenzierbar auf $V$ und \[ (f^{-1})'(f(x)) = (f'(x))^{-1}\ \forall x\in U \] \end{enumerate} \end{satz} @@ -1202,7 +1202,7 @@ $D$ und $f$ seien wie in 9.3 und es gelte: $\det f'(x) \ne 0 \ \forall x\in D$. \begin{beweis} O.B.d.A: $x_0 = 0$, $f(x_0) = f(0) = 0$ und $f'(0) = I$ (=$(n\times n)$-Einheitsmatrix) -Die Abbildungen $x \mapsto \det f'(x)$ und $x\mapsto \|f'(x) - I\|$ sind auf D stetig, $\det f'(0) \ne 0$, $\| f'(0)- I \| = 0$. Dann existiert ein $\delta > 0$: $K := U_\delta(0) \subseteq D$, $\overline{K} = \overline{U_\delta(0)} \subseteq D$ und +Die Abbildungen $x \mapsto \det f'(x)$ und $x\mapsto \|f'(x) - I\|$ sind auf D stetig, $\det f'(0) \ne 0$, $\| f'(0)- I \| = 0$. Dann existiert ein $\delta > 0$: $K := U_\delta(0) \subseteq D$, $\overline{K} = \overline{U_\delta(0)} \subseteq D$ und \begin{enumerate} \item $\det f'(x) \ne 0 \ \forall x\in\overline{K}$ und \item $\|f'(x) - I \| \le \frac{1}{2n} \ \forall x\in\overline{K}$ @@ -1284,15 +1284,15 @@ $$ f'= \text{; also } f'(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)$$ \begin{satz}[Satz über implizit definierte Funktionen] -Sei $f:D \rightarrow \MdR^p,\ f \in C^1(D, \MdR^p),\ (x_0, y_0) \in D,\ f(x_0, y_0)=0$ und -$\det\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)\ne 0$. \\ +Sei $f:D \rightarrow \MdR^p,\ f \in C^1(D, \MdR^p),\ (x_0, y_0) \in D,\ f(x_0, y_0)=0$ und +$\det\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)\ne 0$. \\ Dann existiert eine offene Umgebung $U\subseteq \MdR^n$ von $x_0$ und genau eine Funktion $g:U\to D \subseteq \MdR^p$ mit: \begin{enumerate} \item $(x, g(x))\in D\ \forall x\in U$ \item $g(x_0)=y_0$ - \item $f(x,g(x))=0\ \forall x\in U$, mit $V = g(U)$ gilt: - $V$ ist offen und für $(a, b) \in U \times V$ mit + \item $f(x,g(x))=0\ \forall x\in U$, mit $V = g(U)$ gilt: + $V$ ist offen und für $(a, b) \in U \times V$ mit $f(a,b) = 0$ gilt: $b = g(a)$ \item $g \in C^1(U,\MdR^p)$ \item $\det\frac{\partial f}{\partial y}(x, g(x))\ne0\ \forall x\in U$ @@ -1308,7 +1308,7 @@ F'(x,y)=\left(\begin{array}{c|c} 1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & 1 \\ -\end{array} & +\end{array} & \begin{array}{ccc} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots \\ @@ -1351,9 +1351,9 @@ Differentiation nach $y$: $0=1+g_y(x,y)+\frac{1}{x+g(x,y)}g_y(x,y)\ \forall (x,y \begin{definition} \indexlabel{Einschränkung einer Funktion} -Seien $M,N$ Mengen $\ne \emptyset,\ f:M\to N$ eine Funktion und -$\emptyset \ne T \subseteq M$. Die Funktion -$f_{|_T}: T \to N,\ f_{|_T}(x) := f(x)\ \forall x \in T$ heißt die +Seien $M,N$ Mengen $\ne \emptyset,\ f:M\to N$ eine Funktion und +$\emptyset \ne T \subseteq M$. Die Funktion +$f_{|_T}: T \to N,\ f_{|_T}(x) := f(x)\ \forall x \in T$ heißt die \textbf{Einschränkung} von $f$ auf $T$. \end{definition} @@ -1361,15 +1361,15 @@ In diesem Paragraphen gelte stets: $\emptyset \ne D \subseteq \MdR^n,\ D$ offen, \begin{definition} \indexlabel{lokal!Extremum unter einer Nebenbedingung} - $f$ hat in $x_0\in D$ ein \textbf{lokales Extremum unter der Nebenbedingung + $f$ hat in $x_0\in D$ ein \textbf{lokales Extremum unter der Nebenbedingung $\varphi = 0$} $:\equizu x_0 \in T$ und $f_{|_T}$ hat in $x_0$ ein lokales Extremum. \end{definition} -Wir führen folgende Hilfsfunktion ein: Für $x=(x_1,\ldots,x_n) \in D$ und -$\lambda = (\lambda_1,\ldots,\lambda_p) \in \MdR^p$ gilt: +Wir führen folgende Hilfsfunktion ein: Für $x=(x_1,\ldots,x_n) \in D$ und +$\lambda = (\lambda_1,\ldots,\lambda_p) \in \MdR^p$ gilt: \[ H(x,\lambda) := f(x) + \lambda\cdot\varphi(x) = f(x) + \lambda_1\varphi_1(x) + \cdots + \lambda_p\varphi_p(x)\] -Es ist +Es ist \[ H_{x_j} = f_{x_j} + \lambda_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial x_j} + \cdots +\lambda_p\frac{\partial\varphi_p}{\partial x_j}\ (j=1,\ldots,n),\ H_{\lambda_j} = \varphi_j ~~~ (j = 1, \dots, p)\] Für $x_0 \in D$ und $\lambda_0 \in \MdR^p$ gilt: @@ -1379,8 +1379,8 @@ $\varphi(x_0) = 0 \equizu f'(x_0) + \lambda_0\varphi'(x_0) = 0$ und $x_0 \in T$ \begin{satz}[Multiplikationenregel von Lagrange] \indexlabel{Multiplikator} - $f$ habe in $x_0\in D$ eine lokales Extremum unter der Nebenbedingung - $\varphi=0$ und es sei Rang $\varphi'(x_0) = p$. Dann existiert ein + $f$ habe in $x_0\in D$ eine lokales Extremum unter der Nebenbedingung + $\varphi=0$ und es sei Rang $\varphi'(x_0) = p$. Dann existiert ein $\lambda_0 \in \MdR^p$ mit: $H'(x_0,\lambda_0) = 0$ ($\lambda_0$ heißt \textbf{Multiplikator}). \end{satz} @@ -1401,14 +1401,14 @@ $\varphi(x_0) = 0 \equizu f'(x_0) + \lambda_0\varphi'(x_0) = 0$ und $x_0 \in T$ \end{beispiel} \begin{folgerung} -$T$ sei kompakt \folgtwegen{3.3} $\exists a,b \in T: f(a) = \max f(T),\ f(b) = \min f(T).$ +$T$ sei kompakt \folgtwegen{3.3} $\exists a,b \in T: f(a) = \max f(T),\ f(b) = \min f(T).$ Ist Rang $\varphi'(\underset{b}{a}) = p \folgt \exists \lambda_0 \in \MdR^p: H'(\underset{b}{a},\lambda_0) = 0$. \end{folgerung} \begin{beweis} Es ist $x_0 \in T$ und -$$\varphi'(x_0) = +$$\varphi'(x_0) = \underbrace{ \left( \begin{array}{ccc|} @@ -1510,7 +1510,7 @@ $\varphi(x) := \|x\|^2-1 = x\cdot x-1;\ \varphi'(x) = 2x,\ f'(x) = 2Ax$. $\folgt 0 = 2(Ax_0+\lambda_0 x_0) \folgt Ax_0 = (-\lambda_0) x_0,\ x_0 \ne 0 \folgt -\lambda_0$ ist ein EW von $A$. \end{beweis} \chapter{Wege im $\MdR^n$} - + \indexlabel{Weg-} \indexlabel{Bogen} \indexlabel{Anfangspunkt} @@ -1563,7 +1563,7 @@ $|\eta_j(t_k)-\eta_j(t_{k-1})| \stackrel{\text{1.7}}{\le} \|\gamma(t_k) - \gamma Definiere $\gamma:[a_0,a_l]\to\MdR^n$ durch $\gamma(t):=\gamma_k(t)$, falls $t\in[a_{k-1},a_k]$. $\gamma$ ist ein Weg im $\MdR^n$, $\Gamma_\gamma = \Gamma_{\gamma_1} \cup \Gamma_{\gamma_2} \cup \cdots \cup \Gamma_{\gamma_l}$. $\gamma$ heißt die Summe der Wege $\gamma_1,\ldots,\gamma_l$ und wird mit. $\gamma = \gamma_1 \oplus \gamma_2 \oplus \cdots \oplus \gamma_l$ bezeichnet. \indexlabel{Summe von Wegen} \begin{bemerkung} -Ist $\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ ein Weg und $Z=\{t_0,\ldots,t_m\}\in\Z$ und $\gamma_k:=\gamma_{|_{[t_{k-1},t_k]}}$ $(k=1,\ldots,m)$ $\folgt$ $\gamma = \gamma_1 \oplus \cdots \oplus \gamma_m$. Aus Analysis I, 25.1(7) und 12.1 folgt: +Ist $\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ ein Weg und $Z=\{t_0,\ldots,t_m\}\in\Z$ und $\gamma_k:=\gamma_{|_{[t_{k-1},t_k]}}$ $(k=1,\ldots,m)$ $\folgt$ $\gamma = \gamma_1 \oplus \cdots \oplus \gamma_m$. Aus Analysis I, 25.1(7) und 12.1 folgt: \end{bemerkung} \begin{satz}[Summe von Wegen] @@ -1577,7 +1577,7 @@ $$s(t):= \begin{cases}L(\gamma_{|_{[a,t]}}),&\text{falls }t\in(a,b] \\0, &\text{ \end{definition} \begin{satz}[Eigenschaften der Weglängenfunktion] -Sei $\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ ein rektifizierbarer Weg. Dann: +Sei $\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ ein rektifizierbarer Weg. Dann: \begin{enumerate} \item $s\in C[a,b]$ \item $s$ ist wachsend. @@ -1619,7 +1619,7 @@ $\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ sei ein stetig differenzierbarer Weg. Dann: \begin{beweise} \item $\gamma=(\eta_1,\ldots,\eta_n)$, $\eta_j\in C^1[a,b]\folgtnach{A1,25.1}\eta_j\in \text{BV}[a,b]\folgtnach{12.1}\gamma$ ist rektifizierbar. -\item Sei $t_0\in[a,b)$. Wir zeigen: +\item Sei $t_0\in[a,b)$. Wir zeigen: $$\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}\to\|\gamma'(t_0)\|\ (t\to t_0+0)\text{. (analog zeigt man :}\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}\to\|\gamma'(t_0)\|\ (t\to t_0-0)\text{).}$$ Sei $t\in (t_0, b];\ \gamma_1:=\gamma_{|_{[a,t_0]}}, \gamma_2:=\gamma_{|_{[t_0,t]}}, \gamma_3:=\gamma_{|_{[a,t]}}$. Dann: $\gamma_3=\gamma_1 \oplus \gamma_2$ und $\underbrace{L(\gamma_3)}_{=s(t)}=\underbrace{L(\gamma_1)}_{=s(t_0)}+L(\gamma_2)\folgt s(t)-s(t_0)=L(\gamma_2)\ (I).$\\ $\tilde{Z}:=\{t_0, t\}$ ist eine Zerlegung von $[t_0,t]\folgt \|\gamma(t)-\gamma(t_0)\|=L(\gamma_2,\tilde{Z})\le L(\gamma_2)$\\ @@ -1720,7 +1720,7 @@ $\tilde{\gamma}(\sigma) = \gamma(s^{-1}(\sigma)) = \gamma(\log (1+\sigma)) = \fr \end{beispiel} \chapter{Wegintegrale} - + In diesem Paragraphen seien alle vorkommenden Wege stets stückweise stetig differenzierbar. \begin{definition} @@ -1734,7 +1734,7 @@ $g:\Gamma\to\mdr$ stetig und $f=(f_1,\ldots,f_n):\Gamma\to\mdr^n$ stetig. \end{align*} Es ist $\int_\gamma f(x)\cdot\text{d}x=\int_a^b f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\text{ d}t$ und heißt das \textbf{Wegintegral von $f$ längs $\gamma$}. -\end{enumerate} +\end{enumerate} \end{definition} \begin{beispiel} @@ -1830,7 +1830,7 @@ Eine Funktion $\varphi:G\to\MdR$ heißt eine \textbf{Stammfunktion (SF) von $f$ \end{definition} \begin{bemerkung} -\ +\ \vspace{-1.5em} \begin{enumerate} \item Ist $\varphi$ eine Stammfunktion von $f$ auf $G$ $\folgt$ $\grad\varphi = f \folgt \varphi \in C^1(G,\MdR) \folgtnach{5.3} \varphi$ ist auf $G$ differenzierbar und $\varphi' = f$ auf $G$. @@ -1869,7 +1869,7 @@ Es seien $x_0,y_0\in G$. Dann existiert ein stückweise stetig differenzierbarer \begin{beweis} $G$ Gebiet $\folgt \exists z_0,z_1,\ldots,z_m \in G: S[z_0,\ldots,z_m]\subseteq G, z_0=x_0, z_m = y_0$. -$\gamma_j(t) := z_{j-1} + t(z_j - z_{j-1})$, $(t\in[0,1])$, ($j=1,\ldots,n$). Dann:$\Gamma_{\gamma_j} = S[z_{j-1},z_{j}] \folgt \Gamma_{\gamma_1}\cup\ldots\cup\Gamma_{\gamma_m} = S[z_0,\ldots,z_m] \subseteq G$. 13.4 $\folgt \exists \gamma \in \text{AH}(\gamma_1,\ldots,\gamma_m)$ stückweise stetig differenzierbar $\folgt \Gamma_{\gamma} = S[z_0,\ldots,z_m] \subseteq G$. +$\gamma_j(t) := z_{j-1} + t(z_j - z_{j-1})$, $(t\in[0,1])$, ($j=1,\ldots,n$). Dann:$\Gamma_{\gamma_j} = S[z_{j-1},z_{j}] \folgt \Gamma_{\gamma_1}\cup\ldots\cup\Gamma_{\gamma_m} = S[z_0,\ldots,z_m] \subseteq G$. 13.4 $\folgt \exists \gamma \in \text{AH}(\gamma_1,\ldots,\gamma_m)$ stückweise stetig differenzierbar $\folgt \Gamma_{\gamma} = S[z_0,\ldots,z_m] \subseteq G$. \end{beweis} \begin{definition*} @@ -1881,7 +1881,7 @@ $\int f(x)\cdot \text{d}x$ heißt \textbf{in G wegunabhängig} (wu) $:\equizu$ f \begin{satz}[Wegunabhängigkeit, Existenz von Stammfunktionen] $f$ besitzt auf $G$ eine Stammfunktion $\equizu\int f(x)\cdot\text{d}x$ ist in G wegunabhängig. \\ -In diesem Fall: ist $x_0\in G$ und $\varphi:G\to\MdR$ definiert durch: +In diesem Fall: ist $x_0\in G$ und $\varphi:G\to\MdR$ definiert durch: \begin{align*} \varphi(z)=\ds\int_{x_0}^z f(x)\cdot\text{d}x\ (z\in G)\ \tag{$*$} \end{align*} @@ -1889,7 +1889,7 @@ Dann ist $\varphi$ eine Stammfunktion von $f$ auf $G$. \end{satz} \begin{beweis} -"`$\folgt$"': 14.1\quad "`$\impliedby$"': Sei $x_0\in G$ und $\varphi$ wie in $(*)$. Zu zeigen: $\varphi$ ist auf $G$ differenzierbar und $\varphi'=f$ auf G. Sei $z_0\in G, h\in\MdR^n,h\ne 0$ und $\|h\|$ so klein, dass $z_0+th\in G\ \forall t\in[0,1].\ \gamma(t):=z_0+th\ (t\in[0,1]), \Gamma_\gamma=s[z_0, z_0+h]\subseteq G$. $\rho(h):=\frac{1}{\|h\|}(\varphi(z_0+h)-\varphi(z_0)-f(z_0)\cdot h)$. Zu zeigen: $\rho(h)\to 0\ (h\to 0)$. 14.2 $\folgt$ es existieren stückweise stetig differenzierbare Wege $\gamma_1, \gamma_2$ mit: $\Gamma_{\gamma_1},\Gamma_{\gamma_2}\subseteq G$. Anfangspunkt von $\gamma_1=x_0=$Anfangspunkt von $\gamma_2$. Endpunkt von $\gamma_1=z_0$, Endpunkt von $\gamma_2=z_0+h$. Sei $\gamma_3\in \text{AH}(\gamma_1,\gamma)$ stückweise stetig differenzierbar (13.4!). Dann: +"`$\folgt$"': 14.1\quad "`$\impliedby$"': Sei $x_0\in G$ und $\varphi$ wie in $(*)$. Zu zeigen: $\varphi$ ist auf $G$ differenzierbar und $\varphi'=f$ auf G. Sei $z_0\in G, h\in\MdR^n,h\ne 0$ und $\|h\|$ so klein, dass $z_0+th\in G\ \forall t\in[0,1].\ \gamma(t):=z_0+th\ (t\in[0,1]), \Gamma_\gamma=s[z_0, z_0+h]\subseteq G$. $\rho(h):=\frac{1}{\|h\|}(\varphi(z_0+h)-\varphi(z_0)-f(z_0)\cdot h)$. Zu zeigen: $\rho(h)\to 0\ (h\to 0)$. 14.2 $\folgt$ es existieren stückweise stetig differenzierbare Wege $\gamma_1, \gamma_2$ mit: $\Gamma_{\gamma_1},\Gamma_{\gamma_2}\subseteq G$. Anfangspunkt von $\gamma_1=x_0=$Anfangspunkt von $\gamma_2$. Endpunkt von $\gamma_1=z_0$, Endpunkt von $\gamma_2=z_0+h$. Sei $\gamma_3\in \text{AH}(\gamma_1,\gamma)$ stückweise stetig differenzierbar (13.4!). Dann: $$\underbrace{\ds\int_{\gamma_3}f(x)\cdot\text{d}x}_{=\varphi(z_0+h)}=\underbrace{\ds\int_{\gamma_1}f(x)\cdot\text{d}x}_{=\varphi(z_0)}+\ds\int_{\gamma}f(x)\cdot\text{d}x$$ $\ds\int f(x)\cdot\text{d}x$ ist wegunabhängig in $G\folgt$\\ $$\ds\int_{\gamma_3}f(x)\cdot\text{d}x=\ds\int_{\gamma_2}f(x)\cdot\text{d}x=\varphi(z_0+h)\folgt\varphi(z_0+h)-\varphi(z_0)=\ds\int_{\gamma}f(x)\cdot\text{d}x$$ @@ -1930,7 +1930,7 @@ Sei $G$ sternförmig und $f\in C^1(G,\MdR^n)$. Dann: $f$ besitzt auf $G$ eine St \end{satz} \begin{beweis} -"`$\folgt$"': 14.1\quad "`$\impliedby$"': $G$ sternförmig $\folgt\exists x_0\in G:S[x_0,x]\subseteq G\ \forall x\in G$. OBdA: $x_0=0$. +"`$\folgt$"': 14.1\quad "`$\impliedby$"': $G$ sternförmig $\folgt\exists x_0\in G:S[x_0,x]\subseteq G\ \forall x\in G$. OBdA: $x_0=0$. Für $x=(x_1,\ldots,x_n)\in G$ sei $\gamma_x(t)=tx, t\in [0,1]$. \begin{eqnarray*} @@ -1961,7 +1961,7 @@ In Analysis III werden wir für gewisse Mengen $A\subseteq\MdR^n$ und gewisse Fu $f:A\to\MdR$ folgendes Integral definieren: \[\int_A f(x)\text{d}x=\int_A f(x_1,\ldots,x_n)\text{ d}(x_1,\ldots,x_n)\] In diesem Paragraphen geben wir "`Kochrezepte"' an, wie man solche Integrale -für spezielle Mengen $A \subseteq \MdR^2$ (bzw. $A \subseteq \MdR^3$) +für spezielle Mengen $A \subseteq \MdR^2$ (bzw. $A \subseteq \MdR^3$) und stetige Funktionen $f:A \to \MdR$ berechnen kann. \renewcommand{\theenumi}{\Roman{enumi}} @@ -2025,7 +2025,7 @@ Dann gilt für $h_1(x)=x$ und $h_2(x)=\sqrt x$: &= \int_0^1 \frac12x^2 -\frac12x^3\text{ d}x\\ &= \frac12\left[\frac13 x^3-\frac14 x^4\right]_0^1 = \frac1{24} \end{align*} -Da $A=\Set{(x,y)\in\MdR^2 | y\in[0,1],y^2\le x\le y}$ außerdem Normalbereich bzgl. der +Da $A=\Set{(x,y)\in\MdR^2 | y\in[0,1],y^2\le x\le y}$ außerdem Normalbereich bzgl. der $y$-Achse ist, gilt: \begin{align*} \int_A f(x,y)\text{ d}y &= \int_0^1\left(\int_{y^2}^y xy \text{ d}x\right)\text{ d}y\\ @@ -2185,7 +2185,7 @@ Seien $z,w\in\MdC, z=x+iy$ mit $x,y\in\MdR$. Es gilt: \item $e^{iy}=\cos y+i\sin y$, insbesondere ist: $|e^{iy}|=1$ \item $e^z=e^x e^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$ \item $ \cos (z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \sin (z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$\\ -Insbesondere ist für alle $t\in\MdR: \cos(it)=\frac{e^{-t}+e^t}{2} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} \infty, +Insbesondere ist für alle $t\in\MdR: \cos(it)=\frac{e^{-t}+e^t}{2} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} \infty, \sin(it)=\frac{e^{-t}-e^t}{2i} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} - \infty$\\ Also sind Cosinus und Sinus auf $\MdC$ \textbf{nicht} beschränkt. \item $\forall k\in\MdZ:e^{z+2\pi i k}=e^z$ @@ -2374,7 +2374,7 @@ und $(x_n)$ ist eine CF. \item Genau dann wenn $A$ abgeschlossen ist, gilt für jede konvergente Folge $(x_n)$ in $A$: \[\lim_{n\to\infty}x_n\in A\] \item Sei $(X,\|\cdot\|_\infty)$ wie in obigem Beispiel (3). Dann gilt für -$(f_n)$ in $X$ und $f\in X$, dass $(f_n)$ genau dann auf $K$ \textbf{gleichmäßig} gegen $f$ +$(f_n)$ in $X$ und $f\in X$, dass $(f_n)$ genau dann auf $K$ \textbf{gleichmäßig} gegen $f$ \textbf{konvergiert}, wenn gilt: \begin{align*} &\|f_n-f\|_\infty \stackrel{n\to\infty}{\to}0\\ @@ -2493,7 +2493,7 @@ In diesem Fall ist $y^{(j)}=(y_1^{(j)},\ldots,y_p^{(j)})\ (j=1,\ldots,k)$. \begin{definition} \index{gewöhnliche Differentialgleichung}\index{Differentialgleichung!gewöhnliche} \index{Differentialgleichung!Lösung}\index{Lösung!einer Differentialgleichung} -Seien $n,p\in\MdN$, sei weiter +Seien $n,p\in\MdN$, sei weiter $D\subseteq\MdR\times\underbrace{\MdR^p\times\cdots\times\MdR^p}_{n+1 \text{ Faktoren}}$ und $F:D\to\MdR^p$ eine Funktion.\\ Eine Gleichung der Form: @@ -2503,7 +2503,7 @@ F(x,y,\ldots,y^{(n)})=0 \tag{i} heißt eine \textbf{(gewöhnliche) Differentialgleichung} (Dgl) \textbf{$n$-ter Ordnung}.\\ Eine Funktion $y:I\to\MdR^p$ heißt eine \textbf{Lösung} (Lsg) von (i), genau dann wenn $y$ auf $I$ $n$-mal db, für alle $x\in I, (x,y(x),\ldots,y^{(n)}(x))\in D$ ist und gilt: -\[\forall x\in I: F(x,y(x),\ldots,y^{(n)}(x))=0\] +\[\forall x\in I: F(x,y(x),\ldots,y^{(n)}(x))=0\] \end{definition} \begin{beispiele} @@ -2651,7 +2651,7 @@ Nun betrachten wir die \textbf{inhomogene Gleichung} \begin{align*} y'=a(x)y+s(x)\tag{IH} \end{align*} -Für eine spezielle Lösung $y_s$ von (IH) macht man den Ansatz $y_s(x)=c(x)\cdot e^{A(x)}$ +Für eine spezielle Lösung $y_s$ von (IH) macht man den Ansatz $y_s(x)=c(x)\cdot e^{A(x)}$ mit einer (unbekannten) db Funktion $c$. Dies heißt \textbf{Variation der Konstanten}.\\ Mit diesem Ansatz gilt: \begin{align*} @@ -2715,7 +2715,7 @@ y'=2xy+x\tag{$*$} 1. Bestimme die allg. Lösung der Gleichung $y'=2xy$: $y(x)=ce^{x^2} (c\in\MdR)$.\\ 2. Bestimme eine spezielle Lösung von $(*)$: $y_s(x)=ce^{x^2}$ mit $c(x)=\int xe^{-x^2}=-\frac 12 e^{-x^2}$ Also: $y_s(x)=-\frac12$\\ -3. Die Allgemeine Lösung von $(*)$ lautet: +3. Die Allgemeine Lösung von $(*)$ lautet: \[y(x)=ce^{x^2}-\frac 12 \quad(c\in\MdR)\] \item Löse das AwP: \[\begin{cases} @@ -2773,22 +2773,22 @@ Definiere $G\in C^1(J)$ und $F\in C^1(I)$ durch: \end{align*} Dann ist $G'=\frac 1g, F'=f$ und $F(x_0)=0=G(y_0)$.\\ Da für alle $y\in J$ gilt: -\[G'(y)=\frac 1{g(y)}\ne 0\] +\[G'(y)=\frac 1{g(y)}\ne 0\] ist entweder $G'>0$ auf $J$ oder $G'<0$ auf $J$.\\ Also existiert die Umkehrabbildung $G^{-1}:G(J)\to J$, $K:=G(J)$ ist ein Intervall und es gilt: \begin{align*} y_0\in J^0&\implies 0=G(y_0)\in K^0\\ &\implies \exists \ep>0:(-\ep,\ep)\subseteq K \end{align*} -Da $F$ stetig in $x_0$ ist, existiert ein $\delta>0$ mit: +Da $F$ stetig in $x_0$ ist, existiert ein $\delta>0$ mit: \[|F(x)|=|F(x)-F(x_0)|<\ep \quad \forall x\in U_\delta(x_0)\cap I=:M_0\] $M_0$ ist ein Intervall, $x_0\in M_0\subseteq I$ und $F(M_0)\subseteq K$. Sei -\[\mathfrak{M}:=\Set{M\subseteq I | M \text{ ist Intervall},x_0\in M,F(M)\subseteq K}\] +\[\mathfrak{M}:=\Set{M\subseteq I | M \text{ ist Intervall},x_0\in M,F(M)\subseteq K}\] Da $M_0\in\mathfrak{M}$ ist, ist $\mathfrak{M}\ne\emptyset$. Sei \[I_{x_0}:=\bigcup_{M\in\mathfrak{M}} M\] dann ist $I_{x_0}\in\mathfrak{M}$. Definiere nun $y:I_{x_0}\to\MdR$ durch: \[y(x):=G^{-1}(F(x))\] -so ist $y$ auf $I_{x_0}$ differenzierbar und es gilt: +so ist $y$ auf $I_{x_0}$ differenzierbar und es gilt: \[y(x_0)=G^{-1}(F(x_0))=G^{-1}(0)=y_0\] Weiter gilt: \begin{align*}\forall x\in I: G(y(x))=F(x)\tag{+}\end{align*} @@ -2911,7 +2911,7 @@ In diesem Fall ist $y \in C^1(I, \MdR^n)$. Bringt man $y_0$ auf die linke Seite, ergibt sich die Behauptung. \item["`$\impliedby$"'] Es gelte für alle $x\in I$: \[y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y(t))\text{d}t\] -Aus dem zweiten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt: $y$ ist auf $I$ differenzierbar und +Aus dem zweiten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt: $y$ ist auf $I$ differenzierbar und \[ y'(x) = \frac{\text{d}}{\text{d}x} \int_{x_0}^x f(t, y(t))\text{d}t = f(x, y(x)) \quad \forall x \in I. \] Also erfüllt $y$ die Differentialgleichung. Klar: $y(x_0) = y_0$. Also löst $y$ das AwP. @@ -2926,9 +2926,9 @@ Es sei weiterhin $D \subseteq \MdR^{n+1}$. Sei $f: D \to \MdR^n$ eine Funktion. \begin{enumerate} \item $f$ genügt auf $D$ einer \textbf{Lipschitz-Bedingung bezüglich \boldmath \(y\)} \[ - :\iff + :\iff \exists L \ge 0: - \forall (x,y), (x,\bar y ) \in D: + \forall (x,y), (x,\bar y ) \in D: \|f(x,y)-f(x,\bar y)\| \le L \|y-\bar y \| \] \item $f$ genügt auf $D$ einer \textbf{lokalen Lipschitz-Bedingung bezüglich \boldmath \(y\)} @@ -2950,7 +2950,7 @@ Für $y \in C(I, \MdR^n)$ sei $\|y\|_\alpha := \max \{\varphi_\alpha(x)\cdot \|y Dann: \begin{enumerate} \item $\|\cdot\|_\alpha$ ist eine Norm auf $C(I,\MdR^n)$. -\item Seien $c_1 := \min \{ \varphi_\alpha(x) : x \in I \},\text{ } c_2 := \max \{ \varphi_\alpha(x) : x \in I \}$. Es gilt: +\item Seien $c_1 := \min \{ \varphi_\alpha(x) : x \in I \},\text{ } c_2 := \max \{ \varphi_\alpha(x) : x \in I \}$. Es gilt: \[c_1\|y\|_\infty \leq \|y\|_\alpha \leq c_2 \|y\|_\infty \quad \forall y \in C(I, \MdR^n)\] \item Sei $(g_k)$ eine Folge in $C(I,\MdR^n)$ und $g \in C(I, \MdR^n)$. @@ -2976,7 +2976,7 @@ wenn $(g_k)$ eine Cauchy-Folge in $(C(I,\MdR^n), \|\cdot \|_\infty)$ ist. \textbf{Bezeichnung:} EuE = Existenz und Eindeutigkeit. \index{Existenz und Eindeutigkeit} \begin{satz}[EuE-Satz von Picard-Lindelöf (Version I)] -Sei $I = [a,b], x_o \in I, y_0 \in \MdR^n, D:= I \times \MdR^n, f\in C(D, \MdR^n)$ +Sei $I = [a,b], x_o \in I, y_0 \in \MdR^n, D:= I \times \MdR^n, f\in C(D, \MdR^n)$ und $f$ genüge auf $D$ einer Lipschitz-Bedingung bezüglich $y$.\\ \\ Dann ist das @@ -2998,7 +2998,7 @@ $(g_n)$ heißt Folge der sukzessiven Approximationen. \begin{beweis} Da $f$ auf $D$ einer Lipschitz-Bedingung genügt, gilt: \[\exists L > 0: \|f(x,y) - f(x, \bar y )\| \leq L \|y- \bar y \| \quad \forall(x,y), (x, \bar y ) \in D.\] -Es sei $\alpha := 2L$; $\varphi_\alpha$ und $\|\cdot\|_\alpha$ seien wie in 21.2, $X := C(I, \MdR^n)$. Definiere $F: X \to X$ durch +Es sei $\alpha := 2L$; $\varphi_\alpha$ und $\|\cdot\|_\alpha$ seien wie in 21.2, $X := C(I, \MdR^n)$. Definiere $F: X \to X$ durch \[(F(y))(x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y(t))\text{d}t\] Für $y \in X$ gilt dann: @@ -3006,7 +3006,7 @@ Für $y \in X$ gilt dann: y \text{ ist Lösung des AwP} &\iff F(y) = y\\ F(y) = y &\iff y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y(t))\text{d}t \quad \forall x \in I \\ &\stackrel{21.1}\iff y \text{ löst das AwP (ii)} -\end{align*} +\end{align*} Wir zeigen: $\|F(y)-F(z)\|_\alpha \leq \frac12 \|y-z\|_\alpha \quad \forall y,z \in X$. \textbf{Alle} Behauptungen folgen dann aus 17.2. Seien $y,z \in X, x \in I$. Dann ist @@ -3018,10 +3018,10 @@ Seien $y,z \in X, x \in I$. Dann ist &= L \left| \int_{x_0}^x \|y(t)-z(t)\| \varphi_\alpha (t) \cdot \frac1{\varphi_\alpha(t)}\text{ d}t \right| \displaybreak[0]\\ &\le L \left| \int_{x_0}^x \|y-z\|_\alpha \cdot \frac1{\varphi_\alpha(t)}\text{ d}t \right| \displaybreak[0]\\ &\le L \|y-z\|_\alpha \left| \int_{x_0}^x \frac1{\varphi_\alpha(t) }\text{ d}t\right|\\ -&= \frac{L}{\alpha} \|y-z\|_\alpha \left(\frac1{\varphi_\alpha(x)} -1 \right)\\ +&= \frac{L}{\alpha} \|y-z\|_\alpha \left(\frac1{\varphi_\alpha(x)} -1 \right)\\ &\le \frac12 \|y-z\|_\alpha \frac{1}{\varphi_\alpha(x)} \end{align*} -Also gilt: +Also gilt: \begin{align*} &\|(F(y))(x) - (F(z))(x)\| \leq \frac12 \|y-z\|_\alpha \frac{1}{\varphi_\alpha(x)} \quad \forall x \in I\\ \implies &\varphi_\alpha(x) \|(F(y))(x) - (F(z))(x)\| \leq \frac12 \|y-z\|_\alpha \quad \forall x \in I @@ -3058,7 +3058,7 @@ Sei $a > 0$ und $I := [-a, a]; f(x,y) = 2x(1+y).$ Dann gilt $\forall x \in I, \f &\leq 2a|y-\bar y |. \end{align*} -Aus 21.3 folgt dann: das Anfangswertproblem hat auf $I$ genau eine Lösung $y: [-a, a] \to \mathbb{R}$. +Aus 21.3 folgt dann: das Anfangswertproblem hat auf $I$ genau eine Lösung $y: [-a, a] \to \mathbb{R}$. Setze nun $g_0(x) :=0$ und $(g_k)$ sei definiert wie in 21.3. Induktiv sieht man (Übung!): \[g_k(x) = x^2 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \cdots + \frac{x^{2k}}{k!} \] @@ -3071,11 +3071,11 @@ Es war $a > 0$ beliebig, also ist $y(x) = e^{x^2} -1$ \textbf{die} Lösung des A \textbf{Ohne} Beweis: \begin{satz}[EuE-Satz von Picard-Lindelöf (Version II)] Sei $I=[a,b] \subseteq \MdR, x_0 \in I, y_0 \in \MdR^n, s > 0$, es sei -\[D := \Set{(x,y)\in\MdR^{n+1} | x \in I, \|y-y_0\| \leq s}\] -und $f \in C(D,\MdR^n)$. Weiter sei -\[M := \max\{\|f(x,y)\| : (x,y) \in D \} > 0\] -und $f$ genüge auf $D$ einer Lipschitz-Bedingung bezüglich $y$. -Außerdem sei +\[D := \Set{(x,y)\in\MdR^{n+1} | x \in I, \|y-y_0\| \leq s}\] +und $f \in C(D,\MdR^n)$. Weiter sei +\[M := \max\{\|f(x,y)\| : (x,y) \in D \} > 0\] +und $f$ genüge auf $D$ einer Lipschitz-Bedingung bezüglich $y$. +Außerdem sei \[J := I \cap \left [x_0 - \frac{s}{M}, x_0 + \frac{s}{M} \right ]\] Dann hat das \begin{align*} @@ -3105,16 +3105,16 @@ y(x_0) = y_0 genau eine Lösung. \\ \\ -(Nochmals, das heißt: Das AwP (ii) hat eine Lösung $y: J \to \MdR^n\quad(J \subseteq \MdR$ -Intervall) und für je zwei Lösungen $\hat y : \hat J \to \MdR, \tilde y : \tilde J \to \MdR$ +(Nochmals, das heißt: Das AwP (ii) hat eine Lösung $y: J \to \MdR^n\quad(J \subseteq \MdR$ +Intervall) und für je zwei Lösungen $\hat y : \hat J \to \MdR, \tilde y : \tilde J \to \MdR$ von (ii) gilt: $\hat y = \tilde y$ auf $\hat J \cap \tilde J \quad (\hat J, \tilde J \text{ Intervalle in } \MdR$)) \end{satz} \begin{definition} \index{Fortsetzbarkeit} Sei $y: J \to \MdR^n$ ($J \subseteq \MdR$ ein Intervall) eine Lösung des AwPs (ii).\\ -\(y\) heißt \textbf{nicht fortsetzbar}, genau dann wenn aus $\hat y : \hat J \to \MdR^n -(\hat J$ ein Intervall in $\MdR$) ist Lösung von (ii) stets folgt, dass $\hat J \subseteq J$ +\(y\) heißt \textbf{nicht fortsetzbar}, genau dann wenn aus $\hat y : \hat J \to \MdR^n +(\hat J$ ein Intervall in $\MdR$) ist Lösung von (ii) stets folgt, dass $\hat J \subseteq J$ und auf $\hat J$ $\hat y = y$ ist. \end{definition} @@ -3124,15 +3124,15 @@ Es seien $D, (x_0, y_0)$ und $f$ wie in 21.5. Dann besitzt das AwP (ii) eine ein \begin{beweis} Es sei -\[\mathfrak{M} := \{ (y,I_y) : I_y \subseteq \MdR \text{ Intervall, } +\[\mathfrak{M} := \{ (y,I_y) : I_y \subseteq \MdR \text{ Intervall, } x_0 \in I_y, y: I_y \to \MdR^n \text{ ist Lösung von (ii)} \}\] -Aus 21.5 folgt, dass $\mathfrak{M} \ne \emptyset$ ist und für -$(y_1, I_{y_1}), (y_2, I_{y_2}) \in \mathfrak{M}$ gilt: $y_1 = y_2$ auf +Aus 21.5 folgt, dass $\mathfrak{M} \ne \emptyset$ ist und für +$(y_1, I_{y_1}), (y_2, I_{y_2}) \in \mathfrak{M}$ gilt: $y_1 = y_2$ auf $I_{y_1} \cap I_{y_2}$. \begin{align*} I := \bigcup_{(y, I_y) \in \mathfrak{M}} I_y -\end{align*} -ist ein Intervall. Definiere $y: I \to \MdR^n$ wie folgt: zu $x \in I$ existiert +\end{align*} +ist ein Intervall. Definiere $y: I \to \MdR^n$ wie folgt: zu $x \in I$ existiert ein $(y_1, I_{y_1}) \in \mathfrak{M}$, sodass für $x \in I_{y_1}$ gilt: $y(x) := y_1(x)$. \textbf{Übung:} $y: I \to \MdR^n$ leistet das Gewünschte. @@ -3140,7 +3140,7 @@ ein $(y_1, I_{y_1}) \in \mathfrak{M}$, sodass für $x \in I_{y_1}$ gilt: $y(x) : \chapter{Lineare Systeme} In diesem Paragraphen sei $I\subseteq\mdr$ ein Intervall, $x_0\in I, y_0\in\mdr^n, -D:=I\times\mdr^n,b:I\to\mdr^n$ stetig und $A:I\to\mdr^{n\times n}$ ebenfalls stetig +D:=I\times\mdr^n,b:I\to\mdr^n$ stetig und $A:I\to\mdr^{n\times n}$ ebenfalls stetig (d.h. für $A(x)=(a_{jk}(x))$ sind alle $a_{jk}:I\to\mdr$ stetig).\\ Hier ist für alle $x\in I$ und $y=(y_1,\ldots,y_n)\in\mdr^n$: \[f(x,y):=A(x)y+b(x)\] @@ -3229,7 +3229,7 @@ y(\xi)=\eta \end{align*} Aus (1) folgt, dass das AwP auf $I$ eine eindeutig bestimmte Lösung $y:I\to\mdr^n$ hat. Sei $x\in J$.\\ \textbf{Fall $x=\xi$}:\\ -In diesem Fall gilt: +In diesem Fall gilt: \[\hat y(x)=\hat y(\xi)=\eta=y(\xi)=y(x)\] \textbf{Fall $x>\xi$}:\\ Sei $K:=[\xi,x]$. Da $\hat y$ und $y$ Lösungen des AwPs (+) auf $[\xi,x]$ sind folgt aus @@ -3239,7 +3239,7 @@ Sei $K:=[\xi,x]$. Da $\hat y$ und $y$ Lösungen des AwPs (+) auf $[\xi,x]$ sind Sei $K:=[x,\xi]$. Da $\hat y$ und $y$ Lösungen des AwPs (+) auf $[x,\xi]$ sind folgt aus (1), dass $y=\hat y$ auf $K$, also: \[\hat y(x)=y(x)\] -\item Leichte Übung! +\item Leichte Übung! \end{beweise} \begin{definition} @@ -3249,17 +3249,17 @@ Setze $\mathbb{L} := \{ y: I\to \MdR^n : y $ ist eine Lösung von (H) auf $I$ $\ \begin{satz}[Lösungsmenge als Vektorraum] \begin{enumerate} -\item Sind $y^{(1)}, y^{(2)} \in \mathbb{L}$ und $\alpha \in \MdR$, so -sind $y^{(1)} + y^{(2)} \in \mathbb{L}$ und $\alpha y^{(1)} \in \mathbb +\item Sind $y^{(1)}, y^{(2)} \in \mathbb{L}$ und $\alpha \in \MdR$, so +sind $y^{(1)} + y^{(2)} \in \mathbb{L}$ und $\alpha y^{(1)} \in \mathbb {L}$. $\mathbb{L}$ ist also ein reeller Vektorraum. -\item Seien $y^{(1)}, ..., y^{(k)} \in \mathbb{L}$. Dann sind +\item Seien $y^{(1)}, ..., y^{(k)} \in \mathbb{L}$. Dann sind äquivalent: \begin{enumerate} \item $y^{(1)}, ... , y^{(k)}$ sind in $\mathbb{L}$ linear unabhängig. - \item $\forall x \in I$ sind $y^{(1)}(x), ..., y^{(k)}(x)$ linear + \item $\forall x \in I$ sind $y^{(1)}(x), ..., y^{(k)}(x)$ linear unabhängig im $\MdR^n$. - \item $\exists \xi \in I: y^{(1)}(\xi ), ..., y^{(k)}(\xi ) + \item $\exists \xi \in I: y^{(1)}(\xi ), ..., y^{(k)}(\xi ) $ sind linear unabhängig im $\MdR^n$. \end{enumerate} @@ -3272,35 +3272,35 @@ $ sind linear unabhängig im $\MdR^n$. \item Der Beweis erfolgt durch Ringschluss: \begin{enumerate} -\item[(i)$\implies$ (ii)] Sei $x_1 \in I$. Seien $\alpha_1, ..., -\alpha_k \in \MdR$ und +\item[(i)$\implies$ (ii)] Sei $x_1 \in I$. Seien $\alpha_1, ..., +\alpha_k \in \MdR$ und \begin{align*} -0 &= \alpha_1 y^{(1)}(x_1) + \cdots + \alpha_k y^ {(k)}(x_1)\\ +0 &= \alpha_1 y^{(1)}(x_1) + \cdots + \alpha_k y^ {(k)}(x_1)\\ \tilde y :&= \alpha_1 y^{(1)} + \cdots + \alpha_k y^{(k)} -\end{align*} -Aus (1) folgt: $\tilde y \in \mathbb{L}$. Weiter ist $\tilde y$ eine +\end{align*} +Aus (1) folgt: $\tilde y \in \mathbb{L}$. Weiter ist $\tilde y$ eine Lösung des AwPs \begin{align*} \begin{cases} y' = A(x) y\\ y(x_1) = 0 \end{cases} \end{align*} -Da $y \equiv 0$ dieses AwP ebenfalls löst und aus 22.1 folgt, dass das AwP +Da $y \equiv 0$ dieses AwP ebenfalls löst und aus 22.1 folgt, dass das AwP eindeutig lösbar ist, muss gelten: \[0 = \tilde y = \alpha_1 y^{(1)} + \cdots + \alpha_k y^{(k)}\] -Aus der Voraussetzung folgt dann: -\[\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_k = 0\] +Aus der Voraussetzung folgt dann: +\[\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_k = 0\] Also sind $y^{(1)}(x_1), ..., y^{(k)} (x_1)$ sind linear unabhängig im $\MdR^n$. \item[(ii) $\implies$ (iii)] Klar \checkmark -\item[(iii) $\implies$ (i)]Seien $\alpha_1, ..., \alpha_k \in \MdR$ +\item[(iii) $\implies$ (i)]Seien $\alpha_1, ..., \alpha_k \in \MdR$ und $0 = \alpha_1 y^{(1)} + \cdots + \alpha_k y^{(k)}$, dann folgt: -\[0 = \alpha_1 y^{(1)}(\xi ) + \cdots + \alpha_k y^{(k)}(\xi )\] -Aus der Voraussetzung folgt dann: $\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_k = 0$ -Also sind $y^{(1)}, ..., y^{(k)}$ linear unabhängig in $\mathbb{L}$. +\[0 = \alpha_1 y^{(1)}(\xi ) + \cdots + \alpha_k y^{(k)}(\xi )\] +Aus der Voraussetzung folgt dann: $\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_k = 0$ +Also sind $y^{(1)}, ..., y^{(k)}$ linear unabhängig in $\mathbb{L}$. \end{enumerate} \item Aus (2) folgt, dass $\dim \mathbb{L} \le n$ ist. -Für $j = 1,..., n$ sei $y^{(j)}$ die eindeutig bestimmte Lösung des +Für $j = 1,..., n$ sei $y^{(j)}$ die eindeutig bestimmte Lösung des AwPs \begin{align*} \begin{cases} @@ -3309,17 +3309,17 @@ y(x_0) = e_j \end{cases} (e_j = \text{ j-ter Einheitsvektor im }\MdR^n). \end{align*} -Dann sind $y^{(1)}(x_0), ..., y^{(n)}(x_0)$ linear unabhängig im $ -\MdR^n$. Aus (2) folgt, dass $y^{(1)}, ..., y^{(k)}$ linear unabhängig +Dann sind $y^{(1)}(x_0), ..., y^{(n)}(x_0)$ linear unabhängig im $ +\MdR^n$. Aus (2) folgt, dass $y^{(1)}, ..., y^{(k)}$ linear unabhängig in $\mathbb{L}$ sind, also ist $\dim \mathbb{L} \ge n$. \end{beweise} \begin{definition} \index{Differenzierbarkeit!einer $n \times n$-Matrix} -Sei $B : I \to \MdR^{n \times n}, B(x) = \left( b_{jk}(x) \right)$ für alle $x\in I$.\\ +Sei $B : I \to \MdR^{n \times n}, B(x) = \left( b_{jk}(x) \right)$ für alle $x\in I$.\\ $B$ heißt \textbf{differenzierbar} auf $I$, genau dann wenn $b_{jk} : I \to \MdR$ auf $I$ differenzierbar sind ($j,k = 1,\ldots, n$).\\ -In diesem Fall ist +In diesem Fall ist \[B'(x) := (b'_{jk}(x)) \quad (x\in I)\] \end{definition} @@ -3327,17 +3327,17 @@ In diesem Fall ist \index{Lösungs-!System}\index{Lösungs-!Matrix}\index{Wronskideterminante} \index{Fundamental-!Matrix}\index{Fundamental-!System} \begin{enumerate} -\item Seien $y^{(1)}, ..., y^{(n)} \in \mathbb{L}$. $y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ -heißt ein \textbf{Lösungssystem} (LS) von (H). +\item Seien $y^{(1)}, ..., y^{(n)} \in \mathbb{L}$. $y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ +heißt ein \textbf{Lösungssystem} (LS) von (H). \[Y(x) := (y^{(1)}(x), ..., y^{(n)}(x))\] (j-te Spalte von $Y$ = $y^{(j)}$) heißt \textbf{Lösungsmatrix} (LM) von (H). -\[W(x) := \det Y(x)\] +\[W(x) := \det Y(x)\] heißt \textbf{Wronskideterminante}. -\item Sei $y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ ein Lösungssystem von (H). Sind -$y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ linear unabhängig in $\mathbb{L}$, so heißt -$y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ ein \textbf{Fundamentalsystem} (FS) und +\item Sei $y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ ein Lösungssystem von (H). Sind +$y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ linear unabhängig in $\mathbb{L}$, so heißt +$y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ ein \textbf{Fundamentalsystem} (FS) und $Y = (y^{(1)}, ..., y^{(n)})$ eine \textbf{Fundamentalmatrix} (FM). -\item Ist $y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ ein FS von (H), so lautet die allgemeine Lösung von (H): +\item Ist $y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ ein FS von (H), so lautet die allgemeine Lösung von (H): \[y(x) = c_1 y^{(1)}(x) + \cdots + c_n y^{(n)} (x) \quad (c_1, ..., c_n \in \MdR)\] \end{enumerate} \end{definition} @@ -3448,7 +3448,7 @@ Also: $c_1 = c_2 = 0$, d.h.: \textbf{die} Lösung des AwP ist: $y(x) = \begin{pm \chapter{Homogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten} -In diesem Paragraphen sei $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ eine +In diesem Paragraphen sei $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ eine konstante Matrix. \\ Wir betrachten das homogene System \begin{align*} @@ -3457,30 +3457,30 @@ Wir betrachten das homogene System \textbf{Ohne} Beweise geben wir ein "`Kochrezept"' an, wie man zu einem Fundamentalsystem von (H) kommt. -\textbf{Vorbereitungen}: +\textbf{Vorbereitungen}: \index{charakteristisches Polynom}\index{Polynom!charakteristisches} \begin{enumerate} \item Es sei stets $p(\lambda) := \det(A - \lambda I)$ das \textbf{charakteristische Polynom} von $A$ ($I$ = Einheitsmatrix). \\ -Sei $\lambda_0 \in \MdC$ ein Eigenwert (EW) von $A$, dann +Sei $\lambda_0 \in \MdC$ ein Eigenwert (EW) von $A$, dann ist $p(\lambda_0) = 0$. Die Koeffizienten von $p$ sind reell, also ist $p(\overline{\lambda_0}) = 0$ und damit $\overline{\lambda_0}$ ein Eigenwert von $A$. -\item Für $\lambda_0 \in \mdc$ gilt: +\item Für $\lambda_0 \in \mdc$ gilt: \[\kernn(A-\lambda_0 I) \subseteq \kernn((A-\lambda_0 I)^2) \subseteq \kernn((A-\lambda_0 I)^3) \subseteq \ldots\] -\end{enumerate} +\end{enumerate} \textbf{Kochrezept}: \begin{enumerate} -\item Bestimme die \textbf{verschiedenen} Eigenwerte $\lambda_1, \ldots, \lambda_r (r \le n)$ -von $A$ und deren algebraische Vielfachheiten $k_1, \ldots, k_r$, also: -\[p(\lambda) = (-1)^n (\lambda - \lambda_1)^{k_1} (\lambda - \lambda_2)^{k_2} \cdots (\lambda - \lambda_r)^{k_r}\] -Ordne diese Eigenwerte wie folgt an: $\lambda_1, \ldots, \lambda_m \in \mdr, \lambda_{m+1}, \ldots, \lambda_r \in \mdc \setminus \mdr$.\\ -Aus der Liste $\lambda_{m+1}, \ldots, \lambda_r$ entferne jedes $\lambda_j$ mit -$\Im(\lambda_j) < 0$. Es bleibt: +\item Bestimme die \textbf{verschiedenen} Eigenwerte $\lambda_1, \ldots, \lambda_r (r \le n)$ +von $A$ und deren algebraische Vielfachheiten $k_1, \ldots, k_r$, also: +\[p(\lambda) = (-1)^n (\lambda - \lambda_1)^{k_1} (\lambda - \lambda_2)^{k_2} \cdots (\lambda - \lambda_r)^{k_r}\] +Ordne diese Eigenwerte wie folgt an: $\lambda_1, \ldots, \lambda_m \in \mdr, \lambda_{m+1}, \ldots, \lambda_r \in \mdc \setminus \mdr$.\\ +Aus der Liste $\lambda_{m+1}, \ldots, \lambda_r$ entferne jedes $\lambda_j$ mit +$\Im(\lambda_j) < 0$. Es bleibt: \[M := \{\lambda_1, \ldots, \lambda_m\} \cup \{\lambda_j : m + 1 \le j \le r, \Im(\lambda_j) > 0 \}\] -\item Zu $\lambda_j \in M$ bestimme eine Basis von $V_j := $ Kern$((A-\lambda_j I)^{k_j})$ -wie folgt: Bestimme eine Basis von Kern$(A-\lambda_j I)$, ergänze diese Basis zu +\item Zu $\lambda_j \in M$ bestimme eine Basis von $V_j := $ Kern$((A-\lambda_j I)^{k_j})$ +wie folgt: Bestimme eine Basis von Kern$(A-\lambda_j I)$, ergänze diese Basis zu einer Basis von Kern$((A-\lambda_j I)^2)$, usw. \item Sei $\lambda_j \in M$ und $v$ ein Basisvektor von $V_j$. \\ @@ -3490,7 +3490,7 @@ Oder kürzer: \textbf{Fall 1}: $\lambda_j \in \mdr$.\\ Dann ist $y(x) \in \mdr^n \; \forall x \in \mdr$ und y ist eine Lösung von (H). \\ \textbf{Fall 2}: $\lambda_j \in \mdc \setminus \mdr$.\\ -Zerlege $y$ komponentenweise in Real- und Imaginärteil: +Zerlege $y$ komponentenweise in Real- und Imaginärteil: \[y(x) := y^{(1)}(x) + i y^{(2)}(x)\] mit $y^{(1)}(x),y^{(2)}(x)\in\mdr^n$. Dann sind $y^{(1)}, y^{(2)}$ linear unabhängige Lösungen von (H). @@ -3509,7 +3509,7 @@ $ [\ldots] $ bezeichne die \textbf{lineare Hülle}. \begin{align*} \tag{$\ast $} y' = Ay \end{align*} -mit +mit \[A:=\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\] Es gilt: \[p(\lambda)=\det(A-\lambda I) = (\lambda - (1 + 2i))(\lambda-(1-2i))\] @@ -3520,10 +3520,10 @@ k_1 &= 1 &k_2&=1\\ Also ist $M := \{\lambda_1\}$. Aus $\kernn(A-\lambda_1 I) = \left[ \begin{pmatrix} 2i \\ 1 \end{pmatrix} \right]$ folgt: \begin{align*} -y(x) &= e^{(1+2i)x} \begin{pmatrix} 2i \\ 1 \end{pmatrix} \\ -&= e^x (\cos(2x) + i \sin(2x)) \begin{pmatrix} 2i \\ 1 \end{pmatrix}\\ -&= e^x \begin{pmatrix} -2\sin(2x) \\ \cos(2x) \end{pmatrix} -+ ie^x \begin{pmatrix} 2\cos(2x) \\ \sin(2x) \end{pmatrix} +y(x) &= e^{(1+2i)x} \begin{pmatrix} 2i \\ 1 \end{pmatrix} \\ +&= e^x (\cos(2x) + i \sin(2x)) \begin{pmatrix} 2i \\ 1 \end{pmatrix}\\ +&= e^x \begin{pmatrix} -2\sin(2x) \\ \cos(2x) \end{pmatrix} ++ ie^x \begin{pmatrix} 2\cos(2x) \\ \sin(2x) \end{pmatrix} \end{align*} Sei also: \begin{align*} @@ -3545,15 +3545,15 @@ Es gilt: k_1&=1 &k_2&=2 \end{align*} Also ist $M := \{\lambda_1, \lambda_2\}$.\\ -\boldmath $\lambda_1 = 2$\unboldmath: Aus $\kernn(A-2I) = +\boldmath $\lambda_1 = 2$\unboldmath: Aus $\kernn(A-2I) = \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\1 \end{pmatrix} \right]$ folgt: \[y^{(1)}(x) := e^{2x}\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\1 \end{pmatrix}\] -\boldmath $\lambda_2 = 1$\unboldmath: Aus $\kernn(A-I) = +\boldmath $\lambda_2 = 1$\unboldmath: Aus $\kernn(A-I) = \left[ \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{pmatrix} \right] -\subseteq \left[ \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}, +\subseteq \left[ \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix} \right] = $ Kern$((A -I)^2)$ folgt: \begin{align*} -y^{(2)}(x) := e^x \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} && +y^{(2)}(x) := e^x \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} && y^{(3)}(x) := e^x\left( \begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix} + x(A-I) \begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix} \right) = e^x \begin{pmatrix} -x \\ -x \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*} $y^{(1)}, y^{(2)}, y^{(3)}$ ist ein Fundamentalsystem von ($\ast$). @@ -3564,58 +3564,58 @@ $y^{(1)}, y^{(2)}, y^{(3)}$ ist ein Fundamentalsystem von ($\ast$). y'=Ay\\ y(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{cases}\] -Die allgemeine Lösung von $y' = Ay$ lautet: -\[ y(x) = c_1 e^{2x}\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\1 \end{pmatrix} -+ c_2 e^x \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} +Die allgemeine Lösung von $y' = Ay$ lautet: +\[ y(x) = c_1 e^{2x}\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\1 \end{pmatrix} ++ c_2 e^x \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} + c_3 e^x \begin{pmatrix} -x \\ -x \\ 1 \end{pmatrix}\quad c_1, c_2, c_3 \in \mdr \] Es gilt: \begin{align*} -\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \stackrel!= y(0) -= c_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\1 \end{pmatrix} -+ c_2 \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} -+ c_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \stackrel!= y(0) += c_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\1 \end{pmatrix} ++ c_2 \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} ++ c_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_2 \\ c_1+c_2\\c_1+c_3 \end{pmatrix}\\ \end{align*} \begin{align*} \implies c_1=-1 &&c_2 = 1 && c_3 = 2 \end{align*} -Lösung des AWPs: -\[y(x) = -e^{2x}\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\1 \end{pmatrix} -+ e^x \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} +Lösung des AWPs: +\[y(x) = -e^{2x}\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\1 \end{pmatrix} ++ e^x \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} + 2e^x \begin{pmatrix} -x \\ -x \\ 1 \end{pmatrix}\] -\item Bestimme die allgemeine Lösung von -\begin{align*} +\item Bestimme die allgemeine Lösung von +\begin{align*} \tag{$\ast $} y' = Ay + \begin{pmatrix} e^x \\ e^x \end{pmatrix} \end{align*} Mit \[A:=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\] -Bestimme dazu zunächst die allgemeine Lösung von $y' = Ay$. Es gilt: +Bestimme dazu zunächst die allgemeine Lösung von $y' = Ay$. Es gilt: \[p(\lambda)=\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)(1+\lambda)\] \begin{align*} \lambda_1 &= 1 &\lambda_2 &= -1\\ k_1&=1&k_2&=1 \end{align*} -Da $\kernn(A-I) = \left[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right]$ und +Da $\kernn(A-I) = \left[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right]$ und $\kernn(A+I) = \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right]$ ist, ist \begin{align*} -y^{(1)}(x) &= e^x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} +y^{(1)}(x) &= e^x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} &y^{(2)}(x) &= e^{-x} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*} ein Fundamentalsystem von $y' = Ay$.\\ -Sei nun $Y(x) := \begin{pmatrix} e^x & 0 \\ 0 & e^{-x} \end{pmatrix}$ \\ +Sei nun $Y(x) := \begin{pmatrix} e^x & 0 \\ 0 & e^{-x} \end{pmatrix}$ \\ Dann ist \begin{align*} -y_s(x) &= Y(x) \int Y(x)^{-1} \begin{pmatrix} e^x \\ e^x \end{pmatrix} \text{ d}x\\ -&= Y(x) \int \begin{pmatrix} e^{-x} & 0 \\ 0 & e^x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^x \\ e^x \end{pmatrix} \text{ d}x\\ -&= Y(x) \int \begin{pmatrix} 1 \\ e^{2x} \end{pmatrix}\text{ d}x\\ +y_s(x) &= Y(x) \int Y(x)^{-1} \begin{pmatrix} e^x \\ e^x \end{pmatrix} \text{ d}x\\ +&= Y(x) \int \begin{pmatrix} e^{-x} & 0 \\ 0 & e^x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^x \\ e^x \end{pmatrix} \text{ d}x\\ +&= Y(x) \int \begin{pmatrix} 1 \\ e^{2x} \end{pmatrix}\text{ d}x\\ &= \begin{pmatrix} e^x & 0 \\ 0 & e^{-x} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ \frac12e^{2x} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xe^x \\ \frac12e^x \end{pmatrix} \end{align*} eine spezielle Lösung von ($\ast$). -Die allgemeine Lösung von ($\ast$) lautet also: -\[y(x) = c_1 e^x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} -+ c_2 e^{-x} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} +Die allgemeine Lösung von ($\ast$) lautet also: +\[y(x) = c_1 e^x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ++ c_2 e^{-x} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} xe^x \\ \frac12e^x \end{pmatrix}\quad c_1, c_2 \in \mdr\] \end{enumerate} @@ -3710,7 +3710,7 @@ y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x) \end{pmatrix} \end{align*} heißt \textbf{Wronskideterminante}. Sind $y_1,\ldots,y_n$ linear unabhängig in $\mathbb{L}$, -so heißt $y_1,\ldots,y_n$ ein \textbf{Fundamentalsystem} (FS) von (H). I.d. Fall +so heißt $y_1,\ldots,y_n$ ein \textbf{Fundamentalsystem} (FS) von (H). I.d. Fall lautet die allgemeine Lösung von (H): \[y=c_1y_1+\cdots+c_ny_n \quad (c_1,\ldots,c_n\in\mdr)\] Aus 24.2 folgt für $y_1,\ldots,y_n\in\mathbb{L}$:\\ @@ -3747,7 +3747,7 @@ W(x)&=\det\begin{pmatrix} y_1(x)&y_1(x)\cdot\int z(x)\text{ d}x\\ y_1'(x)&y_1'(x)\int z(x)\text{ d}x+y_1z(x) \end{pmatrix}\\ -&= y_1y_1'\cdot\int z(x)\text{ d}x+y_1^2z(x)-y_1y_1'\cdot\int z(x)\text{ d}x\\ +&= y_1y_1'\cdot\int z(x)\text{ d}x+y_1^2z(x)-y_1y_1'\cdot\int z(x)\text{ d}x\\ &= y_1^2z(x) \end{align*} Da $z\not\equiv 0$ ist, existiert ein $\xi\in I$ mit $z(\xi)\ne 0$, also $W(\xi)\ne 0$. @@ -3788,12 +3788,12 @@ x^2-1&2x \end{pmatrix}=-(1+x^2)(x^2-1)\\ W_2(x)&=\det\begin{pmatrix} x&0\\ -1&x^2-1 +1&x^2-1 \end{pmatrix}=x^3-x \end{align*} Es folgt: \begin{align*} -\frac{W_1(x)}{W(x)}=-1-x^2 &&\frac{W_2(x)}{W(x)}=x +\frac{W_1(x)}{W(x)}=-1-x^2 &&\frac{W_2(x)}{W(x)}=x \end{align*} Daraus ergibt sich nun eine spezielle Lösung von (+): \[y_s(x)=y_1(x)\cdot\int(-1-x^2)\text{ d}x+y_2(x)\cdot\int x\text{ d}x=\frac16 x^4-\frac12 x^2\] @@ -3833,7 +3833,7 @@ und geben \textbf{ohne} Beweis ein "`Kochrezept"' an, wie man zu einem FS von (H \[p(\lambda):=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0\] heißt das \textbf{charakteristische Polynom} von (H). -\textbf{Übung:}\\ +\textbf{Übung:}\\ Ist \[A:=\begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ @@ -3912,7 +3912,7 @@ y''(x)&=4c_1e^{2x}-c_2\cos(x)-c_3\sin(x) Außerdem gilt: \begin{align*} 0&\stackrel!=y(0)=c_1+c_2&1&\stackrel!=y'(0)=2c_1+c_3&0&\stackrel!=4c_1-c_2 -\end{align*} +\end{align*} Daraus folgt: \begin{align*} c_1&=0&c_2&=0&c_3&=1 @@ -3958,7 +3958,7 @@ Es gilt: Also ist ein FS von ($**$): $1,e^x,e^{-x}$. Damit lautet die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung: \[y_h(x)=c_1+c_2e^x+c_3e^{-x}\quad(c_1,c_2,c_3\in\mdr)\] -\item Bestimme eine allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ($*$).\\ +\item Bestimme eine allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ($*$).\\ Es ist $m=1,\alpha=\beta=0,q=1$. Ansatz: \begin{align*} &y_s(x)=x(A_0+A_1x)=A_0x+A_1x^2\\ diff --git a/documents/Analysis III/Analysis-III.tex b/documents/Analysis III/Analysis-III.tex index 8724e97..b394287 100644 --- a/documents/Analysis III/Analysis-III.tex +++ b/documents/Analysis III/Analysis-III.tex @@ -7,16 +7,16 @@ \semester{Wintersemeseter 10/11 und 12/13} \scriptstate{complete} -\author{Die Mitarbeiter von \href{http://mitschriebwiki.nomeata.de/}{mitschriebwiki.nomeata.de} +\author{Die Mitarbeiter von \href{http://mitschriebwiki.nomeata.de/}{mitschriebwiki.nomeata.de} und \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents}{GitHub}} \title{Analysis III - Bachelorversion} \makeindex -\hypersetup{ - pdfauthor = {Die Mitarbeiter von mitschriebwiki.nomeata.de und GitHub}, - pdfkeywords = {Analysis}, - pdftitle = {Analysis III} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Die Mitarbeiter von mitschriebwiki.nomeata.de und GitHub}, + pdfkeywords = {Analysis}, + pdftitle = {Analysis III} +} \begin{document} \maketitle @@ -29,10 +29,10 @@ und \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents}{G \chapter*{Vorwort} \section*{Über dieses Skriptum} -Dies ist ein Mitschrieb der Vorlesung \glqq Analysis III\grqq\ von -Herrn Schmoeger im Wintersemester 2010 an der Universität Karlsruhe -(KIT). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit ausdrücklicher -Genehmigung von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger +Dies ist ein Mitschrieb der Vorlesung \glqq Analysis III\grqq\ von +Herrn Schmoeger im Wintersemester 2010 an der Universität Karlsruhe +(KIT). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit ausdrücklicher +Genehmigung von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger ist für den Inhalt nicht verantwortlich. Kapitel werden in Beweisen durch "`§"' abgekürzt. @@ -46,13 +46,13 @@ Im September 2012 wurde das Skript mit der Revisionsnummer 7132 von mitschriebwiki auf \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/blob/master/documents/Analysis%20III}{GitHub} hochgeladen. \section*{Wo} -Alle Kapitel inklusive \LaTeX-Quellen können unter -\href{http://mitschriebwiki.nomeata.de}{mitschriebwiki.nomeata.de} +Alle Kapitel inklusive \LaTeX-Quellen können unter +\href{http://mitschriebwiki.nomeata.de}{mitschriebwiki.nomeata.de} abgerufen werden. -Dort ist ein \emph{Wiki} eingerichtet und von Joachim Breitner um die +Dort ist ein \emph{Wiki} eingerichtet und von Joachim Breitner um die \LaTeX-Funktionen erweitert. Das heißt, jeder kann Fehler nachbessern und sich an der Entwicklung -beteiligen. Auf Wunsch ist auch ein Zugang über \emph{Subversion} +beteiligen. Auf Wunsch ist auch ein Zugang über \emph{Subversion} möglich. Oder man geht auf \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/blob/master/documents/Analysis%20III/}{github}, @@ -158,7 +158,7 @@ erstellt einen Fork und kann direkt Änderungen umsetzen. \textbf{§ 10: Der Satz von Fubini}: Jan Ihrens\\ \textbf{§ 11: Der Transformationssatz}: Jan Ihrens, Rebecca Schwerdt\\ \textbf{§ 12: Vorbereitungen für die Integralsätze}: Rebecca Schwerdt\\ -\textbf{§ 13: Der Integralsatz von Gauß\ im \(\mdr^{2}\)}: Benjamin Unger\\ +\textbf{§ 13: Der Integralsatz von Gauß\ im \(\mdr^{2}\)}: Benjamin Unger\\ \textbf{§ 14: Flächen im \(\mdr^{3}\)}: Benjamin Unger\\ \textbf{§ 15: Der Integralsatz von Stokes}: Philipp Ost\\ \textbf{§ 16: \(\fl^{p}\)-Räume und \(\mathrm{L}^{p}\)-Räume}: Philipp Ost, Rebecca Schwerdt, Peter Pan, Jan Ihrens \\ diff --git a/documents/Analysis III/Kapitel-0.tex b/documents/Analysis III/Kapitel-0.tex index 945ec98..f97e9f6 100644 --- a/documents/Analysis III/Kapitel-0.tex +++ b/documents/Analysis III/Kapitel-0.tex @@ -1,17 +1,17 @@ -In diesem Kapitel seien $X,Y,Z$ Mengen ($\ne\emptyset$) und +In diesem Kapitel seien $X,Y,Z$ Mengen ($\ne\emptyset$) und $f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen. \begin{enumerate} \index{Potenzmenge} \index{Disjunktheit} - \item + \item \begin{enumerate} - \item $\mathcal{P}(X):=\{A:A\subseteq X\}$ heißt + \item $\mathcal{P}(X):=\{A:A\subseteq X\}$ heißt \textbf{Potenzmenge} von $X$. - \item Sei $\fm\subseteq\mathcal{P}(X)$, so heißt $\fm$ - \textbf{disjunkt}, genau dann wenn $A\cap B=\emptyset$ + \item Sei $\fm\subseteq\mathcal{P}(X)$, so heißt $\fm$ + \textbf{disjunkt}, genau dann wenn $A\cap B=\emptyset$ für $A,B\in\fm$ mit $A\ne B$. - \item Sei $(A_j)$ eine Folge in $\mathcal{P}(X)$ (also + \item Sei $(A_j)$ eine Folge in $\mathcal{P}(X)$ (also $A_j\subseteq X$), so heißt $(A_j)$ \textbf{disjunkt}, genau dann wenn $\{A_1,A_2,\dots\}$ disjunkt ist.\\ \textbf{Schreibweise}:\\ @@ -22,16 +22,16 @@ $f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen. \sum_{j=1}^\infty a_j &=: \sum a_j \end{align*} \end{enumerate} - \item Sei $A\subseteq X$, $\mathds{1}_A : X \rightarrow R$ + \item Sei $A\subseteq X$, $\mathds{1}_A : X \rightarrow R$ definiert durch: \[\mathds{1}_A(x):= \begin{cases} 1 &\text{falls } x\in A\\ 0 &\text{falls } x\in A^c \end{cases}\] wobei $A^c:=X\setminus A$. $\mathds{1}_A$ heißt die - \textbf{charakteristische Funktion} oder + \textbf{charakteristische Funktion} oder \textbf{Indikatorfunktion von A}. - \item Sei $B\subseteq Y$ dann ist $f^{-1}(B):=\{x\in X: f(x)\in B\}$ + \item Sei $B\subseteq Y$ dann ist $f^{-1}(B):=\{x\in X: f(x)\in B\}$ und es gelten folgende Eigenschaften: \begin{enumerate} \item $f^{-1}(B^c)=f^{-1}(B)^c$ @@ -47,12 +47,12 @@ $f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen. \begin{definition} \index{offen} - Sei $n \in \mdn$ und $\emptyset \neq X \subseteq \mdr^n$ und + Sei $n \in \mdn$ und $\emptyset \neq X \subseteq \mdr^n$ und $A \subseteq X$. - $A$ heißt $\stackrel{\text{offen}}{\text{abgeschlossen}}$ in - $X :\Leftrightarrow \exists B \subseteq \mdr^n$. - $B$ ist $\stackrel{\text{offen}}{\text{abgeschlossen}}$ und + $A$ heißt $\stackrel{\text{offen}}{\text{abgeschlossen}}$ in + $X :\Leftrightarrow \exists B \subseteq \mdr^n$. + $B$ ist $\stackrel{\text{offen}}{\text{abgeschlossen}}$ und $A = B \cap X$ \end{definition} @@ -61,18 +61,18 @@ $f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen. $f: X \rightarrow \mdr^n$. \begin{enumerate} - \item $A$ ist offen in $X \Leftrightarrow \forall x \in A$ + \item $A$ ist offen in $X \Leftrightarrow \forall x \in A$ ex. eine Umgebung $U$ von $x$ mit $U \cap X \subseteq A$ \item $A$ ist abgeschlossen in $X$\\ $\Leftrightarrow X \setminus A$ ist offen in $X$\\ - $\Leftrightarrow$ für jede konvergente Folge $(a_k)$ + $\Leftrightarrow$ für jede konvergente Folge $(a_k)$ in $A$ mit $\lim a_k \in X$ ist $\lim a_k \in A$ \item Die folgenden Aussagen sind äquivalent: \begin{enumerate} \item $f \in C(X, \mdr^m)$ - \item für jede offene Menge $B \subseteq \mdr^m$ ist + \item für jede offene Menge $B \subseteq \mdr^m$ ist $f^{-1}(B)$ offen in $X$ - \item für jede abgeschlossene Menge $B \subseteq \mdr^m$ ist + \item für jede abgeschlossene Menge $B \subseteq \mdr^m$ ist $f^{-1}(B)$ abgeschlossen in $X$ \end{enumerate} \end{enumerate} diff --git a/documents/Analysis III/Kapitel-1.tex b/documents/Analysis III/Kapitel-1.tex index f262156..ff7a5fe 100644 --- a/documents/Analysis III/Kapitel-1.tex +++ b/documents/Analysis III/Kapitel-1.tex @@ -2,7 +2,7 @@ In diesem Kapitel sei $X \neq \emptyset$ eine Menge. \begin{definition} \index{$\sigma$-!Algebra} - Sei $\fa\subseteq\mathcal{P}(X)$, $\fa$ heißt eine + Sei $\fa\subseteq\mathcal{P}(X)$, $\fa$ heißt eine \textbf{$\sigma$-Algebra} auf $X$, wenn gilt: \begin{enumerate} \item[($\sigma_1$)] $X\in\fa$ @@ -14,11 +14,11 @@ In diesem Kapitel sei $X \neq \emptyset$ eine Menge. \begin{beispieleX} \begin{enumerate} - \item $\Set{X,\emptyset}$ und $\mathcal{P}(X)$ sind + \item $\Set{X,\emptyset}$ und $\mathcal{P}(X)$ sind $\sigma$-Algebren auf $X$. - \item Sei $A\subseteq X$, dann ist $\Set{X,\emptyset, A, A^c}$ + \item Sei $A\subseteq X$, dann ist $\Set{X,\emptyset, A, A^c}$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$. - \item $\fa:=\Set{A\subseteq X | A \text{ abzählbar oder } A^c \text{ abzählbar}}$ + \item $\fa:=\Set{A\subseteq X | A \text{ abzählbar oder } A^c \text{ abzählbar}}$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$. \end{enumerate} \end{beispieleX} @@ -41,13 +41,13 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann: \begin{beweis} \begin{enumerate} \item \folgtnach{$\sigma_2$} $\emptyset=X^c\in\fa$. - \item $D:=\bigcap A_j$. $D^c=\bigcup A_j^c\in\fa$ (nach - ($\sigma_2$) und ($\sigma_3$)), also gilt auch + \item $D:=\bigcap A_j$. $D^c=\bigcup A_j^c\in\fa$ (nach + ($\sigma_2$) und ($\sigma_3$)), also gilt auch $D=(D^c)^c\in\fa$. \item \begin{enumerate} - \item \folgtnach{($\sigma_3$) mit $A_{n+j}:=\emptyset$ ($j\ge 1$)} + \item \folgtnach{($\sigma_3$) mit $A_{n+j}:=\emptyset$ ($j\ge 1$)} $A_1\cup\dots\cup A_n\in\fa$. - \item \folgtnach{(2) mit $A_{n+j}:=X$ ($j\ge 1)$} + \item \folgtnach{(2) mit $A_{n+j}:=X$ ($j\ge 1)$} $A_1\cap\dots\cap A_n\in\fa$. \item $A_1\setminus A_2=A_1\cap A_2^c\in\fa$ \end{enumerate} @@ -56,8 +56,8 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann: \begin{lemma} \label{Lemma 1.2} - Sei $\cf \neq \emptyset$ eine Menge von $\sigma$-Algebren auf $X$. - Dann ist + Sei $\cf \neq \emptyset$ eine Menge von $\sigma$-Algebren auf $X$. + Dann ist \[\fa_0:=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\] eine $\sigma$-Algebra auf $X$. \end{lemma} @@ -70,7 +70,7 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann: \forall\fa\in\cf:A\in\fa &\implies \forall\fa\in\cf:A^c\in\fa\\ &\implies A^c\in\fa_0 \end{align*} - \item[($\sigma_3$)] Sei $(A_j)$ eine Folge in $\fa_0$, dann + \item[($\sigma_3$)] Sei $(A_j)$ eine Folge in $\fa_0$, dann ist $(A_j)$ Folge in $\fa$ für alle $\fa\in\cf$, dann gilt: \begin{align*} \forall\fa\in\cf:\bigcap A_j\in\fa \implies \bigcap A_j\in\fa_0 @@ -80,14 +80,14 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann: \begin{definition} \index{Erzeuger} - Sei $\emptyset \neq \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$ und - $\cf:=\{\fa:\fa$ ist $\sigma$-Algebra auf $X$ mit + Sei $\emptyset \neq \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$ und + $\cf:=\{\fa:\fa$ ist $\sigma$-Algebra auf $X$ mit $\mathcal{E}\subseteq\fa\}$. Definiere \[\sigma(\mathcal{E}):=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\] - \folgtnach{1.2} $\sigma(\mathcal{E})$ ist eine $\sigma$-Algebra - auf $X$. $\sigma(\mathcal{E})$ heißt die - \textbf{von $\mathcal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra}. - $\mathcal{E}$ heißt ein \textbf{Erzeuger} von + \folgtnach{1.2} $\sigma(\mathcal{E})$ ist eine $\sigma$-Algebra + auf $X$. $\sigma(\mathcal{E})$ heißt die + \textbf{von $\mathcal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra}. + $\mathcal{E}$ heißt ein \textbf{Erzeuger} von $\sigma(\mathcal{E})$. \end{definition} @@ -95,12 +95,12 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann: \label{Lemma 1.3} Sei $\emptyset\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$. \begin{enumerate} - \item $\mathcal{E}\subseteq\sigma(\mathcal{E})$. - $\sigma(\mathcal{E})$ ist die "`kleinste"' + \item $\mathcal{E}\subseteq\sigma(\mathcal{E})$. + $\sigma(\mathcal{E})$ ist die "`kleinste"' $\sigma$-Algebra auf $X$, die $\mathcal{E}$ enthält. - \item Ist $\mathcal{E}$ eine $\sigma$-Algebra, so ist + \item Ist $\mathcal{E}$ eine $\sigma$-Algebra, so ist $\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{E}$. - \item Ist $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'$, so ist + \item Ist $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'$, so ist $\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$. \end{enumerate} \end{lemma} @@ -108,19 +108,19 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann: \begin{beweis} \begin{enumerate} \item Klar nach Definition. - \item $\fa:=\mathcal{E}$, dann gilt + \item $\fa:=\mathcal{E}$, dann gilt $\fa\subseteq\sigma(\mathcal{E})\subseteq\fa$. - \item $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$, - also folgt nach Definition + \item $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$, + also folgt nach Definition $\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$. \end{enumerate} \end{beweis} \begin{beispiel} \begin{enumerate} - \item Sei $A\subseteq X$ und $\mathcal{E}:=\{A\}$. Dann ist + \item Sei $A\subseteq X$ und $\mathcal{E}:=\{A\}$. Dann ist $\sigma(\mathcal{E})=\{X,\emptyset,A,A^c\}$. - \item $X:=\{1,2,3,4,5\}, \mathcal{E}:=\{\{1\},\{1,2\}\}$. + \item $X:=\{1,2,3,4,5\}, \mathcal{E}:=\{\{1\},\{1,2\}\}$. Dann gilt: \[\sigma(\mathcal{E}):=\{X,\emptyset, \{1\},\{2\},\{1,2\},\{3,4,5\},\{1,3,4,5\},\{2,3,4,5\}\}\] \end{enumerate} @@ -128,11 +128,11 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann: \begin{erinnerung} \index{Offenheit}\index{Abgeschlossenheit} - Sei $d\in\mdn, X\subseteq\mdr^d$. $A\subseteq X$ heißt - \textbf{offen} (\textbf{abgeschlossen}) in $X$, genau dann wenn - ein offenes (abgeschlossenes) $G\subseteq\mdr^d$ existiert mit + Sei $d\in\mdn, X\subseteq\mdr^d$. $A\subseteq X$ heißt + \textbf{offen} (\textbf{abgeschlossen}) in $X$, genau dann wenn + ein offenes (abgeschlossenes) $G\subseteq\mdr^d$ existiert mit $A=X\cap G$.\\ - Beachte: $A$ abgeschlossen in $X$ $\iff$ $X\setminus A$ offen in + Beachte: $A$ abgeschlossen in $X$ $\iff$ $X\setminus A$ offen in $X$. \end{erinnerung} @@ -142,27 +142,27 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann: Sei $X\subseteq\mdr^d$. \begin{enumerate} \item $\mathcal{O}(X):=\Set{A\subseteq X | A \text{ ist offen in } X}$ - \item $\fb(X):=\sigma(\mathcal{O}(X))$ heißt + \item $\fb(X):=\sigma(\mathcal{O}(X))$ heißt \textbf{Borelsche $\sigma$-Algebra} auf $X$. - \item $\fb_d:=\fb(\mdr^d)$. Die Elemente von $\fb_d$ heißen + \item $\fb_d:=\fb(\mdr^d)$. Die Elemente von $\fb_d$ heißen \textbf{Borelsche Mengen} oder \textbf{Borel-Mengen}. \end{enumerate} \end{definition} \begin{beispiel} \begin{enumerate} - \item Sei $\emptyset \neq X\subseteq\mdr^d$. Ist $A\subseteq$ + \item Sei $\emptyset \neq X\subseteq\mdr^d$. Ist $A\subseteq$ $\stackrel{\hbox{offen}}{\hbox{abgeschlossen}}$ in $X$, so ist $A\in\fb(X)$. - \item Ist $A\subseteq\mdr^d$ + \item Ist $A\subseteq\mdr^d$ $\stackrel{\hbox{offen}}{\hbox{abgeschlossen}}$, so ist $A\in\fb_d$. - \item Sei $d=1, A=\mdq$. $\mdq$ ist abzählbar, also - $\mdq=\{r_1,r_2,\dots\}$ (mit $r_i\ne r_j$ für $i\ne j$). - Also ist $\mdq=\bigcup \{r_j\}$. Sei nun $r\in\mdq$, - dann ist $B:=(-\infty,r)\cup(r,\infty)\in\fb_1$. Daraus + \item Sei $d=1, A=\mdq$. $\mdq$ ist abzählbar, also + $\mdq=\{r_1,r_2,\dots\}$ (mit $r_i\ne r_j$ für $i\ne j$). + Also ist $\mdq=\bigcup \{r_j\}$. Sei nun $r\in\mdq$, + dann ist $B:=(-\infty,r)\cup(r,\infty)\in\fb_1$. Daraus folgt $\{r_j\}\in\fb_1$, also auch $\mdq\in\fb_1$.\\ - Allgemeiner lässt sich zeigen: + Allgemeiner lässt sich zeigen: $\mdq^d:=\{(x_1,\dots,x_n):x_j\in\mdq (j=1,\dots,n)\}\in\fb_d$. \item Sei $x_0 \in \mdr^d, \Set{x_0}$ ist abgeschlossen $\Rightarrow \Set{x_0} \in \fb$ @@ -173,8 +173,8 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann: \index{Intervall} \index{Halbraum} \begin{enumerate} - \item Seien $I_1,\dots,I_d$ Intervalle in $\mdr$. - Dann heißt $I_1\times\dots\times I_d$ ein \textbf{Intervall} + \item Seien $I_1,\dots,I_d$ Intervalle in $\mdr$. + Dann heißt $I_1\times\dots\times I_d$ ein \textbf{Intervall} in $\mdr^d$. \item Seien $a=(a_1,\dots,a_d), b=(b_1,\dots,b_d)\in\mdr^d$. \[a\le b:\iff a_j\le b_j \quad \forall j \in \Set{1, \dots, d}\] @@ -185,9 +185,9 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann: [a,b) &:= [a_1,b_1)\times[a_2,b_2)\times\dots\times[a_d,b_d)\\ [a,b] &:= [a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\dots\times[a_d,b_d] \end{align*} - mit der Festlegung $(a,b):=(a,b]:=[a,b):=\emptyset$, falls + mit der Festlegung $(a,b):=(a,b]:=[a,b):=\emptyset$, falls $a_j=b_j$ für ein $j\in\{1,\dots,d\}$. - \item Für $k\in\{1,\dots,d\}$ und $\alpha\in\mdr$ definiere die + \item Für $k\in\{1,\dots,d\}$ und $\alpha\in\mdr$ definiere die folgenden \textbf{Halbräume}: \begin{align*} H_k^-(\alpha) &:= \Set{(x_1,\dots,x_d)\in\mdr^d:x_k\le\alpha}\\ @@ -211,7 +211,7 @@ die beiden Halbräume:\\ \fill[green!15] (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- (a); - % Draw lines indicating intersection with y and x axis. Here we + % Draw lines indicating intersection with y and x axis. Here we % use the perpendicular coordinate system \draw[dotted] (yaxis |- a) node[left] {$a_2$} -| (xaxis -| a) node[below] {$a_1$}; @@ -274,10 +274,10 @@ Entsprechendes gilt für die anderen Typen von Intervallen und Halbräumen. \end{satz} \begin{beweis} -\[\fb_d - \stackrel{(1)}{\subseteq} \sigma(\ce_1) - \stackrel{(2)}{\subseteq} \sigma(\ce_2) - \stackrel{(3)}{\subseteq} \sigma(\ce_3) +\[\fb_d + \stackrel{(1)}{\subseteq} \sigma(\ce_1) + \stackrel{(2)}{\subseteq} \sigma(\ce_2) + \stackrel{(3)}{\subseteq} \sigma(\ce_3) \stackrel{(4)}{\subseteq} \fb_d \] \begin{enumerate} @@ -293,57 +293,57 @@ Entsprechendes gilt für die anderen Typen von Intervallen und Halbräumen. \[\exists N\in\mdn:\forall n\ge N: \forall j\in\{1,\dots,d\}:a_j0\), \(Y:=[0,\infty)\) und - \(D:=X\times Y\), sowie + \(D:=X\times Y\), sowie \[f(x,y):= e^{-xy}\sin x \text{ für } (x,y)\in D\] Es ist \(D\in\fb_2\) und $f$ stetig, also messbar. Es ist weiter \(f\in\mathfrak{L}^1(D)\) (warum?) und @@ -301,8 +301,8 @@ und daraus folgt \(\int_0^\infty e^{-xy}\,dy=\frac1x\) &\leq 2\int^\infty_0 e^{-yR}\,dy \\ &\overset{\text{Vorbemerkung}}=\frac2R \end{align*} - Das heißt also \(\tilde I_R\to 0 \ (R\to\infty)\) und damit folgt + Das heißt also \(\tilde I_R\to 0 \ (R\to\infty)\) und damit folgt die Behauptung durch - \[I_R=\frac{\pi}2-\tilde I_R\to\frac{\pi}2 \ (R\to\infty)\] + \[I_R=\frac{\pi}2-\tilde I_R\to\frac{\pi}2 \ (R\to\infty)\] \end{enumerate} \end{beispiel} diff --git a/documents/Analysis III/Kapitel-11.tex b/documents/Analysis III/Kapitel-11.tex index 9c397fd..9ddb921 100644 --- a/documents/Analysis III/Kapitel-11.tex +++ b/documents/Analysis III/Kapitel-11.tex @@ -1,10 +1,10 @@ Die Sätze in diesem Kapitel geben wir \textbf{ohne} Beweis an. Es seien -\(X,Y\subseteq\mdr^d\) nichtleer und offen. +\(X,Y\subseteq\mdr^d\) nichtleer und offen. \begin{definition} \index{Diffeomorphismus} -Sei \(\Phi\colon X\to Y\) eine Abbildung. \(\Phi\) heißt +Sei \(\Phi\colon X\to Y\) eine Abbildung. \(\Phi\) heißt \textbf{Diffeomorphismus} genau dann wenn \(\Phi\in C^1(X,\mdr^d)\), \(\Phi\) ist bijektiv und \(\Phi^{-1}\in C^{1}(Y,\mdr^d)\).\\ Es gilt \[x=\Phi^{-1}(\Phi(x))\text{ für jedes } x\in X\] @@ -35,7 +35,7 @@ Sei \(A\subseteq\mdr^d\) und \(A^\circ:=\{x\in A :\text{ es existiert ein } r=r( \end{erinnerung} \begin{beispiel} -Sei \(A=\mdr\setminus\mdq\). Es ist \(A^\circ=\emptyset\) und +Sei \(A=\mdr\setminus\mdq\). Es ist \(A^\circ=\emptyset\) und \(A\setminus A^\circ=A\). Aus \(\mdr=A\dot\cup\mdq\) folgt \[\infty=\lambda_1(\mdr)=\lambda_1(A)+\lambda_1(\mdq)=\lambda_1(A)\] Das heißt \(A\setminus A^\circ\) ist keine Nullmenge. @@ -66,7 +66,7 @@ Ist $f \in \fl^{1}(B)$ so gilt $(\ast\ast)$ \item Sei $T\colon \MdR^d \to \MdR^d$ linear und $\det T \neq 0$. Weiter sei $A \in \fb_d$ und $v \in \MdR^d$. Dann ist $T(A) \in \fb_d$ und es gilt: \[\lambda_d(T(A)+v) = \lvert\det T\rvert \cdot\lambda_d(A)\] -\item $\Phi\colon X \to Y$ sei ein Diffeomorphismus und $A \in \fb(X)$. +\item $\Phi\colon X \to Y$ sei ein Diffeomorphismus und $A \in \fb(X)$. Dann ist $\Phi(A) \in \fb_d$ und es gilt: \[\lambda_d(\Phi(A)) = \int_A |\det \Phi'(X)| \, dx\] \item Sei $F \in C^1(X, \MdR^d)$ und $N \subseteq X$ eine Nullmenge. @@ -101,9 +101,9 @@ y = r \sin(\varphi) \end{cases}\] Definiere nun für $(r,\varphi) \in [0,\infty)\times[0,2\pi]$: \[\Phi(r,\varphi) := (r \cos(\varphi), r \sin(\varphi))\] -Dann ist $\Phi \in C^1(\MdR^2, \MdR^2)$ und es gilt: +Dann ist $\Phi \in C^1(\MdR^2, \MdR^2)$ und es gilt: \[\Phi'(r,\varphi) = \begin{pmatrix} -\cos(\varphi) & -r \sin(\varphi) \\ +\cos(\varphi) & -r \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r \cos(\varphi) \end{pmatrix}\] d.h. falls $r > 0$ ist gilt: @@ -119,19 +119,19 @@ Mit \ref{Satz 11.2} folgt dann: \begin{beispiel} \begin{enumerate} -\item Sei $0 \le \rho < R$. Definiere +\item Sei $0 \le \rho < R$. Definiere \[B := \{(x,y) \in \MdR^2 : \rho^2 \le x^2 + y^2 \le R^2\} \] -Dann gilt: +Dann gilt: %% BILD: der Kreisfläche und Trafo \begin{align*} -\lambda_2(B) &= \int_B 1 \text{ d}(x,y)\\ -&= \int_A 1 \cdot r \text{ d}(r,\varphi)\\ +\lambda_2(B) &= \int_B 1 \text{ d}(x,y)\\ +&= \int_A 1 \cdot r \text{ d}(r,\varphi)\\ &\overset{\text{§\ref{Kapitel 10}}}= \int_{\rho}^{R} \left( \int_0^{2\pi} r \text{ d}\varphi \right) \text{ d}r\\ &= \left[ 2\pi \frac{1}{2} r^2 \right]_\rho^R\\ &= \pi (R^2 - \rho^2) \end{align*} - -\item Definiere + +\item Definiere \[B := \{ (x,y) \in \MdR^2 : x^2 + y^2 \le 1, y \ge 0 \}\] %% BILD: der (Halb)Kreisfläche und Trafo Dann gilt: @@ -162,7 +162,7 @@ Außerdem gilt: &= \int_0^\rho \left( \int_0^\rho e^{-x^2} e^{-y^2} \text{ d}y \right) \text{ d}x \\ &= \left( \int_0^\rho e^{-x^2} \text{ d}x \right)^2 \end{align*} - + Wegen $ B_\rho \subseteq Q_\rho \subseteq B_{\sqrt{2} \rho} $ und $f \ge 0$ folgt: \begin{center} \begin{tabular}{cccccc} @@ -172,7 +172,7 @@ $\implies$ &$h(\rho)$ &$\le$ &$\left( \int_0^\rho e^{-x^2} \text{ d}x \right)^2$ $\implies$ &$\sqrt{h(\rho)}$ &$\le$ &$\int_0^\rho e^{-x^2} \text{ d}x$ &$\le$ &$\sqrt{h(\sqrt{2} \rho)}$\\ \end{tabular} \end{center} -Mit $\rho \to \infty$ folgt daraus +Mit $\rho \to \infty$ folgt daraus \[\int_0^\infty e^{-x^2} \text{ d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\] und damit die Behauptung. \end{enumerate} diff --git a/documents/Analysis III/Kapitel-13.tex b/documents/Analysis III/Kapitel-13.tex index 73bca3b..a318b9a 100644 --- a/documents/Analysis III/Kapitel-13.tex +++ b/documents/Analysis III/Kapitel-13.tex @@ -1,11 +1,11 @@ -In diesem Kapitel sei $(x_0,y_0)\in\MdR^2$ (fest), es sei -$R:[0,2\pi]\to[0,\infty)$ stetig und stückweise stetig -differenzierbar und $R(0) = R(2\pi)$. Weiter sei +In diesem Kapitel sei $(x_0,y_0)\in\MdR^2$ (fest), es sei +$R:[0,2\pi]\to[0,\infty)$ stetig und stückweise stetig +differenzierbar und $R(0) = R(2\pi)$. Weiter sei \begin{displaymath} \gamma(t) := (x_0 + R(t)\cos t,y_0 + R(t)\sin t) \text{ } (t\in[0,2\pi]) \end{displaymath} -Dann ist $\gamma$ ein stückweise stetig differenzierbarer, geschlossener und rektifizierbarer Weg in $\MdR^2$. Es sei -\[B:= \{(x_0+r\cos t,y_0 + r\sin t): t\in [0,2\pi ], 0\le r\le R(t)\}\] +Dann ist $\gamma$ ein stückweise stetig differenzierbarer, geschlossener und rektifizierbarer Weg in $\MdR^2$. Es sei +\[B:= \{(x_0+r\cos t,y_0 + r\sin t): t\in [0,2\pi ], 0\le r\le R(t)\}\] Dann ist $B$ kompakt, also $B\in\fb_2 $. Weiter ist $\partial B = \gamma([0,2\pi]) = \Gamma_\gamma$.\\ Sind $B$ und $\gamma$ wie oben, so heißt $B$ \begriff{zulässig}. \index{zulässig} @@ -48,13 +48,13 @@ Mit Polarkoordinaten, Transformations-Satz und Fubini: A = \int_0^{2\pi }(\int_0^{R(t)} u_x(r\cos t,r\sin t)r dr) dt \end{displaymath} \begin{enumerate} - \item $\beta(r,t) := u(r\cos t,r\sin t)$. Nachrechnen: $r\beta_r(r,t)\cos t - \beta_t(r,t)\sin t = u_x(r\cos t,r\sin t)r$. Also: + \item $\beta(r,t) := u(r\cos t,r\sin t)$. Nachrechnen: $r\beta_r(r,t)\cos t - \beta_t(r,t)\sin t = u_x(r\cos t,r\sin t)r$. Also: \begin{displaymath} A = \int_0^{2\pi} (\int_0^{R(t)} (r\beta_r(r,t)\cos t - \beta_t(r,t)\sin t) dr)dt \end{displaymath} \item $\int_0^{R(t)} r\beta_r(r,t) dr = r\beta(r,t)\vert_{r=0}^{r=R(t)} - \underbrace{\int_0^{R(t)} \beta(r,t) dr}_{=:\alpha(t)} = R(t)\beta(R(t),t) - \alpha(t) = R(t)u(\gamma(t)) -\alpha(t)$ \item $\Psi(s,t) := \int_0^s \beta(r,t)dr$. Mit dem zweiten Hauptsatz aus Analysis 1 folgt: $\Psi_s(s,t) = \beta(s,t)$ \\ 7.3 \folgt $\Psi_t(s,t) = \int_0^s \beta_t(r,t) dr$.\\ - Dann: $\alpha(t) = \Psi(R(t),t)$, also + Dann: $\alpha(t) = \Psi(R(t),t)$, also \begin{displaymath} \alpha'(t) = \Psi_s(R(t),t)\cdot R'(t) + \Psi_t(R(t),t)\cdot 1 = R'(t)\underbrace{\beta(R(t),t)}_{=u(\gamma(t))} + \int_0^{R(t)} \beta_t(r,t) dr \end{displaymath} diff --git a/documents/Analysis III/Kapitel-14.tex b/documents/Analysis III/Kapitel-14.tex index e9a640b..9fc7aa7 100644 --- a/documents/Analysis III/Kapitel-14.tex +++ b/documents/Analysis III/Kapitel-14.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \index{Parameterbereich} \index{Normalenvektor} \index{Flächeninhalt} - Es sei $\emptyset \ne B\subseteq \MdR^2$ kompakt, $D\subseteq\MdR^2$ offen und $B\subseteq D$. Weiter sei $\varphi = (\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3) \in C^1(D,\MdR^3)$ und $\varphi = \varphi(u,v)$. Dann heißt $\varphi_{|B}$ eine \textbf{Fläche} (im $\MdR^3$), $S:= \varphi(B)$ heißt \textbf{Flächenstück} und $B$ heißt \textbf{Parameterbereich} der Fläche. Es ist + Es sei $\emptyset \ne B\subseteq \MdR^2$ kompakt, $D\subseteq\MdR^2$ offen und $B\subseteq D$. Weiter sei $\varphi = (\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3) \in C^1(D,\MdR^3)$ und $\varphi = \varphi(u,v)$. Dann heißt $\varphi_{|B}$ eine \textbf{Fläche} (im $\MdR^3$), $S:= \varphi(B)$ heißt \textbf{Flächenstück} und $B$ heißt \textbf{Parameterbereich} der Fläche. Es ist \begin{displaymath} \varphi' = \begin{pmatrix}\frac{\partial \varphi_1}{\partial u} & \frac{\partial\varphi_1}{\partial v}\\ \frac{\partial \varphi_2}{\partial u} & \frac{\partial\varphi_2}{\partial v}\\ @@ -16,10 +16,10 @@ \gamma(t) &:= \varphi(t,v_0) &\gamma'(t) &= \varphi_u(t,v_0) &\gamma'(u_0) &= \varphi_u(u_0,v_0)\\ \tilde{\gamma}(t)&:= \varphi(u_0,t) &\tilde{\gamma}'(t) &= \varphi_v(u_0,v) &\tilde{\gamma}'(v_0) &= \varphi_v(u_0,v_0) \end{align*} - Definere damit den \textbf{Normalenvektor} in $\varphi(u_0,v_0)$: + Definere damit den \textbf{Normalenvektor} in $\varphi(u_0,v_0)$: \[N(u_0,v_0) := \varphi_u(u_0,v_0)\times\varphi_v(u_0,v_0)\] Seien $\Delta u,\Delta v >0$ (aber "`klein"'). $a:= \Delta u\varphi_u(u_0,v_0)$, $b:= \Delta v\varphi_v(u_0,v_0)$. - \[P:= \{\lambda a+\mu b: \ \lambda,\mu\in [0,1]\}\] + \[P:= \{\lambda a+\mu b: \ \lambda,\mu\in [0,1]\}\] Aus der Linearen Algebra folgt, der "`Inhalt"' von $P$ ist $\|a \times b\| = \Delta u\Delta v \|N(u_0,v_0)\|$. \begin{displaymath} I(\varphi) = \int_B \|N(u,v)\| d(u,v) @@ -31,12 +31,12 @@ $B:=[0,2\pi]\times[-\frac\pi2,\frac\pi2]$, $D=\MdR^2$\\ $\varphi(u,v) := (\cos u\cos v,\sin u\cos v,\sin v)$. Dann: $\varphi(B) = \{(x,y,z)\in\MdR^3:\ x^2+y^2+z^2 = 1\}$.\\ Nachrechnen: $N(u,v) = \cos v\varphi(u,v)$. Dann: $\|N(u,v)\| = |\cos v|\underbrace{\|\varphi(u,v)\|}_{=1} = \cos v\ \ \ \ ((u,v)\in B)$. \\ - Damit gilt: + Damit gilt: \[I(\varphi) = \int_B \cos v d(u,v) = \int_0^{2\pi} (\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\cos v d(v)) d(u) = 4\pi\] \end{beispiel} \section{Explizite Parameterdarstellung} -Seien \(B\) und \(D\) wie in obiger Definition und \(f\in C^{1}(D,\,\mdr)\). Setze +Seien \(B\) und \(D\) wie in obiger Definition und \(f\in C^{1}(D,\,\mdr)\). Setze \[\varphi(u,v):=(u,v,f(u,v))\quad((u,v)\in D)\] Damit ist \(\varphi_{|B}\) eine Fläche (in expliziter Darstellung). % hier Graphik einfuegen @@ -45,7 +45,7 @@ Dann ist \(S=\varphi(B)\) gleich dem Graph von \(f_{|B}\). \[ \varphi_{u}=(1,0,f_{u}),\quad \varphi_{v}=(0,1,f_{v}),\quad N(u,v)=(-f_{u},-f_{v},1)\quad\text{(Nachrechnen!)} \] -Damit gilt: +Damit gilt: \[I(\varphi)=\int_{B}{(f_{u}^{2}+f_{v}^{2}+1)^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}(u,v)}\] \begin{beispiel} diff --git a/documents/Analysis III/Kapitel-15.tex b/documents/Analysis III/Kapitel-15.tex index 3d58a8d..dc2bfa2 100644 --- a/documents/Analysis III/Kapitel-15.tex +++ b/documents/Analysis III/Kapitel-15.tex @@ -1,13 +1,13 @@ -In diesem Kapitel sei \(\emptyset\neq B\subseteq\mdr^{2}\), \(B\) +In diesem Kapitel sei \(\emptyset\neq B\subseteq\mdr^{2}\), \(B\) kompakt, \(D\subseteq\mdr^{2}\) offen, \(B\subseteq D\) -und \(\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\in C^{1}(D,\mdr^{3})\). Das heißt: \(\varphi_{|B}\) ist eine Fläche mit +und \(\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\in C^{1}(D,\mdr^{3})\). Das heißt: \(\varphi_{|B}\) ist eine Fläche mit Parameterbereich \(B\), \(S:=\varphi(B)\) \begin{definition} \index{Oberflächenintegral} Definiere die folgenden \textbf{Oberflächenintegrale}: \begin{enumerate} -\item Sei \(f:\,S\to\mdr\) stetig. Dann: +\item Sei \(f:\,S\to\mdr\) stetig. Dann: \[ \int_{\varphi}{f\mathrm{d}\sigma}:=\int_{B}{f(\varphi(u,v))\lVert N(u,v)\rVert\mathrm{d}(u,v)} \] @@ -28,7 +28,7 @@ F(\varphi(u,v))\cdot N(u,v)&=F(u,v,u^{2}+v^{2})\cdot(-2u,-2v,1)\\ &=-(u^{2}+v^{2}) \end{align*} -Also: +Also: \[ \int_{\varphi}{F\cdot n\mathrm{d}\sigma}=-\int_{B}{(u^{2}+v^{2})\mathrm{d}(u,v)}=-\frac{\pi}{2} \] @@ -47,7 +47,7 @@ Es sei \(B\) zulässig, \(\partial B=\Gamma_{\gamma}\), wobei \(\gamma=(\gamma_{ \begin{beispiel} \(D,\,B,\,f,\,F\) und \(\varphi\) seien wie in obigem Beispiel. % Bild einfuegen -Hier: \(\gamma(t)=(\cos t,\sin t)\quad(t\in [0,2\pi])\). +Hier: \(\gamma(t)=(\cos t,\sin t)\quad(t\in [0,2\pi])\). Dann: \((\varphi\circ\gamma)(t)=\varphi(\cos t, \sin t)=(\cos t, \sin t, 1)\quad(t\in [0,2\pi])\). Es ist \(\rot F=0\), also: \(\int_{\varphi}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma}=0\) @@ -61,7 +61,7 @@ Es ist \(\rot F=0\), also: \(\int_{\varphi}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma}=0\) \end{beispiel} \begin{beweis} -Sei \(\varphi:=\varphi\circ\gamma,\,\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\), also +Sei \(\varphi:=\varphi\circ\gamma,\,\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\), also \(\varphi_{j}=\varphi_{j}\circ\gamma\quad(j=1,2,3)\). Zu zeigen: diff --git a/documents/Analysis III/Kapitel-16.tex b/documents/Analysis III/Kapitel-16.tex index 7a1209a..b91a59f 100644 --- a/documents/Analysis III/Kapitel-16.tex +++ b/documents/Analysis III/Kapitel-16.tex @@ -48,7 +48,7 @@ Für \(f\in\fl^{\infty}(X)\): \(\lVert f\rVert_{\infty}:=\esssup_{x\in X}\lVert \end{definition} \begin{bemerkung} -Es sei \(f\in\fl^{\infty}(X)\) und stetig. Außerdem habe jede in \(X\) offene, nichtleere Teilmenge positives Maß. Dann ist \(f\) auf \(X\) beschränkt und \(\sup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert=\esssup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert\). +Es sei \(f\in\fl^{\infty}(X)\) und stetig. Außerdem habe jede in \(X\) offene, nichtleere Teilmenge positives Maß. Dann ist \(f\) auf \(X\) beschränkt und \(\sup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert=\esssup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert\). \end{bemerkung} \begin{beweis} Übung (ist \(N\subseteq X\) eine Nullmenge, so ist \(N^{\circ}=\emptyset\) und \(\overline{X\setminus N}=X\)) @@ -57,10 +57,10 @@ Es sei \(f\in\fl^{\infty}(X)\) und stetig. Außerdem habe jede in \(X\) offene, \begin{beispiel} Sei \(d=1,\,X=[1,\infty),\,p>1\,(p<\infty),\,\alpha,\beta>0,\,f(x)=\frac{1}{x^{\alpha}},\,g(x)=\frac{1}{x^{\beta}}\) \begin{enumerate} -\item \[f\in\fl^{p}(X)\overset{\text{\ref{Satz 4.14}}}{\iff}\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{\alpha p}}}\mathrm{d}x\] +\item \[f\in\fl^{p}(X)\overset{\text{\ref{Satz 4.14}}}{\iff}\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{\alpha p}}}\mathrm{d}x\] konvergiert genau dann, wenn \(\alpha p>1\Leftrightarrow \alpha>\frac{1}{p}\) \item -\[fg\in\fl^{1}(X)\overset{\text{\ref{Satz 4.14}}}{\iff}\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{\alpha+\beta}}\mathrm{d}x}\] +\[fg\in\fl^{1}(X)\overset{\text{\ref{Satz 4.14}}}{\iff}\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{\alpha+\beta}}\mathrm{d}x}\] konvergiert genau dann, wenn $\alpha+\beta >1$ \end{enumerate} \end{beispiel} @@ -92,7 +92,7 @@ Ist \(p=2\,(\implies p'=2)\), so heißt obige Ungleichung auch \textbf{Cauchy-Sc \begin{itemize} \item[Fall 1:] \(p=1\) (also \(p'=\infty\)) oder \(p=\infty\) (also \(p'=1\)). Etwa \(p=1,\,p'=\infty\). -Sei \(c>0\) und \(N_{c}\subseteq X\) Nullmenge mit: \(\lvert g(x)\rvert\leq c\,\forall x\in X\setminus N_{c}\). +Sei \(c>0\) und \(N_{c}\subseteq X\) Nullmenge mit: \(\lvert g(x)\rvert\leq c\,\forall x\in X\setminus N_{c}\). \(\tilde{g}:=\mathds{1}_{X\setminus N_{c}}\cdot g\) Dann: \(g=\tilde{g}\) fast überall und \(\lvert\tilde{g}\rvert\leq c\) auf \(X\). Weiter: \(fg=f\tilde{g}\) fast überall, @@ -102,7 +102,7 @@ Dann: \[ \int_{X}{\lvert fg\rvert\mathrm{d}x}=\int_{X}{\lvert f\tilde{g}\rvert\mathrm{d}x}=\int_{X}{\lvert f\rvert\underbrace{\lvert\tilde{g}\rvert}_{\leq c}\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lvert f\rvert\mathrm{d}x}=c\cdot\lVert f\rVert_{1}<\infty \] -Also: \(fg\in\fl^{1}(X)\) und \(\lVert fg\rVert_{1}\leq c\lVert f\rVert_{1}\). Übergang zum Infimum über alle \(c>0\) +Also: \(fg\in\fl^{1}(X)\) und \(\lVert fg\rVert_{1}\leq c\lVert f\rVert_{1}\). Übergang zum Infimum über alle \(c>0\) liefert: \(\lVert fg\rVert_{1}\leq\lVert g\rVert_{\infty}\cdot\lVert f\rVert_{1}\) \item[Fall 2:] Sei \(10)$. Dann gilt nach +\item Sei $X:=(0,1]$, $1\le p0)$. Dann gilt nach \ref{Satz 4.14} und Analysis I: \begin{align*} f\in\fl^p(X)&\iff\int_0^1\frac1{x^{\alpha p}}\text{ d}x \text{ konvergiert}\\ @@ -229,13 +229,13 @@ Dann ist $f\in\fl^p(X)$ und es gilt Aus (i) und (ii) folgt: $|f|^p \leq g$ f.ü. Im Kapitel 5 haben wir gesehen, dass dann gilt: \[ \int_X |f|^p \text{ d}x \leq \int_X g \text{ d}x < \infty \] -(denn $g$ ist nach Voraussetzung integrierbar). +(denn $g$ ist nach Voraussetzung integrierbar). Daraus folgt: $f \in \fl^p(X)$. Setze $g_n := |f_n - f|^p$. Aus (i): $g_n \to 0$ f.ü. Es sind $f_n, f \in \fl^p(X)$ (ersteres nach Voraussetzung, zweiteres haben wir gerade gezeigt), und weil $\fl^p(X)$ ein reeller Vektorraum ist (\ref{Satz 16.1}(2)), folgt: \[ f_n - f \in \fl^p(X) \] Also $g_n \in \fl^1(X)$. -Es ist +Es ist \[ 0 \leq g_n \leq \left( |f_n| + |f| \right)^p \leq \left( g^{\frac{1}{p}} + g^{\frac{1}{p}} \right)^p = \left( 2g^{\frac{1}{p}} \right)^p = 2^p g \quad\text{f.ü.} \] Mit \ref{Satz 6.2} folgt schließlich: \[ \underbrace{\int_X g_n \text{ d}x}_{=\|f_n - f\|_p^p} \to 0. \] @@ -256,19 +256,19 @@ und die Addition zu einem Vektorraum über $\mdr$ wird. \end{definition} -Setze für $\hat f \in L^1(X)$: +Setze für $\hat f \in L^1(X)$: \[\int_X \hat f(x) \text{ d}x := \int_X f(x) \text{ d}x\] dabei ist diese Definition unabhängig von der Wahl des Repräsentanten $f \in \fl^1(X)$ von $\hat f$, denn: ist auch noch $g \in \fl^1(X)$ und $\hat g = \hat f$, so ist $f - g \in \cn$, also $f-g = 0$ f.ü. und damit: $\int_X f \text{ d}x = \int_X g \text{ d}x$. -Für $\hat f \in L^p(X)$ definiere +Für $\hat f \in L^p(X)$ definiere \[\| \hat f \|_p := \| f \|_p\] wobei diese Definition unabhängig ist von der Wahl des Repräsentanten $f \in \fl^p(X)$ von $\hat f$. -Für $\hat f, \hat g \in L^2(X)$ setze +Für $\hat f, \hat g \in L^2(X)$ setze \[( \hat f | \hat g ) := \int_X f(x)g(x) \text{ d}x\] (auch diese Definition ist Repräsentanten-unabhängig) (Beachte: $f\cdot g \in \fl^1(X)$ ) -\textbf{Dann gilt:} +\textbf{Dann gilt:} \index{Ungleichung!Cauchy-Schwarz} \begin{enumerate} \item $L^p(X)$ ist unter $\| \cdot \|_p$ ein normierter Raum (NR). \item Für $\hat f, \hat g \in L^2(X)$ gilt: @@ -296,7 +296,7 @@ so heißt $B$ ein \textbf{Prähilbertraum}. Ist $B$ ein Banachraum mit $(*)$, so Seien \(f,f_n\in\fl^p(X)\) \begin{enumerate} \item \(\| f_n-f\|_p = \| \hat{f_n}-\hat f\|_p\to 0\) genau - dann, wenn \((\hat{f_n})\) eine konvergente Folge im normierten Raum \(L^p(X)\) + dann, wenn \((\hat{f_n})\) eine konvergente Folge im normierten Raum \(L^p(X)\) mit dem Grenzwert \(\hat f\) ist. \item \((\hat f_n)\) ist eine \textbf{Cauchyfolge} (CF) in \(L^p(X)\) genau dann, wenn für jedes $\ep>0$ ein $n_0\in\mdn$ exitiert mit: \begin{align*} @@ -331,26 +331,26 @@ Sei \(X=[0,1]\) und \((I_n)\) sei die folgende Folge von Intervallen: \[I_1=\left[0,1\right], I_2=\left[0,\frac12\right], I_3=\left[\frac12,1\right], I_4=\left[0,\frac14\right], I_5=\left[\frac14,\frac12\right], I_6=\left[\frac12, \frac34\right], I_7=\left[\frac34,1\right], \dots\] Es sei \(f_n:=\mathds{1}_{I_n}\), sodass \(\int_X f_n\,dx=\int_{I_n}1\,dx=\lambda_1(I_n)\to 0\). -Also \(\hat f_n\in L^1(X)\) und \(\| \hat f_n-\hat 0\|_1\to 0\). -Ist \(x\in X\), so gilt: \(x\in I_n\) für unendlich viele \natn. Daraus folgt, dass eine Teilfolge +Also \(\hat f_n\in L^1(X)\) und \(\| \hat f_n-\hat 0\|_1\to 0\). +Ist \(x\in X\), so gilt: \(x\in I_n\) für unendlich viele \natn. Daraus folgt, dass eine Teilfolge \(I_{n_j}\) mit \(x\in I_{n_j}\) für jedes \(j\in\mdn\) existiert. Somit ist \(f_{n_j}(x)=1\) für jedes \(j\in\mdn\) und deshalb gilt fast überall \(f_n\nrightarrow 0\). \end{beispiel} \begin{beweis}[von \ref{Satz 16.4}] -Setze \(\ep_j:=\frac1{2^j}\ (j\in\mdn)\). -Zu \(\ep_1\) existiert ein \(n_1\in\mdn\) mit \(\| f_l-f_{n_1}\|_p<\ep_1\) -für alle \(l\geq n_1\). -Zu \(\ep_2\) existiert ein \(n_2\in\mdn\) mit \(n_2>n_2\) und +Setze \(\ep_j:=\frac1{2^j}\ (j\in\mdn)\). +Zu \(\ep_1\) existiert ein \(n_1\in\mdn\) mit \(\| f_l-f_{n_1}\|_p<\ep_1\) +für alle \(l\geq n_1\). +Zu \(\ep_2\) existiert ein \(n_2\in\mdn\) mit \(n_2>n_2\) und \(\| f_l-f_{n_2}\|_p<\ep_2\) für alle \(l\geq n_2\). Etc.\\ -Wir erhalten eine Teilfolge \((f_{n_j})\) mit +Wir erhalten eine Teilfolge \((f_{n_j})\) mit \[(+)\ \ \ \| f_l-f_{n_j}\|_p<\ep_j \text{ für alle } l\geq n_j \text{ mit } j\in\mdn\] Setze \(g_j:=f_{n_{j+1}}-f_{n_j}\ (j\in\mdn)\). Klar: \(g_l\in\fl^p(X)\). Für \(N\in\mdn\): \[S_N:=\int_X\left(\sum^N_{j=1}\lvert g_j(x)\rvert^p\right)^{\frac1p}\] Dann: \begin{align*} - S_N=\left\lvert\left\lvert\sum^N_{j=1}\lvert g_j\rvert\right\rvert\right\rvert_p + S_N=\left\lvert\left\lvert\sum^N_{j=1}\lvert g_j\rvert\right\rvert\right\rvert_p \leq \sum^N_{j=1}\| g_j\|_p \overset{\text{(+)}}\leq \sum^N_{j=1}\ep_j =\sum^N_{j=1}\frac1{2^j} @@ -368,10 +368,10 @@ Somit ist \(g^p\) ist integrierbar. Aus \ref{Satz 5.2} folgt, dass eine Nullmeng existiert mit \(0\leq g^p(x)<\infty\) für alle \(x\in X\setminus N_1\). Es ist dann auch \(0\leq g(x)<\infty\) für alle \(x\in X\setminus N_1\) und somit folgt nach Konstruktion von $g$, dass \(\sum^\infty_{j=1}g_j\,dx\) konvergiert absolut in jedem \(x\in X\setminus N_1\). -Aus Analysis I folgt, dass damit \(\sum^\infty_{j=1}g_j\,dx\) in jedem +Aus Analysis I folgt, dass damit \(\sum^\infty_{j=1}g_j\,dx\) in jedem \(x\in X\setminus N_1\) konvergiert. -Für \(m\in\mdn\): +Für \(m\in\mdn\): \[\sum^{m-1}_{j=1}g_j=f_{n_m}-f_{n_1} \implies f_{n_m}=\sum^{m-1}_{j=1}g_j + f_{n_1} \] Deshalb ist \((f_{n_m})\) konvergent (in \mdr) für alle \(x\in X\setminus N_1\). \begin{align*} @@ -381,18 +381,18 @@ f(x):= 0 &, x\in N_1 \end{cases} \end{align*} -Aus \S 3 ist bekannt, dass $f$ messbar ist. Klar: \(f_{n_m}\to f\) fast überall und +Aus \S 3 ist bekannt, dass $f$ messbar ist. Klar: \(f_{n_m}\to f\) fast überall und \(f(X)\subseteq\mdr\). -Es ist \(f_{n_m}=\sum^{m-1}_{j=1}g_j + f_{n_1}\) und somit +Es ist \(f_{n_m}=\sum^{m-1}_{j=1}g_j + f_{n_1}\) und somit \[\lvert f_{n_m}\rvert = \lvert f_{n_1}\rvert + \sum^{m-1}_{j=1}g_j \leq \lvert f_{n_1}\rvert + \lvert g\rvert\] Wie im Beweis von Satz \ref{Satz 16.1} folgern wir \[\lvert f_{n_m}\rvert^p\leq 2^p\left(\lvert f_{n_1}\rvert^p+g^p\right)=:\tilde g \] \(f_{n_1}\in\fl^p(X)\), \(g^p\) ist integrierbar. Aus \ref{Satz 16.3} folgt, dass \(f\in\fl^p(X)\) und \[\| f_{n_m}-f\|_p\to 0 \ (m\to\infty)\] -Sei nun \(\ep>0\). Wähle \(m\in M\) so, dass \(\frac1{2^m}<\frac\ep2\) und +Sei nun \(\ep>0\). Wähle \(m\in M\) so, dass \(\frac1{2^m}<\frac\ep2\) und \(\| f-f_{n_m}\|_p<\frac\ep2\). -Für \(l\geq n_m\) gilt: +Für \(l\geq n_m\) gilt: \[\| f_l-f\|_p= \| f_l-f_{n_m}+f_{n_m}-f\|_p \leq \| f_l-f_{n_m}\|_p + \| f_{n_m}-f\|_p \overset{\text{(+)}}< \frac1{2^m}+\frac\ep2 <\ep\] @@ -416,7 +416,7 @@ Dann ist fast überall \(f=g\). \item[\textbf{1.}] Aus Bemerkung (3) vor \ref{Satz 16.4} folgt, dass \((\hat f_n)\) ist eine Cachyfolge in \(L^p(X)\). Wegen \ref{Satz 16.4} existiert dann ein \(\varphi\in\fl^p(X)\) und eine Teilfolge - \((f_{n_j})\) mit: \(f_{n_j}\to\varphi\) fast überall und + \((f_{n_j})\) mit: \(f_{n_j}\to\varphi\) fast überall und \(\| f_n-\varphi\|_p\to0\) \begin{align*} \| f-\varphi\|_p @@ -434,14 +434,14 @@ Dann ist fast überall \(f=g\). \[g_{j_k}(x)\to g(x) \text{ für alle } x\in X\setminus N_2\] \end{enumerate} Wir wissen, dass \(N:=N_1\cup N_2\) eine Nullmenge ist. Sei nun \(x\in X\setminus N\). Dann -folgt aus dem ersten Schritt \(f_{n_j}(x)\to f(x)\) und daraus +folgt aus dem ersten Schritt \(f_{n_j}(x)\to f(x)\) und daraus \[ \underbrace{f_{n_{j_k}}(x)}_{=g_{n_{j_k}}(x)}\to f(x) \] Aus dem Zweiten Schritt folgt dann, dass \(f_{n_{j_k}}(x)\to g(x)\) und somit \(f(x)=g(x)\). \end{beweis} \begin{bemerkung} Seien \(f_n,f\in\fl^p(X)\) und es gelte \(\| f_n-f\|_p\to 0\ \ (n\to\infty)\). Der -Beweis von \ref{Satz 16.5} zeigt, dass eine Teilfolge \((f_{n_j})\) von \((f_n)\) existiert mit +Beweis von \ref{Satz 16.5} zeigt, dass eine Teilfolge \((f_{n_j})\) von \((f_n)\) existiert mit \(f_{n_j}\to f\) fast überall. \end{bemerkung} @@ -457,7 +457,7 @@ Sei \((f_n)\) wie im Beispiel vor \ref{Satz 16.4}. Also \(\| f_n-0\|_p\to 0\), a \begin{beispiel} %Bild einfügen -Sei \(X=[0,1]\) und \(f_n\) sei wie im Bild. \(f_n\) ist stetig, also messbar. +Sei \(X=[0,1]\) und \(f_n\) sei wie im Bild. \(f_n\) ist stetig, also messbar. \[\int_X f_n\,dx=1 \text{ für alle } \natn\] Somit ist \(f_n\in\fl^1(X)\). \[f_n(x)\to @@ -465,7 +465,7 @@ Somit ist \(f_n\in\fl^1(X)\). 0, x\in(0,1]\\ 1, x=0 \end{cases}\] -Damit gilt fast überall \(f_n\to0\), aber +Damit gilt fast überall \(f_n\to0\), aber \(\| f_n-0\|_1=1\nrightarrow0 \ \ (n\to\infty)\) \end{beispiel} @@ -481,9 +481,9 @@ Seien \((E,\|\cdot\|_1), (F,\|\cdot\|_2)\) normierte Räume. \[\sum^\infty_{n=1}x_n:=\lim_{n\to\infty}s_n\] \item \(\Phi\colon E\to F\) sei eine Abbildung. \(\Phi\) heißt \textbf{stetig} in \(x_0\in E\) genau dann, wenn für jede konvergente Folge \((x_n)\) in $E$ mit \(x_n\to x_0\) - gilt: \[\Phi(x_n)\to\Phi(x_0)\] + gilt: \[\Phi(x_n)\to\Phi(x_0)\] \(\Phi\) heißt auf $E$ stetig genau dann, wenn \(\Phi\) ist in jedem \(x\in E\) stetig. -\item Für $(x,y)\in E\times E$ setze +\item Für $(x,y)\in E\times E$ setze \[\|(x,y)\|:=\sqrt{\|x\|_1^2+\|y\|_1^2}\] Dann ist $\|\cdot\|$ eine Norm auf $E\times E$ (nachrechnen!). Weiter gilt, dass $E\times E$ genau dann ein Banachraum ist, wenn $E$ einer ist. Für eine Folge $((x_n,y_n))$ in $E\times E$ und $(x,y)\in E\times E$ gilt \[(x_n,y_n)\stackrel{\|\cdot\|}\to (x,y) \iff x_n\stackrel{\|\cdot\|}\to x \wedge y_n\stackrel{\|\cdot\|}\to y\] @@ -506,7 +506,7 @@ Für den Rest dieser Vorlesung schreiben wir (meist) $f$ statt $\hat f$ und iden \item Die Abbildung $\Phi:L^p(X)\to\mdr$, definiert durch \[\Phi(f):=\|f\|_p\] ist stetig auf $L^p(X)$. D.h. für $f_n,f\in L^p(X)$ mit $f_n\stackrel{\|\cdot\|_p}\to f$ gilt $\|f_n\|_p\to\|f\|_p$, also -\[\int_X|f_n|^p\text{ d}x\to\int_X|f|^p\text{ d}x\] +\[\int_X|f_n|^p\text{ d}x\to\int_X|f|^p\text{ d}x\] \begin{beweis} Aus Analysis II §17 folgt: \[| \|f_n\|_p-\|f\|_p |\le \|f_n-f\|_p\stackrel{n\to\infty}\to 0\] @@ -553,13 +553,13 @@ Es genügt den Fall $f\ge 0$ zu betrachten (also $f=f_+$, $f_-\equiv 0$). Sei al \begin{align*} 0\le\varphi_n&\le (|f_n|+|f|)^p\\ &=|f_n+f|^p\le (2f)^p\\ -&=2^pf^p=:g +&=2^pf^p=:g \end{align*} Dann ist $g\in L^1(X)$ integrierbar.\\ Aus \ref{Satz 4.9} folgt: \begin{align*} \varphi\in L^1(X)&\implies f_n-f\in L^p(X)\\ -&\implies f_n=(f_n-f)+f\in L^p(X) +&\implies f_n=(f_n-f)+f\in L^p(X) \end{align*} Aus \ref{Satz 6.2} folgt: \[\int_X\varphi_n\text{ d}x\to 0 \implies \|f_n-f\|_p^p\to 0\] diff --git a/documents/Analysis III/Kapitel-17.tex b/documents/Analysis III/Kapitel-17.tex index 9dad0d1..b8b00b6 100644 --- a/documents/Analysis III/Kapitel-17.tex +++ b/documents/Analysis III/Kapitel-17.tex @@ -12,7 +12,7 @@ Aus 3.2 folgt: $f$ ist messbar genau dann, wenn $u$ und $v$ messbar sind. \begin{definition} \index{integrierbar}\index{Integral} Sei $f$ messbar. $f$ heißt \textbf{integrierbar} (ib.) genau dann, wenn $u$ und $v$ integrierbar sind. -In diesem Fall setze +In diesem Fall setze \[ \int_X f \text{ d}x := \int_X u \text{ d}x + i\int_X v \text{ d}x \quad ( \in \MdC) \] \end{definition} @@ -23,22 +23,22 @@ Hieraus und aus 4.9 folgt: $f$ ist integrierbar genau dann, wenn $|f|$ integrier \[ \fl^p(X, \MdC) := \{ f : X \to \MdC | f \text{ ist messbar und } \int_X |f|^p \text{ d}x < \infty \} \] (Achtung: mit den Betragsstrichen in ob. Integral ist der komplexe Betrag gemeint!) \[ \cn := \{ f: X \to \MdC | f \text{ ist messbar und } f = 0 \text{ f.ü.} \} \] -$\fl^p(X,\MdC )$ ist ein komplexer Vektorraum (siehe 17.1) und $\cn$ ist ein Untervektorraum von $\fl^p(X,\MdC )$. +$\fl^p(X,\MdC )$ ist ein komplexer Vektorraum (siehe 17.1) und $\cn$ ist ein Untervektorraum von $\fl^p(X,\MdC )$. \[ L^p(X,\MdC ) := \fl^p(X,\MdC)\diagup\cn \] \end{definition} \begin{definition} \index{orthogonal} -Für $f,g \in L^2(X,\MdC )$ setze +Für $f,g \in L^2(X,\MdC )$ setze \[(f | g) := \int_X f(x) \overline{g(x)} \text{ d}x\] -sowie +sowie \[f \bot g :\Longleftrightarrow (f | g) = 0 \quad \text{ ($f$ und $g$ sind \textbf{orthogonal}).} \] ( $\overline{z}$ bezeichne hierbei die komplex Konjugierte von $z$, vgl. Lineare Algebra). \end{definition} \textbf{Klar:} \begin{enumerate} \item $L^p(X,\MdC )$ ist mit $\| f \|_p := (\int_X |f|^p \text{ d}x )^{\frac{1}{p}}$ ein komplexer normierter Raum (NR). -\item $(f | g)$ definiert ein Skalarprodukt auf $L^2(X,\MdC)$. Es ist +\item $(f | g)$ definiert ein Skalarprodukt auf $L^2(X,\MdC)$. Es ist \[(f | g) = \overline{(g | f)}, \] \[ (f | f) = \int_X f(x) \overline{f(x)} \text{ d}x = \int_X |f(x)|^2 \text{ d}x = \| f \|_2^2 \text{, also:} \] \[ \| f\|_2 = \sqrt{(f|f)} \quad (f,g \in L^2(X,\MdC )) \] @@ -56,16 +56,16 @@ sowie \begin{enumerate} \item Seien \(f,g\colon X\to\mdc\) integrierbar und \(\alpha,\beta\in\mdc\). Dann gelten: \begin{enumerate} - \item[(i)] \(\alpha f+\beta g\) ist integrierbar und + \item[(i)] \(\alpha f+\beta g\) ist integrierbar und \[\int_X(\alpha f+\beta g)\,dx = \alpha\int_Xf\,dx+\beta\int_Xg\,dx\] \item[(ii)] \(\text{Re}\left(\int_Xf\,dx\right) = \int_X\text{Re}(f)\,dx\ \) und \(\ \text{Im}\left(\int_Xf\,dx\right) = \int_X\text{Im}(f)\,dx\) - \item[(iii)] \(\overline f\) ist integrierbar und + \item[(iii)] \(\overline f\) ist integrierbar und \[\int_X\overline f\,dx=\overline{\int_Xf\,dx}\] \end{enumerate} - \item Die Sätze \ref{Satz 16.1} bis \ref{Satz 16.3} und das Beispiel \ref{Beispiel 16.6} gelten in + \item Die Sätze \ref{Satz 16.1} bis \ref{Satz 16.3} und das Beispiel \ref{Beispiel 16.6} gelten in \(L^p(X,\mdc)\). - \item \(L^p(X,\mdc)\) ist ein komplexer Banachraum, \(L^2(X,\mdc)\) ist ein komplexer + \item \(L^p(X,\mdc)\) ist ein komplexer Banachraum, \(L^2(X,\mdc)\) ist ein komplexer Hilbertraum. \end{enumerate} \end{satz} @@ -79,12 +79,12 @@ Sei \(X=[0,2\pi]\). Für \(k\in\MdZ\) und \(t\in\mdr\) setzen wir Dann gilt: \(b_k,e_k\in L^2([0,2\pi],\mdc)\) und \[\int_0^{2\pi}e_0(t)\,dt=2\pi\] Für \(k\in\MdZ\) und \(k\neq0\) ist \begin{align*} - \int_0^{2\pi}e_k(t)\,dt=\left.\frac1{ik}e^{ikt}\right\rvert_0^{2\pi} + \int_0^{2\pi}e_k(t)\,dt=\left.\frac1{ik}e^{ikt}\right\rvert_0^{2\pi} = \frac1{ik}\left(e^{2\pi ki}-1\right)=0 \intertext{Damit ist} (b_k\mid b_l) = \int^{2\pi}_0 b_k\overline{b_l}\,dt = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{ikt}e^{-ilt}\,dt = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{i(k-l)t}\,dt = - \begin{cases} + \begin{cases} 1 ,\text{falls } k=l\\ 0 ,\text{falls }k\neq l \end{cases} @@ -95,19 +95,19 @@ Zur Übung: \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) ist linear unabhängig in \(L^2([0,2\pi],\m \end{wichtigesbeispiel} \begin{definition} -Sei \((\alpha_k)_{k\in\MdZ}\) eine Folge in \(\mdc\) und \((f_k)_{k\in\MdZ}\) eine Folge in +Sei \((\alpha_k)_{k\in\MdZ}\) eine Folge in \(\mdc\) und \((f_k)_{k\in\MdZ}\) eine Folge in \(L^2(X,\mdc)\). \begin{enumerate} - \item Für \(n\in\mdn_0\) setze + \item Für \(n\in\mdn_0\) setze \[s_n:=\sum^n_{k=-n}\alpha_k = \sum_{\lvert k\rvert\leq n}\alpha_k =\alpha_{-n}+\alpha_{-(n-1)}+\dots+\alpha_0+\alpha_1+\dots+\alpha_n\] Existiert \(\lim_{n\to\infty}s_n\) in \(\mdc\), so schreiben wir \(\sum_{k\in\MdZ}\alpha_k:=\lim_{n\to\infty}s_n\) - \item Für \(n\in\mdn_0\) setze + \item Für \(n\in\mdn_0\) setze \[\sigma_n:=\sum^n_{k=-n}f_k=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}f_k\] - Gilt für ein \(f\in L^2(X,\mdc)\): + Gilt für ein \(f\in L^2(X,\mdc)\): \(\| f-\sigma_n\|_2\overset{n\to\infty}\longrightarrow 0\), so schreiben - wir \[f\overset{\|\cdot\|_2}=\sum_{k\in\MdZ}f_k \ \ \ + wir \[f\overset{\|\cdot\|_2}=\sum_{k\in\MdZ}f_k \ \ \ \left(=\lim_{n\to\infty}\sigma_n \text{ im Sinne der } L^2\text{-Norm}\right)\] \end{enumerate} \end{definition} @@ -119,19 +119,19 @@ Sei \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) wie in \ref{Beispiel 17.2}. \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\ \(f\in L^2([0,2\pi],\mdc)\) eine Folge \[(c_k)_{k\in\MdZ}=(c_k(f))_{k\in\MdZ}\] gibt, mit \[(\ast)\ \ \ \ \ \ \ \ \ f\overset{\|\cdot\|_2}=\sum_{k\in\MdZ}c_kb_k \] \textbf{Frage:} Ist \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) eine ONB von \(L^2([0,2\pi],\mdc)\)?\\ -\textbf{Antwort:} Ja! In \ref{Satz 18.5} werden wir sehen, dass \((\ast)\) gilt mit +\textbf{Antwort:} Ja! In \ref{Satz 18.5} werden wir sehen, dass \((\ast)\) gilt mit \(c_k=(f\mid b_k)\). \end{definition} \chapter{Fourierreihen} \label{Kapitel 18} -In diesem Kapitel sei stets \(X=[0,2\pi]\), \(L^2:=L^2([0,2\pi],\mdc)\) und +In diesem Kapitel sei stets \(X=[0,2\pi]\), \(L^2:=L^2([0,2\pi],\mdc)\) und \(L^2_\mdr:=L^2([0,2\pi],\mdr)\). Weiter sei \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) wie in \ref{Beispiel 17.2}. \begin{satz} \label{Satz 18.1} -Ist \(f\in L^2\) und gilt mit einer Folge \((c_k)_{k\in\MdZ}\) in \(\mdc\): +Ist \(f\in L^2\) und gilt mit einer Folge \((c_k)_{k\in\MdZ}\) in \(\mdc\): \(f\overset{\|\cdot\|_2}=\sum_{k\in\MdZ}c_kb_k \), so gilt: \[c_k=(f\mid b_k) \text{ für alle } k\in\MdZ\] \end{satz} @@ -139,7 +139,7 @@ Ist \(f\in L^2\) und gilt mit einer Folge \((c_k)_{k\in\MdZ}\) in \(\mdc\): \begin{beweis} Für \(n\in\mdn_0\) setze \[\sigma_n:=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}c_kb_k\] Aus der Voraussetzung folgt \(\| \sigma_n-f\|_2\to 0\) für \(n\to\infty\). Sei \(j\in\MdZ\) und \(n\in\mdn\) mit -\(n\geq \lvert j\rvert\). Es gilt einerseits +\(n\geq \lvert j\rvert\). Es gilt einerseits \[(\sigma_n\mid b_j) = \sum_{\lvert k\rvert\leq n}c_k(b_k\mid b_j)=c_j, \text{ da gilt: } (b_k\mid b_j)= \begin{cases} @@ -163,11 +163,11 @@ Sei \(f\in L^2\), \(n\in\mdn_0\) und \(k\in\MdZ\). \to0\] \item \((f\mid b_k)\) heißt \textbf{k-ter Fourierkoeffizient von f}. \item \(\sum_{k\in\MdZ}(f\mid b_k)b_k\) heißt \textbf{Fourierreihe von f}. -\item Für \(n_0\in\mdn_0\) setze - \(E_n:=[b_{-n},b_{-(n-1)},\dots,b_0,b_1,\dots,b_n]\) +\item Für \(n_0\in\mdn_0\) setze + \(E_n:=[b_{-n},b_{-(n-1)},\dots,b_0,b_1,\dots,b_n]\) (lineare Hülle). Es ist dann \[\dim E_n=2n+1\] \textbf{Beachte: } Für \(v\in E_n\) gilt \(v(0)=v(2\pi)\). -\end{enumerate} +\end{enumerate} \end{definition} \begin{satz} @@ -177,7 +177,7 @@ Sei \(f\in L^2\), \(n\in\mdn_0\) und \(k\in\MdZ\). Seien \(f_1,\dots,f_n,f\in L^2\). \begin{enumerate} \item Gilt \(f_\mu\perp f_\nu\) für \(\mu\neq\nu\) (\(\mu,\nu=1,\dots,n\)), - so gilt der Satz des Pythagoras + so gilt der Satz des Pythagoras \[\| f_1+\dots+f_n\|^2_2= \| f_1\|^2_2+\dots+ \| f_n\|^2_2\] @@ -186,15 +186,15 @@ Seien \(f_1,\dots,f_n,f\in L^2\). L^2\to E_n\\ S_nf:=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}(f\mid b_k)b_k \end{cases}\] - ist linear und für jedes \(v\in E_n\) gilt \(S_nv=v\) und + ist linear und für jedes \(v\in E_n\) gilt \(S_nv=v\) und \((f-S_nf)\perp v\) mit \(f\in L^2\). \item Die \textbf{Besselsche Ungleichung} lautet: \[\| S_nf\|^2_2 =\sum_{\lvert k\rvert\leq n}\lvert(f\mid b_k)\rvert^2 =\| f\|_2^2-\|(f-S_nf)\|^2_2 \leq\| f\|^2_2\] -\item Für alle \(v\in E_n\) gilt: - \[\| f-S_nf\|_2\leq\| f-v\|_2 +\item Für alle \(v\in E_n\) gilt: + \[\| f-S_nf\|_2\leq\| f-v\|_2 \] \end{enumerate} \end{satz} @@ -207,26 +207,26 @@ Seien \(f_1,\dots,f_n,f\in L^2\). &= (f_1+f_2\mid f_1+f_2) \\ &= (f_1\mid f_1)+(f_1\mid f_2)+(f_2\mid f_1)+(f_2\mid f_2) \\ &= (f_1\mid f_1)+(f_2\mid f_2) \\ - &=\| f_1\|^2_2+\| f_2\|^2_2 + &=\| f_1\|^2_2+\| f_2\|^2_2 \end{align*} \item Übung! \item Es gilt \begin{align*} \| S_nf\|^2_2 &= \left\lvert\left\lvert\sum_{\lvert k\rvert\leq n}(f\mid b_k)b_k\right\rvert - \right\rvert^2_2 + \right\rvert^2_2 \overset{(1)}= \sum_{\lvert k\rvert\leq n}\|(f\mid b_k)b_k\rvert - \rvert^2_2 + \rvert^2_2 = \sum_{\lvert k\rvert\leq n}\lvert(f\mid b_k)\rvert^2\| b_k\rvert - \rvert^2_2 + \rvert^2_2 = \sum_{\lvert k\rvert\leq n}\lvert(f\mid b_k)\rvert^2 \end{align*} und \begin{align*} - \| f\|^2_2 + \| f\|^2_2 = \|\underbrace{(f-S_nf)}_{\underset{(2)}\perp E_n} - +\underbrace{S_nf}_{\in E_n}\|^2_2 + +\underbrace{S_nf}_{\in E_n}\|^2_2 = \| f-S_nf\|^2_2 + \| S_nf\|^2_2 \end{align*} \item Sei \(v\in E_n\). Dann gilt: @@ -244,17 +244,17 @@ Seien \(f_1,\dots,f_n,f\in L^2\). \begin{wichtigebemerkung} \label{Bemerkung 18.3} -Es sei \(\mdk\in\{\mdr,\mdc\},\,a,b\in\mdr,\,I:=[a,b]\,(a0\) gilt: \(U_{\ep}(x_{0})\cap I\not\subseteq N\) (andernfalls: - \(\lambda_{1}(N)\geq\lambda_{1}(U_{\ep}(x_{0})\cap I)>0\)). Das heißt, es existiert ein +Sei \(x_{0}\in\mdn\). Für \(\ep>0\) gilt: \(U_{\ep}(x_{0})\cap I\not\subseteq N\) (andernfalls: + \(\lambda_{1}(N)\geq\lambda_{1}(U_{\ep}(x_{0})\cap I)>0\)). Das heißt, es existiert ein \(x_{\ep}\in U_{\ep}(x_{0})\cap I:\,x_{\ep}\not\in N\). Also: \(\forall n\in\mdn\,\exists x_{n}\in U_{\frac{1}{n}}(x_{0})\cap I:\, x_{n}\not\in N\). Also: \(x_{n}\to x_{0}\).\\ Dann: \(f(x_{0})=\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=\lim_{n\to\infty}g(x_{n})=g(x_{0})\) @@ -287,9 +287,9 @@ Sei \(f\in\mathrm{L}^{2}\). Dann gilt: \(f\overset{\lVert\cdot\rVert_{2}}{=}\sum \begin{beweis} Zu zeigen: \(\lVert f-S_{n}f\rVert_{2}\to0\,(n\to\infty)\). Die Parsevalsche Gleichung folgt dann aus \ref{Satz 18.2}.\\ -Sei \(\ep>0\). Wende \ref{Satz 16.8}(2) auf \(\Re f\) und \(\Im f\) an. Dies liefert eine stetige Funktion +Sei \(\ep>0\). Wende \ref{Satz 16.8}(2) auf \(\Re f\) und \(\Im f\) an. Dies liefert eine stetige Funktion \(g:\,(0,2\pi)\to\mdc\) mit: \(K:=\supp(g)\subseteq(0,2\pi)\), \(K\) kompakt und \(\lVert f-g\rVert_{2}<\ep\).\\ -Setze \(g(0):=g(2\pi):=0\). Dann ist \(g\) stetig auf \([0,2\pi]\). Satz \ref{Satz 18.4} liefert nun: +Setze \(g(0):=g(2\pi):=0\). Dann ist \(g\) stetig auf \([0,2\pi]\). Satz \ref{Satz 18.4} liefert nun: \(\exists n\in\mdn\exists v\in\mathrm{E}_{n}:\,\lVert g-v\rVert_{\infty}<\ep\).\\ Damit: \(\lVert g-v\rVert_{2}\leq\sqrt{2\pi}\lVert g-v\rVert_{\infty}<\sqrt{2\pi}\ep\). Somit: \begin{align*} @@ -344,9 +344,9 @@ Fourierreihe von \(f\) ist eine \textbf{Sinusreihe}. \begin{enumerate} \item \(f(t):=\begin{cases}1,&0\leq t\leq\pi\\-1,&\pi0\). Es existiert \(C\in\cf_{d}:\overline{C}\subseteq B\) + \item Sei \(\delta>0\). Es existiert \(C\in\cf_{d}:\overline{C}\subseteq B\) und \(\lambda_{d}(B\setminus C)\leq\delta\). - \item Ist \(B_{n+1}\subseteq B_{n}\forall n\in\mdn\) und - \(\bigcap B_{n}=\emptyset\), so gilt: + \item Ist \(B_{n+1}\subseteq B_{n}\forall n\in\mdn\) und + \(\bigcap B_{n}=\emptyset\), so gilt: \(\lambda_{d}(B_{n})\to 0\,(n\to \infty)\) \end{enumerate} \end{satz} \begin{beweis} \begin{enumerate} -\item Aus Lemma \ref{Lemma 2.1} folgt: Es existiert +\item Aus Lemma \ref{Lemma 2.1} folgt: Es existiert \(\{I_{1},\dots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt und es existiert \(\{I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt: \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}},\,B=\bigcup_{j=1}^{m}{I_{j}'}\). -\(J:=\{I_{1},\dots,I_{n},I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\). Aus -\(A\cap B=\emptyset\) folgt: \(J\) ist disjunkt. Dann: +\(J:=\{I_{1},\dots,I_{n},I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\). Aus +\(A\cap B=\emptyset\) folgt: \(J\) ist disjunkt. Dann: \(A\cup B=\bigcup_{I\in J}{I}\) % Hier auch wieder: \bigcupdot Also: @@ -187,7 +187,7 @@ Dann: Aus der Definition von Kompaktheit (Analysis II, \S 2) folgt: \(\exists m\in\mdn:\,\bigcup_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}^{c}}\supseteq\overline{B}_{1}\) Dann: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}\subseteq\overline{B}_{1}^{c}\). -Andererseits: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}\subseteq\bigcap_{j=1}^{m}{B_{j}}\subseteq B_{1}\subseteq\overline{B}_{1}\). +Andererseits: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}\subseteq\bigcap_{j=1}^{m}{B_{j}}\subseteq B_{1}\subseteq\overline{B}_{1}\). Also: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}=\emptyset\). Das heißt: \(\bigcap_{j=1}^{n}{\overline{C}_{j}}=\emptyset \quad \forall n\geq m\) @@ -198,7 +198,7 @@ Also: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}=\emptyset\). Das heißt: \begin{beweis} (induktiv) \begin{itemize} \item[I.A.] \(\lambda_{d}(B_{1}\setminus D_{1})=\lambda_{d}(B_{1}\setminus C_{1})\overset{\eqref{eq: Abschaetzung Mass -- Beweis Satz 2.3.(5)}}{\leq}\frac{\ep}{2}=\left(1-\frac{1}{2}\right)\ep\) \checkmark -\item[I.V.] Sei \(n\in\mdn\) und es gelte +\item[I.V.] Sei \(n\in\mdn\) und es gelte $\lambda_{d}(B_{n}\setminus D_{n})\leq\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)\ep$ \item[I.S.] \begin{align*} \lambda_{d}(B_{n+1}\setminus D_{n+1})&=\lambda_{d}\left((B_{n+1}\setminus D_{n})\cup(B_{n+1}\setminus C_{n+1})\right)\\ @@ -216,7 +216,7 @@ Für \(n\geq m:\,D_{n}=\emptyset\,\implies\,\lambda_{d}(B_{n})=\lambda_{d}(B_{n} \begin{definition} \index{Prämaß} -Es sei \(\fr\) ein Ring auf \(X\). Eine Abbildung \(\mu:\fr\to[0,\infty]\) +Es sei \(\fr\) ein Ring auf \(X\). Eine Abbildung \(\mu:\fr\to[0,\infty]\) heißt ein \textbf{Prämaß} \ auf \(\fr\), wenn gilt: \begin{enumerate} \item \(\mu(\emptyset)=0\) @@ -240,7 +240,7 @@ Für \(n\geq 2\): \[ \lambda_{d}(A)=\lambda_{d}(A_{1}\cup\dots\cup A_{n-1}\cup B_{n})\overset{\ref{Satz 2.3}.(1)}{=}\sum_{j=1}^{n-1}{\lambda_{d}(A_{j})}+\lambda_{d}(B_{n}) \] -Daraus folgt: +Daraus folgt: \[ \sum_{j=1}^{n-1}{\lambda_{d}(A_{j})}=\lambda_{d}(A)-\lambda_{d}(B_{n})\quad\forall n\geq 2 \] @@ -268,7 +268,7 @@ Sei \(\emptyset\neq\ce\subseteq\cp(X)\), es seien \(\nu,\,\mu\) Maße auf Es gelte: \begin{enumerate} \item \(E,F\in\ce\implies E\cap F\in\ce\quad\text{(durchschnittstabil)}\) - \item $\exists$ eine Folge \((E_{n})\) in \(\ce\): \(\bigcup{E_{n}}=X\) + \item $\exists$ eine Folge \((E_{n})\) in \(\ce\): \(\bigcup{E_{n}}=X\) und \(\mu(E_{n})<\infty \quad \forall n\in\mdn\). \item \(\mu(E)=\nu(E) \quad \forall E\in\ce\) \end{enumerate} @@ -286,18 +286,18 @@ und wird ebenfalls mit \(\lambda_{d}\) bezeichnet. \folgtnach{(\ref{Lemma 2.1}) und (\ref{Satz 2.4})}: \(\lambda_{d}\) ist ein Prämaß\ auf \(\fr:=\cf_{d}\); es ist \(\sigma(\fr)=\fb_{d}\). -\folgtnach{\ref{Satz 2.5}}: \(\lambda_{d}\) kann zu einem Maß auf -\(\sigma(\cf_{d}) = \fb_{d}\) fortgesetzt werden. Für diese +\folgtnach{\ref{Satz 2.5}}: \(\lambda_{d}\) kann zu einem Maß auf +\(\sigma(\cf_{d}) = \fb_{d}\) fortgesetzt werden. Für diese Fortsetzung schreiben wir wieder $\lambda_d$, also $\lambda_d: \fb_{d} \rightarrow [0, +\infty]$ -Sei \(\nu\) ein weiteres Maß\ auf \(\fb_{d}\) mit: +Sei \(\nu\) ein weiteres Maß\ auf \(\fb_{d}\) mit: \(\nu(A)=\lambda_{d}(A)\,\forall A\in\cf_{d}\). \(\ce:=\ci_{d}\). Dann: \(\sigma(\ce)\overset{\ref{Satz 1.4}}{=}\fb_{d}\). \begin{enumerate} \item \(E,F\in\ce\overset{\ref{Lemma 2.1}}{\implies}E\cap F\in\ce\) \item \(E_{n}:=(-n,n]^{d}\) - Klar: + Klar: \begin{align*} \bigcup E_{n}&=\mdr^{d}\\ \lambda_{d}(E_{n})&=(2n)^{d}<\infty @@ -426,9 +426,9 @@ Also auch: \end{beweis} \textbf{Auswahlaxiom:}\\ -Sei $\emptyset\ne\Omega$ Indexmenge, es sei $\Set{X_\omega | \omega\in\Omega}$ -ein disjunktes System von nichtleeren Mengen $X_\omega$. Dann -existiert ein $C\subseteq\bigcup_{\omega\in\Omega}X_\omega$, sodass +Sei $\emptyset\ne\Omega$ Indexmenge, es sei $\Set{X_\omega | \omega\in\Omega}$ +ein disjunktes System von nichtleeren Mengen $X_\omega$. Dann +existiert ein $C\subseteq\bigcup_{\omega\in\Omega}X_\omega$, sodass $C$ mit jedem $X_j$ genau ein Element gemeinsam hat. \begin{satz}[Satz von Vitali] @@ -450,7 +450,7 @@ Es ist $\mdq^d\cap[-1,1]^d=\{q_1,q_2,\dots\}$ mit $q_i\ne q_j$ für $(i\ne j)$. \end{align*} \begin{beweis} Sei $x\in[0,1]^d$. Wähle $y\in C$ mit $y\in[x]$, dann ist $x\sim y$, also $x-y\in\mdq^d\cap[-1,1]^d$. D.h.: -\[\exists n\in\mdn: x-y=q_n\implies x=q_n+y\in q_n+C\] +\[\exists n\in\mdn: x-y=q_n\implies x=q_n+y\in q_n+C\] \end{beweis} Außerdem ist $\Set{q_n+C | n\in\mdn}$ disjunkt. \begin{beweis} diff --git a/documents/Analysis III/Kapitel-3.tex b/documents/Analysis III/Kapitel-3.tex index 75a4640..c272e8c 100644 --- a/documents/Analysis III/Kapitel-3.tex +++ b/documents/Analysis III/Kapitel-3.tex @@ -18,8 +18,8 @@ Seien die Bezeichnungen wie in obiger Definition, dann gilt: \begin{enumerate} \item $f$ sei $\fa$-$\fb$-messbar, $\fa'$ eine weitere $\sigma$-Algebra auf $X$ mit $\fa\subseteq\fa'$ und $\fb'$ sei eine $\sigma$-Algebra auf $Y$ mit $\fb'\subseteq\fb$.\\ Dann ist $f$ $\fa'$-$\fb'$-messbar. -\item Sei $X_0\in\fa$, dann gilt $\fa_{X_0}\subseteq\fa$ nach -\ref{Satz 1.5}. Nun sei $f:X\to Y$ $\fa$-$\fb$-messbar, dann ist +\item Sei $X_0\in\fa$, dann gilt $\fa_{X_0}\subseteq\fa$ nach +\ref{Satz 1.5}. Nun sei $f:X\to Y$ $\fa$-$\fb$-messbar, dann ist $f_{\mid X_0}:X_0\to Y$ $\fa_{X_0}$-$\fb$-messbar. \end{enumerate} \end{bemerkung} @@ -66,7 +66,7 @@ Dann: \(\fb=\sigma(\ce)\subseteq\fd\). Ist \(B\in\fb\), so ist \(B\in\fd\), also \index{messbar!Borel}\index{messbar} Sei \(X\in\fb_{d}\). Ist \(f:\,X\to\mdr^{k}\) \(\fb(X)-\fb_{k}-\)messbar, so heißt \(f\) \textbf{(Borel-)messbar}. \end{definition} -Ab jetzt sei stets \(\emptyset \neq X\in\fb_{d}\). +Ab jetzt sei stets \(\emptyset \neq X\in\fb_{d}\). (Erinnerung: \(\fb(X)=\Set{A\in\fb_{d} | A\subseteq X}\)) \begin{satz} @@ -80,7 +80,7 @@ Seien \(f,\,g:\,X\to\mdr^{k}\) Abbildungen und \(\alpha,\beta\in\mdr\). \item Sei \(k=1\) und \(f\) und \(g\) seien messbar. Dann: \begin{enumerate} \item \(f \cdot g\) ist messbar - \item Ist \(f(x)\neq 0 \quad \forall x\in X\), so ist + \item Ist \(f(x)\neq 0 \quad \forall x\in X\), so ist \(\frac{1}{f}\) messbar \item \(\Set{x\in X | f(x)\stackrel{>}{\geq} g(x)} \in \fb(X)\) \end{enumerate} @@ -96,13 +96,13 @@ Seien \(f,\,g:\,X\to\mdr^{k}\) Abbildungen und \(\alpha,\beta\in\mdr\). stetig, also messbar. Es ist \(g=\vp\circ f\). \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)} \(g\) ist messbar. -\item +\item \begin{itemize} - \item["`\(\Rightarrow:\)"'] Für \(j=1, \dots,k\) sei - \(p_{j}:\mdr^{k}\to\mdr\) definiert durch + \item["`\(\Rightarrow:\)"'] Für \(j=1, \dots,k\) sei + \(p_{j}:\mdr^{k}\to\mdr\) definiert durch \(p_{j}(x_{1},\dots,x_{k}):=x_{j}\) - \(p_{j}\) ist stetig, also messbar. Es ist - \(f_{j}=p_{j}\circ f\) \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)} + \(p_{j}\) ist stetig, also messbar. Es ist + \(f_{j}=p_{j}\circ f\) \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)} \(f_{j}\) ist messbar. \item["`\(\Leftarrow:\)"'] Sei \(I=(a,b]=\prod_{j=1}^{k}{(a_{j},b_{j}]}\in I_{k}\quad (a=(a_{1},\dots,a_{k}),\,b=(b_{1},\dots,b_{k}),\,a\leq b)\)\\ Dann: \(f^{-1}(I)=\bigcap_{j=1}^{k}{\underbrace{f_{j}^{-1}(\underbrace{(a_{j},b_{j}]}_{\in\fb_{1}}}_{\in\fb(X)}}\in\fb(X)\) @@ -114,7 +114,7 @@ Es ist \(g=\vp\circ f\). \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)} \(g\) ist messbar. \(\vp\) ist stetig, also messbar. Es ist \(\alpha f+\beta g=\vp\circ h\) \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)} \(\alpha f+\beta g\) ist messbar. -\item +\item \begin{enumerate} \item \(h:=(f,g):\,X\to\mdr^{2k}\) ist messbar (nach (2)); \(\vp(x,y):=xy\), \(\vp\) ist stetig, also messbar. @@ -130,10 +130,10 @@ Es ist \(fg=\vp\circ h\) \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)} \(fg\) ist messbar. \begin{folgerungen} \label{Lemma 3.3} - Seien \(A,\,B\in\fb(X),\,A\cap B=\emptyset\) und \(X=A\cup B\). + Seien \(A,\,B\in\fb(X),\,A\cap B=\emptyset\) und \(X=A\cup B\). Weiter seien \(f:A\to\mdr^{k}\) und \(g:B\to\mdr^{k}\) messbar.\\ - Dann ist \(h:X\to\mdr^{k}\), definiert durch + Dann ist \(h:X\to\mdr^{k}\), definiert durch \[ h(x):=\begin{cases}f(x)&x\in A\\g(x)&x\in B\end{cases}, \] @@ -184,7 +184,7 @@ In \(\imdr\) gelten folgende Regeln, wobei \(a\in\mdr\): \begin{definition} \begin{enumerate} -\item Sei \((x_{n})\) eine Folge in +\item Sei \((x_{n})\) eine Folge in \(\imdr\). \(x_{n}\rightarrow+\infty:\Leftrightarrow\forall c\in\mdr\,\exists n_{c}\in\mdn:x_{n}\geq c\quad\forall n\geq n_{c}\)\\ Analog für \(-\infty\). \item Seien \(f,g: X\to\imdr\) Funktionen. Dann: @@ -208,7 +208,7 @@ Analog für \(-\infty\). \begin{definition} \index{Borel!$\sigma$-Algebra}\index{messbar} -\(\ifb_{1}:=\Set{B\cup E | B\in\fb_{1},\,E\subseteq\Set{-\infty,+\infty}}\). +\(\ifb_{1}:=\Set{B\cup E | B\in\fb_{1},\,E\subseteq\Set{-\infty,+\infty}}\). Dann: \(\fb_{1}\subseteq\ifb_{1}\)\\ Übung: \(\ifb_{1}\) ist eine \(\sigma\)-Algebra auf \(\imdr\).\\ Klar: \(\fb_{1} \subseteq \ifb_{1}\) @@ -258,11 +258,11 @@ Die folgenden Beweise erfolgen exemplarisch für einen der Unterpunkte und funkt \item Es gilt: \[\forall a \in \mdq\colon \{f\le a\}=\Set{x\in X | f(x)\le a}=f^{-1}(\underbrace{[-\infty,a]}_{\ce_1}) (*)\] Die Äquivalenz folgt dann aus (1) und \ref{Satz 3.1}. - \item Die Funktion $f:X\to\imdr$ kann aufgefasst werden als Funktion $\overline{f}:X\to\imdr$. Es ist $f$ genau dann $\fb(X)$-$\fb_1$-messbar wenn $\overline{f}$ $\fb(X)$-$\overline{\fb_1}$-messbar ist. + \item Die Funktion $f:X\to\imdr$ kann aufgefasst werden als Funktion $\overline{f}:X\to\imdr$. Es ist $f$ genau dann $\fb(X)$-$\fb_1$-messbar wenn $\overline{f}$ $\fb(X)$-$\overline{\fb_1}$-messbar ist. \end{enumerate} \end{beweis} -\begin{bemerkung}\ +\begin{bemerkung}\ \begin{enumerate} \item Ist $X \subseteq \mdr$ ein Intervall und $f: \bar X \rightarrow \mdr$ monoton, so ist $f$ messbar (vgl. 3. ÜB) @@ -284,11 +284,11 @@ Es ist $|f(x)|=1 \quad \forall x \in \mdr^d$, also $|f| = \mathds{1}_{\mdr^d}$. \begin{definition} Sei $M\subseteq\imdr$. \begin{enumerate} -\item Ist $M=\emptyset$ oder $M=\{-\infty\}$, so sei +\item Ist $M=\emptyset$ oder $M=\{-\infty\}$, so sei \[\sup M:=-\infty\] -\item Ist $M\setminus\{-\infty\}\ne\emptyset$ und nach oben beschränkt (also insbesondere $\infty\not\in M$), so sei +\item Ist $M\setminus\{-\infty\}\ne\emptyset$ und nach oben beschränkt (also insbesondere $\infty\not\in M$), so sei \[\sup M:= \sup (M\setminus\{-\infty\})\] -\item Ist $M\setminus\{-\infty\}$ nicht nach oben beschränkt oder $\infty\in M$, so sei +\item Ist $M\setminus\{-\infty\}$ nicht nach oben beschränkt oder $\infty\in M$, so sei \[\sup M:=\infty\] \item Es sei $\inf M:=-\sup(-M)$, wobei $-M:=\Set{-m | m\in M}$. \end{enumerate} @@ -343,7 +343,7 @@ Also ist $\sup_{n\in\mdn} f_n$ messbar. Analog lässt sich die Messbarkeit von $ Sei $X=I$ ein Intervall in $\mdr$ und $f:I\to\mdr$ sei auf $I$ differenzierbar.\\ Für $x\in I,n\in\mdn$ sei $f_n:= n(f(x-\frac1n)-f(x))$. Da $f$ stetig ist, ist auch jedes $f_n$ stetig, also insbesondere messbar und es gilt: \[f_n(x)=\frac{f(x-\frac1n)-f(x)}{\frac1n}\stackrel{n\to\infty}{\to}f'(x)\] -Aus \ref{Satz 3.5}(2) folgt, dass $f'$ messbar ist. +Aus \ref{Satz 3.5}(2) folgt, dass $f'$ messbar ist. \end{beispiel} \begin{definition} @@ -435,13 +435,13 @@ Sei $f:X\to\imdr$ eine Funktion, dann ist $f$ genau dann messbar, wenn eine Folg Dann ist $\varphi_n$ $(\fb_1)_{[0,\infty]}$-$\fb_1$-messbar, außerdem gilt: \begin{align*} \forall t\in[0,\infty]\forall n\in\mdn&: 0\le\varphi_1\le\dots\le t\\ -\forall t\in[0,n]\forall n\in\mdn&: t-\frac1{2^n}\le\varphi_n(t)\le t +\forall t\in[0,n]\forall n\in\mdn&: t-\frac1{2^n}\le\varphi_n(t)\le t \end{align*} und es ist $\varphi_n(t)\stackrel{n\to\infty}\to t$ für alle $t\in[0\infty]$. Setze $f_n:=\varphi_n\circ f$. Dann leistet $(f_n)$ das gewünschte. \item Es ist $f=f_+-f_-$ und $f_+,f_-\ge0$ auf $X$. Seien $(g_n),(h_n)$ zulässige Folgen für $f_+$ bzw. $f_-$. Definiere $f_n:=g_n-h_n$. Dann ist klar, dass gilt: \[\forall x\in X: f_n(x)=g_n(x)-h_n(x)\stackrel{n\to\infty}\to f_+(x)-f_-(x)=f(x)\] Weiter gilt: \[|f_n|\le g_n+h_n\le f_++f_-=|f|\] -\item Ohne Beweis. +\item Ohne Beweis. \end{enumerate} \end{beweis} diff --git a/documents/Analysis III/Kapitel-4.tex b/documents/Analysis III/Kapitel-4.tex index 8276fcd..1d35525 100644 --- a/documents/Analysis III/Kapitel-4.tex +++ b/documents/Analysis III/Kapitel-4.tex @@ -53,7 +53,7 @@ Sei $f:X\to[0,\infty]$ messbar. $(f_n)$ sei eine für $f$ zulässige Folge. Das \end{align*} \end{definition} -\begin{bemerkung}\ +\begin{bemerkung}\ \begin{enumerate} \item In \ref{Satz 4.3} werden wir sehen, dass $(*)$ unabhängig ist von der Wahl der für $f$ zulässigen Folge $(f_n)$. \item $(f_n(x))$ ist wachsend für alle $x\in X$, d.h.: @@ -92,8 +92,8 @@ Es folgt \(x\in B_n\) für jedes \(n\geq n(x)\).\\ \textbf{Fazit:} \(X=\bigcup B_n\). \[A_j=A_j\cap X=A_j\cap\left(\bigcup B_n\right) = \bigcup(A_j\cap B_n) \text{ und } A_j\cap B_n\subseteq A_j\cap B_{n+1} \] Aus \ref{Satz 1.7} folgt \(\lambda(A_j)=\lim\limits_{n\to\infty}\lambda(A_j\cap B_n)\). Das liefert: \begin{align*} - \int\limits_Xg\,dx &= \sum\limits_{j=1}^m y_j\lambda(A_j) - = \sum\limits_{j=1}^m y_j\lim\limits_{n\to\infty}\lambda(A_j\cap B_n)\\ + \int\limits_Xg\,dx &= \sum\limits_{j=1}^m y_j\lambda(A_j) + = \sum\limits_{j=1}^m y_j\lim\limits_{n\to\infty}\lambda(A_j\cap B_n)\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{j=1}^m y_j\lambda(A_j\cap B_n) \overset{\ref{Satz 4.1}}= \lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_X \mathds{1}_{B_n}g\,dx\\ &\leq \lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_X \alpha f_n\,dx @@ -127,7 +127,7 @@ Dann ist wegen \ref{Satz 3.7} und \(\alpha , \beta \geq 0\), dass \((h_n)\) zul \begin{enumerate} \item["'$\implies$"'] Sei \(\int_Xf\,dx=0\) und \(A_n:=\{f>\frac{1}{n}\}\). Dann ist \(A=\bigcup A_n\) und \(f\geq\frac{1}{n}\mathds{1}_{A_n}\). Damit folgt: \begin{align*} -0 = \int_Xf\,dx +0 = \int_Xf\,dx \overset{\text{(2)}}\geq \int_X\frac1{n}\mathds{1}_{A_n}\,dx =\frac1{n}\lambda(A_n) \intertext{Es ist also \(\lambda(A_n)=0\) und damit gilt weiter} @@ -212,7 +212,7 @@ Sei $X \in \fb_1$, $f(x) := \begin{cases} 1&,x\in X\cap\MdQ\\ 0&,x\in X\setminus $X, \MdQ \in \fb_1 \implies X \cap \MdQ \in \fb_1 \implies f$ ist messbar. \[0 \leq \int_X f(x) \text{ d}x = \int_X \mathds{1}_{X\cap\MdQ} \text{ d}x = \lambda(X\cap\MdQ) \leq \lambda(\MdQ) = 0\] \textbf{Das heißt:} $f \in \fl^1(X)$, $\int_X f \text{ d}x = 0$. -Ist speziell $X = [a,b]\quad (a 1, f_n(x) := \frac{1}{x^\alpha} \sin{\frac{x}{n}} (x \in X, n \in \mathbb{N})$.\\ Berechne $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_X f_n(x) \mathrm{d}x$\\ @@ -132,9 +132,9 @@ Also gilt auch: \begin{beispiel} Sei \(X:=[1,\infty)\) und \(f_n(x):=\frac1{x^\frac32}\sin\left(\frac xn \right) \) für alle \(x\in X, n\in\mdn\) mit \(f_n(x)\to f(x)\equiv 0\) für jedes \(x\in X\). -Dann ist \(\lvert f_n(x) \rvert\leq \frac1{x^\frac32}\) für jedes \(x\in X\) und $\natn$. +Dann ist \(\lvert f_n(x) \rvert\leq \frac1{x^\frac32}\) für jedes \(x\in X\) und $\natn$. Definiere nun \[g(x):=\frac1{x^\frac32}\] -Aus Analysis I ist bekannt, dass \(\int^\infty_1 g(x)\,dx\) (absolut) konvergent ist +Aus Analysis I ist bekannt, dass \(\int^\infty_1 g(x)\,dx\) (absolut) konvergent ist und aus \ref{Satz 4.14} folgt \[g\in\mathfrak{L}^1(X) \text{ sowie } \int_X g(x)\,dx = \text{R-}\int^\infty_1 g(x)\,dx\] Weiter folgen aus \ref{Satz 6.2}: \[\int_X f_n\,dx\to 0 \text{ und } \int_X\lvert f_n\rvert\,dx\to 0 \ (n\to\infty) \] @@ -155,17 +155,17 @@ Weiter folgen aus \ref{Satz 6.2}: \begin{beweis} \begin{enumerate} - \item Sei \(x\in X\). Es exisitert ein $m\in\mdn$, für das \(x\in A_m\) ist und somit auch \(x\in A_n \) für jedes \(n\geq m\). Nach der Definition von $f_n$ gilt dann \(f_n(x)=f(x)\) für jedes \(n\geq m\) und somit \(f_n\to f\) auf $X$. Damit gilt auch \[\lvert f_n\rvert\to\lvert f\rvert \text{ auf } X\] Durch die Konstruktion der $f_n$ ergibt sich: + \item Sei \(x\in X\). Es exisitert ein $m\in\mdn$, für das \(x\in A_m\) ist und somit auch \(x\in A_n \) für jedes \(n\geq m\). Nach der Definition von $f_n$ gilt dann \(f_n(x)=f(x)\) für jedes \(n\geq m\) und somit \(f_n\to f\) auf $X$. Damit gilt auch \[\lvert f_n\rvert\to\lvert f\rvert \text{ auf } X\] Durch die Konstruktion der $f_n$ ergibt sich: \[ \lvert f_n\rvert=\lvert \mathds{1}_{A_n}f\rvert=\mathds{1}_{A_n}\lvert f\rvert \leq \mathds{1}_{A_{n+1}}\lvert f\rvert=\lvert f_{n+1}\rvert \] Dann gilt: \[ \int_X \lvert f\rvert\,dx \overset{\ref{Satz 4.6}}=\lim\int_X \lvert f_n\rvert\,dx = \lim\int_{A_n} \lvert f\rvert\,dx \overset{Vor.}<\infty \] - Es folgt, dass \(\lvert f\rvert\) integrierbar ist und somit ist nach \ref{Satz 4.9} auch $f$ integrierbar. Da \(\lvert f_n\rvert \leq \lvert f\rvert\) auf $X$ für jedes \(\natn\) gilt, ist $f$ eine + Es folgt, dass \(\lvert f\rvert\) integrierbar ist und somit ist nach \ref{Satz 4.9} auch $f$ integrierbar. Da \(\lvert f_n\rvert \leq \lvert f\rvert\) auf $X$ für jedes \(\natn\) gilt, ist $f$ eine integrierbare Majorante und es folgt mit \ref{Satz 6.2}: \[ \int_Xf\,dx = \lim\int_Xf_n\,dx = \lim\int_{A_n}f\,dx \] \item Setze \(A_n:=[a,n]\ (\natn)\) und es gelte o.B.d.A.: \(a\leq 1\). Dann gilt: \[ \int_{A_n}\lvert f\rvert\,dx \overset{\ref{Satz 4.13}}= \text{R-}\int^n_a \lvert f\rvert\,dx \overset{Vor.}\longrightarrow \text{R-}\int^\infty_a \lvert f\rvert\,dx \] D.h.\(\left(\int_{A_n}\lvert f\rvert\,dx\right)\) ist beschränkt. Definiere \(f_n:=\mathds{1}_{A_n}f\) mit \ref{Satz 4.13} folgt daraus, dass $f_n$ integrierbar ist. Weiter folgt - aus (1) \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) (denn es ist \(f(X)\subseteq\mdr\)) und + aus (1) \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) (denn es ist \(f(X)\subseteq\mdr\)) und \[ \text{L-}\int_Xf\,dx = \lim\int_{A_n}f\,dx \overset{\ref{Satz 4.13}}= \lim\left(\text{R-}\int^n_a f\,dx \right) = \text{R-}\int^\infty_a f\,dx. \] \end{enumerate} \end{beweis} @@ -177,12 +177,12 @@ Weiter folgen aus \ref{Satz 6.2}: \begin{folgerung} \label{Folgerung 6.4} \begin{enumerate} - \item \((f_n)\) sei eine Folge integrierbarer Funktionen \(f_n\colon X\to\imdr\), \(g\colon X\to[0,+\infty]\) sei ebenfalls integrierbar und + \item \((f_n)\) sei eine Folge integrierbarer Funktionen \(f_n\colon X\to\imdr\), \(g\colon X\to[0,+\infty]\) sei ebenfalls integrierbar und \[g_n:=f_1+f_2+\dots+f_n \ (\natn)\] - Weiter sei $N$ eine Nullmenge in $X$ so, dass \((g_n(x))\) für jedes \(x\in X\setminus N\) in $\imdr$ konvergiert und + Weiter sei $N$ eine Nullmenge in $X$ so, dass \((g_n(x))\) für jedes \(x\in X\setminus N\) in $\imdr$ konvergiert und \[\lvert g_n(x)\rvert \leq g(x) \text{ für jedes } \natn \text{ und } x\in X\setminus N\] Setzt man - \[f(x):=\sum^\infty_{j=1}f_j(x):= + \[f(x):=\sum^\infty_{j=1}f_j(x):= \begin{cases} 0, & \text{falls } x\in N \\ \lim\limits_{n\to\infty}g_n(x), & \text{falls } x\in X\setminus N @@ -198,7 +198,7 @@ Weiter folgen aus \ref{Satz 6.2}: \begin{enumerate} \item Fast überall gelten \(g_n\to f\) und für jedes \(\natn\) auch \(\lvert g_n\rvert \leq g\). Aus \ref{Satz 6.2} folgt \begin{align*} - \int_X \left(\sum^\infty_{j=1}f_j(x)\right) \,dx + \int_X \left(\sum^\infty_{j=1}f_j(x)\right) \,dx &= \int_Xf\,dx \\ &\overset{\ref{Satz 6.2}}= \lim\int_Xg_n\,dx \\ &= \lim\int_X\left(\sum^n_{j=1}f_j\right)\,dx \\ diff --git a/documents/Analysis III/Kapitel-7.tex b/documents/Analysis III/Kapitel-7.tex index cf7847a..747e4c4 100644 --- a/documents/Analysis III/Kapitel-7.tex +++ b/documents/Analysis III/Kapitel-7.tex @@ -6,7 +6,7 @@ Sei \(U\in\fb_k, t_0\in U\) und es sei \(f\colon U\times X\to \mdr\) eine Funkti \begin{enumerate} \item Für jedes \(t\in U\) ist \(x\mapsto f(t,x)\) messbar. \item Es existiert eine Nullmenge \(N\subseteq X\) so, dass \(t\mapsto f(t,x)\) für jedes \(x\in X\setminus N\) stetig in $t_0$ ist. - \item Es existiert eine integrierbare Funktion \(g\colon X\to [0,\infty]\) und zu jedem \(t\in U\) existiert eine Nullmenge \(N_t\subseteq X\) so, dass für + \item Es existiert eine integrierbare Funktion \(g\colon X\to [0,\infty]\) und zu jedem \(t\in U\) existiert eine Nullmenge \(N_t\subseteq X\) so, dass für jedes \(t\in U\) und jedes \(x\in X\setminus N_t\) gilt: \[ \lvert f(t,x)\rvert \leq g(x) \] \end{enumerate} Dann ist \(x\mapsto f(t,x)\) für jedes \(t\in U\) integrierbar. Ist \(F\colon U\to\mdr\) definiert durch @@ -17,31 +17,31 @@ so ist $F$ stetig in $t_0$. Also: \[ \lim\limits_{t\to t_0}\int_X f(t,x)\,dx = \lim\limits_{t\to t_0}F(t)=F(t_0) = \int_X f(t_0,x)\,dx =\int_X\lim\limits_{t\to t_0} f(t,x)\,dx \] \begin{beweis} -Aus (1) und (3) folgt, dass \(x\mapsto f(t,x)\) für jedes \(t\in U\) integrierbar ist (zur Übung). Sei \((t_n)\) eine Folge in $U$ mit \(t_n\to t_0\) und +Aus (1) und (3) folgt, dass \(x\mapsto f(t,x)\) für jedes \(t\in U\) integrierbar ist (zur Übung). Sei \((t_n)\) eine Folge in $U$ mit \(t_n\to t_0\) und \[g_n(x):=f(t_n,x) \ (\natn, x\in X) \] Setze \[ \tilde N := N\cup \left(\bigcup^\infty_{n=1}N_{t_n} \right) \] -Aus \ref{Lemma 5.1} folgt, dass \(\tilde N\) eine Nullmenge ist. Voraussetzung (2) liefert \(g_n(x)\to f(t_0,x)\) für jedes \(x\in X\setminus\tilde N\), also gilt +Aus \ref{Lemma 5.1} folgt, dass \(\tilde N\) eine Nullmenge ist. Voraussetzung (2) liefert \(g_n(x)\to f(t_0,x)\) für jedes \(x\in X\setminus\tilde N\), also gilt \[g_n(x)\to f(t_0,x) \text{ fast überall auf } X\] Voraussetzung (3) liefert \(\lvert g_n(x)\rvert = \lvert f(t_n,x)\rvert \leq g(x) \) für jedes \(\natn\) und \(x\in X\setminus\tilde N\). Aus \ref{Satz 6.2} folgt \[ F(t_n) = \int_X f(t_n,x)\,dx = \int_Xg_n\,dx \longrightarrow \int_X f(t_0,x)\,dx = F(t_0) \] \end{beweis} \textbf{Bezeichnung}\\ -Sei \(I\subseteq\mdr\) ein Intervall, \(a:=\inf I\) und \(b:=\sup I\), wobei \(a=-\infty\) oder \(b=+\infty\) zugelassen sind. Weiter sei \(f\colon I\to\imdr\) integrierbar -(oder $f$ ist messbar und \(\geq 0\)) und +Sei \(I\subseteq\mdr\) ein Intervall, \(a:=\inf I\) und \(b:=\sup I\), wobei \(a=-\infty\) oder \(b=+\infty\) zugelassen sind. Weiter sei \(f\colon I\to\imdr\) integrierbar +(oder $f$ ist messbar und \(\geq 0\)) und \[\int\limits^b_af(x)\,dx:=\int\limits_{(a,b)}f_{|(a,b)}(x)\,dx \] -Dann ist +Dann ist \[ \int_I f(x) dx = \int_{(a,b)} f(x) dx\] -Ist z.B. \(I=[a,b)\), dann gilt, da \(\{a\}\) eine Nullmenge ist: \[\int_If\,dx=\int_{\{a\}}f\,dx + \int_{(a,b)}f\,dx= \int_{(a,b)}f\,dx \] +Ist z.B. \(I=[a,b)\), dann gilt, da \(\{a\}\) eine Nullmenge ist: \[\int_If\,dx=\int_{\{a\}}f\,dx + \int_{(a,b)}f\,dx= \int_{(a,b)}f\,dx \] \begin{folgerung} \label{Folgerung 7.2} -Sei \(I\subseteq\mdr\) ein Intervall, \(a=\inf I\) und \(f\colon I\to\mdr\) sei integrierbar. Definiert man \(F\colon I\to\mdr\) durch +Sei \(I\subseteq\mdr\) ein Intervall, \(a=\inf I\) und \(f\colon I\to\mdr\) sei integrierbar. Definiert man \(F\colon I\to\mdr\) durch \[F(t):=\int^t_a f(x)\,dx,\] so ist \(F\in C(I)\). \end{folgerung} \begin{beweis} -Für \(x,t\in I\) definiere \(h(t,x):=\mathds{1}_{(a,t)}f(x)\). Dann ist \(F(t)=\int_I h(t,x)\,dx\) und +Für \(x,t\in I\) definiere \(h(t,x):=\mathds{1}_{(a,t)}f(x)\). Dann ist \(F(t)=\int_I h(t,x)\,dx\) und \[\lvert h(t,x)\rvert = \mathds{1}_{(a,t)}\cdot \lvert f(x)\rvert \leq \lvert f(x)\rvert \text{ für alle } t,x\in I\] Aus \ref{Satz 4.9} folgt, dass \(\lvert f\rvert\) integrierbar ist. Sei \(t_0\in I\) und \(N:=\{t_0\}\), also eine Nullmenge. Dann ist \(t\mapsto h(t,x)\) für jedes \(x\in I\setminus N\) stetig in \(t_0\) (zur Übung). Die Behauptung folgt aus \ref{Satz 7.1}. diff --git a/documents/Analysis III/Kapitel-8.tex b/documents/Analysis III/Kapitel-8.tex index 427893c..fd0375c 100644 --- a/documents/Analysis III/Kapitel-8.tex +++ b/documents/Analysis III/Kapitel-8.tex @@ -44,7 +44,7 @@ C_y= \begin{cases} {\emptyset, \text{falls } x\notin A}\\ {B, \text{falls } x\in A} \end{cases} -\end{align*} +\end{align*} \begin{lemma} \label{Lemma 8.3} @@ -74,11 +74,11 @@ folgt aus \ref{Lemma 8.1} und \ref{Lemma 8.3}. \end{beweis} %vielleicht funktioniert die nummerierung jetzt -\begin{defusatz}[ohne Beweis] +\begin{defusatz}[ohne Beweis] \label{Satz 8.5} Sei \(C\in\fb_d\). Die Funktionen \(\varphi_C\) und \(\psi_C\) seien unter Beachtung von \ref{Lemma 8.2} definiert durch: \begin{align*} -\varphi_C(x):=\lambda_l(C^x) \ \ (x\in\mdr^k) & & \psi_C(x):=\lambda_k(C_y) \ \ (y\in\mdr^l) +\varphi_C(x):=\lambda_l(C^x) \ \ (x\in\mdr^k) & & \psi_C(x):=\lambda_k(C_y) \ \ (y\in\mdr^l) \end{align*} Dann sind \(\varphi_C\) und \(\psi_C\) messbar. \end{defusatz} diff --git a/documents/Analysis III/Kapitel-9.tex b/documents/Analysis III/Kapitel-9.tex index ab8a3c0..14241a4 100644 --- a/documents/Analysis III/Kapitel-9.tex +++ b/documents/Analysis III/Kapitel-9.tex @@ -26,7 +26,7 @@ Das heißt: &\overset{Ana I}= \pi r^2 \end{align*} \item Sei \(\emptyset\neq X\subseteq\mdr^d\). $X$ sei kompakt, also \(X\in\fb_d\). Weiter sei \(f\colon X\to[0,\infty)\) stetig, woraus mit \ref{Satz 4.11} \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) folgt. - Setze \[C:=\{(x,y):x\in X, 0\leq y\leq f(x)\}\] + Setze \[C:=\{(x,y):x\in X, 0\leq y\leq f(x)\}\] $C$ ist kompakt und somit gilt: \(C\in\fb_{d+1}\).\\ Ist \(x\notin X\), so ist \(C^x=\emptyset\), also \(\lambda_1(C^x)=0\).\\ Ist \(x\in X\), so ist \(C^x=[0,f(x)]\), also \(\lambda_1(C^x)=f(x)\). Damit gilt @@ -35,7 +35,7 @@ Das heißt: \[C:=\{(x,y)\in\mdr^2:x\in I, 0\leq y\leq f(x)\}\] Aus Beispiel (2) und \ref{Satz 4.13} folgt \[\lambda_2(C)=\text{R-}\int_a^bf(x)\,dx \] \item $X$ und $f$ seien wie in Beispiel (2). Setze \[G:=\{(x,f(x)):x\in X\}\] - $G$ ist kompakt, also ist \(G\in\fb_2\). + $G$ ist kompakt, also ist \(G\in\fb_2\). Ist \(x\notin X\), so ist \(G^x=\emptyset\), also \(\lambda_1(G^x)=0\). Ist \(x\in X\), so ist \(G^x=\{f(x)\}\), also \(\lambda_1(G^x)=0\). Aus \ref{Satz 9.1} folgt \[\lambda_2(G)=\int_\mdr\lambda_1(G^x)\,dx=0\] @@ -58,7 +58,7 @@ Sei $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fb_d$. Dann ist $(A_j^x)$ ebenfalls disjun D.h. $\mu$ ist ein Maß auf $\fb_d$. Analog lässt sich zeigen, dass $\nu$ ein Maß auf $\fb_d$ ist.\\ Sei nun $I\in\ci_d$, dann existieren $I'\in\ci_k, I''\in\ci_l$ mit $I=I'\times I''$. Aus §\ref{Kapitel 8} folgt: \begin{align*} -I^x=\begin{cases} I''&,x\in I'\\ +I^x=\begin{cases} I''&,x\in I'\\ \emptyset &,x\not\in I'\end{cases} \end{align*} Also ist $\lambda_l(I^x)=\lambda_l(I'')\cdot\mathds{1}_{I'}(x)$ und damit: @@ -111,7 +111,7 @@ Also folgt aus \ref{Satz 3.4} die Messbarkeit von $\tilde f$. \begin{beispiel} \index{Rotationskörper} \begin{enumerate} -\item Sei $r>0$ und +\item Sei $r>0$ und \[K:=\{(x,y)\in\mdr^2\mid x^2+y^20$ und +\item Sei $r>0$ und \[K:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid x^2+y^2+z^2\le r^2\}\] Dann ist $K$ abgeschlossen, also $K\in\fb_3$.\\ \textbf{Fall $|z|>r$:} Es ist $K_z=\emptyset$, also $\lambda_2(K_z)=0$.\\ @@ -146,7 +146,7 @@ und damit $\lambda_2(V_z)=\pi f(z)^2$.\\ Aus \ref{Satz 9.1} folgt dann: \begin{align*} \lambda_3(V)&=\int_\mdr \lambda_2(V_z)\text{ d}z\\ -&= \pi\int_a^b f(z)^2\text{ d}z +&= \pi\int_a^b f(z)^2\text{ d}z \end{align*} \item Sei $h>0$, $I=[0,h]$ und $f(z)=\frac rhz$. Definiere den Kegel \[V:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid x^2+y^2\le \frac{r^2}{h^2}z^2\}\] diff --git a/documents/Einnahmenueberschussrechnung/EUR.tex b/documents/Einnahmenueberschussrechnung/EUR.tex index 40e0d2b..48b35c5 100644 --- a/documents/Einnahmenueberschussrechnung/EUR.tex +++ b/documents/Einnahmenueberschussrechnung/EUR.tex @@ -15,7 +15,7 @@ \fancyhead{} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} } - + \setlength{\headheight}{15pt} % fixes \headheight warning \lhead{\Vorname{}~\Nachname{}, \Strasse{}, \PLZ{}~\Ort} \rhead{Id-Nr. \Idnr} diff --git a/documents/Einnahmenueberschussrechnung/Einnahmenueberschussrechnung.tex b/documents/Einnahmenueberschussrechnung/Einnahmenueberschussrechnung.tex index 0a7f063..3cc9f47 100644 --- a/documents/Einnahmenueberschussrechnung/Einnahmenueberschussrechnung.tex +++ b/documents/Einnahmenueberschussrechnung/Einnahmenueberschussrechnung.tex @@ -5,7 +5,7 @@ \usepackage[ngerman, num]{isodate} % get DD.MM.YYYY dates \usepackage{pdfpages} % Signatureinbingung und includepdf \usepackage{myInformation} - + % pdfinfo \pdfinfo{ /Author (\Nachname, \Vorname) @@ -18,7 +18,7 @@ \signature{\Vorname~\Nachname} \setkomavar{customer}[Steuernummer (Id-Nr.)]{\Idnr} \backaddress{\Vorname~\Nachname, \Strasse~\Hausnummer, \PLZ~\Ort} - + % Begin document %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \begin{letter}{\Empfaenger \\ \EStrasse \\ \EPLZ~\EOrt} @@ -26,7 +26,7 @@ \subject{Einnahmenüberschussrechnung \Year} \opening{Sehr geehrte Damen und Herren,} - Im Anhang befindet sich die Überschussrechnung von \Year. + Im Anhang befindet sich die Überschussrechnung von \Year. \closing{Mit freundlichen Grüßen,} \end{letter} diff --git a/documents/Einnahmenueberschussrechnung/README.md b/documents/Einnahmenueberschussrechnung/README.md index 7073e90..6663a45 100644 --- a/documents/Einnahmenueberschussrechnung/README.md +++ b/documents/Einnahmenueberschussrechnung/README.md @@ -1,5 +1,5 @@ * Einmalig müssen Parameter in der `myInformation.tex` bearbeitet werden. -* Dann nur noch jedes Jahr die vier `.csv`-Dateien und gegebenenfalls +* Dann nur noch jedes Jahr die vier `.csv`-Dateien und gegebenenfalls unter `Einnahmenueberschussrechnung.tex` Anmerkungen machen Tags: Steuer, Steuererklärung, LaTeX, Finanzen, EÜR diff --git a/documents/Feedback/Feedback.tex b/documents/Feedback/Feedback.tex index de922a6..8867263 100644 --- a/documents/Feedback/Feedback.tex +++ b/documents/Feedback/Feedback.tex @@ -19,10 +19,10 @@ \newcommand\yourTutorial{10} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\hypersetup { - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Feedback}, - pdftitle = {Feedback} +\hypersetup { + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Feedback}, + pdftitle = {Feedback} } \pagestyle{fancy}% eigenen Seitestil aktivieren} @@ -74,7 +74,7 @@ Diese Themen sollten wiederholt werden (z.B. Arrays, for/while Schleifen, Ausdr \hfill\vspace{3cm} \end{framed} -\noindent \textbf{Andere Kommentare}: z.B. Was ist unklar? +\noindent \textbf{Andere Kommentare}: z.B. Was ist unklar? Was war heute gut / schlecht? \begin{framed} \hfill\vspace{3cm} diff --git a/documents/GeoTopo/Definitionen.tex b/documents/GeoTopo/Definitionen.tex index c5a76bb..7a90ec5 100644 --- a/documents/GeoTopo/Definitionen.tex +++ b/documents/GeoTopo/Definitionen.tex @@ -18,7 +18,7 @@ Folgende Definition wurde dem Skript von Herrn Prof.~Dr.~Leuzinger für Lineare Algebra entnommen: \begin{definition}\xindex{Abbildung!affine}% - Es seien $V$ und $W$ $\mdk$-Vektorräume und $\mda(V)$ und $\mda(W)$ die + Es seien $V$ und $W$ $\mdk$-Vektorräume und $\mda(V)$ und $\mda(W)$ die zugehörigen affinen Räume. Eine Abbildung $f:V \rightarrow W$ heißt \textbf{affin}, falls für alle $a, b \in V$ und alle $\lambda, \mu \in \mdk$ mit $\lambda + \mu = 1$ gilt: \[f(\lambda a + \mu b) = \lambda f(a) + \mu f(b)\] @@ -36,13 +36,13 @@ Lineare Algebra entnommen: \end{definition} \begin{satz*}[Zwischenwertsatz]\xindex{Zwischenwertsatz}% - Sei $a 0$ mit +Da $V \in \fT$, ex. nach Bemerkung~3 ein $r > 0$ mit \begin{align*} \fB_r(x) := \Set{y \in X | d(x,y) < r} &\subseteq V\\ @@ -123,7 +123,7 @@ Da $x \in U$ beliebig gewählt war gilt: $\fT|_A \subseteq \fT'$ \[m_g: X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x\] ein Homöomorphismus ist. \item Ist $G$ eine topologische Gruppe, so heißt die Gruppenoperation $\circ$ - \textbf{stetig}\xindex{Gruppenoperation!stetige}, wenn + \textbf{stetig}\xindex{Gruppenoperation!stetige}, wenn $\circ: G \times X \rightarrow X$ stetig ist. \end{defenum} \end{definition} @@ -172,7 +172,7 @@ $\Rightarrow$ Widerspruch Da $r > 0$ ist $H_1$ nicht leer, da $r \in \mdr$ ist $H_2$ nicht leer. \underline{Zu zeigen:} $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit - $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: + $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\ \enquote{$\Leftarrow$}: Da $d_\mdh$ stetig ist, folgt diese Richtung direkt. Alle Punkte in $H_1$ haben einen Abstand von $m$ der kleiner @@ -189,7 +189,7 @@ $\Rightarrow$ Widerspruch \[\mdh = \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) < x}}_{=: H_1 \text{ (Links)}} \dcup \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) > x}}_{=: H_2 \text{ (Rechts)}}\] \underline{Zu zeigen:} $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit - $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: + $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\ \enquote{$\Leftarrow$}: Wie zuvor mit dem Zwischenwertsatz. @@ -207,7 +207,7 @@ $\Rightarrow$ Widerspruch \begin{enumerate} \item Deformationsretrakt: Das hatten wir nicht in der Vorlesung, oder? Ich meine mich zwar an das Wort zu erinnern (aus einem Übungsblatt? Einem Tutorium?) Könntest du bitte nochmals erklären was das ist? Das ist zwar auf Blatt 7 und 8 vorgekommen, aber sonst nie. - \item Damit verbunden: Was genau ist eine "Einbettung"? + \item Damit verbunden: Was genau ist eine "Einbettung"? \item Was bedeutet der Pfeil: $f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2\;\;\;$ Einbettung der Kreislinie in die Ebene \item Was ist eine Inklusionsabbildung? \item Was ist ein Homotopietyp? (Ist das eventuell die Anzahl der Homotopieklassen?) diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel1.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel1.tex index fd6b87c..3d44060 100644 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel1.tex +++ b/documents/GeoTopo/Kapitel1.tex @@ -11,7 +11,7 @@ \item Ist $I$ eine Menge und $U_i \in \fT$ für jedes $i \in I$, so ist $\displaystyle \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT$ \end{defenumprops} - Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$. + Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$. $A \subseteq X$ heißt \textbf{abgeschlossen}, wenn $X \setminus A$ offen ist. \end{definition} @@ -44,7 +44,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind. \item Jeder metrische Raum $(X, d)$ ist auch ein topologischer Raum. \item Für eine Menge $X$ heißt $\fT_{\ts{Diskret}} = \powerset{X}$ \textbf{diskrete Topologie}\xindex{Topologie!diskrete}. \item $X :=\mdr, \fT_Z := \Set{U \subseteq \mdr | \mdr \setminus U \text{ endlich}} \cup \Set{\emptyset}$ heißt \textbf{Zariski-Topologie} \xindex{Topologie!Zariski}\\ - Beobachtungen: + Beobachtungen: \begin{itemize} \item $U \in \fT_Z \gdw \exists f \in \mdr[X]$, sodass $\mdr \setminus U = V(f) = \Set{x \in \mdr | f(x) = 0}$ \item Es gibt keine disjunkten offenen Mengen in $\fT_Z$. @@ -77,10 +77,10 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind. \begin{beispiel} \begin{bspenum} - \item Sei $X = \mdr$ mit euklidischer Topologie und - $M = \mdq$. Dann gilt: $\overline{M} = \mdr$ und + \item Sei $X = \mdr$ mit euklidischer Topologie und + $M = \mdq$. Dann gilt: $\overline{M} = \mdr$ und $M^\circ = \emptyset$ - \item Sei $X = \mdr$ und $M=(a,b)$. Dann gilt: + \item Sei $X = \mdr$ und $M=(a,b)$. Dann gilt: $\overline{M} = [a,b]$ \item Sei $X = \mdr, \fT = \fT_Z$ und $M = (a,b)$. Dann gilt: $\overline{M} = \mdr$ @@ -102,14 +102,14 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind. \begin{beispiel}[Basis und Subbasis] \begin{bspenum} \item Jede Basis ist auch eine Subbasis, z.B.\\ - $S=\Set{ (a,b) | a,b \in \mdr, a 0}, x \in \mdq^n}\] ist eine abzählbare Basis von $\fT$. - \item Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum mit + \item Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum mit $X = \Set{0,1,2}$ und $\fT = \Set{\emptyset, \Set{0}, \Set{0,1}, \Set{0,2}, X}$.\\ - Dann ist $\calS = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0,2}}$ eine Subbasis von + Dann ist $\calS = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0,2}}$ eine Subbasis von $\fT$, da gilt: \begin{itemize} \item $\calS \subseteq \fT$ @@ -132,11 +132,11 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind. Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $Y \subseteq X$.\\ $\fT_Y := \Set{U \cap Y | U \in \fT}$ ist eine Topologie auf $Y$. - $\fT_Y$ heißt \textbf{Teilraumtopologie} und $(Y, \fT_Y)$ heißt ein + $\fT_Y$ heißt \textbf{Teilraumtopologie} und $(Y, \fT_Y)$ heißt ein \textbf{Teilraum} von $(X, \fT)$. \end{definition} -Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder +Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder \textit{Unterraumtopologie} genannt. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% @@ -190,14 +190,14 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder \begin{beispiel} $X = \mdr, a \sim b :\Leftrightarrow a-b \in \mdz$ - + \input{figures/number-ray-circle-topology} $0 \sim 1$, d.~h. $[0] = [1]$ \end{beispiel} \begin{beispiel}\xindex{Torus}% - Sei $X = \mdr^2$ und $(x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \gdw x_1 - x_2 \in \mdz$ + Sei $X = \mdr^2$ und $(x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \gdw x_1 - x_2 \in \mdz$ und $y_1 - y_2 \in \mdz$. Dann ist $X /_\sim$ ein Torus. \end{beispiel} @@ -234,7 +234,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder \begin{definition}\xindex{Isometrie}\label{def:Isometrie}% Seien $(X, d_X)$ und $(Y, d_Y)$ metrische Räume und $\varphi: X \rightarrow Y$ - eine Abbildung mit + eine Abbildung mit \[\forall x_1, x_2 \in X: d_X(x_1, x_2) = d_Y(\varphi(x_1), \varphi(x_2)) \] Dann heißt $\varphi$ eine \textbf{Isometrie} von $X$ nach $Y$. @@ -252,7 +252,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder 0 & \text{falls } x=y\\ 1 & \text{falls } x \neq y \end{cases}\] - die \textbf{diskrete Metrik}. Die Metrik $d$ induziert die + die \textbf{diskrete Metrik}. Die Metrik $d$ induziert die \textbf{diskrete Topologie}. \end{beispiel} \clearpage @@ -280,7 +280,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder \end{beispiel} \clearpage \begin{beispiel}[SNCF-Metrik\footnotemark]\xindex{Metrik!SNCF} - $X = \mdr^2$ + $X = \mdr^2$ \input{figures/sncf-metrik} \end{beispiel} @@ -293,7 +293,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder \end{definition} \begin{bemerkung}[Trennungseigenschaft]\label{Trennungseigenschaft} - Metrische Räume sind hausdorffsch, wegen + Metrische Räume sind hausdorffsch, wegen \[d(x, y) > 0 \Rightarrow \exists \varepsilon > 0: \fB_\varepsilon(x) \cap \fB_\varepsilon(y) = \emptyset\] \end{bemerkung} @@ -337,7 +337,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder Sei $(x_n)$ eine konvergierende Folge und $x$ und $y$ Grenzwerte der Folge. Da $X$ hausdorffsch ist, gibt es Umgebungen $U_x$ von $x$ und $U_y$ - von $y$ mit $U_x \cap U_y = \emptyset$ falls $x \neq y$. Da + von $y$ mit $U_x \cap U_y = \emptyset$ falls $x \neq y$. Da $(x_n)$ gegen $x$ und $y$ konvergiert, existiert ein $n_0$ mit $x_n \in U_x \cap U_y$ für alle $n \geq n_0$ $\Rightarrow x = y \qed$ @@ -345,14 +345,14 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder \section{Stetigkeit}\index{Stetigkeit|(} \begin{definition} - Seien $(X, \fT_X), (Y, \fT_Y)$ topologische Räume und + Seien $(X, \fT_X), (Y, \fT_Y)$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine Abbildung. \begin{defenum} \item \label{def:stetigkeit} $f$ heißt \textbf{stetig}\xindex{Abbildung!stetige} $:\gdw \forall U \in \fT_Y: f^{-1} (U) \in \fT_X$. \item \label{def:homoeomorphismus} $f$ heißt \textbf{Homöomorphismus}\xindex{Homöomorphismus}, wenn $f$ stetig ist - und es eine + und es eine stetige Abbildung $g: Y \rightarrow X$ gibt, sodass $g \circ f = \id_X$ und $f \circ g = \id_Y$. \end{defenum} @@ -378,9 +378,9 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder \enquote{$\Rightarrow$}: Sei $x \in X, \varepsilon > 0$ gegeben und $U := \fB_\varepsilon(f(x))$.\\ Dann ist $U$ offen in $Y$.\\ - $\xRightarrow{\crefabbr{def:stetigkeit}} f^{-1}(U)$ ist + $\xRightarrow{\crefabbr{def:stetigkeit}} f^{-1}(U)$ ist offen in $X$. Dann ist $x \in f^{-1}(U)$.\\ - $\Rightarrow \exists \delta > 0$, sodass + $\Rightarrow \exists \delta > 0$, sodass $\fB_\delta(x) \subseteq f^{-1} (U)$\\ $\Rightarrow f(\fB_\delta(x)) \subseteq U$\\ $\Rightarrow \Set{y \in X | d_X(x,y) < \delta} \Rightarrow$ Beh. @@ -415,18 +415,18 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder \begin{figure}[htp] \centering \input{figures/topology-continuous-mapping} - \caption{Beispiel einer stetigen Funktion $f$, deren + \caption{Beispiel einer stetigen Funktion $f$, deren Umkehrabbildung $g$ nicht stetig ist.} \label{fig:nicht-stetige-umkehrabbildung} \end{figure} - + Die Umkehrabbildung $g$ ist nicht stetig, da $g^{-1}(U)$ nicht offen ist (vgl. \cref{fig:nicht-stetige-umkehrabbildung}). \end{bspenum} \end{beispiel} \begin{bemerkung}[Verkettungen stetiger Abbildungen sind stetig] - Seien $X, Y, Z$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ und + Seien $X, Y, Z$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ und $g:Y \rightarrow Z$ stetige Abbildungen. Dann ist $g \circ f: X \rightarrow Z$ stetig. @@ -449,10 +449,10 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder \begin{bemerkung} \begin{bemenum} - \item \xindex{Homöomorphismengruppe}Für jeden topologischen Raum $X$ ist + \item \xindex{Homöomorphismengruppe}Für jeden topologischen Raum $X$ ist \[\Homoo(X) := \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist Homöomorphismus}}\] eine Gruppe. - \item \xindex{Isometrie}Jede Isometrie $f:X \rightarrow Y$ zwischen metrischen + \item \xindex{Isometrie}Jede Isometrie $f:X \rightarrow Y$ zwischen metrischen Räumen ist ein Homöomorphismus. \item \xindex{Isometriegruppe}$\Iso(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Isometrie}}$ ist eine Untergruppe von $\Homoo(X)$ für jeden @@ -462,7 +462,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder \begin{bemerkung}[Projektionen sind stetig] Seien $X, Y$ topologische Räume. $\pi_X: X \times Y \rightarrow X$ - und $\pi_Y: X \times Y \rightarrow Y$ die Projektionen + und $\pi_Y: X \times Y \rightarrow Y$ die Projektionen \[\pi_X: (x,y) \mapsto x \text{ und } \pi_Y: (x,y) \mapsto y\] Wird $X \times Y$ mit der Produkttopologie versehen, so sind $\pi_X$ und $\pi_Y$ stetig. @@ -482,8 +482,8 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder \end{bemerkung} \begin{beweis} - Nach Definition ist - $U \subseteq \overline{X}$ offen $\gdw \pi^{-1}(U) \subseteq X$ + Nach Definition ist + $U \subseteq \overline{X}$ offen $\gdw \pi^{-1}(U) \subseteq X$ offen. $\qed$ \end{beweis} @@ -498,7 +498,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird. S^n &= \Set{x \in \mdr^{n+1} | \|x\| = 1}\\ &= \Set{x \in \mdr^{n+1} | \sum_{i=1}^{n+1} x_i^2 = 1} \end{align*} - + \Obda sei $N = \begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0\\1\end{pmatrix}$. Die Gerade durch $N$ und $P$ schneidet die Ebene $H$ in genau einem Punkt $\hat{P}$. $P$ wird auf $\hat{P}$ abgebildet. @@ -523,7 +523,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird. schneiden sich $L_P$ und $H$ in genau einem Punkt $\hat{P}$. Es gilt: $f$ ist bijektiv und die Umkehrabbildung ist ebenfalls - stetig. + stetig. \end{beispiel} \index{Stetigkeit|)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% @@ -533,7 +533,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird. \begin{definition}\xindex{Raum!zusammenhaengender@zusammenhängender}\xindex{Menge!zusammenhaengende@zusammenhängende}% \begin{defenum} \item Ein Raum $X$ heißt \textbf{zusammenhängend}, wenn es keine offenen, - nichtleeren Teilmengen $U_1, U_2$ von $X$ gibt mit + nichtleeren Teilmengen $U_1, U_2$ von $X$ gibt mit $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ und $U_1 \cup U_2 = X$. \item Eine Teilmenge $Y \subseteq X$ heißt zusammenhängend, wenn $Y$ als topologischer Raum mit der Teilraumtopologie zusammenhängend ist. @@ -542,7 +542,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird. \begin{bemerkung} $X$ ist zusammenhängend $\gdw$ Es gibt keine abgeschlossenen, - nichtleeren Teilmengen $A_1, A_2$ mit $A_1 \cap A_2 = \emptyset$ + nichtleeren Teilmengen $A_1, A_2$ mit $A_1 \cap A_2 = \emptyset$ und $A_1 \cup A_2 = X$. \end{bemerkung} @@ -553,20 +553,20 @@ sodass $\pi$ stetig wird. \underline{Annahme}: $\mdr^n = U_1 \dcup U_2$ mit $\emptyset \neq U_1, U_2 \in \fT_{\ts{Euklid}}$ existieren. Sei $x \in U_1, y \in U_2$ und $[x,y]$ die Strecke zwischen $x$ - und $y$. Sei $V = [x,y]$. Nun betrachten wir $V \subsetneq \mdr^n$ als + und $y$. Sei $V = [x,y]$. Nun betrachten wir $V \subsetneq \mdr^n$ als (metrischen) Teilraum mit der Teilraumtopologie $\fT_V$. - Somit gilt $U_1 \cap [x,y] \in \fT_V$ wegen der Definition der + Somit gilt $U_1 \cap [x,y] \in \fT_V$ wegen der Definition der Teilraumtopologie. Dann gibt es $z \in [x,y]$ mit $z \in \partial (U_1 \cap [x,y])$, - aber $z \notin U_1 \Rightarrow z \in U_2$. In jeder Umgebung von + aber $z \notin U_1 \Rightarrow z \in U_2$. In jeder Umgebung von $z$ liegt ein Punkt von $U_1 \Rightarrow$ Widerspruch zu $U_2$ offen. \item $\mdr \setminus \Set{0}$ ist nicht zusammenhängend, denn $\mdr \setminus \Set{0} = \mdr_{< 0} \cup \mdr_{> 0}$ \item $\mdr^2 \setminus \Set{0}$ ist zusammenhängend. - \item $\mdq \subsetneq \mdr$ ist nicht zusammenhängend, da + \item $\mdq \subsetneq \mdr$ ist nicht zusammenhängend, da $(\mdq \cap \mdr_{< \sqrt{2}}) \cup (\mdq \cap \mdr_{> \sqrt{2}}) = \mdq$ - \item $\Set{x}$ ist zusammenhängend für jedes $x \in X$, + \item $\Set{x}$ ist zusammenhängend für jedes $x \in X$, wobei $X$ ein topologischer Raum ist. \item $\mdr$ mit Zariski-Topologie ist zusammenhängend.\xindex{Topologie!Zariski} \end{bspenum} @@ -590,7 +590,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird. $\Rightarrow \overline{A} \subseteq A_2$\\ $\Rightarrow A_1 = \emptyset$\\ $\Rightarrow$ Widerspruch zu $A_1 \neq \emptyset$\\ - $\Rightarrow A \cap A_1 \neq \emptyset$ und analog + $\Rightarrow A \cap A_1 \neq \emptyset$ und analog $A \cap A_2 \neq \emptyset$\\ $\Rightarrow$ Widerspruch zu $A$ ist zusammenhängend. $ \qed$ \end{beweis} @@ -614,7 +614,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird. \begin{definition}\xindex{Zusammenhangskomponente}% Sei $X$ ein topologischer Raum. - + Für $x \in X$ sei $Z(x) \subseteq X$ definiert durch \[Z(x) := \bigcup_{\mathclap{\substack{A \subseteq X \text{zhgd.}\\ x \in A}}} A\] @@ -647,7 +647,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird. \begin{align*} \Rightarrow Z(x) \cup Z(y) &\subseteq Z(x) \Rightarrow Z(y) \subseteq Z(x)\\ &\subseteq Z(y) \Rightarrow Z(x) \subseteq Z(y) - \end{align*} + \end{align*} \end{enumerate} $\qed$ @@ -678,7 +678,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird. Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{kompakt}, wenn jede offene Überdeckung von $X$ \[\fU = \Set{U_i}_{i \in I} \text{ mit } U_i \text{ offen in } X\] - eine endliche Teilüberdeckung + eine endliche Teilüberdeckung \[\bigcup_{\mathclap{i \in J \subseteq I}} U_i = X \text{ mit } |J| \in \mdn\] besitzt. \end{definition} @@ -688,24 +688,24 @@ sodass $\pi$ stetig wird. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{bemerkung}\label{abgeschlossen01IstKompakt} - Das Einheitsintervall $I := [0,1]$ ist kompakt bezüglich der + Das Einheitsintervall $I := [0,1]$ ist kompakt bezüglich der euklidischen Topologie. \end{bemerkung} \begin{beweis} Sei $(U_i)_{i \in J}$ eine offene Überdeckung von $I$. -Es genügt zu zeigen, dass es ein $\delta > 0$ gibt, sodass jedes +Es genügt zu zeigen, dass es ein $\delta > 0$ gibt, sodass jedes Teilintervall der Länge $\delta$ von $I$ in einem der $U_i$ enthalten ist. -Wenn es ein solches $\delta$ gibt, kann man $I$ in endlich viele +Wenn es ein solches $\delta$ gibt, kann man $I$ in endlich viele Intervalle der Länge $\delta$ unterteilen und alle $U_i$ in die endliche Überdeckung aufnehmen, die Teilintervalle enthalten. -Angenommen, es gibt kein solches $\delta$. Dann gibt es für jedes +Angenommen, es gibt kein solches $\delta$. Dann gibt es für jedes $n \in \mdn$ ein Intervall $I_n \subseteq [0,1]$ der Länge $\nicefrac{1}{n}$ sodass $I_n \subsetneq U_i$ für alle $i \in J$. -Sei $x_n$ der Mittelpunkt von $I_n$. Die Folge $(x_n)$ hat einen +Sei $x_n$ der Mittelpunkt von $I_n$. Die Folge $(x_n)$ hat einen Häufungspunkt $x \in [0,1]$. Dann gibt es $i \in J$ mit $x \in U_i$. Da $U_i$ offen ist, gibt es ein $\varepsilon > 0$, sodass $(x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U_i$. Dann gibt es $n_0$, sodass gilt: @@ -713,7 +713,7 @@ $\nicefrac{1}{n_0} < \nicefrac{\varepsilon}{2}$ und für unendlich viele\footnot $n\geq n_0: |x - x_n| < \nicefrac{\varepsilon}{2}$, also $I_n \subseteq (x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U_i$ für mindestens ein $n \in \mdn$.\footnote{Sogar für unendlich viele.} -$\Rightarrow$ Widerspruch +$\Rightarrow$ Widerspruch Dann überdecke $[0,1]$ mit endlich vielen Intervallen $I_1, \dots, I_d$ der Länge $\delta$. Jedes $I_j$ ist in $U_{ij}$ enthalten. @@ -727,7 +727,7 @@ $\qed$ \item $\mdr$ ist nicht kompakt. \item $(0,1)$ ist nicht kompakt.\\ $U_n = (\nicefrac{1}{n}, 1-\nicefrac{1}{n}) \Rightarrow \bigcup_{n \in \mdn} U_n = (0,1)$ - \item $\mdr$ mit der Zariski-Topologie ist kompakt und jede + \item $\mdr$ mit der Zariski-Topologie ist kompakt und jede Teilmenge von $\mdr$ ist es auch.\xindex{Topologie!Zariski} \end{bspenum} \end{beispiel} @@ -770,12 +770,12 @@ $\qed$ Die offenen Mengen $U_{x_0, y} \times V_{x_0, y}$ für festes $x_0$ und alle $y \in Y$ überdecken $\Set{x_0} \times y$. Da $Y$ kompakt - ist, ist auch $\Set{x_0} \times Y$ kompakt. Also gibt es - $y_1, \dots, y_{m(x_0)}$ mit + ist, ist auch $\Set{x_0} \times Y$ kompakt. Also gibt es + $y_1, \dots, y_{m(x_0)}$ mit $\bigcup_{i=1}^{m(x_0)} U_{x_0, y_i} \times V_{x_0, y_i} \supseteq \Set{x_0} \times Y$. Sei ${\color{blue} U_{x_0}} := \bigcap_{i=1}^{m(x)} U_{x_0, y_i}$. - Da $X$ kompakt ist, gibt es $x_1, \dots, x_n \in X$ mit + Da $X$ kompakt ist, gibt es $x_1, \dots, x_n \in X$ mit $\bigcup_{j=1}^n U_{x_j} = X$\\ $\Rightarrow \bigcup_{j=1}^k \bigcup_{i=1}^{m(x_j)} \underbrace{\left ( U_{x_j, y_i} \times V_{x_j, y_i} \right)}_{\mathclap{\text{Ein grün-oranges Kästchen}}} \supseteq X \times Y$\\ $\Rightarrow \bigcup_j \bigcup_i W_i (x_j, y_i) = X \times Y \qed$ @@ -789,7 +789,7 @@ $\qed$ \begin{beweis} \underline{z.~Z.:} Komplement ist offen - Ist $X = K$, so ist $K$ abgeschlossen in $X$. Andernfalls sei + Ist $X = K$, so ist $K$ abgeschlossen in $X$. Andernfalls sei $y \in X \setminus K$. Für jedes $x \in K$ seien $U_x$ bzw. $V_y$ Umgebungen von $x$ bzw. von $y$, sodass $U_x \cap V_y = \emptyset$. @@ -819,10 +819,10 @@ $\qed$ \begin{beweis} Sei $(V_i)_{i \in I}$ offene Überdeckung von $f(K)$\\ $\xRightarrow{f \text{ stetig}} (f^{-1}(V_i))_{i \in I}$ ist offene Überdeckung von $K$\\ - $\xRightarrow{\text{Kompakt}}$ es gibt $i_1, \dots, i_n$, + $\xRightarrow{\text{Kompakt}}$ es gibt $i_1, \dots, i_n$, sodass $f^{-1}(V_{i_1}), \dots, f^{-1}(V_{i_n})$ Überdeckung von $K$ ist.\\ - $\Rightarrow f(f^{-1}( V_{i_1})), \dots, f(f^{-1}(V_{i_n}))$ + $\Rightarrow f(f^{-1}( V_{i_1})), \dots, f(f^{-1}(V_{i_n}))$ überdecken $f(K)$. Es gilt: $f(f^{-1}(V)) = V \cap f(X) \qed$ @@ -839,7 +839,7 @@ $\qed$ Da $\mdr^n$ und $\mdc^n$ hausdorffsch sind, ist $K$ nach \cref{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen} abgeschlossen. - Nach Voraussetzung kann $K$ mit endlich vielen offenen Kugeln von + Nach Voraussetzung kann $K$ mit endlich vielen offenen Kugeln von Radien 1 überdeckt werden $\Rightarrow K$ ist beschränkt. \enquote{$\Leftarrow$} Sei $A \subseteq \mdr^n$ (oder $\mdc^n$) @@ -852,7 +852,7 @@ $\qed$ Nach \cref{kompaktTimesKompaktIstKompakt} und \cref{abgeschlossen01IstKompakt} ist $W$ kompakt, also ist $A$ nach \cref{abgeschlossenInKomaktIstKompakt} auch kompakt. - Genauso ist $Z$ kompakt, weil + Genauso ist $Z$ kompakt, weil \[\Set{z \in \mdc | |z| \leq 1}\] homöomorph zu \[\Set{(x,y) \in \mdr^2 | \|(x,y)\| \leq 1}\] @@ -864,11 +864,11 @@ $\qed$ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Wege und Knoten}\index{Knoten|(} \begin{definition}\xindex{Weg}\xindex{Weg!geschlossener}\xindex{Weg!einfacher}% - Sei $X$ ein topologischer Raum. + Sei $X$ ein topologischer Raum. \begin{defenum} \item Ein \textbf{Weg} in $X$ ist eine stetige Abbildung $\gamma:[0,1] \rightarrow X$. \item $\gamma$ heißt \textbf{geschlossen}, wenn $\gamma(1) = \gamma(0)$ gilt. - \item $\gamma$ heißt \textbf{einfach}, wenn $\gamma|_{[0,1)}$ + \item $\gamma$ heißt \textbf{einfach}, wenn $\gamma|_{[0,1)}$ injektiv ist. \end{defenum} \end{definition} @@ -901,11 +901,11 @@ $\qed$ $A_1 \cup A_2 = X$. Sei $x \in A_1, y \in A_2, \gamma:[0,1] \rightarrow X$ ein Weg von $x$ nach $y$. - Dann ist $C:= \gamma([0,1]) \subseteq X$ zusammenhängend, weil + Dann ist $C:= \gamma([0,1]) \subseteq X$ zusammenhängend, weil $\gamma$ stetig ist. \[C = \underbrace{(C \cap A_1)}_{\ni x} \cup \underbrace{(C \cap A_2)}_{\ni y}\] ist Zerlegung in nichtleere, disjunkte, abgeschlossene Teilmengen - $\Rightarrow$ Widerspruch + $\Rightarrow$ Widerspruch \item Sei $X = \Set{(x,y) \in \mdr^2| x^2 + y^2 = 1 \lor y = 1 +2\cdot e^{-\frac{1}{10} x}}$. @@ -943,7 +943,7 @@ $\qed$ \end{beweis} \begin{beispiel}[Hilbert-Kurve]\xindex{Hilbert-Kurve}% - Es gibt stetige, surjektive Abbildungen + Es gibt stetige, surjektive Abbildungen $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$. Ein Beispiel ist die in \cref{fig:hilbert-curve} dargestellte Hilbert-Kurve. @@ -952,7 +952,7 @@ $\qed$ \begin{definition}\xindex{Jordankurve}\xindex{Jordankurve!geschlossene}% Sei $X$ ein topologischer Raum. Eine - \textbf{Jordankurve} in $X$ ist ein Homöomorphismus + \textbf{Jordankurve} in $X$ ist ein Homöomorphismus $\gamma: [0,1] \rightarrow C \subseteq X$ bzw. $\gamma: S^1 \rightarrow C \subseteq X$, wobei $C := \Bild{\gamma}$. \end{definition} @@ -967,7 +967,7 @@ Jede Jordankurve ist also ein einfacher Weg. \begin{figure}[htp] \centering - \input{figures/topology-jordan} + \input{figures/topology-jordan} \label{fig:jordan-kurvensatz} \caption{Die unbeschränkte Zusammenhangskomponente wird häufig inneres, die beschränkte äußeres genannt.} \end{figure} @@ -993,15 +993,15 @@ Jede Jordankurve ist also ein einfacher Weg. \label{fig:knot-unknot} }% \subfloat[Kleeblattknoten]{ - \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-trefoil-knot.png} + \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-trefoil-knot.png} \label{fig:knot-trefoil} }% \subfloat[Achterknoten]{ - \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-eight-knot.png} + \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-eight-knot.png} \label{fig:knot-eight-knot} }% \subfloat[$6_2$-Knoten]{ - \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-6-2-knot.png} + \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-6-2-knot.png} \label{fig:knot-6-2} } @@ -1014,20 +1014,20 @@ Jede Jordankurve ist also ein einfacher Weg. Zwei Knoten $\gamma_1, \gamma_2: S^1 \rightarrow \mdr^3$ heißen \textbf{äquivalent}, wenn es eine stetige Abbildung \[H: S^1 \times [0,1] \rightarrow \mdr^3\] - gibt mit + gibt mit \begin{align*} H(z,0) &= \gamma_1(z) \;\;\;\forall z \in S^1\\ H(z,1) &= \gamma_2(z) \;\;\;\forall z \in S^1 \end{align*} und für jedes - feste $t \in [0,1]$ ist + feste $t \in [0,1]$ ist \[H_z: S^1 \rightarrow \mdr^3, z \mapsto H(z,t)\] ein Knoten. Die Abbildung $H$ heißt \textbf{Isotopie} zwischen $\gamma_1$ und $\gamma_2$. \end{definition} \begin{definition}\xindex{Knotendiagramm}% - Sei $\gamma: [0,1] \rightarrow \mdr^3$ ein Knoten, $E$ eine Ebene und + Sei $\gamma: [0,1] \rightarrow \mdr^3$ ein Knoten, $E$ eine Ebene und $\pi: \mdr^3 \rightarrow E$ eine Projektion auf $E$. $\pi$ heißt \textbf{Knotendiagramm} von $\gamma$, wenn gilt: @@ -1047,16 +1047,16 @@ Jede Jordankurve ist also ein einfacher Weg. \begin{figure}[htp] \centering \subfloat[$\Omega_1$]{ - \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-1.png} + \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-1.png} \label{fig:reidemeister-1} }\qquad\qquad% \subfloat[$\Omega_2$]{ - \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-2.png} + \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-2.png} \label{fig:reidemeister-2} } \subfloat[$\Omega_3$]{ - \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-3.png} + \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-3.png} \label{fig:reidemeister-3} } @@ -1069,15 +1069,15 @@ Jede Jordankurve ist also ein einfacher Weg. \end{beweis} \begin{definition}\xindex{Färbbarkeit}% - Ein Knotendiagramm heißt \textbf{3-färbbar}, - wenn jeder Bogen von $D$ so mit einer Farbe gefärbt werden kann, - dass an jeder Kreuzung eine oder 3 Farben auftreten und alle 3 + Ein Knotendiagramm heißt \textbf{3-färbbar}, + wenn jeder Bogen von $D$ so mit einer Farbe gefärbt werden kann, + dass an jeder Kreuzung eine oder 3 Farben auftreten und alle 3 Farben auftreten. \end{definition} \begin{figure}[htp] \centering - \includegraphics[height=0.3\linewidth, keepaspectratio]{figures/tricoloring.png} + \includegraphics[height=0.3\linewidth, keepaspectratio]{figures/tricoloring.png} \caption{Ein 3-gefärber Kleeblattknoten} \label{fig:treefoil-knot-three-colors} diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex index 955ac1e..612d166 100644 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex +++ b/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex @@ -15,7 +15,7 @@ Familie $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$ von Karten auf $X$, sodass $\bigcup_{i \in I} U_i = X$. \item $X$ heißt (topologische) $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit}, - wenn $X$ hausdorffsch ist, eine abzählbare Basis der + wenn $X$ hausdorffsch ist, eine abzählbare Basis der Topologie hat und einen $n$-dimensionalen Atlas besitzt. \end{defenum} \end{definition} @@ -27,13 +27,13 @@ Anschaulich ist also ein $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit lokal dem $\mdr^n$ ä \end{bemerkung} \begin{beweis} - Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $(U, \varphi)$ mit $U \in \fT$ + Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $(U, \varphi)$ mit $U \in \fT$ und $\varphi:U \rightarrow V \subseteq \mdr^n$, wobei $V$ offen und $\varphi$ ein Homöomorphismus ist, eine Karte auf $X$. Da jede offene Teilmenge des $\mdr^n$ genauso mächtig ist wie der $\mdr^n$, - $\varphi$ als Homöomorphismus insbesondere bijektiv ist und Mengen, zwischen - denen eine Bijektion existiert, gleich mächtig sind, ist $U$ genauso mächtig + $\varphi$ als Homöomorphismus insbesondere bijektiv ist und Mengen, zwischen + denen eine Bijektion existiert, gleich mächtig sind, ist $U$ genauso mächtig wie der $\mdr^n$. Da jede Mannigfaltigkeit mindestens eine Karte hat, muss jede Mannigfaltigkeit $X$ mindestens so mächtig sein wie der $\mdr^n$. $\qed$ \end{beweis} @@ -59,8 +59,8 @@ Mannigfaltigkeiten können beliebig viele Elemente haben. \begin{beispiel}[Mannigfaltigkeiten] \begin{bspenum} - \item Jede offene Teilmenge $U \subseteq \mdr^n$ ist eine - $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einem Atlas aus + \item Jede offene Teilmenge $U \subseteq \mdr^n$ ist eine + $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einem Atlas aus einer Karte. \item $\mdc^n$ ist eine $2n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einem Atlas aus einer Karte: @@ -106,7 +106,7 @@ Mannigfaltigkeiten können beliebig viele Elemente haben. Es gibt keine Umgebung von $0$ in $[0,1]$, die homöomorph zu einem offenem Intervall ist. \item $V_1 = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | x \cdot y = 0}$ ist - keine Mannigfaltigkeit. + keine Mannigfaltigkeit. Das Problem ist $(0,0)$. Wenn man diesen Punkt entfernt, zerfällt der Raum in 4 Zusammenhangskomponenten. @@ -116,7 +116,7 @@ Mannigfaltigkeiten können beliebig viele Elemente haben. Mannigfaltigkeit. \item $X = (\mdr \setminus \Set{0}) \cup (0_1, 0_2)$ \label{bsp:mannigfaltigkeit8} - \[U \subseteq X \text{ offen } \gdw + \[U \subseteq X \text{ offen } \gdw \begin{cases} U \text{ offen in } \mdr \setminus \Set{0}, &\text{falls } 0_1 \notin U, 0_2 \in U\\ \exists \varepsilon > 0: (-\varepsilon, \varepsilon) \subseteq U &\text{falls } 0_1 \in U, 0_2 \in U @@ -128,7 +128,7 @@ Mannigfaltigkeiten können beliebig viele Elemente haben. \underline{Aber:} $X$ ist nicht hausdorffsch! Denn es gibt keine disjunkten Umgebungen von $0_1$ und $0_2$. - \item \label{bsp:gln-ist-mf}\xindex{Gruppe!allgemeine lineare}$\GL_n(\mdr)$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension + \item \label{bsp:gln-ist-mf}\xindex{Gruppe!allgemeine lineare}$\GL_n(\mdr)$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n^2$, weil offene Teilmengen von $\mdr^{n^2}$ eine Mannigfaltigkeit bilden. \end{bspenum} @@ -141,12 +141,12 @@ Mannigfaltigkeiten können beliebig viele Elemente haben. Seien $X, Y$ $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten, $U \subseteq X$ und $V \subseteq Y$ offen, $\Phi: U \rightarrow V$ ein Homöomorphismus $Z = (X \dcup Y) /_\sim$ mit der von $u \sim \Phi(u)\;\forall{u \in U}$ - erzeugten Äquivalenzrelation und der von $\sim$ induzierten + erzeugten Äquivalenzrelation und der von $\sim$ induzierten Quotiententopologie. $Z$ heißt \textbf{Verklebung} von $X$ und $Y$ längs $U$ und $V$. $Z$ besitzt einen Atlas aus $n$-dimensionalen Karten. - Falls $Z$ hausdorffsch ist, ist $Z$ eine $n$-dimensionale + Falls $Z$ hausdorffsch ist, ist $Z$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit. \end{definition} @@ -210,7 +210,7 @@ Mannigfaltigkeiten können beliebig viele Elemente haben. $G: U \rightarrow \mdr^n, \; u \mapsto (g(u), u)$ eine stetige Abbildung auf eine offene Umgebung $V$ von $x$ in $X$ ist. - \end{enumerate} + \end{enumerate} $\qed$ \end{beweis} @@ -244,8 +244,8 @@ Mannigfaltigkeiten können beliebig viele Elemente haben. Sei $X$ ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie. $X$ heißt $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand}, wenn es einen Atlas $(U_i, \varphi_i)$ gibt, wobei $U_i \subseteq X_i$ - offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene - Teilmenge von + offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene + Teilmenge von \[\mdr_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_n \geq 0}\] ist. \end{definition} @@ -275,7 +275,7 @@ $\mdr_{+,0}^n$ ist ein \enquote{Halbraum}\xindex{Halbraum}. \begin{definition}\xindex{Rand}% Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand und - Atlas $\atlas$. Dann heißt + Atlas $\atlas$. Dann heißt \[\partial X := \bigcup_{(U, \varphi) \in \atlas} \Set{x \in U | \varphi (x) = 0}\] \textbf{Rand} von $X$. \end{definition} @@ -322,7 +322,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch \textit{glatt} genannt. \begin{definition}% - Sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$ + Sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$ ($k \in \mdn \cup \Set{\infty}$) mit Atlas $\atlas = (U_i, \varphi_i)_{i \in I}$. \begin{defenum} @@ -330,10 +330,10 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch mit $\atlas$, wenn alle Kartenwechsel $\varphi \circ \varphi_i^{-1}$ und $\varphi_i \circ \varphi^{-1}$ ($i \in I$ mit $U_i \cap U \neq \emptyset$) differenzierbar von Klasse $C^k$ sind. - \item Die Menge aller mit $\atlas$ verträglichen Karten auf + \item Die Menge aller mit $\atlas$ verträglichen Karten auf $X$ bildet einen maximalen Atlas der Klasse $C^k$. Er heißt \textbf{$C^k$-Struktur}\xindex{Ck-Struktur@$C^k$-Struktur} auf $X$. - + Eine $C^\infty$-Struktur heißt auch \textbf{differenzierbare Struktur}\xindex{Struktur!differenzierbare} auf $X$. \end{defenum} @@ -357,7 +357,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch gibt, sodass $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}$ stetig differenzierbar von Klasse $C^k$ in $\varphi(x)$ ist. \item $f$ heißt \textbf{differenzierbar} - (von Klasse $C^k$), wenn $f$ in jedem $x \in X$ + (von Klasse $C^k$), wenn $f$ in jedem $x \in X$ differenzierbar ist. \item $f$ heißt \textbf{Diffeomorphismus}\xindex{Diffeomorphismus}, wenn $f$ differenzierbar von Klasse $C^\infty$ ist und @@ -375,7 +375,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch \begin{beweis} Seien $(U', \varphi')$ und $(V', \psi')$ Karten von $X$ bzw. $Y$ um $x$ bzw. $f(x)$ mit $f(U') \subseteq V'$. - + $\Rightarrow \psi' \circ f \circ (\varphi')^{-1}$\\ $= \psi' \circ ( \psi^{-1} \circ \psi) \circ f \circ (\varphi^{-1} \circ \varphi ) \circ (\varphi')^{-1}$ @@ -397,8 +397,8 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch \begin{definition}\label{def:8.5}\xindex{Fläche!reguläre}\xindex{Parametrisierung!reguläre}% $S \subseteq \mdr^3$ heißt \textbf{reguläre Fläche} $:\gdw$ - $\forall s \in S\;\exists $ Umgebung $V(s) \subseteq \mdr^3$ $\exists U \subseteq \mdr^2$ offen: - $\exists \text{ differenzierbare Abbildung } F: U \rightarrow V \cap S$: + $\forall s \in S\;\exists $ Umgebung $V(s) \subseteq \mdr^3$ $\exists U \subseteq \mdr^2$ offen: + $\exists \text{ differenzierbare Abbildung } F: U \rightarrow V \cap S$: $\text{Rg}(J_F(u)) = 2\;\;\;\forall u \in U$. $F$ heißt (lokale) \textbf{reguläre Parametrisierung} von $S$. @@ -440,7 +440,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch %\caption{} \end{figure} - \[J_F(u,v) = + \[J_F(u,v) = \begin{pmatrix} -r(v) \sin u & r'(v) \cos u\\ r(v) \cos u & r'(v) \sin u\\ @@ -449,7 +449,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch hat Rang 2 für alle $(u,v) \in \mdr^2$. \item Kugelkoordinaten: $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3$,\\ $(u, v) \mapsto (R \cos v \cos u, R \cos v \sin u, R \sin v)$\\ - Es gilt: $F(u,v) \in S_R^2$, denn + Es gilt: $F(u,v) \in S_R^2$, denn \begin{align*} & R^2 \cos^2(v) \cos^2(u) + R^2 \cos^2(v) \sin^2(u) + R^2 \sin^2(v)\\ =& R^2 (\cos^2(v) \cos^2(u) + \cos^2(v) \sin^2(u) + \sin^2(v))\\ @@ -459,7 +459,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch \end{align*} Die Jacobi-Matrix - \[J_F(u,v) = + \[J_F(u,v) = \begin{pmatrix} -R \cos v \sin u & -R \sin v \cos u\\ R \cos v \cos u & -R \sin v \sin u\\ @@ -480,10 +480,10 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch \begin{beweis}\leavevmode - $S \subseteq \mdr^3$ ist als reguläre Fläche eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit. + $S \subseteq \mdr^3$ ist als reguläre Fläche eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit. Aus der Definition von regulären Flächen folgt direkt, dass Karten $(U_i, F_i)$ und $(U_j \subseteq \mdr^2, F_j:\mdr^2 \rightarrow \mdr^3)$ von $S$ mit - $U_i \cap U_j \neq \emptyset$ existieren, wobei $F_i$ und $F_j$ nach + $U_i \cap U_j \neq \emptyset$ existieren, wobei $F_i$ und $F_j$ nach Definition differenzierbare Abbildungen sind. \underline{z.Z.:} $F_j^{-1} \circ F_i$ ist ein Diffeomorphismus. @@ -494,15 +494,15 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch \caption{Reguläre Fläche $S$ zum Beweis von \cref{kor:regular-surface-mannigfaltigkeit}} \label{fig:parametric-surface-mapping} \end{figure} - + \underline{Idee:} Finde differenzierbare Funktion $\widetilde{F_j^{-1}}$ in Umgebung $W$ von $s$, sodass $\widetilde{F_j^{-1}}|_{S \cap W} = F_j^{-1}$. \underline{Ausführung:} Sei $u_0 \in U_i$, $v_0 \in U_j$ mit $F_i(u_0) = s = F_j(v_0)$. - Da $\rang(J_{F_j}(v_0)) = 2$ ist, ist \obda - \[\det + Da $\rang(J_{F_j}(v_0)) = 2$ ist, ist \obda + \[\det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} @@ -513,10 +513,10 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch Definiere $\widetilde{F_j}: U_j \times \mdr \rightarrow \mdr^3$ durch \[\widetilde{F_j} (u, v, t) := \left(x(u,v), y(u,v), z(u,v)+t \right )\] - + Offensichtlich: $\widetilde{F_j} |_{U_j \times \Set{0}} = F_j$ - \[J_{\widetilde{F_j}} = + \[J_{\widetilde{F_j}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & 0\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & 0\\ @@ -553,7 +553,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch \begin{beispiel}[Lie-Gruppen] \begin{bspenum} \item Alle endlichen Gruppen sind 0-dimensionale Lie-Gruppen. - \item $\GL_n(\mdr)$ + \item $\GL_n(\mdr)$ % ist eine Lie-Gruppe, da sie nach \cref{bsp:gln-ist-mf} eine Mannigfaltigkeit ist. % $\det: \GL_n \rightarrow \mdr$ ist eine stetige Abbildung. \item $(\mdr^\times, \cdot)$ @@ -653,10 +653,10 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumii.\roman*] \item Für $\Delta \in K$ und $S \subseteq \Delta$ Teilsimplex ist $S \in K$. - \item \label{def:simplizialkomplex.ii} Für $\Delta_1, \Delta_2 \in K$ ist - $\Delta_1 \cap \Delta_2$ leer oder ein - Teilsimplex von $\Delta_1$ und von - $\Delta_2$. + \item \label{def:simplizialkomplex.ii} Für $\Delta_1, \Delta_2 \in K$ ist + $\Delta_1 \cap \Delta_2$ leer oder ein + Teilsimplex von $\Delta_1$ und von + $\Delta_2$. \end{enumerate} \item $|K| := \bigcup_{\Delta \in K} \Delta$ (mit Teilraumtopologie) heißt \textbf{geometrische Realisierung}\xindex{Realisierung!geometrische} @@ -723,7 +723,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch \input{figures/topology-linear-mapping.tex} - \item Folgende Abbildung $\varphi: \Delta^n \rightarrow \Delta^{n-1}$ + \item Folgende Abbildung $\varphi: \Delta^n \rightarrow \Delta^{n-1}$ ist simplizial: \input{figures/topology-triangle-to-line.tex} @@ -742,7 +742,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch Sei $K$ ein endlicher Simplizialkomplex. Für $n \geq 0$ sei $a_n(K)$ die Anzahl der $n$-Simplizes in $K$. - Dann heißt + Dann heißt \[\chi(K) := \sum_{n=0}^{\dim K} (-1)^n a_n(K)\] \textbf{Eulerzahl} (oder Euler-Charakteristik\index{Euler-Charakteristik|see{Eulerzahl}}) von $K$. @@ -842,7 +842,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch \begin{bemerkung}\label{kor:simplex-unterteilung} Sei $\Delta$ ein $n$-Simplex und $x \in \Delta^\circ \subseteq \mdr^n$. - Sei $K$ der Simplizialkomplex, der aus $\Delta$ durch + Sei $K$ der Simplizialkomplex, der aus $\Delta$ durch \enquote{Unterteilung} in $x$ entsteht. Dann ist $\chi(K) = \chi(\Delta) = 1$. \end{bemerkung} @@ -920,7 +920,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch $\partial P$ von $0$ aus auf $\partial \fB_1(0) = S^2$. Erhalte Triangulierung von $S^2$. \item Sind $P_1$ und $P_2$ konvexe Polygone und $T_1, T_2$ - die zugehörigen Triangulierungen von $S^2$, so gibt es + die zugehörigen Triangulierungen von $S^2$, so gibt es eine Triangulierung $T$, die sowohl um $T_1$ als auch um $T_2$ Verfeinerung ist (vgl. \cref{fig:topology-3}). @@ -947,7 +947,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch und $C_n(K)$ der $\mdr$-Vektorraum mit Basis $A_n(K)$, d.~h. \[C_n(K) = \Set{\sum_{\sigma \in A_n(K)} c_\sigma \cdot \sigma | c_\sigma \in \mdr}\] - Sei $\sigma = \Delta(x_0, \dots, x_n) \in A_n(K)$, sodass + Sei $\sigma = \Delta(x_0, \dots, x_n) \in A_n(K)$, sodass $x_0 < x_1 < \dots < x_n$. Für $i = 0, \dots, n$ sei $\partial_i \sigma := \Delta(x_0, \dots, \hat{x_i}, \dots, x_n)$ @@ -1001,14 +1001,14 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch \end{beweis} \begin{definition}% - Sei $K$ ein Simplizialkomplex, - $Z_n := \text{Kern}(d_n) \subseteq C_n$ und + Sei $K$ ein Simplizialkomplex, + $Z_n := \text{Kern}(d_n) \subseteq C_n$ und $B_n := \text{Bild}(d_{n+1}) \subseteq C_n$. \begin{defenum} - \item $H_n = H_n(K, \mdr) := Z_n / B_n$ heißt $n$-te + \item $H_n = H_n(K, \mdr) := Z_n / B_n$ heißt $n$-te \textbf{Homologiegruppe}\xindex{Homologiegruppe} von $K$. - \item $b_n(K) := \dim_{\mdr} H_n$ heißt $n$-te + \item $b_n(K) := \dim_{\mdr} H_n$ heißt $n$-te \textbf{Betti-Zahl}\xindex{Betti-Zahl} von $K$. \end{defenum} \end{definition} diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel3.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel3.tex index 34a1ff0..3c3ad20 100644 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel3.tex +++ b/documents/GeoTopo/Kapitel3.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \section{Homotopie von Wegen} \begin{figure}[ht] \centering - \subfloat[$\gamma_1$ und $\gamma_2$ sind homotop, da man sie + \subfloat[$\gamma_1$ und $\gamma_2$ sind homotop, da man sie \enquote{zueinander verschieben} kann.]{ \input{figures/topology-homotop-paths.tex} \label{fig:homotope-wege-anschaulich} @@ -20,7 +20,7 @@ \end{figure} \begin{definition}% - Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$, + Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$, $\gamma_1, \gamma_2: I \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$, d.~h. $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = a$, $\gamma_1(1) = \gamma_2(1) = b$ @@ -38,7 +38,7 @@ \end{definition} \begin{bemerkung} - Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$, + Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$, $\gamma_1, \gamma_2: I \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$ und $H$ eine Homotopie zwischen $\gamma_1$ und $\gamma_2$. @@ -70,7 +70,7 @@ H'(t, 2s) &\text{falls } 0 \leq s \leq \frac{1}{2}\\ H''(t, 2s-1) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq s \leq 1\end{cases}$ - $\Rightarrow$ $H$ ist stetig und Homotopie von $\gamma_1$ nach + $\Rightarrow$ $H$ ist stetig und Homotopie von $\gamma_1$ nach $\gamma_3$. \end{itemize} $\qed$ @@ -78,12 +78,12 @@ \begin{beispiel} \begin{bspenum} - \item Sei $X = S^1$. $\gamma_1$ und $\gamma_2$ aus + \item Sei $X = S^1$. $\gamma_1$ und $\gamma_2$ aus \cref{fig:circle-two-paths} nicht homotop. \item Sei $X = T^2$. $\gamma_1, \gamma_2$ und $\gamma_3$ aus \cref{fig:torus-three-paths} sind paarweise nicht homotop. - \item Sei $X = \mdr^2$ und $a=b=(0,0)$. + \item Sei $X = \mdr^2$ und $a=b=(0,0)$. Je zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Endpunkt $(0,0)$ sind homotop. @@ -99,7 +99,7 @@ $\gamma_0(t) = (0,0) \; \forall t \in I$. Sei $\gamma(0) = \gamma(1) = (0,0)$. - $H(t,s) := (1-s) \gamma(t)$ ist stetig, + $H(t,s) := (1-s) \gamma(t)$ ist stetig, $H(t,0) = \gamma(t)\; \forall t \in I$ und $H(t,1) = (0,0) \; \forall t \in I$. \end{bspenum} @@ -123,7 +123,7 @@ % Mitschrieb vom 05.12.2013 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{bemerkung}\label{kor:homotope-wege} - Sei $X$ ein topologischer Raum, $\gamma: I \rightarrow X$ ein + Sei $X$ ein topologischer Raum, $\gamma: I \rightarrow X$ ein Weg und $\varphi: I \rightarrow I$ stetig mit $\varphi(0) = 0$, $\varphi(1) = 1$. Dann sind $\gamma$ und $\gamma \circ \varphi$ homotop. @@ -139,7 +139,7 @@ \begin{definition}\xindex{Weg!zusammengesetzter}% Seien $\gamma_1, \gamma_2$ Wege in $X$ mit $\gamma_1(1) = \gamma_2(0)$. - Dann ist + Dann ist \[\gamma (t) = \begin{cases} \gamma_1(2t) &\text{falls } 0 \leq t < \frac{1}{2}\\ \gamma_2(2t-1) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t \leq 1 @@ -149,7 +149,7 @@ \end{definition} \begin{bemerkung}\label{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen} - Das Zusammensetzen von Wegen ist nur bis auf + Das Zusammensetzen von Wegen ist nur bis auf Homotopie assoziativ, d.~h.: \begin{align*} \gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\neq (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3\\ @@ -203,13 +203,13 @@ Sei $H_i$ eine Homotopie zwischen $\gamma_i$ und $\gamma_i'$, $i=1,2$. - Dann ist + Dann ist \[H(t,s) := \begin{cases} H_1(2t, s) &\text{falls } 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\;\;\;\forall s \in I\\ H_2(2t-1,s) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}\] - eine Homotopie zwischen + eine Homotopie zwischen $\gamma_1 * \gamma_2$ und $\gamma_1' * \gamma_2 '$. \end{beweis} @@ -219,7 +219,7 @@ Eine spezielle Homotopieäquivalenz sind sog. Deformationsretraktionen: und $\iota = (\id_X)|_A$. \begin{defenum} - \item $\iota: A \rightarrow X$ mit $\iota(x) = x$ heißt die + \item $\iota: A \rightarrow X$ mit $\iota(x) = x$ heißt die \textbf{Inklusionsabbildung}\xindex{Inklusionsabbildung} und man schreibt: $\iota: A \hookrightarrow X$. \item $r$ heißt \textbf{Retraktion}\xindex{Retraktion}, wenn $r|_A = \id_A$ ist. @@ -264,7 +264,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom \item Assoziativität folgt aus \cref{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen} \item Neutrales Element $e = [\gamma_0], \gamma_0(t) = x \;\;\; \forall t \in I$. $e * [\gamma] = [\gamma] = [\gamma] * e$, da $\gamma_0 * \gamma \sim \gamma$ - \item \xindex{Weg!inverser} Inverses Element $[\gamma]^{-1} = [\overline{\gamma}] = [\gamma(1-t)]$, + \item \xindex{Weg!inverser} Inverses Element $[\gamma]^{-1} = [\overline{\gamma}] = [\gamma(1-t)]$, denn $\overline{\gamma} * \gamma \sim \gamma_0 \sim \gamma * \overline{\gamma}$ \end{enumerate} \end{beweis} @@ -280,7 +280,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom $[\gamma^k] \mapsto k$ ist ein Isomorphismus. \item $\pi_1 (\mdr^2, 0) = \pi_1 (\mdr^2, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^2$ \item $\pi_1 (\mdr^n, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^n$ - \item $G \subseteq \mdr^n$ heißt \textbf{sternförmig}\xindex{sternförmig} bzgl. $x \in G$, + \item $G \subseteq \mdr^n$ heißt \textbf{sternförmig}\xindex{sternförmig} bzgl. $x \in G$, wenn für jedes $y \in G$ auch die Strecke $[x, y] \subseteq G$ ist. @@ -338,7 +338,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom für ein $x \in X$. \end{definition} -Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen +Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen \cref{kor:gruppenisomorphismus-wege} sogar für alle $x \in X$. \begin{bemerkung}\label{korr:11.5} @@ -359,7 +359,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen \item $f_*$ ist wohldefiniert: Seien $\gamma_1, \gamma_2$ homotope Wege von $x$. z.Z.: $f \circ \gamma_1 \sim f \circ \gamma_2$: Nach Voraussetzung gibt es stetige Abbildungen $H:I\times I \rightarrow X$ - mit + mit \begin{align*} H(t,0) &= \gamma_1(t),\\ H(t,1) &= \gamma_2(t),\\ @@ -376,7 +376,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen \begin{beispiel} \begin{bspenum} - \item $f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2$ ist injektiv, aber + \item $f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2$ ist injektiv, aber $f_*:\pi_1(S^1, 1) \cong \mdz \rightarrow \pi_1(\mdr^2, 1) = \Set{e}$ ist nicht injektiv. \item $f: \mdr \rightarrow S^1, t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$ @@ -406,7 +406,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen stetig mit $f(x_0) = y_0 = g(x_0)$. $f$ und $g$ heißen \textbf{homotop} ($f \sim g$), wenn es eine stetige - Abbildung $H: X \times I \rightarrow Y$ mit + Abbildung $H: X \times I \rightarrow Y$ mit \begin{align*} H(x,0) &= f(x) \; \forall x \in X\\ H(x,1) &= g(x) \; \forall x \in X\\ @@ -426,7 +426,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen Z.~z.: $f \circ \gamma \sim g \circ \gamma$ Sei dazu $H_\gamma: I \times I \rightarrow Y, (t,s) \mapsto H(\gamma(t), s)$. - Dann gilt: + Dann gilt: \begin{align*} H_\gamma(t,0) &= H(\gamma(t), 0) = (f \circ \gamma)(t) \;\forall t \in I\\ H_\gamma(1,s) &= H(\gamma(1), s) = H(x_0, s) = y_0\;\forall s \in I\\ @@ -450,7 +450,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen \end{beispiel} \begin{satz}[Satz von Seifert und van Kampen \enquote{light}]\label{thm:seifert-van-kampen} - Sei $X$ ein topologischer Raum, $U, V \subseteq X$ offen mit + Sei $X$ ein topologischer Raum, $U, V \subseteq X$ offen mit $U \cup V = X$ und $U \cap V$ wegzusammenhängend. Dann wird $\pi_1(X,x)$ für $x \in U \cap V$ erzeugt von geschlossenen @@ -460,14 +460,14 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen \begin{beweis} Sei $\gamma: I \rightarrow X$ ein geschlossener Weg um $x$. Überdecke $I$ mit endlich vielen offenen Intervallen - $I_1, I_2, \dots, I_n$, die ganz in + $I_1, I_2, \dots, I_n$, die ganz in $\gamma^{-1}(U)$ oder ganz in $\gamma^{-1}(V)$ liegen. \Obda sei $\gamma(I_1) \subseteq U, \gamma(I_2) \subseteq V$, etc. Wähle $t_i \in I_i \cap I_{i+1}$, also $\gamma(t_i) \in U \cap V$. Sei $\sigma_i$ Weg in $U \cap V$ von $x_0$ nach $\gamma(t_i) \Rightarrow \gamma$ - ist homotop zu + ist homotop zu \[\underbrace{\gamma_1 * \overline{\sigma_1}}_{\text{in } U} * \underbrace{\sigma_1 * \gamma_2 * \overline{\sigma_2}}_{\text{in } V} * \dots * \sigma_{n-1} * \gamma_2 \text{ mit } \gamma_i := \gamma |_{I_i}\] \end{beweis} @@ -547,17 +547,17 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen \begin{beweis} Sei $p: Y \rightarrow X$ eine Überlagerung und $x \in X$ beliebig. Dann existiert eine offene Umgebung $U(x) \subseteq X$ und offene - Teilmengen $V_j \subseteq X$ mit + Teilmengen $V_j \subseteq X$ mit $p^{-1}(U) = \Dcup V_j$ und $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ ist Homöomorphismus. D.~h. es existiert ein $y \in V_j$, so dass $p|_{V_j}(y) = x$. - Da $x \in X$ beliebig war und ein $y \in Y$ existiert, mit + Da $x \in X$ beliebig war und ein $y \in Y$ existiert, mit $p(y) = x$, ist $p$ surjektiv. $\qed$ \end{beweis} \begin{definition}\xindex{Abbildung!offene}% - Seien $(X, \fT_X), (Y, \fT_Y)$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine + Seien $(X, \fT_X), (Y, \fT_Y)$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine Abbildung. $f$ heißt \textbf{offen} $:\gdw \forall U \in \fT_X: f(U) \in \fT_Y$. @@ -600,7 +600,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen \begin{definition}\xindex{diskret}% Sei $X$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$. - $M$ heißt \textbf{diskret} in $X$, wenn $M$ in $X$ keinen + $M$ heißt \textbf{diskret} in $X$, wenn $M$ in $X$ keinen Häufungspunkt hat. \end{definition} @@ -628,11 +628,11 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen $\Rightarrow V_{j_1} \cap V_{j_2} = \emptyset$ nach Voraussetzung. \underline{2. Fall}: $p(y_1) \neq p(y_2)$. - + Dann seien $U_1$ und $U_2$ disjunkte Umgebungen von $p(y_1)$ und $p(y_2)$. - $\Rightarrow p^{-1}(U_1)$ und $p^{-1}(U_2)$ sind disjunkte + $\Rightarrow p^{-1}(U_1)$ und $p^{-1}(U_2)$ sind disjunkte Umgebungen von $y_1$ und $y_2$. \item Sei $x \in X$ beliebig, aber fest. @@ -717,7 +717,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen Sei $q:U \rightarrow V$ die Umkehrabbildung zu $p|_V$. - Sei $W:= f^{-1}(U) \cap f_0^{-1}(V) \cap f_1^{-1}(V)$. $W$ ist + Sei $W:= f^{-1}(U) \cap f_0^{-1}(V) \cap f_1^{-1}(V)$. $W$ ist offene Umgebung in $Z$ von $z$. \underline{Behauptung:} $W \subseteq T$ @@ -749,7 +749,7 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus. \begin{bemerkung}%Bemerkung 12.6 der Vorlesung Wege in $X$ lassen sich zu Wegen in $Y$ liften. - Zu jedem $y \in p^{-1}(\gamma(0))$ gibt es genau einen Lift von + Zu jedem $y \in p^{-1}(\gamma(0))$ gibt es genau einen Lift von $\gamma$. \end{bemerkung} @@ -757,7 +757,7 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus. Seien $p: Y \rightarrow X$ eine Überlagerung, $a,b \in X$, $\gamma_0, \gamma_1: I \rightarrow X$ homotope Wege von $a$ nach $b$, $\tilde{a} \in p^{-1}(a), \tilde{\gamma_0}, \tilde{\gamma_1}$ - Liftungen von $\gamma_0$ bzw. $\gamma_1$ mit + Liftungen von $\gamma_0$ bzw. $\gamma_1$ mit $\tilde{\gamma_i}(0) = \tilde{a}$. Dann ist $\tilde{\gamma_0}(1) = \tilde{\gamma_1}(1)$ und @@ -784,7 +784,7 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus. Da $p^{-1}(b)$ diskrete Teilmenge von $Y$ ist\\ $\Rightarrow \tilde{b_s} = \tilde{H}(1,s) = \tilde{H}(1,0) \;\forall s \in I$\\ - $\Rightarrow \tilde{b_0} = \tilde{b_1}$ und $\tilde{H}$ ist Homotopie + $\Rightarrow \tilde{b_0} = \tilde{b_1}$ und $\tilde{H}$ ist Homotopie zwischen $\tilde{\gamma_0}$ und $\tilde{\gamma_1}$. $\qed$ \end{beweis} @@ -801,7 +801,7 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus. \item Sei $\tilde{\gamma}$ ein Weg in $Y$ um $y_0$ und $p_* ([\tilde{\gamma}]) = e$, also $p \circ \tilde{\gamma} \sim \gamma_{x_0}$ - Nach \cref{proposition:12.7} ist dann + Nach \cref{proposition:12.7} ist dann $\tilde{\gamma}$ homotop zum Lift des konstanten Wegs $\gamma_{x_0}$ mit Anfangspunkt $y_0$, also zu $\gamma_{y_0} \Rightarrow [\tilde{\gamma}] = e$ @@ -823,9 +823,9 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus. Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es Weg $\delta_i$ in $Y$ mit $\delta_i(0) = y_0$ und $\delta_i(1) = y_i$\\ - $\Rightarrow p \cup \delta_i$ ist geschlossener Weg in + $\Rightarrow p \cup \delta_i$ ist geschlossener Weg in $X$ um $x_0$.\\ - $\Rightarrow$ Jedes $y_i$ mit $i=0, \dots, d-1$ ist + $\Rightarrow$ Jedes $y_i$ mit $i=0, \dots, d-1$ ist $\tilde{\gamma}(1)$ für ein $[\gamma] \in \pi_1(X,x_0)$. \end{enumerate} \end{beweis} @@ -885,7 +885,7 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus. Offensichtlich ist $q(\tilde{p}(z)) = p(z)$. \underline{Zu zeigen:} $\tilde{p}$ ist stetig in $z \in \tilde{X}$: - + Sei $W \subseteq Y$ offene Umgebung von $\tilde{p}(z)$. $\xRightarrow{q \text{ offen}} q(W)$ ist offene Umgebung von $p(z) \cdot d(\tilde{p}(z))$. @@ -915,8 +915,8 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus. \end{folgerung} \begin{beweis} - Seien $x_0 \in X, \tilde{x_0} \in \tilde{X}$ mit - $p(\tilde{x_0}) = x_0$ und + Seien $x_0 \in X, \tilde{x_0} \in \tilde{X}$ mit + $p(\tilde{x_0}) = x_0$ und $\tilde{y_0} \in q^{-1}(x_0) \subseteq \tilde{Y}$. Nach \cref{thm:12.11} gibt es genau eine Überlagerung @@ -925,7 +925,7 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus. \[g: \tilde{Y} \rightarrow \tilde{X} \text{ mit } g(\tilde{y_0}) = \tilde{x_0} \text{ und } p \circ g = q\] Damit gilt: $p \circ q \circ f = q \circ f = p$, $q \circ f \circ g = p \circ g = q$. - Also ist $g \circ f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X}$ Lift von + Also ist $g \circ f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X}$ Lift von $p:\tilde{X} \rightarrow X$ mit $(g \circ f) (\tilde{x_0}) = \tilde{x_0}$. Da auch $\id_{\tilde{x}}$ diese Eigenschaft hat, folgt mit @@ -961,7 +961,7 @@ der folgende Satz: \[\tilde{U} = \tilde{U}(x, [\gamma]) := \Set{(y, [\gamma * \alpha]) | y \in U, \alpha \text{ Weg in } U \text{ von } x \text{ nach } y} \] $p$ ist Überlagerung: $p|_{\tilde{U}} : \tilde{U} \rightarrow U$ - bijektiv. $p$ ist stetig und damit $p|_{\tilde{U}}$ ein + bijektiv. $p$ ist stetig und damit $p|_{\tilde{U}}$ ein Homöomorphismus. Sind $\gamma_1, \gamma_2$ Wege von $x_0$ nach $x$ und $\gamma_1 \sim \gamma_2$, @@ -990,7 +990,7 @@ der folgende Satz: \begin{defenum} \item $f$ heißt \textbf{Decktransformation} von $p :\gdw p \circ f = p$. - \item Die Decktransformationen von $p: Y \rightarrow X$ bilden mit der Verkettung eine Gruppe, + \item Die Decktransformationen von $p: Y \rightarrow X$ bilden mit der Verkettung eine Gruppe, die sog. \textbf{Decktransformationsgruppe}\xindex{Decktransformationsgruppe}. Man schreibt: $\Deck(p)$, $\Deck(Y/X)$ oder $\Deck(Y \rightarrow X)$. @@ -1023,10 +1023,10 @@ der folgende Satz: \end{itemize} \item Die Menge \[\Fix(f) = \Set{y \in Y | f(y) = y}\] - ist abgeschlossen als Urbild der Diagonale + ist abgeschlossen als Urbild der Diagonale $\Delta \subseteq Y \times Y$ unter der stetigen Abbildung $y \mapsto (f(y),y)$. Außerdem ist $\Fix(f)$ - offen, denn ist $y \in \Fix(f)$, so sei $U$ eine + offen, denn ist $y \in \Fix(f)$, so sei $U$ eine Umgebung von $p(y) \in X$ wie in \cref{def:12.1} und $U \subseteq p^{-1}(U)$ die Komponente, die $y$ enthält; also $p:V \rightarrow U$ ein Homöomorphismus. @@ -1041,7 +1041,7 @@ der folgende Satz: \item Es sei $x_0 \in X$, $\deg(p) = d$ und $p^{-1}(x_0) = \Set{y_0, \dots, y_{d-1}}$. Für $f \in \Deck(Y/X)$ ist $f(y_0)= \Set{y_0, \dots, y_{d-1}}$. - Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es höchstens ein + Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es höchstens ein $f \in \Deck(Y/X)$ mit $f(y_0) = y_1$, denn ist $f(y_0) = g(y_0)$, so ist $(g^{-1} \circ f)(y_0) = y_0$, also nach \cref{kor:12.14c} $g^{-1} \circ f = \id_Y$. @@ -1061,7 +1061,7 @@ Nun werden wir eine Verbindung zwischen der Decktransformationsgruppe und der Fundamentalgruppe herstellen: \begin{satz}\label{thm:12.15}%In Vorlesung: Satz 12.15 - Ist $p: \tilde{X} \rightarrow X$ eine universelle Überlagerung, + Ist $p: \tilde{X} \rightarrow X$ eine universelle Überlagerung, so gilt: \[\Deck(\tilde{X}/X) \cong \pi_1(X, x_0)\;\;\;\forall x_0 \in X\] \end{satz} @@ -1074,11 +1074,11 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen: eindeutig bestimmt und damit auch $\rho$ wohldefiniert. \begin{itemize} - \item \underline{$\rho$ ist Gruppenhomomorphismus}: Seien + \item \underline{$\rho$ ist Gruppenhomomorphismus}: Seien $f, g \in \Deck(\tilde{X}/ X) \Rightarrow \gamma_{g \circ f} = \gamma_g * g(\gamma_f)$ $\Rightarrow p(\gamma_{g \circ f}) = p(\gamma_g) * \underbrace{(p \circ g)}_{=p} (\gamma_f) = \rho(g) \neq \rho(f)$ \item \underline{$\rho$ ist injektiv}: $\rho(f) = e \Rightarrow p (\gamma_f) \sim \gamma_{x_0}$ - $\xRightarrow{\cref{thm:ueberlagerung-weg-satz-12.6}} \gamma_f \sim \gamma_{\tilde{x_0}}$ + $\xRightarrow{\cref{thm:ueberlagerung-weg-satz-12.6}} \gamma_f \sim \gamma_{\tilde{x_0}}$ $\Rightarrow f(x_0) = \tilde{x_0} \xRightarrow{\crefabbr{kor:12.14c}} f = \id_{\tilde{x}}$. \item \underline{$\rho$ ist surjektiv}: Sei $[\gamma] \in \pi_1(X, x_0)$, $\tilde{\gamma}$ Lift von $\gamma$ nach $\tilde{x}$ mit @@ -1086,7 +1086,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen: sei $\tilde{x_1}$. \underline{$p$ ist reguläre Überlagerung}: Seien - $\tilde{x_0}, \tilde{x_1} \in \tilde{X}$ mit + $\tilde{x_0}, \tilde{x_1} \in \tilde{X}$ mit $p(\tilde{x_0}) = p(\tilde{x_1})$. Nach \cref{thm:12.11} gibt es genau eine Überlagerung $\tilde{p}: \tilde{X} \rightarrow X$ mit $p=p \circ \tilde{p}$ und $\tilde{p}(\tilde{x_0}) = \tilde{x_1}$. @@ -1163,7 +1163,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen: \[m_g: X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x\] ein Homöomorphismus ist. \item Ist $G$ eine topologische Gruppe, so heißt die Gruppenoperation $\circ$ - \textbf{stetig}\xindex{Gruppenoperation!stetige}, wenn + \textbf{stetig}\xindex{Gruppenoperation!stetige}, wenn \[\forall g \in G: m_g \text{ ist stetig}\] gilt. \end{defenum} @@ -1175,7 +1175,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen: \begin{beweis}\leavevmode Nach Voraussetzung ist $m_g := \circ |_{\Set{g} \times X} : X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x$ stetig. - Die Umkehrabbildung zu $m_g$ ist $m_{g^{-1}}$: + Die Umkehrabbildung zu $m_g$ ist $m_{g^{-1}}$: \begin{align*} (m_{g^{-1}} \circ m_g)(x) &= m_{g^{-1}} (m_g (x))\\ &= m_{g^{-1}} (g \circ x)\\ @@ -1196,7 +1196,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen: \begin{bemenum} \item Die Gruppenoperation von $G$ auf $X$ entsprechen bijektiv den Gruppenhomomorphismen $\varrho: G \rightarrow \Perm(X) = \Sym(X) = \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist bijektiv}}$ - \item Ist $X$ ein topologischer Raum, so entsprechen dabei + \item Ist $X$ ein topologischer Raum, so entsprechen dabei die Gruppenoperationen durch Homöomorphismus den Gruppenhomomorphismen $G \rightarrow \Homoo(X)$ \end{bemenum} @@ -1213,7 +1213,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen: Umgekehrt: Sei $\varrho: G \rightarrow \Perm(X)$ Gruppenhomomorphismus. Definiere $\circ: G \times X \rightarrow X$ durch $g \circ x = \varrho (g)(x)$. - z.~z. \cref{def:gruppenoperation.2}: + z.~z. \cref{def:gruppenoperation.2}: \begin{align*} g_1 \circ (g_2 \circ x) &= \varrho (g_1) (g_2 \circ x)\\ &= \varrho(g_1) (\varrho(g_2)(x))\\ @@ -1222,8 +1222,8 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen: &= (g_1 \cdot g_2) \circ x \end{align*} - z.~z. \cref{def:gruppenoperation.1}: - $1_G \cdot x = \varrho(1_G)(x) = \id_X(x) = x$, weil $\varrho$ ein + z.~z. \cref{def:gruppenoperation.1}: + $1_G \cdot x = \varrho(1_G)(x) = \id_X(x) = x$, weil $\varrho$ ein Homomorphismus ist. \end{beweis} @@ -1253,7 +1253,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen: \begin{enumerate}[label=\roman*)] \item $[e] \circ \tilde{x} = \rtilde{e * \delta} = \tilde{x}$ \item $\rtilde{\gamma_1 * \gamma_2 * \delta}(1) = [\gamma_1 * \gamma_2] \circ \tilde{x} = ([\gamma_1] * [\gamma_2]) \circ \tilde{x}$\\ - $\gamma_1 * \gamma_2 * \delta(1) = [\gamma_1] \circ (\tilde{\gamma_2 * \delta})(1) = [\gamma_1] \circ ([\gamma_2] \circ \tilde{x})$ + $\gamma_1 * \gamma_2 * \delta(1) = [\gamma_1] \circ (\tilde{\gamma_2 * \delta})(1) = [\gamma_1] \circ ([\gamma_2] \circ \tilde{x})$ \end{enumerate} \end{beispiel} diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel4-UB.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel4-UB.tex index 168b7bb..95efb95 100644 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel4-UB.tex +++ b/documents/GeoTopo/Kapitel4-UB.tex @@ -18,7 +18,7 @@ \end{aufgabe} \begin{aufgabe}\label{ub11:aufg3} - Sei $(X, d)$ eine absolute Ebene. Der \textit{Abstand}\xindex{Abstand} eines + Sei $(X, d)$ eine absolute Ebene. Der \textit{Abstand}\xindex{Abstand} eines Punktes $P$ zu einer Menge $Y \subseteq X$ von Punkten ist definiert durch $d(P, Y) := \inf{d(P, y) | y \in Y}$. @@ -27,13 +27,13 @@ \item \label{ub11:aufg3.a} Ist $\triangle ABC$ ein Dreieck, in dem die Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ kongruent sind, so sind die Winkel $\angle ABC$ und $\angle BCA$ gleich. - \item \label{ub11:aufg3.b} Ist $\triangle ABC$ ein beliebiges Dreieck, so liegt + \item \label{ub11:aufg3.b} Ist $\triangle ABC$ ein beliebiges Dreieck, so liegt der längeren Seite der größere Winkel gegenüber und umgekehrt. \item \label{ub11:aufg3.c} Sind $g$ eine Gerade und $P \notin g$ ein Punkt, so gibt es eine eindeutige Gerade $h$ mit $P \in h$ und die - $g$ im rechten Winkel schneidet. Diese Grade heißt - \textit{Lot}\xindex{Lot} von $P$ auf $g$ und der + $g$ im rechten Winkel schneidet. Diese Grade heißt + \textit{Lot}\xindex{Lot} von $P$ auf $g$ und der Schnittpunkt des Lots mit $g$ heißt \textit{Lotfußpunkt}\xindex{Lotfußpunkt}. \end{aufgabeenum} \end{aufgabe} diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex index d8cc784..8b06be0 100644 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex +++ b/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex @@ -12,25 +12,25 @@ \section{Axiome für die euklidische Ebene} Axiome\xindex{Axiom} bilden die Grundbausteine jeder mathematischen Theorie. Eine Sammlung aus Axiomen nennt man Axiomensystem\xindex{Axiomensystem}. -Da der Begriff des Axiomensystems so grundlegend ist, hat man auch +Da der Begriff des Axiomensystems so grundlegend ist, hat man auch ein paar sehr grundlegende Forderungen an ihn: Axiomensysteme sollen \textbf{widerspruchsfrei} sein, die Axiome sollen möglichst \textbf{unabhängig} sein und \textbf{Vollständigkeit} wäre auch toll. Mit Unabhängigkeit ist gemeint, dass kein Axiom sich aus einem anderem herleiten lässt. Dies scheint auf den ersten Blick eine einfache -Eigenschaft zu sein. Auf den zweiten Blick muss man jedoch einsehen, -dass das Parallelenproblem, also die Frage ob das Parallelenaxiom -unabhängig von den restlichen Axiomen ist, über 2000 Jahre nicht +Eigenschaft zu sein. Auf den zweiten Blick muss man jedoch einsehen, +dass das Parallelenproblem, also die Frage ob das Parallelenaxiom +unabhängig von den restlichen Axiomen ist, über 2000 Jahre nicht gelöst wurde. Ein ganz anderes Kaliber ist die Frage nach der Vollständigkeit. Ein Axiomensystem gilt als Vollständig, wenn jede Aussage innerhalb des Systems verifizierbar oder falsifizierbar -ist. Interessant ist hierbei der Gödelsche Unvollständigkeitssatz, +ist. Interessant ist hierbei der Gödelsche Unvollständigkeitssatz, der z.~B. für die Arithmetik beweist, dass nicht alle Aussagen formal bewiesen oder widerlegt werden können. -Kehren wir nun jedoch zurück zur Geometrie. Euklid hat in seiner +Kehren wir nun jedoch zurück zur Geometrie. Euklid hat in seiner Abhandlung \enquote{Die Elemente} ein Axiomensystem für die Geometrie -aufgestellt. +aufgestellt. \textbf{Euklids Axiome} \begin{itemize} @@ -39,11 +39,11 @@ aufgestellt. \item \textbf{Kreis} (um jeden Punkt mit jedem Radius) \item Je zwei rechte Winkel sind gleich (Isometrie, Bewegung) \item Parallelenaxiom von Euklid:\xindex{Parallelenaxiom}\\ - Wird eine Gerade so von zwei Geraden geschnitten, dass die + Wird eine Gerade so von zwei Geraden geschnitten, dass die Summe der Innenwinkel kleiner als zwei Rechte ist, dann schneiden sich diese Geraden auf der Seite dieser Winkel.\\ \\ - Man mache sich klar, dass das nur dann nicht der Fall ist, + Man mache sich klar, dass das nur dann nicht der Fall ist, wenn beide Geraden parallel sind und senkrecht auf die erste stehen. \end{itemize} @@ -60,7 +60,7 @@ aufgestellt. \end{enumerate} \item \textbf{Abstandsaxiom}\xindex{Abstandsaxiom}: Zu $P, Q, R \in X$ gibt es \label{axiom:2} genau dann ein $g \in G$ mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$, - wenn gilt: + wenn gilt: \begin{itemize}[] \item $d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)$ oder \item $d(P, Q) = d(P, R) + d(R, Q)$ oder @@ -72,7 +72,7 @@ aufgestellt. \begin{definition} Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie und seien $P, Q, R \in X$. \begin{defenum} - \item $P, Q, R$ liegen \textbf{kollinear}\xindex{kollinear}, + \item $P, Q, R$ liegen \textbf{kollinear}\xindex{kollinear}, wenn es $g \in G$ gibt mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$. \item $Q$ \textbf{liegt zwischen}\xindex{liegt zwischen} $P$ und $R$, wenn $d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)$ @@ -103,10 +103,10 @@ aufgestellt. \begin{beweis}\leavevmode \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item \enquote{$\subseteq$} folgt direkt aus der Definition von $PR^+$ und $PR^-$\\ - \enquote{$\supseteq$}: Sei $Q \in PR \Rightarrow P, Q, R$ + \enquote{$\supseteq$}: Sei $Q \in PR \Rightarrow P, Q, R$ sind kollinear.\\ $\overset{\ref{axiom:2}}{\Rightarrow} - \begin{cases} + \begin{cases} Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \Rightarrow Q \in PR\\ R \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q \Rightarrow Q \in PR\\ P \text{ liegt zwischen } Q \text{ und } R \Rightarrow Q \in PR @@ -133,21 +133,21 @@ aufgestellt. \begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=3] \item \label{axiom:3}\textbf{Anordnungsaxiome}\xindex{Anordnungsaxiome} \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumi{} (\roman*)] - \item \label{axiom:3.1} Zu jeder - Halbgerade $H$ mit Anfangspunkt $P \in X$ und jedem - $r \in \mdr_{\geq 0}$ gibt es genau ein + \item \label{axiom:3.1} Zu jeder + Halbgerade $H$ mit Anfangspunkt $P \in X$ und jedem + $r \in \mdr_{\geq 0}$ gibt es genau ein $Q \in H$ mit $d(P,Q) = r$. - \item \label{axiom:3.2} Jede Gerade zerlegt - $X \setminus g = H_1 \dcup H_2$ in zwei + \item \label{axiom:3.2} Jede Gerade zerlegt + $X \setminus g = H_1 \dcup H_2$ in zwei nichtleere Teilmengen $H_1, H_2$, sodass für alle $A \in H_i$, $B \in H_j$ mit - $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: + $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$.\\ - Diese Teilmengen $H_i$ heißen - \textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl. + Diese Teilmengen $H_i$ heißen + \textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl. $g$. \end{enumerate} - \item \label{axiom:4}\textbf{Bewegungsaxiom}\xindex{Bewegungsaxiom}: + \item \label{axiom:4}\textbf{Bewegungsaxiom}\xindex{Bewegungsaxiom}: Zu $P, Q, P', Q' \in X$ mit $d(P,Q) = d(P', Q')$ gibt es mindestens 2 Isometrien $\varphi_1, \varphi_2$ mit $\varphi_i (P) = P'$ und $\varphi_i(Q) = Q'$ mit $i=1,2$.\footnote{Die \enquote{Verschiebung} von $P'Q'$ nach $PQ$ und die Isometrie, die zusätzlich an der Gerade durch $P$ und $Q$ spiegelt.} @@ -163,14 +163,14 @@ aufgestellt. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{satz}[Satz von Pasch]\label{satz:pasch} %In Vorlesung: Bemerkung 14.5 Seien $P$, $Q$, $R$ nicht kollinear, $g \in G$ mit $g \cap \Set{P, Q, R} = \emptyset$ - und $g \cap \overline{PQ} \neq \emptyset$. + und $g \cap \overline{PQ} \neq \emptyset$. - Dann ist entweder $g \cap \overline{PR} \neq \emptyset$ oder + Dann ist entweder $g \cap \overline{PR} \neq \emptyset$ oder $g \cap \overline{QR} \neq \emptyset$. \end{satz} -Dieser Satz besagt, dass Geraden, die eine Seite eines Dreiecks -(also nicht nur eine Ecke) schneiden, auch eine weitere Seite +Dieser Satz besagt, dass Geraden, die eine Seite eines Dreiecks +(also nicht nur eine Ecke) schneiden, auch eine weitere Seite schneiden. \begin{beweis} @@ -182,7 +182,7 @@ schneiden. \end{beweis} \begin{bemerkung}\label{kor:beh3} - Sei $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ sowie $A, B \in X \setminus PQ$ + Sei $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ sowie $A, B \in X \setminus PQ$ mit $A \neq B$. Außerdem seien $A$ und $B$ in der selben Halbebene bzgl. $PQ$ sowie $Q$ und $B$ in der selben Halbebene bzgl. $PA$. @@ -197,8 +197,8 @@ schneiden. \label{fig:geometry-5} \end{figure} -Auch \cref{kor:beh3} lässt sich umgangssprachlich sehr viel -einfacher ausdrücken: Die Diagonalen eines konvexen Vierecks +Auch \cref{kor:beh3} lässt sich umgangssprachlich sehr viel +einfacher ausdrücken: Die Diagonalen eines konvexen Vierecks schneiden sich. \begin{beweis}%In Vorlesung: Behauptung 3 @@ -217,7 +217,7 @@ schneiden sich. $\overline{AP'}$ liegt in der anderen Halbebene bzgl. $PA \Rightarrow C \notin \overline{P'A} \Rightarrow C \in \overline{AQ}$ \end{enumerate} - Da $C \in PB^+$ und $C \in \overline{AQ}$ folgt nun direkt: + Da $C \in PB^+$ und $C \in \overline{AQ}$ folgt nun direkt: $\emptyset \neq \Set{C} \subseteq PB^+ \cap \overline{AQ} \qed$ \end{beweis} @@ -286,7 +286,7 @@ schneiden sich. \begin{bemerkung}\label{kor:beh2'} Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie, die \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:3} - erfüllt, $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ und $\varphi$ eine Isometrie mit + erfüllt, $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ und $\varphi$ eine Isometrie mit $\varphi(P) = P$ und $\varphi(Q) = Q$. Dann gilt $\varphi(S) = S\;\;\;\forall S \in PQ$. @@ -302,7 +302,7 @@ schneiden sich. &\overset{\mathclap{\ref{axiom:3.1}}}{\Rightarrow} \varphi(S) = S \end{align*} - $\qed$ + $\qed$ \end{beweis} \begin{proposition}\label{satz:14.4}%In Vorlesung: Satz 14.4 @@ -310,7 +310,7 @@ schneiden sich. gibt es zu $P, P', Q, Q'$ mit $d(P, Q) = d(P', Q')$ höchstens zwei Isometrien mit $\varphi(P) = P'$ und $\varphi(Q) = Q'$ - Aus den Axiomen folgt, dass es in + Aus den Axiomen folgt, dass es in der Situation von \ref{axiom:4} höchstens zwei Isometrien mit $\varphi_i(P) = P'$ und $\varphi_i(Q) = Q'$ gibt. \end{proposition} @@ -332,11 +332,11 @@ schneiden sich. Nun zu den Beweisen der Teilaussagen: \begin{enumerate}[label=(Teil \roman*),ref=(Teil \roman*)] - \item Sei $R \in X \setminus PQ$. Von den drei Punkten + \item Sei $R \in X \setminus PQ$. Von den drei Punkten $\varphi_1(R), \varphi_2(R), \varphi_3(R)$ liegen zwei in der selben Halbebene bzgl. $P'Q' = \varphi_i(PQ)$. - \Obda seien $\varphi_1(R)$ und $\varphi_2(R)$ in der + \Obda seien $\varphi_1(R)$ und $\varphi_2(R)$ in der selben Halbebene. Es gilt: $\begin{aligned}[t] @@ -392,7 +392,7 @@ schneiden sich. Also gilt insbesondere $\varphi(\triangle A'B'C') = \triangle ABC$. $\qed$ \end{beweis} - + \begin{bemerkung}[WSW-Kongruenzsatz]\xindex{Kongruenzsatz!WSW}% Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie, die \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4} erfüllt. Seien außerdem $\triangle ABC$ und $\triangle A'B'C'$ Dreiecke, für die gilt: @@ -424,15 +424,15 @@ schneiden sich. \begin{definition}\label{def:14.8}%In Vorlesung: 14.8 \begin{defenum} - \item \label{def:14.8a} Ein \textbf{Winkel}\xindex{Winkel} ist ein Punkt $P \in X$ + \item \label{def:14.8a} Ein \textbf{Winkel}\xindex{Winkel} ist ein Punkt $P \in X$ zusammen mit $2$ Halbgeraden mit Anfangspunkt $P$.\\ Man schreibt: $\angle R_1 P R_2$ bzw. $\angle R_2 P R_1$\footnote{Für dieses Skript gilt: $\angle R_1 P R_2 = \angle R_2 P R_1$. Also sind insbesondere alle Winkel $ \leq 180^\circ$.} - \item Zwei Winkel sind \textbf{gleich}, wenn es eine Isometrie gibt, + \item Zwei Winkel sind \textbf{gleich}, wenn es eine Isometrie gibt, die den einen Winkel auf den anderen abbildet. \item \label{def:14.8c} $\angle R_1' P' R_2'$ heißt \textbf{kleiner} als $\angle R_1 P R_2$, wenn es eine Isometrie $\varphi$ gibt, mit $\varphi(P') = P$, $\varphi(P'R'^{+}_{1}) = PR_{1}^{+}$ - und $\varphi(R_2')$ liegt in der gleichen Halbebene + und $\varphi(R_2')$ liegt in der gleichen Halbebene bzgl. $PR_1$ wie $R_2$ und in der gleichen Halbebene bzgl. $PR_2$ wie $R_1$ \item \label{def:14.8d} Im Dreieck $\triangle PQR$ gibt es \textbf{Innenwinkel}\xindex{Innenwinkel} und @@ -455,7 +455,7 @@ schneiden sich. \end{figure} \begin{bemerkung}\label{bem:14.9}%In Vorlesung: Bemerkung 14.9 - In einem Dreieck ist jeder Innenwinkel kleiner als jeder nicht + In einem Dreieck ist jeder Innenwinkel kleiner als jeder nicht anliegende Außenwinkel. \end{bemerkung} @@ -481,7 +481,7 @@ schneiden sich. \caption{Situation aus \cref{bem:14.9}} \end{figure} - Es gilt: $d(Q,M) = d(M,R)$ und $d(P,M) = d(M,A)$ sowie + Es gilt: $d(Q,M) = d(M,R)$ und $d(P,M) = d(M,A)$ sowie $\angle PMR = \angle AMQ \Rightarrow \triangle MRQ$ ist kongruent zu $\triangle AMQ$, denn eine der beiden Isometrien, die $\angle PMR$ auf $\angle AMQ$ abbildet, bildet $R$ auf $Q$ und @@ -496,7 +496,7 @@ schneiden sich. \begin{proposition}[Existenz der Parallelen]\label{prop:14.7}%In Vorlesung: Proposition 14.7 Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie mit den Axiomen \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4}. - Dann gibt es zu jeder Geraden $g \in G$ und jedem Punkt $P \in X \setminus g$ + Dann gibt es zu jeder Geraden $g \in G$ und jedem Punkt $P \in X \setminus g$ mindestens eine Parallele $h \in G$ mit $P \in h$ und $g \cap h = \emptyset$. \end{proposition} @@ -535,7 +535,7 @@ Halbebene bzgl. $PQ$ liegt wie $R$. \begin{figure}[htp] \centering - \includegraphics[width=0.4\linewidth, keepaspectratio]{figures/Spherical_triangle_3d_opti.png} + \includegraphics[width=0.4\linewidth, keepaspectratio]{figures/Spherical_triangle_3d_opti.png} \caption{In der sphärischen Geometrie gibt es, im Gegensatz zur euklidischen Geometrie, Dreiecke mit drei $90^\circ$-Winkeln.} \label{fig:spherical-triangle} \end{figure} @@ -567,7 +567,7 @@ Sei im Folgenden \enquote{$\IWS$} die \enquote{Innenwinkelsumme}. Sei $\alpha$ ein Innenwinkel von $\triangle$. \begin{behauptung} - Es gibt ein Dreieck $\triangle'$ mit + Es gibt ein Dreieck $\triangle'$ mit $\IWS(\triangle') = \IWS(\triangle)$ und einem Innenwinkel $\alpha' \leq \frac{\alpha}{2}$. @@ -579,8 +579,8 @@ Sei im Folgenden \enquote{$\IWS$} die \enquote{Innenwinkelsumme}. \end{behauptung} \begin{beweis} - Es seien $A, B, C \in X$ und $\triangle $ das Dreieck mit den - Eckpunkten $A, B, C$ und $\alpha$ sei der Innenwinkel bei $A$, + Es seien $A, B, C \in X$ und $\triangle $ das Dreieck mit den + Eckpunkten $A, B, C$ und $\alpha$ sei der Innenwinkel bei $A$, $\beta$ der Innenwinkel bei $B$ und $\gamma$ der Innenwinkel bei $C$. Sei $M$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{BC}$. Sei außerdem @@ -613,7 +613,7 @@ Sei im Folgenden \enquote{$\IWS$} die \enquote{Innenwinkelsumme}. \end{figure} \begin{beweis} - Sei $g$ eine Parallele von $AB$ durch $C$. + Sei $g$ eine Parallele von $AB$ durch $C$. \begin{itemize} \item Es gilt $\alpha' = \alpha$ wegen \cref{prop:14.7}. @@ -639,7 +639,7 @@ WSW.\xindex{Kongruenzsatz!SWW} \label{fig:hyperbolische-geometrie-2} \end{figure} -Der Beweis wird hier nicht geführt. Für Beweisvorschläge wäre ich +Der Beweis wird hier nicht geführt. Für Beweisvorschläge wäre ich dankbar. \begin{figure}[htp] @@ -730,10 +730,10 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \ \item $(\mdr^2, d_\text{Euklid})$ ist offensichtlich eine euklidische Ebene. \item Sei $(X,d)$ eine euklidische Ebene und $g_1, g_2$ Geraden in $X$, die sich in einem Punkt $0$ im rechten Winkel - schneiden. + schneiden. - Sei $P \in X \setminus (g_1 \cup g_2)$ ein Punkt und $P_X$ der - Fußpunkt des Lots von $P$ auf $g_1$ (vgl. \cref{ub11:aufg3.c}) + Sei $P \in X \setminus (g_1 \cup g_2)$ ein Punkt und $P_X$ der + Fußpunkt des Lots von $P$ auf $g_1$ (vgl. \cref{ub11:aufg3.c}) und $P_Y$ der Fußpunkt des Lots von $P$ auf $g_2$. Sei $x_P := d(P_X, 0)$ und $y_P := d(P_Y, 0)$. @@ -754,11 +754,11 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \ \label{fig:14.13.0.1} \end{figure} - + Sei $h:X \rightarrow \mdr^2$ eine Abbildung mit $h(P) := (x_P, y_P)$ Dadurch wird $h$ auf dem Quadranten - definiert, in dem $P$ liegt, d.~h. + definiert, in dem $P$ liegt, d.~h. \[\forall Q \in X \text{ mit } \overline{PQ} \cap g_1 = \emptyset = \overline{PQ} \cap g_2\] Fortsetzung auf ganz $X$ durch konsistente Vorzeichenwahl. @@ -833,7 +833,7 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \ Betrachte nun $z_1$ und $z_2$ als Punkte in der euklidischen Ebene. Die Mittelsenkrechte zu diesen Punkten schneidet die $x$-Achse. Alle Punkte auf - der Mittelsenkrechten zu $z_1$ und $z_2$ sind gleich + der Mittelsenkrechten zu $z_1$ und $z_2$ sind gleich weit von $z_1$ und $z_2$ entfernt. Daher ist der Schnittpunkt mit der $x$-Achse der Mittelpunkt eines Kreises durch $z_1$ und $z_2$ (vgl. \cref{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-2}) @@ -867,7 +867,7 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \ \underline{Zu zeigen:} $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit - $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: + $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\ \enquote{$\Leftarrow$}: $A \in H_1, B \in H_2: \overline{AB} \cap g \neq \emptyset$ @@ -882,10 +882,10 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \ Sei $h$ die Gerade, die durch $A$ und $B$ geht. - Da $A,B \notin g$, aber $A, B \in h$ gilt, haben $g$ und $h$ + Da $A,B \notin g$, aber $A, B \in h$ gilt, haben $g$ und $h$ insbesondere mindestens einen unterschiedlichen Punkt. Aus \ref{axiom:1.1} folgt, dass sich - $g$ und $h$ in höchstens einen Punkt schneiden. Sei $C$ dieser + $g$ und $h$ in höchstens einen Punkt schneiden. Sei $C$ dieser Punkt. Aus $A,B \notin g$ folgt: $C \neq A$ und $C \neq B$. Also liegt @@ -903,8 +903,8 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \ \end{beweis} \begin{definition}\xindex{Möbiustransformation}% - Es seien $a,b,c,d \in \mdr$ mit $ad - bc \neq 0$ und - $\sigma: \mdc \rightarrow \mdc$ eine Abbildung definiert durch + Es seien $a,b,c,d \in \mdr$ mit $ad - bc \neq 0$ und + $\sigma: \mdc \rightarrow \mdc$ eine Abbildung definiert durch \[\sigma(z) := \frac{az + b}{cz+d}\] $\sigma$ heißt \textbf{Möbiustransformation}. @@ -953,7 +953,7 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \ &= \frac{a(a'z+b')+b(c'z+d')}{c(a'z+b') + d(c'z+d')}\\ &= \frac{(aa'+bc')z + ab' + bd'}{(ca'+db')z + cb' + dd'}\\ &= \begin{pmatrix}aa'+bc'&ab'+bd'\\ca'+db'&cb'+dd'\end{pmatrix} \circ z\\ - &= \left ( \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} \right ) \circ z + &= \left ( \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} \right ) \circ z \end{align*} \item Es gilt $\sigma(z) = (-\sigma)(z)$ für alle $\sigma \in \SL_2(\mdr)$ und $z \in \mdh$. @@ -975,7 +975,7 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \ Daher genügt es zu zeigen, dass man mit $A_{\lambda}$, $B_t$ und $C$ alle Matrizen aus $\SL_2(\mdr)$ erzeugen kann, genügt es also von einer beliebigen - Matrix durch Multiplikation mit Matrizen der Form $A_{\lambda}$, + Matrix durch Multiplikation mit Matrizen der Form $A_{\lambda}$, $B_t$ und $C$ die Einheitsmatrix zu generieren. Sei also @@ -1056,9 +1056,9 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \ \begin{definition}\xindex{Doppelverhältnis}%In Vorlesung: Def+Prop 15.4 Seien $z_1, z_2, z_3, z_4 \in \mdc$ paarweise verschieden. - Dann heißt + Dann heißt \[\DV(z_1, z_2, z_3, z_4) := \frac{\frac{z_1 - z_4}{z_1 - z_2}}{\frac{z_3 - z_4}{z_3 - z_2}} = \frac{(z_1 - z_4) \cdot (z_3 - z_2)}{(z_1 - z_2) \cdot (z_3 - z_4)}\] - \textbf{Doppelverhältnis} von + \textbf{Doppelverhältnis} von $z_1, \dots, z_4$. \end{definition} @@ -1071,7 +1071,7 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \ oder wenn zwei der $z_i$ gleich sind. \item $\DV(0, 1, \infty, z_4) = z_4$ (Der Fall $z_4 \in \Set{0, 1, \infty}$ ist zugelassen). \item \label{bem:15.4d} Für $\sigma \in \PSL_2(\mdc)$ und $z_1, \dots, z_4 \in \mdc \cup \Set{\infty}$ - ist + ist \[\DV(\sigma(z_1), \sigma(z_2), \sigma(z_3), \sigma(z_4)) = \DV(z_1, z_2, z_3, z_4)\] und für $\sigma(z) = \frac{1}{\overline{z}}$ gilt \[\DV(\sigma(z_1), \sigma(z_2), \sigma(z_3), \sigma(z_4)) = \overline{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}\] @@ -1110,7 +1110,7 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \ Durch Einsetzen ergibt sich $\DV(z_1, \dots, z_4)=1$. \end{itemize} - Im Fall, dass ein $z_i = \infty$ ist, ist + Im Fall, dass ein $z_i = \infty$ ist, ist entweder $\DV(0, 1, \infty, z_4) = 0$ oder $\DV(0, 1, \infty, z_4) \pm \infty$ \item $\DV(0, 1, \infty, z_4) = \frac{(0- z_4) \cdot (\infty - 1)}{(0 -1) \cdot (\infty - z_4)} = \frac{z_4 \cdot (\infty - 1)}{\infty - z_4} = z_4$ \item Wenn jemand diesen Beweis führt, bitte an info@martin-thoma.de schicken.%TODO diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel5.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel5.tex index 4d63e9f..8f42d0c 100644 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel5.tex +++ b/documents/GeoTopo/Kapitel5.tex @@ -12,16 +12,16 @@ \section{Krümmung von Kurven}\label{sec:Kurvenkrümmung} \begin{definition}%In Vorlesung: Def.+Bem. 16.1 Sei $\gamma: I = [a, b] \rightarrow \mdr^n$ eine Kurve. - + \begin{defenum} - \item Die Kurve $\gamma$ heißt + \item Die Kurve $\gamma$ heißt \textbf{durch Bogenlänge parametrisiert}\xindex{parametrisiert!durch Bogenlänge}, wenn gilt: \[\|\gamma'(t)\|_2 = 1 \;\;\; \forall t \in I\] Dabei ist $\gamma'(t) = \left (\gamma_1'(t), \gamma_2'(t), \dots, \gamma_n'(t) \right)$. \item $l(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\| \mathrm{d} t$ heißt \textbf{Länge von $\gamma$}\xindex{Kurve!Länge einer}. - \end{defenum} + \end{defenum} \end{definition} \begin{bemerkung}[Eigenschaften von Kurven I]%In Vorlesung: Def.+Bem. 16.1 @@ -29,7 +29,7 @@ \begin{bemenum} \item Ist $\gamma$ durch Bogenlänge parametrisiert, so ist $l(\gamma) = b-a$. - \item \label{bem:16.1d} Ist $\gamma$ durch Bogenlänge parametrisiert, so ist + \item \label{bem:16.1d} Ist $\gamma$ durch Bogenlänge parametrisiert, so ist $\gamma'(t)$ orthogonal zu $\gamma''(t)$ für alle $t \in I$. \end{bemenum} \end{bemerkung} @@ -85,8 +85,8 @@ Da $n(t)$ und $\gamma''(t)$ nach \cref{bem:16.1d} linear da gilt: \begin{align*} - \langle n(t), \gamma'(t) \rangle &= - \left \langle + \langle n(t), \gamma'(t) \rangle &= + \left \langle \begin{pmatrix}- \cos \frac{t}{r}\\ - \sin \frac{t}{r}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}- \sin \frac{t}{r}\\ \cos \frac{t}{r}\end{pmatrix} \right \rangle\\ @@ -128,7 +128,7 @@ Da $n(t)$ und $\gamma''(t)$ nach \cref{bem:16.1d} linear Also gilt: \[\det(\gamma'(t), n(t), b(t)) = 1\] $b(t)$ heißt \textbf{Binormalenvektor}\xindex{Binormalenvektor}, - die Orthonormalbasis + die Orthonormalbasis \[\Set{\gamma'(t), n(t), b(t)}\] heißt \textbf{begleitendes Dreibein}\xindex{Dreibein!begleitendes}. \end{defenum} @@ -185,16 +185,16 @@ für eine $C^\infty$-Funktion $f: \mdr^3 \rightarrow \mdr$. \begin{beweis}\leavevmode \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item \label{bew:tangentialebene.a} $J_F$ ist eine $3 \times 2$-Matrix, die mit einem $2 \times 1$-Vektor - multipliziert wird. Das ist eine lineare Abbildung und aus der + multipliziert wird. Das ist eine lineare Abbildung und aus der linearen Algebra ist bekannt, das das Bild ein Vektorraum ist. Da $\rang(J_F) = 2$, ist auch $\dim (T_s S) = 2$. \item Hier kann man wie in \cref{bew:tangentialebene.a} argumentieren - \item $T_s S = \{x \in \mdr^3 | \exists \text{parametrisierte Kurve } - \gamma:[- \varepsilon, + \varepsilon] \rightarrow S - \text{ für ein } \varepsilon > 0 + \item $T_s S = \{x \in \mdr^3 | \exists \text{parametrisierte Kurve } + \gamma:[- \varepsilon, + \varepsilon] \rightarrow S + \text{ für ein } \varepsilon > 0 \text{ mit } \gamma(0) = s \text{ und } \gamma'(0) = x \}$\\ - Wenn jemand diesen Beweis führt, bitte an info@martin-thoma.de + Wenn jemand diesen Beweis führt, bitte an info@martin-thoma.de schicken.%TODO \item Sei $x \in T_s S, \gamma:[-\varepsilon, +\varepsilon] \rightarrow S$ eine parametrisierte Kurve mit $\varepsilon > 0$ und $\gamma'(0) = s$, @@ -231,7 +231,7 @@ Im Folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt. von $s$ und eine lokale Parametrisierung $F: U \rightarrow V$ von $S$ um $s$, sodass auf $F(U) = V \cap S$ ein stetiges Normalenfeld existiert. - \item $S$ ist genau dann orientierbar, wenn es einen + \item $S$ ist genau dann orientierbar, wenn es einen differenzierbaren Atlas von $S$ aus lokalen Parametrisierungen $F_i: U_i \rightarrow V_i,\;i \in I$ gibt, sodass für alle $i, j \in F$ und alle $s \in V_i \cap V_j \cap S$ @@ -256,7 +256,7 @@ Im Folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt. \begin{figure}[htp]\xindex{Möbiusband} \centering - \includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/moebius-strip.pdf} + \includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/moebius-strip.pdf} \caption{Möbiusband} \label{fig:moebius-strip} \end{figure} @@ -266,7 +266,7 @@ Im Folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt. Sei $S$ eine reguläre Fläche, $s \in S$, $n(s)$ ist ein Normalenvektor in $s$, $x \in T_s S$, $\|x\| = 1$. - Sei $E$ der von $x$ und $n(s)$ aufgespannte 2-dimensionale + Sei $E$ der von $x$ und $n(s)$ aufgespannte 2-dimensionale Untervektorraum von $\mdr^3$. Dann gibt es eine Umgebung $V \subseteq \mdr^3$ von $s$, sodass @@ -277,7 +277,7 @@ Im Folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt. \end{bemerkung} \begin{beweis} - \enquote{Satz über implizite Funktionen}\footnote{Siehe z.~B. + \enquote{Satz über implizite Funktionen}\footnote{Siehe z.~B. \url{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents/Analysis\%20II}} \end{beweis} @@ -362,18 +362,18 @@ Im Folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt. \end{beweis} \begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 18.6 - Sei $S$ eine reguläre Fläche und $n=n(s)$ ein Normalenvektor an + Sei $S$ eine reguläre Fläche und $n=n(s)$ ein Normalenvektor an $S$ in $s$. Sei $T_{s}^{1} S = \Set{x \in T_s S | \|x\| = 1} \cong S^1$. - Dann ist + Dann ist \[ \kappanor^n(s): T^1_s S \rightarrow \mdr, \;\;\; x \mapsto \kappanor(s,x)\] - eine glatte Funktion und + eine glatte Funktion und $\Bild \kappanor^n(s)$ ist ein abgeschlossenes Intervall. \end{bemerkung} \begin{definition}\xindex{Hauptkrümmung}\xindex{Gauß-Krümmung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 18.6 - Sei $S$ eine reguläre Fläche und $n=n(s)$ ein Normalenvektor an + Sei $S$ eine reguläre Fläche und $n=n(s)$ ein Normalenvektor an $S$ in $s$. \begin{defenum} @@ -388,7 +388,7 @@ Im Folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt. \end{definition} \begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 18.6 - Ersetzt man $n$ durch $-n$, so gilt: + Ersetzt man $n$ durch $-n$, so gilt: \begin{align*} \kappanor^{-n}(s, x) &= - \kappanor^n(x)\; \forall x \in T_s^1 S\\ @@ -457,7 +457,7 @@ $s$. Weiter sei $p := F^{-1}(s)$. \item \label{bem:19.1a} Die Einschränkung des Standardskalarproduktes des $\mdr^3$ auf $T_s S$ macht $T_s S$ zu einem euklidischen Vektorraum. \item $\Set{D_p F(e_1), D_p F(e_2)}$ ist eine Basis von $T_s S$. - \item Bzgl. der Basis $\Set{D_p F(e_1), D_p F(e_2)}$ hat das + \item Bzgl. der Basis $\Set{D_p F(e_1), D_p F(e_2)}$ hat das Standardskalarprodukt aus \cref{bem:19.1a} die Darstellungsmatrix $I_S$. \item $g_{i,j}(s)$ ist eine differenzierbare Funktion von $s$. @@ -465,7 +465,7 @@ $s$. Weiter sei $p := F^{-1}(s)$. \end{bemerkung} \begin{bemerkung} - \[\det(I_S) = \left \| \frac{\partial F}{\partial u_1}(p) \times \frac{\partial F}{\partial u_2}(p) \right \|^2\] + \[\det(I_S) = \left \| \frac{\partial F}{\partial u_1}(p) \times \frac{\partial F}{\partial u_2}(p) \right \|^2\] \end{bemerkung} \begin{beweis}\leavevmode @@ -495,7 +495,7 @@ $s$. Weiter sei $p := F^{-1}(s)$. \begin{defenum} \item Das Differential $\mathrm{d} A = \sqrt{\det (I)} \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2$ heißt \textbf{Flächenelement} von $S$ bzgl. der Parametrisierung $F$. - \item \label{def:berechenbares-integral}Für eine Funktion $f: V \rightarrow \mdr$ heißt + \item \label{def:berechenbares-integral}Für eine Funktion $f: V \rightarrow \mdr$ heißt \[\int_V f \mathrm{d} A := \int_U f(\underbrace{F(u_1, u_2)}_{=: s}) \sqrt{\det I(s)} \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2\] der \textbf{Wert des Integrals} von $f$ über $V$, falls das Integral rechts existiert. @@ -535,7 +535,7 @@ $s$. Weiter sei $p := F^{-1}(s)$. \begin{propenum} \item \label{prop:5.1a} $n$ induziert für jedes $s \in S$ eine lineare Abbildung $d_s n: T_s S \rightarrow T_{n(s)} S^2$ - durch + durch \[d_s n(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} n (\underbrace{s \text{\enquote{+}} tx}_{\mathclap{\text{Soll auf Fläche $S$ bleiben}}}) \Bigr |_{t=0}\] Die Abbildung $d_s n$ heißt \textbf{Weingarten-Abbildung} \item $T_{n(s)} S^2 = T_s S$. @@ -560,7 +560,7 @@ $s$. Weiter sei $p := F^{-1}(s)$. Sei $x_i = D_p F(e_i) = \frac{\partial F}{\partial u_i} (p)\;\;\; i = 1,2$ - \underline{Beh.:} + \underline{Beh.:} $\langle x_i, d_s n(x_j) \rangle = \langle \frac{\partial^2 F}{\partial u_i \partial u_j} (p), d_s n (x_i) \rangle$ $\Rightarrow \langle \frac{\partial^2 F}{\partial u_i \partial u_j} (p), d_s n (x_i) \rangle = \langle x_j, d_s n (x_i) \rangle$ @@ -597,9 +597,9 @@ $s$. Weiter sei $p := F^{-1}(s)$. \begin{beweis} Nach \cref{def:18.4} ist $\kappanor(s, \gamma) = \langle \gamma''(0), n(s) \rangle$. - Nach Voraussetzung gilt + Nach Voraussetzung gilt \[n(\gamma(t)) \perp \gamma'(t) \Leftrightarrow \langle \gamma''(0), n(s) \rangle = 0\] - Die Ableitung nach $t$ ergibt + Die Ableitung nach $t$ ergibt \begin{align*} 0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\langle n (\gamma(t)), \gamma'(t))\\ &= \left \langle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} n(\gamma(t)) \Bigr |_{t=0}, \gamma'(0) \right \rangle + \langle n(s), \gamma''(0) \rangle\\ @@ -629,7 +629,7 @@ $s$. Weiter sei $p := F^{-1}(s)$. Eigenvektoren $y_1, y_2$ von $II_s$. Ist $x \in T_s S$, $\|x\| = 1$, so gibt es $\varphi \in [0,2\pi)$ mit $x = \cos \varphi \cdot y_1 + \sin \varphi \cdot y_2$. - Seien $\lambda_1, \lambda_2$ die Eigenwerte von $II_s$, also + Seien $\lambda_1, \lambda_2$ die Eigenwerte von $II_s$, also $II_s(y_i, y_i) = \lambda_i$. Dann gilt: \begin{align*} II_s (x,x) &= \cos^2 \varphi \lambda_1 + \sin^2 \varphi \lambda_2\\ diff --git a/documents/GeoTopo/Loesungen.tex b/documents/GeoTopo/Loesungen.tex index 35b9d83..8240df5 100644 --- a/documents/GeoTopo/Loesungen.tex +++ b/documents/GeoTopo/Loesungen.tex @@ -20,13 +20,13 @@ $(X, \fT_X)$ ist also nicht hausdorffsch. \textbf{Teilaufgabe c)} Nach Bemerkung \ref{Trennungseigenschaft} - sind metrische Räume hausdorffsch. Da $(X, \fT_X)$ nach (b) nicht + sind metrische Räume hausdorffsch. Da $(X, \fT_X)$ nach (b) nicht hausdorffsch ist, liefert die Kontraposition der Trennungseigenschaft, dass $(X, \fT_X)$ kein metrischer Raum sein kann. \end{solution} \begin{solution}[\ref{ub1:aufg4}] - \textbf{Teilaufgabe a)} + \textbf{Teilaufgabe a)} \textbf{Beh.:} $\forall a \in \mdz: \Set{a}$ ist abgeschlossen. @@ -35,7 +35,7 @@ Wenn jemand diese Aufgabe gemacht hat, bitte die Lösung an info@martin-thoma.de schicken.%TODO - \textbf{Teilaufgabe b)} + \textbf{Teilaufgabe b)} \textbf{Beh.:} $\Set{-1, 1}$ ist nicht offen @@ -50,7 +50,7 @@ in dieser Topologie offen sein $\Rightarrow \Set{-1,1}$ ist nicht offen. $\qed$ - \textbf{Teilaufgabe c)} + \textbf{Teilaufgabe c)} \textbf{Beh.:} Es gibt unendlich viele Primzahlen. @@ -58,7 +58,7 @@ Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen $p \in \mdp$ - Dann ist + Dann ist \[\mdz \setminus \Set{-1, +1} \overset{\text{FS d. Arithmetik}}= \bigcup_{p \in \mdp} U_{0,p}\] endlich. Das ist ein Widerspruch zu $|\mdz|$ ist unendlich und $|\Set{-1,1}|$ ist endlich. $\qed$ @@ -67,7 +67,7 @@ \begin{solution}[\ref{ub2:aufg4}] \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item \textbf{Beh.:} Die offenen Mengen von $P$ sind - Vereinigungen von Mengen der Form + Vereinigungen von Mengen der Form \[\prod_{j \in J} U_j \times \prod_{i \in \mdn, i \neq j} P_i\] wobei $J \subseteq \mdn$ endlich und $U_j \subseteq P_j$ offen ist. @@ -79,7 +79,7 @@ $\forall{j \in J}$ eine Basis der Topologie. - Damit sind die offenen + Damit sind die offenen Mengen von $P$ Vereinigungen von Mengen der obigen Form. $\qed$ \end{beweis} @@ -95,10 +95,10 @@ für alle $i \in \mdn$ gilt entweder $p_i(Z) \subseteq \Set{0}$ oder $p_i(Z) \subseteq \Set{1}$. Es sei $z_i \in \Set{0,1}$ so, dass $p_i(Z) \subseteq \Set{z_i}$ für alle $i \in \mdn$. - Dann gilt also: + Dann gilt also: \[\underbrace{p_i(x)}_{= x_i} = z_i = \underbrace{p_i(y)}_{= y_i} \forall i \in \mdn\] Somit folgt: $x = y \qed$ - + \end{beweis} \end{enumerate} \end{solution} @@ -107,9 +107,9 @@ \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item \textbf{Beh.:} $\GL_n(\mdr)$ ist nicht kompakt.\\ \textbf{Bew.:} $\det: \GL_n(\mdr) \rightarrow \mdr \setminus \Set{0}$ - ist stetig. Außerdem ist - $\det(\GL_n(\mdr)) = \mdr \setminus \Set{0}$ nicht - kompakt. $\overset{\ref{kor:5.6}}{\Rightarrow}$ + ist stetig. Außerdem ist + $\det(\GL_n(\mdr)) = \mdr \setminus \Set{0}$ nicht + kompakt. $\overset{\ref{kor:5.6}}{\Rightarrow}$ $\GL_n(\mdr)$ ist nicht kompakt. $\qed$ \item \textbf{Beh.:} $\SL_1(\mdr)$ ist nicht kompakt, für $n > 1$ ist $\SL_n(\mdr)$ kompakt.\\ \textbf{Bew.:} Für $\SL_1(\mdr)$ gilt: @@ -119,7 +119,7 @@ $\SL_n(\mdr) \subseteq \GL_n(\mdr)$ lässt sich mit einer Teilmenge des $\mdr^{n^2}$ identifizieren. Nach \cref{satz:heine-borel} - sind diese genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und + sind diese genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen sind. Definiere nun für für $n \in \mdn_{\geq 2}, m \in \mdn$: \[A_m = \text{diag}_n(m, \frac{1}{m}, \dots, 1)\] Dann gilt: $\det A_m = 1$, d.~h. $A_m \in \SL_n(\mdr)$, @@ -138,7 +138,7 @@ nachgelesen werden. \begin{definition}\xindex{Homomorphismus}% - Seien $(G, *)$ und $(H, \circ)$ Gruppen und + Seien $(G, *)$ und $(H, \circ)$ Gruppen und $\varphi:G \rightarrow H$ eine Abbildung. $\varphi$ heißt \textbf{Homomorphismus}, wenn @@ -161,16 +161,16 @@ \begin{solution}[\ref{ub3:meinsExtra2}] Die Definition einer Isotopie kann auf \cpageref{def:Isotopie} nachgelesen werden, die einer Isometrie auf \cpageref{def:Isometrie}. - + \begin{definition}\xindex{Isomorphismus}% - Seien $(G, *)$ und $(H, \circ)$ Gruppen und + Seien $(G, *)$ und $(H, \circ)$ Gruppen und $\varphi:G \rightarrow H$ eine Abbildung. $\varphi$ heißt \textbf{Isomorphismus}, wenn $\varphi$ ein bijektiver Homomorphismus ist. \end{definition} - Eine Isotopie ist also für Knoten definiert, Isometrien machen nur in + Eine Isotopie ist also für Knoten definiert, Isometrien machen nur in metrischen Räumen Sinn und ein Isomorphismus benötigt eine Gruppenstruktur. \end{solution} @@ -180,7 +180,7 @@ \textbf{Beh.:} $M$ ist wegzusammehängend $\gdw M$ ist zusammenhängend \begin{beweis} \enquote{$\Rightarrow$}: Da $M$ insbesondere ein - topologischer Raum ist folgt diese Richtung direkt + topologischer Raum ist folgt diese Richtung direkt aus \cref{kor:wegzusammehang-impliziert-zusammenhang}. \enquote{$\Leftarrow$}: Seien $x,y \in M$ und @@ -192,7 +192,7 @@ \item $Z^C := \Set{\tilde{z} \in M | \nexists \text{Weg von } x \text{ nach } \tilde{z}}$ ist offen Da $M$ eine Mannigfaltigkeit ist, existiert zu jedem - $\tilde{z} \in Z^C$ eine offene und wegzusammenhängende Umgebung + $\tilde{z} \in Z^C$ eine offene und wegzusammenhängende Umgebung $U_{\tilde{z}} \subseteq M$. Es gilt sogar $U_{\tilde{z}} \subseteq Z^C$, denn @@ -226,7 +226,7 @@ Da $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{0_1}$ homöomorph zu $\mdr$ ist, exisitert ein Weg $\gamma_1$ von $0_1$ zu einem beliebigen Punkt $a \in \mdr \setminus \Set{0}$. - + Da $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{0_2}$ ebenfalls homöomorph zu $\mdr$ ist, existiert außerdem ein Weg $\gamma_2$ von $a$ nach $0_2$. Damit existiert ein @@ -241,18 +241,18 @@ % \textbf{Beh.:} $H_k = \begin{cases}\mdr &\text{für } k\in \Set{0,1}\\ % 0 &\text{für } k \geq 2$ % \newcommand{\triangleSimplizialkomplex}{\mathord{\includegraphics[height=5ex]{figures/triangleSimplizialkomplex.pdf}}} -% \textbf{Bew.:} $S^1$ ist homöomorph zum Simplizialkomplex +% \textbf{Bew.:} $S^1$ ist homöomorph zum Simplizialkomplex % $X = \triangleSimplizialkomplex$, d.~h. dem Rand % von $\Delta^2$. Es gilt: % \[X = \Set{\underbrace{v_0, v_1, v_2}_{A_0(X)}, \underbrace{\Delta (v_1, v_2)}_{=: a_0}, \underbrace{\underbrace{\Delta (v_0, v_2)}_{=: a_1}, \underbrace{\Delta(v_0, v_1)}_{=: a_2}}_{A_1(X)}}\] -% Damit folgt: +% Damit folgt: % \begin{enumerate} -% \item Für $k \geq 2$ ist $C_k(X) \cong 0$, da es in diesen +% \item Für $k \geq 2$ ist $C_k(X) \cong 0$, da es in diesen % Dimensionen keine Simplizes gibt, d.~h. $A_k(X) = \emptyset$ gilt.\\ % Also: $H_k(X) \cong 0 \; \forall k \geq 2$ -% \item $C_0(X) = \Set{\sum_{i=0}^2 c_i v_i | c_i \in \mdr}$, da +% \item $C_0(X) = \Set{\sum_{i=0}^2 c_i v_i | c_i \in \mdr}$, da % $A_0(x)$ Basis von $C_0(X)$ ist;\\ -% $C_1(X) = \Set{\sum_{i=0}^2 c_i a_i | c_i \in \mdr}$, da +% $C_1(X) = \Set{\sum_{i=0}^2 c_i a_i | c_i \in \mdr}$, da % $A_1(X)$ Basis von $C_1(X)$ ist. % \item Für die Randabbildungen $d_i: C_i(X) \rightarrow C_{i-1}(X)$ gilt: % $d_0 \equiv 0$, $d_1: C_1(X) \rightarrow C_0(X)$ ist definiert durch @@ -287,7 +287,7 @@ $\angle BCA \xRightarrow{\crefabbr{bem:14.9}} \measuredangle BC' A > \measuredangle BCA$\\ $\Rightarrow \measuredangle BCA < \measuredangle BC' A = \measuredangle ABC' < \measuredangle ABC $ Sei umgekehrt $\measuredangle ABC > \measuredangle BCA$, - kann wegen 1. Teil von \cref{ub11:aufg3.b} nicht + kann wegen 1. Teil von \cref{ub11:aufg3.b} nicht $d(A,B) > d(A,C)$ gelten.\\ Wegen \cref{ub11:aufg3.a} kann nicht $d(A,B) = d(A,C)$ gelten.\\ @@ -343,7 +343,7 @@ d(B, C) &= d(B', C') \end{align*} - Sei $\varphi$ die Isometrie mit $\varphi(A) = A'$, $\varphi(B) = B'$ und + Sei $\varphi$ die Isometrie mit $\varphi(A) = A'$, $\varphi(B) = B'$ und $\varphi(C')$ liegt in der selben Halbebene bzgl. $AB$ wie $C$. Diese Isometrie existiert wegen \ref{axiom:4}. diff --git a/documents/GeoTopo/README.md b/documents/GeoTopo/README.md index 304b0b9..2fe1a91 100644 --- a/documents/GeoTopo/README.md +++ b/documents/GeoTopo/README.md @@ -5,23 +5,23 @@ wird, die die Inhalte noch lernen, sind sehr wahrscheinlich einige Fehler im Skript. Das können Übertragungsfehler, Tippfehler oder Verständnisprobleme sein. -Verbesserungsvorschläge (auch wenn es nur einzelne Textsetzungsprobleme oder +Verbesserungsvorschläge (auch wenn es nur einzelne Textsetzungsprobleme oder Rechtschreibfehler sind) bitte immer direkt melden oder verbessern! -Den Verbesserungsvorschlag kann man -* entweder direkt selbst umsetzen und einen pull request machen oder -* mir per Email (info@martin-thoma.de) schicken. +Den Verbesserungsvorschlag kann man +* entweder direkt selbst umsetzen und einen pull request machen oder +* mir per Email (info@martin-thoma.de) schicken. Ich werde dann versuchen die Verbesserungsvorschläge zeitnah einzuarbeiten. Zeichnungen =========== -Das erstellen der Zeichnungen ist sehr zeitaufwendig. Das ist der +Das erstellen der Zeichnungen ist sehr zeitaufwendig. Das ist der Grund, warum manchmal nur ein "TODO" im Dokument steht. Ihr könnt mir gerne Zeichnungen schicken (entweder schön auf Papier Zeichnen und abfotographieren / einscannen oder schon mit Inscape / -Gimp / ... oder sogar mit TikZ erstellen). +Gimp / ... oder sogar mit TikZ erstellen). Akzeptable Formate sind: .jpg, .pdf, .svg, .png, .gif, .tex, .sketch Alles andere kann ich vermutlich nicht einbinden. @@ -37,8 +37,8 @@ Rechtliches =========== Die Autoren kann man über Git ermitteln. Ich schreibe meist nur den Tafelanschrieb der Vorlesung ab; eventuell noch mit ein paar -Notizen meinerseits. Wenn mir Verbesserungsvorschläge per Email -geschickt werden, ist der Autor sowie das Datum der Email in der +Notizen meinerseits. Wenn mir Verbesserungsvorschläge per Email +geschickt werden, ist der Autor sowie das Datum der Email in der Commit-Nachricht von Git zu sehen. Bilder habe ich entweder selbst erstellt oder von tex.stackexchange.com. diff --git a/documents/GeoTopo/Vorwort.tex b/documents/GeoTopo/Vorwort.tex index d5525b5..ce5f7b0 100644 --- a/documents/GeoTopo/Vorwort.tex +++ b/documents/GeoTopo/Vorwort.tex @@ -6,19 +6,19 @@ der Vorlesung von Prof.~Dr.~Herrlich sowie die Mitschriften einiger Übungen und Tutorien. Das Skript ist kostenlos über \href{http://martin-thoma.com/geotopo/}{martin-thoma.com/geotopo} -verfügbar. Wer es gerne in A5 (Schwarz-Weiß, Ringbindung) für 10 Euro hätte, +verfügbar. Wer es gerne in A5 (Schwarz-Weiß, Ringbindung) für 10 Euro hätte, kann mir eine E-Mail schicken (info@martin-thoma.de). \section*{Danksagungen} -An dieser Stelle möchte ich Herrn~Prof.~Dr.~Herrlich für einige -Korrekturvorschläge und einen gut strukturierten Tafelanschrieb +An dieser Stelle möchte ich Herrn~Prof.~Dr.~Herrlich für einige +Korrekturvorschläge und einen gut strukturierten Tafelanschrieb danken, der als Vorlage für dieses Skript diente. Tatsächlich basiert die Struktur dieses Skripts auf der Vorlesung von Herrn~Prof.~Dr.~Herrlich und ganze Abschnitte konnten direkt mit \LaTeX{} umgesetzt werden. Vielen Dank für die Erlaubnis, Ihre Inhalte in diesem Skript einbauen zu dürfen! -Vielen Dank auch an Frau Lenz und Frau Randecker, die es mir erlaubt +Vielen Dank auch an Frau Lenz und Frau Randecker, die es mir erlaubt haben, ihre Übungsaufgaben und Lösungen zu benutzen. Jérôme Urhausen hat durch viele Verbesserungsvorschläge und Beweise zu einer erheblichen @@ -70,11 +70,11 @@ der Umgang mit komplexen Zahlen $\mdc$, deren Betrag, Folgen und Häufungspunkten nicht weiter schwer fallen. Diese Vorkenntnisse werden vor allem in \enquote{Analysis I} vermittelt. -Außerdem wird vorausgesetzt, dass (affine) Vektorräume, Faktorräume, +Außerdem wird vorausgesetzt, dass (affine) Vektorräume, Faktorräume, lineare Unabhängigkeit, der Spektralsatz und der projektive Raum $\praum(\mdr)$ aus \enquote{Lineare Algebra I} bekannt sind. In \enquote{Lineare Algebra II} wird der Begriff der Orthonormalbasis eingeführt. Obwohl es nicht vorausgesetzt wird, könnte es von Vorteil sein -\enquote{Einführung in die Algebra und Zahlentheorie} gehört zu +\enquote{Einführung in die Algebra und Zahlentheorie} gehört zu haben. diff --git a/documents/GeoTopo/definitions/flashcards-try.tex b/documents/GeoTopo/definitions/flashcards-try.tex index be7a96b..d307b47 100644 --- a/documents/GeoTopo/definitions/flashcards-try.tex +++ b/documents/GeoTopo/definitions/flashcards-try.tex @@ -46,10 +46,10 @@ %% \usepackage{../shortcuts} -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Geometrie und Topologie}, - pdftitle = {Geometrie und Topologie - Definitionen} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Geometrie und Topologie}, + pdftitle = {Geometrie und Topologie - Definitionen} } \allowdisplaybreaks diff --git a/documents/GeoTopo/definitions/mathe-vorlage.tex b/documents/GeoTopo/definitions/mathe-vorlage.tex index f140e64..f627c90 100644 --- a/documents/GeoTopo/definitions/mathe-vorlage.tex +++ b/documents/GeoTopo/definitions/mathe-vorlage.tex @@ -38,10 +38,10 @@ \usepackage[left=10mm,right=10mm, top=2mm, bottom=10mm]{geometry} \usepackage{../shortcuts} -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Geometrie und Topologie}, - pdftitle = {Geometrie und Topologie - Definitionen} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Geometrie und Topologie}, + pdftitle = {Geometrie und Topologie - Definitionen} } \allowdisplaybreaks diff --git a/documents/GeoTopo/figures/2d-semicubical-parabola.tex b/documents/GeoTopo/figures/2d-semicubical-parabola.tex index 9fc344c..c04d12a 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/2d-semicubical-parabola.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/2d-semicubical-parabola.tex @@ -18,15 +18,15 @@ tick align=outside, %minor tick num=-3, enlargelimits=true] - \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {1/3*x^1.5}; - \addplot[domain=0:12, dotted, orange, thick,samples=500] {1*x^1.5}; - \addplot[domain=0:12, dashed, blue, thick,samples=500] {2*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {1/3*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, dotted, orange, thick,samples=500] {1*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, dashed, blue, thick,samples=500] {2*x^1.5}; - \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {-1/3*x^1.5}; - \addplot[domain=0:12, dotted, orange, thick,samples=500] {-1*x^1.5}; - \addplot[domain=0:12, dashed, blue, thick,samples=500] {-2*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {-1/3*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, dotted, orange, thick,samples=500] {-1*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, dashed, blue, thick,samples=500] {-2*x^1.5}; \addlegendentry{$a=\frac{1}{3}$} \addlegendentry{$a=1$} \addlegendentry{$a=2$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/3d-function-semicubical-parabola.tex b/documents/GeoTopo/figures/3d-function-semicubical-parabola.tex index 5036624..417ee80 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/3d-function-semicubical-parabola.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/3d-function-semicubical-parabola.tex @@ -27,5 +27,5 @@ } ] \addplot3[surf] {y*y-x*x*x}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-2.tex b/documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-2.tex index 2d3aa52..b2cc385 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-2.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-2.tex @@ -14,13 +14,13 @@ \tkzDefLine[orthogonal=through P,/tikz/overlay](O,X) \tkzGetPoint{helper} \tkzInterLL(O,X)(P,helper) \tkzGetPoint{xp} \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=4pt,mirror}] - (O) -- (xp) node [black,midway,xshift=0cm, yshift=-0.3cm] + (O) -- (xp) node [black,midway,xshift=0cm, yshift=-0.3cm] {\footnotesize $x_P$}; \tkzDefLine[orthogonal=through P,/tikz/overlay](O,Y) \tkzGetPoint{helper} \tkzInterLL(O,Y)(P,helper) \tkzGetPoint{yp} \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=4pt}] - (O) -- (yp) node [black,midway,xshift=-0.4cm] + (O) -- (yp) node [black,midway,xshift=-0.4cm] {\footnotesize $y_P$}; \tkzDrawPolygon(O,xp,P,yp) diff --git a/documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-3.tex b/documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-3.tex index f39b870..7452918 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-3.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-3.tex @@ -10,13 +10,13 @@ \tkzDefLine[orthogonal=through P,/tikz/overlay](O,X) \tkzGetPoint{helper} \tkzInterLL(O,X)(P,helper) \tkzGetPoint{xp} \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=4pt,mirror}] - (O) -- (xp) node [black,midway,xshift=0cm, yshift=-0.3cm] + (O) -- (xp) node [black,midway,xshift=0cm, yshift=-0.3cm] {\footnotesize $x_P$}; \tkzDefLine[orthogonal=through P,/tikz/overlay](O,Y) \tkzGetPoint{helper} \tkzInterLL(O,Y)(P,helper) \tkzGetPoint{yp} \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=4pt}] - (O) -- (yp) node [black,midway,xshift=-0.4cm] + (O) -- (yp) node [black,midway,xshift=-0.4cm] {\footnotesize $y_P$}; \tkzDrawPolygon(O,xp,P,yp) diff --git a/documents/GeoTopo/figures/cube.tex b/documents/GeoTopo/figures/cube.tex index b171cf2..2959f80 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/cube.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/cube.tex @@ -18,9 +18,9 @@ \path[name path=trpath] (tl) -- (fr); \path[name path=tlpath] (tr) -- (fl); - \draw[name intersections={of=brpath and rbpath}] (intersection-1)coordinate (br){}; - \draw[name intersections={of=blpath and lbpath}] (intersection-1)coordinate (bl){}; - \draw[name intersections={of=trpath and tlpath}] (intersection-1)coordinate (tb){}; + \draw[name intersections={of=brpath and rbpath}] (intersection-1)coordinate (br){}; + \draw[name intersections={of=blpath and lbpath}] (intersection-1)coordinate (bl){}; + \draw[name intersections={of=trpath and tlpath}] (intersection-1)coordinate (tb){}; \shade[right color=gray!10, left color=black!50, shading angle=105] (tf) -- (bf) -- (bl) -- (tl) -- cycle; \shade[left color=gray!10, right color=black!50, shading angle=75] (tf) -- (bf) -- (br) -- (tr) -- cycle; diff --git a/documents/GeoTopo/figures/neighbourhood-topology-open.tex b/documents/GeoTopo/figures/neighbourhood-topology-open.tex index 08828de..b6dd0a6 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/neighbourhood-topology-open.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/neighbourhood-topology-open.tex @@ -63,5 +63,5 @@ \node at (axis cs:0,3) [anchor=east] {$y$}; \node at (axis cs:2,0) [anchor=north] {$x$}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/neighbourhood-topology.tex b/documents/GeoTopo/figures/neighbourhood-topology.tex index 3d93f5c..507834b 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/neighbourhood-topology.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/neighbourhood-topology.tex @@ -43,5 +43,5 @@ \node[blue] at (axis cs:0,3) [anchor=east] {$x_2$}; \node[blue] at (axis cs:2,0) [anchor=north] {$x_1$}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/number-ray-circle-topology.tex b/documents/GeoTopo/figures/number-ray-circle-topology.tex index 2610453..44ec08b 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/number-ray-circle-topology.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/number-ray-circle-topology.tex @@ -9,7 +9,7 @@ }, } \begin{tikzpicture} - + \draw[->] (-1.5,0) -- (5.5,0) node [below] {$\mathbb{R}$}; \foreach \x in {-1,...,5} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/open-square.tex b/documents/GeoTopo/figures/open-square.tex index a1e8ce1..ef50c79 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/open-square.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/open-square.tex @@ -23,5 +23,5 @@ % Draw axis text \node at (axis cs:-1,0.5) [anchor=east] {$\mathfrak{B}_r(0) = $}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/plane-r2.tex b/documents/GeoTopo/figures/plane-r2.tex index 392db2d..d92bbad 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/plane-r2.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/plane-r2.tex @@ -12,10 +12,10 @@ \draw[grid] (\x,-0.5) -- (\x,2.5); \draw[grid] (-0.5,\y) -- (2.5,\y); } - + %draw the axes \draw[axis] (-1,0,0) -- (3,0,0) node[anchor=west]{$y$}; \draw[axis] (0,-1,0) -- (0,3,0) node[anchor=west]{$x$}; - + \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/pyramid.tex b/documents/GeoTopo/figures/pyramid.tex index 9f07fd9..f9a5eec 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/pyramid.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/pyramid.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \begin{tikzpicture}[scale=.5, z={(.707,.3)}] - \draw (2,3,2) -- (0,0,0) -- (4,0,0) -- (4,0,4) -- (2,3,2) + \draw (2,3,2) -- (0,0,0) -- (4,0,0) -- (4,0,4) -- (2,3,2) -- (4,0,0); - \draw[color=gray, style=dashed] (2,3,2) -- (0,0,4) + \draw[color=gray, style=dashed] (2,3,2) -- (0,0,4) -- (0,0,0); \draw[color=gray, style=dashed] (0,0,4) -- (4,0,4); \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/sncf-metrik.tex b/documents/GeoTopo/figures/sncf-metrik.tex index 7e225ec..a945ca0 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/sncf-metrik.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/sncf-metrik.tex @@ -28,14 +28,14 @@ enlargelimits=true, tension=0.08] % plot the stirling-formulae - \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {0.5*x}; - \addplot[domain=-2:2, red, thick,samples=500] {2*x}; - \addplot[domain=-4:4, red, thick,samples=500] {x}; - \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {-0.5*x}; + \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {0.5*x}; + \addplot[domain=-2:2, red, thick,samples=500] {2*x}; + \addplot[domain=-4:4, red, thick,samples=500] {x}; + \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {-0.5*x}; \addplot[color=red,only marks,mark=o] plot coordinates { (1.5,3) (1.5,1.5) }; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topo-halbgerade.tex b/documents/GeoTopo/figures/topo-halbgerade.tex index a04980e..68fbd71 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/topo-halbgerade.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/topo-halbgerade.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \node (Rright) at (6,0) {}; \draw[dashed,very thick] (Pleft) -- (P); \draw[dotted,very thick] (P) -- (R) -- (Rright); - \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.2cm},decorate] (Pleft) -- (P) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.25cm] {$PR^-$}; - \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.2cm},decorate] (P) -- (R) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.25cm] {$\overline{PR}$}; - \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.8cm},decorate] (P) -- (Rright) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.85cm] {$PR^+$}; + \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.2cm},decorate] (Pleft) -- (P) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.25cm] {$PR^-$}; + \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.2cm},decorate] (P) -- (R) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.25cm] {$\overline{PR}$}; + \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.8cm},decorate] (P) -- (Rright) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.85cm] {$PR^+$}; \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-1.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-1.tex index 765642e..c8b3abb 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-1.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/topology-1.tex @@ -29,5 +29,5 @@ \node at (axis cs:0.8,1.2) [anchor=-90] {$y$}; \draw (axis cs:0.8,1.2) circle[radius=0.6]; \addplot[mark=*] coordinates {(0.8,1.2)}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-continuous-mapping.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-continuous-mapping.tex index dad813d..69e5f91 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-continuous-mapping.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/topology-continuous-mapping.tex @@ -9,7 +9,7 @@ }, } \begin{tikzpicture} - + \draw[->] (-0.5,0) -- (1.5,0) node [below] {$\mathbb{R}$}; \foreach \x in {0,...,1} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-metric-hausdorff.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-metric-hausdorff.tex index b966c31..f0a10ec 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-metric-hausdorff.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/topology-metric-hausdorff.tex @@ -63,7 +63,7 @@ \addplot[hatchcolor=red,mark=none, pattern=custom north west lines, draw=none] coordinates {(4.5, 0) (4.5,5) (5.5,5) (5.5,0) }; \addplot[red,mark=none, thick] coordinates {(4.5, 0) (4.5,5)}; \addplot[red,mark=none, thick] coordinates {(5.5, 0) (5.5,5)}; - + \addplot[mark=none, dashed] coordinates {(1, 0) (1,3)}; \addplot[mark=none, dashed] coordinates {(5, 0) (5,3)}; @@ -78,5 +78,5 @@ \node[red] at (axis cs:1,-0.3) [anchor=north] {$U_1 \times X_2$}; \node[red] at (axis cs:5,-0.3) [anchor=north] {$U_2 \times X_2$}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-paths-in-r2.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-paths-in-r2.tex index 6534e97..5a8647b 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-paths-in-r2.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/topology-paths-in-r2.tex @@ -23,5 +23,5 @@ (0,0) (-1,1) (-2,2) (-1,3) (0, 3) (1, 4)}; \addplot[mark=none, blue, smooth cycle, thick, tension=3] coordinates {% (0,0) (-1,1) (-2,2) (-1,3) (0, 3) (1, 4)}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-simplex-1.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-simplex-1.tex index 4edc1aa..b091180 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-simplex-1.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/topology-simplex-1.tex @@ -21,5 +21,5 @@ \addplot[domain=0:2.5, red, thick,samples=20] {-x+2.5}; \node[point,label={[label distance=0cm]45:$e_0$}] at (axis cs:2.5,0) {}; \node[point,label={[label distance=0cm]0:$e_1$}] at (axis cs:0,2.5) {}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-simplex-2.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-simplex-2.tex index 75f5164..0e0666f 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-simplex-2.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/topology-simplex-2.tex @@ -20,5 +20,5 @@ \node (b)[point,label={[label distance=0cm]5:$e_1$}] at (axis cs:0,2.5) {}; \node (c)[point,label={[label distance=0cm]0:$e_2$}] at (axis cs:2,2) {}; \draw[thick,fill=orange!50] (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- cycle; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-sinx.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-sinx.tex index 919f4e7..6c6a451 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-sinx.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/topology-sinx.tex @@ -21,6 +21,6 @@ \addplot[domain=0.0105:0.011, blue, thick,samples=20] {10}; \addlegendentry{$\{(x, \sin(\frac{1}{x})) \in X \times Y\}$} \addlegendentry{$(-1,1) \subseteq Y$} - \end{axis} + \end{axis} \draw[ultra thick,blue] (0,0.5) -- (0,4); \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex index cef2b5f..23653c1 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex @@ -9,7 +9,7 @@ \node (e)[point] at (0,2) {}; \node (f)[point] at (4,2) {}; \end{scope} - + \node (p)[point,label={[label distance=0cm]5:$P$}] at (1.5,0.5) {}; \draw[pattern=north east lines] (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- cycle; diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-simplicial-complex.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-simplicial-complex.tex index d26d1f1..6e27f05 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-simplicial-complex.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-simplicial-complex.tex @@ -9,7 +9,7 @@ \node (e)[point] at (0,2) {}; \node (f)[point] at (4,2) {}; \end{scope} - + \node (p)[point,label={[label distance=0cm]5:$P$}] at (1.5,0.5) {}; \draw[pattern=north east lines] (a.center) -- (p.center) -- (b.center) -- cycle; diff --git a/documents/GeoTopo/figures/torus-invalid-triangulation-1.tex b/documents/GeoTopo/figures/torus-invalid-triangulation-1.tex index c0ec25b..ba65086 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/torus-invalid-triangulation-1.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/torus-invalid-triangulation-1.tex @@ -14,7 +14,7 @@ \begin{scope}[decoration={ markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}} - ] + ] \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (b.center); \draw[postaction={decorate}] (d.center) -- (c.center); \end{scope} @@ -22,7 +22,7 @@ \begin{scope}[decoration={ markings, mark=at position 0.55 with {\arrow{>>}}} - ] + ] \draw[postaction={decorate}] (b.center) -- (c.center); \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (d.center); \end{scope} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/torus-invalid-triangulation-2.tex b/documents/GeoTopo/figures/torus-invalid-triangulation-2.tex index c63ff05..fe49bba 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/torus-invalid-triangulation-2.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/torus-invalid-triangulation-2.tex @@ -21,7 +21,7 @@ \begin{scope}[decoration={ markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}} - ] + ] \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (b.center); \draw[postaction={decorate}] (d.center) -- (c.center); \end{scope} @@ -29,7 +29,7 @@ \begin{scope}[decoration={ markings, mark=at position 0.55 with {\arrow{>>}}} - ] + ] \draw[postaction={decorate}] (b.center) -- (c.center); \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (d.center); \end{scope} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/torus-triangulation-minimal.tex b/documents/GeoTopo/figures/torus-triangulation-minimal.tex index bccb0a5..51b4f46 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/torus-triangulation-minimal.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/torus-triangulation-minimal.tex @@ -38,7 +38,7 @@ \begin{scope}[decoration={ markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}} - ] + ] \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (b.center); \draw[postaction={decorate}] (d.center) -- (c.center); \end{scope} @@ -46,7 +46,7 @@ \begin{scope}[decoration={ markings, mark=at position 0.55 with {\arrow{>>}}} - ] + ] \draw[postaction={decorate}] (b.center) -- (c.center); \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (d.center); \end{scope} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/torus-triangulation.tex b/documents/GeoTopo/figures/torus-triangulation.tex index 62db400..26ace55 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/torus-triangulation.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/torus-triangulation.tex @@ -36,7 +36,7 @@ \begin{scope}[decoration={ markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}} - ] + ] \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (b.center); \draw[postaction={decorate}] (d.center) -- (c.center); \end{scope} @@ -44,7 +44,7 @@ \begin{scope}[decoration={ markings, mark=at position 0.55 with {\arrow{>>}}} - ] + ] \draw[postaction={decorate}] (b.center) -- (c.center); \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (d.center); \end{scope} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/triangle-similar.tex b/documents/GeoTopo/figures/triangle-similar.tex index 695a03a..6cd6b65 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/triangle-similar.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/triangle-similar.tex @@ -13,8 +13,8 @@ \node at ($(C')+(0,0.4)$) {$C'$}; \node at ($(B)+(0.2,-0.2)$) {$B$}; \node at ($(C)+(0.28,0.5)$) {$C$}; - \tkzDrawPolygon[ultra thick,color=blue,fill=blue!20](A,B',C') - \tkzDrawPolygon[line width=0.3pt,color=red,fill=red!20](A,B,C) + \tkzDrawPolygon[ultra thick,color=blue,fill=blue!20](A,B',C') + \tkzDrawPolygon[line width=0.3pt,color=red,fill=red!20](A,B,C) \tkzDrawPoints(A,B',C',B,C) \tkzLabelSegment[below,red](A,B){$c$} \tkzLabelSegment[left,red](A,C){$b$} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/two-perpendiculars.tex b/documents/GeoTopo/figures/two-perpendiculars.tex index b40759b..be5928c 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/two-perpendiculars.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/two-perpendiculars.tex @@ -18,7 +18,7 @@ \tkzDrawLines(A,B) \tkzDrawLine[dashed,color=orange,add=0.5 and 0.2](F,P) \tkzDrawLine[dashed,color=blue,add=0.5 and 0.2](G,P) - % + % \tkzLabelPoint[below left](A){$A$} \tkzLabelPoint[below left](G){$G$} \tkzLabelPoint[above left](P){$P$} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/ursprungsgeraden.tex b/documents/GeoTopo/figures/ursprungsgeraden.tex index 0dd86e7..3a9d9e6 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/ursprungsgeraden.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/ursprungsgeraden.tex @@ -18,8 +18,8 @@ enlargelimits=true, tension=0.08] % plot the stirling-formulae - \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {0.5*x}; - \addplot[domain=-2:2, red, thick,samples=500] {2*x}; - \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {-0.5*x}; - \end{axis} + \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {0.5*x}; + \addplot[domain=-2:2, red, thick,samples=500] {2*x}; + \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {-0.5*x}; + \end{axis} \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/zariski-topology.tex b/documents/GeoTopo/figures/zariski-topology.tex index bc17a1c..2fe7824 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/zariski-topology.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/zariski-topology.tex @@ -29,5 +29,5 @@ \addplot[mark=none] coordinates {(\i,-0.2) (\i,5.2)}; } \addplot[mark=none] coordinates {(0,2) (5,2)}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/meta/Arbeitszeit.md b/documents/GeoTopo/meta/Arbeitszeit.md index 6474da2..89b17f3 100644 --- a/documents/GeoTopo/meta/Arbeitszeit.md +++ b/documents/GeoTopo/meta/Arbeitszeit.md @@ -68,7 +68,7 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt: |07.02.2014 | 11:15 - 11:20 | 5 | Definitionen vereinfacht |07.02.2014 | 11:35 - 11:45 | 10 | Definition "operiert durch Homöomorphismen" korrigiert |07.02.2014 | 15:00 - 15:30 | 30 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, Email vom 08.02.2014, umgesetzt. -|07.02.2014 | 15:30 - 15:45 | 15 | Verbesserungen +|07.02.2014 | 15:30 - 15:45 | 15 | Verbesserungen |07.02.2014 | 19:30 - 21:20 | 110 | Textsetzung, kleine Fehler und Verbesserung eines Bildes |10.02.2014 | 10:30 - 11:05 | 35 | Formulierung in Definitionen vereinfacht; Textsetzung |10.02.2014 | 11:05 - 11:20 | 15 | Verbesserungsvorschläge von Marco, Email 1 vom 10.02.2014, umgesetzt. @@ -92,6 +92,6 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt: |20.02.2014 | 12:00 - 13:00 | 60 | Verbesserungsvorschläge von Jonathan (Facebook, 20.02.2014) eingearbeitet. |20.02.2014 | 13:00 - 13:45 | 45 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, Email 1 vom 20.02.2014, umgesetzt. |20.02.2014 | 19:30 - 20:15 | 45 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, Email 2 vom 20.02.2014, umgesetzt. -| Zwischenstand | --- | --- | 6081 Minuten => Über 100 Stunden! +| Zwischenstand | --- | --- | 6081 Minuten => Über 100 Stunden! |17.03.2014 | 16:00 - 18:00 | 120 | Textsetzung |19.03.2014 | 08:00 - 10:00 | 120 | Verbesserung des Symbolverzeichnisses \ No newline at end of file diff --git a/documents/GeoTopo/meta/Mitwirkende.md b/documents/GeoTopo/meta/Mitwirkende.md index 37e9d18..0b089c8 100644 --- a/documents/GeoTopo/meta/Mitwirkende.md +++ b/documents/GeoTopo/meta/Mitwirkende.md @@ -1,4 +1,4 @@ -Zu diesem Skript haben einige Leute beigetragen. Die Personen, die am +Zu diesem Skript haben einige Leute beigetragen. Die Personen, die am meisten beigetragen haben, stehen direkt im Skript unter "Danksagungen". Hier ist eine (hoffentlich bald) vollständige Liste der Mitwirkenden (alphabetisch geordnet) mit diff --git a/documents/GeoTopo/meta/README.md b/documents/GeoTopo/meta/README.md index 708fb99..7115a6a 100644 --- a/documents/GeoTopo/meta/README.md +++ b/documents/GeoTopo/meta/README.md @@ -4,7 +4,7 @@ bitte ich um eine Email. Konventionen ============ -* `\mathbb{N}` sollte vermieden werden. Stattdessen wird +* `\mathbb{N}` sollte vermieden werden. Stattdessen wird `\mathbb{N}_0` und `\mathbb{N}_+` verwendet. * `\subset` sollte vermieden werden. Stattdessen wird `\subseteq` bzw. `\subsetneq` verwendet. diff --git a/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe1.tex b/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe1.tex index 48d87f4..fe64283 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe1.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe1.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \subsection*{Teilaufgabe a} \textbf{Gegeben:} -\[A = +\[A = \begin{pmatrix} 3 & 15 & 13 \\ 6 & 6 & 6 \\ @@ -11,7 +11,7 @@ \textbf{Aufgabe:} LR-Zerlegung von $A$ mit Spaltenpivotwahl -\textbf{Lösung:} +\textbf{Lösung:} \begin{align*} & @@ -85,7 +85,7 @@ Nun gilt: $P A = L R = A^{(1)}$ (Kontrolle mit \href{http://www.wolframalpha.com \textbf{Gegeben:} -\[A = +\[A = \begin{pmatrix} 9 & 4 & 12 \\ 4 & 1 & 4 \\ @@ -111,7 +111,7 @@ Falls $A$ symmetrisch ist, gilt: \begin{align} \det(A_1) &= 9 > 0\\ - \det(A_2) &= + \det(A_2) &= \begin{vmatrix} 9 & 4 \\ 4 & 1 \\ diff --git a/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe2.tex b/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe2.tex index 68e4d8c..79758ac 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe2.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe2.tex @@ -7,7 +7,7 @@ wobei $L$ eine invertierbare, untere Dreiecksmatrix ist. Geben Sie die Formel zur Berechnung von $y_i$ an. -\textbf{Lösung:} +\textbf{Lösung:} \[y_i = \frac{b_i - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik} \cdot y_k}{l_{ii}}\] \begin{algorithm}[H] diff --git a/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex b/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex index 5f7db06..d370420 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex @@ -33,7 +33,7 @@ mit Hilfe der LR Zerlegung nach $\Delta x$ auf. \overbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{9} & 1 - \end{pmatrix}}^{=: L} \cdot + \end{pmatrix}}^{=: L} \cdot \overbrace{\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 0 & \frac{8}{9} @@ -81,7 +81,7 @@ Anschließend berechnen wir \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 - \end{pmatrix} &= + \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 @@ -89,7 +89,7 @@ Anschließend berechnen wir \Leftrightarrow\begin{pmatrix} x_1\\ y_1 - \end{pmatrix} &= + \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -\frac{1}{3}\\ 0 @@ -102,7 +102,7 @@ Anschließend berechnen wir \Leftrightarrow\begin{pmatrix} x_1\\ y_1 - \end{pmatrix} &= + \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -\nicefrac{13}{18}\\ -\nicefrac{15}{18} @@ -124,7 +124,7 @@ also ausführlich: \overbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0\\ l_{12} & 1 - \end{pmatrix}}^L \cdot + \end{pmatrix}}^L \cdot \overbrace{\begin{pmatrix} r_{11} & r_{12}\\ 0 & r_{22} @@ -139,7 +139,7 @@ also ausführlich: \begin{pmatrix} 1 & 0\\ l_{12} & 1 - \end{pmatrix} \cdot + \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & \cos y\\ 0 & r_{22} @@ -156,7 +156,7 @@ also ausführlich: \begin{pmatrix} 1 & 0\\ x^2 & 1 - \end{pmatrix} \cdot + \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & \cos y\\ 0 & -x^2 \cdot \cos y + e^y diff --git a/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe4.tex b/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe4.tex index ca2ae9c..d0db6be 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe4.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe4.tex @@ -1,5 +1,5 @@ \section*{Aufgabe 4} -\textbf{Aufgabe}: +\textbf{Aufgabe}: \[I(f) = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \] diff --git a/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe5.tex b/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe5.tex index 6f47403..dfcfaf5 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe5.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe5.tex @@ -15,7 +15,7 @@ maximaler Ordnung zu erhalten. Wie hoch ist die Ordnung? \paragraph{Lösung} -Nach VL kann bei Vorgabe von $s$ Knoten auch die Ordnung $s$ durch +Nach VL kann bei Vorgabe von $s$ Knoten auch die Ordnung $s$ durch geschickte Wahl der Gewichte erreicht werden. Nach Satz 27 ist diese Wahl eindeutig. Also berechnen wir die Gewichte, um die Ordnung $p=2$ zu sichern. @@ -56,7 +56,7 @@ LGS lösen können: \begin{align} \begin{pmatrix} c_1^0 & c_2^0\\ - c_1^1 & c_2^1 + c_1^1 & c_2^1 \end{pmatrix} \cdot x = diff --git a/documents/Numerik/Klausur1/Klausur1.tex b/documents/Numerik/Klausur1/Klausur1.tex index defc37e..a1ff428 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur1/Klausur1.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur1/Klausur1.tex @@ -26,10 +26,10 @@ \title{Numerik Klausur 1 - Musterlösung} \makeatletter \AtBeginDocument{ - \hypersetup{ + \hypersetup{ pdfauthor = {Martin Thoma, Peter, Felix}, - pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, - pdftitle = {\@title} + pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, + pdftitle = {\@title} } \pagestyle{fancy} \lhead{\@title} diff --git a/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe1.tex b/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe1.tex index cad8c86..cddbaec 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe1.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe1.tex @@ -83,5 +83,5 @@ Das Verfahren ist also: Alternativ kann man auch in einer angepassten LR-Zerlegung direkt die Anzahl an Zeilenvertauschungen zählen. Dann benötigt man $P$ nicht mehr. -Ist die Anzahl der Zeilenvertauschungen ungerade, muss das Produkt +Ist die Anzahl der Zeilenvertauschungen ungerade, muss das Produkt der $r_ii$ negiert werden. diff --git a/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe2.tex b/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe2.tex index 0337440..003edb0 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe2.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe2.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \section*{Aufgabe 2} -\paragraph{Voraussetzung:} +\paragraph{Voraussetzung:} Gegeben sei eine Funktion $F$: \begin{align*} F: \mathbb{R} &\rightarrow [-1, 1]\\ @@ -32,23 +32,23 @@ Sei $0 \leq x < y \leq 1$. Dann folgt:\marginnote{Teil 2: $F$ ist auf $[0,1]$ ei \end{align} Da $F|_{[0,1]}$ eine Selbstabbildung und eine Kontraktion ist und -offensichtlich $[0,1]$ abgeschlossen ist, greift der +offensichtlich $[0,1]$ abgeschlossen ist, greift der Banachsche Fixpunktsatz. Es folgt direkt, dass auch für alle $x \in [0,1]$ die Folge $(x)_k$ gegen den einzigen Fixpunkt $x^*$ konvergiert. \end{proof} \subsection*{Anmerkung} -Um zu zeigen, dass es genau einen Fixpunkt $x^*$ in $(0,1)$ gibt, -braucht man den Banachschen Fixpunktsatz nicht. Nur um zu zeigen, +Um zu zeigen, dass es genau einen Fixpunkt $x^*$ in $(0,1)$ gibt, +braucht man den Banachschen Fixpunktsatz nicht. Nur um zu zeigen, dass die Fixpunktiteration auf für jedes $x \in \mathbb{R}$ gegen diesen Fixpunkt $x^*$ konvergiert, braucht man ihn. So kann man die existenz eines Fixpunktes zeigen: -Offensichtlich ist $F(0) \neq 0$ und $F(1) \neq 1$, also ist der +Offensichtlich ist $F(0) \neq 0$ und $F(1) \neq 1$, also ist der Fixpunkt - falls vorhanden - in $(0,1)$. $F$ ist in $(0,1)$ stetig und streng monoton fallend. Da auch $-x$ in $(0,1)$ streng monoton -fallend ist, folgt, dass $\cos(x) - x$ in $(0,1)$ streng monoton +fallend ist, folgt, dass $\cos(x) - x$ in $(0,1)$ streng monoton fallend ist. $x=0 \Rightarrow \cos(x) - x = \cos(0) - 0 = 1$ diff --git a/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe4.tex b/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe4.tex index ab37695..eea0cd4 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe4.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe4.tex @@ -36,11 +36,11 @@ ist. Wenn diese nun auf $N$ Intervalle aufgepflittet wird gilt folgendes: \end{align} $\sum_{i=1}^{N-1} f(a + i \cdot h)$ steht für die Grenzknoten - (deshalb werden sie doppelt gezählt). Von den Grenzknoten gibt es -insgesamt $N-2$ Stück, da die tatsächlichen Integralgrenzen $a$ und $b$ + (deshalb werden sie doppelt gezählt). Von den Grenzknoten gibt es +insgesamt $N-2$ Stück, da die tatsächlichen Integralgrenzen $a$ und $b$ nur einmal in die Berechnung mit einfließen. -$\sum_{l=0}^{N-1} f(a + \frac{1}{2} \cdot h + l \cdot h)$ sind die jeweiligen +$\sum_{l=0}^{N-1} f(a + \frac{1}{2} \cdot h + l \cdot h)$ sind die jeweiligen mittleren Knoten der Intervalle. Davon gibt es $N$ Stück. \subsection*{Teilaufgabe c)} diff --git a/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe5.tex b/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe5.tex index 256b512..f77915a 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe5.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe5.tex @@ -18,12 +18,12 @@ $c_1 = 0$ nicht die Gauss-Quadratur sein kann (Satz 31), kommt nur Ordnung $p=4$ und $p=5$ in Frage. In dieser Aufgabe sind nur die symmetrischen QF, also die von Ordnung -$p=4$ explizit anzugeben. Für die QF von Ordnung $p=5$ hätte man nur +$p=4$ explizit anzugeben. Für die QF von Ordnung $p=5$ hätte man nur die Gewichte in Abhängigkeit der Knoten darstellen müssen und eine Bedinung nur an die Knoten herleiten müssen. \subsection*{Ordnung 4} -Es gilt $g(x) = c$ für eine Konstante $c$, da $\text{Grad}(g(x))=0$ ist. +Es gilt $g(x) = c$ für eine Konstante $c$, da $\text{Grad}(g(x))=0$ ist. Also ist \ref{a3} gleichbedeutend mit: \begin{align} \int_0^1 M(x) \cdot c \mathrm{d}x &= 0 \\ @@ -56,7 +56,7 @@ Aus $c_1 = 0 $ folgt, dass $c_3 = 1$ ist. Außerdem muss $c_2 = \frac{1}{2} $ se Es handelt sich um die aus der Vorlesung bekannte Simpsonregel. \subsection*{Ordnung 5} -Es gilt $g(x) = ax+c$ für Konstanten $a \neq 0, c$, da $\text{Grad}(g(x))=1$ ist. +Es gilt $g(x) = ax+c$ für Konstanten $a \neq 0, c$, da $\text{Grad}(g(x))=1$ ist. Also ist \ref{a3} gleichbedeutend mit: \begin{align} \int_0^1 M(x) \cdot (ax+c) \mathrm{d}x &= 0 \\ diff --git a/documents/Numerik/Klausur2/Klausur2.tex b/documents/Numerik/Klausur2/Klausur2.tex index 576e128..76e88bb 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur2/Klausur2.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur2/Klausur2.tex @@ -28,10 +28,10 @@ \title{Numerik Klausur 2{} - Musterlösung} \makeatletter \AtBeginDocument{ - \hypersetup{ + \hypersetup{ pdfauthor = {Felix Benz-Baldas, Martin Thoma, Peter Merkert}, - pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, - pdftitle = {\@title} + pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, + pdftitle = {\@title} } \pagestyle{fancy} \lhead{\@title} diff --git a/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe3.tex b/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe3.tex index 164f656..0489aee 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe3.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe3.tex @@ -15,7 +15,7 @@ \end{align} \item Abgeschlossenheit: $D$ ist offentsichtlich abgeschlossen. -\item Kontraktion: \\ %TODO: +\item Kontraktion: \\ %TODO: %\textbf{Behauptung:} $F(x)$ ist auf $A$ eine Kontraktion. %\textbf{Beweis:} %z.Z.: $\exists L \in [0, 1): \forall x,y \in A: || F(x) - F(y) || \leq L \cdot || x - y||$ diff --git a/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe5.tex b/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe5.tex index ab19df6..850005d 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe5.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe5.tex @@ -14,7 +14,7 @@ Für die ersten 3. Ordnungsbedingungen gilt: \end{align*} \subsection*{Teilaufgabe c} -Wähle die Simpson-Regel, also $c_1=0, c_2 = \frac{1}{2}, c_3 = 1$ und +Wähle die Simpson-Regel, also $c_1=0, c_2 = \frac{1}{2}, c_3 = 1$ und $b_1 = b_3 = \frac{1}{6}$ und $b_2 = \frac{4}{6}$. Überprüfe nun Ordnungsbedingungen 1-4 $\Rightarrow$ Simpson-Regel hat Ordnung 4 diff --git a/documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.tex b/documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.tex index 8ad2f85..f55326f 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.tex @@ -25,10 +25,10 @@ \title{Numerik Klausur 3 - Musterlösung} \makeatletter \AtBeginDocument{ - \hypersetup{ + \hypersetup{ pdfauthor = {Felix Benz-Baldas, Martin Thoma, Peter Merkert}, - pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, - pdftitle = {\@title} + pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, + pdftitle = {\@title} } \pagestyle{fancy} \lhead{\@title} diff --git a/documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe1.tex b/documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe1.tex index 82b01f7..96c6c14 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe1.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe1.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \section*{Aufgabe 1} \textbf{Gegeben:} -\[A = +\[A = \begin{pmatrix} 6 & -6 & 0 \\ -3 & 7 & 2 \\ @@ -15,7 +15,7 @@ b =\begin{pmatrix} \textbf{Aufgabe:} $Ax = b$ mit Gaußelimination und Spaltenpivotwahl lösen -\textbf{Lösung:} +\textbf{Lösung:} \begin{align} \begin{gmatrix}[p] diff --git a/documents/Numerik/Klausur4/Klausur4.tex b/documents/Numerik/Klausur4/Klausur4.tex index 2cb2bba..1e1a7d7 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur4/Klausur4.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur4/Klausur4.tex @@ -25,10 +25,10 @@ \title{Numerik Klausur 4 - Musterlösung} \makeatletter \AtBeginDocument{ - \hypersetup{ + \hypersetup{ pdfauthor = {Martin Thoma, Peter, Felix}, - pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, - pdftitle = {\@title} + pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, + pdftitle = {\@title} } \pagestyle{fancy} \lhead{\@title} diff --git a/documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe2.tex b/documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe2.tex index ad338fd..980e807 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe2.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe2.tex @@ -25,7 +25,7 @@ Für alle tridiagonalen Matrizen gilt: Offensichtlich ändert diese Operation nur Zeile 2. $a_{21}$ wird zu 0, $a_{22}$ ändert sich irgendwie, alles andere bleibt unverändert. -Die gesammte Matrix ist keine tridiagonale Matrix mehr, aber die +Die gesammte Matrix ist keine tridiagonale Matrix mehr, aber die um Submatrix in $R^{(n-1) \times (n-1)}$ ist noch eine. Muss man zuvor Zeile 1 und 2 tauschen (andere Zeilen kommen nicht in @@ -35,7 +35,7 @@ an der tridiagonalen Struktur der Submatrix. \paragraph{Teil 2: (ii) für $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$} Sei $\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ -beliebig. +beliebig. O.B.d.A sei die Spaltenpivotwahl bereits durchgeführt, also $|a_{11}| \geq |a_{21}|$. @@ -55,7 +55,7 @@ Nun folgt: \end{gmatrix} \end{align} -Wegen $|a_{11}| \geq |a_{21}|$ gilt: +Wegen $|a_{11}| \geq |a_{21}|$ gilt: \begin{align} \|\frac{a_{21}}{a_{11}}\| \leq 1 \end{align} @@ -71,7 +71,7 @@ Damit ist Aussage (ii) für $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ gezeigt. \paragraph{Teil 3: (ii) für allgemeinen Fall} Aus Teil 2 folgt die Aussage auch direkt für größere Matrizen. -Der worst case ist, wenn man beim Addieren einer Zeile auf eine +Der worst case ist, wenn man beim Addieren einer Zeile auf eine andere mit $\max_{i,j}|a_{ij}|$ multiplizieren muss um das erste nicht-0-Element der Zeile zu entfernen und das zweite auch $\max_{i,j}|a_{ij}|$ ist. Dann muss man aber im nächsten schritt mit einem Faktor $\leq \frac{1}{2}$ diff --git a/documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe5.tex b/documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe5.tex index d6c4e3b..d917356 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe5.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe5.tex @@ -4,14 +4,14 @@ Bestimme alle Quadraturformeln mit $s=3$ und Knoten $0 = c_1 < c_2, c_3$ und Ordnung $p \geq 4$. Schreiben Sie ein Programm in Pseudocode, welches zu vorgegebenem -$c_2$ den Knoten $c_3$ und die Gewichte $b_i$ möglichst effizient +$c_2$ den Knoten $c_3$ und die Gewichte $b_i$ möglichst effizient berechnet. Wie viele symmetrische Quadraturformeln gibt es mit diesen Eigneschaften? \subsection*{Lösung} -Da $c_1 = 0$ kann es keine Gauß-Quadraturformel sein. Daher kann -die Ordnung nicht $2 \cdot s = 6$ sein. Interessant sind also +Da $c_1 = 0$ kann es keine Gauß-Quadraturformel sein. Daher kann +die Ordnung nicht $2 \cdot s = 6$ sein. Interessant sind also \begin{itemize} \item[(A)] Symmetrische Quadraturformeln der Ordnung 4 \item[(B)] Unsymmetrische Quadraturformeln der Ordnung 4 diff --git a/documents/Numerik/Klausur5/Klausur5.tex b/documents/Numerik/Klausur5/Klausur5.tex index 3b2f0eb..bd1ac43 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur5/Klausur5.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur5/Klausur5.tex @@ -26,10 +26,10 @@ \title{Numerik Klausur 5 - Musterlösung} \makeatletter \AtBeginDocument{ - \hypersetup{ + \hypersetup{ pdfauthor = {Martin Thoma, Peter, Felix}, - pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, - pdftitle = {\@title} + pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, + pdftitle = {\@title} } \pagestyle{fancy} \lhead{\@title} diff --git a/documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe2.tex b/documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe2.tex index 8d28fdb..94ad800 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe2.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe2.tex @@ -34,10 +34,10 @@ und diese liegt in $[0,1]$. \Leftrightarrow x &= - \ln(2x) = F_2(x)\label{a2iif2} \end{align} -Gleichung \ref{a2iif1} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der +Gleichung \ref{a2iif1} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der Nullstelle von $f$ übereinstimmt. -Gleichung \ref{a2iif2} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der +Gleichung \ref{a2iif2} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der Nullstelle von $f$ übereinstimmt. Da es nur in $[0,1]$ eine Nullstelle gibt (vgl. Teilaufgabe i), ist die Einschränkung von $x$ auf $\mathbb{R}^+$ irrelevant. @@ -49,7 +49,7 @@ Rechenungenauigkeit) $F_1$ ist auf $[0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta = \frac{1}{2}$: -Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ex. ein $\xi \in (a,b)$ mit $ 0 \leq a < b \leq 1$, sodass +Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ex. ein $\xi \in (a,b)$ mit $ 0 \leq a < b \leq 1$, sodass gilt: diff --git a/documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.tex b/documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.tex index 7f83230..462223d 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.tex @@ -28,10 +28,10 @@ \title{Numerik Klausur 6 - Musterlösung} \makeatletter \AtBeginDocument{ - \hypersetup{ + \hypersetup{ pdfauthor = {Martin Thoma, Peter, Felix}, - pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, - pdftitle = {\@title} + pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, + pdftitle = {\@title} } \pagestyle{fancy} \lhead{\@title} diff --git a/documents/Numerik/README.md b/documents/Numerik/README.md index 6dbd79c..8543712 100644 --- a/documents/Numerik/README.md +++ b/documents/Numerik/README.md @@ -1,7 +1,7 @@ Diese Lösungen sind noch im Aufbau. Wenn du einen Fehler findest (auch Textsetzungs- und Rechtschreibfehler -oder missverständliche Stellen) +oder missverständliche Stellen) oder selbst eine Lösung geschrieben hast, kannst du mir eine Email schreiben (info@martin-thoma.de). Oder du machst direkt einen Pull-Request. diff --git a/documents/Numerik/UB11/Aufgabe31.tex b/documents/Numerik/UB11/Aufgabe31.tex index 0f509f5..1f28fba 100644 --- a/documents/Numerik/UB11/Aufgabe31.tex +++ b/documents/Numerik/UB11/Aufgabe31.tex @@ -53,7 +53,7 @@ sie auf jeden Fall für $a=1, b=0$ sowie für $a=1, b=1$ gelten. Aber: \frac{2\cdot1+5\cdot0}{5\cdot1+10\cdot0} = \frac{3}{5} &\neq \frac{8}{15} = \frac{3\cdot1+5\cdot1}{5\cdot1+10\cdot1} \end{align} -Offensichtlich gibt also es kein $c_2$, dass diese Bedingung für jedes $a,b \in \mathbb{R}$ +Offensichtlich gibt also es kein $c_2$, dass diese Bedingung für jedes $a,b \in \mathbb{R}$ erfüllt. Daher kann es keine Quadraturformel der Ordnung $5$ mit den Knoten $0$ und $1$ geben. @@ -83,7 +83,7 @@ Und damit: \end{align} Nun könnte man das ganze in die 4. Ordnungsbedinung einsetzen \dots aber ich -glaube nicht, dass das schön wird. Mache das, wer will. +glaube nicht, dass das schön wird. Mache das, wer will. \subsubsection*{Ordnung 4} Die Simpson-Regel erfüllt offensichtlich alle Bedinungen und hat @@ -97,4 +97,4 @@ Ordnung 4: \end{align} Dass die Simpson-Regel Ordnung 4 hat, lässt sich schnell über -die Ordnungsbedingungen zeigen. +die Ordnungsbedingungen zeigen. diff --git a/documents/Numerik/UB11/UB11.tex b/documents/Numerik/UB11/UB11.tex index 625eee1..eccc366 100644 --- a/documents/Numerik/UB11/UB11.tex +++ b/documents/Numerik/UB11/UB11.tex @@ -28,10 +28,10 @@ \title{Numerik Übungsblatt 11 - Musterlösung} \makeatletter \AtBeginDocument{ - \hypersetup{ + \hypersetup{ pdfauthor = {Martin Thoma, Peter, Felix}, - pdfkeywords = {Numerik, KIT, Übungsblatt}, - pdftitle = {\@title} + pdfkeywords = {Numerik, KIT, Übungsblatt}, + pdftitle = {\@title} } \pagestyle{fancy} \lhead{\@title} diff --git a/documents/Programmierparadigmen/C.tex b/documents/Programmierparadigmen/C.tex index f590cba..adf6ab7 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/C.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/C.tex @@ -79,12 +79,12 @@ In C gibt es keinen direkten Support für Booleans. \subsection{Logische Operatoren} \begin{table}[H] - \centering + \centering \begin{tabular}{CCCC} UND & ODER & Wahr & Falsch \\ \hline\hline \&\& & || & 1 & 0 \\[4ex] GLEICH & UNGLEICH & NICHT & ~ \\ \hline\hline - == & != & ! & ~ \\ + == & != & ! & ~ \\ \end{tabular} \caption{Logische Operatoren in C}\xindex{Logische Operatoren!C} \end{table} diff --git a/documents/Programmierparadigmen/Compilerbau.tex b/documents/Programmierparadigmen/Compilerbau.tex index 84748bd..db299c3 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/Compilerbau.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/Compilerbau.tex @@ -17,10 +17,10 @@ Jedoch gibt es verschiedene Ebenen der Interpretation bzw. Übersetzung: \item \textbf{Vollständige Übersetzung}: C, C++, Fortran \end{enumerate} -Zu sagen, dass Python eine interpretierte Sprache ist, ist in etwa so korrekt +Zu sagen, dass Python eine interpretierte Sprache ist, ist in etwa so korrekt wie zu sagen, dass die Bibel ein Hardcover-Buch ist.\footnote{Quelle: stackoverflow.com/a/2998544, danke Alex Martelli für diesen Vergleich.} -Reine Interpretierer lesen den Quelltext Anweisung für Anweisung und führen +Reine Interpretierer lesen den Quelltext Anweisung für Anweisung und führen diese direkt aus. \todo[inline]{Bild} @@ -57,7 +57,7 @@ Laufzeitübersetzung. Folgendes sind Vor- bzw. Nachteile von Just-in-time Compil \begin{itemize} \item Der C-Code ist 83 Byte groß, - \item der Java-Codee ist 123 Byte groß, + \item der Java-Codee ist 123 Byte groß, \item der generierte Java Bytecode ist 416 Byte groß und \item der erzeugt Maschinencode aus C ist 8565 Byte groß. \end{itemize} @@ -107,10 +107,10 @@ zusammengefasst werden. TODO: Bild einfügen -Zu jedem regulären Ausdruck im Sinne der theoretischen Informatik kann ein -nichtdeterministischer Automat generiert werden. Dieser kann mittels -Potenzmengenkonstruktion\footnote{\url{http://martin-thoma.com/potenzmengenkonstruktion/}} -in einen deterministischen Automaten überführen. Dieser kann dann mittels +Zu jedem regulären Ausdruck im Sinne der theoretischen Informatik kann ein +nichtdeterministischer Automat generiert werden. Dieser kann mittels +Potenzmengenkonstruktion\footnote{\url{http://martin-thoma.com/potenzmengenkonstruktion/}} +in einen deterministischen Automaten überführen. Dieser kann dann mittels Äquivalenzklassen minimiert werden. \todo[inline]{Alle Schritte beschreiben} @@ -124,7 +124,7 @@ Eine Flex-Datei besteht aus 3 Teilen, die durch \texttt{\%\%} getrennt werden: \begin{verbatim} Definitionen: Definiere Namen %% -Regeln: Definiere reguläre Ausdrücke und +Regeln: Definiere reguläre Ausdrücke und zugehörige Aktionen (= Code) %% Code: zusätzlicher Code @@ -153,8 +153,8 @@ Code: zusätzlicher Code \section{Syntaktische Analyse}\xindex{Analyse!syntaktische}% -In der syntaktischen Analyse wird überprüft, ob die Tokenfolge zur -kontextfreien Sprache\todo{Warum kontextfrei?} gehört. Außerdem soll die +In der syntaktischen Analyse wird überprüft, ob die Tokenfolge zur +kontextfreien Sprache\todo{Warum kontextfrei?} gehört. Außerdem soll die hierarchische Struktur der Eingabe erkannt werden.\todo{Was ist gemeint?} Ausgegeben wird ein \textbf{abstrakter Syntaxbaum}\xindex{Syntaxbaum!abstrakter}. @@ -227,7 +227,7 @@ Dabei sind viele Optimierungen vorstellbar. Ein paar davon sind: \end{itemize} \section{Codegenerierung} -Der letzte Schritt besteht darin, aus dem generiertem Zwischencode den +Der letzte Schritt besteht darin, aus dem generiertem Zwischencode den Maschinencode oder Assembler zu erstellen. Dabei muss folgendes beachtet werden: \begin{itemize} \item \textbf{Konventionen}: Wie werden z.~B. im Laufzeitsystem Methoden aufgerufen? @@ -246,7 +246,7 @@ Maschinencode oder Assembler zu erstellen. Dabei muss folgendes beachtet werden: Dann heißt $\tilde{x} \in (\Sigma \cup \Set{\#})^+$ ein $k$-\textbf{Anfang} von $x$, wenn gilt: - \[\tilde{x} = + \[\tilde{x} = \begin{cases} x\# &\text{falls } x = x_1 \dots x_m \text{ und } m < k\\ x_1 \dots x_k &\text{sonst} @@ -292,12 +292,12 @@ Maschinencode oder Assembler zu erstellen. Dabei muss folgendes beachtet werden: \end{defenum} \end{definition} -Die $\First_k(x)$-Menge beinhaltet also alle Terminalfolgen, die entweder $k$ +Die $\First_k(x)$-Menge beinhaltet also alle Terminalfolgen, die entweder $k$ Terminale lang sind oder kürzer sind und dafür mit \# enden und die zugleich der Anfang von Ableitungen von $x$ sind. Die $\Follow_k(x)$-Menge hingegen hat alle Terminalfolgen der Länge $k$ oder kürzer -und dafür mit \# am Ende, die aus einer Ableitung des Startsymbols $S \Rightarrow^* mxy$ +und dafür mit \# am Ende, die aus einer Ableitung des Startsymbols $S \Rightarrow^* mxy$ auf die Teilfolge $x$ folgen können. Mit der $\Follow_k(x)$-Menge kann man also zu jedem Zeitpunkt sagen, was momentan diff --git a/documents/Programmierparadigmen/Definitionen.tex b/documents/Programmierparadigmen/Definitionen.tex index c54bcd8..5842f5f 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/Definitionen.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/Definitionen.tex @@ -56,14 +56,14 @@ Man schreibt: \end{beispiel} \begin{definition}[Kontextfreie Grammatik]\xindex{Grammatik!Kontextfreie}% - Eine Grammatik $(\Sigma, V, P, S)$ heißt \textbf{kontextfrei}, wenn für + Eine Grammatik $(\Sigma, V, P, S)$ heißt \textbf{kontextfrei}, wenn für jede Produktion $p: I \rightarrow r$ gilt: $I \in V$. \end{definition} \begin{definition}[Sprache]\xindex{Sprache}% Sei $G = (\Sigma, V, P, S)$ eine Grammatik. Dann ist \[L(G) := \Set{\omega \in \Sigma^* | S \Rightarrow^* \omega}\] - die Menge aller in der Grammatik ableitbaren Wörtern. $L(G)$ heißt Sprache + die Menge aller in der Grammatik ableitbaren Wörtern. $L(G)$ heißt Sprache der Grammatik $G$. \end{definition} @@ -114,5 +114,5 @@ bezeichnet wird. \begin{satz} Für linksrekursive, kontextfreie Grammatiken $G$ gilt: - \[\forall k \in \mathbb{N}: G \notin \SLL(k)\] + \[\forall k \in \mathbb{N}: G \notin \SLL(k)\] \end{satz} \ No newline at end of file diff --git a/documents/Programmierparadigmen/Haskell.tex b/documents/Programmierparadigmen/Haskell.tex index ed36362..bb7ae26 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/Haskell.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/Haskell.tex @@ -1,7 +1,7 @@ %!TEX root = Programmierparadigmen.tex \chapter{Haskell} \index{Haskell|(} -Haskell ist eine funktionale Programmiersprache, die 1990 in Version~1.0 veröffentlicht +Haskell ist eine funktionale Programmiersprache, die 1990 in Version~1.0 veröffentlicht wurde. Namensgeber ist Haskell Brooks Curry, der die mathematischen Grundlagen der funktionalen Programmierung entwickelte. Wichtige Konzepte sind: @@ -13,8 +13,8 @@ Wichtige Konzepte sind: \item Typinferenz \end{enumerate} -Haskell kann mit \enquote{Glasgow Haskell Compiler} mittels -\texttt{ghci} interpretiert und mittels +Haskell kann mit \enquote{Glasgow Haskell Compiler} mittels +\texttt{ghci} interpretiert und mittels \section{Erste Schritte} Haskell kann unter \href{http://www.haskell.org/platform/}{\path{www.haskell.org/platform/}} @@ -41,7 +41,7 @@ definiert: \inputminted[numbersep=5pt, tabsize=4]{haskell}{scripts/haskell/einfaches-beispiel-klammern.hs} -Die Funktionsdeklarationen mit den Typen sind nicht notwendig, da +Die Funktionsdeklarationen mit den Typen sind nicht notwendig, da die Typen aus den benutzten Funktionen abgeleitet werden. Zu lesen ist die Deklaration wie folgt: @@ -113,7 +113,7 @@ den Index 0. \inputminted[numbersep=5pt, tabsize=4]{haskell}{scripts/haskell/listenoperationen.sh} \subsubsection{List-Comprehensions}\xindex{List-Comprehension}% -List-Comprehensions sind kurzschreibweisen für Listen, die sich an +List-Comprehensions sind kurzschreibweisen für Listen, die sich an der Mengenschreibweise in der Mathematik orientieren. So entspricht die Menge \begin{align*} @@ -176,12 +176,12 @@ Das doppelte Plus (\texttt{++}) wird verwendet um Listen mit einander zu verbind \subsection{Logische Operatoren}\xindex{Haskell!Logische Operatoren} \begin{table}[H] - \centering + \centering \begin{tabular}{CCCC} UND & ODER & Wahr & Falsch \\ \hline\hline \&\& & || & True & False \\[4ex] GLEICH & UNGLEICH & NICHT & ~ \\ \hline\hline - == & /= & not & ~ \\ + == & /= & not & ~ \\ \end{tabular} \caption{Logische Operatoren in Haskell}\xindex{Logische Operatoren!Haskell} \end{table} @@ -191,7 +191,7 @@ Das doppelte Plus (\texttt{++}) wird verwendet um Listen mit einander zu verbind Haskell kennt einige Basis-Typen: \begin{itemize} \item \textbf{Int}: Ganze Zahlen. Der Zahlenbereich kann je nach Implementierung variieren, - aber der Haskell-Standart garantiert, dass das Intervall + aber der Haskell-Standart garantiert, dass das Intervall $[-2^{29}, 2^{29}-1]$ abgedeckt wird. \item \textbf{Integer}: beliebig große ganze Zahlen \item \textbf{Float}: Fließkommazahlen @@ -257,7 +257,7 @@ Haskell wertet Ausdrücke nur aus, wenn es nötig ist. \begin{itemize} \item Die leere Liste ergibt sortiert die leere Liste. \item Wähle das erste Element \texttt{p} als Pivotelement und - teile die restliche Liste \texttt{ps} in kleinere und + teile die restliche Liste \texttt{ps} in kleinere und gleiche sowie in größere Elemente mit \texttt{filter} auf. Konkateniere diese beiden Listen mit \texttt{++}. \end{itemize} @@ -314,7 +314,7 @@ Einen allgemeinen Baum so: Hier ist \texttt{t} der polymorphe Typ des Baumes. \texttt{t} gibt also an welche Elemente der Baum enthält. -Man kann auf einem solchen Baum auch eine Variante von \texttt{map} und +Man kann auf einem solchen Baum auch eine Variante von \texttt{map} und \texttt{reduce} definieren, also eine Funktion \texttt{mapT}, die eine weitere Funktion \texttt{f} auf jeden Knoten anwendet: diff --git a/documents/Programmierparadigmen/Java-Bytecode.tex b/documents/Programmierparadigmen/Java-Bytecode.tex index c6238e4..25fe58e 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/Java-Bytecode.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/Java-Bytecode.tex @@ -107,7 +107,7 @@ Weitere if-Abfragen haben das Schema \item $1 + 2$ nutzt die Infix-Notation. \item $f\ a\ b$ nutzt die polnische Notation. \item Wir der Ausdruck $1 + 2 \cdot 3$ in Infix-Notation ohne Operatoren-Präzedenz - ausgewertet, so gilt: + ausgewertet, so gilt: \[1 + 2 \cdot 3 = 9\] Wird er mit Operatoren-Präzendenz ausgewertet, so gilt: \[1 + 2 \cdot 3 = 7\] @@ -124,7 +124,7 @@ Weitere if-Abfragen haben das Schema \begin{bemerkung}[Eigenschaften der Prä- und Postfixnotation] \begin{bemenum} \item Die Reihenfolge der Operanden kann beibehalten und gleichzeitig - auf Klammern verzichtet werden, ohne dass sich das Ergebnis + auf Klammern verzichtet werden, ohne dass sich das Ergebnis verändert. \item Die Infix-Notation kann in einer Worst-Case Laufzeit von $\mathcal{O}(n)$, wobei $n$ die Anzahl der Tokens ist mittels des diff --git a/documents/Programmierparadigmen/Java.tex b/documents/Programmierparadigmen/Java.tex index e91c11d..da4bd13 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/Java.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/Java.tex @@ -10,10 +10,10 @@ die auf mehreren Prozessoren laufen. \texttt{Interface Runnable}\xindex{Runnable}\\ \-\hspace{0.8cm}$\leftharpoonup$ \texttt{java.lang.Thread}% \begin{itemize} - \item Methods: + \item Methods: \begin{itemize} - \item \texttt{void run()}: When an object implementing interface - Runnable is used to create a thread, starting the thread causes the + \item \texttt{void run()}: When an object implementing interface + Runnable is used to create a thread, starting the thread causes the object's run method to be called in that separately executing thread. \end{itemize} \end{itemize} @@ -37,12 +37,12 @@ die auf mehreren Prozessoren laufen. \texttt{Interface Callable}\xindex{Callable}\\ \-\hspace{0.8cm}$\leftharpoonup$ \texttt{java.util.concurrent} \begin{itemize} - \item Parameter: + \item Parameter: \begin{itemize} \item \texttt{V} - the result type of method \texttt{call()} \end{itemize} \item Ermöglicht die Rückgabe von Ergebnissen - \end{itemize} + \end{itemize} \begin{beispiel}[Callable\footnotemark] \inputminted[numbersep=5pt, tabsize=4]{java}{scripts/java/callable-example.java} diff --git a/documents/Programmierparadigmen/Lambda.tex b/documents/Programmierparadigmen/Lambda.tex index b35acc6..5f9a61f 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/Lambda.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/Lambda.tex @@ -52,7 +52,7 @@ Die Funktionsapplikation sei linksassoziativ. Es gilt also: \end{definition} \begin{definition}[$\alpha$-Äquivalenz]\xindex{Reduktion!Alpha ($\alpha$)}\xindex{Äquivalenz!Alpha ($\alpha$)}% - Zwei Terme $T_1, T_2$ heißen $\alpha$-Äquivalent, wenn $T_1$ durch + Zwei Terme $T_1, T_2$ heißen $\alpha$-Äquivalent, wenn $T_1$ durch konsistente Umbenennung in $T_2$ überführt werden kann. Man schreibt dann: $T_1 \overset{\alpha}{=} T_2$. @@ -115,7 +115,7 @@ Das bezeichnet die Lazy-Evaluation von booleschen Ausdrücken. \begin{beispiel}[Sharing] In dem Ausdruck \texttt{(plus, (fac, 42), (fac, 42))} muss der Teilausdruck - \texttt{(fac, 42)} nicht zwei mal ausgewertet werden, wenn er Seiteneffektfrei + \texttt{(fac, 42)} nicht zwei mal ausgewertet werden, wenn er Seiteneffektfrei ist. \end{beispiel} @@ -128,7 +128,7 @@ Die Call-By-Value Auswertungsreihenfolge wird in C und Java verwendet. Auch in Haskell werden arithmetische Ausdrücke in der Call-By-Name Auswertungsreihenfolge reduziert. \section{Church-Zahlen}\xindex{Church-Zahlen} -Im $\lambda$-Kalkül lässt sich jeder mathematische Ausdruck darstellen, also +Im $\lambda$-Kalkül lässt sich jeder mathematische Ausdruck darstellen, also insbesondere beispielsweise auch $\lambda x. x+3$. Aber \enquote{$3$} und \enquote{$+$} ist hier noch nicht das $\lambda$-Kalkül. @@ -152,7 +152,7 @@ Auch die gewohnten Operationen lassen sich so darstellen. \succ :&= \lambda n f z. f (n f z)\\ &= \lambda n. (\lambda f (\lambda z f (n f z))) \end{align*} - Dabei ist $n$ die Zahl. + Dabei ist $n$ die Zahl. Will man diese Funktion anwenden, sieht das wie folgt aus: \begin{align*} @@ -223,7 +223,7 @@ zurückgibt: \begin{beispiel}[Fixpunkt] \begin{bspenum} - \item $f_1: \mdr \rightarrow \mdr; f(x) = x^2 \Rightarrow x_1 = 0$ ist + \item $f_1: \mdr \rightarrow \mdr; f(x) = x^2 \Rightarrow x_1 = 0$ ist Fixpunkt von $f$, da $f(0) = 0$. $x_2 = 1$ ist der einzige weitere Fixpunkt dieser Funktion. \item $f_2: \mdn \rightarrow \mdn$ hat ganz $\mdn$ als Fixpunkte, also diff --git a/documents/Programmierparadigmen/Logik.tex b/documents/Programmierparadigmen/Logik.tex index 18e3013..8084430 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/Logik.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/Logik.tex @@ -6,7 +6,7 @@ Folgendes ist von \url{http://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik_erster_ Die Prädikatenlogik erster Stufe ist ein Teilgebiet der mathematischen Logik. Sie befasst sich mit der Struktur gewisser mathematischer Ausdrücke und dem logischen Schließen, mit dem man von derartigen Ausdrücken zu anderen gelangt. Dabei gelingt es, sowohl die Sprache als auch das Schließen rein syntaktisch, das heißt ohne Bezug zu mathematischen Bedeutungen, zu definieren. [...] -Wir beschreiben hier die verwendete Sprache auf rein syntaktische Weise, das heißt wir legen die betrachteten Zeichenketten, die wir Ausdrücke der Sprache nennen wollen, ohne Bezug auf ihre Bedeutung fest. +Wir beschreiben hier die verwendete Sprache auf rein syntaktische Weise, das heißt wir legen die betrachteten Zeichenketten, die wir Ausdrücke der Sprache nennen wollen, ohne Bezug auf ihre Bedeutung fest. \subsection{Symbole} Eine Sprache erster Stufe wird aus folgenden Symbolen aufgebaut: @@ -14,8 +14,8 @@ Eine Sprache erster Stufe wird aus folgenden Symbolen aufgebaut: \begin{itemize} \item $\forall, \exists, \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow, \neg, (, ), \equiv$ \item sogenannte Variablensymbole $v_0,v_1,v_2,\ldots$, - \item eine (möglicherweise leere) Menge $\mathcal C$ von Konstantensymbolen, - \item eine (möglicherweise leere) Menge $\mathcal F$ von Funktionssymbolen, + \item eine (möglicherweise leere) Menge $\mathcal C$ von Konstantensymbolen, + \item eine (möglicherweise leere) Menge $\mathcal F$ von Funktionssymbolen, \item eine (möglicherweise leere) Menge $\mathcal R$ von Relationssymbolen. \end{itemize} diff --git a/documents/Programmierparadigmen/MPI.tex b/documents/Programmierparadigmen/MPI.tex index 6cc186e..51c005f 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/MPI.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/MPI.tex @@ -2,14 +2,14 @@ \chapter{MPI} \index{MPI|(} -Message Passing Interface (kurz: MPI) ist ein Standard, -der den Nachrichtenaustausch bei parallelen Berechnungen auf +Message Passing Interface (kurz: MPI) ist ein Standard, +der den Nachrichtenaustausch bei parallelen Berechnungen auf verteilten Computersystemen beschreibt. Prozesse kommunizieren in MPI über sog. \textit{Kommunikatoren}. Ein Kommunikator (\texttt{MPI\_Comm}\xindex{MPI\_Comm@\texttt{MPI\_Comm}}) definiert eine Menge an Prozessen, die miteinander kommunizieren können. In dieser -Prozessgruppe hat jeder Prozess einen eindeutigen \textit{rank}\xindex{rank} über den die Prozesse +Prozessgruppe hat jeder Prozess einen eindeutigen \textit{rank}\xindex{rank} über den die Prozesse sich identifizieren können. \section{Erste Schritte} @@ -71,12 +71,12 @@ Senden einer Nachricht an einen anderen Prozeß innerhalb eines Kommunikators. ( \textbf{Parameter} \begin{itemize} - \item \textbf{buf}: Anfangsadresse des Sendepuffers - \item \textbf{count}: Anzahl der Elemente des Sendepuffers (nichtnegativ) + \item \textbf{buf}: Anfangsadresse des Sendepuffers + \item \textbf{count}: Anzahl der Elemente des Sendepuffers (nichtnegativ) \item \textbf{datatype}: Typ der Elemente des Sendepuffers (handle) (vgl. \cpageref{sec:MPI-Datatypes}) \item \textbf{dest}: Rang des Empfängerprozesses in comm (integer) - \item \textbf{tag}: message tag zur Unterscheidung verschiedener Nachrichten; -Ein Kommunikationsvorgang wird durch ein Tripel (Sender, Empfänger, tag) eindeutig beschrieben. + \item \textbf{tag}: message tag zur Unterscheidung verschiedener Nachrichten; +Ein Kommunikationsvorgang wird durch ein Tripel (Sender, Empfänger, tag) eindeutig beschrieben. \item \textbf{comm}: Kommunikator (handle) \end{itemize} @@ -86,7 +86,7 @@ Ein Kommunikationsvorgang wird durch ein Tripel (Sender, Empfänger, tag) eindeu \goodbreak \rule{\textwidth}{0.4pt}\xindex{MPI\_Recv@\texttt{MPI\_Recv}}% \inputminted[numbersep=5pt, tabsize=4]{c}{scripts/mpi/mpi-receive.c} -Empfangen einer Nachricht (blockierend) +Empfangen einer Nachricht (blockierend) \textbf{Parameter} \begin{itemize} @@ -96,7 +96,7 @@ Empfangen einer Nachricht (blockierend) \item \textbf{source}: Rang des Senderprozesses in comm oder \texttt{MPI\_ANY\_SOURCE} \item \textbf{tag}: message tag zur Unterscheidung verschiedener Nachrichten Ein Kommunikationsvorgang wird durch ein Tripel (Sender, Empfänger, tag) eindeutig beschrieben. Um Nachrichten mit beliebigen tags zu empfangen, benutzt man die Konstante \texttt{MPI\_ANY\_TAG}. - \item \textbf{comm}: Kommunikator (handle) + \item \textbf{comm}: Kommunikator (handle) \item \textbf{status}: Status, welcher source und tag angibt (\texttt{MPI\_Status}). Soll dieser Status ignoriert werden, kann \texttt{MPI\_STATUS\_IGNORE}\xindex{MPI\_STATUS\_IGNORE@\texttt{MPI\_STATUS\_IGNORE}} angegeben werden. \end{itemize} @@ -131,7 +131,7 @@ Teilt Daten von jedem Prozeß einer Gruppe an alle anderen auf. \textbf{Input-Parameter} \begin{itemize} - \item \textbf{sendbuf}: Startadresse des Sendepuffers + \item \textbf{sendbuf}: Startadresse des Sendepuffers \item \textbf{sendcount}: Anzahl der Elemente im Sendepuffer \item \textbf{sendtype}: Typ der Elemente des Sendepuffers (handle) (vgl. \cpageref{sec:MPI-Datatypes}) \item \textbf{recvcount}: Anzahl der Elemente, die von jedem einzelnen Prozeß empfangen werden @@ -150,12 +150,12 @@ Teilt Daten von jedem Prozeß einer Gruppe an alle anderen auf. \goodbreak \rule{\textwidth}{0.4pt}\xindex{MPI\_Bcast@\texttt{MPI\_Bcast}}% \inputminted[numbersep=5pt, tabsize=4]{c}{scripts/mpi/mpi-bcast.c} -Sendet eine Nachricht vom Prozess \texttt{root} an alle anderen Prozesse des +Sendet eine Nachricht vom Prozess \texttt{root} an alle anderen Prozesse des angegebenen Kommunikators. \textbf{Parameter} \begin{itemize} - \item \textbf{buffer}: Startadresse des Datenpuffers + \item \textbf{buffer}: Startadresse des Datenpuffers \item \textbf{count}: Anzahl der Elemente im Puffer \item \textbf{datatype}: Typ der Pufferelemente (handle) (vgl. \cpageref{sec:MPI-Datatypes}) \item \textbf{root}: Wurzelprozeß; der, welcher sendet @@ -169,10 +169,10 @@ Verteilt Daten vom Prozess \texttt{root} unter alle anderen Prozesse in der Grup \textbf{Input-Parameter} \begin{itemize} - \item \textbf{sendbuf}: Anfangsadresse des Sendepuffers (Wert ist lediglich für \texttt{root} signifikant) - \item \textbf{sendcount}: Anzahl der Elemente, die jeder Prozeß geschickt bekommen soll (integer) + \item \textbf{sendbuf}: Anfangsadresse des Sendepuffers (Wert ist lediglich für \texttt{root} signifikant) + \item \textbf{sendcount}: Anzahl der Elemente, die jeder Prozeß geschickt bekommen soll (integer) \item \textbf{sendtype}: Typ der Elemente in sendbuf (handle) (vgl. \cpageref{sec:MPI-Datatypes}) - \item \textbf{recvcount}: Anzahl der Elemente im Empfangspuffer. Meist ist es günstig, recvcount = sendcount zu wählen. + \item \textbf{recvcount}: Anzahl der Elemente im Empfangspuffer. Meist ist es günstig, recvcount = sendcount zu wählen. \item \textbf{recvtype}: Typ der Elemente des Empfangspuffers (handle) (vgl. \cpageref{sec:MPI-Datatypes}) \item \textbf{root}: Rang des Prozesses in comm, der die Daten versendet \item \textbf{comm}: Kommunikator (handle) @@ -190,10 +190,10 @@ Sammelt Daten, die in einer Prozeßgruppe verteilt sind, ein und verteilt das Re \textbf{Input-Parameter} \begin{itemize} - \item \textbf{sendbuf}: Startadresse des Sendepuffers + \item \textbf{sendbuf}: Startadresse des Sendepuffers \item \textbf{sendcount}: Anzahl der Elemente im Sendepuffer \item \textbf{sendtype}: Datentyp der Elemente des Sendepuffers (handle) (vgl. \cpageref{sec:MPI-Datatypes}) - \item \textbf{recvcount}: Anzahl der Elemente, die jeder einzelne Prozeß sendet (integer) + \item \textbf{recvcount}: Anzahl der Elemente, die jeder einzelne Prozeß sendet (integer) \item \textbf{recvtype}: Datentyp der Elemente im Empfangspuffer (handle) (vgl. \cpageref{sec:MPI-Datatypes}) \item \textbf{comm}: Kommunikator (handle) \end{itemize} @@ -216,7 +216,7 @@ Sammelt Daten, die in einer Prozeßgruppe verteilt sind, ein. \item \textbf{sendbuf}: Startadresse des Sendepuffers \item \textbf{sendcount}: Anzahl der Elemente im Sendepuffer \item \textbf{sendtype}: Datentyp der Elemente des Sendepuffers (handle) - \item \textbf{recvcount}: Anzahl der Elemente, die jeder einzelne Prozeß sendet (nur für \texttt{root} signifikant) + \item \textbf{recvcount}: Anzahl der Elemente, die jeder einzelne Prozeß sendet (nur für \texttt{root} signifikant) \item \textbf{recvtype}: Typ der Elemente im Empfangspuffer (handle) (nur für \texttt{root} signifikant) (vgl. \cpageref{sec:MPI-Datatypes}) \item \textbf{root}: Rang des empfangenden Prozesses in \texttt{comm} \item \textbf{comm}: Kommunikator (handle) diff --git a/documents/Programmierparadigmen/Parallelitaet.tex b/documents/Programmierparadigmen/Parallelitaet.tex index 5904f94..ba5adc0 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/Parallelitaet.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/Parallelitaet.tex @@ -2,8 +2,8 @@ \chapter{Parallelität} \index{Parallelität|(} Systeme mit mehreren Prozessoren sind heutzutage weit verbreitet. Inzwischen -sind sowohl in Desktop-PCs als auch Laptops, Tablets und Smartphones -\enquote{Multicore-CPUs} verbaut. Daher sollten auch Programmierer in der Lage +sind sowohl in Desktop-PCs als auch Laptops, Tablets und Smartphones +\enquote{Multicore-CPUs} verbaut. Daher sollten auch Programmierer in der Lage sein, Programme für mehrere Kerne zu entwickeln. Parallelverarbeitung kann auf mehreren Ebenen statt finden: @@ -37,14 +37,14 @@ vermittelt. \section{Architekturen} Es gibt zwei Ansätze, wie man Parallelrechner entwickeln kann: \begin{itemize} - \item \textbf{Gemeinsamer Speicher}: In diesem Fall kann jeder Prozessor + \item \textbf{Gemeinsamer Speicher}: In diesem Fall kann jeder Prozessor jede Speicherzelle ansprechen. Dies ist bei Multicore-CPUs der Fall. \item \textbf{Verteilter Speicher}: Es ist auch möglich, dass jeder Prozessor seinen eigenen Speicher hat, der nur ihm zugänglich ist. In diesem Fall schicken die Prozessoren Nachrichten (engl. \textit{message passing}\xindex{message passing}). Diese Technik wird in Clustern eingesetzt. \end{itemize} -Eine weitere Art, wie man Parallelverarbeitung klassifizieren kann, ist anhand +Eine weitere Art, wie man Parallelverarbeitung klassifizieren kann, ist anhand der verwendeten Architektur. Der der üblichen, sequentiellen Art der Programmierung, bei der jeder Befehl nach einander ausgeführt wird, liegt die sog. \textbf{Von-Neumann-Architektur}\xindex{Von-Neumann-Architektur} zugrunde. @@ -91,7 +91,7 @@ MISD ist nicht so richtig sinnvoll. \item ausschließlich Probleme aus $\mathcal{P}$, also: $\mathcal{NC} \subseteq \mathcal{P}$ \end{bspenum} - Es ist nicht klar, ob $\mathcal{P} \subseteq \mathcal{NC}$ gilt. Bisher + Es ist nicht klar, ob $\mathcal{P} \subseteq \mathcal{NC}$ gilt. Bisher wurde also noch kein Problem $P \in \mathcal{P}$ gefunden mit $P \notin \mathcal{NC}$. \end{beispiel} @@ -126,7 +126,7 @@ Die Prozesskommunikation wird durch einige Probleme erschwert: \end{beispiel} \begin{definition}[Semaphore]\xindex{Semaphore}% - Eine Semaphore $S=(c, r, f, L)$ ist eine Datenstruktur, die aus einer Ganzzahl, den beiden + Eine Semaphore $S=(c, r, f, L)$ ist eine Datenstruktur, die aus einer Ganzzahl, den beiden atomaren Operationen $r$ = \enquote{reservieren probieren} und $f$ = \enquote{freigeben} sowie einer Liste $L$ besteht. @@ -142,12 +142,12 @@ Die Prozesskommunikation wird durch einige Probleme erschwert: Semaphoren können eingesetzt werden um Wettlaufsituationen zu verhindern. \begin{definition}[Monitor]\xindex{Monitor}% - Ein Monitor $M = (m, c)$ ist ein Tupel, wobei $m$ ein Mutex und $c$ eine + Ein Monitor $M = (m, c)$ ist ein Tupel, wobei $m$ ein Mutex und $c$ eine Bedingung ist. \end{definition} -Monitore können mit einer Semaphore, bei der $c=1$ ist, implementiert werden. -Monitore sorgen dafür, dass auf die Methoden der Objekte, die sie repräsentieren, +Monitore können mit einer Semaphore, bei der $c=1$ ist, implementiert werden. +Monitore sorgen dafür, dass auf die Methoden der Objekte, die sie repräsentieren, zu jedem Zeitpunkt nur ein mal ausgeführt werden können. Sie sorgen also für \textit{gegenseitigen Ausschluss}. @@ -191,7 +191,7 @@ Interessante Stichwörder sind noch: \end{itemize} \section{Message Passing Modell} -Das Message Passing Modell ist eine Art, wie man parallel laufende Programme +Das Message Passing Modell ist eine Art, wie man parallel laufende Programme schreiben kann. Dabei tauschen die Prozesse Nachrichten aus um die Arbeit zu verteilen. diff --git a/documents/Programmierparadigmen/Programmierparadigmen.tex b/documents/Programmierparadigmen/Programmierparadigmen.tex index 15e5a2e..8b2051b 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/Programmierparadigmen.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/Programmierparadigmen.tex @@ -93,10 +93,10 @@ \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} } -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Programmierparadigmen}, - pdftitle = {Programmierparadigmen} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Programmierparadigmen}, + pdftitle = {Programmierparadigmen} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % The patch for minted: http://tex.stackexchange.com/a/168021/5645 @@ -178,9 +178,9 @@ %\clearpage \input{Abkuerzungen} \clearpage -\input{Definitionen} +\input{Definitionen} \clearpage -\input{Symbolverzeichnis} +\input{Symbolverzeichnis} \clearpage \addcontentsline{toc}{chapter}{Stichwortverzeichnis} \renewcommand{\indexname}{Stichwortverzeichnis} diff --git a/documents/Programmierparadigmen/Programmiersprachen.tex b/documents/Programmierparadigmen/Programmiersprachen.tex index a04289d..aa22fa4 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/Programmiersprachen.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/Programmiersprachen.tex @@ -9,7 +9,7 @@ Ein Beispiel für eine Sprachspezifikation ist die \textit{Java Language Specification}.\footnote{Zu finden unter \url{http://docs.oracle.com/javase/specs/}} Obwohl es kein guter Stil ist, ist auch eine Referenzimplementierung eine Form der Spezifikation. -Im Folgenden wird darauf eingegangen, anhand welcher Kriterien man +Im Folgenden wird darauf eingegangen, anhand welcher Kriterien man Programmiersprachen unterscheiden kann. \section{Abstraktion} @@ -18,7 +18,7 @@ Wie nah ist sie an einer mathematisch / algorithmischen Beschreibung? \begin{definition}\xindex{Maschinensprache}\xindex{Befehlssatz}% Eine \textbf{Maschinensprache} beinhaltet ausschließlich Instruktionen, die direkt - von einer CPU ausgeführt werden können. Die Menge dieser Instruktionen + von einer CPU ausgeführt werden können. Die Menge dieser Instruktionen sowie deren Syntax wird \textbf{Befehlssatz} genannt. \end{definition} @@ -49,8 +49,8 @@ Wie nah ist sie an einer mathematisch / algorithmischen Beschreibung? \end{beispiel} \begin{definition}[Domänenspezifische Sprache]\xindex{Sprache!domänenspezifische}% - Eine domänenspezifische Sprache (engl. domain-specific language; kurz DSL) - ist eine formale Sprache, die für ein bestimmtes Problemfeld + Eine domänenspezifische Sprache (engl. domain-specific language; kurz DSL) + ist eine formale Sprache, die für ein bestimmtes Problemfeld entworfen wurde. \end{definition} @@ -68,7 +68,7 @@ man Probleme löst. \begin{definition}[Imperatives Paradigma]\xindex{Programmierung!imperative}% In der \textit{imperativen Programmierung} betrachtet man Programme als - eine Folge von Anweisungen, die vorgibt auf welche Art etwas + eine Folge von Anweisungen, die vorgibt auf welche Art etwas Schritt für Schritt gemacht werden soll. \end{definition} @@ -80,7 +80,7 @@ man Probleme löst. \begin{definition}[Prozedurales Paradigma]\xindex{Programmierung!prozedurale}% Die prozeduralen Programmierung ist eine Erweiterung des imperativen - Programmierparadigmas, bei dem man versucht die Probleme in + Programmierparadigmas, bei dem man versucht die Probleme in kleinere Teilprobleme zu zerlegen. \end{definition} @@ -106,7 +106,7 @@ Wichtige Vorteile von funktionalen Programmiersprachen sind: \end{itemize} \begin{definition}[Logisches Paradigma]\xindex{Programmierung!logische}% - Das \textbf{logische Programmierparadigma} baut auf der formalen Logik auf. + Das \textbf{logische Programmierparadigma} baut auf der formalen Logik auf. Man verwendet \textbf{Fakten} und \textbf{Regeln} und einen Inferenzalgorithmus um Probleme zu lösen. \end{definition} @@ -129,7 +129,7 @@ Programmiersprachen können anhand der Art ihrer Typisierung unterschieden werde \end{definition} \begin{beispiel}[Typisierungsstärke] - Die stärke der Typisierung ist abhängig von dem Anwendungszenario. So hat C im + Die stärke der Typisierung ist abhängig von dem Anwendungszenario. So hat C im Gegensatz zu Python, Java oder Haskell beispielsweise keine booleschen Datentypen. Im Gegensatz zu Haskell hat Java keine GADTs\footnote{generalized algebraic data type}. @@ -154,9 +154,9 @@ Programmiersprachen können anhand der Art ihrer Typisierung unterschieden werde \begin{definition}[Statische und dynamische Typisierung]\xindex{Typisierung!statische}\xindex{Typisierung!dynamische}% \begin{defenum} - \item Eine Programmiersprache heißt \textbf{statisch typisiert}, wenn eine + \item Eine Programmiersprache heißt \textbf{statisch typisiert}, wenn eine Variable niemals ihren Typ ändern kann. - \item Eine Programmiersprache heißt \textbf{dynamisch typisiert}, wenn eine + \item Eine Programmiersprache heißt \textbf{dynamisch typisiert}, wenn eine Variable ihren Typ ändern kann. \end{defenum} \end{definition} @@ -188,7 +188,7 @@ als Container vor. \begin{definition}[Explizite und implizite Typisierung]\xindex{Typisierung!explizite}\xindex{Typisierung!implizite}% Sei $X$ eine Programmiersprache. \begin{defenum} - \item $X$ heißt \textbf{explizit typisiert}, wenn für jede + \item $X$ heißt \textbf{explizit typisiert}, wenn für jede Variable der Typ explizit genannt wird. \item $X$ heißt \textbf{implizit typisiert}, wenn der Typ einer Variable aus den verwendeten Operationen abgeleitet werden kann. @@ -219,7 +219,7 @@ Vorteile impliziter Typisierung sind: \begin{definition}[Duck-Typing und strukturelle Typisierung]\xindex{Duck-Typing}\xindex{Typisierung!strukturelle}% \begin{defenum} - \item Eine Programmiersprache verwendet \textbf{Duck-Typing}, wenn die Parameter einer + \item Eine Programmiersprache verwendet \textbf{Duck-Typing}, wenn die Parameter einer Methode nicht durch die explizite Angabe von Typen festgelegt werden, sondern durch die Art wie die Parameter verwendet werden. \item Eine Programmiersprache verwendet \textbf{strukturelle Typisierung}, wenn die @@ -228,7 +228,7 @@ Vorteile impliziter Typisierung sind: \end{defenum} \end{definition} -Strukturelle Typsierung wird auch \textit{typsicheres Duck-Typing} genannt. +Strukturelle Typsierung wird auch \textit{typsicheres Duck-Typing} genannt. Der Satz, den man im Zusammenhang mit Duck-Typing immer höhrt, ist \enquote{When I see a bird that walks like a duck and swims like a duck and quacks like a duck, I call that bird a duck.} @@ -269,11 +269,11 @@ Meistens meint man insbesondere unerwünschte oder überaschende Zustandsänderu A_1 &= \left(X, Y, f(b) \right)\\ A_2 &= \left(a, b, Z \right) \end{align*} - Großbuchstaben stehen dabei für Variablen und Kleinbuchstaben für atomare + Großbuchstaben stehen dabei für Variablen und Kleinbuchstaben für atomare Ausdrücke. - Ersetzt man in $A_1$ nun $X$ durch $a$, $Y$ durch $b$ und in $A_2$ - die Variable $Z$ durch $f\left(b\right)$, so sind sie gleich oder + Ersetzt man in $A_1$ nun $X$ durch $a$, $Y$ durch $b$ und in $A_2$ + die Variable $Z$ durch $f\left(b\right)$, so sind sie gleich oder \enquote{unifiziert}. Man erhält \begin{align*} @@ -286,7 +286,7 @@ Meistens meint man insbesondere unerwünschte oder überaschende Zustandsänderu \end{beispiel} \begin{definition}[Allgemeinster Unifikator]\xindex{Unifikator!allgemeinster}% - Ein Unifikator $\sigma$ heißt \textit{allgemeinster Unifikator}, wenn + Ein Unifikator $\sigma$ heißt \textit{allgemeinster Unifikator}, wenn es für jeden Unifikator $\gamma$ eine Substitution $\delta$ mit \[\gamma = \delta \circ \sigma\] gibt. @@ -297,7 +297,7 @@ Meistens meint man insbesondere unerwünschte oder überaschende Zustandsänderu \[C = \Set{f(a,D) = Y, X = g(b), g(Z) = X}\] eine Menge von Gleichungen über Terme. - Dann ist + Dann ist \[\gamma = [Y \text{\pointer} f(a,b), D \text{\pointer} b, X \text{\pointer} g(b), Z \text{\pointer} b]\] ein Unifikator für $C$. Jedoch ist \[\sigma = [Y \text{\pointer} f(a,D), X \text{\pointer} g(b), Z \text{\pointer} b]\] diff --git a/documents/Programmierparadigmen/Programmiertechniken.tex b/documents/Programmierparadigmen/Programmiertechniken.tex index f0d5799..701f7c1 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/Programmiertechniken.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/Programmiertechniken.tex @@ -39,7 +39,7 @@ \end{bspenum} \end{beispiel} -Ein Problem von rekursiven Funktionen in Computerprogrammen ist der +Ein Problem von rekursiven Funktionen in Computerprogrammen ist der Speicherbedarf. Für jeden rekursiven Aufruf müssen alle lokalen Variablen der aufrufenden Funktion (\enquote{stack frame}) gespeichert bleiben, bis der rekursive Aufruf beendet ist. Im Fall der Fibonacci-Funktion @@ -47,7 +47,7 @@ sieht ist der Call-Stack in \cref{fig:fib-callstack} abgebildet. \begin{figure}[htp] \centering - \includegraphics*[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/fib-callstack.png} + \includegraphics*[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/fib-callstack.png} \caption{Call-Stack der Fibonacci-Funktion} \label{fig:fib-callstack} \end{figure} @@ -108,7 +108,7 @@ Auf Englisch heißen endrekursive Funktionen \textit{tail recursive}. \end{bspenum} \end{beispiel} -Wenn eine rekursive Funktion nicht terminiert oder wenn +Wenn eine rekursive Funktion nicht terminiert oder wenn \index{Rekursion|)} \section{Backtracking} @@ -135,14 +135,14 @@ Bekannte Beispiele sind: \texttt{map} wendet \texttt{function} auf jedes einzelne Element aus \texttt{list} an. \item \texttt{filter(function, list)}\xindex{filter}\\ - \texttt{filter} gibt eine Liste aus Elementen zurück, für + \texttt{filter} gibt eine Liste aus Elementen zurück, für die \texttt{function} mit \texttt{true} evaluiert. \item \texttt{reduce(function, list)}\xindex{reduce}\\ \texttt{function} ist für zwei Elemente aus \texttt{list} definiert und gibt ein Element des gleichen Typs zurück. Nun steckt \texttt{reduce} zuerst zwei Elemente aus \texttt{list} in \texttt{function}, merkt sich dann das Ergebnis und nimmt - so lange weitere Elemente aus \texttt{list}, bis jedes + so lange weitere Elemente aus \texttt{list}, bis jedes Element genommen wurde.\\ Bei \texttt{reduce} ist die Assoziativität wichtig (vgl. \cpageref{bsp:foldl-und-foldr}) \end{itemize} diff --git a/documents/Programmierparadigmen/Prolog.tex b/documents/Programmierparadigmen/Prolog.tex index da86db7..968d2db 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/Prolog.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/Prolog.tex @@ -19,7 +19,7 @@ ausführbare Datei erzeugt. \section{Syntax} In Prolog gibt es Prädikate, die Werte haben. Prädikate werden immer klein geschrieben. So kann das Prädikat \texttt{farbe} mit den Werten \texttt{rot}, \texttt{gruen}, -\texttt{blau}, \texttt{gelb} - welche auch immer klein geschrieben werden - wie +\texttt{blau}, \texttt{gelb} - welche auch immer klein geschrieben werden - wie folgt definiert werden: \inputminted[numbersep=5pt, tabsize=4]{prolog}{scripts/prolog/praedikat-farbe.pl} @@ -78,7 +78,7 @@ durchgeführt werden: \inputminted[numbersep=5pt, tabsize=4]{prolog}{scripts/prolog/arithmetik.pl} -Dabei müssen alle Variablen, die im Term rechts von \texttt{is} vorkommen, +Dabei müssen alle Variablen, die im Term rechts von \texttt{is} vorkommen, istanziiert sein: \inputminted[numbersep=5pt, tabsize=4]{prolog}{scripts/prolog/arithmetik-fail.pl} @@ -107,13 +107,13 @@ in \texttt{Liste} vorkommt, realisiert man wie folgt: \inputminted[numbersep=5pt, tabsize=4]{prolog}{scripts/prolog/liste-member.pl}\xindex{member} -Eine Regel \texttt{append(A, B, C)}, die die Listen \texttt{A} und \texttt{B} +Eine Regel \texttt{append(A, B, C)}, die die Listen \texttt{A} und \texttt{B} zusammenfügt und als Liste \texttt{C} speichert, kann wie folgt erstellt werden: \inputminted[numbersep=5pt, tabsize=4]{prolog}{scripts/prolog/liste-append.pl} -Die erste Regel besagt, dass das Hinzufügen der leeren Liste zu einer Liste +Die erste Regel besagt, dass das Hinzufügen der leeren Liste zu einer Liste \texttt{L} immer noch die Liste \texttt{L} ist. Die zweite Regel besagt: Wenn die Liste \texttt{R} und \texttt{L} die Liste \texttt{T} @@ -128,7 +128,7 @@ Die Länge einer Liste \texttt{L} kann durch folgendes Prädikat ermittelt werde \inputminted[numbersep=5pt, tabsize=4]{prolog}{scripts/prolog/list-length.pl} -\underline{Hinweis}: Da es das Prädikat \texttt{length(?List, ?Int)} bereits gibt, +\underline{Hinweis}: Da es das Prädikat \texttt{length(?List, ?Int)} bereits gibt, musste dieses Prädikat \texttt{lengthof} genannt werden. Weitere nützliche Standard-Listenprädikate sind:\xindex{sort(+List, -Sorted)@\texttt{sort(+List, -Sorted)}} @@ -151,10 +151,10 @@ Bäume können in Prolog wie folgt erstellt werden: \label{fig:binary-tree-t2} \end{figure} -Dabei ist +Dabei ist \begin{itemize} \item \texttt{T0} der einzelne Knoten \texttt{a}, - \item \texttt{T1} der Baum, der \texttt{a} als Wurzel und \texttt{b} und + \item \texttt{T1} der Baum, der \texttt{a} als Wurzel und \texttt{b} und \texttt{c} als Kinder hat, \item \texttt{T2} ist in \cref{fig:binary-tree-t2} dargestellt und \item \texttt{T3} ist der leere Baum. @@ -169,7 +169,7 @@ um einen Binärbaum handelt: \inputminted[numbersep=5pt, tabsize=4]{prolog}{scripts/prolog/istree.pl} \subsection{Balancierte Binärbaumkonstruktion} -Das folgende Prädikate \texttt{cbal\_tree(n, T)} erstellt einen balancierten +Das folgende Prädikate \texttt{cbal\_tree(n, T)} erstellt einen balancierten Binärbaum mit \texttt{n} Knoten in \texttt{T}: \inputminted[numbersep=5pt, tabsize=4]{prolog}{scripts/prolog/balancedtreeconstruction.pl} diff --git a/documents/Programmierparadigmen/Scala.tex b/documents/Programmierparadigmen/Scala.tex index dc63403..6e02714 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/Scala.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/Scala.tex @@ -84,12 +84,12 @@ Listen können erstellt und durchgegangen werden: \subsection{Logische Operatoren} \begin{table}[H] - \centering + \centering \begin{tabular}{CCCC} UND & ODER & Wahr & Falsch \\ \hline\hline \&\& & || & true & false \\[4ex] GLEICH & UNGLEICH & NICHT & ~ \\ \hline\hline - == & != & ! & ~ \\ + == & != & ! & ~ \\ \end{tabular} \caption{Logische Operatoren in Scala}\xindex{Logische Operatoren!Scala} \end{table} diff --git a/documents/Programmierparadigmen/Typinferenz.tex b/documents/Programmierparadigmen/Typinferenz.tex index 56bdd6a..bf56b91 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/Typinferenz.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/Typinferenz.tex @@ -21,7 +21,7 @@ \texttt{bool} durch ein einzelnes Bit repräsentiert werden oder eine Bitfolge zugrunde liegen. -Auf Typen sind Operationen definiert. So kann man auf numerischen Typen eine +Auf Typen sind Operationen definiert. So kann man auf numerischen Typen eine Addition (+), eine Subtraktion (-), eine Multiplikation (*) und eine Division (/) definieren.\\ Ich schreibe hier bewusst \enquote{eine} Multiplikation und nicht \enquote{die} @@ -40,7 +40,7 @@ unterschiedlich wählen. \underline{Hinweis:} Üblicherweise werden kleine griechische Buchstaben ($\alpha, \beta, \tau_1, \tau_2, \dots$) als Typvariablen gewählt. -Genau wie Typen bestimmte Operationen haben, die auf ihnen definiert sind, +Genau wie Typen bestimmte Operationen haben, die auf ihnen definiert sind, kann man sagen, dass Operationen bestimmte Typen, auf die diese Anwendbar sind. So ist \[\alpha+\beta\] für numerische $\alpha$ und $\beta$ wohldefiniert, auch wenn $\alpha$ und $\beta$ boolesch sind @@ -97,7 +97,7 @@ Wichtig ist, dass man sich von unten nach oben vorarbeitet. Dabei ist der lange Strich kein Bruchstrich, sondern ein Symbol der Logik das als -\textbf{Schlussstrich}\xindex{Schlussstrich} bezeichnet wird. Dabei ist der +\textbf{Schlussstrich}\xindex{Schlussstrich} bezeichnet wird. Dabei ist der Zähler als Voraussetzung und der Nenner als Schlussfolgerung zu verstehen. \begin{definition}[Typsubstituition]\xindex{Typsubstituition}% @@ -140,21 +140,21 @@ Das Programm $P = \text{let } f = \lambda x.\ 2 \text{ in } f\ (f\ \text{\texttt ist eine polymorphe Hilfsfunktion, da sie beliebige Werte auf 2 Abbildet. Auch solche Ausdrücke sollen typisierbar sein. -Die Kodierung +Die Kodierung \[\text{let } x = t_1 \text{ in } t_2\] ist bedeutungsgleich mit \[(\lambda x.\ t_2) t_1\] -Das Problem ist, dass +Das Problem ist, dass \[P = \lambda f. \ f (f\ \text{\texttt{true}})\ (\lambda x.\ 2)\] so nicht typisierbar ist, da in \[\ABS \frac{f: \tau_f \vdash f\ (f\ \text{\texttt{true}}): \dots}{\vdash \lambda f.\ f\ (f\ \text{\texttt{true}}): \dots}\] -müsste +müsste \[\tau_f = \text{bool} \rightarrow \text{int}\] und zugleich \[\tau_f = \text{int} \rightarrow \text{int}\] in den Typkontext eingetragen werden. Dies ist jedoch nicht möglich. Stattdessen -wird +wird \[\text{let} x = t_1 \text{ in } t_2\] als neues Konstrukt im $\lambda$-Kalkül erlaubt. @@ -219,7 +219,7 @@ Im Folgenden wird die Typinferenz für einige $\lambda$-Funktionen durchgeführt \subsection[$\lambda x.\ \lambda y.\ x\ y$]{$\lambda x.\ \lambda y.\ x\ y$\footnote{Lösung von Übungsblatt 6, WS 2013 / 2014}} Gesucht ist ein Typ $\tau$, sodass sich $\vdash \lambda x.\ \lambda y.\ x\ y: \tau$ mit einem Ableitungsbaum nachweisen lässt. Es gibt mehrere solche $\tau$, aber -wir suchen das allgemeinste. Die Regeln unseres Typsystems (siehe \cpageref{def:typsystem-t1}) +wir suchen das allgemeinste. Die Regeln unseres Typsystems (siehe \cpageref{def:typsystem-t1}) sind \textit{syntaxgerichtet}, d.~h. zu jedem $\lambda$-(Teil)-Term gibt es genau eine passende Regel. @@ -229,7 +229,7 @@ von folgender Gestalt ist. Dabei sind $\alpha_i$ Platzhalter: \[\ABS \frac{\ABS\frac{\textstyle\APP \frac{\textstyle\VAR \frac{(x: \alpha_2, y: \alpha_4)\ (x) = \alpha_6}{x: \alpha_2, y: \alpha_4 \vdash x: \alpha_6}\ \ \VAR \frac{(x:\alpha_2, y: \alpha_4)\ (y) = \alpha_7}{x: \alpha_2, y: \alpha_4 \vdash y : \alpha_7}}{\textstyle x: \alpha_2, y: \alpha_4 \vdash x\ y: \alpha_5}}{x:\alpha_2 \vdash \lambda y.\ x\ y\ :\ \alpha_3}}{\vdash \lambda x.\ \lambda \ y.\ x\ y: \alpha_1}\] Das was wir haben wollen steht am Ende, also unter dem unterstem Schlussstrich. -Dann bedeutet die letzte Zeile +Dann bedeutet die letzte Zeile \[\vdash \lambda x.\ \lambda \ y.\ x\ y: \alpha_1\] Ohne (weitere) Voraussetzungen lässt sich sagen, dass der Term @@ -247,7 +247,7 @@ Diese Zeile ist so zu lesen: Mit der Voraussetzung, dass $x$ vom Typ $\alpha_2$ ist, lässt sich syntaktisch Folgern, dass der Term $\lambda y.\ x\ y$ vom Typ $\alpha_3$ ist. -\underline{Hinweis:} Alles was in Zeile $i$ dem $\vdash$ steht, steht auch in +\underline{Hinweis:} Alles was in Zeile $i$ dem $\vdash$ steht, steht auch in jedem \enquote{Nenner} in Zeile $j < i$ vor jedem einzelnen $\vdash$. Folgende Typgleichungen $C$ lassen sich aus dem Ableitungsbaum ablesen: @@ -286,7 +286,7 @@ Zuerst erstellt man den Ableitungsbaum: Dies ergibt die Constraint-Menge \begin{align} - C&= \Set{\alpha_1 = \alpha_2 \rightarrow \alpha_3} &\text{$\ABS$-Regel}\label{eq:bsp2.c1}\\ + C&= \Set{\alpha_1 = \alpha_2 \rightarrow \alpha_3} &\text{$\ABS$-Regel}\label{eq:bsp2.c1}\\ &\cup \Set{\alpha_5 = \alpha_4 \rightarrow \alpha_3} &\text{$\APP$-Regel}\label{eq:bsp2.c2}\\ &\cup \Set{\alpha_5 = \alpha_2} &\text{Linke $\VAR$-Regel}\label{eq:bsp2.c3}\\ &\cup \Set{\alpha_4 = \alpha_2} &\text{Rechte $\VAR$-Regel}\label{eq:bsp2.c4} @@ -299,6 +299,6 @@ Also lässt sich \cref{eq:bsp2.c2} umformulieren: \[\alpha_2 = \alpha_2 \rightarrow \alpha_3\] Offensichtlich ist diese Bedingung nicht erfüllbar. Daher ist ist die Selbstapplikation -nicht typisierbar. Dies würde im Unifikationsalgorithmus +nicht typisierbar. Dies würde im Unifikationsalgorithmus (vgl. \cref{alg:klassischer-unifikationsalgorithmus}) durch den \textit{occur check} festgestellt werden. \ No newline at end of file diff --git a/documents/Programmierparadigmen/Vorwort.tex b/documents/Programmierparadigmen/Vorwort.tex index 7e4fec2..6684adf 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/Vorwort.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/Vorwort.tex @@ -1,7 +1,7 @@ %!TEX root = Programmierparadigmen.tex \chapter*{Vorwort} Dieses Skript wird/wurde im Wintersemester 2013/2014 -von Martin Thoma zur Vorlesung von Prof.~Dr.~Snelting und Jun.-Prof.~Dr.~Hummel +von Martin Thoma zur Vorlesung von Prof.~Dr.~Snelting und Jun.-Prof.~Dr.~Hummel geschrieben. Dazu wurden die Folien von Prof.~Dr.~Snelting und Jun.-Prof.~Dr.~Hummel benutzt, die Struktur sowie einige Beispiele, Definitionen und Sätze übernommen. @@ -30,7 +30,7 @@ geschickt werden. \section*{Erforderliche Vorkenntnisse} Grundlegende Kenntnisse vom Programmieren, insbesondere mit Java, wie sie am KIT in \enquote{Programmieren} vermittelt werden, werden -vorausgesetzt. Außerdem könnte ein grundlegendes Verständnis für +vorausgesetzt. Außerdem könnte ein grundlegendes Verständnis für das $\mathcal{O}$-Kalkül aus \enquote{Grundbegriffe der Informatik} hilfreich sein. Die Unifikation wird wohl auch in \enquote{Formale Systeme} diff --git a/documents/Programmierparadigmen/X10.tex b/documents/Programmierparadigmen/X10.tex index 0d99bc5..3ad4908 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/X10.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/X10.tex @@ -8,12 +8,12 @@ Wie in Scala sind auch in X10 Funktionen First-Class Citizens. X10 nutzt das PGAS-Modell: \begin{definition}[PGAS\footnotemark]\xindex{PGAS}% - PGAS (partitioned global address space) ist ein Programmiermodell für - Mehrprozessorsysteme und massiv parallele Rechner. Dabei wird der globale - Adressbereich des Arbeitsspeichers logisch unterteilt. Jeder Prozessor - bekommt jeweils einen dieser Adressbereiche als lokalen Speicher zugeteilt. - Trotzdem können alle Prozessoren auf jede Speicherzelle zugreifen, wobei auf - den lokalen Speicher mit wesentlich höherer Geschwindigkeit zugegriffen + PGAS (partitioned global address space) ist ein Programmiermodell für + Mehrprozessorsysteme und massiv parallele Rechner. Dabei wird der globale + Adressbereich des Arbeitsspeichers logisch unterteilt. Jeder Prozessor + bekommt jeweils einen dieser Adressbereiche als lokalen Speicher zugeteilt. + Trotzdem können alle Prozessoren auf jede Speicherzelle zugreifen, wobei auf + den lokalen Speicher mit wesentlich höherer Geschwindigkeit zugegriffen werden kann als auf den von anderen Prozessoren. \end{definition} \footnotetext{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/PGAS}} @@ -50,12 +50,12 @@ Eine Besonderheit sind sog. \textit{Constrianed types}\xindex{types!constrained} \subsection{Logische Operatoren} \begin{table}[H] - \centering + \centering \begin{tabular}{CCCC} UND & ODER & Wahr & Falsch \\ \hline\hline \&\& & || & true & false \\[4ex] GLEICH & UNGLEICH & NICHT & ~ \\ \hline\hline - == & != & ! & ~ \\ + == & != & ! & ~ \\ \end{tabular} \caption{Logische Operatoren in X10}\xindex{Logische Operatoren!X10} \end{table} @@ -107,7 +107,7 @@ Es wird eine Deep-Copy des lokalen Objektgraphen auf den place \texttt{p} erstel \inputminted[numbersep=5pt, tabsize=4]{scala}{scripts/x10/at-example.x10} \section{Datentypen} -Byte, UByte, Short, UShort, Char, Int, UInt, Long, ULong, Float, Double, Boolean, +Byte, UByte, Short, UShort, Char, Int, UInt, Long, ULong, Float, Double, Boolean, Complex, String, Point, Region, Dist, Array \subsection{Arrays}% diff --git a/documents/Programmierparadigmen/figures/haskell-type-classes.tex b/documents/Programmierparadigmen/figures/haskell-type-classes.tex index 8934d7a..1f6228b 100644 --- a/documents/Programmierparadigmen/figures/haskell-type-classes.tex +++ b/documents/Programmierparadigmen/figures/haskell-type-classes.tex @@ -20,7 +20,7 @@ \node[node] (MonadPlus) {\textbf{MonadPlus}\\IO, (), Maybe}; & \node[node] (Functor) {\textbf{Functor}\\IO, (), Maybe}; & \\ - }; + }; \draw[edge] (Eq) -- (Ord); \draw[edge] (Eq) -- (Num); \draw[edge] (Show) -- (Num); diff --git a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Analyse.tex b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Analyse.tex index 761373f..8b0975c 100644 --- a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Analyse.tex +++ b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Analyse.tex @@ -3,14 +3,14 @@ dass sich nach Ausführung von DYCOS für einen unbeschrifteten Knoten mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $(|\L_t|-1)\cdot e^{-l \cdot b^2 / 2}$ eine Knotenbeschriftung ergibt, deren relative Häufigkeit weniger als $b$ der häufigsten Beschriftung ist. -Dabei ist $|\L_t|$ die Anzahl der Beschriftungen und $l$ die Länge der +Dabei ist $|\L_t|$ die Anzahl der Beschriftungen und $l$ die Länge der Random-Walks. Außerdem wurde experimentell anhand des DBLP-Datensatzes\footnote{http://dblp.uni-trier.de/} und des CORA-Datensatzes\footnote{http://people.cs.umass.edu/~mccallum/data/cora-classify.tar.gz} gezeigt (vgl. \cref{tab:datasets}), dass die Klassifikationsgüte nicht wesentlich von der Anzahl der Wörter mit höchstem Gini-Koeffizient $m$ abhängt. Des Weiteren betrug die Ausführungszeit -auf einem Kern eines Intel Xeon $\SI{2.5}{\GHz}$ Servers mit +auf einem Kern eines Intel Xeon $\SI{2.5}{\GHz}$ Servers mit $\SI{32}{\giga\byte}$ RAM für den DBLP-Datensatz unter $\SI{25}{\second}$, für den CORA-Datensatz sogar unter $\SI{5}{\second}$. Dabei wurde eine für CORA eine Klassifikationsgüte von 82\% - 84\% und auf den DBLP-Daten diff --git a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Ausarbeitung-Thoma.tex b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Ausarbeitung-Thoma.tex index c191561..d008a22 100644 --- a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Ausarbeitung-Thoma.tex +++ b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Ausarbeitung-Thoma.tex @@ -1,86 +1,86 @@ -\documentclass[runningheads]{llncs} - -%---- Sonderzeichen-------% -\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts -\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts -\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf -%---- Codierung----% -\usepackage{graphicx} -\usepackage{url} -\usepackage{llncsdoc} -%----- Mathematischer Zeichenvorrat---% -\usepackage{amsmath} -\usepackage{amssymb} -\usepackage{enumerate} -% fuer die aktuelle Zeit -\usepackage{scrtime} -\usepackage{listings} -\usepackage{hyperref} -\usepackage{cite} -\usepackage{parskip} -\usepackage[framed,amsmath,thmmarks,hyperref]{ntheorem} -\usepackage{algorithm} -\usepackage[noend]{algpseudocode} -\usepackage{csquotes} -\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes} -\usepackage{subfig} % multiple figures in one -\usepackage{caption} -\usepackage{tikz} -\usepackage{enumitem} -\usepackage[german,nameinlink]{cleveref} -\usepackage{braket} -\allowdisplaybreaks -\usetikzlibrary{backgrounds} -\usepackage[binary-units=true]{siunitx} -\usepackage{mystyle} - -\setcounter{tocdepth}{3} -\setcounter{secnumdepth}{3} - -\hypersetup{ - pdftitle = {Über die Klassifizierung von Knoten in dynamischen Netzwerken mit textuellen Inhalten}, - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {DYCOS} -} - -\begin{document} - -\mainmatter -\title{Über die Klassifizierung von Knoten in dynamischen Netzwerken mit Inhalt} -\titlerunning{Über die Klassifizierung von Knoten in dynamischen Netzwerken mit Inhalt} -\author{Martin Thoma} -\authorrunning{Proseminar Netzwerkanalyse} -\institute{Betreuer: Christopher Oßner} -\date{17.01.2014} -\maketitle - -\begin{abstract}% -\input{abstract} -\end{abstract} - -\section{Einleitung} -\input{Einleitung} - -\section{Related Work} -\input{Related-Work} - -\section{DYCOS} -\input{DYCOS-Algorithmus} - -\section{Analyse des DYCOS-Algorithmus} -\input{Analyse} - -\section{Probleme des DYCOS-Algorithmus} -\input{SchwaechenVerbesserungen} - -\section{Ausblick} -\input{Ausblick} - -% Normaler LNCS Zitierstil -%\bibliographystyle{splncs} -\bibliographystyle{itmalpha} -% TODO: Ändern der folgenden Zeile, damit die .bib-Datei gefunden wird -\bibliography{literatur} - -\end{document} - +\documentclass[runningheads]{llncs} + +%---- Sonderzeichen-------% +\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts +\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts +\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf +%---- Codierung----% +\usepackage{graphicx} +\usepackage{url} +\usepackage{llncsdoc} +%----- Mathematischer Zeichenvorrat---% +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{enumerate} +% fuer die aktuelle Zeit +\usepackage{scrtime} +\usepackage{listings} +\usepackage{hyperref} +\usepackage{cite} +\usepackage{parskip} +\usepackage[framed,amsmath,thmmarks,hyperref]{ntheorem} +\usepackage{algorithm} +\usepackage[noend]{algpseudocode} +\usepackage{csquotes} +\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes} +\usepackage{subfig} % multiple figures in one +\usepackage{caption} +\usepackage{tikz} +\usepackage{enumitem} +\usepackage[german,nameinlink]{cleveref} +\usepackage{braket} +\allowdisplaybreaks +\usetikzlibrary{backgrounds} +\usepackage[binary-units=true]{siunitx} +\usepackage{mystyle} + +\setcounter{tocdepth}{3} +\setcounter{secnumdepth}{3} + +\hypersetup{ + pdftitle = {Über die Klassifizierung von Knoten in dynamischen Netzwerken mit textuellen Inhalten}, + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {DYCOS} +} + +\begin{document} + +\mainmatter +\title{Über die Klassifizierung von Knoten in dynamischen Netzwerken mit Inhalt} +\titlerunning{Über die Klassifizierung von Knoten in dynamischen Netzwerken mit Inhalt} +\author{Martin Thoma} +\authorrunning{Proseminar Netzwerkanalyse} +\institute{Betreuer: Christopher Oßner} +\date{17.01.2014} +\maketitle + +\begin{abstract}% +\input{abstract} +\end{abstract} + +\section{Einleitung} +\input{Einleitung} + +\section{Related Work} +\input{Related-Work} + +\section{DYCOS} +\input{DYCOS-Algorithmus} + +\section{Analyse des DYCOS-Algorithmus} +\input{Analyse} + +\section{Probleme des DYCOS-Algorithmus} +\input{SchwaechenVerbesserungen} + +\section{Ausblick} +\input{Ausblick} + +% Normaler LNCS Zitierstil +%\bibliographystyle{splncs} +\bibliographystyle{itmalpha} +% TODO: Ändern der folgenden Zeile, damit die .bib-Datei gefunden wird +\bibliography{literatur} + +\end{document} + diff --git a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Ausblick.tex b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Ausblick.tex index d24f101..677560a 100644 --- a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Ausblick.tex +++ b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Ausblick.tex @@ -1,10 +1,10 @@ -Den DYCOS-Algorithmus kann in einigen Aspekten erweitert werden. -So könnte man vor der Auswahl des Vokabulars jedes Wort auf den +Den DYCOS-Algorithmus kann in einigen Aspekten erweitert werden. +So könnte man vor der Auswahl des Vokabulars jedes Wort auf den Wortstamm zurückführen. -Dafür könnte zum Beispiel der in \cite{porter} vorgestellte +Dafür könnte zum Beispiel der in \cite{porter} vorgestellte Porter-Stemming-Algorithmus verwendet werden. Durch diese Maßnahme wird das Vokabular kleiner gehalten wodurch mehr Artikel mit einander -durch Vokabular verbunden werden können. Außerdem könnte so der +durch Vokabular verbunden werden können. Außerdem könnte so der Gini-Koeffizient ein besseres Maß für die Gleichheit von Texten werden. Eine weitere Verbesserungsmöglichkeit besteht in der Textanalyse. @@ -16,11 +16,11 @@ wird um die Parteiaffinität der restlichen Mitglieder zu bestimmen. In diesem Fall macht es jedoch einen wichtigen Unterschied, ob jemand über eine Partei gutes oder schlechtes schreibt. -Eine einfache Erweiterung des DYCOS-Algorithmus wäre der Umgang mit +Eine einfache Erweiterung des DYCOS-Algorithmus wäre der Umgang mit mehreren Beschriftungen. DYCOS beschränkt sich bei inhaltlichen Zweifachsprüngen auf die Top-$q$-Wortknoten, also die $q$ ähnlichsten Knoten gemessen mit der Aggregatanalyse, allerdings wurde bisher noch nicht -untersucht, wie der Einfluss von $q \in \mathbb{N}$ auf die +untersucht, wie der Einfluss von $q \in \mathbb{N}$ auf die Klassifikationsgüte ist. diff --git a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/DYCOS-Algorithmus.tex b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/DYCOS-Algorithmus.tex index 85368a5..b8ae90a 100644 --- a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/DYCOS-Algorithmus.tex +++ b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/DYCOS-Algorithmus.tex @@ -1,14 +1,14 @@ \subsection{Überblick} -DYCOS (\underline{DY}namic \underline{C}lassification -algorithm with c\underline{O}ntent and \underline{S}tructure) ist ein -Knotenklassifizierungsalgorithmus, der Ursprünglich in \cite{aggarwal2011} vorgestellt +DYCOS (\underline{DY}namic \underline{C}lassification +algorithm with c\underline{O}ntent and \underline{S}tructure) ist ein +Knotenklassifizierungsalgorithmus, der Ursprünglich in \cite{aggarwal2011} vorgestellt wurde. Ein zentrales Element des DYCOS-Algorithmus ist der sog. {\it Random Walk}: \begin{definition}[Random Walk, Sprung] - Sei $G = (V, E)$ mit $E \subseteq V \times V$ ein Graph und + Sei $G = (V, E)$ mit $E \subseteq V \times V$ ein Graph und $v_0 \in V$ ein Knoten des Graphen. %Sei außerdem $f: V \rightarrow \mathcal{P}(V)$ eine Abbildung @@ -17,7 +17,7 @@ Ein zentrales Element des DYCOS-Algorithmus ist der sog. Ein Random Walk der Länge $l$ auf $G$, startend bei $v_0$ ist nun der zeitdiskrete stochastische Prozess, der $v_i$ - auf einen zufällig gewählten Nachbarn $v_{i+1}$ abbildet + auf einen zufällig gewählten Nachbarn $v_{i+1}$ abbildet (für $i \in 0, \dots, l-1$). Die Abbildung $v_i \mapsto v_{i+1}$ heißt ein Sprung. \end{definition} @@ -28,26 +28,26 @@ werden die Beschriftungen der besuchten Knoten gezählt. Die Beschriftung, die a vorgekommen ist, wird als Beschriftung für $v$ gewählt. DYCOS nutzt also die sog. Homophilie, d.~h. die Eigenschaft, dass Knoten, die nur wenige Hops von einander entfernt sind, häufig auch -ähnlich sind \cite{bhagat}. Der DYCOS-Algorithmus arbeitet jedoch nicht -direkt auf dem Graphen, sondern erweitert ihn mit -Hilfe der zur Verfügung stehenden Texte. Wie diese Erweiterung +ähnlich sind \cite{bhagat}. Der DYCOS-Algorithmus arbeitet jedoch nicht +direkt auf dem Graphen, sondern erweitert ihn mit +Hilfe der zur Verfügung stehenden Texte. Wie diese Erweiterung erstellt wird, wird im Folgenden erklärt.\\ -Für diese Erweiterung wird zuerst wird Vokabular $W_t$ bestimmt, das +Für diese Erweiterung wird zuerst wird Vokabular $W_t$ bestimmt, das charakteristisch für eine Knotengruppe ist. Wie das gemacht werden kann und warum nicht einfach jedes Wort in das Vokabular aufgenommen wird, wird in \cref{sec:vokabularbestimmung} erläutert.\\ -Nach der Bestimmung des Vokabulars wird für +Nach der Bestimmung des Vokabulars wird für jedes Wort im Vokabular ein Wortknoten zum Graphen hinzugefügt. Alle Knoten, die der Graph zuvor hatte, werden nun \enquote{Strukturknoten} genannt. Ein Strukturknoten $v$ wird genau dann mit einem Wortknoten $w \in W_t$ verbunden, wenn $w$ in einem Text von $v$ vorkommt. \Cref{fig:erweiterter-graph} zeigt beispielhaft den so entstehenden, semi-bipartiten Graphen. -Der DYCOS-Algorithmus betrachtet also die Texte, die einem Knoten -zugeordnet sind, als eine Multimenge von Wörtern. Das heißt, zum einen -wird nicht auf die Reihenfolge der Wörter geachtet, zum anderen wird -bei Texten eines Knotens nicht zwischen verschiedenen -Texten unterschieden. Jedoch wird die Anzahl der Vorkommen +Der DYCOS-Algorithmus betrachtet also die Texte, die einem Knoten +zugeordnet sind, als eine Multimenge von Wörtern. Das heißt, zum einen +wird nicht auf die Reihenfolge der Wörter geachtet, zum anderen wird +bei Texten eines Knotens nicht zwischen verschiedenen +Texten unterschieden. Jedoch wird die Anzahl der Vorkommen jedes Wortes berücksichtigt. \begin{figure}[htp] @@ -86,17 +86,17 @@ springt über einen Wortknoten und ist ein Pfad der Länge~2. Ob in einem Sprung der Random Walks ein struktureller Sprung oder ein inhaltlicher Zweifachsprung gemacht wird, wird jedes mal zufällig -neu entschieden. Dafür wird der Parameter $0 \leq p_S \leq 1$ für den Algorithmus +neu entschieden. Dafür wird der Parameter $0 \leq p_S \leq 1$ für den Algorithmus gewählt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $p_S$ wird ein struktureller Sprung durchgeführt und mit einer Wahrscheinlichkeit von $(1-p_S)$ ein modifizierter inhaltlicher Zweifachsprung, wie er in -\cref{sec:sprungtypen} erklärt wird, gemacht. Der +\cref{sec:sprungtypen} erklärt wird, gemacht. Der Parameter $p_S$ gibt an, wie wichtig die Struktur des Graphen im Verhältnis zu den textuellen Inhalten ist. Bei $p_S = 0$ werden ausschließlich die Texte betrachtet, bei $p_S = 1$ ausschließlich die Struktur des Graphen. -Die Vokabularbestimmung kann zu jedem Zeitpunkt $t$ durchgeführt +Die Vokabularbestimmung kann zu jedem Zeitpunkt $t$ durchgeführt werden, muss es aber nicht. In \cref{alg:DYCOS} steht der DYCOS-Algorithmus in Form von Pseudocode: @@ -108,8 +108,8 @@ In \cref{alg1:l11} wird eine temporäre Variable für den aktuell betrachteten Knoten angelegt. In \cref{alg1:l12} bis \cref{alg1:l21} werden einzelne Random Walks -der Länge $l$ durchgeführt, wobei die beobachteten Beschriftungen -gezählt werden und mit einer Wahrscheinlichkeit von $p_S$ ein +der Länge $l$ durchgeführt, wobei die beobachteten Beschriftungen +gezählt werden und mit einer Wahrscheinlichkeit von $p_S$ ein struktureller Sprung durchgeführt wird. \begin{algorithm}[ht] @@ -148,7 +148,7 @@ struktureller Sprung durchgeführt wird. \EndIf \\ \State \textit{//Wähle aus der Menge der häufigsten Beschriftungen $M_H$ zufällig eine aus} - \State $label \gets \Call{Random}{M_H}$ + \State $label \gets \Call{Random}{M_H}$ \State $v.\Call{AddLabel}{label}$ \Comment{und weise dieses $v$ zu} \EndFor \State \Return Beschriftungen für $V_t \setminus V_{L,t}$ @@ -158,19 +158,19 @@ struktureller Sprung durchgeführt wird. \end{algorithm} \subsection{Datenstrukturen} -Zusätzlich zu dem gerichteten Graphen $G_t = (V_t, E_t, V_{L,t})$ +Zusätzlich zu dem gerichteten Graphen $G_t = (V_t, E_t, V_{L,t})$ verwaltet der DYCOS-Algorithmus zwei weitere Datenstrukturen: \begin{itemize} \item Für jeden Knoten $v \in V_t$ werden die vorkommenden Wörter, die auch im Vokabular $W_t$ sind, - und deren Anzahl gespeichert. Das könnte z.~B. über ein - assoziatives Array (auch \enquote{dictionary} oder - \enquote{map} genannt) geschehen. Wörter, die nicht in + und deren Anzahl gespeichert. Das könnte z.~B. über ein + assoziatives Array (auch \enquote{dictionary} oder + \enquote{map} genannt) geschehen. Wörter, die nicht in Texten von $v$ vorkommen, sind nicht im Array. Für - alle vorkommenden Wörter ist der gespeicherte Wert zum - Schlüssel $w \in W_t$ die Anzahl der Vorkommen von + alle vorkommenden Wörter ist der gespeicherte Wert zum + Schlüssel $w \in W_t$ die Anzahl der Vorkommen von $w$ in den Texten von $v$. - \item Für jedes Wort des Vokabulars $W_t$ wird eine Liste von + \item Für jedes Wort des Vokabulars $W_t$ wird eine Liste von Knoten verwaltet, in deren Texten das Wort vorkommt. Diese Liste wird bei den inhaltlichen Zweifachsprung, der in \cref{sec:sprungtypen} erklärt wird, diff --git a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Einleitung.tex b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Einleitung.tex index 9df9621..a102226 100644 --- a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Einleitung.tex +++ b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Einleitung.tex @@ -11,8 +11,8 @@ sowie von Nutzern vergebene Beschriftungen (sog. {\it Tags}) oder Kategorien als Wikipedia mit Artikeln als Knoten, Links als Kanten und Kategorien als Knotenbeschriftungen sowie soziale Netzwerke mit Eigenschaften der Benutzer als Knotenbeschriftungen sind drei Beispiele dafür. -Häufig sind Knotenbeschriftungen nur teilweise vorhanden und es ist wünschenswert die -fehlenden Knotenbeschriftungen automatisiert zu ergänzen. +Häufig sind Knotenbeschriftungen nur teilweise vorhanden und es ist wünschenswert die +fehlenden Knotenbeschriftungen automatisiert zu ergänzen. \subsection{Problemstellung}\label{sec:Problemstellung} Gegeben ist ein Graph, dessen Knoten teilweise beschriftet sind. Zusätzlich stehen @@ -22,7 +22,7 @@ für alle Knoten, die bisher noch nicht beschriftet sind.\\ \begin{definition}[Knotenklassifierungsproblem]\label{def:Knotenklassifizierungsproblem} Sei $G_t = (V_t, E_t, V_{L,t})$ ein gerichteter Graph, wobei $V_t$ die Menge aller Knoten, - $E_t \subseteq V_t \times V_t$ die Kantenmenge und $V_{L,t} \subseteq V_t$ die Menge der + $E_t \subseteq V_t \times V_t$ die Kantenmenge und $V_{L,t} \subseteq V_t$ die Menge der beschrifteten Knoten jeweils zum Zeitpunkt $t$ bezeichne. Außerdem sei $L_t$ die Menge aller zum Zeitpunkt $t$ vergebenen Knotenbeschriftungen und $f:V_{L,t} \rightarrow L_t$ die Funktion, die einen @@ -39,10 +39,10 @@ für alle Knoten, die bisher noch nicht beschriftet sind.\\ \subsection{Herausforderungen}\label{sec:Herausforderungen} Die Graphen, für die dieser Algorithmus konzipiert wurde, sind viele $\num{10000}$~Knoten groß und dynamisch. \enquote{Dynamisch} -bedeutet in diesem Kontext, dass neue Knoten und eventuell auch neue -Kanten hinzu kommen bzw. Kanten oder Knoten werden entfernt werden. -Außerdem stehen textuelle Inhalte zu den +bedeutet in diesem Kontext, dass neue Knoten und eventuell auch neue +Kanten hinzu kommen bzw. Kanten oder Knoten werden entfernt werden. +Außerdem stehen textuelle Inhalte zu den Knoten bereit, die bei der Klassifikation genutzt werden können. -Bei kleinen Änderungen sollte nicht alles nochmals berechnen +Bei kleinen Änderungen sollte nicht alles nochmals berechnen werden müssen, sondern basierend auf zuvor berechneten Knotenbeschriftungen sollte die Klassifizierung angepasst werden. diff --git a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Related-Work.tex b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Related-Work.tex index 5acda93..34a38c3 100644 --- a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Related-Work.tex +++ b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Related-Work.tex @@ -18,7 +18,7 @@ oder Support Vector Machines nutzen \cite{Joachims98textcategorization}. Es wäre also gut Vorstellbar, die Art und Weise wie die Texte in die Klassifikation des DYCOS-Algorithmus einfließen zu variieren. Allerdings ist dabei darauf hinzuweisen, dass die im Folgeden vorgestellte Verwendung der Texte sowohl einfach zu implementieren -ist und nur lineare Vorverarbeitungszeit in Anzahl der Wörter des Textes hat, +ist und nur lineare Vorverarbeitungszeit in Anzahl der Wörter des Textes hat, als auch es erlaubt einzelne Knoten zu klassifizieren, wobei der Graph nur lokal um den zu klassifizerenden Knoten betrachten werden muss. \ No newline at end of file diff --git a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/SchwaechenVerbesserungen.tex b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/SchwaechenVerbesserungen.tex index 494fd06..7c5c495 100644 --- a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/SchwaechenVerbesserungen.tex +++ b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/SchwaechenVerbesserungen.tex @@ -4,16 +4,16 @@ die im Folgenden erläutert werden. Außerdem werden Verbesserungen vorgeschlagen, die es allerdings noch zu untersuchen gilt. \subsection{Anzahl der Knotenbeschriftungen} -So, wie der DYCOS-Algorithmus vorgestellt wurde, können nur Graphen bearbeitet werden, -deren Knoten jeweils höchstens eine Beschriftung haben. In vielen Fällen, wie z.~B. +So, wie der DYCOS-Algorithmus vorgestellt wurde, können nur Graphen bearbeitet werden, +deren Knoten jeweils höchstens eine Beschriftung haben. In vielen Fällen, wie z.~B. Wikipedia mit Kategorien als Knotenbeschriftungen haben Knoten jedoch viele Beschriftungen. -Auf einen ersten Blick ist diese Schwäche einfach zu beheben, indem +Auf einen ersten Blick ist diese Schwäche einfach zu beheben, indem man beim zählen der Knotenbeschriftungen für jeden Knoten jedes Beschriftung zählt. Dann wäre noch die Frage zu klären, mit wie vielen Beschriftungen der betrachtete Knoten beschriftet werden soll. -Jedoch ist z.~B. bei Wikipedia-Artikeln auf den Knoten eine +Jedoch ist z.~B. bei Wikipedia-Artikeln auf den Knoten eine Hierarchie definiert. So ist die Kategorie \enquote{Klassifikationsverfahren} eine Unterkategorie von \enquote{Klassifikation}. Bei dem Kategorisieren von Artikeln sind möglichst spezifische Kategorien vorzuziehen, also @@ -25,7 +25,7 @@ zählen. \subsection{Überanpassung und Reklassifizierung} Aggarwal und Li beschreiben in \cite{aggarwal2011} nicht, auf welche Knoten der Klassifizierungsalgorithmus angewendet werden soll. Jedoch -ist die Reihenfolge der Klassifizierung relevant. Dazu folgendes +ist die Reihenfolge der Klassifizierung relevant. Dazu folgendes Minimalbeispiel: Gegeben sei ein dynamischer Graph ohne textuelle Inhalte. Zum Zeitpunkt @@ -62,14 +62,14 @@ und die Kante $(v_2, v_3)$ hinzu. Würde man nun den DYCOS-Algorithmus erst jetzt, also anstelle von Zeitpunkt $t=2$ zum Zeitpunkt $t=3$ auf den Knoten $v_2$ anwenden, so -würde eine $50\%$-Wahrscheinlichkeit bestehen, dass dieser mit $B$ +würde eine $50\%$-Wahrscheinlichkeit bestehen, dass dieser mit $B$ beschriftet wird. Aber in diesem Beispiel wurde der Knoten schon zum Zeitpunkt $t=2$ beschriftet. Obwohl es in diesem kleinem Beispiel noch keine Rolle spielt, wird das Problem klar, wenn man weitere Knoten einfügt: Wird zum Zeitpunkt $t=4$ ein unbeschrifteter Knoten $v_4$ und die Kanten -$(v_1, v_4)$, $(v_2, v_4)$, $(v_3, v_4)$ hinzugefügt, so ist die +$(v_1, v_4)$, $(v_2, v_4)$, $(v_3, v_4)$ hinzugefügt, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass $v_4$ mit $A$ beschriftet wird bei $\frac{2}{3}$. Werden die unbeschrifteten Knoten jedoch erst jetzt und alle gemeinsam beschriftet, so ist die Wahrscheinlichkeit für $A$ als Beschriftung bei nur $50\%$. @@ -78,7 +78,7 @@ Beschriftungen statt. Das Reklassifizieren von Knoten könnte eine mögliche Lösung für dieses Problem sein. Knoten, die durch den DYCOS-Algorithmus beschriftet wurden -könnten eine Lebenszeit bekommen (TTL, Time to Live). Ist diese +könnten eine Lebenszeit bekommen (TTL, Time to Live). Ist diese abgelaufen, wird der DYCOS-Algorithmus erneut auf den Knoten angewendet. diff --git a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Sprungtypen.tex b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Sprungtypen.tex index 5e699b7..2bafbd1 100644 --- a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Sprungtypen.tex +++ b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Sprungtypen.tex @@ -2,7 +2,7 @@ Die beiden bereits definierten Sprungtypen, der strukturelle Sprung sowie der inhaltliche Zweifachsprung werden im folgenden erklärt. \goodbreak -Der strukturelle Sprung entspricht einer zufälligen Wahl eines +Der strukturelle Sprung entspricht einer zufälligen Wahl eines Nachbarknotens, wie es in \cref{alg:DYCOS-structural-hop} gezeigt wird. \begin{algorithm}[H] @@ -20,9 +20,9 @@ gezeigt wird. Bei inhaltlichen Zweifachsprüngen ist jedoch nicht sinnvoll so strikt nach der Definition vorzugehen, also -direkt von einem strukturellem Knoten +direkt von einem strukturellem Knoten $v \in V_t$ zu einem mit $v$ verbundenen Wortknoten $w \in W_t$ zu springen -und von diesem wieder zu einem verbundenem strukturellem Knoten +und von diesem wieder zu einem verbundenem strukturellem Knoten $v' \in V_t$. Würde man dies machen, wäre zu befürchten, dass aufgrund von Homonymen die Qualität der Klassifizierung verringert wird. So hat \enquote{Brücke} im Deutschen viele Bedeutungen. @@ -37,7 +37,7 @@ Zweifachsprung machen will folgende Textanalyse durchgeführt: außerdem, durch wie viele Pfade diese Knoten $v'$ jeweils erreichbar sind. \item \label{step:c2} Betrachte im folgenden nur die Top-$q$ Knoten bzgl. der Anzahl der Pfade von $v$ nach $v'$, wobei $q \in \mathbb{N}$ - eine zu wählende Konstante des DYCOS-Algorithmus ist.\footnote{Sowohl für den DBLP, als auch für den + eine zu wählende Konstante des DYCOS-Algorithmus ist.\footnote{Sowohl für den DBLP, als auch für den CORA-Datensatz wurde in \cite[S. 364]{aggarwal2011} $q=10$ gewählt.} Diese Knotenmenge heiße im Folgenden $T(v)$ und $p(v, v')$ sei die Anzahl der Pfade von $v$ über einen Wortknoten nach $v'$. @@ -49,7 +49,7 @@ Konkret könnte also ein inhaltlicher Zweifachsprung sowie wie in \cref{alg:DYCOS-content-multihop} beschrieben umgesetzt werden. Der Algorithmus bekommt einen Startknoten $v \in V_T$ und einen $q \in \mathbb{N}$ als Parameter. $q$ ist ein Parameter der -für den DYCOS-Algorithmus zu wählen ist. Dieser Parameter beschränkt +für den DYCOS-Algorithmus zu wählen ist. Dieser Parameter beschränkt die Anzahl der möglichen Zielknoten $v' \in V_T$ auf diejenigen $q$ Knoten, die $v$ bzgl. der Textanalyse am ähnlichsten sind. @@ -57,7 +57,7 @@ In \cref{alg:l2} bis \cref{alg:l5} wird \cref{step:c1} durchgeführt und alle erreichbaren Knoten in $reachableNodes$ mit der Anzahl der Pfade, durch die sie erreicht werden können, gespeichert. -In \cref{alg:l6} wird \cref{step:c2} durchgeführt. +In \cref{alg:l6} wird \cref{step:c2} durchgeführt. Ab hier gilt \[ |T| = \begin{cases}q &\text{falls } |reachableNodes|\geq q\\ |reachableNodes| &\text{sonst }\end{cases}\] @@ -69,10 +69,10 @@ In \cref{alg:l8} bis \ref{alg:l13} wird ein assoziatives Array erstellt, das von $v' \in T(v)$ auf die relative Häufigkeit bzgl. aller Pfade von $v$ zu Knoten aus den Top-$q$ abbildet. -In allen folgenden Zeilen wird \cref{step:c3} durchgeführt. +In allen folgenden Zeilen wird \cref{step:c3} durchgeführt. In \cref{alg:15} bis \cref{alg:22} wird ein Knoten $v' \in T(v)$ mit einer Wahrscheinlichkeit, die seiner relativen Häufigkeit am Anteil -der Pfaden der Länge 2 von $v$ nach $v'$ über einen beliebigen +der Pfaden der Länge 2 von $v$ nach $v'$ über einen beliebigen Wortknoten entspricht ausgewählt und schließlich zurückgegeben. \begin{algorithm} @@ -98,7 +98,7 @@ Wortknoten entspricht ausgewählt und schließlich zurückgegeben. \State $relativeHaeufigkeit \gets $ leeres assoziatives Array \ForAll{Knoten $x \in T$} \State $relativeHaeufigkeit \gets \frac{erreichbareKnoten[x]}{s}$ - \EndFor\label{alg:l13} + \EndFor\label{alg:l13} \\ \State \label{alg:15} $random \gets \Call{random}{0, 1}$ \State $r \gets 0.0$ @@ -107,9 +107,9 @@ Wortknoten entspricht ausgewählt und schließlich zurückgegeben. \State $r \gets r + relativeHaeufigkeit[i]$ \State $i \gets i + 1$ \EndWhile - + \State $v \gets T[i-1]$ \label{alg:21} - \State \Return $v$ \label{alg:22} + \State \Return $v$ \label{alg:22} \EndProcedure \end{algorithmic} \end{algorithm} diff --git a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Vokabularbestimmung.tex b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Vokabularbestimmung.tex index 85db794..facf836 100644 --- a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Vokabularbestimmung.tex +++ b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/Vokabularbestimmung.tex @@ -10,16 +10,16 @@ wobei $m \in \mathbb{N}$ eine Festzulegende Konstante ist. In \cite[S. 365]{agga wird der Einfluss von $m \in \Set{5,10, 15,20}$ auf die Klassifikationsgüte untersucht und festgestellt, dass die Klassifikationsgüte mit größerem $m$ sinkt, sie also für $m=5$ für den DBLP-Datensatz am höchsten ist. -Für den CORA-Datensatz wurde mit $m \in \set{3,4,5,6}$ getestet und +Für den CORA-Datensatz wurde mit $m \in \set{3,4,5,6}$ getestet und kein signifikanter Unterschied festgestellt. Nun kann man manuell eine Liste von zu beachtenden Wörtern erstellen oder mit Hilfe des Gini-Koeffizienten automatisch ein Vokabular erstellen. Der Gini-Koeffizient ist ein statistisches Maß, das die Ungleichverteilung -bewertet. Er ist immer im Intervall $[0,1]$, wobei $0$ einer +bewertet. Er ist immer im Intervall $[0,1]$, wobei $0$ einer Gleichverteilung entspricht und $1$ der größtmöglichen Ungleichverteilung. -Sei nun $n_i(w)$ die Häufigkeit des Wortes $w$ in allen Texten mit +Sei nun $n_i(w)$ die Häufigkeit des Wortes $w$ in allen Texten mit der $i$-ten Knotenbeschriftung. \begin{align} p_i(w) &:= \frac{n_i(w)}{\sum_{j=1}^{|\L_t|} n_j(w)} &\text{(Relative Häufigkeit des Wortes $w$)}\\ @@ -33,15 +33,15 @@ ist als Pseudocode mit \cref{alg:vokabularbestimmung} gegeben. In \cref{alg4:l6} wird eine Teilmenge $S_t \subseteq V_{L,t}$ zum Generieren des Vokabulars gewählt. In \cref{alg4:l8} wird ein Array $cLabelWords$ erstellt, das $(|\L_t|+1)$ Felder hat. Die Elemente dieser Felder sind jeweils assoziative Arrays, deren -Schlüssel Wörter und deren Werte natürliche Zahlen sind. Die ersten +Schlüssel Wörter und deren Werte natürliche Zahlen sind. Die ersten $|\L_t|$ Elemente von $cLabelWords$ dienem dem Zählen der Häufigkeit der Wörter von Texten aus $S_t$, wobei für jede Beschriftung die Häufigkeit einzeln gezählt wird. Das letzte Element aus $cLabelWords$ zählt die Summe der Wörter. Diese Datenstruktur wird in -\cref{alg4:l10} bis \ref{alg4:l12} gefüllt. +\cref{alg4:l10} bis \ref{alg4:l12} gefüllt. In \cref{alg4:l17} bis \ref{alg4:l19} wird die relative Häufigkeit -der Wörter bzgl. der Beschriftungen bestimmt. Daraus wird in +der Wörter bzgl. der Beschriftungen bestimmt. Daraus wird in \cref{alg4:l20} bis \ref{alg4:l22} der Gini-Koeffizient berechnet. Schließlich werden in \cref{alg4:l23} bis \ref{alg4:l24} die Top-$q$ Wörter mit den höchsten Gini-Koeffizienten zurückgegeben. @@ -85,6 +85,6 @@ Wörter mit den höchsten Gini-Koeffizienten zurückgegeben. \label{alg:vokabularbestimmung} \end{algorithm} -Die Menge $S_t$ kann aus der Menge aller Dokumente, deren +Die Menge $S_t$ kann aus der Menge aller Dokumente, deren Knoten beschriftet sind, mithilfe des in \cite{Vitter} vorgestellten Algorithmus bestimmt werden. diff --git a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/abstract.tex b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/abstract.tex index 282b88b..644e80f 100644 --- a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/abstract.tex +++ b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/abstract.tex @@ -1,11 +1,11 @@ In dieser Arbeit wird der DYCOS-Algorithmus, wie er in \cite{aggarwal2011} vorgestellt wurde, erklärt. -Er arbeitet auf Graphen, deren Knoten teilweise mit +Er arbeitet auf Graphen, deren Knoten teilweise mit Beschriftungen versehen sind und ergänzt automatisch Beschriftungen für Knoten, die bisher noch keine Beschriftung haben. Dieser Vorgang wird \enquote{Klassifizierung} genannt. Dazu verwendet er die -Struktur des Graphen sowie textuelle Informationen, die den Knoten +Struktur des Graphen sowie textuelle Informationen, die den Knoten zugeordnet sind. Die in \cite{aggarwal2011} beschriebene experimentelle -Analyse ergab, dass er auch auf dynamischen Graphen mit $\num{19396}$ +Analyse ergab, dass er auch auf dynamischen Graphen mit $\num{19396}$ bzw. $\num{806635}$ Knoten, von denen nur $\num{14814}$ bzw. $\num{18999}$ beschriftet waren, innerhalb von weniger als einer Minute auf einem Kern einer Intel Xeon 2.5GHz CPU mit 32G RAM ausgeführt werden kann.\\ diff --git a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/schwaechenPaper.tex b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/schwaechenPaper.tex index 32fa685..7cc4f7f 100644 --- a/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/schwaechenPaper.tex +++ b/documents/Proseminar-Netzwerkanalyse/schwaechenPaper.tex @@ -1,5 +1,5 @@ \subsection{Schwächen des Papers} -In \cite{aggarwal2011} wurde eine experimentelle Analyse mithilfe +In \cite{aggarwal2011} wurde eine experimentelle Analyse mithilfe des DBLP-Datensatzes\footnote{http://dblp.uni-trier.de/} und des CORA-Datensatzes\footnote{\href{http://people.cs.umass.edu/~mccallum/data/cora-classify.tar.gz}{http://people.cs.umass.edu/~mccallum/data/cora-classify.tar.gz}} durchgeführt. Die Ergebnisse dieser Analyse können aus folgenden Gründen @@ -11,8 +11,8 @@ nicht überprüft werden: Es ist nicht klar, wie entschieden wird welche Kanten gespeichert werden und welche nicht. \item Für die Analyse der CORA-Datensatzes analysiert. - Dieser beinhaltet Forschungsarbeiten, wobei die - Forschungsgebiete die in einen Baum mit 73 Blättern + Dieser beinhaltet Forschungsarbeiten, wobei die + Forschungsgebiete die in einen Baum mit 73 Blättern eingeordnet wurden. Aus diesen 73 Blättern wurden 5 Klassen extrahiert und der Graph, der keine Zeitpunkte beinhaltet, künstlich in 10 Graphen mit Zeitpunkten unterteilt. Wie diff --git a/documents/acronyms-example/acronyms-example.tex b/documents/acronyms-example/acronyms-example.tex index 7b7a5b1..d03cb5d 100644 --- a/documents/acronyms-example/acronyms-example.tex +++ b/documents/acronyms-example/acronyms-example.tex @@ -10,11 +10,11 @@ \title{Minimal distance to a cubic function} \author{Martin Thoma} -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {}, - pdftitle = {} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {}, + pdftitle = {} +} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Begin document % @@ -23,20 +23,20 @@ \maketitle \begin{abstract} In this paper I want to discuss how to find the minimal distance of a -point $P = (x_p, y_p)$ to a cubic function $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, +point $P = (x_p, y_p)$ to a cubic function $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$. So I search for $x \in \mathbb{R}$ such that \dots \end{abstract} \section{Minimal distance constant function} -Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Nulla -quam elit, vestibulum nec facilisis at, condimentum id enim. Sed -iaculis lacinia quam, vel \ac{KDE} accumsan eros tempor in. Integer ipsum -metus, accumsan sit amet commodo a, egestas vitae sem. Mauris ut -orci ut dolor viverra convallis \ac{KDE} nec a erat. Aenean consequat elit -vel eros fermentum vestibulum id at ipsum. In vitae orci mauris, et -rhoncus odio. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus +Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Nulla +quam elit, vestibulum nec facilisis at, condimentum id enim. Sed +iaculis lacinia quam, vel \ac{KDE} accumsan eros tempor in. Integer ipsum +metus, accumsan sit amet commodo a, egestas vitae sem. Mauris ut +orci ut dolor viverra convallis \ac{KDE} nec a erat. Aenean consequat elit +vel eros fermentum vestibulum id at ipsum. In vitae orci mauris, et +rhoncus odio. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. \clearpage \twocolumn diff --git a/documents/attachfile-example/attachfile-example.tex b/documents/attachfile-example/attachfile-example.tex index 07c3b80..740f49a 100644 --- a/documents/attachfile-example/attachfile-example.tex +++ b/documents/attachfile-example/attachfile-example.tex @@ -2,23 +2,23 @@ \usepackage{attachfile} \begin{document} -Lorem ipsum dolor sit amet, atomorum consequat eu eum, summo veniam -molestie ad eos. Vis erat iisque senserit ex, meis iriure eu mei, -ignota dictas electram an pro. Has atqui dissentiunt an, eum percipit -fabellas no. Habeo postea id sed, his quas natum disputationi ex, sit -tempor quaeque omittam at. Has vero exerci mandamus no, cu dolor +Lorem ipsum dolor sit amet, atomorum consequat eu eum, summo veniam +molestie ad eos. Vis erat iisque senserit ex, meis iriure eu mei, +ignota dictas electram an pro. Has atqui dissentiunt an, eum percipit +fabellas no. Habeo postea id sed, his quas natum disputationi ex, sit +tempor quaeque omittam at. Has vero exerci mandamus no, cu dolor mucius pericula pri. Et pro graeco maiorum. -Ut duo mazim periculis. Ut omittam prodesset vim. Natum choro ex eam, -aperiam gloriatur voluptaria id sit, an vim habeo hendrerit. Everti -sapientem argumentum ei mei, cu sed tamquam adversarium. Suas summo -putent qui in, ea probo docendi vim, eos prima congue hendrerit at. +Ut duo mazim periculis. Ut omittam prodesset vim. Natum choro ex eam, +aperiam gloriatur voluptaria id sit, an vim habeo hendrerit. Everti +sapientem argumentum ei mei, cu sed tamquam adversarium. Suas summo +putent qui in, ea probo docendi vim, eos prima congue hendrerit at. Et cum primis scaevola atomorum. Tale malis reprimique per ut. \attachfile{Jungle.java} -Ius an fierent dolores honestatis. Et equidem accusamus vel, ei -impetus percipit suscipiantur vis, ei sea homero scribentur. Has -scripta propriae et, vide iriure antiopam ei duo. Cum facete omnium -an, nec at alii illud adipiscing, omnis oporteat reformidans an quo. +Ius an fierent dolores honestatis. Et equidem accusamus vel, ei +impetus percipit suscipiantur vis, ei sea homero scribentur. Has +scripta propriae et, vide iriure antiopam ei duo. Cum facete omnium +an, nec at alii illud adipiscing, omnis oporteat reformidans an quo. Cu mei soleat convenire consequat. Modus epicurei apeirian ex cum. \end{document} diff --git a/documents/bachelor-proposal-latex-writing-recognition/bachelor-proposal-latex-writing-recognition.tex b/documents/bachelor-proposal-latex-writing-recognition/bachelor-proposal-latex-writing-recognition.tex index 24b4242..316e091 100644 --- a/documents/bachelor-proposal-latex-writing-recognition/bachelor-proposal-latex-writing-recognition.tex +++ b/documents/bachelor-proposal-latex-writing-recognition/bachelor-proposal-latex-writing-recognition.tex @@ -21,11 +21,11 @@ \clubpenalty = 10000 % Schusterjungen verhindern \widowpenalty = 10000 % Hurenkinder verhindern -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Bachelor proposal, LaTeX, handwriting recognition}, - pdftitle = {Proposal for a Bachelor of Science Thesis:\\Interactive on-line handwriting recognition of mathematical formulae} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Bachelor proposal, LaTeX, handwriting recognition}, + pdftitle = {Proposal for a Bachelor of Science Thesis:\\Interactive on-line handwriting recognition of mathematical formulae} +} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% @@ -38,16 +38,16 @@ simple mathematical formulae with \LaTeX{} like \[\pi/\alpha=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{\sin^2 (c+n)\alpha}{(c+n)^2}=\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2 (c+n)\alpha}{(c+n)^2}\, \text{d}n\] or who need much time to do so. Currently, there are several online - services, programs and apps that help to write mathematical + services, programs and apps that help to write mathematical formulae, but all programs I know have serious disadvantages: \begin{itemize} \item \href{http://detexify.kirelabs.org/classify.html}{detexify.kirelabs.org} recognizes \textbf{only symbols}, - \item the formula editor of LibreOffice Writer 3.6 as shown + \item the formula editor of LibreOffice Writer 3.6 as shown in \Fref{fig:libre-office-3.6} offers some guidance by grouping common operations while showing a WYSIWYG editor, but it has \textbf{no handwriting recognition}. - Another drawback is the fact that it is \textbf{not available + Another drawback is the fact that it is \textbf{not available as an online service}, so you have to install LibreOffice which might not be possible on all devices. \item The \enquote{Daum Equation Editor} (see \Fref{fig:daum-editor}) is available online @@ -55,12 +55,12 @@ but does not offer handwriting recognition. Although it might be OpenSource, the \textbf{source code is difficult to find}. This means if you want to improve the recognition, - it is not possible. It also makes use of Adobe Flash + it is not possible. It also makes use of Adobe Flash which is not available on many smartphones and tablet computers. \item Maple seems to offer handwritten symbol recognition (\href{http://www.maplesoft.com/products/maple/features/handwritten.aspx}{source}), but on the one hand I was not able to test that, because - it is \textbf{not available for free}. On the other hand you + it is \textbf{not available for free}. On the other hand you have to install additional software, it seems not to be available for tablet computers and it does only recognize single symbols. @@ -74,7 +74,7 @@ A more comprehensive list can be found at \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Formula_editor}{https://en.wikipedia.org/wiki/Formula\_editor}. A problem of some of the projects presented there is that they - require the client to execute Java Applets which is a security + require the client to execute Java Applets which is a security risk. \begin{figure}[h] @@ -94,12 +94,12 @@ \section{The problem statement} What I would like to have is an interactive on-line handwriting recognition service, that is available as a web service which makes - use of touchscreens. Additionally, it should be for free and + use of touchscreens. Additionally, it should be for free and OpenSource, the source code should be easy to find and documented. This means: \begin{itemize} \item \textbf{Service}: The program can be accessed over the web, so - that the user does only have to have a modern browser. + that the user does only have to have a modern browser. As a consequence, the software could be used with any device that has a touch screen. \item \textbf{On-line handwriting recognition}: The service @@ -126,7 +126,7 @@ This information should be used to create a formula database. \section{Significance} -For me as a Linux user, there no software that I can test and which +For me as a Linux user, there no software that I can test and which offers on-line, interactive math handwriting recognition. But the need of such a software is there. @@ -135,7 +135,7 @@ Projects like \LaTeX{}, Linux, Apache or Firefox have shown that OpenSource software can enrich the development in specific areas. The \enquote{Browser Wars} might be the most famous result of an active OpenSource community. Internet Explorer 6 had -a market share of over 80\% in 2003. Prequels of Firefox and the Mozilla +a market share of over 80\% in 2003. Prequels of Firefox and the Mozilla foundation already existed, but Firefox 1.0 was released not until November 2004. After that, Firefox and other open browsers added many features that Internet Explorer had to compete with, like tabbed browsing, @@ -144,7 +144,7 @@ speed of HTML rendering and JavaScript execution.\footnote{\href{http://www.evol questions are interesting for science such as many problems related to layouts and just-in-time compilation (JIT). With OpenSource software that makes it easy to find its source and offers good documentation, -researchers can simply try their ideas without being blocked by +researchers can simply try their ideas without being blocked by having to try to access the source code. Additionally, such a project might give researchers more time to @@ -157,26 +157,26 @@ e.~g. a formula spotter for presentations or a math detector for speech. \section{Time schedule} \begin{itemize} - \item[70h] Literature research about on-line handwriting recognition + \item[70h] Literature research about on-line handwriting recognition techniques and Gamification. \item[5h] Defining browsers and devices that should get supported and required client side software like HTML5, CSS 3 and ECMAScript (better known as JavaScript). Also, required input methods like touchscreens and stylus should be mentioned. - \item[20h] Writing use cases. This is includes writing example + \item[20h] Writing use cases. This is includes writing example formula that the user should type and the system should - be able to recognize; finding people with different - knowledge of \LaTeX{} and from different fields who + be able to recognize; finding people with different + knowledge of \LaTeX{} and from different fields who want to participate in user tests. \item[60h] Implementing the core of the application: Handwriting recognition of digits and symbols by using only HTML, CSS and on the client side. This includes implementing a way for the user to enter new symbols and to correct the symbol that was suggested by the recognition system. - \item[20h] Introduce testers that already know \LaTeX{} to the + \item[20h] Introduce testers that already know \LaTeX{} to the current system. At this point, the system does only do - symbol recognition. The testers should train it, + symbol recognition. The testers should train it, insert symbols like $a-z, A-Z, 0-9, \alpha-\omega, A-\Omega, \cdot, \circ, \dots$ \item[10h] Get feedback by the users. This feedback will not be included in the thesis, but the improvements will get documented. @@ -185,7 +185,7 @@ e.~g. a formula spotter for presentations or a math detector for speech. \begin{verbatim}\sum_{}^{} \end{verbatim} Implement the recognition of those structures. \item[30h] Observe \enquote{fresh} testers while they try to use - the system. + the system. \item[70h] Improving the software to fix problems that were found with user tests \item[50h] Fix bugs, improve code quality and readability as well @@ -199,7 +199,7 @@ e.~g. a formula spotter for presentations or a math detector for speech. \end{itemize} \section{Outline} -I have described in which steps I would like to write the software, +I have described in which steps I would like to write the software, but almost all points include writing the bachelor's thesis document. A first draft of the outline could be like this: diff --git a/documents/bachelor-proposal/bachelor-proposal.tex b/documents/bachelor-proposal/bachelor-proposal.tex index 08859ed..aa72c8d 100644 --- a/documents/bachelor-proposal/bachelor-proposal.tex +++ b/documents/bachelor-proposal/bachelor-proposal.tex @@ -20,11 +20,11 @@ \clubpenalty = 10000 % Schusterjungen verhindern \widowpenalty = 10000 % Hurenkinder verhindern -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Bachelor proposal: }, - pdftitle = {Bachelor proposal} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Bachelor proposal: }, + pdftitle = {Bachelor proposal} +} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% @@ -34,7 +34,7 @@ \maketitle \section{The problem backgound} The KIT Lecture Translator, CMUSphinx, Android voice typing and - many other speech recognition systems have proven that it is possible to + many other speech recognition systems have proven that it is possible to recognize speech. But at the moment, there seems not to be a single system that manages to recognize natural language math speech recognition. For example, a term like @@ -70,18 +70,18 @@ The sum of one divided by n squared for n from one to infinity diverges to infin \break \section{The problem statement} - The bachelor's thesis at KIT is worth 15 ECTS. It should be + The bachelor's thesis at KIT is worth 15 ECTS. It should be created within 4 months and at most 450 hours. - This aim of this bachelor's thesis is to answer the following + This aim of this bachelor's thesis is to answer the following questions: \begin{itemize} - \item \textbf{Representation of Math:} How can math be expressed + \item \textbf{Representation of Math:} How can math be expressed for speech recognition in a textual way? - Especially: + Especially: \begin{itemize} \item What reasons are there to use \TeX{}, which - reasons are there for MathML? + reasons are there for MathML? \item Are there alternatives? \end{itemize} \item \textbf{Detection:} How can parts of speech be detected @@ -90,9 +90,9 @@ The sum of one divided by n squared for n from one to infinity diverges to infin \item Which keywords indicate mathematics? \item Is a keyword-density based approach sufficient? \end{itemize} - \item \textbf{Evalution of math recognition strength}: + \item \textbf{Evalution of math recognition strength}: \begin{itemize} - \item How can speech recognition systems be evaluated + \item How can speech recognition systems be evaluated for their strength in math recognition? \item Is the \textbf{W}ord \textbf{E}rror \textbf{R}ate to measure how well the recognition worked? @@ -127,8 +127,8 @@ questions need to be tackled in feature. \item[20h] Research ways how \TeX{} deals with math \item[20h] Research how MathML deals with math \item[50h] Recording math lectures - \item[100h] Annotating math lectures; writing the best - representation for mathematical terms contained in + \item[100h] Annotating math lectures; writing the best + representation for mathematical terms contained in these lectures \item[10h] Finding keywords that indicate mathematical formulas \item[5h] Test the keyword-approach with the annotated lectures diff --git a/documents/biblatex-mwe/biblatex-mwe.tex b/documents/biblatex-mwe/biblatex-mwe.tex index 509f23d..a3bffdc 100644 --- a/documents/biblatex-mwe/biblatex-mwe.tex +++ b/documents/biblatex-mwe/biblatex-mwe.tex @@ -7,7 +7,7 @@ style=authoryear-icomp, sortlocale=de_DE, natbib=true, - url=false, + url=false, doi=true, eprint=false ]{biblatex} @@ -24,5 +24,5 @@ Bli Bla Blup \cite{Silberschatz2005} \clearpage - \printbibliography + \printbibliography \end{document} diff --git a/documents/blank-pdf/blank-a4-pdf.tex b/documents/blank-pdf/blank-a4-pdf.tex index 500b285..c45a8d6 100644 --- a/documents/blank-pdf/blank-a4-pdf.tex +++ b/documents/blank-pdf/blank-a4-pdf.tex @@ -2,11 +2,11 @@ \usepackage{hyperref} % links im text \pagenumbering{gobble} % disable page numbering -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Blank PDF}, - pdftitle = {Blank PDF} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Blank PDF}, + pdftitle = {Blank PDF} +} \begin{document} ~ diff --git a/documents/blank-pdf/blank-pdf.tex b/documents/blank-pdf/blank-pdf.tex index a6bb043..496b107 100644 --- a/documents/blank-pdf/blank-pdf.tex +++ b/documents/blank-pdf/blank-pdf.tex @@ -2,11 +2,11 @@ \usepackage{hyperref} % links im text \pagenumbering{gobble} % disable page numbering -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Blank PDF}, - pdftitle = {Blank PDF} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Blank PDF}, + pdftitle = {Blank PDF} +} \begin{document} ~ diff --git a/documents/book/book.tex b/documents/book/book.tex index 9a70701..62e3d45 100644 --- a/documents/book/book.tex +++ b/documents/book/book.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -% thanks to http://www.math.mun.ca/~edgar/thesis.html for +% thanks to http://www.math.mun.ca/~edgar/thesis.html for % giving me a document to start with \documentclass[a4paper,12pt,oneside]{book} @@ -22,21 +22,21 @@ \makeindex -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Graphentheorie}, - pdftitle = {Graphentheorie} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Graphentheorie}, + pdftitle = {Graphentheorie} +} \begin{document} -\author{Martin Thoma} -\title{Test Book} +\author{Martin Thoma} +\title{Test Book} \maketitle % generate title page \frontmatter % start roman numbering -\tableofcontents -\include{preface} +\tableofcontents +\include{preface} \mainmatter % start the arabic numbering for the real content \include{chapter1} @@ -44,8 +44,8 @@ \include{chapter3} \backmatter % the real content ends here -\bibliographystyle{amsalpha} %The style you want to use for references. -\bibliography{refs} %The files containing all the articles and books you ever referenced. +\bibliographystyle{amsalpha} %The style you want to use for references. +\bibliography{refs} %The files containing all the articles and books you ever referenced. \clearpage \addcontentsline{toc}{chapter}{Index} diff --git a/documents/book/chapter1.tex b/documents/book/chapter1.tex index fd6c48f..9c8b457 100644 --- a/documents/book/chapter1.tex +++ b/documents/book/chapter1.tex @@ -1,13 +1,13 @@ -\chapter{Alternative Rings} -\label{altrings} % So I can \ref{altrings} later. -\section{Definitions} -\label{defs} -\input{chap1/definitions} -\section{The Cayley Numbers} -\label{cayley} -\input{chap1/sec12} -\section{Zorn's Vector Matrix Algebra} -\label{zorn} +\chapter{Alternative Rings} +\label{altrings} % So I can \ref{altrings} later. +\section{Definitions} +\label{defs} +\input{chap1/definitions} +\section{The Cayley Numbers} +\label{cayley} +\input{chap1/sec12} +\section{Zorn's Vector Matrix Algebra} +\label{zorn} \chapter{Eos noster qualisque} Lorem ipsum dolor sit amet, et pri nusquam phaedrum convenire, odio aliquid principes mel no. Detraxit scripserit eos no, ad congue oporteat nam. Eum everti invenire no, pri corpora detracto consulatu in. Solum audiam dolores ad eam. Sea ea augue atomorum, at dicam docendi est, an sea detracto complectitur. Eos exerci sapientem ad. diff --git a/documents/citation-cleveref-abbreviations/citation-cleveref-abbreviations.tex b/documents/citation-cleveref-abbreviations/citation-cleveref-abbreviations.tex index f1e2b14..ad6d352 100644 --- a/documents/citation-cleveref-abbreviations/citation-cleveref-abbreviations.tex +++ b/documents/citation-cleveref-abbreviations/citation-cleveref-abbreviations.tex @@ -12,9 +12,9 @@ \begin{document} \section{Minimal distance constant function}\label{sec:minimal-distance} -Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Nulla -quam elit, vestibulum nec facilisis at, condimentum id enim. Sed -iaculis lacinia quam, vel accumsan eros tempor in. Integer ipsum +Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Nulla +quam elit, vestibulum nec facilisis at, condimentum id enim. Sed +iaculis lacinia quam, vel accumsan eros tempor in. Integer ipsum \begin{theorem}[Tata]\label{thm:bla-blup} \begin{enumerate} @@ -24,10 +24,10 @@ iaculis lacinia quam, vel accumsan eros tempor in. Integer ipsum \end{enumerate} \end{theorem} -metus, accumsan sit amet commodo a, egestas vitae sem. Mauris ut -orci ut dolor viverra convallis nec a erat. Aenean consequat elit -vel eros fermentum vestibulum id at ipsum. In vitae orci mauris, et -rhoncus odio. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus +metus, accumsan sit amet commodo a, egestas vitae sem. Mauris ut +orci ut dolor viverra convallis nec a erat. Aenean consequat elit +vel eros fermentum vestibulum id at ipsum. In vitae orci mauris, et +rhoncus odio. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. \begin{definition}\label{def:aha} diff --git a/documents/confirmation-zwischenmiete-re/confirmation-zwischenmiete-re.tex b/documents/confirmation-zwischenmiete-re/confirmation-zwischenmiete-re.tex index 9bba5a4..b02abcd 100644 --- a/documents/confirmation-zwischenmiete-re/confirmation-zwischenmiete-re.tex +++ b/documents/confirmation-zwischenmiete-re/confirmation-zwischenmiete-re.tex @@ -18,11 +18,11 @@ \clubpenalty = 10000 % Schusterjungen verhindern \widowpenalty = 10000 % Hurenkinder verhindern -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Untermietvertrag}, - pdftitle = {Untermietvertrag} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Untermietvertrag}, + pdftitle = {Untermietvertrag} +} % Anpassen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\HauptmieterVorname}{Martin} % diff --git a/documents/confirmation-zwischenmiete/confirmation-zwischenmiete.tex b/documents/confirmation-zwischenmiete/confirmation-zwischenmiete.tex index dabe039..6fb1d67 100644 --- a/documents/confirmation-zwischenmiete/confirmation-zwischenmiete.tex +++ b/documents/confirmation-zwischenmiete/confirmation-zwischenmiete.tex @@ -18,11 +18,11 @@ \clubpenalty = 10000 % Schusterjungen verhindern \widowpenalty = 10000 % Hurenkinder verhindern -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Untermietvertrag}, - pdftitle = {Untermietvertrag} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Untermietvertrag}, + pdftitle = {Untermietvertrag} +} % Anpassen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\HauptmieterVorname}{Martin} % diff --git a/documents/csv-physik/csv-physik.tex b/documents/csv-physik/csv-physik.tex index 4f94527..e4167dc 100644 --- a/documents/csv-physik/csv-physik.tex +++ b/documents/csv-physik/csv-physik.tex @@ -9,7 +9,7 @@ % start every dtl table with \toprule from booktabs \renewcommand{\dtldisplaystarttab}{\toprule} -% likewise for \midrule and \bottomrule from booktabs +% likewise for \midrule and \bottomrule from booktabs \renewcommand{\dtldisplayafterhead}{\midrule} \renewcommand{\dtldisplayendtab}{\\\bottomrule} diff --git a/documents/custom-environment/custom-environment.tex b/documents/custom-environment/custom-environment.tex index 1983e4c..21cc4d5 100644 --- a/documents/custom-environment/custom-environment.tex +++ b/documents/custom-environment/custom-environment.tex @@ -11,13 +11,13 @@ \end{list}} \begin{document} -Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Nulla quam -elit, vestibulum nec facilisis at, condimentum id enim. Sed iaculis -lacinia quam, vel accumsan eros tempor in. Integer ipsum metus, -accumsan sit amet commodo a, egestas vitae sem. Mauris ut orci ut -dolor viverra convallis nec a erat. Aenean consequat elit vel eros -fermentum vestibulum id at ipsum. In vitae orci mauris, et rhoncus -odio. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et +Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Nulla quam +elit, vestibulum nec facilisis at, condimentum id enim. Sed iaculis +lacinia quam, vel accumsan eros tempor in. Integer ipsum metus, +accumsan sit amet commodo a, egestas vitae sem. Mauris ut orci ut +dolor viverra convallis nec a erat. Aenean consequat elit vel eros +fermentum vestibulum id at ipsum. In vitae orci mauris, et rhoncus +odio. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. \blindtext[4] diff --git a/documents/cv-curriculum-vitae/README.md b/documents/cv-curriculum-vitae/README.md index 7ccef28..bb98d66 100644 --- a/documents/cv-curriculum-vitae/README.md +++ b/documents/cv-curriculum-vitae/README.md @@ -1,4 +1,4 @@ -This is from +This is from http://www.latextemplates.com/template/two-column-one-page-cv You can get the font from here: diff --git a/documents/cv-curriculum-vitae/cv-curriculum-vitae.tex b/documents/cv-curriculum-vitae/cv-curriculum-vitae.tex index 49fd530..6a4c69a 100644 --- a/documents/cv-curriculum-vitae/cv-curriculum-vitae.tex +++ b/documents/cv-curriculum-vitae/cv-curriculum-vitae.tex @@ -13,7 +13,7 @@ % default. If you get compilation errors saying a font is missing, find the line % on which the font is used and either change it to a font included with your % operating system or comment the line out to use the default font. -% +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %---------------------------------------------------------------------------------------- @@ -68,11 +68,11 @@ \newcommand{\ts}{\textsuperscript} -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Martin Thoma,KIT,CV}, - pdftitle = {Curriculum Vitae of Martin Thoma} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Martin Thoma,KIT,CV}, + pdftitle = {Curriculum Vitae of Martin Thoma} +} \begin{document} @@ -84,18 +84,18 @@ \par{\centering{\sffamily\Huge Martin Thoma}\\ % Your name {\Huge \color{headings}\fontspec{LTZapfino One} Curriculum {Vit\fontspec{LTZapfino One}\ae}\\[15pt]\par} - + %---------------------------------------------------------------------------------------- % Start the left-hand side of the page \begin{minipage}[t]{0.5\textwidth} \vspace{0pt} % Trick for alignment - + %---------------------------------------------------------------------------------------- % WORK EXPERIENCE %---------------------------------------------------------------------------------------- -\section{Work Experience} +\section{Work Experience} %---------------------------------------------------------------------------------------- % WORK EXPERIENCE -0- @@ -160,7 +160,7 @@ I only fixed some Java bugs.}\\ {\raggedright\large Student research assistant at \textsc{ Institute of Toxicology and Genetics}, KIT\\ \textit{participating in a university research project}\\[5pt]} -\normalsize{In summer 2011 I worked for over a month for a +\normalsize{In summer 2011 I worked for over a month for a research project at KIT. I have written bash scripts for file conversions, fixed some bugs and re-written a slow Mathematica script in a much faster Python version. But it quickly turned out that @@ -177,18 +177,18 @@ after beginning my studies at university.}\\ %\textit{District Office Augsburg}\\[5pt]} %\normalsize{I have worked in the district office of Augsburg in my -%as compulsory community service. I had the task to controll nature -%conservation conditions. To do so, I had to use a geographic +%as compulsory community service. I had the task to controll nature +%conservation conditions. To do so, I had to use a geographic %information system (which could definitely be improved).}\\ -%---------------------------------------------------------------------------------------- +%---------------------------------------------------------------------------------------- -%---------------------------------------------------------------------------------------- +%---------------------------------------------------------------------------------------- \end{minipage} % End left-hand side of the page \hfill % Start the right-hand side of the page -\begin{minipage}[t]{0.44\textwidth} +\begin{minipage}[t]{0.44\textwidth} \vspace{0pt} %trick for alignment %---------------------------------------------------------------------------------------- @@ -209,33 +209,33 @@ after beginning my studies at university.}\\ % EDUCATION %---------------------------------------------------------------------------------------- -\section{Education} +\section{Education} \begin{tabular}{rl} % Start a table with two columns, one for dates and one for qualifications %---------------------------------------------------------------------------------------- % EDUCATION -1- -from 2014 & \textbf{Master of Science} \\ -& \textsc{Computer Science} \\ +from 2014 & \textbf{Master of Science} \\ +& \textsc{Computer Science} \\ & \textit{Karlsruhe Institute of Technology}\\ &\\ %---------------------------------------------------------------------------------------- % EDUCATION -2- -2011 -- 2014 & \textbf{Bachelor of Science} \\ -& \textsc{Computer Science} \\ +2011 -- 2014 & \textbf{Bachelor of Science} \\ +& \textsc{Computer Science} \\ & \textit{Karlsruhe Institute of Technology}\\ & Thesis about On-line Recognition of\\ & Handwritten Mathematical Symbols (\href{http://martin-thoma.com/write-math/}{Link})\\ &\\ - + %---------------------------------------------------------------------------------------- % EDUCATION -3- -2004 -- 2010 & \textbf{Abitur}\\ -& \textsc{Intensive course physics and mathematics} \\ +2004 -- 2010 & \textbf{Abitur}\\ +& \textsc{Intensive course physics and mathematics} \\ & \textit{Paul-Klee-Gymnasium Gersthofen}\\ &\\ @@ -247,7 +247,7 @@ from 2014 & \textbf{Master of Science} \\ % AWARDS %---------------------------------------------------------------------------------------- -\section{Awards} +\section{Awards} \begin{tabular}{rl} 2010 & \textbf{Winner}\\ @@ -279,7 +279,7 @@ from 2014 & \textbf{Master of Science} \\ % COMPUTER SKILLS %---------------------------------------------------------------------------------------- -\section{Computer Skills} +\section{Computer Skills} \begin{tabular}{rl} Basic Knowledge & \textsc{JavaScript}\\ @@ -292,7 +292,7 @@ Good Knowledge & \textsc{Python}\\ \\ % COMMUNICATION SKILLS %---------------------------------------------------------------------------------------- -\section{Language Skills} +\section{Language Skills} \begin{tabular}{rl} \textsc{German} @@ -306,19 +306,19 @@ Good Knowledge & \textsc{Python}\\ \\ \end{tabular}\\[10pt] %---------------------------------------------------------------------------------------- - + \end{minipage} % End right-hand side of the page %----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- % Start the left-hand side of the page \begin{minipage}[t]{0.5\textwidth} \vspace{0pt} % Trick for alignment - + %---------------------------------------------------------------------------------------- % WORK EXPERIENCE %---------------------------------------------------------------------------------------- -\section{Work Experience} +\section{Work Experience} %---------------------------------------------------------------------------------------- % WORK EXPERIENCE -3- @@ -327,11 +327,11 @@ Good Knowledge & \textsc{Python}\\ \\ {\raggedright\large Freelance Work\\ \textit{building an online service}\\[5pt]} -\normalsize{I have started to work as a freelancer at the beginning +\normalsize{I have started to work as a freelancer at the beginning of 2011. I have developed an online-service which helped schools to coordinate their dates. I have sold this online service to -two schools in bavaria and three other schools were interested. -Unfortunately, the ministry of education of Bavaria +two schools in bavaria and three other schools were interested. +Unfortunately, the ministry of education of Bavaria released an application with similar functionality in 2012. This was the reason why I decided to shut down my service.}\\ %---------------------------------------------------------------------------------------- @@ -341,32 +341,32 @@ released an application with similar functionality in {\raggedright\large HackIts, Puzzles and Challenges\\ \textit{ProjectEuler, bright-shadows.net and many more}\\[5pt]} -\normalsize{I really love solving logical, algorithmical or math -puzzles and participated in competitions. I started to solve puzzles -in 2006 and I still like them. This was the reason why I participated -in a practical curse at KIT for preparation for ICPC. It was fun, -but I found out that many people are much faster in producing C++ +\normalsize{I really love solving logical, algorithmical or math +puzzles and participated in competitions. I started to solve puzzles +in 2006 and I still like them. This was the reason why I participated +in a practical curse at KIT for preparation for ICPC. It was fun, +but I found out that many people are much faster in producing C++ code that passed the tests than I am. -However, as I've been very successfull at the Federal Competition for -Computer Science (``Bundeswettbewerb Informatik'') it seems as if I'm +However, as I've been very successfull at the Federal Competition for +Computer Science (``Bundeswettbewerb Informatik'') it seems as if I'm better in problem solving if I get more time to think about it.}\\ -%---------------------------------------------------------------------------------------- +%---------------------------------------------------------------------------------------- \section{Future plans and motivation} -I watched a video about Google Driverless Car in June 2013 and was +I watched a video about Google Driverless Car in June 2013 and was totally amazed. I've started two online courses on Udacity to learn more about this topic. Currently, I try to find a good way to compute the minimum distance of a point to a cubic spline which is necessary to apply the PID algorithm for steering control.\\ I'm currently employed as a research assistant at Institute for Anthropomatics (KIT). -My task is to implement some changes that were proposed in a thesis +My task is to implement some changes that were proposed in a thesis to the KIT lecture translation system. The work helps me to understand how speech recognition works. -I will definitely also make a masters degree in computer science. +I will definitely also make a masters degree in computer science. A topic about which I would like to learn more are self driving cars. But I think there are no courses in Karlsruhe @@ -380,14 +380,14 @@ in an English speaking country which is not in Europe. \end{minipage} % End left-hand side of the page \hfill % Start the right-hand side of the page -\begin{minipage}[t]{0.44\textwidth} +\begin{minipage}[t]{0.44\textwidth} \vspace{0pt} %trick for alignment %---------------------------------------------------------------------------------------- % AWARDS %---------------------------------------------------------------------------------------- -\section{Projects} +\section{Projects} \begin{tabular}{rl} 11/2013 & \textbf{Book about Geometry and Topology}\\ @@ -430,7 +430,7 @@ in an English speaking country which is not in Europe. % COMPUTER SKILLS %---------------------------------------------------------------------------------------- -\section{Online Courses} +\section{Online Courses} \begin{tabular}{rll} 09/2013 & \textbf{Artificial Intelligence} & Udacity\\ @@ -447,9 +447,9 @@ in an English speaking country which is not in Europe. \end{tabular}\\[10pt] %---------------------------------------------------------------------------------------- - + \end{minipage} % End right-hand side of the page %\includepdf[pages=1-2]{zeugnis} -\end{document} +\end{document} diff --git a/documents/eaz/eaz.tex b/documents/eaz/eaz.tex index ddd9c33..fa604a4 100644 --- a/documents/eaz/eaz.tex +++ b/documents/eaz/eaz.tex @@ -12,11 +12,11 @@ \clubpenalty = 10000 % Schusterjungen verhindern \widowpenalty = 10000 % Hurenkinder verhindern -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {EAZ}, - pdftitle = {Einführung in die Algebra und Zahlentheorie} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {EAZ}, + pdftitle = {Einführung in die Algebra und Zahlentheorie} +} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Custom definition style, by % @@ -52,22 +52,22 @@ \definecolor{FrameColor}{rgb}{0.25,0.25,1.0} \definecolor{TitleColor}{rgb}{1.0,1.0,1.0} -\newenvironment{contlabelframe}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{% +\newenvironment{contlabelframe}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{% % Optional continuation label defaults to the first label plus \def\Frame@Lab{#2}% \def\FrameCommand{\LabFrame{#2}}% \def\FirstFrameCommand{\LabFrame{#2}}% \def\MidFrameCommand{\LabFrame{#1}}% \def\LastFrameCommand{\LabFrame{#1}}% - \MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore} -}{\endMakeFramed} + \MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore} +}{\endMakeFramed} \newcounter{definition} \newenvironment{definition}[1]{% \par \refstepcounter{definition}% \begin{contlabelframe}{Definition \thedefinition:\quad #1} \noindent\ignorespaces} -{\end{contlabelframe}} +{\end{contlabelframe}} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % NPC-Box % @@ -102,22 +102,22 @@ \definecolor{FrameColorNPC}{rgb}{0.25,0.25,0.25} \definecolor{TitleColor}{rgb}{1.0,1.0,1.0} -\newenvironment{contlabelframenpc}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{% +\newenvironment{contlabelframenpc}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{% % Optional continuation label defaults to the first label plus \def\Frame@Lab{#2}% \def\FrameCommand{\LabFrameNPC{#2}}% \def\FirstFrameCommand{\LabFrameNPC{#2}}% \def\MidFrameCommand{\LabFrameNPC{#1}}% \def\LastFrameCommand{\LabFrameNPC{#1}}% - \MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore} -}{\endMakeFramed} + \MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore} +}{\endMakeFramed} \newcounter{npcproblem} \newenvironment{satz}[2]{% \par \refstepcounter{npcproblem}% \begin{contlabelframenpc}{Satz \thenpcproblem:\quad {#1}} \noindent\ignorespaces} -{\end{contlabelframenpc}} +{\end{contlabelframenpc}} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% @@ -128,7 +128,7 @@ \begin{satz}{Euklid}{} Es sein $n \in \mathbb{N}$. Die Zahl $m := n! + 1$ hat einen Primteiler, aber dieser kann nicht $\leq n$ sein, denn sonst müsste er wegen -$p|m$ und $p|n!$ auch $1=m-n!$ teilen. +$p|m$ und $p|n!$ auch $1=m-n!$ teilen. Also gibt es eine Primzahl $> n \blacksquare$ \end{satz} @@ -189,16 +189,16 @@ Es sein $p \geq 3$ eine Primzahl. Für $a \in \mathbb{Z}$ sei \item[(III)] $a \equiv b \mod p \Rightarrow \left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)$ \item[(IV)] $\left(\frac{a}{3}\right) = a \mod 3$ \item[(V)] Quadratische Reziprozitätsgesetz: Es seinen $p \neq l$ zwei ungerade Primzahlen. Dann gilt:\\ - $\left(\frac{p}{l}\right) \cdot \left(\frac{l}{p}\right) = + $\left(\frac{p}{l}\right) \cdot \left(\frac{l}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{l-1}{2}} $ - \item[(VI)] Erste Ergänzung: $\left(\frac{-1}{p}\right) = + \item[(VI)] Erste Ergänzung: $\left(\frac{-1}{p}\right) = \begin{cases} 1 & \text{, falls } p \equiv 1 \mod 4\\ -1 & \text{, falls } p \equiv 3 \mod 4 \end{cases} $ - \item[(VII)] Zweite Ergänzung: $\left(\frac{2}{p}\right) = + \item[(VII)] Zweite Ergänzung: $\left(\frac{2}{p}\right) = \begin{cases} 1 & \text{, falls } p \equiv \pm 1 \mod 8\\ -1 & \text{, falls } p \equiv \pm 3 \mod 8 diff --git a/documents/entropie-distanz/entropie-distanz.tex b/documents/entropie-distanz/entropie-distanz.tex index 9606ef6..e381514 100644 --- a/documents/entropie-distanz/entropie-distanz.tex +++ b/documents/entropie-distanz/entropie-distanz.tex @@ -14,11 +14,11 @@ \clubpenalty = 10000 % Schusterjungen verhindern \widowpenalty = 10000 % Hurenkinder verhindern -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {ASR}, - pdftitle = {Entropie-Distanz von Martin Thoma} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {ASR}, + pdftitle = {Entropie-Distanz von Martin Thoma} +} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Custom definition style, by % @@ -54,22 +54,22 @@ \definecolor{FrameColor}{rgb}{0.25,0.25,1.0} \definecolor{TitleColor}{rgb}{1.0,1.0,1.0} -\newenvironment{contlabelframe}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{% +\newenvironment{contlabelframe}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{% % Optional continuation label defaults to the first label plus \def\Frame@Lab{#2}% \def\FrameCommand{\LabFrame{#2}}% \def\FirstFrameCommand{\LabFrame{#2}}% \def\MidFrameCommand{\LabFrame{#1}}% \def\LastFrameCommand{\LabFrame{#1}}% - \MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore} -}{\endMakeFramed} + \MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore} +}{\endMakeFramed} \newcounter{definition} \newenvironment{definition}[1]{% \par \refstepcounter{definition}% \begin{contlabelframe}{Definition \thedefinition:\quad #1} \noindent\ignorespaces} -{\end{contlabelframe}} +{\end{contlabelframe}} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Begin document % diff --git a/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-2.tex b/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-2.tex index a836a14..932d5f7 100644 --- a/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-2.tex +++ b/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-2.tex @@ -1,19 +1,19 @@ \section{Einwegfunktionen} -Eine Einwegfunktion ist in der Mathematik eine Beziehung zwischen -zwei Mengen, die "`komplexitätstheoretisch "`schwer"' umzukehren ist"'\footnote{[Beutelspacher], S. 114}. -Ein Beispiel für eine Einwegfunktion ist die Multiplikation zweier -Zahlen. Die Laufzeit des Schönhage-Strassen-Algorithmus zur +Eine Einwegfunktion ist in der Mathematik eine Beziehung zwischen +zwei Mengen, die "`komplexitätstheoretisch "`schwer"' umzukehren ist"'\footnote{[Beutelspacher], S. 114}. +Ein Beispiel für eine Einwegfunktion ist die Multiplikation zweier +Zahlen. Die Laufzeit des Schönhage-Strassen-Algorithmus zur Multiplikation zweier $n$-stelliger ganzer Zahlen ist mit $\mathcal{O}(n \cdot \log(n) \cdot \log(log(n)))$\footnote{[Pethö], S. 25} -deutlich kleiner als die Laufzeit von des Zahlkörpersiebs -$\mathcal{O}(e^{(1,92+o(1)) \sqrt[3]{\ln n} \sqrt[3]{(\ln \ln n)^2}})$\footnote{[Rothe], S. 384}, +deutlich kleiner als die Laufzeit von des Zahlkörpersiebs +$\mathcal{O}(e^{(1,92+o(1)) \sqrt[3]{\ln n} \sqrt[3]{(\ln \ln n)^2}})$\footnote{[Rothe], S. 384}, das der Faktorisierung dient. -Die Sicherheit des RSA-Verfahrens zur asymmetrischen -Verschlüsselung basiert auf der Annahme, dass die Faktorisierung -einer großen Zahl deutlich länger dauert als das Multiplizieren der -Primfaktoren. Falls es keinen besseren Algorithmus zur Faktorisierung -als zur Multiplikation gibt, ist diese Annahme korrekt. Nach dem +Die Sicherheit des RSA-Verfahrens zur asymmetrischen +Verschlüsselung basiert auf der Annahme, dass die Faktorisierung +einer großen Zahl deutlich länger dauert als das Multiplizieren der +Primfaktoren. Falls es keinen besseren Algorithmus zur Faktorisierung +als zur Multiplikation gibt, ist diese Annahme korrekt. Nach dem Stand von 2009 ist dies der Fall. Weitere Hinweise zur Sicherheit des RSA-Kryptosystems sind in \cref{sec:Security} zu finden. diff --git a/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-3.tex b/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-3.tex index 5f09e52..b8fe7d7 100644 --- a/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-3.tex +++ b/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-3.tex @@ -1,16 +1,16 @@ \section{Restklassen} -Teilt man eine ganze Zahl $a$ durch eine ganze Zahl $m \neq 0$, so +Teilt man eine ganze Zahl $a$ durch eine ganze Zahl $m \neq 0$, so bleibt ein Rest $r \in \mathbb{N}_0$. Anhand aller möglichen Reste -$0 \leq r < m$ teilt man nun alle Zahlen in $|m|$ Teilmengen ein. -Diese Teilmengen nennt man Restklassen. Man sagt, alle Zahlen, die -den selben Rest $r$ beim Teilen durch $m$ lassen, gehören der selben -Restklasse modulo $m$ an\footnote{[Forster], S. 45}. -Ein Beispiel aus dem Alltag sind Zeitangaben. Man schreibt nicht 348 -Minuten, sondern 5 Stunden und 48 Minuten. Es wird also modulo 60 -gerechnet. Auch in der Grund-schule rechnet man mit Restklassen -modulo 10, wenn man ganze Zahlen in Einer, Zehner und Hunderter +$0 \leq r < m$ teilt man nun alle Zahlen in $|m|$ Teilmengen ein. +Diese Teilmengen nennt man Restklassen. Man sagt, alle Zahlen, die +den selben Rest $r$ beim Teilen durch $m$ lassen, gehören der selben +Restklasse modulo $m$ an\footnote{[Forster], S. 45}. +Ein Beispiel aus dem Alltag sind Zeitangaben. Man schreibt nicht 348 +Minuten, sondern 5 Stunden und 48 Minuten. Es wird also modulo 60 +gerechnet. Auch in der Grund-schule rechnet man mit Restklassen +modulo 10, wenn man ganze Zahlen in Einer, Zehner und Hunderter unterteilt.\\ -Ein weiteres Beispiel ist die Einteilung in gerade und ungerade -Zahlen. Bleibt bei einer Zahl kein Rest beim Teilen durch zwei, so -wird sie als "`gerade"' bezeichnet und ist in einer Restklasse +Ein weiteres Beispiel ist die Einteilung in gerade und ungerade +Zahlen. Bleibt bei einer Zahl kein Rest beim Teilen durch zwei, so +wird sie als "`gerade"' bezeichnet und ist in einer Restklasse modulo 2 mit allen anderen geraden Zahlen. diff --git a/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-4.tex b/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-4.tex index 0625a28..a3d8f4a 100644 --- a/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-4.tex +++ b/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-4.tex @@ -1,17 +1,17 @@ \section{Eulersche $\varphi$-Funktion}\label{sec:Eulersche-Phi-Funktion} -Die Eulersche $\varphi$-Funktion gibt für jede natürliche Zahl $n$ an, +Die Eulersche $\varphi$-Funktion gibt für jede natürliche Zahl $n$ an, wie viele positive ganze Zahlen $a \leq n $ zu ihr relativ prim sind\footnote{[Brill], S. 148}. -$a$ ist zu $n$ relativ prim, wenn $ggT(a,n) = 1$ gilt, also wenn $a$ -und $n$ keinen größeren gemeinsamen Teiler als $1$ haben. Man sagt +$a$ ist zu $n$ relativ prim, wenn $ggT(a,n) = 1$ gilt, also wenn $a$ +und $n$ keinen größeren gemeinsamen Teiler als $1$ haben. Man sagt auch "`a und b sind teilerfremd"'. -$\varphi(n)$ ist zugleich die Ordnung der multiplikativen Gruppe $(\mathbb{Z}/n \mathbb{Z})^*$. +$\varphi(n)$ ist zugleich die Ordnung der multiplikativen Gruppe $(\mathbb{Z}/n \mathbb{Z})^*$. $\varphi(n)$ gibt also an, wie viele Zahlen im Restklassenring modulo $n$ ein multiplikativ Inverses haben. Mehr dazu in \cref{sec:Multiplikativ-Inverses} -Für Primzahlen gilt $\varphi(p) = p - 1$ , da eine Primzahl nur -durch sich und eins teilbar ist. Sei $A$ die multiplikative Gruppe -einer Primzahl $p$, $B$ die multiplikative Gruppe einer Primzahl $q$ -und $C$ die multiplikative Gruppe von $p \cdot q$. Dann ist $|C| = |A| \cdot |B|$ und +Für Primzahlen gilt $\varphi(p) = p - 1$ , da eine Primzahl nur +durch sich und eins teilbar ist. Sei $A$ die multiplikative Gruppe +einer Primzahl $p$, $B$ die multiplikative Gruppe einer Primzahl $q$ +und $C$ die multiplikative Gruppe von $p \cdot q$. Dann ist $|C| = |A| \cdot |B|$ und $\varphi(p \cdot q) = |C|$, $\varphi(p) = |A|$ sowie $\varphi(q) = |B|$. Daraus folgt, dass $\varphi(pq) = \varphi(p) \cdot \varphi(q) = (p-1) \cdot (q - 1)$ für zwei Primzahlen $p \neq q$ gilt. diff --git a/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-5.tex b/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-5.tex index f53c3e1..b2821d3 100644 --- a/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-5.tex +++ b/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-5.tex @@ -1,16 +1,16 @@ \section{Lineare Kongruenzen} \subsection{Allgemeine Informationen} -Zwei Zahlen $a, b \in \mathbb{Z}$ heißen kongruent modulo $m \in \mathbb{N}$, -falls $a$ und $b$ bei der Division durch $m$ den den gleichen Rest lassen. +Zwei Zahlen $a, b \in \mathbb{Z}$ heißen kongruent modulo $m \in \mathbb{N}$, +falls $a$ und $b$ bei der Division durch $m$ den den gleichen Rest lassen. Man schreibt $a \equiv b \imod{m}$\footnote{[Reiss], S. 179f}. Gilt $ax \equiv b \imod{m}$, für $a, b, x \in \mathbb{Z}$ und $m \in \mathbb{N}$, -dann bedeutet das, dass $m | (ax - b)$ für ein passendes $x$. -Man nennt $ax \equiv b \imod{m}$ ein lineares Kongruenzsystem. -\clearpage +dann bedeutet das, dass $m | (ax - b)$ für ein passendes $x$. +Man nennt $ax \equiv b \imod{m}$ ein lineares Kongruenzsystem. +\clearpage \subsection{Chinesischer Restsatz} -Der Chinesische Restsatz sagt, ob lineare Kongruenzsysteme lösbar +Der Chinesische Restsatz sagt, ob lineare Kongruenzsysteme lösbar sind und wie diese Lösungen aussehen: \begin{mdframed}[tikzsetting={draw=red,ultra thick}, innertopmargin=0.6cm] diff --git a/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-6.tex b/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-6.tex index 31ab927..f47881c 100644 --- a/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-6.tex +++ b/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-6.tex @@ -1,19 +1,19 @@ \section{Multiplikativ inverses Element}\label{sec:Multiplikativ-Inverses} \subsection{Definition und Beispiele} -Das multiplikativ inverse Element $d$ von $e$ ergibt bei der -Multiplikation mit $e$ das neutrale Element der Multiplikation, also +Das multiplikativ inverse Element $d$ von $e$ ergibt bei der +Multiplikation mit $e$ das neutrale Element der Multiplikation, also die Eins: $d \cdot e = 1$ -In $\mathbb{R} \setminus \Set{0}$ hat jedes Element ein multiplikativ -Inverses, den Kehrbruch. In $\mathbb{Z}/7 \mathbb{Z}$ ist das -multiplikativ Inverse von zwei in der Restgruppe von vier, da +In $\mathbb{R} \setminus \Set{0}$ hat jedes Element ein multiplikativ +Inverses, den Kehrbruch. In $\mathbb{Z}/7 \mathbb{Z}$ ist das +multiplikativ Inverse von zwei in der Restgruppe von vier, da $2 \cdot 4 = 8$ und $8 \equiv 1 \imod{7}$. -Mit dem erweitertem euklidischem Algorithmus kann man das -multiplikativ Inverse von $a$ in $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ finden. +Mit dem erweitertem euklidischem Algorithmus kann man das +multiplikativ Inverse von $a$ in $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ finden. \subsection{Erweiterter euklidischer Algorithmus} -Sind zwei Zahlen $a > b$ gegeben und will deren größten gemeinsamen -Teiler berechnen, so kann man den erweiterten euklidischen +Sind zwei Zahlen $a > b$ gegeben und will deren größten gemeinsamen +Teiler berechnen, so kann man den erweiterten euklidischen Algorithmus anwenden: \begin{enumerate} @@ -26,23 +26,23 @@ Algorithmus anwenden: Dann ist $r_{n-1} = ggT(a,b)$ -Mit diesem Algorithmus kann man nun das multiplikativ Inverse von $a$ -in $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ finden, wenn der größte gemeinsame Teiler von $a$ und -$n$ gleich 1 ist. Da im vorletzten Schritt $r_{n - 1} = 1$ ist, kann man 1 als -Linearkombination der Reste von $r_{n - 3}$ und $r_{n - 2}$ -darstellen. Diese Reste kann man wiederum als Linearkombination -vorhergehender Reste darstellen. Dies setzt man so lange fort, -bis man eine Linearkombination mit $a$ und $n$ von 1 hat. Da wir im -Restklassenring $n$ sind, muss man nur das Produkt mit $a$ betrachten -und kann das multiplikativ Inverse zu $a$ im Restklassenring -$\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ ablesen. +Mit diesem Algorithmus kann man nun das multiplikativ Inverse von $a$ +in $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ finden, wenn der größte gemeinsame Teiler von $a$ und +$n$ gleich 1 ist. Da im vorletzten Schritt $r_{n - 1} = 1$ ist, kann man 1 als +Linearkombination der Reste von $r_{n - 3}$ und $r_{n - 2}$ +darstellen. Diese Reste kann man wiederum als Linearkombination +vorhergehender Reste darstellen. Dies setzt man so lange fort, +bis man eine Linearkombination mit $a$ und $n$ von 1 hat. Da wir im +Restklassenring $n$ sind, muss man nur das Produkt mit $a$ betrachten +und kann das multiplikativ Inverse zu $a$ im Restklassenring +$\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ ablesen. Hier ein Beispiel zur Veranschaulichung: Sei $a = (\text{Primzahl}_1 - 1) \cdot (\text{Primzahl}_2 - 1) =(3 - 1) \cdot (47 - 1) = 92$ und $b=71$ -Gesucht ist das multiplikativ Inverse $b \in \mathbb{Z} / a \mathbb{Z}$ von $x \cdot 71 \equiv 1 \imod{92}$: +Gesucht ist das multiplikativ Inverse $b \in \mathbb{Z} / a \mathbb{Z}$ von $x \cdot 71 \equiv 1 \imod{92}$: \begin{tabular}{lll} \textbf{Schritt 1}: euklidischer Algorithmus & & \textbf{Schritt 2}: nach Rest auflösen\\ @@ -65,7 +65,7 @@ $1 = x \cdot 92 + y \cdot 71$ gefunden ist: 1 &= 11 \cdot 71 - 3 \cdot 92 - 24 \cdot (92 - 71) &&= 35 \cdot 71 - 27 \cdot 92 \end{align*} -Das bedeutet 35 ist das multiplikativ Inverse zu 71 in +Das bedeutet 35 ist das multiplikativ Inverse zu 71 in $ \mathbb{Z} / 92 \mathbb{Z}$ und erfüllt damit die Kongruenzgleichung $35 \cdot 71 \equiv 1 \imod{92}$. diff --git a/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-7.tex b/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-7.tex index 9761425..566253e 100644 --- a/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-7.tex +++ b/documents/facharbeit-rsa/Kapitel-7.tex @@ -1,36 +1,36 @@ \section{RSA-Verfahren}\label{sec:RSA-Verfahren} -Das RSA-Verfahren ist ein asymmetrisches Kryptosystem, das von -Ronald Linn \textbf{R}ivest, Adi \textbf{S}hamir und Leonard +Das RSA-Verfahren ist ein asymmetrisches Kryptosystem, das von +Ronald Linn \textbf{R}ivest, Adi \textbf{S}hamir und Leonard \textbf{A}dleman entwickelt und im August 1977 veröffentlicht wurde\footnote{[msri], S. 2}. -Da das RSA-Verfahren asymmetrisch ist, wird sowohl ein öffentlicher -Schlüssel als auch ein privater Schlüssel benötigt. Der öffentliche -Schlüssel dient der Verschlüsselung und besteht aus dem RSA-Modul $N$ -und dem Verschlüsselungsexponenten $e$. Der private Schlüssel +Da das RSA-Verfahren asymmetrisch ist, wird sowohl ein öffentlicher +Schlüssel als auch ein privater Schlüssel benötigt. Der öffentliche +Schlüssel dient der Verschlüsselung und besteht aus dem RSA-Modul $N$ +und dem Verschlüsselungsexponenten $e$. Der private Schlüssel besteht aus dem Entschlüsselungsexponenten $d$ und dem selben RSA-Modul $N$. -Die Erzeugung dieser drei Zahlen $N$, $e$ und $d$ für das RSA-Verfahren +Die Erzeugung dieser drei Zahlen $N$, $e$ und $d$ für das RSA-Verfahren kann, in An-lehnung an [wiki-RSA], in fünf Schritte unterteilt werden: \begin{description} - \item[Schritt 1:] Als erstes werden zwei große Primzahlen gewählt. - Je größer diese Primzahlen sind, desto sicherer + \item[Schritt 1:] Als erstes werden zwei große Primzahlen gewählt. + Je größer diese Primzahlen sind, desto sicherer ist die Verschlüsselung. (vgl. \cref{sec:Security}) - \item[Schritt 2:] In diesem Schritt wird RSA-Modul $N = p \cdot q$ - berechnet, das ein Teil des öffentlichen + \item[Schritt 2:] In diesem Schritt wird RSA-Modul $N = p \cdot q$ + berechnet, das ein Teil des öffentlichen Schlüssels ist. - \item[Schritt 3:] Schritt 3: Nun wird der Wert der Eulerschen - $\varphi$-Funktion bei $N$ berechnet. Da $p$ + \item[Schritt 3:] Schritt 3: Nun wird der Wert der Eulerschen + $\varphi$-Funktion bei $N$ berechnet. Da $p$ und $q$ Primzahlen sind, gilt $\varphi(N) = (p-1) \cdot (q-1)$ (vgl. \cref{sec:Eulersche-Phi-Funktion}) - \item[Schritt 4:] Nachdem $\varphi(N)$ ermittelt wurde, kann der - zweite Teil des öffentlichen Schlüssel, der - Verschlüsselungsexponent $e$, ermittelt werden. + \item[Schritt 4:] Nachdem $\varphi(N)$ ermittelt wurde, kann der + zweite Teil des öffentlichen Schlüssel, der + Verschlüsselungsexponent $e$, ermittelt werden. Folgende Bedingungen müssen für $e$ gelten: $1 < e < \varphi(N) $ und $ggT(e, \varphi(N)) = 1$ - \item[Schritt 5:] Es folgt die Berechnung des Entschlüsselungsexponenten - $d$ als multiplikativ Inverses von $e$ - bezüglich des Modules $\varphi(N)$. Es soll + \item[Schritt 5:] Es folgt die Berechnung des Entschlüsselungsexponenten + $d$ als multiplikativ Inverses von $e$ + bezüglich des Modules $\varphi(N)$. Es soll also folgende Kongruenz gelten: $e \cdot d \equiv 1 \imod{\varphi(N)}$ @@ -38,13 +38,13 @@ kann, in An-lehnung an [wiki-RSA], in fünf Schritte unterteilt werden: \subsection{Verschlüsselung mit dem öffentlichen Schlüssel} -Ein Text wird verschlüsselt, indem er in Zahlen umgewandelt wird. Für -diese Umwandlung kann der ASCII-Code verwendet werden. Sobald man -Zahlen hat, kann man den unverschlüsselten Klartext $K$ mit folgender +Ein Text wird verschlüsselt, indem er in Zahlen umgewandelt wird. Für +diese Umwandlung kann der ASCII-Code verwendet werden. Sobald man +Zahlen hat, kann man den unverschlüsselten Klartext $K$ mit folgender Kongruenzgleichung in den verschlüsselten Geheimtext $G$ umwandeln: $G \equiv K^e \imod{N}$.\\ Die Zahl $N$ sollte deutlich größer sein als K\footnote{vgl. [Reiss], S. 288}. -In folgendem Beispiel wird der Klartext "`12"' verschlüsselt. Dazu +In folgendem Beispiel wird der Klartext "`12"' verschlüsselt. Dazu werden als Erstes alle benötigten Variablen erzeugt oder berechnet: \begin{description} @@ -55,7 +55,7 @@ werden als Erstes alle benötigten Variablen erzeugt oder berechnet: \item[Schritt 5:] $877 \cdot d \equiv 1 \imod{130788}$ \end{description} -Um ein $d$ zu finden, das diese Kongruenz erfüllt, wird der +Um ein $d$ zu finden, das diese Kongruenz erfüllt, wird der erweiterte euklidische Algorithmus angewendet: \begin{tabular}{lll} @@ -87,8 +87,8 @@ Probe: \[\frac{d \cdot e - 1}{\varphi(N)} = \frac{877 \cdot 9097 - 1}{130788} = 61\] -Nun wird der Geheimtext $G$ mit dem Verschlüsselungsexponenten $e$ -aus dem Klartext $K$ berechnet: +Nun wird der Geheimtext $G$ mit dem Verschlüsselungsexponenten $e$ +aus dem Klartext $K$ berechnet: \begin{align*} G &\equiv K^e \imod{N}\\ @@ -100,11 +100,11 @@ G &\equiv 29467 \imod{131513} \subsection{Entschlüsselung mit dem privaten Schlüssel}\label{sec:Decryption} \subsubsection{Entschlüsselung ohne den Chinesischen Restsatz} -Der Geheimtext wird entschlüsselt, indem man ihn mit $d$ potenziert -und dann denn kleinsten positiven Repräsentanten der Restklasse $N$ +Der Geheimtext wird entschlüsselt, indem man ihn mit $d$ potenziert +und dann denn kleinsten positiven Repräsentanten der Restklasse $N$ berechnet: $K \equiv G^d \imod{N}$ -Im Folgenden wird die Entschlüsselung auf das vorhergehende Beispiel +Im Folgenden wird die Entschlüsselung auf das vorhergehende Beispiel angewendet: \begin{align*} @@ -117,9 +117,9 @@ K &\equiv 12 \imod{131513} \end{align*} \subsubsection{Entschlüsselung mit dem Chinesischen Restsatz} -Falls der Entschlüsselungsexponent $d$ sehr groß ist, kann das -Potenzieren lange dauern. Dies kann mit dem Chinesischem Restsatz -beschleunigt werden\footnote{[Paixão], S. 1}. +Falls der Entschlüsselungsexponent $d$ sehr groß ist, kann das +Potenzieren lange dauern. Dies kann mit dem Chinesischem Restsatz +beschleunigt werden\footnote{[Paixão], S. 1}. Diese Idee wurde [Paixão] entnommen: Der Geheimtext $G$ und der Exponent $d$ wird folgendermaßen geteilt: @@ -148,7 +148,7 @@ K_p &\equiv {G_p} ^ {d_p} \imod{p}\\ K_q &\equiv {G_q} ^ {d_q} \imod{q} \end{align*} -Der Chinesische Restsatz ermöglicht es nun, eine Lösung $K$ für die +Der Chinesische Restsatz ermöglicht es nun, eine Lösung $K$ für die folgenden Kongruenzen zu finden: \begin{align*} @@ -169,8 +169,8 @@ Diese Methode ist etwa vier mal schneller als die Entschlüsselung mit $d$\footn \subsection{Entschlüsselung ohne den privaten Schlüssel} Ist der Entschlüsselungsexponent $d$ unbekannt, so kann dieser durch -Faktorisierung von $N$ zurückgewonnen werden. Faktorisiert man $N$, so -kann $\varphi(N)$ berechnet werden und die Kongruenz $e \cdot d \equiv 1 \imod{\varphi(N)}$ gelöst werden. +Faktorisierung von $N$ zurückgewonnen werden. Faktorisiert man $N$, so +kann $\varphi(N)$ berechnet werden und die Kongruenz $e \cdot d \equiv 1 \imod{\varphi(N)}$ gelöst werden. Als praktische Arbeit wurde mir folgende Aufgabe gestellt: @@ -184,66 +184,66 @@ y := 65087_24329_19692_65260_21005_67465_76581_27499; Wie lautet die Botschaft im Klartext? \end{mdframed} -Um diese Aufgabe zu lösen, versucht man den privaten Schlüssel mit +Um diese Aufgabe zu lösen, versucht man den privaten Schlüssel mit Hilfe des öffentlichen Schlüssels wiederherzustellen. -Der private Schlüssel $d$ muss die Kongruenzgleichung -$e \cdot d \equiv 1 \imod{\varphi(N)}$ erfüllen, allerdings sind -$\varphi(N)$ und $d$ nicht bekannt. Um $\varphi(N)$ zu berechnen, -werden die Primfaktoren $p$ und $q$, aus denen $N$ besteht, benötigt. -$N$ muss also faktorisiert werden. Sobald ein Faktor von $N$ bekannt -ist, kann man $N$ durch diesen Faktor teilen und man erhält den +Der private Schlüssel $d$ muss die Kongruenzgleichung +$e \cdot d \equiv 1 \imod{\varphi(N)}$ erfüllen, allerdings sind +$\varphi(N)$ und $d$ nicht bekannt. Um $\varphi(N)$ zu berechnen, +werden die Primfaktoren $p$ und $q$, aus denen $N$ besteht, benötigt. +$N$ muss also faktorisiert werden. Sobald ein Faktor von $N$ bekannt +ist, kann man $N$ durch diesen Faktor teilen und man erhält den zweiten Faktor. Dann kann man wie in \cref{sec:RSA-Verfahren} vorgehen und $d$ berechnen. Mit $d$ kann man wie in \cref{sec:Decryption} beschrieben die Geheimbotschaft entschlüsseln. -Wird das Aribas-Skript im Anhang ausgeführt, das diese Schritte +Wird das Aribas-Skript im Anhang ausgeführt, das diese Schritte ausführt, erhält man den Klartext "`\textbf{RSAribas}"'. \subsection{Sicherheit des RSA-Algorithmus}\label{sec:Security} -Der RSA-Algorithmus kann, wie oben beschrieben, "`geknackt"' werden, -indem der öffentliche Schlüssel faktorisiert wird. Allerdings ist das -bei großen Zahlen nahezu unmöglich, da die Algorithmen sehr lange -Laufzeiten haben\footnote{[RSA-2190]}. -Wie lange die Faktorisierung dauert hängt einerseits vom Algorithmus, -andererseits von der Hardware ab. +Der RSA-Algorithmus kann, wie oben beschrieben, "`geknackt"' werden, +indem der öffentliche Schlüssel faktorisiert wird. Allerdings ist das +bei großen Zahlen nahezu unmöglich, da die Algorithmen sehr lange +Laufzeiten haben\footnote{[RSA-2190]}. +Wie lange die Faktorisierung dauert hängt einerseits vom Algorithmus, +andererseits von der Hardware ab. -Um ein Gefühl dafür zu bekommen was "`sehr lange"' bedeutet, kann man -die "`RSA Factoring Challenge"' als Beispiel betrachten. Eine -193-stellige Zahl sollte Faktorisiert werden. Für diese Aufgabe -wurde am 18. März 1991 ein Preisgeld von 20.000 US-Dollar -ausgeschrieben. Ein Team des Instituts für Experimentelle Mathematik -in Essen hat am 2. November 2005 diese Aufgabe gelöst und dafür -über fünf Monate benötigt. Der Rechenaufwand betrug etwa 30 +Um ein Gefühl dafür zu bekommen was "`sehr lange"' bedeutet, kann man +die "`RSA Factoring Challenge"' als Beispiel betrachten. Eine +193-stellige Zahl sollte Faktorisiert werden. Für diese Aufgabe +wurde am 18. März 1991 ein Preisgeld von 20.000 US-Dollar +ausgeschrieben. Ein Team des Instituts für Experimentelle Mathematik +in Essen hat am 2. November 2005 diese Aufgabe gelöst und dafür +über fünf Monate benötigt. Der Rechenaufwand betrug etwa 30 2.2GHz-Opteron-CPU Jahre\footnote{[RSA-2964]}. -Das Faktorisieren wird zwar immer schneller, da man über bessere und -billigere Computer sowie effizientere Algorithmen verfügt, allerdings -steigt mit den Hardwareverbesserungen die Sicherheit des -RSA-Algorithmus. Mit einer besseren Hardware können deutlich größere -Primzahlen erzeugt werden und damit auch ein deutlich längerer -öffentlicher Schlüssel generiert werden, der zur Verschlüsselung der +Das Faktorisieren wird zwar immer schneller, da man über bessere und +billigere Computer sowie effizientere Algorithmen verfügt, allerdings +steigt mit den Hardwareverbesserungen die Sicherheit des +RSA-Algorithmus. Mit einer besseren Hardware können deutlich größere +Primzahlen erzeugt werden und damit auch ein deutlich längerer +öffentlicher Schlüssel generiert werden, der zur Verschlüsselung der Nachricht dient. -Ein verbesserter Faktorisierungsalgorithmus würde die Sicherheit des -RSA-Kryptosystems gefährden. Es ist jedoch unwahrscheinlich, dass ein -solcher Algorithmus gefunden wird, da das Problem als schwer +Ein verbesserter Faktorisierungsalgorithmus würde die Sicherheit des +RSA-Kryptosystems gefährden. Es ist jedoch unwahrscheinlich, dass ein +solcher Algorithmus gefunden wird, da das Problem als schwer angesehen wird.\footnote{[RSA-2191]} -Ein weiterer möglicher Angriff auf das RSA-Kryptosystem wäre die -$e$-te Wurzel $\imod{n}$ zu finden. Da $G \equiv K^e \imod{N}$ ist, -wäre $K \equiv \sqrt[e]{K^e} \imod{N}$. Allerdings ist kein Angriff, -der so funktioniert, bekannt4. Um zu veranschaulichen, dass bei einer -Kongruenzgleichung nicht wie gewohnt die Wurzel gezogen werden kann, -betrachte man folgendes Beispiel: $4 \equiv 16 \imod{3}$, aber +Ein weiterer möglicher Angriff auf das RSA-Kryptosystem wäre die +$e$-te Wurzel $\imod{n}$ zu finden. Da $G \equiv K^e \imod{N}$ ist, +wäre $K \equiv \sqrt[e]{K^e} \imod{N}$. Allerdings ist kein Angriff, +der so funktioniert, bekannt4. Um zu veranschaulichen, dass bei einer +Kongruenzgleichung nicht wie gewohnt die Wurzel gezogen werden kann, +betrachte man folgendes Beispiel: $4 \equiv 16 \imod{3}$, aber $\sqrt{4} \neq \sqrt{16} \imod{3}$. \subsection{Warum der RSA-Algorithmus funktioniert} -Der Geheimtext $G$ wird durch potenzieren mit $e$ gewonnen ($G \equiv K^e \imod{N}$) +Der Geheimtext $G$ wird durch potenzieren mit $e$ gewonnen ($G \equiv K^e \imod{N}$) und der Klartext durch potenzieren mit $d$ ($K \equiv G^d \imod{N}$). Zu zeigen ist, dass -$K \equiv K^{e \cdot d} \imod{N}$ mit $ed \equiv 1 \imod{\varphi(N)}$ gilt. +$K \equiv K^{e \cdot d} \imod{N}$ mit $ed \equiv 1 \imod{\varphi(N)}$ gilt. Es kann folgende Umformung durchgeführt werden: \begin{align*} @@ -262,10 +262,10 @@ $K^{\varphi(N)} \equiv 1 \imod{N}$ für $K, N \in \mathbb{N}$ und $ggT(N, K) = Beweis nach [Reiss], S. 218 f.: \hangindent2em \hangafter=0 -Es gibt $\varphi(N)$ verschiedene, zu $N$ teilerfremde Reste. Da $K$ -zu $N$ teilerfremd ist, muss auch jedes der Produkte -$K \cdot r_1 , K \cdot r_2 , \dots, K \cdot r_{\varphi(N)}$ zu $N$ -teilerfremd sein. +Es gibt $\varphi(N)$ verschiedene, zu $N$ teilerfremde Reste. Da $K$ +zu $N$ teilerfremd ist, muss auch jedes der Produkte +$K \cdot r_1 , K \cdot r_2 , \dots, K \cdot r_{\varphi(N)}$ zu $N$ +teilerfremd sein. Es gilt: \begin{align*} @@ -273,9 +273,9 @@ Es gilt: K^{\varphi(N)} \prod_{i=1}^{n=\varphi(N)} r_i &\equiv \prod_{i=1}^{n=\varphi(N)} r_i \imod{N} \end{align*} -Da alle $r_i$ teilerfremd zu N sind, kann man durch das Produkt teilen. Daraus ergibt sich: +Da alle $r_i$ teilerfremd zu N sind, kann man durch das Produkt teilen. Daraus ergibt sich: \[K^{\varphi(N)} \equiv 1 \imod{N}\] Das bedeutet für den RSA-Algorithmus: \[K \cdot K^{x \cdot \varphi(N)} \equiv K \cdot (K^{\varphi(N)})^x \equiv K \cdot 1^x \equiv K \imod{N}\] - + diff --git a/documents/facharbeit-rsa/Literatur.tex b/documents/facharbeit-rsa/Literatur.tex index 52f5c03..63b8eb6 100644 --- a/documents/facharbeit-rsa/Literatur.tex +++ b/documents/facharbeit-rsa/Literatur.tex @@ -32,7 +32,7 @@ Königswinter, Tandem Verlag GmbH, 2006. \subsection*{Internetadressen} {\footnotesize \begin{tabular}{lp{12cm}} -{[Berendt]} & +{[Berendt]} & Berendt, Gerhard.\newline Seminar über Zahlentheorie/Kryptographie.\hfill10.04.2008\newline URL: http://userpage.fu-berlin.de/$\sim$berendt/lehre2008\_neu.html\newline diff --git a/documents/facharbeit-rsa/README.md b/documents/facharbeit-rsa/README.md index 3952f87..63be66a 100644 --- a/documents/facharbeit-rsa/README.md +++ b/documents/facharbeit-rsa/README.md @@ -1,6 +1,6 @@ Dies ist eine LaTeX-Version meiner Facharbeit. Die Original -OpenOffice-Facharbeit ist unter `Facharbeit-Martin-Thoma-2.odt` zu -finden. Damals wurde es wie in `Facharbeit-Martin-Thoma-2.pdf` +OpenOffice-Facharbeit ist unter `Facharbeit-Martin-Thoma-2.odt` zu +finden. Damals wurde es wie in `Facharbeit-Martin-Thoma-2.pdf` angezeigt. Bekannte Probleme: diff --git a/documents/facharbeit-rsa/Selbststaendigkeitserklaerung.tex b/documents/facharbeit-rsa/Selbststaendigkeitserklaerung.tex index 40a2c2d..6419af3 100644 --- a/documents/facharbeit-rsa/Selbststaendigkeitserklaerung.tex +++ b/documents/facharbeit-rsa/Selbststaendigkeitserklaerung.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \vspace{10cm} -Ich erkläre, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt -und nur die im Literaturverzeichnis angeführten Quellen und +Ich erkläre, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt +und nur die im Literaturverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel benützt habe. \vspace{10cm} diff --git a/documents/facharbeit-rsa/Titelseite.tex b/documents/facharbeit-rsa/Titelseite.tex index 3c8d2b6..24a23c3 100644 --- a/documents/facharbeit-rsa/Titelseite.tex +++ b/documents/facharbeit-rsa/Titelseite.tex @@ -23,6 +23,6 @@ Abgegeben am &:& 20.01.2010 (verändert am 06.04.2010)\\ \\ Erzielte Note &:& \line(1,0){120}\\ Erzielte Punkteanzahl &:& \line(1,0){120}\\ -\end{tabular} +\end{tabular} \end{center} diff --git a/documents/facharbeit-rsa/facharbeit-rsa.tex b/documents/facharbeit-rsa/facharbeit-rsa.tex index 76cd7ef..8f9823b 100644 --- a/documents/facharbeit-rsa/facharbeit-rsa.tex +++ b/documents/facharbeit-rsa/facharbeit-rsa.tex @@ -31,12 +31,12 @@ \clubpenalty = 10000 % Schusterjungen verhindern \widowpenalty = 10000 % Hurenkinder verhindern -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren; RSA-Kryptosystems}, +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren; RSA-Kryptosystems}, pdftitle = {Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren am Beispiel des RSA-Kryptosystems}, pdfborder = {0 0 0} % remove red box around hyperlinks -} +} \usepackage[german,nameinlink]{cleveref} \crefname{section}{Kapitel}{Kapitel} \pagestyle{fancy} @@ -75,18 +75,18 @@ \def\myUpArrowB{\smash{\begin{tikzpicture}[baseline=6mm]\useasboundingbox (-1,0);\node[single arrow,draw=black,fill=black!10,minimum height=4cm,minimum width=1.2cm,shape border rotate=90] at (0,-1) {};\end{tikzpicture}}} \setcounter{page}{0} -\pagenumbering{roman} +\pagenumbering{roman} %\input{Titelseite} \includepdf[pages=1]{Titelseite.pdf} \clearpage \thispagestyle{empty} -\tableofcontents +\tableofcontents \clearpage -\pagenumbering{arabic} +\pagenumbering{arabic} \setcounter{page}{2} % Start der eigentlichen Arbeit diff --git a/documents/gallery/dot-product-1.tex b/documents/gallery/dot-product-1.tex index 08fc902..e453e0d 100644 --- a/documents/gallery/dot-product-1.tex +++ b/documents/gallery/dot-product-1.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \begin{document} diff --git a/documents/gallery/dot-product-2.tex b/documents/gallery/dot-product-2.tex index f11d0e9..2f8eecd 100644 --- a/documents/gallery/dot-product-2.tex +++ b/documents/gallery/dot-product-2.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/documents/gallery/dot-product-3-1.tex b/documents/gallery/dot-product-3-1.tex index 39cca43..f97e21a 100644 --- a/documents/gallery/dot-product-3-1.tex +++ b/documents/gallery/dot-product-3-1.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{gensymb} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows,positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/documents/gallery/dot-product-6.tex b/documents/gallery/dot-product-6.tex index 5299b70..7e8a674 100644 --- a/documents/gallery/dot-product-6.tex +++ b/documents/gallery/dot-product-6.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/documents/gallery/gallery.tex b/documents/gallery/gallery.tex index 3039cf4..2a9e90c 100644 --- a/documents/gallery/gallery.tex +++ b/documents/gallery/gallery.tex @@ -33,21 +33,21 @@ }% \begin{document} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, -sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea -rebum. Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem -ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur -sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore -et dolore magna aliquyam erat, sed diam voluptua. At vero eos et -accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, -no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum -dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod -tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam erat, sed diam -voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. +Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam +nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam +erat, +sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea +rebum. Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem +ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur +sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore +et dolore magna aliquyam erat, sed diam voluptua. At vero eos et +accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, +no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum +dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod +tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam erat, sed diam +voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. +Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum +dolor sit amet. \begin{gallery} \galleryimage{dot-product-1} @@ -59,12 +59,12 @@ dolor sit amet. \end{gallery} -Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse -molestie consequat, vel illum dolore eu feugiat nulla facilisis at -vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent -luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi. -Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam -nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat -volutpat. +Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse +molestie consequat, vel illum dolore eu feugiat nulla facilisis at +vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent +luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi. +Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam +nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat +volutpat. \end{document} diff --git a/documents/gallery/gallery2.tex b/documents/gallery/gallery2.tex index 9d46946..63609b0 100644 --- a/documents/gallery/gallery2.tex +++ b/documents/gallery/gallery2.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \documentclass{scrartcl} \usepackage[margin=10mm]{geometry} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \usepackage{filecontents} \usepackage{xifthen} @@ -126,7 +126,7 @@ \adjustedtikzsize{\input{pictwo}}{two} \adjustedtikzsize{\input{picthree}}{three} \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{four} - \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{zero} + \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{zero} \adjustedtikzsize{\input{pictwo}}{un} \adjustedtikzsize{\input{picthree}}{deux} \adjustedtikzsize{\input{picone}}{trois} @@ -134,7 +134,7 @@ \adjustedtikzsize{\input{pictwo}}{two} \adjustedtikzsize{\input{picthree}}{three} \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{four} - \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{zero} + \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{zero} \adjustedtikzsize{\input{pictwo}}{un} \adjustedtikzsize{\input{picthree}}{deux} \adjustedtikzsize{\input{picone}}{trois} @@ -142,17 +142,17 @@ \adjustedtikzsize{\input{pictwo}}{two} \adjustedtikzsize{\input{picthree}}{three} \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{four} - \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{zero} + \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{zero} \adjustedtikzsize{\input{pictwo}}{un} \adjustedtikzsize{\input{picthree}}{deux} - \adjustedtikzsize{\input{picone}}{trois} + \adjustedtikzsize{\input{picone}}{trois} \end{tikzgallery} \begin{tikzgallery}{Ti\textit{k}Z-Spielerei}{4} \adjustedtikzsize{\input{picone}}{one} \adjustedtikzsize{\input{pictwo}}{two} \adjustedtikzsize{\input{picthree}}{three} \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{four} - \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{zero} + \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{zero} \adjustedtikzsize{\input{pictwo}}{un} \adjustedtikzsize{\input{picthree}}{deux} \adjustedtikzsize{\input{picone}}{trois} @@ -160,7 +160,7 @@ \adjustedtikzsize{\input{pictwo}}{two} \adjustedtikzsize{\input{picthree}}{three} \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{four} - \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{zero} + \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{zero} \adjustedtikzsize{\input{pictwo}}{un} \adjustedtikzsize{\input{picthree}}{deux} \adjustedtikzsize{\input{picone}}{trois} @@ -168,10 +168,10 @@ \adjustedtikzsize{\input{pictwo}}{two} \adjustedtikzsize{\input{picthree}}{three} \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{four} - \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{zero} + \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{zero} \adjustedtikzsize{\input{pictwo}}{un} \adjustedtikzsize{\input{picthree}}{deux} - \adjustedtikzsize{\input{picone}}{trois} + \adjustedtikzsize{\input{picone}}{trois} \end{tikzgallery} \clearpage \begin{tikzgallery}{Riesige Bilder}{2} @@ -179,7 +179,7 @@ \adjustedtikzsize{\input{pictwo}}{two} \adjustedtikzsize{\input{picthree}}{three} \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{four} - \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{zero} + \adjustedtikzsize{\input{picfour}}{zero} \adjustedtikzsize{\input{pictwo}}{un} \adjustedtikzsize{\input{picthree}}{deux} \adjustedtikzsize{\input{picone}}{trois} diff --git a/documents/glossary/document.tex b/documents/glossary/document.tex index 81d47d5..613780b 100644 --- a/documents/glossary/document.tex +++ b/documents/glossary/document.tex @@ -20,7 +20,7 @@ netus et malesuada fames ac turpis egestas. \begin{figure}[h] \centering - \includegraphics*[width=\linewidth, keepaspectratio]{YourImage.jpg} + \includegraphics*[width=\linewidth, keepaspectratio]{YourImage.jpg} \caption{adsfasdf \gls{SLP} adsfasdf.} \end{figure} diff --git a/documents/index/index.tex b/documents/index/index.tex index a2d9ad1..4a86939 100644 --- a/documents/index/index.tex +++ b/documents/index/index.tex @@ -21,84 +21,84 @@ \makeindex \begin{document} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, -sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea +Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam +nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam +erat, +sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet \xindex{clita} clita kasd gubergren, no sea takimata -sanctus -est Lorem -ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur -sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore -et dolore magna aliquyam erat, sed diam voluptua. At vero eos et -accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, -no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum -dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod -tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam erat, sed diam -voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. +sanctus +est Lorem +ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur +sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore +et dolore magna aliquyam erat, sed diam voluptua. At vero eos et +accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, +no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum +dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod +tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam erat, sed diam +voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. +Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum +dolor sit amet. -Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse -molestie consequat, vel illum dolore eu feugiat nulla facilisis at -vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent -luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi. -Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam -nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat -volutpat. +Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse +molestie consequat, vel illum dolore eu feugiat nulla facilisis at +vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent +luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi. +Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam +nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat +volutpat. -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, -sed diam voluptua. 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At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. +Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum +dolor sit amet. -Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse +Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse molestie consequat, vel illum \xindex{dolore} dolore eu feugiat nulla -facilisis at -vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent -luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi. -Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam -nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat -volutpat. +facilisis at +vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent +luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi. +Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam +nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat +volutpat. -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, -sed diam voluptua. 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Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur +sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore +et dolore magna aliquyam erat, sed diam voluptua. At vero eos et +accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, +no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum +dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod +tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam erat, sed diam +voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita \xindex{kasd} kasd gubergren, no sea takimata sanctus est -Lorem ipsum -dolor sit amet. +Lorem ipsum +dolor sit amet. -\xindex{Duis}Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse -molestie consequat, vel illum dolore eu feugiat nulla facilisis at -vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent -luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi. -Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam -nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat -volutpat. +\xindex{Duis}Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse +molestie consequat, vel illum dolore eu feugiat nulla facilisis at +vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent +luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi. +Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam +nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat +volutpat. \printindex % print the automatically created index diff --git a/documents/kit-mathe-template/kit-mathe-template.tex b/documents/kit-mathe-template/kit-mathe-template.tex index 5756955..5483c08 100644 --- a/documents/kit-mathe-template/kit-mathe-template.tex +++ b/documents/kit-mathe-template/kit-mathe-template.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts \usepackage[T1]{fontenc} % needed for right umlaut output in pdf \usepackage[ngerman, num]{isodate} % get DD.MM.YYYY dates - + % Anpassen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\Vorname}{Martin} % Vorname % \newcommand{\Nachname}{Thoma} % Nachname % @@ -21,8 +21,8 @@ % \newcommand{\DocTitle}{Antrag auf Prüfungszulassung} %Titel des Dokuments% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - - + + % pdfinfo \pdfinfo{ /Author (\Nachname, \Vorname) @@ -30,7 +30,7 @@ /Subject (\DocTitle) /Keywords (Antrag) } - + % set letter variables \signature{\Vorname~\Nachname} \backaddress{\Vorname~\Nachname, \Strasse~\Hausnummer, \PLZ~\Ort} @@ -57,7 +57,7 @@ \end{itemize} Dies wurde bereits mit Herrn Dr. Kühnlein abgesprochen, siehe Anhang. - + \closing{Mit freundlichen Grüßen,} \end{letter} \end{document} diff --git a/documents/kit-muendlich-info/muendlich-we-2013-martin-thoma.tex b/documents/kit-muendlich-info/muendlich-we-2013-martin-thoma.tex index 18fc9d5..9da4665 100644 --- a/documents/kit-muendlich-info/muendlich-we-2013-martin-thoma.tex +++ b/documents/kit-muendlich-info/muendlich-we-2013-martin-thoma.tex @@ -9,7 +9,7 @@ \newcommand{\Pruefungsdatum}{19.02.2013} % DD.MM.YYYY \newcommand{\Pruefer}{Dr. Nußbaumer} \newcommand{\Beisitzer}{Matthias Keller} -% Nicht zwingend, aber es waere nett, wenn du zumindest die Zahl vor +% Nicht zwingend, aber es waere nett, wenn du zumindest die Zahl vor % dem Komma angeben koenntest: \newcommand{\Note}{1,0} \newcommand{\Dauer}{15} % in Minuten @@ -19,7 +19,7 @@ \begin{document} \begin{tabular}{p{2cm}p{15cm}} \ifpdf\vspace{-0.8cm}\fi -\multirow{2}{2cm}{ \includegraphics[width=20mm]{FS-Eule}} & +\multirow{2}{2cm}{ \includegraphics[width=20mm]{FS-Eule}} & \Large Fragebogen der Fachschaft zu \\ & \Large {\bfseries mündlichen Prüfungen} \\ @@ -29,7 +29,7 @@ \begin{tabular}{p{8cm}p{8cm}} \begin{flushleft}Dieser Fragebogen gibt den Studierenden, - die nach Dir die Prüfung ablegen wollen, einen Einblick in Ablauf + die nach Dir die Prüfung ablegen wollen, einen Einblick in Ablauf und Inhalt der Prüfung. Das erleichtert die Vorbereitung. Bitte verwende zum Ausfüllen einen schwarzen Stift. @@ -50,10 +50,10 @@ Welches? \Fach %% Jetzt kommt ein Barcode von uns. Einfach weitergehen. ;-) \end{flushleft} - & + & \begin{center} Barcode: - \begin{tabular}{p{0.2cm}p{6.8cm}p{0.2cm}} + \begin{tabular}{p{0.2cm}p{6.8cm}p{0.2cm}} $\ulcorner$ \vskip 2cm $\llcorner$ & & $\urcorner$ @@ -71,7 +71,7 @@ Beisitzer/-in: & \Beisitzer \\ \end{tabular} \end{flushright} \\ - \end{tabular} + \end{tabular} \begin{tabular}{|p{8.2cm}|p{3cm}|p{1cm}|p{3.5cm}|} \multicolumn{4}{l}{\bfseries Prüfungsfächer und Vorbereitung: } \\[0.2cm] @@ -121,7 +121,7 @@ Prüfungsdauer: \Dauer{} Minuten \\[0.5cm] \end{minipage} - \ding{46} Wie lange und wie hast du dich \textbf{alleine bzw. mit anderen vorbereitet}? \\ + \ding{46} Wie lange und wie hast du dich \textbf{alleine bzw. mit anderen vorbereitet}? \\ \begin{minipage}[t][7cm]{\linewidth} %% Hier ist Platz fuer deinen Kommentar 5 Treffen à 1,5h mit einem Lernpartner sowie 30 Stunden alleine vorbereiten @@ -139,8 +139,8 @@ Prüfungsdauer: \Dauer{} Minuten \\[0.5cm] \columnbreak - \ding{46} Kannst du ihn/sie \textbf{weiterempfehlen}? -%% entsprechende \boxempty bitte durch \boxtimes ersetzen. + \ding{46} Kannst du ihn/sie \textbf{weiterempfehlen}? +%% entsprechende \boxempty bitte durch \boxtimes ersetzen. $\boxtimes$ Ja / $\boxempty$ Nein\newline Warum? \\ \begin{minipage}[t][6.8cm]{\linewidth} %% Hier ist Platz fuer deinen Kommentar @@ -158,19 +158,19 @@ Prüfungsdauer: \Dauer{} Minuten \\[0.5cm] \ding{46} Kannst du Ratschläge für das \textbf{Verhalten in der Prüfung} geben? \\ \begin{minipage}[t][6.8cm]{\linewidth} %% Hier ist Platz fuer deinen Kommentar - Mit den Antworten kann man etwas lenken, was als nächstes + Mit den Antworten kann man etwas lenken, was als nächstes gefragt wird. \end{minipage} -% +% \end{multicols} -\clearpage +\clearpage \section*{Inhalte der Prüfung:} \fbox{\parbox{17cm}{ \begin{itemize} \item Schreibe bitte möglichst viele Fragen und Antworten auf. - \item Wo wurde nach Herleitungen oder Beweisen gefragt oder sonstwie nachgehakt? + \item Wo wurde nach Herleitungen oder Beweisen gefragt oder sonstwie nachgehakt? \item Worauf wollte der Prüfer / die Prüferin hinaus? \item Welche Fragen gehörten nicht zum eigentlichen Stoff? \end{itemize} @@ -182,7 +182,7 @@ Prüfungsdauer: \Dauer{} Minuten \\[0.5cm] \item[$\Rightarrow$] Software Engineering, Information Systems, Network Engineering und Hypermedia. \item Was ist Hypermedia? \item[$\Rightarrow$] Erst habe ich Hypertext erklärt (Text, der mit Links auf weitere Ressourcen delinearisiert werden kann). - Hypermedia ist das gleiche wie Hypertext, nur zusätzlich mit anderen Medien wie z.B. Video. + Hypermedia ist das gleiche wie Hypertext, nur zusätzlich mit anderen Medien wie z.B. Video. Bei Hypermedia kann man im Information-Space frei navigieren. \item Was ist eine Ressource? \item[$\Rightarrow$] Addressierbare Einheiten, MIME-Types erklärt. @@ -191,7 +191,7 @@ Prüfungsdauer: \Dauer{} Minuten \\[0.5cm] Headers erklärt, aber das wollte er nicht hören. Er wollte auf die HTTP-Options (insbesondere GET) hinaus. \item Sind agile Methoden die Antwort auf alle Probleme? - \item[$\Rightarrow$] Natürlich nicht, man muss das Prozess-Modell + \item[$\Rightarrow$] Natürlich nicht, man muss das Prozess-Modell nach den Anforderungen des Projekts wählen. Gäbe es ein Prozess-Modell für alle Projekt-Typen, würde man dieses immer nutzen. diff --git a/documents/klausurvorbereitung-algortihmen-2/klausurvorbereitung-algortihmen-2.tex b/documents/klausurvorbereitung-algortihmen-2/klausurvorbereitung-algortihmen-2.tex index 9701949..11ee2be 100644 --- a/documents/klausurvorbereitung-algortihmen-2/klausurvorbereitung-algortihmen-2.tex +++ b/documents/klausurvorbereitung-algortihmen-2/klausurvorbereitung-algortihmen-2.tex @@ -15,11 +15,11 @@ \newcommand{\Vorname}{Martin} \newcommand{\Titel}{Klausurvorbereitung für Algorithmen II im WS 2012 / 2013} -\hypersetup{ - pdfauthor = {\Vorname~\Nachname}, - pdfkeywords = {\Vorname~\Nachname, Algorithmen II, Klausur}, - pdftitle = {\Titel} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {\Vorname~\Nachname}, + pdfkeywords = {\Vorname~\Nachname, Algorithmen II, Klausur}, + pdftitle = {\Titel} +} \begin{document} @@ -40,7 +40,7 @@ \section{Randomisierte Algorithmen} \begin{itemize} - \item Wie sind die Klassen $\mathcal{RP}, \mathcal{BPP}$ und + \item Wie sind die Klassen $\mathcal{RP}, \mathcal{BPP}$ und $\mathcal{PP}$ definiert? \end{itemize} @@ -79,14 +79,14 @@ \section{Parallelität} \begin{itemize} - \item In welcher Einheit wird die Laufzeit $\mathcal{T_A}$ + \item In welcher Einheit wird die Laufzeit $\mathcal{T_A}$ eines parallelen Algorithmus $\mathcal{A}$ gemessen? - \item Was bedeutet "`Speedup"', "`Kosten"' und "`Kostenoptimal"' + \item Was bedeutet "`Speedup"', "`Kosten"' und "`Kostenoptimal"' bei parallelen Algorithmen? - \item Welche Einheit hat "`Effizienz"' $E_{\mathcal A} (n)$? + \item Welche Einheit hat "`Effizienz"' $E_{\mathcal A} (n)$? \item Welche Werte kann sie annehmen? \item Was ist ein sequentieller Algorithmus? - \item Wie sind die Komplexitätsklassen $\mathcal{NC}$ und + \item Wie sind die Komplexitätsklassen $\mathcal{NC}$ und $\mathcal{SC}$ definiert? \end{itemize} @@ -94,9 +94,9 @@ \begin{itemize} \item Die Kosten-Einheit bei den meisten Algorithmen ist Rechenzyklen. Was ist die Kosten-Einheit bei Algorithmen mit externen Speicher? - \item Welche Grundoperationen verwenden Algorithmen mit + \item Welche Grundoperationen verwenden Algorithmen mit externem Speicher? - \item Warum hat der externe Stack amortisiert + \item Warum hat der externe Stack amortisiert $\mathcal{O}(\frac{1}{B})$ I/Os pro Operation? \item Was sind Tournament-Bäume und was ist ihr Nutzen? \end{itemize} @@ -110,24 +110,24 @@ \textbf{\#} & \textbf{Frage} & \textbf{Wahr} & \textbf{Falsch} \\ \hline \hline - 1 & Gegeben ist ein Flussnetzwerk mit ganzzahligen Kapazitäten. + 1 & Gegeben ist ein Flussnetzwerk mit ganzzahligen Kapazitäten. Dann ist jeder maximale Fluss auf jeder Kante ganzzahlig. & \Square & \Square \\ \hline - 2 & Gegeben ist ein Flussnetzwerk mit ganzzahligen Kapazitäten. - Dann existiert ein maximaler Fluss, der auf jeder Kante + 2 & Gegeben ist ein Flussnetzwerk mit ganzzahligen Kapazitäten. + Dann existiert ein maximaler Fluss, der auf jeder Kante ganzzahlig ist. & \Square & \Square \\ \hline - 3 & Falls $\mathcal{P} \neq \mathcal{NP}$, dann gibt es einen + 3 & Falls $\mathcal{P} \neq \mathcal{NP}$, dann gibt es einen polynomialen Algorithmus zur Lösung eines beliebigen LP. & \Square & \Square \\ \hline - 4 & Falls $\mathcal{P} \neq \mathcal{NP}$, dann gibt es keinen - polynomialen Algorithmus zur Lösung eines beliebigen + 4 & Falls $\mathcal{P} \neq \mathcal{NP}$, dann gibt es keinen + polynomialen Algorithmus zur Lösung eines beliebigen ganzzahligen LP. & \Square & \Square \\ \hline - 5 & Jeder ungerichtete kreisfreie Graph mit $n$ Knoten + 5 & Jeder ungerichtete kreisfreie Graph mit $n$ Knoten hat genau $n - 1$ Kanten. & \Square & \Square \\ \hline - 6 & Jeder ungerichtete, zusammenhängende, kreisfreie Graph mit + 6 & Jeder ungerichtete, zusammenhängende, kreisfreie Graph mit $n$ Knoten hat genau $n - 1$ Kanten. & \Square & \Square \\ \hline 7 & Jeder Baum mit $n$ Knoten hat genau $n - 1$ Kanten. & \Square & \Square \\ @@ -137,7 +137,7 @@ \hline 9 & $\mathcal{RP} \subseteq \mathcal{BPP}$ & \Square & \Square \\ \hline - 10 & Jeder $\mathcal{RP}$-Algorithmus ist ein + 10 & Jeder $\mathcal{RP}$-Algorithmus ist ein $\mathcal{BPP}$-Algorithmus. \footnote{Siehe \href{http://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:BPP\_(Komplexit\%C3\%A4tsklasse)\#Jeder\_RP-Algorithmus\_ist\_ein\_BPP-Algorithmus}{Wikipedia}} & \Square & \Square \\ diff --git a/documents/klausurvorbereitung-gbi/gbi-klausurvorbereitung.tex b/documents/klausurvorbereitung-gbi/gbi-klausurvorbereitung.tex index 2d07d57..3d9dbca 100644 --- a/documents/klausurvorbereitung-gbi/gbi-klausurvorbereitung.tex +++ b/documents/klausurvorbereitung-gbi/gbi-klausurvorbereitung.tex @@ -13,11 +13,11 @@ \newcommand{\Nachname}{Thoma} \newcommand{\Vorname}{Martin} -\hypersetup{ - pdfauthor = {\Vorname~\Nachname}, - pdfkeywords = {\Vorname~\Nachname, GBI, Klausur}, - pdftitle = {Klausurvorbereitung für GBI im WS 2011 / 2012} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {\Vorname~\Nachname}, + pdfkeywords = {\Vorname~\Nachname, GBI, Klausur}, + pdftitle = {Klausurvorbereitung für GBI im WS 2011 / 2012} +} \begin{document} @@ -34,7 +34,7 @@ Definiere folgendes Formal korrekt: \end{enumerate} \section{Aussagenlogik} -Finde möglichst einfache Aussagenlogische Formeln C, D, E in Abhängigkeit von A +Finde möglichst einfache Aussagenlogische Formeln C, D, E in Abhängigkeit von A und B für folgende Tabelle: \begin{table}[h] \begin{tabular}{| c | c || c | c | c |} @@ -54,7 +54,7 @@ und B für folgende Tabelle: \end{table} \section{Master-Theorem} -Wenden Sie, falls möglich, das Master-Theorem auf folgende Funktionen an. Jede +Wenden Sie, falls möglich, das Master-Theorem auf folgende Funktionen an. Jede Funktion hat $\mathbb{N}_0$ als Definitions- und Zielmenge.\footnote{An dieser Stelle sollte man Frage 5.20 beantworten.} \begin{enumerate} \item $f(n) := 2 \cdot 5 + 3 f(\frac{n}{2})$ @@ -80,7 +80,7 @@ Sei $\Sigma = \{a, b, c\}$ \end{enumerate} \subsection{Palindrome} -Sei L die Sprache der Palindrome. Ein Palindrom ist ein Wort, das von links nach +Sei L die Sprache der Palindrome. Ein Palindrom ist ein Wort, das von links nach rechts gelesen genauso aussieht, wie von rechts nach links gelesen. Beispiele: diff --git a/documents/letter-krankenkasse/letter-krankenkasse.tex b/documents/letter-krankenkasse/letter-krankenkasse.tex index 0673c48..176962b 100644 --- a/documents/letter-krankenkasse/letter-krankenkasse.tex +++ b/documents/letter-krankenkasse/letter-krankenkasse.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts \usepackage[T1]{fontenc} % needed for right umlaut output in pdf \usepackage[ngerman, num]{isodate} % get DD.MM.YYYY dates - + % Anpassen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\Vorname}{Martin} % Vorname % \newcommand{\VornameVater}{Otto} % Vorname % @@ -31,8 +31,8 @@ \newcommand{\DatumZahnreinigung}{01.01.2014} % \newcommand{\GeldZahnreinigung}{90,00 Euro} % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - - + + % pdfinfo \pdfinfo{ /Author (\Nachname, \Vorname) @@ -40,12 +40,12 @@ /Subject (\DocTitle) /Keywords (Erstattung) } - + % set letter variables \signature{\Vorname~\Nachname} \customer{\Kundennr} \backaddress{\Vorname~\Nachname, \Strasse~\Hausnummer, \PLZ~\Ort, \Email} - + % Begin document %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \begin{letter}{\Empfaenger \\ \EStrasse \\ \EPLZ~\EOrt \\ Fax: \EFax } diff --git a/documents/letter/letter.tex b/documents/letter/letter.tex index 01b4ed3..2600c4b 100644 --- a/documents/letter/letter.tex +++ b/documents/letter/letter.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts \usepackage[T1]{fontenc} % needed for right umlaut output in pdf \usepackage[ngerman, num]{isodate} % get DD.MM.YYYY dates - + % Anpassen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\Vorname}{Martin} % Vorname % \newcommand{\Nachname}{Thoma} % Nachname % @@ -22,8 +22,8 @@ % Datum der Kündigung % \newcommand{\Kuendigungsdatum}{nächstmöglichen Termin} % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - - + + % pdfinfo \pdfinfo{ /Author (\Nachname, \Vorname) @@ -31,21 +31,21 @@ /Subject (\DocTitle) /Keywords (Kündigung) } - + % set letter variables \signature{\Vorname~\Nachname} \customer{\Kundennr} \backaddress{\Vorname~\Nachname, \Strasse~\Hausnummer, \PLZ~\Ort} - + % Begin document %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \begin{letter}{\Empfaenger \\ \EStrasse \\ \EPLZ~\EOrt} \date{\today}%Change this if you want a different date than today \subject{Kündigung} \opening{Sehr geehrte Damen und Herren,} - hiermit kündige ich meinen Vertrag für die Kundennummer + hiermit kündige ich meinen Vertrag für die Kundennummer \Kundennr~ zum \Kuendigungsdatum.\\ - + \noindent Ich bitte um eine Bestätigung der Kündigung. \closing{Mit freundlichen Grüßen,} \end{letter} diff --git a/documents/manual/manual.tex b/documents/manual/manual.tex index 4d4f7dc..09e158f 100644 --- a/documents/manual/manual.tex +++ b/documents/manual/manual.tex @@ -1,12 +1,12 @@ \documentclass[a5paper,9pt]{scrartcl} -%\usepackage[ngerman]{babel} +%\usepackage[ngerman]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} %\usepackage{amssymb,amsmath} %\usepackage{geometry} %\usepackage{graphicx} \usepackage{menukeys} -%\geometry{a4paper,left=18mm,right=18mm, top=1cm, bottom=2cm} +%\geometry{a4paper,left=18mm,right=18mm, top=1cm, bottom=2cm} \begin{document} % \title{Manual} @@ -19,7 +19,7 @@ press combinations: \keys{\ctrl + \shift + F} is for formatting in Eclipse. - You can also visualize \keys{\tab}, \keys{\capslock}, \keys{\Space}, + You can also visualize \keys{\tab}, \keys{\capslock}, \keys{\Space}, \keys{\arrowkeyup} and many more. \end{document} diff --git a/documents/math-euklidische-normalform/math-euklidische-normalform.tex b/documents/math-euklidische-normalform/math-euklidische-normalform.tex index f877fc8..dd5152a 100644 --- a/documents/math-euklidische-normalform/math-euklidische-normalform.tex +++ b/documents/math-euklidische-normalform/math-euklidische-normalform.tex @@ -21,14 +21,14 @@ \left( \, \begin{array}{r@{}r@{}r r r} % @{} is used twice to suppress intercolumn whitespace \underbrace{ - \boxed{ + \boxed{ \begin{array}{rrr} % First block 1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & 1\\ \end{array} }}_{p} \\ - & + & \underbrace{ \boxed{ \begin{array}{rrr} % Second block @@ -41,7 +41,7 @@ \begin{array}{rr} % Third block \cos \omega_1 & -\sin \omega_1\\ \sin \omega_1 & \cos \omega_1\\ - \end{array} + \end{array} } \\ & & & \ddots\\ % Fourth "block" -- not boxed & \tikzmark{a}& & & \boxed{ diff --git a/documents/math-fonts/math-fonts.tex b/documents/math-fonts/math-fonts.tex index 392f93e..53d8201 100644 --- a/documents/math-fonts/math-fonts.tex +++ b/documents/math-fonts/math-fonts.tex @@ -12,11 +12,11 @@ \title{Minimal distance to a cubic function} \author{Martin Thoma} -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {}, - pdftitle = {} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {}, + pdftitle = {} +} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Begin document % @@ -138,9 +138,9 @@ \item[mu] $\mu$ \item[nu] $\nu$ \item[xi] $\xi$, $\Xi$ - % The Greek "little" o, or omicron (as opposed to the "big" o, i.e., omega), - % is identical in appearance -- in both its lowercase and uppercase - % versions -- to the Roman lowercase letters "o" and "O". Hence + % The Greek "little" o, or omicron (as opposed to the "big" o, i.e., omega), + % is identical in appearance -- in both its lowercase and uppercase + % versions -- to the Roman lowercase letters "o" and "O". Hence % there are no TeX commands for $\omicron$ and $\Omicron$. % source: http://tex.stackexchange.com/a/30882/5645 %\item[omikron] $\omicron$ diff --git a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/analyzing-t.tex b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/analyzing-t.tex index 40cab58..ec0a86a 100644 --- a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/analyzing-t.tex +++ b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/analyzing-t.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \begin{align} t &:= \sqrt[3]{\sqrt{3 \cdot (4 \alpha^3 + 27 \beta^2)} -9\beta}\\ &= \sqrt[3]{\sqrt{3 \cdot \left (4 \left (\frac{1- 2 aw}{2 a^2} \right )^3 + 27 \left (\frac{-z}{2 a^2} \right )^2 \right )} -9 \frac{-z}{2 a^2}}\\ - &= \sqrt[3]{\sqrt{3 \cdot \left (4 \left (\frac{1- 2 a (y_P+\frac{b^2}{4a}-c)}{2 a^2} \right )^3 + 27 \left (\frac{-(x_P+\frac{b}{2a})}{2 a^2} \right )^2 \right )} + &= \sqrt[3]{\sqrt{3 \cdot \left (4 \left (\frac{1- 2 a (y_P+\frac{b^2}{4a}-c)}{2 a^2} \right )^3 + 27 \left (\frac{-(x_P+\frac{b}{2a})}{2 a^2} \right )^2 \right )} -9 \frac{-(x_P+\frac{b}{2a})}{2 a^2}}\\ &= \sqrt[3]{\sqrt{12a^4 \cdot \left (4 \frac{\left ( 1- 2 a (y_P+\frac{b^2}{4a}-c) \right )^3}{2 a^2} + 27 \left (x_P^2+2 x_P \frac{b}{2a} + \frac{b^2}{4a^2} \right )\right )} + 9 \frac{x_P+\frac{b}{2a}}{2 a^2}}\\ diff --git a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/constant-functions.tex b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/constant-functions.tex index c714bb3..4e0f690 100644 --- a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/constant-functions.tex +++ b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/constant-functions.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \chapter{Constant functions} \section{Defined on $\mdr$} \begin{lemma} -Let $f:\mdr \rightarrow \mdr$, $f(x) := c$ with $c \in \mdr$ be a constant function. +Let $f:\mdr \rightarrow \mdr$, $f(x) := c$ with $c \in \mdr$ be a constant function. -Then $(x_P, f(x_P))$ is the only point on the graph of $f$ with +Then $(x_P, f(x_P))$ is the only point on the graph of $f$ with minimal distance to $P$. \end{lemma} @@ -42,7 +42,7 @@ The situation can be seen in Figure~\ref{fig:constant-min-distance}. \addlegendentry{$f(x)=1$} \addlegendentry{$g(x)=2$} \addlegendentry{$h(x)=3$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \caption{Three constant functions and their points with minimal distance} \label{fig:constant-min-distance} @@ -69,8 +69,8 @@ This result means: \section{Defined on a closed interval $[a,b] \subseteq \mdr$} \begin{theorem}[Solution formula for constant functions] -Let $f:[a,b] \rightarrow \mdr$, $f(x) := c$ with $a,b,c \in \mdr$ and -$a \leq b$ be a constant function. +Let $f:[a,b] \rightarrow \mdr$, $f(x) := c$ with $a,b,c \in \mdr$ and +$a \leq b$ be a constant function. Then the point $(x, f(x))$ of $f$ with minimal distance to $P$ is given by: @@ -119,7 +119,7 @@ given by: \addlegendentry{$f(x)=1, D = [-5,-2]$} \addlegendentry{$g(x)=1.5, D = [-1,3]$} \addlegendentry{$h(x)=3, D = [3,5]$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \caption{Three constant functions and their points with minimal distance} \label{fig:constant-min-distance-closed-intervall} diff --git a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/cubic-functions.tex b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/cubic-functions.tex index 6849016..4cd8c04 100644 --- a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/cubic-functions.tex +++ b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/cubic-functions.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \chapter{Cubic functions} \section{Defined on $\mdr$} -Let $f:\mdr \rightarrow \mdr, f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$ -be a cubic function with $a \in \mdr \setminus \Set{0}$ and +Let $f:\mdr \rightarrow \mdr, f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$ +be a cubic function with $a \in \mdr \setminus \Set{0}$ and $b, c, d \in \mdr$. \begin{figure}[htp] @@ -26,15 +26,15 @@ $b, c, d \in \mdr$. minor tick num=-3, enlargelimits=true, tension=0.08] - \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, red] {x*x*x}; + \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, red] {x*x*x}; \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, green] {x*x*x+x*x}; \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, blue] {x*x*x+2*x*x}; - \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, orange] {x*x*x+x}; + \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, orange] {x*x*x+x}; \addlegendentry{$f_1(x)=x^3$} \addlegendentry{$f_2(x)=x^3 + x^2$} \addlegendentry{$f_2(x)=x^3 + 2 \cdot x^2$} \addlegendentry{$f_1(x)=x^3 + x$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \caption{Cubic functions} \end{figure} @@ -51,7 +51,7 @@ $b, c, d \in \mdr$. \subsection{Calculate points with minimal distance} \begin{theorem}\label{thm:no-finite-solution} - There cannot be a finite, closed form solution to the problem of finding + There cannot be a finite, closed form solution to the problem of finding a closest point $(x, f(x))$ to a given point $P$ when $f$ is a polynomial function of degree $3$ or higher. \end{theorem} @@ -89,11 +89,11 @@ $b, c, d \in \mdr$. \item With $x_p := cd - c y_P+\tilde{f}$, we can get any value of $\tilde{f} \in \mdr$. \end{enumerate} - The first restriction guaratees that we have a polynomial of + The first restriction guaratees that we have a polynomial of degree 5. The second one is necessary, to get a high range of $\tilde{e}$. - This means that there is no finite solution formula for the problem of + This means that there is no finite solution formula for the problem of finding the closest points on a cubic function to a given point, because if there was one, you could use this formula for finding roots of polynomials of degree 5. $\qed$ @@ -101,7 +101,7 @@ $b, c, d \in \mdr$. \subsection{Another approach} -Just like we moved the function $f$ and the point to get in a +Just like we moved the function $f$ and the point to get in a nicer situation, we can apply this approach for cubic functions. \begin{figure}[htp] @@ -126,9 +126,9 @@ nicer situation, we can apply this approach for cubic functions. minor tick num=-3, enlargelimits=true, tension=0.08] - \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, red] {x*x*x}; + \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, red] {x*x*x}; \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, green] {x*x*x+x}; - \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, orange] {x*x*x-x}; + \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, orange] {x*x*x-x}; \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, blue, dotted] {x*x*x+2*x}; \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, lime, dashed] {x*x*x+3*x}; \addlegendentry{$f_1(x)=x^3$} @@ -136,7 +136,7 @@ nicer situation, we can apply this approach for cubic functions. \addlegendentry{$f_1(x)=x^3 - x$} \addlegendentry{$f_2(x)=x^3 + 2 \cdot x$} \addlegendentry{$f_2(x)=x^3 + 3 \cdot x$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \caption{Cubic functions with $b = d = 0$} \end{figure} @@ -176,8 +176,8 @@ As this leads to a polynomial of degree 5 of which we have to find roots, there cannot be more than 5 solutions. \todo[inline]{Can there be 3, 4 or even 5 solutions? Examples! -After looking at function graphs of cubic functions, I'm pretty -sure that there cannot be 4 or 5 solutions, no matter how you +After looking at function graphs of cubic functions, I'm pretty +sure that there cannot be 4 or 5 solutions, no matter how you chose the cubic function $f$ and $P$. I'm also pretty sure that there is no polynomial (no matter what degree) @@ -193,7 +193,7 @@ You could interpolate the cubic function by a quadratic spline. \subsubsection{Newtons method} One way to find roots of functions is Newtons method. It gives an -iterative computation procedure that can converge quadratically +iterative computation procedure that can converge quadratically if some conditions are met: \begin{theorem}[local quadratic convergence of Newton's method\footnotemark] @@ -201,7 +201,7 @@ if some conditions are met: Let $x^* \in D$ with $f(x^*) = 0$ and the Jaccobi-Matrix $f'(x^*)$ should not be invertable when evaluated at the root. - Then there is a sphere + Then there is a sphere \[K := K_\rho(x^*) = \Set{x \in \mdr^n | \|x- x^*\|_\infty \leq \rho} \subseteq D\] such that $x^*$ is the only root of $f$ in $K$. Furthermore, the elements of the sequence @@ -233,7 +233,7 @@ Muller's method was first presented by David E. Muller in 1956. \subsubsection{Bisection method} The idea of the bisection method is the following: -Suppose you know a finite intervall $[a,b]$ in which you have +Suppose you know a finite intervall $[a,b]$ in which you have exactly one root $r \in (a,b)$ with $f(r) = 0$. Then you can half that interval: diff --git a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/introduction.tex b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/introduction.tex index 1c86085..0dfb14d 100644 --- a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/introduction.tex +++ b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/introduction.tex @@ -1,10 +1,10 @@ \chapter*{Introduction} -When you want to develop a selfdriving car, you have to plan which path +When you want to develop a selfdriving car, you have to plan which path it should take. A reasonable choice for the representation of paths are cubic splines. You also have to be able to calculate how to steer to get or to remain on a path. A way to do this is by applying the \href{https://en.wikipedia.org/wiki/PID_algorithm}{PID algorithm}. -This algorithm needs to know the signed current error. So you need to +This algorithm needs to know the signed current error. So you need to be able to get the minimal distance of a point (the position of the car) to a cubic spline (the prefered path) combined with sign (which represents the steering direction). @@ -12,7 +12,7 @@ As one steering direction might be prefered, it is not only necessary to get the minimal absolute distance, but might also help to get all points on the spline with minimal distance. -In this paper, I want to discuss how to find all points on a cubic +In this paper, I want to discuss how to find all points on a cubic function with minimal distance to a given point. As other representations of paths might be easier to understand and to implement, I will also cover the problem of finding the minimal diff --git a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/linear-functions.tex b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/linear-functions.tex index 4fb246b..121980a 100644 --- a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/linear-functions.tex +++ b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/linear-functions.tex @@ -1,8 +1,8 @@ \chapter{Linear function} \section{Defined on $\mdr$} \begin{theorem}[Solution formula for linear functions on $\mdr$] - Let $f: \mdr \rightarrow \mdr $ be a linear function - $f(x) := m \cdot x + t$ with $m \in \mdr \setminus \Set{0}$ and + Let $f: \mdr \rightarrow \mdr $ be a linear function + $f(x) := m \cdot x + t$ with $m \in \mdr \setminus \Set{0}$ and $t \in \mdr$ be a linear function. Then there is only one point $(x, f(x))$ on the graph of $f$ with @@ -42,7 +42,7 @@ \addplot[red, nodes near coords=$f$,every node near coord/.style={anchor=225}] coordinates {(0.9, 0.5)}; \addlegendentry{$f(x)=\frac{1}{2}x$} \addlegendentry{$f_\bot(x)=-2x+6$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \caption{The shortest distance of $P$ to $f$ can be calculated by using the perpendicular} \label{fig:linear-min-distance} @@ -65,7 +65,7 @@ \clearpage \section{Defined on a closed interval $[a,b] \subseteq \mdr$} -Let $f:[a,b] \rightarrow \mdr$, $f(x) := m\cdot x + t$ with $a,b,m,t \in \mdr$ and +Let $f:[a,b] \rightarrow \mdr$, $f(x) := m\cdot x + t$ with $a,b,m,t \in \mdr$ and $a \leq b$, $m \neq 0$ be a linear function. \begin{figure}[htp] @@ -102,7 +102,7 @@ $a \leq b$, $m \neq 0$ be a linear function. \addlegendentry{$f_\bot(x)=-2x+6, D=[-5,5]$} \addlegendentry{$h(x)=3x-3, D=[1,1.5]$} \addlegendentry{$h(x)=-x+5, D=[4,5]$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \caption{Different situations when you have linear functions which are defined on a closed intervall} @@ -121,7 +121,7 @@ because $S_1(f,P)$ gives all global minima of $f$. Those are also minima for the intervall $[a,b]$. There are not more minima, because $S_1$ gives all minima of $P$ to $f$. -If $S_1(f, P) \cap [a,b] = \emptyset$, then it is not that simple. +If $S_1(f, P) \cap [a,b] = \emptyset$, then it is not that simple. But we can calculate the distance function: \begin{align} @@ -131,7 +131,7 @@ But we can calculate the distance function: &= \sqrt{x^2(1+m^2) + x(-2 x_P + 2m(t-y_P)) + (x_P^2 + (t-y_P)^2)} \end{align} -This function (defined on $\mdr$) is symmetry to the axis +This function (defined on $\mdr$) is symmetry to the axis \begin{align} x_S &= - \frac{-2 x_P + 2m(t-y_P)}{2(1+m^2)}\\ &= \frac{x_P - m(t-y_P)}{1+m^2}\\ @@ -141,7 +141,7 @@ This function (defined on $\mdr$) is symmetry to the axis $f$ is on $(-\infty, x_S]$ strictly monotonically decreasing and on $[x_S, + \infty)$ strictly monotonically increasing. -Thus we can conclude: +Thus we can conclude: \[\forall x,y \in \mdr: x \leq y < x_S \Rightarrow d_{P,f}(x_S) < d_{P,f}(y) \leq d_{P,f}(x)\] \[\forall x,y \in \mdr: x_S < y \leq x \Rightarrow d_{P,f}(x_S) < d_{P,f}(y) \leq d_{P,f}(x)\] @@ -149,6 +149,6 @@ When $S_1(f, P) \cap [a,b] = \emptyset$, then you can have two cases: \begin{itemize} \item $a \leq b < x_S$: $b$ has the shortest distance in $[a,b]$ on the graph of $f$ to $P$. - \item $x_S < a \leq b$: $a$ has the shortest distance in $[a,b]$ + \item $x_S < a \leq b$: $a$ has the shortest distance in $[a,b]$ on the graph of $f$ to $P$. \end{itemize} diff --git a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/math-minimal-distance-to-cubic-function.tex b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/math-minimal-distance-to-cubic-function.tex index 41c0c49..8c5aad9 100644 --- a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/math-minimal-distance-to-cubic-function.tex +++ b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/math-minimal-distance-to-cubic-function.tex @@ -24,7 +24,7 @@ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \theoremstyle{break} \setlength\theoremindent{0.7cm} -\theoremheaderfont{\kern-0.7cm\normalfont\bfseries} +\theoremheaderfont{\kern-0.7cm\normalfont\bfseries} \theorembodyfont{\normalfont} % nicht mehr kursiv \def\mdr{\ensuremath{\mathbb{R}}} @@ -44,10 +44,10 @@ \title{Minimal distance from a point to polynomial functions of degree 3 or less} \author{Martin Thoma} -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {minimal distance, polynomial, function, degree 3, cubic, spline}, - pdftitle = {Minimal distance from a point to polynomial functions of degree 3 or less} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {minimal distance, polynomial, function, degree 3, cubic, spline}, + pdftitle = {Minimal distance from a point to polynomial functions of degree 3 or less} } \def\mdr{\ensuremath{\mathbb{R}}} diff --git a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/problem-description.tex b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/problem-description.tex index e5fb7a7..2f51c23 100644 --- a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/problem-description.tex +++ b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/problem-description.tex @@ -6,12 +6,12 @@ on the graph of $f$: \[d_{P,f} (x) := \sqrt{(x - x_P)^2 + (f(x) - y_P)^2}\] Now there is finite set $M = \Set{x_1, \dots, x_n} \subseteq D$ of minima for given $f$ and $P$: -\[M = \Set{x \in D | d_{P,f}(x) = \min_{\overline{x} \in D} d_{P,f}(\overline{x})}\] +\[M = \Set{x \in D | d_{P,f}(x) = \min_{\overline{x} \in D} d_{P,f}(\overline{x})}\] -But minimizing $d_{P,f}$ is the same as minimizing +But minimizing $d_{P,f}$ is the same as minimizing $d_{P,f}^2 = (x_p^2 - 2x_p x + x^2) + (y_p^2 - 2y_p f(x) + f(x)^2)$. -In order to solve the minimal distance problem, Fermat's theorem +In order to solve the minimal distance problem, Fermat's theorem about stationary points will be tremendously usefull: \begin{theorem}[Fermat's theorem about stationary points]\label{thm:fermats-theorem} @@ -22,12 +22,12 @@ about stationary points will be tremendously usefull: So in fact you can calculate the roots of $(d_{P,f}(x))'$ or $(d_{P,f}(x)^2)'$ to get candidates for minimal distance. -$(d_{P,f}(x)^2)'$ is a polynomial if $f$ is a polynomial. So if $f$ -is a polynomial, we can always get a finite number of candidates by +$(d_{P,f}(x)^2)'$ is a polynomial if $f$ is a polynomial. So if $f$ +is a polynomial, we can always get a finite number of candidates by finding roots of $(d_{P,f}(x)^2)'$. But this gets difficult when $f$ has degree 3 or higher as explained in Theorem~\ref{thm:no-finite-solution}. -Another problem one has to bear in mind is that these candidates -include all points with minimal distance, but might also contain +Another problem one has to bear in mind is that these candidates +include all points with minimal distance, but might also contain more. Example~\ref{ex:false-positive} shows such a situation. Let $S_n$ be the function that returns the set of solutions for a diff --git a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/quadratic-case-2.1.tex b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/quadratic-case-2.1.tex index f234824..f691e2a 100644 --- a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/quadratic-case-2.1.tex +++ b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/quadratic-case-2.1.tex @@ -6,27 +6,27 @@ Let's validate this solution: \allowdisplaybreaks \begin{align} 0 &\stackrel{!}{=} \left (\frac{t}{\sqrt[3]{18}} - \frac{\sqrt[3]{\frac{2}{3}} \alpha }{t} \right )^3 + \alpha \left (\frac{t}{\sqrt[3]{18}} - \frac{\sqrt[3]{\frac{2}{3}} \alpha }{t} \right ) + \beta\\ -&= (\frac{t}{\sqrt[3]{18}})^3 - - 3 (\frac{t}{\sqrt[3]{18}})^2 \frac{\sqrt[3]{\frac{2}{3}} \alpha }{t} - + 3 (\frac{t}{\sqrt[3]{18}})(\frac{\sqrt[3]{\frac{2}{3}} \alpha }{t})^2 - - (\frac{\sqrt[3]{\frac{2}{3}} \alpha }{t})^3 +&= (\frac{t}{\sqrt[3]{18}})^3 + - 3 (\frac{t}{\sqrt[3]{18}})^2 \frac{\sqrt[3]{\frac{2}{3}} \alpha }{t} + + 3 (\frac{t}{\sqrt[3]{18}})(\frac{\sqrt[3]{\frac{2}{3}} \alpha }{t})^2 + - (\frac{\sqrt[3]{\frac{2}{3}} \alpha }{t})^3 + \frac{t \alpha}{\sqrt[3]{18}} - \frac{\sqrt[3]{\frac{2}{3}} \alpha^2 }{t} + \beta\\ -&= \frac{t^3}{18} +&= \frac{t^3}{18} - \frac{3t^2}{\sqrt[3]{18^2}} \frac{\sqrt[3]{\frac{2}{3}} \alpha }{t} - + \frac{3t}{\sqrt[3]{18}} \frac{\sqrt[3]{\frac{4}{9}} \alpha^2 }{t^2} - - \frac{\frac{2}{3} \alpha^3 }{t^3} + + \frac{3t}{\sqrt[3]{18}} \frac{\sqrt[3]{\frac{4}{9}} \alpha^2 }{t^2} + - \frac{\frac{2}{3} \alpha^3 }{t^3} + \frac{t \alpha }{\sqrt[3]{18}} - \frac{\sqrt[3]{2} \alpha^2 }{\sqrt[3]{3} t} + \beta\\ &= \frac{t^3}{18} - \frac{\sqrt[3]{18} t \alpha}{\sqrt[3]{18^2}} - + \frac{\sqrt[3]{12} \alpha^2}{\sqrt[3]{18} t} - - \frac{2 \alpha^3 }{3t^3} + + \frac{\sqrt[3]{12} \alpha^2}{\sqrt[3]{18} t} + - \frac{2 \alpha^3 }{3t^3} + \frac{t \alpha }{\sqrt[3]{18}} - \frac{\sqrt[3]{2} \alpha^2 }{\sqrt[3]{3} t} + \beta\\ -&= \frac{t^3}{18} +&= \frac{t^3}{18} \color{blue} - \frac{t \alpha}{\sqrt[3]{18}} \color{red} + \frac{\sqrt[3]{2} \alpha^2}{\sqrt[3]{3} t} - \color{black}- \frac{2 \alpha^3 }{3 t^3} - \color{blue} + \frac{t \alpha }{\sqrt[3]{18}} - \color{red} - \frac{\sqrt[3]{2} \alpha^2 }{\sqrt[3]{3} t} + \color{black}- \frac{2 \alpha^3 }{3 t^3} + \color{blue} + \frac{t \alpha }{\sqrt[3]{18}} + \color{red} - \frac{\sqrt[3]{2} \alpha^2 }{\sqrt[3]{3} t} \color{black}+ \beta\\ &= \frac{t^3}{18} - \frac{2 \alpha^3 }{3 t^3} + \beta\\ &= \frac{t^6 - 12 \alpha^3 + \beta 18 t^3}{18t^3} diff --git a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/quadratic-case-2.2.tex b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/quadratic-case-2.2.tex index baf7403..6b5c7cb 100644 --- a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/quadratic-case-2.2.tex +++ b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/quadratic-case-2.2.tex @@ -48,10 +48,10 @@ Now get back to the original equation: Now continue with only the numerator \begin{align} 0 &\stackrel{!}{=} - - 12 \alpha^3 + - 12 \alpha^3 + (\sqrt{3(4 \alpha^3 + 27 \beta^2)}-9\beta)^2 + 18 (\sqrt{3(4 \alpha^3 + 27 \beta^2)} - 9 \beta) \beta\\ - &= + &= \color{red}- 12 \alpha^3 \color{black}+ \left ( 3(\color{red}4 \alpha^3\color{black} + \color{blue}27 \beta^2 \color{black}) diff --git a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/quadratic-functions.tex b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/quadratic-functions.tex index ffbb78b..b22d17f 100644 --- a/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/quadratic-functions.tex +++ b/documents/math-minimal-distance-to-cubic-function/quadratic-functions.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \chapter{Quadratic functions} \section{Defined on $\mdr$} -Let $f:\mdr \rightarrow \mdr, f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$ with $a \in \mdr \setminus \Set{0}$ and +Let $f:\mdr \rightarrow \mdr, f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$ with $a \in \mdr \setminus \Set{0}$ and $b, c \in \mdr$ be a quadratic function. \begin{figure}[htp] @@ -25,8 +25,8 @@ $b, c \in \mdr$ be a quadratic function. minor tick num=-3, enlargelimits=true, tension=0.08] - \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, red] {0.5*x*x}; - \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, green] { x*x}; + \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, red] {0.5*x*x}; + \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, green] { x*x}; \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, blue] { x*x + x}; \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, orange,dotted] { x*x + 2*x}; \addplot[domain=-3:3, thick,samples=50, black,dashed] {-x*x + 6}; @@ -35,13 +35,13 @@ $b, c \in \mdr$ be a quadratic function. \addlegendentry{$f_3(x)=x^2+x$} \addlegendentry{$f_4(x)=x^2+2x$} \addlegendentry{$f_5(x)=-x^2+6$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \caption{Quadratic functions} \end{figure} \subsection{Calculate points with minimal distance} -In this case, $d_{P,f}^2$ is polynomial of degree $n^2 = 4$. +In this case, $d_{P,f}^2$ is polynomial of degree $n^2 = 4$. We use Theorem~\ref{thm:fermats-theorem}:\nobreak \begin{align} 0 &\overset{!}{=} (d_{P,f}^2)'\\ @@ -80,7 +80,7 @@ Example~\ref{ex:false-positive}. \subsection{Number of points with minimal distance} \begin{theorem} - A point $P$ has either one or two points on the graph of a + A point $P$ has either one or two points on the graph of a quadratic function $f$ that are closest to $P$. \end{theorem} @@ -93,8 +93,8 @@ minimal distance. In the following, I will do some transformations with $f = f_0$ and $P = P_0$. This will make it easier to calculate the minimal distance -points. Moving $f_0$ and $P_0$ simultaneously in $x$ or $y$ direction does -not change the minimum distance. Furthermore, we can find the +points. Moving $f_0$ and $P_0$ simultaneously in $x$ or $y$ direction does +not change the minimum distance. Furthermore, we can find the points with minimum distance on the moved situation and calculate the minimum points in the original situation. @@ -104,7 +104,7 @@ First of all, we move $f_0$ and $P_0$ by $\frac{b}{2a}$ in $x$ direction, so Because:\footnote{The idea why you subtract $\frac{b}{2a}$ within $f$ is that when you subtract something from $x$ before applying $f$ it takes more time ($x$ needs to be bigger) to get to the same -situation. In consequence, if we want to move the whole graph by 1 +situation. In consequence, if we want to move the whole graph by 1 to the left, we have to add $+1$.} \begin{align} f(x-\nicefrac{b}{2a}) &= a (x-\nicefrac{b}{2a})^2 + b (x-\nicefrac{b}{2a}) + c\\ @@ -117,7 +117,7 @@ to the left, we have to add $+1$.} Then move $f_1$ and $P_1$ by $\frac{b^2}{4a}-c$ in $y$ direction. You get: \[f_2(x) = ax^2\;\;\;\text{ and }\;\;\; P_2 = \Big (\underbrace{x_P+\frac{b}{2a}}_{=: z},\;\; \underbrace{y_P+\frac{b^2}{4a}-c}_{=: w} \Big )\] -As $f_2(x) = ax^2$ is symmetric to the $y$ axis, only points +As $f_2(x) = ax^2$ is symmetric to the $y$ axis, only points $P = (0, w)$ could possilby have three minima. Then compute: @@ -132,7 +132,7 @@ Then compute: This means, the term \[a^2 x^2 + (\nicefrac{1}{2a}- w)\] -has to get as close to $0$ as possilbe when we want to minimize +has to get as close to $0$ as possilbe when we want to minimize $d_{P,{f_2}}$. For $w \leq \nicefrac{1}{2a}$ you only have $x = 0$ as a minimum. For all other points $P = (0, w)$, there are exactly two minima $x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{1}{2a} - w}{a}}$. $\qed$ @@ -176,7 +176,7 @@ I will make use of the following identities: (a-b)^3 &= a^3-3 a^2 b+3 a b^2-b^3 \end{align*} -\textbf{Case 2.1:} +\textbf{Case 2.1:} \input{quadratic-case-2.1} \goodbreak \textbf{Case 2.2:} @@ -211,12 +211,12 @@ If one of the minima in $S_2(P,f)$ is in $[a,b]$, this will be the shortest distance as there are no shorter distances. \todo[inline]{ -The following IS WRONG! Can I include it to help the reader understand the +The following IS WRONG! Can I include it to help the reader understand the problem?} If the function (defined on $\mdr$) has only one shortest distance point $x$ for the given $P$, it's also easy: The point in $[a,b]$ that -is closest to $x$ will have the sortest distance. +is closest to $x$ will have the sortest distance. \[\underset{x\in[a,b]}{\arg \min d_{P,f}(x)} = \begin{cases} S_2(f, P) \cap [a,b] &\text{if } S_2(f, P) \cap [a,b] \neq \emptyset \\ diff --git a/documents/math-speech-a515/math-speech-a515.tex b/documents/math-speech-a515/math-speech-a515.tex index 8ddcbe9..245aa1a 100644 --- a/documents/math-speech-a515/math-speech-a515.tex +++ b/documents/math-speech-a515/math-speech-a515.tex @@ -10,11 +10,11 @@ \title{Praktikum Spracherkennung} \author{Martin Thoma} -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {}, - pdftitle = {Praktikum Spracherkennung} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {}, + pdftitle = {Praktikum Spracherkennung} +} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Begin document % diff --git a/documents/math-sylvester-diagonal-matrix/math-sylvester-diagonal-matrix.tex b/documents/math-sylvester-diagonal-matrix/math-sylvester-diagonal-matrix.tex index f97378a..4a0b860 100644 --- a/documents/math-sylvester-diagonal-matrix/math-sylvester-diagonal-matrix.tex +++ b/documents/math-sylvester-diagonal-matrix/math-sylvester-diagonal-matrix.tex @@ -20,7 +20,7 @@ \begin{document} \begin{preview} \begin{equation*} -S^T \cdot A \cdot S = +S^T \cdot A \cdot S = \left( \begin{array}{*{9}{c}} \tikzmark{a}1 \\ diff --git a/documents/math-theorem/math-theorem.tex b/documents/math-theorem/math-theorem.tex index 792c267..48ae50e 100644 --- a/documents/math-theorem/math-theorem.tex +++ b/documents/math-theorem/math-theorem.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \usepackage{ntheorem} \theoremstyle{break} -\theoremindent20pt +\theoremindent20pt \theoremheaderfont{\normalfont\bfseries\hspace{-\theoremindent}} \newtheorem{theorem}{Theorem} diff --git a/documents/mathe-blutspende/Aufgabe-Blutspende.tex b/documents/mathe-blutspende/Aufgabe-Blutspende.tex index e48148c..306311f 100644 --- a/documents/mathe-blutspende/Aufgabe-Blutspende.tex +++ b/documents/mathe-blutspende/Aufgabe-Blutspende.tex @@ -1,11 +1,11 @@ \documentclass[a4paper,9pt]{scrartcl} -\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage[ngerman]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amssymb,amsmath} \usepackage{geometry} \usepackage{graphicx} -\geometry{a4paper,left=18mm,right=18mm, top=1cm, bottom=2cm} +\geometry{a4paper,left=18mm,right=18mm, top=1cm, bottom=2cm} \setcounter{secnumdepth}{2} \setcounter{tocdepth}{2} @@ -18,22 +18,22 @@ \section*{Aufgabenstellung} Ein Mensch hat ca. 5 Liter Blut. Bei einer Blutspende wird in der Regel etwa ein halber Liter Blut entnommen. Bis zur nächsten Blutspende ist wird dieses - Blut wieder neu gebildet. Wie häufig muss Blut gespendet werden, bis 95\% + Blut wieder neu gebildet. Wie häufig muss Blut gespendet werden, bis 95\% des ursprünglichen Blutes gespendet wurde?\\ \noindent Die natürliche Neubildung von Blut auch ohne Blutspende wird vernachlässigt. \subsection{Die ersten Werte} - $f(x)$ sei die Menge des ursprünglichen Blutes, das nach $x$ Spenden gespendet + $f(x)$ sei die Menge des ursprünglichen Blutes, das nach $x$ Spenden gespendet wurde:\\ $f(0) = 0$\\ - Beim ersten mal Blutspenden wird ein halber Liter des ursprünglichen Blutes + Beim ersten mal Blutspenden wird ein halber Liter des ursprünglichen Blutes gespendet:\\ $f(1) = f(0) + 0{,}5$\\ - Beim zweiten mal Blutspenden werden 0,45 Liter des ursprünglichen Blutes + Beim zweiten mal Blutspenden werden 0,45 Liter des ursprünglichen Blutes gespendet:\\ $f(2) = f(1) + f(0) + \frac{5-0{,}5}{5} \cdot 0{,}5 Liter = 0{,}95 Liter $\\ - Beim dritten mal Blutspenden werden 0,405 Liter des ursprünglichen Blutes + Beim dritten mal Blutspenden werden 0,405 Liter des ursprünglichen Blutes gespendet:\\ $f(3) = f(2) + f(1) + f(0) + \frac{5-0{,}95}{5} \cdot 0{,}5 Liter = 1{,}355 Liter$ @@ -71,6 +71,6 @@ x &= 27{,}43 \end{align} \subsection{Antwort} - Nach dem 28. mal Blutspenden wurden 95\% des ursprünglichen Blutes + Nach dem 28. mal Blutspenden wurden 95\% des ursprünglichen Blutes gespendet. \end{document} diff --git a/documents/mathe-burdsch-chalifa/Burdsch-Chalifa.tex b/documents/mathe-burdsch-chalifa/Burdsch-Chalifa.tex index 7d0cbc8..b89a31e 100644 --- a/documents/mathe-burdsch-chalifa/Burdsch-Chalifa.tex +++ b/documents/mathe-burdsch-chalifa/Burdsch-Chalifa.tex @@ -1,5 +1,5 @@ \documentclass[a4paper,9pt]{scrartcl} -\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage[ngerman]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amssymb,amsmath} \usepackage{geometry} @@ -11,7 +11,7 @@ \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{calc, decorations.pathmorphing, decorations.text} -\geometry{a4paper,left=18mm,right=18mm, top=1cm, bottom=2cm} +\geometry{a4paper,left=18mm,right=18mm, top=1cm, bottom=2cm} \setcounter{secnumdepth}{2} \setcounter{tocdepth}{2} @@ -30,12 +30,12 @@ \setcounter{section}{1} \section*{Aufgabenstellung} - Der Burdsch Chalifa war 2010 das höchste Gebäude der Erde. Bis zur Spitze + Der Burdsch Chalifa war 2010 das höchste Gebäude der Erde. Bis zur Spitze sind es 830 m.\\ \\ Angenommen, die Erde wäre eine perfekte Kugel mit einem Radius von 6370 km - und die Sicht wäre nicht durch Nebel, Wolken oder sonstige Hindernisse - eingeschränkt. Aus welcher Entfernung, die man über die Erde direkt zum + und die Sicht wäre nicht durch Nebel, Wolken oder sonstige Hindernisse + eingeschränkt. Aus welcher Entfernung, die man über die Erde direkt zum Burdsch Chalifa zurücklegt, könnte man den Burdsch Chalifa maximal sehen? \subsection{Situationsskizze} @@ -80,22 +80,22 @@ \end{align} \subsection{Antwort} - Bei optimalen, also unrealistischen, Bedingungen könnte man die Spitze - des Burdsch Chalifa noch in 102,8 km entfernung sehen. Dies entspricht - übrigens auch dem Punkt auf der Erdoberfläche, der vom Burdsch Chalifa + Bei optimalen, also unrealistischen, Bedingungen könnte man die Spitze + des Burdsch Chalifa noch in 102,8 km entfernung sehen. Dies entspricht + übrigens auch dem Punkt auf der Erdoberfläche, der vom Burdsch Chalifa am weitesten entfernt und zu sehen ist.\\ - Auch wenn nur die Luftlinie gemessen wird, sind es 102,8 km, da der + Auch wenn nur die Luftlinie gemessen wird, sind es 102,8 km, da der Erdradius bedeutend größer als der Burdsch Chalifa ist.\\ \\ - Laut Bildzeitung kann man die Spitze des Burdsch Chalifa noch in 95 km + Laut Bildzeitung kann man die Spitze des Burdsch Chalifa noch in 95 km sehen\footnote{http://www.bild.de/lifestyle/bams/burj-chalifa/burj-chalifa-bei-dieser-story-wurde-uns-schwindelig-828-meter-11056462.bild.html vom 10. Juni 2010. Abgerufen am 28. Mai 2011.} \section{Erweiterung der Aufgabenstellung} - Das Dorf Mileiha liegt direkt östlich vom Burdsch Chalifa + Das Dorf Mileiha liegt direkt östlich vom Burdsch Chalifa (25$^\circ$ 11' 50'' N, 55$^\circ$ 16' 27'' O). \\ - Wie weit östlich darf das Dorf maximal liegen, damit man die Spitze des + Wie weit östlich darf das Dorf maximal liegen, damit man die Spitze des Burdsch Chalifa bei optimalen Bedingungen noch sehen kann?\\ - Hinweis: Es gelten noch immer die gleichen Voraussetzungen wie im ersten + Hinweis: Es gelten noch immer die gleichen Voraussetzungen wie im ersten Teil der Aufgabe. \subsection{Situationsskizze} @@ -140,10 +140,10 @@ \end{tikzpicture} - Gesucht ist die grün eingezeichnete Kurve, die sich über die + Gesucht ist die grün eingezeichnete Kurve, die sich über die Erdoberfläche krümmt. Ihre Länge sei x.\\ - Um diese zu berechnen, müssen wir wissen welchen Radius die Kreisfläche - hat, die entsteht, wenn man die Erde am 25. Breitengrad schneidet. Der + Um diese zu berechnen, müssen wir wissen welchen Radius die Kreisfläche + hat, die entsteht, wenn man die Erde am 25. Breitengrad schneidet. Der Radius dieser Kreisfläche sei $r_{25}$. \subsection{Berechnung} \begin{align} @@ -172,6 +172,6 @@ steht und von dem aus die Spitze des Burdsch Chalifa unter optimalen Bedinungen noch erkannt werden kann, liegt ca. 102 km entfernt. \\ \\ - Anmerkung: Mileiha liegt ca. 60 km vom Burdsch Chalifa entfernt. Er + Anmerkung: Mileiha liegt ca. 60 km vom Burdsch Chalifa entfernt. Er müsste also von Mileiha zu sehen sein. \end{document} diff --git a/documents/mathe-handlungsreisender/Handlungsreisender-in-Deutschland.tex b/documents/mathe-handlungsreisender/Handlungsreisender-in-Deutschland.tex index 3bb2193..188983a 100644 --- a/documents/mathe-handlungsreisender/Handlungsreisender-in-Deutschland.tex +++ b/documents/mathe-handlungsreisender/Handlungsreisender-in-Deutschland.tex @@ -1,5 +1,5 @@ \documentclass[a4paper,9pt]{scrartcl} -\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage[ngerman]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amssymb,amsmath} \usepackage{geometry} @@ -28,7 +28,7 @@ rulesepcolor=\color{blue}, otherkeywords={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9 , 0, -, =, +, [, ], (, ), \{, \}, :, *, !}, numbers=left, % where to put the line-numbers numberstyle=\footnotesize, % the size of the fonts that are used for the line-numbers -stepnumber=1, % the step between two line-numbers. If it's 1, each line +stepnumber=1, % the step between two line-numbers. If it's 1, each line % will be numbered numbersep=5pt, % how far the line-numbers are from the code showspaces=false, % show spaces adding particular underscores @@ -43,16 +43,16 @@ title=\lstname, % show the filename of files included with \lsti escapeinside={\%*}{*)}, % if you want to add a comment within your code morekeywords={*,...}, % if you want to add more keywords to the set literate=% -{Ö}{{\"O}}1 -{Ä}{{\"A}}1 -{Ü}{{\"U}}1 -{ß}{{\ss}}2 -{ü}{{\"u}}1 -{ä}{{\"a}}1 +{Ö}{{\"O}}1 +{Ä}{{\"A}}1 +{Ü}{{\"U}}1 +{ß}{{\ss}}2 +{ü}{{\"u}}1 +{ä}{{\"a}}1 {ö}{{\"o}}1 } -\geometry{a4paper,left=18mm,right=18mm, top=1cm, bottom=2cm} +\geometry{a4paper,left=18mm,right=18mm, top=1cm, bottom=2cm} \setcounter{secnumdepth}{2} \setcounter{tocdepth}{2} @@ -72,11 +72,11 @@ literate=% \setcounter{section}{1} \section*{Aufgabenstellung} - Ein Handlungsreisender will seine Produkte in den zehn größten Städten - Deutschlands verkaufen. Er startet in Berlin und will seine Reise dort + Ein Handlungsreisender will seine Produkte in den zehn größten Städten + Deutschlands verkaufen. Er startet in Berlin und will seine Reise dort beenden. - Die zehn einwohnerreichsten Städte Deutschlands sind Berlin, Hamburg, + Die zehn einwohnerreichsten Städte Deutschlands sind Berlin, Hamburg, München, Köln, Frankfurt am Main, Stuttgart, Düsseldorf, Dortmund, Essen und Bremen. \\ Folgende Tabelle gibt die Entfernung zwischen den Städten für eine Autoreise @@ -103,17 +103,17 @@ literate=% \subsection{Größenordnung des Problems} Es gibt $9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 362.880$ mögliche Routen, - da der Handlungsreisende in Berlin startet und 9 Möglichkeiten für die erste + da der Handlungsreisende in Berlin startet und 9 Möglichkeiten für die erste Stadt hat, 8 für die zweite, usw.\\ - Allgemein kann man sagen, dass bei $n$ Städten insgesamt $(n-1)!$ mögliche + Allgemein kann man sagen, dass bei $n$ Städten insgesamt $(n-1)!$ mögliche Routen bestehen, da die Wahl des Startpunktes egal ist. \\ - Falls das Problem symmetrisch wäre, also die Strecke von Berlin nach + Falls das Problem symmetrisch wäre, also die Strecke von Berlin nach München genauso lang wie die von München nach Berlin wäre, könnte man die - Anzahl der Routen auf $\frac{(n-1)!}{2}$ reduzieren. Allerdings ist das - Problem offensichtlich asymmetrisch (siehe München $\rightarrow$ Berlin und + Anzahl der Routen auf $\frac{(n-1)!}{2}$ reduzieren. Allerdings ist das + Problem offensichtlich asymmetrisch (siehe München $\rightarrow$ Berlin und München $\leftarrow$ Berlin) - Die Tabelle \ref{tab:functionGrowth} macht deutlich, wie schnell so etwas + Die Tabelle \ref{tab:functionGrowth} macht deutlich, wie schnell so etwas wächst. \begin{table}[hc] \centering @@ -139,7 +139,7 @@ literate=% \end{table} \newpage \subsection{Intuitive Lösung} - Wenn man die Städte so auf der Karte sieht sollte man einfach mal die Route + Wenn man die Städte so auf der Karte sieht sollte man einfach mal die Route suchen, von der man denkt sie wäre gut. \\ \begin{center} %\includegraphics{Germany_location_map.png} @@ -148,18 +148,18 @@ literate=% \begin{center} %\includegraphics{Germany_location_map-intuitiv.png} \end{center} - Das ist die Route Berlin $\rightarrow$ München $\rightarrow$ Stuttgart - $\rightarrow$ Frankfurt a. M. $\rightarrow$ Köln $\rightarrow$ Düsseldorf - $\rightarrow$ Essen $\rightarrow$ Dortmund $\rightarrow$ Bremen - $\rightarrow$ Hamburg $\rightarrow$ Berlin. - Diese Route ist 1969 km lang. + Das ist die Route Berlin $\rightarrow$ München $\rightarrow$ Stuttgart + $\rightarrow$ Frankfurt a. M. $\rightarrow$ Köln $\rightarrow$ Düsseldorf + $\rightarrow$ Essen $\rightarrow$ Dortmund $\rightarrow$ Bremen + $\rightarrow$ Hamburg $\rightarrow$ Berlin. + Diese Route ist 1969 km lang. \newpage \subsection{Optimale Lösung} \subsubsection{Alle Routen durchgehen} - Die primitivste und langsamste Methode zum Finden der optimalen Lösung ist - einfach alle möglichen Routen durch zu gehen. Dieser Algorithmus ist, was - die Ausführungszeit angeht, in $\mathcal{O}(n!)$. Wie schnell diese wächst + Die primitivste und langsamste Methode zum Finden der optimalen Lösung ist + einfach alle möglichen Routen durch zu gehen. Dieser Algorithmus ist, was + die Ausführungszeit angeht, in $\mathcal{O}(n!)$. Wie schnell diese wächst sollte mit Tabelle \ref{tab:functionGrowth} klar geworden sein.\\ Dieser Ansatz ist also nur für sehr kleine Instanzen des Problems geeignet.\\ \\ @@ -173,22 +173,22 @@ literate=% %\includegraphics{Kurve.png} \\ Würde man eine maximale Abweichung von $5\%$ akzeptieren, wären nur $0,002\%$ - aller Routen akzeptabel. Durch eine zufällig gewählte Strecke wird man also + aller Routen akzeptabel. Durch eine zufällig gewählte Strecke wird man also kaum ein gutes Ergebnis erziehlen \subsection{Heuristiken} - Eine Heuristik ist in diesem Zusammenhang ein vereinfachtes Verfahren, das - keine optimale Lösung liefert, aber eine akzeptable Näherung daran. Dafür + Eine Heuristik ist in diesem Zusammenhang ein vereinfachtes Verfahren, das + keine optimale Lösung liefert, aber eine akzeptable Näherung daran. Dafür ist die Heuristik deutlich schneller.\\ \subsubsection{Nächster Nachbar} - Eine mögliche Heurisik ist das auswählen der Stadt, die am nächsten zur - aktuellen Stadt liegt. Mit diesem Verfahren erhält man bei der gegebenen - Städtekonstellation eine Route der Länge 2.162 km. Das sind 193 km oder + Eine mögliche Heurisik ist das auswählen der Stadt, die am nächsten zur + aktuellen Stadt liegt. Mit diesem Verfahren erhält man bei der gegebenen + Städtekonstellation eine Route der Länge 2.162 km. Das sind 193 km oder $9,8\%$ mehr als die optimale Lösung benötigt. \subsubsection{Nächster Nachbar - Dynamisch Einfügen} - Die Methode des nächsten Nachbars kann verbessert werden, indem der Nachbar - nicht einfach am Ende in die Route eingefügt wird, sondern an die Stelle, an - der die resultierende Route am kleinsten wäre. Damit erhält man bei der + Die Methode des nächsten Nachbars kann verbessert werden, indem der Nachbar + nicht einfach am Ende in die Route eingefügt wird, sondern an die Stelle, an + der die resultierende Route am kleinsten wäre. Damit erhält man bei der gegebenen Städtekonstellation eine optimale Route. \newpage diff --git a/documents/mathe-info-studium/mathe-info-studium.tex b/documents/mathe-info-studium/mathe-info-studium.tex index 7f068ba..9e15042 100644 --- a/documents/mathe-info-studium/mathe-info-studium.tex +++ b/documents/mathe-info-studium/mathe-info-studium.tex @@ -19,11 +19,11 @@ \newcommand{\cmark}{\ding{51}}% \newcommand{\xmark}{\ding{55}}% -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Studienplan}, - pdftitle = {Studienplan} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Studienplan}, + pdftitle = {Studienplan} +} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Begin document % diff --git a/documents/mathe-lineare-algebra/mathe-lineare-algebra.tex b/documents/mathe-lineare-algebra/mathe-lineare-algebra.tex index 92fb8a6..02c8c8b 100644 --- a/documents/mathe-lineare-algebra/mathe-lineare-algebra.tex +++ b/documents/mathe-lineare-algebra/mathe-lineare-algebra.tex @@ -12,11 +12,11 @@ \clubpenalty = 10000 % Schusterjungen verhindern \widowpenalty = 10000 % Hurenkinder verhindern -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Lineare Algebra}, - pdftitle = {Lineare Algebra - Definitionen} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Lineare Algebra}, + pdftitle = {Lineare Algebra - Definitionen} +} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Custom definition style, by % @@ -52,22 +52,22 @@ \definecolor{FrameColor}{rgb}{0.25,0.25,1.0} \definecolor{TitleColor}{rgb}{1.0,1.0,1.0} -\newenvironment{contlabelframe}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{% +\newenvironment{contlabelframe}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{% % Optional continuation label defaults to the first label plus \def\Frame@Lab{#2}% \def\FrameCommand{\LabFrame{#2}}% \def\FirstFrameCommand{\LabFrame{#2}}% \def\MidFrameCommand{\LabFrame{#1}}% \def\LastFrameCommand{\LabFrame{#1}}% - \MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore} -}{\endMakeFramed} + \MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore} +}{\endMakeFramed} \newcounter{definition} \newenvironment{definition}[1]{% \par \refstepcounter{definition}% \begin{contlabelframe}{Definition \thedefinition:\quad #1} \noindent\ignorespaces} -{\end{contlabelframe}} +{\end{contlabelframe}} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% @@ -80,7 +80,7 @@ \refstepcounter{satz}% \begin{contlabelframe}{Satz \thedefinition:\quad #1} \noindent\ignorespaces} -{\end{contlabelframe}} +{\end{contlabelframe}} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Begin document % @@ -114,7 +114,7 @@ Eine Relation $\leq$ heißt Ordnungsrelation in A und $(A, \leq)$ heißt \end{definition} \begin{definition}{Äquivalenzrelation} -Sei $R \subseteq A \times A$ eine Relation. +Sei $R \subseteq A \times A$ eine Relation. R heißt Äquivalenzrelation, wenn für alle $a, b, c \in A$ gilt: \begin{description} @@ -159,12 +159,12 @@ $(R, +, \cdot)$ heißt \textbf{Ring} $: \Leftrightarrow$ \begin{definition}{Nullteiler} Sei $(R, +, \cdot)$ ein Ring.\\ -$a \in R$ heißt (linker) \textbf{Nullteiler} $:\Leftrightarrow a \neq 0 \land \exists b: a \cdot b = 0$ +$a \in R$ heißt (linker) \textbf{Nullteiler} $:\Leftrightarrow a \neq 0 \land \exists b: a \cdot b = 0$ \end{definition} \begin{definition}{Ringhomomorphismus} Seien $(R_1, +, \cdot)$ und $(R_2, +, \cdot)$ Ringe und $\Phi:R_1 \rightarrow R_2$ eine Abbildung.\\ -$\Phi$ heißt \textbf{Ringhomomorphismus} $:\Leftrightarrow \forall x,y \in R_1: \Phi(x+y) = \Phi(x) + \Phi(y)$ und $\Phi(x \cdot y) = \Phi(x) \cdot \Phi(y)$ +$\Phi$ heißt \textbf{Ringhomomorphismus} $:\Leftrightarrow \forall x,y \in R_1: \Phi(x+y) = \Phi(x) + \Phi(y)$ und $\Phi(x \cdot y) = \Phi(x) \cdot \Phi(y)$ \end{definition} \begin{definition}{Körper} @@ -241,7 +241,7 @@ heißt (V, F) ein \textbf{euklidischer Vektorraum}. \end{definition} \begin{definition}{Hermitesche Form} -Sei V ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung +Sei V ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung \[ F:V \times V \rightarrow \mathbb{C}, ~~~ (a,b) \mapsto F(a,b) \] heißt \textbf{hermitesche Form} auf V, falls für alle $a, a_1, a_2, b$ und alle $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}$ gilt: @@ -281,7 +281,7 @@ Gleichheit gilt genau dann, wenn a und b linear abhängig sind. \begin{definition}{Norm} Sei V ein reeler oder komplexer Vektorraum. Eine \textbf{Norm} auf V -ist eine Funktion +ist eine Funktion \[ \| \| : V\to{\mathbb R}, ~~~ x \mapsto \| x \| \] mit folgenden Eigenschaften:\\ Für alle $\lambda \in \mathbb{R}$ (oder $\mathbb{C}$) und alle $a, b \in V $ gilt:\\ @@ -293,7 +293,7 @@ Für alle $\lambda \in \mathbb{R}$ (oder $\mathbb{C}$) und alle $a, b \in V $ gi \end{definition} \begin{satz}{induzierte Norm} -Es sei $V, \langle, \rangle$ ein euklidischer oder unitärer Vektorraum. +Es sei $V, \langle, \rangle$ ein euklidischer oder unitärer Vektorraum. Dann ist die Funktion \[ \| \| : V \rightarrow \mathbb{R} \text{ definiert durch } \|a\| := \sqrt{\langle a, a \rangle}\] eine Norm. @@ -301,8 +301,8 @@ eine Norm. \begin{satz}{Parallelogramm-Identität} \begin{enumerate}[(a)] - \item Sei $(V, \langle, \rangle)$ ein euklidischer oder unitärer - Vektorraum mit zugehöriger Norm $\|\|$. Dann gilt die + \item Sei $(V, \langle, \rangle)$ ein euklidischer oder unitärer + Vektorraum mit zugehöriger Norm $\|\|$. Dann gilt die \textbf{Parallelogramm-Identität}, d.h. für alle $a, b \in V$ ist \[ \| a+ b \|^2 + \| a - b \|^2 = 2 \| a \|^2 + 2 \| b \|^2 \] \item Ist umgekehrt $\|\|$ eine Norm auf einem reelen Vektorraum V, @@ -318,7 +318,7 @@ eine \textbf{Metrik}, wenn d die folgenden Eigenschaften erfüllt: \begin{enumerate}[(i)] \item $\forall p, q \in M: d(p, q) = d(q, p)$ (symmetrie) \item $\forall p, q, r \in M: d(p, r) \leq d(p, q) + d(q,r)$ (Dreiecks-Ungleichung) - \item $\forall p, q \in M: d(p, q) \geq 0$ und + \item $\forall p, q \in M: d(p, q) \geq 0$ und $d(p,q) = 0 \Leftrightarrow p = q$ (positiv definit) \end{enumerate} @@ -405,7 +405,7 @@ Analog für unitäre Matrizen. \item Für eine orthogonale Matrix A gilt: $\det A = \pm 1$. \item Für eine unitäre Matrix gilt: $| \det A | = 1$. \end{enumerate} -\end{satz} +\end{satz} \begin{definition}{Adjungierte lineare Abbildung} Es seien $(V, \langle, \rangle_V)$ und $(W, \langle, \rangle_W)$ @@ -417,11 +417,11 @@ alle $x \in V$ und alle $y \in W$ gilt: \end{definition} \begin{satz}{Spektralsatz} -Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt und +Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt und $\Phi: V \rightarrow V$ ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann -ist $\Phi$ diagonalisierbar. +ist $\Phi$ diagonalisierbar. -Genauer: Es exisitiert eine Orthonormalbasis B von V, die aus +Genauer: Es exisitiert eine Orthonormalbasis B von V, die aus Eigenvektoren von $\Phi$ besteht und die Abbildung von $\Phi$ bzgl. dieser Orthonormalbasis hat Diagonalform \[M_B^B(\Phi) = \begin{pmatrix} @@ -431,11 +431,11 @@ dieser Orthonormalbasis hat Diagonalform \end{pmatrix}\] wobei $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ die $n$ (reelen) Eigenwerte von $\Phi$ sind. -\end{satz} +\end{satz} \begin{satz}{Kriterium für "positiv definit"} Sei A eine reele, symmetrische Matrix.\\ A ist positiv definit $\Leftrightarrow$ alle Eigenwerte von A sind positiv. -\end{satz} +\end{satz} \end{document} diff --git a/documents/mathe-reis/Reis-Exponentielles-Wachstumsverhalten.tex b/documents/mathe-reis/Reis-Exponentielles-Wachstumsverhalten.tex index 78e7fa6..f6fc14e 100644 --- a/documents/mathe-reis/Reis-Exponentielles-Wachstumsverhalten.tex +++ b/documents/mathe-reis/Reis-Exponentielles-Wachstumsverhalten.tex @@ -1,11 +1,11 @@ \documentclass[a4paper,9pt]{scrartcl} -\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage[ngerman]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amssymb,amsmath} \usepackage{geometry} \usepackage{graphicx} -\geometry{a4paper,left=18mm,right=18mm, top=1cm, bottom=2cm} +\geometry{a4paper,left=18mm,right=18mm, top=1cm, bottom=2cm} \setcounter{secnumdepth}{2} \setcounter{tocdepth}{2} @@ -16,21 +16,21 @@ \setcounter{section}{1} \section*{Aufgabenstellung} - Der Kaiser von China spielt mit einem Bauern Schach. Nachdem er das Spiel - verloren hat, ist der Kaiser großzügig und will dem Bauern jeden Wunsch - erfüllen. Der Bauer gibt sich bescheiden und verlagt für das erste + Der Kaiser von China spielt mit einem Bauern Schach. Nachdem er das Spiel + verloren hat, ist der Kaiser großzügig und will dem Bauern jeden Wunsch + erfüllen. Der Bauer gibt sich bescheiden und verlagt für das erste Schachfeld ein Reiskorn, für das zweite zwei Reiskörner, usw. \\ Allgemein verlangt er für jedes Schachfeld doppelt so viele Reiskörner wie für das Vorhergehende.\\ \\ Wieviel Reis muss der Kaiser von China abtreten? \subsection*{Nummerische Lösung} - Ein Schachbrett hat $8 \cdot 8 = 64$ Felder. Für das $i$-te Feld, + Ein Schachbrett hat $8 \cdot 8 = 64$ Felder. Für das $i$-te Feld, $1 \le i \le 64$, muss der Kaiser $2^{i-1}$ Reiskörner abgeben. \\ Insgesamt muss er also $\sum_{i=1}^{64} 2^{i-1}$ Reiskörner abgeben.\\ - Das sind - $2^{64} - 1 = 18446744073709551615 \approx 1{,}84 \cdot 10^{19} $ - Reiskörner. + Das sind + $2^{64} - 1 = 18446744073709551615 \approx 1{,}84 \cdot 10^{19} $ + Reiskörner. \subsection*{Vergleiche} Wie viel sind 18.446.744.073.709.551.615 Reiskörner?\\ @@ -39,9 +39,9 @@ Schicht?\\ \\ Die Erde hat eine Oberfläche von ca. 510 Millionen $\text{km}^2$, ein Basmati-Reiskorn - ist ca 6,5 mm lang, hat einen Durchmesser von ca. 1,5 mm und hat vereinfacht + ist ca 6,5 mm lang, hat einen Durchmesser von ca. 1,5 mm und hat vereinfacht eine Kreiszylinderform.\\ - Daraus ergibt sich folgende Gleichung, bei der x die Höhe der Reisschicht + Daraus ergibt sich folgende Gleichung, bei der x die Höhe der Reisschicht ist:\\ \begin{align} x \cdot A_{Erde} &= (2^{64}-1) \cdot 6,5\text{mm} \cdot (1,5\text{mm})^2 \cdot \pi \\ @@ -50,13 +50,13 @@ x &= \frac{8,47550 \cdot 10^{20} \text{mm}^3}{510 \cdot 10^{18} \text{mm}^2} \\ x &= 1,662\text{mm} \end{align} - Die Erde könnte also komplett mit ca. 1,662 mm Reis, also etwas mehr als + Die Erde könnte also komplett mit ca. 1,662 mm Reis, also etwas mehr als einem Reiskorn, bedeckt werden.\\ \\ \subsubsection{Reispackungen} - Den vorhergehenden Vergleich finde ich noch etwas unpraktisch. Wieviele Reispackungen + Den vorhergehenden Vergleich finde ich noch etwas unpraktisch. Wieviele Reispackungen wären das? \\ - Eine handelsübliche Packung Reis beinhaltet ca. 1 kg Reis. Ein Reiskorn + Eine handelsübliche Packung Reis beinhaltet ca. 1 kg Reis. Ein Reiskorn wiegt ca. 65 mg.\\ \begin{align} x &:= \text{Reispackungen} \\ @@ -65,7 +65,7 @@ x &\approx 1,2 \cdot 10^{15} \end{align} \subsubsection{Reispackungen pro Person} - Auch $1,2 \cdot 10^{15}$ ist noch zu groß, um sich etwas darunter vorstellen + Auch $1,2 \cdot 10^{15}$ ist noch zu groß, um sich etwas darunter vorstellen zu können.\\ Wie viele Reispackungen wären das pro Person auf der Erde?\\ \begin{align} @@ -75,7 +75,7 @@ \end{align} Jeder Mensch würde also 170.000 Packungen Reis von Kaiser von China bekommen. Um den täglichen Kalorienbedarf zu decken werden ca. 1,1 kg Reis benötigt. - Es könnten also alle Menschen der Erde ca. 154.545 Tage, das sind über 423 + Es könnten also alle Menschen der Erde ca. 154.545 Tage, das sind über 423 Jahre, ernährt werden!\\ \subsubsection{Marktwert} Reis kostet auf dem Weltmarkt ca. 600 US-Dollar pro metrischer Tonne\footnote{http://www.markt-daten.de/charts/imf/imf014.htm . Daten von 2010. Abgerufen am 8. Mai 2011.}. diff --git a/documents/mathe-vorlage-minimal/mathe-vorlage-minimal.tex b/documents/mathe-vorlage-minimal/mathe-vorlage-minimal.tex index 373c044..bc46838 100644 --- a/documents/mathe-vorlage-minimal/mathe-vorlage-minimal.tex +++ b/documents/mathe-vorlage-minimal/mathe-vorlage-minimal.tex @@ -10,11 +10,11 @@ \title{Minimal distance to a cubic function} \author{Martin Thoma} -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {}, - pdftitle = {} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {}, + pdftitle = {} +} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Begin document % @@ -23,19 +23,19 @@ \maketitle \begin{abstract} In this paper I want to discuss how to find the minimal distance of a -point $P = (x_p, y_p)$ to a cubic function $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, +point $P = (x_p, y_p)$ to a cubic function $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$. So I search for $x \in \mathbb{R}$ such that \dots \end{abstract} \section{Minimal distance constant function} -Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Nulla -quam elit, vestibulum nec facilisis at, condimentum id enim. Sed -iaculis lacinia quam, vel accumsan eros tempor in. Integer ipsum -metus, accumsan sit amet commodo a, egestas vitae sem. Mauris ut -orci ut dolor viverra convallis nec a erat. Aenean consequat elit -vel eros fermentum vestibulum id at ipsum. In vitae orci mauris, et -rhoncus odio. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus +Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Nulla +quam elit, vestibulum nec facilisis at, condimentum id enim. Sed +iaculis lacinia quam, vel accumsan eros tempor in. Integer ipsum +metus, accumsan sit amet commodo a, egestas vitae sem. Mauris ut +orci ut dolor viverra convallis nec a erat. Aenean consequat elit +vel eros fermentum vestibulum id at ipsum. In vitae orci mauris, et +rhoncus odio. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. \end{document} diff --git a/documents/mathe-vorlage/mathe-vorlage.tex b/documents/mathe-vorlage/mathe-vorlage.tex index daca2b9..61c9342 100644 --- a/documents/mathe-vorlage/mathe-vorlage.tex +++ b/documents/mathe-vorlage/mathe-vorlage.tex @@ -11,11 +11,11 @@ \clubpenalty = 10000 % Schusterjungen verhindern \widowpenalty = 10000 % Hurenkinder verhindern -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Lineare Algebra}, - pdftitle = {Lineare Algebra} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Lineare Algebra}, + pdftitle = {Lineare Algebra} +} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Custom definition style, by % @@ -51,22 +51,22 @@ \definecolor{FrameColor}{rgb}{0.25,0.25,1.0} \definecolor{TitleColor}{rgb}{1.0,1.0,1.0} -\newenvironment{contlabelframe}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{% +\newenvironment{contlabelframe}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{% % Optional continuation label defaults to the first label plus \def\Frame@Lab{#2}% \def\FrameCommand{\LabFrame{#2}}% \def\FirstFrameCommand{\LabFrame{#2}}% \def\MidFrameCommand{\LabFrame{#1}}% \def\LastFrameCommand{\LabFrame{#1}}% - \MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore} -}{\endMakeFramed} + \MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore} +}{\endMakeFramed} \newcounter{definition} \newenvironment{definition}[1]{% \par \refstepcounter{definition}% \begin{contlabelframe}{Definition \thedefinition:\quad #1} \noindent\ignorespaces} -{\end{contlabelframe}} +{\end{contlabelframe}} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Begin document % diff --git a/documents/milgrams-small-world/milgrams-small-world-letter.tex b/documents/milgrams-small-world/milgrams-small-world-letter.tex index c86a6d8..cf2f0d4 100644 --- a/documents/milgrams-small-world/milgrams-small-world-letter.tex +++ b/documents/milgrams-small-world/milgrams-small-world-letter.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \usepackage{hyperref} \usepackage{graphicx} \usepackage{graphics} - + % Anpassen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\Vorname}{Martin} % Vorname des Senders % \newcommand{\Nachname}{Thoma} % Nachname des Senders % @@ -24,20 +24,20 @@ % \newcommand{\DocTitle}{Milgrams Small World Experiment} %Titel des Dokuments% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - - + + % pdfinfo -\hypersetup{ - pdfauthor = {\Nachname, \Vorname}, - pdfkeywords = {Experiment, Fun, Web}, - pdftitle = {\DocTitle} +\hypersetup{ + pdfauthor = {\Nachname, \Vorname}, + pdfkeywords = {Experiment, Fun, Web}, + pdftitle = {\DocTitle} } - + % set letter variables \signature{\Vorname~\Nachname} \backaddress{\Vorname~\Nachname, \Strasse~\Hausnummer, \PLZ~\Ort} \newcommand{\section}[1]{\noindent\textbf{#1}\newline} - + % Begin document %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \begin{letter}{\Empfaenger \\ \EStrasse \\ \EPLZ~\EOrt} @@ -48,7 +48,7 @@ dabei auf deine Hilfe angewiesen bin.\\ \section{Was ist Milgrams Experiment?} - Ist es dir auch schon einmal passiert, dass du überraschend mit einem Freund + Ist es dir auch schon einmal passiert, dass du überraschend mit einem Freund oder eine Freundin einen gemeinsamen Bekannten hattest? Kennst du das "`Freundesfreunde"'-System aus sozialen Netzwerken? @@ -62,10 +62,10 @@ \section{Wie kannst du helfen?} Im Anhang ist ein Blatt auf dem die Zielperson steht, an die du diesen Brief - und alle Blätter im Anhang schicken sollst. + und alle Blätter im Anhang schicken sollst. Da ich nicht will, dass du einfach die Adresse im Internet - suchst, gebe ich dir nur den Ort, den Beruf und einen Vornamen. Nun musst + suchst, gebe ich dir nur den Ort, den Beruf und einen Vornamen. Nun musst du den Brief an einen Bekannten schicken, der diese Person kennen könnte. Wenn deine Zielperson also in den USA lebt, könntest du den Brief zuerst an einen Englisch-sprachigen Bekannten schicken. Oder du schickst ihn an @@ -93,9 +93,9 @@ {\centering - \includegraphics*[width=\linewidth,height=7cm,keepaspectratio]{Image_of_none.png} + \includegraphics*[width=\linewidth,height=7cm,keepaspectratio]{Image_of_none.png} } - + \closing{Mit freundlichen Grüßen,} \end{letter} \end{document} diff --git a/documents/milgrams-small-world/milgrams-small-world-table.tex b/documents/milgrams-small-world/milgrams-small-world-table.tex index 1e1584c..55587c9 100644 --- a/documents/milgrams-small-world/milgrams-small-world-table.tex +++ b/documents/milgrams-small-world/milgrams-small-world-table.tex @@ -16,10 +16,10 @@ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\hypersetup { - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Milgram; Data; Experiment}, - pdftitle = {Milgrams Small World Experiment - Data} +\hypersetup { + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Milgram; Data; Experiment}, + pdftitle = {Milgrams Small World Experiment - Data} } \begin{document} diff --git a/documents/musterloesung-db-2012-09-24/musterloesung-db-2012-09-24.tex b/documents/musterloesung-db-2012-09-24/musterloesung-db-2012-09-24.tex index 765bd36..742bc8f 100644 --- a/documents/musterloesung-db-2012-09-24/musterloesung-db-2012-09-24.tex +++ b/documents/musterloesung-db-2012-09-24/musterloesung-db-2012-09-24.tex @@ -15,7 +15,7 @@ \usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont \usepackage{minted} % needed for the inclusion of source code \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc,lindenmayersystems,decorations.pathmorphing,intersections} +\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc,lindenmayersystems,decorations.pathmorphing,intersections} \tikzstyle{vertex}=[draw, fill=yellow, circle,minimum size=10pt,inner sep=0pt] @@ -23,11 +23,11 @@ circle,minimum size=10pt,inner sep=0pt] \newcommand{\cmark}{\ding{51}}% \newcommand{\xmark}{\ding{55}}% -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Datenbanksysteme,KIT}, - pdftitle = {Musterlösung: Datenbanksysteme} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Datenbanksysteme,KIT}, + pdftitle = {Musterlösung: Datenbanksysteme} +} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Begin document % @@ -59,7 +59,7 @@ Schlüssel in R: \item $\Set{I, C}$ \end{itemize} -Die Relation befindet sich nur in 1NF, da $I \rightarrow H$ eine +Die Relation befindet sich nur in 1NF, da $I \rightarrow H$ eine partielle Abhängigkeit darstellt. Daher kann die Relation nicht in 2NF sein. @@ -71,7 +71,7 @@ F^{(2)} = \{ & A \rightarrow B,\\ & C \rightarrow A,C \rightarrow D,C \rightarrow F,\\ & D \rightarrow E,D \rightarrow F,D \rightarrow G,D \rightarrow H,D \rightarrow H,\\ & F \rightarrow G,\\ - & I \rightarrow H + & I \rightarrow H \} \end{align*} @@ -82,7 +82,7 @@ F^{(3)} = \{ & A \rightarrow B,\\ & C \rightarrow A,\\ & D \rightarrow E,D \rightarrow F,D \rightarrow H,\\ & F \rightarrow G,\\ - & I \rightarrow H + & I \rightarrow H \} \end{align*} @@ -96,7 +96,7 @@ aufgelöst wurden wie folgt: $D \rightarrow G$ & $D \rightarrow F \land F \rightarrow G$\\ \end{tabular} -ergibt die Zerlegung +ergibt die Zerlegung \begin{align*} R = \{\\ @@ -153,7 +153,7 @@ Beispielhaftes Ergebnis für gegebene Situation und id=4: "5","2" "5","3" \end{verbatim} - + \subsubsection{Version B} \inputminted[linenos, numbersep=5pt, tabsize=4]{sql}{d2c2.sql} diff --git a/documents/musterloesung-db-klausur-b/musterloesung-db-klausur-b.tex b/documents/musterloesung-db-klausur-b/musterloesung-db-klausur-b.tex index b84f110..286b997 100644 --- a/documents/musterloesung-db-klausur-b/musterloesung-db-klausur-b.tex +++ b/documents/musterloesung-db-klausur-b/musterloesung-db-klausur-b.tex @@ -15,7 +15,7 @@ \usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont \usepackage{minted} % needed for the inclusion of source code \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc,lindenmayersystems,decorations.pathmorphing,intersections} +\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc,lindenmayersystems,decorations.pathmorphing,intersections} \tikzstyle{vertex}=[draw, fill=yellow, circle,minimum size=10pt,inner sep=0pt] @@ -23,11 +23,11 @@ circle,minimum size=10pt,inner sep=0pt] \newcommand{\cmark}{\ding{51}}% \newcommand{\xmark}{\ding{55}}% -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Datenbanksysteme,KIT}, - pdftitle = {Musterlösung: Datenbanksysteme} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Datenbanksysteme,KIT}, + pdftitle = {Musterlösung: Datenbanksysteme} +} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Begin document % diff --git a/documents/nomenclature/nomenclature.tex b/documents/nomenclature/nomenclature.tex index a852871..518918d 100644 --- a/documents/nomenclature/nomenclature.tex +++ b/documents/nomenclature/nomenclature.tex @@ -10,81 +10,81 @@ \makeindex \begin{document} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, -sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea -rebum. Stet \index{clita} clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus -est Lorem -ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur -sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore -et dolore magna aliquyam erat, sed diam voluptua. At vero eos et -accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, -no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum -dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod -tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam erat, sed diam -voluptua. 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Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur +sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore +et dolore magna aliquyam erat, sed diam voluptua. At vero eos et +accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, +no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum +dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod +tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam erat, sed diam +voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. +Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum +dolor sit amet. -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, -sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea -rebum. Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus -est Lorem -ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur -sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore -et dolore magna aliquyam erat, sed diam voluptua. At vero eos et -accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, -no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum -dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod -tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam erat, sed diam -voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse -molestie consequat, vel illum \index{dolore} dolore eu feugiat nulla facilisis at -vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent -luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi. -Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam -nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat -volutpat. +Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse +molestie consequat, vel illum dolore eu feugiat nulla facilisis at +vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent +luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi. +Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam +nonummy nibh \nomenclature{$\delta(G)$}{description for this} +euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat +volutpat. -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, -sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea -rebum. Stet \index{clita} clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus -est Lorem -ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur -sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore -et dolore magna aliquyam erat, sed diam voluptua. At vero eos et -accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, -no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum -dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod -tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam erat, sed diam -voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita \index{kasd} kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse -molestie consequat, vel illum dolore eu feugiat nulla facilisis at -vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent -luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi. -Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam -nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat -volutpat. +Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam +nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam +erat, +sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea +rebum. Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus +est Lorem +ipsum dolor sit amet. 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At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. +Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum +dolor sit amet. + +Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse +molestie consequat, vel illum \index{dolore} dolore eu feugiat nulla facilisis at +vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent +luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi. +Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam +nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat +volutpat. + +Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam +nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam +erat, +sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea +rebum. Stet \index{clita} clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus +est Lorem +ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur +sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore +et dolore magna aliquyam erat, sed diam voluptua. At vero eos et +accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, +no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum +dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod +tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam erat, sed diam +voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. +Stet clita \index{kasd} kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum +dolor sit amet. + +Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse +molestie consequat, vel illum dolore eu feugiat nulla facilisis at +vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent +luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi. +Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam +nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat +volutpat. \printindex % print the automatically created index \printnomenclature[1.5cm] % symbolverzeichnis diff --git a/documents/pflichtenheft/Pflichtenheft.tex b/documents/pflichtenheft/Pflichtenheft.tex index 8bbba03..d1331f2 100644 --- a/documents/pflichtenheft/Pflichtenheft.tex +++ b/documents/pflichtenheft/Pflichtenheft.tex @@ -8,11 +8,11 @@ \usepackage{booktabs} % this is needed for forms and links within the text -\usepackage{hyperref} +\usepackage{hyperref} % glossar, see http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Glossary % has to be loaded AFTER hyperref so that entries are clickable -\usepackage[nonumberlist]{glossaries} +\usepackage[nonumberlist]{glossaries} % The following is needed in order to make the code compatible % with both latex/dvips and pdflatex. @@ -23,7 +23,7 @@ \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} \fi -\makeglossary +\makeglossary %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Variablen % @@ -45,8 +45,8 @@ pdfauthor = {\authorName}, pdfkeywords = {\tags}, pdftitle = {\projektName~(Pflichtenheft)} -} - +} + %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Create a shorter version for tables. DO NOT CHANGE % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% @@ -57,7 +57,7 @@ \hline } -\newcommand\addmulrow[2]{ \begin{minipage}[t][][t]{2.5cm}#1\end{minipage}% +\newcommand\addmulrow[2]{ \begin{minipage}[t][][t]{2.5cm}#1\end{minipage}% &\begin{minipage}[t][][t]{8cm} \begin{enumerate} #2 \end{enumerate} \end{minipage}\\ } @@ -78,7 +78,7 @@ \tableofcontents % Inhaltsverzeichnis ausgeben \clearpage \pagenumbering{arabic} - + \section{Zielbestimmung} \subsection{Musskriterien} \subsection{Wunschkriterien} @@ -119,5 +119,5 @@ \section{Entwicklungsumgebung} \clearpage -\input{Glossar} +\input{Glossar} \end{document} diff --git a/documents/postcard-back/postcard-back.tex b/documents/postcard-back/postcard-back.tex index 1b9d865..85d10ad 100644 --- a/documents/postcard-back/postcard-back.tex +++ b/documents/postcard-back/postcard-back.tex @@ -22,5 +22,5 @@ \rule{6.0cm}{0.01cm}\vspace*{1cm}\\ % Street + Nr \rule{2.2cm}{0.01cm}\hspace*{0.2cm}\rule{3.6cm}{0.01cm}\vspace*{1cm}\\ % zip code + town \rule{6.0cm}{0.01cm}\\ % country -\end{multicols} +\end{multicols} \end{document} \ No newline at end of file diff --git a/documents/proof-of-correctness-pogo/proof-of-correctness-pogo.tex b/documents/proof-of-correctness-pogo/proof-of-correctness-pogo.tex index fa2001d..3e63f61 100644 --- a/documents/proof-of-correctness-pogo/proof-of-correctness-pogo.tex +++ b/documents/proof-of-correctness-pogo/proof-of-correctness-pogo.tex @@ -14,11 +14,11 @@ \clubpenalty = 10000 % Schusterjungen verhindern \widowpenalty = 10000 % Hurenkinder verhindern -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Google Code Jam, Round 1C 2013, Pogo}, - pdftitle = {Proof of correctness for an algorithm for pogo} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Google Code Jam, Round 1C 2013, Pogo}, + pdftitle = {Proof of correctness for an algorithm for pogo} +} % From http://www.matthewflickinger.com/blog/archives/2005/02/20/latex_mod_spacing.asp % Thanks! @@ -43,7 +43,7 @@ have to find a way to get to one coordinate $(x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb $(0, 0)$. In your -$i$-th step you move either $\underbrace{(+i,0)}_{=: E}$, +$i$-th step you move either $\underbrace{(+i,0)}_{=: E}$, $\underbrace{(-i,0)}_{=: W}$, $\underbrace{(0,+i)}_{=: N}$ or $\underbrace{(0,-i)}_{=: S}$. @@ -114,7 +114,7 @@ It's enough to proof $s \geq s_{\min}$ and $s \leq s_{\min}$. \begin{myindentpar}{1cm} \textbf{Theorem: } $s \leq s_{\min}$ (we don't make too many steps) -\textbf{Proof: } +\textbf{Proof: } \begin{myindentpar}{1cm} We have to get from $(0,0)$ to $(x, y)$. As we may only move in taxicab geometry we have to use the taxicab distance measure $d_1$: @@ -123,23 +123,23 @@ taxicab geometry we have to use the taxicab distance measure $d_1$: So in our scenario: \[d_1 \left ((0,0), (x,y) \right ) = |x| + |y|\] -This means we have to move at least $|x| + |y|$ units to get +This means we have to move at least $|x| + |y|$ units to get from $(0,0)$ to $(x, y)$. As we move $i$ units in the $i$'th step, we have to solve the following equations for $s_{\min1}$: \begin{align} \sum_{i=1}^{s_{\min1}} i &\geq |x| + |y| &&\text{ and } &|x| + |y| &> \sum_{i=1}^{s_{\min1} - 1} i\\ - \frac{s_{\min1}^2 + s_{\min1}}{2} &\geq |x| + |y| && & &> \sum_{i=1}^{s_{\min1} - 1} i & + \frac{s_{\min1}^2 + s_{\min1}}{2} &\geq |x| + |y| && & &> \sum_{i=1}^{s_{\min1} - 1} i & \end{align} -This is what algorithm \ref{alg:calculateSteps} check with \texttt{condition 1}. -As the algorithm increases $s$ only by one in each loop, it makes +This is what algorithm \ref{alg:calculateSteps} check with \texttt{condition 1}. +As the algorithm increases $s$ only by one in each loop, it makes sure that $\sum_{i=1}^{s_{\min1} - 1} i$ is bigger than $|x| + |y|$. You can undo moves by going back. But this will always make an even -number undone. When you go $(+i, 0)$ and later $(-j, 0)$ it is the +number undone. When you go $(+i, 0)$ and later $(-j, 0)$ it is the same as if you've been going $(i-j, 0)$. So $2\cdot i$ steps got undone. But $2\cdot i$ is an even number. You will never be able to undo -an odd number of moved units. This means, the parity of the minimum +an odd number of moved units. This means, the parity of the minimum number of units you would have to move if you would move one unit per step has to be the same as the parity of the moves you actually do. This is exactly what \texttt{condition 2} makes sure. @@ -149,13 +149,13 @@ So we need at least $s$ steps $\Rightarrow s \leq s_{\min} \square$ \textbf{Theorem: } $s \geq s_{\min}$ (we make enough steps) -\textbf{Proof: } +\textbf{Proof: } \begin{myindentpar}{1cm} We chose $s$ in a way that \texttt{condition 1} is true. As we have to go $i \in 1,\dots,s$, we can get every possible sum $\Sigma \in \Set{-\frac{s^2+s}{2}, \dots +\frac{s^2+s}{2}}$ with a subset of $\Set{1, \dots, s}$\footnote{This can easily be proved by induction over $\Sigma$.}. This means we can make a partition $(A, \underbrace{\Set{1, \dots, s} \setminus A}_{=: B})$ -such that $|\sum_{i \in A} i| = |x|$ and $|\sum_{i \in B} i|-2\cdot j = |y|$. +such that $|\sum_{i \in A} i| = |x|$ and $|\sum_{i \in B} i|-2\cdot j = |y|$. This means, we can reach $(x,y)$ from $(0,0)$. \end{myindentpar} \end{myindentpar} @@ -163,10 +163,10 @@ This means, we can reach $(x,y)$ from $(0,0)$. \subsection{solvePogo} \textbf{Theorem: } \Call{solvePogo}{$x,y$} returns a valid, minimal sequence of steps to get from $(0, 0)$ to $(x,y)$ -\textbf{Proof: } +\textbf{Proof: } \begin{myindentpar}{1cm} -As $s_{\min}$ is the minimum amount of steps you need to get from -$(0,0)$ to $(x,y)$, \Call{solvePogo}{$x,y$} will return a minimal +As $s_{\min}$ is the minimum amount of steps you need to get from +$(0,0)$ to $(x,y)$, \Call{solvePogo}{$x,y$} will return a minimal sequence of steps to get from $(0, 0)$ to $(x,y)$ (see proof above). We only have to prove that the sequence of steps that \Call{solvePogo}{$x,y$} diff --git a/documents/protokoll/README.md b/documents/protokoll/README.md index 6b70792..8b9b287 100644 --- a/documents/protokoll/README.md +++ b/documents/protokoll/README.md @@ -1,5 +1,5 @@ Dieses LaTeX-Dokument soll als Vorlage für Protokolle dienen. -Falls es Verbesserungsvorschläge oder Wünsche (z.B. weitere +Falls es Verbesserungsvorschläge oder Wünsche (z.B. weitere Shortcuts) gibt, bitte an info@martin-thoma.de Shortcuts diff --git a/documents/protokoll/protokoll.tex b/documents/protokoll/protokoll.tex index 40ee6dc..2af6e8e 100644 --- a/documents/protokoll/protokoll.tex +++ b/documents/protokoll/protokoll.tex @@ -25,10 +25,10 @@ \newcommand\Datum{\today} %change \today to DD. Month YYYY %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\hypersetup { - pdfauthor = {\Schriftfuehrer}, - pdfkeywords = {\yourKeywords}, - pdftitle = {\yourTitle} +\hypersetup { + pdfauthor = {\Schriftfuehrer}, + pdfkeywords = {\yourKeywords}, + pdftitle = {\yourTitle} } \pagestyle{fancy}% eigenen Seitestil aktivieren} @@ -61,7 +61,7 @@ \textbf{Abwesende} & -\\ \textbf{Tagesordnung} & \vspace{-7mm}% \begin{enumerate}[leftmargin=1.3em]% - \setlength{\itemsep}{-2pt}% + \setlength{\itemsep}{-2pt}% \item TOP 1 \item TOP 2 \item TOP 3 @@ -74,17 +74,17 @@ Ist das \href{http://www.digitale-schule-bayern.de/dsdaten/8/825.pdf}{hier} ein gutes Beispiel? -"`Fusce libero"' nulla, euismod vel suscipit nec, elementum vel massa. -Mauris ut sapien sed neque dignissim sodales. Proin accumsan, lectus -non gravida dapibus, lorem leo tincidunt odio, in semper ligula +"`Fusce libero"' nulla, euismod vel suscipit nec, elementum vel massa. +Mauris ut sapien sed neque dignissim sodales. Proin accumsan, lectus +non gravida dapibus, lorem leo tincidunt odio, in semper ligula libero bibendum lorem. Pellentesque venenatis massa a neque porttitor -congue. Maecenas ornare lacus ac orci mattis a placerat sapien -euismod. In sed eros enim, non interdum nisi. Curabitur quis magna +congue. Maecenas ornare lacus ac orci mattis a placerat sapien +euismod. In sed eros enim, non interdum nisi. Curabitur quis magna et tortor interdum pharetra. Donec sit amet turpis neque, quis congue leo. Proin sit amet placerat dolor. \section*{TOP 2} -You can go quite deep into details. You should use chapter, section, +You can go quite deep into details. You should use chapter, section, subsection and subsubsection in this order. No need for fancy bold or underlined text. @@ -96,17 +96,17 @@ One equation: \item \dots \end{enumerate} -Vivamus ante est, dictum at placerat id, semper auctor tellus. Donec -\arrow sed ipsum enim, eget lacinia mi. Duis vulputate auctor ligula, sit -amet suscipit lectus malesuada ut. Donec adipiscing rutrum dolor sit -amet euismod. Aenean condimentum nibh vitae neque rhoncus ultrices. -Vestibulum ultrices commodo mattis. Morbi aliquam elementum est, a -pulvinar arcu viverra quis. Vivamus sed fermentum nisl. Cras -bibendum, justo tincidunt dictum venenatis, sem turpis vestibulum -nibh, ut dapibus nunc enim ut justo. +Vivamus ante est, dictum at placerat id, semper auctor tellus. Donec +\arrow sed ipsum enim, eget lacinia mi. Duis vulputate auctor ligula, sit +amet suscipit lectus malesuada ut. Donec adipiscing rutrum dolor sit +amet euismod. Aenean condimentum nibh vitae neque rhoncus ultrices. +Vestibulum ultrices commodo mattis. Morbi aliquam elementum est, a +pulvinar arcu viverra quis. Vivamus sed fermentum nisl. Cras +bibendum, justo tincidunt dictum venenatis, sem turpis vestibulum +nibh, ut dapibus nunc enim ut justo. \section*{TOP 3} -Pellentesque commodo, nisi nec feugiat vehicula, augue erat convallis ipsum, adipiscing cursus purus dolor venenatis velit. Vivamus enim augue, lacinia in ultrices a, varius sit amet sapien. Aliquam enim velit, molestie vitae bibendum eget, laoreet at ante. Suspendisse pulvinar leo at nisi accumsan nec malesuada neque ullamcorper. Aenean quis mi lectus, quis porttitor nisi. +Pellentesque commodo, nisi nec feugiat vehicula, augue erat convallis ipsum, adipiscing cursus purus dolor venenatis velit. Vivamus enim augue, lacinia in ultrices a, varius sit amet sapien. Aliquam enim velit, molestie vitae bibendum eget, laoreet at ante. Suspendisse pulvinar leo at nisi accumsan nec malesuada neque ullamcorper. Aenean quis mi lectus, quis porttitor nisi. \begin{itemize} \item Das ist ein Punkt in einer ungeordneten Liste \item ein weiterer Punkt diff --git a/documents/report-template/report-template.tex b/documents/report-template/report-template.tex index b16dc07..42c6f4e 100644 --- a/documents/report-template/report-template.tex +++ b/documents/report-template/report-template.tex @@ -20,10 +20,10 @@ \newcommand\yourNumber{Praktikumsnummer} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\hypersetup { - pdfauthor = {\yourName}, - pdfkeywords = {\yourKeywords}, - pdftitle = {\yourTitle} +\hypersetup { + pdfauthor = {\yourName}, + pdfkeywords = {\yourKeywords}, + pdftitle = {\yourTitle} } \pagestyle{fancy}% eigenen Seitestil aktivieren} @@ -47,36 +47,36 @@ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Drehspiegelmethode} \section{A first section} -Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Nulla quam -elit, vestibulum nec facilisis at, condimentum id enim. Sed iaculis -lacinia quam, vel accumsan eros tempor in. Integer ipsum metus, -accumsan sit amet commodo a, egestas vitae sem. Mauris ut orci ut -dolor viverra convallis nec a erat. Aenean consequat elit vel eros -fermentum vestibulum id at ipsum. In vitae orci mauris, et rhoncus -odio. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et +Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Nulla quam +elit, vestibulum nec facilisis at, condimentum id enim. Sed iaculis +lacinia quam, vel accumsan eros tempor in. Integer ipsum metus, +accumsan sit amet commodo a, egestas vitae sem. Mauris ut orci ut +dolor viverra convallis nec a erat. Aenean consequat elit vel eros +fermentum vestibulum id at ipsum. In vitae orci mauris, et rhoncus +odio. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. \subsection{A subsection!} -Fusce libero nulla, euismod vel suscipit nec, elementum vel massa. -Mauris ut sapien sed neque dignissim sodales. Proin accumsan, lectus -non gravida dapibus, lorem leo tincidunt odio, in semper ligula +Fusce libero nulla, euismod vel suscipit nec, elementum vel massa. +Mauris ut sapien sed neque dignissim sodales. Proin accumsan, lectus +non gravida dapibus, lorem leo tincidunt odio, in semper ligula libero bibendum lorem. Pellentesque venenatis massa a neque porttitor -congue. Maecenas ornare lacus ac orci mattis a placerat sapien -euismod. In sed eros enim, non interdum nisi. Curabitur quis magna +congue. Maecenas ornare lacus ac orci mattis a placerat sapien +euismod. In sed eros enim, non interdum nisi. Curabitur quis magna et tortor interdum pharetra. Donec sit amet turpis neque, quis congue leo. Proin sit amet placerat dolor. -Fusce libero nulla, euismod vel suscipit nec, elementum vel massa. -Mauris ut sapien sed neque dignissim sodales. Proin accumsan, lectus -non gravida dapibus, lorem leo tincidunt odio, in semper ligula +Fusce libero nulla, euismod vel suscipit nec, elementum vel massa. +Mauris ut sapien sed neque dignissim sodales. Proin accumsan, lectus +non gravida dapibus, lorem leo tincidunt odio, in semper ligula libero bibendum lorem. Pellentesque venenatis massa a neque porttitor -congue. Maecenas ornare lacus ac orci mattis a placerat sapien -euismod. In sed eros enim, non interdum nisi. Curabitur quis magna +congue. Maecenas ornare lacus ac orci mattis a placerat sapien +euismod. In sed eros enim, non interdum nisi. Curabitur quis magna et tortor interdum pharetra. Donec sit amet turpis neque, quis congue leo. Proin sit amet placerat dolor. \subsubsection{A subsubsection} -You can go quite deep into details. You should use chapter, section, +You can go quite deep into details. You should use chapter, section, subsection and subsubsection in this order. No need for fancy bold or underlined text. @@ -85,26 +85,26 @@ One equation: \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \end{equation} -Vivamus ante est, dictum at placerat id, semper auctor tellus. Donec -sed ipsum enim, eget lacinia mi. Duis vulputate auctor ligula, sit -amet suscipit lectus malesuada ut. Donec adipiscing rutrum dolor sit -amet euismod. Aenean condimentum nibh vitae neque rhoncus ultrices. -Vestibulum ultrices commodo mattis. Morbi aliquam elementum est, a -pulvinar arcu viverra quis. Vivamus sed fermentum nisl. Cras -bibendum, justo tincidunt dictum venenatis, sem turpis vestibulum -nibh, ut dapibus nunc enim ut justo. +Vivamus ante est, dictum at placerat id, semper auctor tellus. Donec +sed ipsum enim, eget lacinia mi. Duis vulputate auctor ligula, sit +amet suscipit lectus malesuada ut. Donec adipiscing rutrum dolor sit +amet euismod. Aenean condimentum nibh vitae neque rhoncus ultrices. +Vestibulum ultrices commodo mattis. Morbi aliquam elementum est, a +pulvinar arcu viverra quis. Vivamus sed fermentum nisl. Cras +bibendum, justo tincidunt dictum venenatis, sem turpis vestibulum +nibh, ut dapibus nunc enim ut justo. \paragraph{not really?!?} I have never seen somebody using paragraph ... but it exists. It's the next logical step after subsubsection \chapter{A new start} -Nullam iaculis vulputate -aliquam. Sed nulla metus, facilisis eu porta sed, aliquet id mi. -Duis congue blandit quam, a auctor turpis rhoncus non. Nam id dictum -nibh. Integer vitae lacus sit amet ipsum semper interdum nec eget -nisl. Vivamus aliquet, augue ut ultrices auctor, neque lacus -vestibulum leo, vel dapibus ligula nisi ac nibh. Etiam accumsan, +Nullam iaculis vulputate +aliquam. Sed nulla metus, facilisis eu porta sed, aliquet id mi. +Duis congue blandit quam, a auctor turpis rhoncus non. Nam id dictum +nibh. Integer vitae lacus sit amet ipsum semper interdum nec eget +nisl. Vivamus aliquet, augue ut ultrices auctor, neque lacus +vestibulum leo, vel dapibus ligula nisi ac nibh. Etiam accumsan, felis ut dapibus sagittis, velit turpis pellentesque nibh, nec cursus libero erat at odio. @@ -114,14 +114,14 @@ A Quadratic Equation is an equation in the form: \end{equation} where \(a,b,c\in\mathbb{R}\). -Fusce commodo erat et eros tincidunt quis elementum dui tincidunt. -Sed blandit elementum eros nec pulvinar. Aenean vitae dignissim est. -Sed auctor porttitor tempor. Donec id euismod diam. Aenean vulputate -hendrerit metus sit amet aliquet. Curabitur ac pretium lacus. Ut -tempus, augue vitae tristique laoreet, lacus lorem ultrices libero, +Fusce commodo erat et eros tincidunt quis elementum dui tincidunt. +Sed blandit elementum eros nec pulvinar. Aenean vitae dignissim est. +Sed auctor porttitor tempor. Donec id euismod diam. Aenean vulputate +hendrerit metus sit amet aliquet. Curabitur ac pretium lacus. Ut +tempus, augue vitae tristique laoreet, lacus lorem ultrices libero, et pretium sapien leo facilisis massa. Nunc pretium lorem eget libero -hendrerit in pretium sapien convallis. Ut molestie, mi eget accumsan -laoreet, lacus urna scelerisque metus, et luctus erat arcu non ante. +hendrerit in pretium sapien convallis. Ut molestie, mi eget accumsan +laoreet, lacus urna scelerisque metus, et luctus erat arcu non ante. Donec sit amet nisi felis, a interdum nibh. Now: Aligned Equations: diff --git a/documents/size/size.tex b/documents/size/size.tex index 02ae7ad..d1bb278 100644 --- a/documents/size/size.tex +++ b/documents/size/size.tex @@ -4,11 +4,11 @@ \makeindex \begin{document} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, -sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea -rebum. +Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam +nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam +erat, +sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea +rebum. \noindent \tiny tiny \scriptsize scriptsize @@ -22,7 +22,7 @@ rebum. \Huge Huge\\ \\ -\normalsize +\normalsize \noindent scriptscriptstyle: $\scriptscriptstyle \lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$ \\ scriptstyle: $\scriptstyle \lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$ \\ diff --git a/documents/steuergesetz/steuergesetz.tex b/documents/steuergesetz/steuergesetz.tex index 5e20dda..39565cf 100644 --- a/documents/steuergesetz/steuergesetz.tex +++ b/documents/steuergesetz/steuergesetz.tex @@ -7,11 +7,11 @@ \usepackage{hyperref} % links im text \usepackage{enumerate} % for advanced numbering of lists -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Steuergesetzbuch}, - pdftitle = {Steuergesetzbuch} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Steuergesetzbuch}, + pdftitle = {Steuergesetzbuch} +} \setcounter{secnumdepth}{5} diff --git a/documents/stundenplan/example.tex b/documents/stundenplan/example.tex index 17bb166..14c8917 100644 --- a/documents/stundenplan/example.tex +++ b/documents/stundenplan/example.tex @@ -52,4 +52,4 @@ \end{timetable} \end{landscape} -\end{document} +\end{document} diff --git a/documents/stundenplan/manual.tex b/documents/stundenplan/manual.tex index 75f5d54..1654366 100644 --- a/documents/stundenplan/manual.tex +++ b/documents/stundenplan/manual.tex @@ -192,7 +192,7 @@ Each of these macros specifies one event block in position, duration (i.e. lengt \event 5 {1115} {1300} {Differential Equations in IPCV Lecture} {Weickert} {E1{\tiny 3} 001} {corelecture} \end{timetable} \end{landscape} -\end{document} +\end{document} \end{lstlisting} \end{landscape} @@ -287,9 +287,9 @@ Each of these macros specifies one event block in position, duration (i.e. lengt \event 5 {1115} {1300} {Differential Equations in IPCV Lecture} {Weickert} {E1{\tiny 3} 001} {corelecture} \end{timetable} \end{landscape} -\end{document} +\end{document} \end{lstlisting} \end{landscape} \end{appendix} -\end{document} +\end{document} diff --git a/documents/table-minimal/table-minimal.tex b/documents/table-minimal/table-minimal.tex index 189fbd2..5b3c520 100644 --- a/documents/table-minimal/table-minimal.tex +++ b/documents/table-minimal/table-minimal.tex @@ -4,14 +4,14 @@ \usepackage{booktabs} % for \toprule, \midrule and \bottomrule \begin{document} -Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis malesuada -efficitur volutpat. Proin eget dui in lacus fermentum pharetra. Sed ut -facilisis leo, sed consectetur urna. Phasellus eget tempus eros, vitae -sagittis mi. Nullam pharetra, dolor a efficitur blandit, nisl velit interdum -turpis, vel posuere lorem justo nec elit. Donec mattis massa auctor mattis -varius. Nunc sed volutpat sapien, at finibus lectus. Phasellus auctor vehicula -auctor. Nam vitae purus ut orci accumsan auctor. Fusce volutpat, tortor -consectetur convallis aliquam, enim velit gravida sapien, id convallis nisi +Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis malesuada +efficitur volutpat. Proin eget dui in lacus fermentum pharetra. Sed ut +facilisis leo, sed consectetur urna. Phasellus eget tempus eros, vitae +sagittis mi. Nullam pharetra, dolor a efficitur blandit, nisl velit interdum +turpis, vel posuere lorem justo nec elit. Donec mattis massa auctor mattis +varius. Nunc sed volutpat sapien, at finibus lectus. Phasellus auctor vehicula +auctor. Nam vitae purus ut orci accumsan auctor. Fusce volutpat, tortor +consectetur convallis aliquam, enim velit gravida sapien, id convallis nisi nunc ac leo. \begin{table}[ht] @@ -28,16 +28,16 @@ nunc ac leo. \label{table:countries} \end{table} -Aenean sit amet felis eu urna accumsan consectetur. Sed hendrerit ultrices -turpis nec fringilla. Pellentesque sagittis neque placerat, pharetra ante -quis, maximus eros. Nam ultrices lacinia magna, eget interdum tortor ornare -ut. Praesent semper tristique consectetur. Sed auctor, orci accumsan imperdiet -vestibulum, nunc augue sagittis purus, sed dapibus neque arcu sit amet enim. -Aliquam fermentum dui eu efficitur condimentum. Maecenas viverra metus ut -bibendum pellentesque. Integer non interdum massa. Vestibulum non enim -vulputate, sodales nunc ac, ultricies tortor. Suspendisse non vehicula ipsum, -quis consequat elit. Quisque rutrum tincidunt lorem id semper. Phasellus -bibendum nulla sit amet purus tempus, vitae tincidunt ligula ornare. Nunc quis -felis non ex consequat elementum nec sit amet magna. In lacinia nulla nec neque +Aenean sit amet felis eu urna accumsan consectetur. Sed hendrerit ultrices +turpis nec fringilla. Pellentesque sagittis neque placerat, pharetra ante +quis, maximus eros. Nam ultrices lacinia magna, eget interdum tortor ornare +ut. Praesent semper tristique consectetur. Sed auctor, orci accumsan imperdiet +vestibulum, nunc augue sagittis purus, sed dapibus neque arcu sit amet enim. +Aliquam fermentum dui eu efficitur condimentum. Maecenas viverra metus ut +bibendum pellentesque. Integer non interdum massa. Vestibulum non enim +vulputate, sodales nunc ac, ultricies tortor. Suspendisse non vehicula ipsum, +quis consequat elit. Quisque rutrum tincidunt lorem id semper. Phasellus +bibendum nulla sit amet purus tempus, vitae tincidunt ligula ornare. Nunc quis +felis non ex consequat elementum nec sit amet magna. In lacinia nulla nec neque venenatis, vel tristique risus blandit. \end{document} diff --git a/documents/table-multiple-pages/table-multiple-pages.tex b/documents/table-multiple-pages/table-multiple-pages.tex index c1d66ef..bb36f38 100644 --- a/documents/table-multiple-pages/table-multiple-pages.tex +++ b/documents/table-multiple-pages/table-multiple-pages.tex @@ -12,17 +12,17 @@ dsfasdf \begin{center} \begin{longtable}{|l|l|l|} -\caption[Feasible triples for a highly variable Grid]{Feasible triples for +\caption[Feasible triples for a highly variable Grid]{Feasible triples for highly variable Grid, MLMMH.} \label{grid_mlmmh} \\ -\hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Time (s)}} & \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Triple chosen}} & \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Other feasible triples}} \\ \hline +\hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Time (s)}} & \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Triple chosen}} & \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Other feasible triples}} \\ \hline \endfirsthead \multicolumn{3}{c}% {{\bfseries \tablename\ \thetable{} -- continued from previous page}} \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Time (s)}} & \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Triple chosen}} & -\multicolumn{1}{c|}{\textbf{Other feasible triples}} \\ \hline +\multicolumn{1}{c|}{\textbf{Other feasible triples}} \\ \hline \endhead \hline \multicolumn{3}{|r|}{{Continued on next page}} \\ \hline diff --git a/documents/time-conversion/time-conversion.tex b/documents/time-conversion/time-conversion.tex index 69c3abd..965eaeb 100644 --- a/documents/time-conversion/time-conversion.tex +++ b/documents/time-conversion/time-conversion.tex @@ -14,11 +14,11 @@ \title{Time conversion} \author{Martin Thoma} -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {}, - pdftitle = {} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {}, + pdftitle = {} +} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Begin document % diff --git a/documents/tutorenschulung-abschlussreflexion/titlepage.tex b/documents/tutorenschulung-abschlussreflexion/titlepage.tex index 7b6e855..f3446f0 100755 --- a/documents/tutorenschulung-abschlussreflexion/titlepage.tex +++ b/documents/tutorenschulung-abschlussreflexion/titlepage.tex @@ -1,70 +1,70 @@ -% Vorlage aus http://sdqweb.ipd.kit.edu/wiki/Dokumentvorlagen -%% titlepage.tex -%% - -% coordinates for the bg shape on the titlepage -\newcommand{\diameter}{20} -\newcommand{\xone}{-15} -\newcommand{\xtwo}{160} -\newcommand{\yone}{15} -\newcommand{\ytwo}{-253} - -\begin{titlepage} -% bg shape -\begin{tikzpicture}[overlay] -\draw[color=gray] - (\xone mm, \yone mm) - -- (\xtwo mm, \yone mm) - arc (90:0:\diameter pt) - -- (\xtwo mm + \diameter pt , \ytwo mm) - -- (\xone mm + \diameter pt , \ytwo mm) - arc (270:180:\diameter pt) - -- (\xone mm, \yone mm); -\end{tikzpicture} - \begin{textblock}{10}[0,0](4,2.5) - \includegraphics[width=.3\textwidth]{logos/KITLogo_RGB.pdf} - \hspace{8cm} - \end{textblock} - \changefont{phv}{m}{n} % helvetica - \vspace*{3.5cm} - \begin{center} - \vspace*{3cm} - \huge{Abschlussreflexion}\\ - \vspace*{1cm} - \Large{ - \iflanguage{english}{At the Department of Informatics} - {Tutorenschulung} - } - \end{center} - \vspace*{1cm} -\Large{ -\begin{center} -\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}llllX} -Name, Vorname & \Nachname, \Vorname\\ -Matrikelnummer & \Matrikelnummer \\ -Email & \Email \\ -Titel & \TutoriumTitle\\ -Institut & \Institut\\ -Studienfach & \Studienfach\\ -Datum & \Datum\\ -\end{tabularx} -\end{center} -} - - - -\begin{textblock}{10}[0,0](4,16.8) -\tiny{ - \iflanguage{english} - {KIT -- University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Research Center of the Helmholtz Association} - {KIT -- Universit\"at des Landes Baden-W\"urttemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft} -} -\end{textblock} - -\begin{textblock}{10}[0,0](14,16.75) -\large{ - \textbf{www.kit.edu} -} -\end{textblock} - -\end{titlepage} +% Vorlage aus http://sdqweb.ipd.kit.edu/wiki/Dokumentvorlagen +%% titlepage.tex +%% + +% coordinates for the bg shape on the titlepage +\newcommand{\diameter}{20} +\newcommand{\xone}{-15} +\newcommand{\xtwo}{160} +\newcommand{\yone}{15} +\newcommand{\ytwo}{-253} + +\begin{titlepage} +% bg shape +\begin{tikzpicture}[overlay] +\draw[color=gray] + (\xone mm, \yone mm) + -- (\xtwo mm, \yone mm) + arc (90:0:\diameter pt) + -- (\xtwo mm + \diameter pt , \ytwo mm) + -- (\xone mm + \diameter pt , \ytwo mm) + arc (270:180:\diameter pt) + -- (\xone mm, \yone mm); +\end{tikzpicture} + \begin{textblock}{10}[0,0](4,2.5) + \includegraphics[width=.3\textwidth]{logos/KITLogo_RGB.pdf} + \hspace{8cm} + \end{textblock} + \changefont{phv}{m}{n} % helvetica + \vspace*{3.5cm} + \begin{center} + \vspace*{3cm} + \huge{Abschlussreflexion}\\ + \vspace*{1cm} + \Large{ + \iflanguage{english}{At the Department of Informatics} + {Tutorenschulung} + } + \end{center} + \vspace*{1cm} +\Large{ +\begin{center} +\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}llllX} +Name, Vorname & \Nachname, \Vorname\\ +Matrikelnummer & \Matrikelnummer \\ +Email & \Email \\ +Titel & \TutoriumTitle\\ +Institut & \Institut\\ +Studienfach & \Studienfach\\ +Datum & \Datum\\ +\end{tabularx} +\end{center} +} + + + +\begin{textblock}{10}[0,0](4,16.8) +\tiny{ + \iflanguage{english} + {KIT -- University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Research Center of the Helmholtz Association} + {KIT -- Universit\"at des Landes Baden-W\"urttemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft} +} +\end{textblock} + +\begin{textblock}{10}[0,0](14,16.75) +\large{ + \textbf{www.kit.edu} +} +\end{textblock} + +\end{titlepage} diff --git a/documents/tutorenschulung-abschlussreflexion/tutorenschulung-abschlussreflexion.tex b/documents/tutorenschulung-abschlussreflexion/tutorenschulung-abschlussreflexion.tex index 939c46d..7b6c2a5 100644 --- a/documents/tutorenschulung-abschlussreflexion/tutorenschulung-abschlussreflexion.tex +++ b/documents/tutorenschulung-abschlussreflexion/tutorenschulung-abschlussreflexion.tex @@ -16,25 +16,25 @@ \newcommand{\Matrikelnummer}{1633521} \newcommand{\Email}{info@martin-thoma.de} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\hypersetup{ - pdfauthor = {\Vorname~\Nachname}, - pdfkeywords = {KIT; \Vorname~\Nachname}, +\hypersetup{ + pdfauthor = {\Vorname~\Nachname}, + pdfkeywords = {KIT; \Vorname~\Nachname}, pdftitle = {Abschlussreflexion von~\Vorname~\Nachname~-~\Semester~\Jahr}, pdfsubject = {Tutorenschulung} -} - +} + \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0pt} \fancyfoot[R]{Seite~\thepage~von \pageref{LastPage}} - + \definecolor{LightCyan}{rgb}{0.88,1,1} \definecolor{LightGreen}{rgb}{0.68,1,0.68} \definecolor{Rosa}{rgb}{1,0.68,0.68} - + \pagenumbering{arabic} - + \begin{document} \pagenumbering{roman} \include{titlepage} @@ -46,53 +46,53 @@ % \date{\Datum} \section*{Meine Lehre und ihr Umfeld} -Das Programmieren-Tutorium habe ich jeden Montag von 15:45 bis 17:15 -Uhr gehalten. Insgesamt habe ich so an 14 Tagen meinen 19 Studenten +Das Programmieren-Tutorium habe ich jeden Montag von 15:45 bis 17:15 +Uhr gehalten. Insgesamt habe ich so an 14 Tagen meinen 19 Studenten Grundlagen in Java beigebracht. Allerdings waren von den 19 Studenten nur etwa sieben regelmäßig anwesend. -Das Ziel meines Tutoriums war es, alle Studenten in die Lage zu -versetzen, einfache Programme schreiben zu können. Außerdem sollten -sie wissen, wie sie sich neues Wissen im Bereich Programmieren +Das Ziel meines Tutoriums war es, alle Studenten in die Lage zu +versetzen, einfache Programme schreiben zu können. Außerdem sollten +sie wissen, wie sie sich neues Wissen im Bereich Programmieren aneignen. Dadurch sollten sie in der Lage sein, die Abschlussaufgaben mit einer guten Note zu bestehen.\\ Meine Studenten haben vermutlich genau das von mir erwartet. Außerdem -hatte ich den Eindruck, dass sie von mir erwarteten, dass ich den +hatte ich den Eindruck, dass sie von mir erwarteten, dass ich den Vorlesungsstoff wiederhole. Da von den anwesenden Studierenden leider sehr viele keinen Computer im Tutorium hatte, habe ich mich dieser -Erwartungshaltung gebeugt. +Erwartungshaltung gebeugt. Wenn ich Fragen zur Lehre hatte, habe ich mit anderen Tutoren, dem -Übungsleiter und meinen Studenten geredet. Bei inhaltlichen Fragen +Übungsleiter und meinen Studenten geredet. Bei inhaltlichen Fragen habe ich auf \href{http://stackoverflow.com/}{stackoverflow.com} zurückgegriffen. Die Betreuung des Übungsleiters war gut. Er war immer gut per Email -zu erreichen und ist sehr zügig auf Fragen eingegangen. +zu erreichen und ist sehr zügig auf Fragen eingegangen. Frontalunterricht - das Format meiner Wahl für mein Tutorium - schien -mir aus einigen Gründen passend: Zum einen waren meine Studenten +mir aus einigen Gründen passend: Zum einen waren meine Studenten nicht besonders motiviert, an dem Tutorium teilzunehmen. Viele sind bereits müde in das Tutorium gekommen und ich sehe es nicht als meine -Aufgabe an, die Studenten zu bespaßen oder zur Teilnahme zu -motivieren. Zum anderen hatten die meisten keinen Computer, was -anspruchsvollere Praxisaufgaben unpraktikabel macht. Ein weiterer -Grund für Frontalunterricht war die Erwartungshaltung der Studenten, +Aufgabe an, die Studenten zu bespaßen oder zur Teilnahme zu +motivieren. Zum anderen hatten die meisten keinen Computer, was +anspruchsvollere Praxisaufgaben unpraktikabel macht. Ein weiterer +Grund für Frontalunterricht war die Erwartungshaltung der Studenten, dass ich den Stoff wiederhole. Neuen Programmieren-Tutoren kann ich keine überaschenden Tipps geben: Schaut euch die Folien von anderen Tutoren an (z.B. meine unter \href{martin-thoma.com/programmieren-tutorium}{martin-thoma.com}), -erledigt eure Korrekturen direkt nach der Abgabe, bereitet euch gründlich +erledigt eure Korrekturen direkt nach der Abgabe, bereitet euch gründlich auf das Tutorium vor. \section*{Ich als Lehrperson und mein didaktisches Handeln} Zu beginn meines Tutoriums habe ich mich als Lehrer gesehen, der -den Studenten helfen soll, Lücken in bereits vorhandenem wissen zu -schließen. Ich habe jedoch relativ schnell das Gefühl gehabt, dass +den Studenten helfen soll, Lücken in bereits vorhandenem wissen zu +schließen. Ich habe jedoch relativ schnell das Gefühl gehabt, dass ich manchen Personen nur beim Einschlafen helfen soll und andere den -Stoff zum ersten mal hören. +Stoff zum ersten mal hören. -Um das Tutorium interessant zu halten, habe ich häufig darauf +Um das Tutorium interessant zu halten, habe ich häufig darauf hingewiesen, was in der Praxis bzw. in der Wirtschaft tatsächlich verwendet wird und was man nur für die Abschlussaufgaben braucht. Da ich schnell mitbekommen habe, dass wohl mehr Studenten meine @@ -105,19 +105,19 @@ und ausführliche Tutorials in Form von Links bereitgestellt. Nach dem sechstem Tutorium habe ich eine anonyme Feedback-Runde gemacht. Dabei haben mir meine Studenten bestätigt, dass sie den Aufbau meines Tutoriums für gut strukturiert halten, meine Folien äußerst hilfreich -sind und ich sowohl von der Lautstärke, als auch in bezug auf die -Geschwindigkeit gut rede. Außerdem haben sie sich eher mehr -Frontalunterricht und weniger Praxisaufgaben gewünscht. Die +sind und ich sowohl von der Lautstärke, als auch in bezug auf die +Geschwindigkeit gut rede. Außerdem haben sie sich eher mehr +Frontalunterricht und weniger Praxisaufgaben gewünscht. Die Java-Quizze - kurze Code-Fragmente, die mindestens eine problematische Stelle haben, die die Studenten finden sollen - sind äußerst positiv angekommen. Die größte fachliche Herausforderung waren unbounded Wildcards im Themenkomplex "`Generics"'. Da dies allerdings nicht Prüfungsrelevant -für die Studenten ist, gab das keine Probleme. Ich habe den +für die Studenten ist, gab das keine Probleme. Ich habe den Studenten gesagt, dass ich mir nicht sicher bin, ob ich das Verhalten dieser in konkreten Detailfragen richtig beantworten kann. Für den -Fall das jemand daran interessiert sein sollte, habe ich die +Fall das jemand daran interessiert sein sollte, habe ich die relevanten Stellen in der Spezifikation bereitgestellt, Links auf Tutorials einfließen lassen und auf die Experten bei StackOverflow.com hingewiesen. @@ -131,26 +131,26 @@ sehen weder meine Studenten noch ich Verbesserungsmöglichkeiten. \section*{Lehrhospitation} Bei der kollegialen Lehrhospitation, die ich mit Nilan Marktanner -durchgeführt habe, ist mir aufgefallen, dass er deutlich mehr +durchgeführt habe, ist mir aufgefallen, dass er deutlich mehr Praxisaufgaben macht, dafür aber weniger Frontalunterricht durchführt. -Mir persönlich hätte es auch besser gefallen, mit meinen Studenten -mehr Praxisaufgaben zu machen. Da die Studenten aber weder dazu +Mir persönlich hätte es auch besser gefallen, mit meinen Studenten +mehr Praxisaufgaben zu machen. Da die Studenten aber weder dazu bereit waren, noch - aufgrund der fehlenden Computer - dazu in der Lage waren, ist das bei mir schlicht nicht möglich gewesen. Es hat mich außerdem sehr gefreut zu erfahren, dass den Studenten -anderer Tutorien auch meine Folien bzw. meine Hilfsmaterialien +anderer Tutorien auch meine Folien bzw. meine Hilfsmaterialien bekannt sind und die Folieninhalte weiterverwendet werden. \clearpage \section*{Ablaufplanung für eine Einzelveranstaltung} -\textbf{Datum und Thema}: 14. Januar 2013, Sortieren, equals, +\textbf{Datum und Thema}: 14. Januar 2013, Sortieren, equals, hashCode(), abstrakte und finale Klassen\\ \textbf{Lernziele}: Die Studenten sollten nach dem Tutorium \dots -\begin{itemize} +\begin{itemize} \item in der Lage sein Liste und Arrays in Java zu sortieren, \item die Bedeutung der Methode hashCode() kennen, - \item wissen, wann man Interfaces, abstrakte Klassen und finale + \item wissen, wann man Interfaces, abstrakte Klassen und finale Klassen verwendet. \end{itemize} @@ -171,7 +171,7 @@ Dauer & Inhalte & Methoden & Medien & Sinn \& Zweck\\ \textbf{Kurzreflexion}: -Die Umsetzung dieser Planung hat gut funktioniert. Im nächsten +Die Umsetzung dieser Planung hat gut funktioniert. Im nächsten Übungsblatt haben alle Studenten korrekt sortiert und die meisten eine sinnvolle Hash-Funktion erstellt. Da ich bei der Erstellung der Folien mir natürlich vorher überlege, was ich den Studenten beibringen @@ -181,9 +181,9 @@ machen sollte. Ich habe bei dem Tutorium nicht so konkret die Zeiten aufgeschrieben. Ich habe es im Gefühl, wie lange die Studenten für den Stoff brauchen und das so gelegt, wie es mir als passend erschien. Das hat - wie immer - -wunderbar geklappt. Da ich für die Vorbereitung der Folien jeweils +wunderbar geklappt. Da ich für die Vorbereitung der Folien jeweils über 9 Studen investiert habe, ist es vielleicht nicht ganz so erstaunlich, -dass ich keinen konkreten Zeitplan brauche, um die benötigte Zeit +dass ich keinen konkreten Zeitplan brauche, um die benötigte Zeit abschätzen zu können. Es gab im Ablauf keine unvorhergesehenen Situationen. diff --git a/documents/vollmacht-gesundheit/vollmacht-gesundheit.tex b/documents/vollmacht-gesundheit/vollmacht-gesundheit.tex index 663fb9c..4a217b4 100644 --- a/documents/vollmacht-gesundheit/vollmacht-gesundheit.tex +++ b/documents/vollmacht-gesundheit/vollmacht-gesundheit.tex @@ -18,11 +18,11 @@ \clubpenalty = 10000 % Schusterjungen verhindern \widowpenalty = 10000 % Hurenkinder verhindern -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Gesundheitsvollmacht}, - pdftitle = {Gesundheitsvollmacht} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Gesundheitsvollmacht}, + pdftitle = {Gesundheitsvollmacht} +} % Anpassen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\Vollmachtgeber}{Martin Thoma} % @@ -54,13 +54,13 @@ Entscheidungen zu vertreten, sofern ich nicht selbst dazu in der Lage bin: Die Vollmacht wird in folgendem Umfang erteilt: \begin{itemize} - \item Den Vollmachtnehmern ist es in vollem Umfang gestattet Einsicht in + \item Den Vollmachtnehmern ist es in vollem Umfang gestattet Einsicht in Krankenakten zu nehmen. \item Behandelnde Ärzte werden gegenüber den Bevollmächtigten der Schweigepflicht entbunden. \item Die Bevollmächtigten sollen immer Lebenserhaltende Maßnahmen wahrnehmen. \item Die Bevollmächtigten sind gemeinsam befugt, tätig zu werden. Ist ein - Bevollmächtigter nicht in der Lage die Aufgaben wahrzunehmen, sind die + Bevollmächtigter nicht in der Lage die Aufgaben wahrzunehmen, sind die verbleibenden Bevollmächtigten alleine befugt. \item Die Erteilung von Untervollmachten an dritte Vertreter meiner Person ist nicht gestattet. diff --git a/documents/zwischenmiete-vertrag/zwischenmiete-vertrag.tex b/documents/zwischenmiete-vertrag/zwischenmiete-vertrag.tex index f4726cf..853c5e9 100644 --- a/documents/zwischenmiete-vertrag/zwischenmiete-vertrag.tex +++ b/documents/zwischenmiete-vertrag/zwischenmiete-vertrag.tex @@ -18,11 +18,11 @@ \clubpenalty = 10000 % Schusterjungen verhindern \widowpenalty = 10000 % Hurenkinder verhindern -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Untermietvertrag}, - pdftitle = {Untermietvertrag} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Untermietvertrag}, + pdftitle = {Untermietvertrag} +} % Anpassen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\HauptmieterVorname}{Martin} % @@ -77,7 +77,7 @@ Es wird ein Zimmer in \indent \Strasse~\Hausnummer\\ \indent \PLZ~\Ort -zu Wohnzwecken vermietet. +zu Wohnzwecken vermietet. Die Wohnfläche beträgt ca.~$\si{\Wohnflaeche}{\meter^2}$. Das Zimmer ist wie folgt ausgestattet: diff --git a/images/basic/basic.tex b/images/basic/basic.tex index e86a7a5..37cbcdb 100644 --- a/images/basic/basic.tex +++ b/images/basic/basic.tex @@ -4,18 +4,18 @@ \begin{document} \chapter{Your Chapter} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores -et ea -rebum. Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem -ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur +Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam +nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam +erat, sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores +et ea +rebum. Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem +ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam erat, sed diam voluptua. At vero eos et accusam -et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, no sea +et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet. \begin{figure}[h] \centering - \includegraphics{YourImage.jpg} + \includegraphics{YourImage.jpg} \end{figure} \end{document} diff --git a/images/side-by-side-subfig/side-by-side-subfig.tex b/images/side-by-side-subfig/side-by-side-subfig.tex index 9d09220..f0e7294 100644 --- a/images/side-by-side-subfig/side-by-side-subfig.tex +++ b/images/side-by-side-subfig/side-by-side-subfig.tex @@ -4,15 +4,15 @@ \begin{document} \chapter{Your Chapter} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores -et ea -rebum. Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem -ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur +Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam +nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam +erat, sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores +et ea +rebum. Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem +ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam erat, sed diam voluptua. At vero eos et accusam -et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, no sea +et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet. \begin{figure}[ht] @@ -29,7 +29,7 @@ takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet. \caption{Bears} \end{figure} -You can now see that a Nasua nasua in figure \ref{fig:nasua} and a Ursus-arctos +You can now see that a Nasua nasua in figure \ref{fig:nasua} and a Ursus-arctos in figure \ref{fig:Ursus-arctos}. Note that you have to run LaTeX twice and don't delete intermediate files when you want to use ref. diff --git a/math/fractions/fractions.tex b/math/fractions/fractions.tex index 3f5be62..525c603 100644 --- a/math/fractions/fractions.tex +++ b/math/fractions/fractions.tex @@ -1,16 +1,16 @@ \documentclass[a4paper,9pt]{scrartcl} -\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage[ngerman]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amssymb,amsmath} \usepackage{geometry} -\geometry{a4paper,left=18mm,right=18mm, top=2cm, bottom=2cm} +\geometry{a4paper,left=18mm,right=18mm, top=2cm, bottom=2cm} \begin{document} \section{frac} -Lorem ipsum dolor sit amet, te virtute officiis eos. Aliquid -adipiscing repudiandae nam ei, eu vel quod vituperata. Qui quem -recteque petentium et, alterum delenit ullamcorper ut mea. Stet -volumus his id, ei cum nulla corrumpit. Quo et ubique adolescens, +Lorem ipsum dolor sit amet, te virtute officiis eos. Aliquid +adipiscing repudiandae nam ei, eu vel quod vituperata. Qui quem +recteque petentium et, alterum delenit ullamcorper ut mea. Stet +volumus his id, ei cum nulla corrumpit. Quo et ubique adolescens, dicam vituperata vim ei. \begin{itemize} @@ -21,10 +21,10 @@ dicam vituperata vim ei. \end{itemize} \section{dfrac} -Lorem ipsum dolor sit amet, te virtute officiis eos. Aliquid -adipiscing repudiandae nam ei, eu vel quod vituperata. Qui quem -recteque petentium et, alterum delenit ullamcorper ut mea. Stet -volumus his id, ei cum nulla corrumpit. Quo et ubique adolescens, +Lorem ipsum dolor sit amet, te virtute officiis eos. Aliquid +adipiscing repudiandae nam ei, eu vel quod vituperata. Qui quem +recteque petentium et, alterum delenit ullamcorper ut mea. Stet +volumus his id, ei cum nulla corrumpit. Quo et ubique adolescens, dicam vituperata vim ei. \begin{itemize} diff --git a/math/gnuplot/high-order-knot/README.md b/math/gnuplot/high-order-knot/README.md index 00c792c..1f3e781 100644 --- a/math/gnuplot/high-order-knot/README.md +++ b/math/gnuplot/high-order-knot/README.md @@ -2,7 +2,7 @@ Use gnuplot within latex ======================== * First make sure that you can use gnuplot: * Execute `gnuplot` in your command line - * Doesn't work: + * Doesn't work: * Look up where the binary is located (e.g. `C:\Programs\gnuplot\bin\gnuplot.exe`) * Add the binary directory to your path (Windows + Pause -> System variables -> Path) * Try executing `gnuplot` in terminal again diff --git a/math/sizes/sizes.tex b/math/sizes/sizes.tex index 44acb09..4457a31 100644 --- a/math/sizes/sizes.tex +++ b/math/sizes/sizes.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \documentclass[a4paper,9pt]{scrartcl} -\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage[ngerman]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amssymb,amsmath} \usepackage{geometry} -\geometry{a4paper,left=18mm,right=18mm, top=2cm, bottom=2cm} +\geometry{a4paper,left=18mm,right=18mm, top=2cm, bottom=2cm} \begin{document} \section{braces} diff --git a/math/strange-signs/strange-signs.tex b/math/strange-signs/strange-signs.tex index 82b3f5c..0a54d74 100644 --- a/math/strange-signs/strange-signs.tex +++ b/math/strange-signs/strange-signs.tex @@ -1,15 +1,15 @@ \documentclass[a4paper,9pt]{scrartcl} -\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage[ngerman]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amssymb,amsmath} \usepackage{geometry} -\geometry{a4paper,left=18mm,right=18mm, top=2cm, bottom=2cm} +\geometry{a4paper,left=18mm,right=18mm, top=2cm, bottom=2cm} \begin{document} \section{mathbb} \begin{tabular}{|c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c|} \hline - A & $\mathbb{A}$ & B & $\mathbb{B}$ & C & $\mathbb{C}$ & D & $\mathbb{D}$ & E & $\mathbb{E}$ & F & $\mathbb{F}$ & G & $\mathbb{G}$ & H & $\mathbb{H}$ & I & $\mathbb{I}$ & J & $\mathbb{J}$ & K & $\mathbb{K}$ & L & $\mathbb{L}$ & M & $\mathbb{M}$\\ + A & $\mathbb{A}$ & B & $\mathbb{B}$ & C & $\mathbb{C}$ & D & $\mathbb{D}$ & E & $\mathbb{E}$ & F & $\mathbb{F}$ & G & $\mathbb{G}$ & H & $\mathbb{H}$ & I & $\mathbb{I}$ & J & $\mathbb{J}$ & K & $\mathbb{K}$ & L & $\mathbb{L}$ & M & $\mathbb{M}$\\ \hline N & $\mathbb{N}$ & O & $\mathbb{O}$ & P & $\mathbb{P}$ & Q & $\mathbb{Q}$ & R & $\mathbb{R}$ & S & $\mathbb{S}$ & T & $\mathbb{T}$ & U & $\mathbb{U}$ & V & $\mathbb{V}$ & W & $\mathbb{W}$ & X & $\mathbb{X}$ & Y & $\mathbb{Y}$ & Z & $\mathbb{Z}$\\ \hline @@ -18,7 +18,7 @@ \section{mathfrak} \begin{tabular}{|c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c|} \hline - A & $\mathfrak{A}$ & B & $\mathfrak{B}$ & C & $\mathfrak{C}$ & D & $\mathfrak{D}$ & E & $\mathfrak{E}$ & F & $\mathfrak{F}$ & G & $\mathfrak{G}$ & H & $\mathfrak{H}$ & I & $\mathfrak{I}$ & J & $\mathfrak{J}$ & K & $\mathfrak{K}$ & L & $\mathfrak{L}$ & M & $\mathfrak{M}$\\ + A & $\mathfrak{A}$ & B & $\mathfrak{B}$ & C & $\mathfrak{C}$ & D & $\mathfrak{D}$ & E & $\mathfrak{E}$ & F & $\mathfrak{F}$ & G & $\mathfrak{G}$ & H & $\mathfrak{H}$ & I & $\mathfrak{I}$ & J & $\mathfrak{J}$ & K & $\mathfrak{K}$ & L & $\mathfrak{L}$ & M & $\mathfrak{M}$\\ \hline N & $\mathfrak{N}$ & O & $\mathfrak{O}$ & P & $\mathfrak{P}$ & Q & $\mathfrak{Q}$ & R & $\mathfrak{R}$ & S & $\mathfrak{S}$ & T & $\mathfrak{T}$ & U & $\mathfrak{U}$ & V & $\mathfrak{V}$ & W & $\mathfrak{W}$ & X & $\mathfrak{X}$ & Y & $\mathfrak{Y}$ & Z & $\mathfrak{Z}$\\ \hline @@ -27,7 +27,7 @@ \section{mathcal} \begin{tabular}{|c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c|} \hline - A & $\mathcal{A}$ & B & $\mathcal{B}$ & C & $\mathcal{C}$ & D & $\mathcal{D}$ & E & $\mathcal{E}$ & F & $\mathcal{F}$ & G & $\mathcal{G}$ & H & $\mathcal{H}$ & I & $\mathcal{I}$ & J & $\mathcal{J}$ & K & $\mathcal{K}$ & L & $\mathcal{L}$ & M & $\mathcal{M}$\\ + A & $\mathcal{A}$ & B & $\mathcal{B}$ & C & $\mathcal{C}$ & D & $\mathcal{D}$ & E & $\mathcal{E}$ & F & $\mathcal{F}$ & G & $\mathcal{G}$ & H & $\mathcal{H}$ & I & $\mathcal{I}$ & J & $\mathcal{J}$ & K & $\mathcal{K}$ & L & $\mathcal{L}$ & M & $\mathcal{M}$\\ N & $\mathcal{N}$ & O & $\mathcal{O}$ & P & $\mathcal{P}$ & Q & $\mathcal{Q}$ & R & $\mathcal{R}$ & S & $\mathcal{S}$ & T & $\mathcal{T}$ & U & $\mathcal{U}$ & V & $\mathcal{V}$ & W & $\mathcal{W}$ & X & $\mathcal{X}$ & Y & $\mathcal{Y}$ & Z & $\mathcal{Z}$\\ \hline \end{tabular} diff --git a/misc/sound/sound.tex b/misc/sound/sound.tex index 71d9e8e..8bee0be 100644 --- a/misc/sound/sound.tex +++ b/misc/sound/sound.tex @@ -89,17 +89,17 @@ function Universe() %% Push button is defined here \PushButton[name=hello,% onclick={HelloWorld();}, bordercolor={0.650 .790 .94}% -]{Hello World!} +]{Hello World!} \\[10pt] \PushButton[name=hello,% onclick={WhatsUp();}, bordercolor={0.650 .790 .94}% -]{What's Up?} +]{What's Up?} \\[10pt] \PushButton[name=hello,% onclick={Universe();}, bordercolor={0.650 .790 .94}% -]{What's with the Universe?} +]{What's with the Universe?} \\[2cm] \heading{Press a button!}\\ \end{center} diff --git a/presentations/Advanced/Advanced.tex b/presentations/Advanced/Advanced.tex index 2a3e636..155d6b8 100644 --- a/presentations/Advanced/Advanced.tex +++ b/presentations/Advanced/Advanced.tex @@ -38,11 +38,11 @@ Some text\\ \uncover<2->{Uncover me on slide 2 (-)\\} \visible<3->{visible from slide 3 on (-)\\} - \only<4->{only from slide 4 (-)\\} + \only<4->{only from slide 4 (-)\\} \onslide<5->{on slide 5 and further (-)\\} \uncover<6>{Uncover me on slide 6 \\} \visible<7>{visible on 7\\} - \only<8>{only on slide 8 \\} + \only<8>{only on slide 8 \\} \alt<8>{I am on slide 8\\}{I am not on slide 8\\} \onslide<9>{on slide 9\\} \end{frame} diff --git a/presentations/Bachelor-Final-Presentation/LaTeX/evaluation.tex b/presentations/Bachelor-Final-Presentation/LaTeX/evaluation.tex index 223b9bf..deee278 100644 --- a/presentations/Bachelor-Final-Presentation/LaTeX/evaluation.tex +++ b/presentations/Bachelor-Final-Presentation/LaTeX/evaluation.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \centering \begin{tabular}{clrrr} \toprule - \multirow{2}{*}{System} & \multirow{2}{*}{Topology} & \multicolumn{3}{c}{Classification error}\\ + \multirow{2}{*}{System} & \multirow{2}{*}{Topology} & \multicolumn{3}{c}{Classification error}\\ & & TOP1 & TOP3 & MER \\\midrule $B_1$ & 160:500:369 & $\SI{23.34}{\percent}$ & $\SI{6.80}{\percent}$ & $\SI{6.64}{\percent}$ \\ $B_2$ & 160:500:500:369 & \underline{$\SI{21.51}{\percent}$} & $\SI{5.75}{\percent}$ & $\SI{5.67}{\percent}$ \\ diff --git a/presentations/Bachelor-Final-Presentation/README.md b/presentations/Bachelor-Final-Presentation/README.md index 1372fde..3a15796 100644 --- a/presentations/Bachelor-Final-Presentation/README.md +++ b/presentations/Bachelor-Final-Presentation/README.md @@ -9,7 +9,7 @@ It will be at Thursday, the 6. November 2014 at 11:45 in [building 50.20](http:/ KIT-Style --------- -This one doesn't compile, as you need the KIT-Style (logos, layout, +This one doesn't compile, as you need the KIT-Style (logos, layout, color theme) Please take a look at the presentation "Tutorenschulung" for further diff --git a/presentations/Bachelor-Short/README.md b/presentations/Bachelor-Short/README.md index 6db9b2c..cd7e969 100644 --- a/presentations/Bachelor-Short/README.md +++ b/presentations/Bachelor-Short/README.md @@ -5,7 +5,7 @@ I still have one (of four) months left. So work is still in progress. KIT-Style --------- -This one doesn't compile, as you need the KIT-Style (logos, layout, +This one doesn't compile, as you need the KIT-Style (logos, layout, color theme) Please take a look at the presentation "Tutorenschulung" for further diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/Handout/Handout.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/Handout/Handout.tex index 588b361..73cd8bc 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/Handout/Handout.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/Handout/Handout.tex @@ -16,11 +16,11 @@ \clubpenalty = 10000 % Schusterjungen verhindern \widowpenalty = 10000 % Hurenkinder verhindern -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Diskrete Mathematik}, - pdftitle = {Graphentheorie I: Handout} -} +\hypersetup{ + pdfauthor = {Martin Thoma}, + pdfkeywords = {Diskrete Mathematik}, + pdftitle = {Graphentheorie I: Handout} +} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} @@ -62,22 +62,22 @@ \definecolor{FrameColor}{rgb}{0.25,0.25,1.0} \definecolor{TitleColor}{rgb}{1.0,1.0,1.0} -\newenvironment{contlabelframe}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{% +\newenvironment{contlabelframe}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{% % Optional continuation label defaults to the first label plus \def\Frame@Lab{#2}% \def\FrameCommand{\LabFrame{#2}}% \def\FirstFrameCommand{\LabFrame{#2}}% \def\MidFrameCommand{\LabFrame{#1}}% \def\LastFrameCommand{\LabFrame{#1}}% - \MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore} -}{\endMakeFramed} + \MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore} +}{\endMakeFramed} \newcounter{definition} \newenvironment{definition}[1]{% \par \refstepcounter{definition}% \begin{contlabelframe}{Definition \thedefinition:\quad #1} \noindent\ignorespaces} -{\end{contlabelframe}} +{\end{contlabelframe}} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Theorem % @@ -120,8 +120,8 @@ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \begin{definition}{Graph} -Ein Graph ist ein Tupel $(E, K)$, wobei $E \neq \emptyset$ die Eckenmenge und -$K \subseteq E \times E$ die +Ein Graph ist ein Tupel $(E, K)$, wobei $E \neq \emptyset$ die Eckenmenge und +$K \subseteq E \times E$ die Kantenmenge bezeichnet. \end{definition} @@ -137,7 +137,7 @@ Hat eine Ecke den Grad 0, so nennt man sie \textbf{isoliert}. \begin{definition}{Schlinge} Sei $G=(E, K)$ ein Graph und $k=\Set{e_1, e_2} \in K$ eine Kante. -$k$ heißt \textbf{Schlinge} $:\Leftrightarrow e_1 = e_2$ +$k$ heißt \textbf{Schlinge} $:\Leftrightarrow e_1 = e_2$ \end{definition} \begin{definition}{Inzidenz} @@ -178,11 +178,11 @@ $e_0, e_1, e_2, \dots, e_s$ gibt, so dass \item \dots \item $k_s = \Set{e_{s-1}, e_s}$ \end{itemize} -gilt ein \textbf{Kantenzug}, der $e_0$ und $e_s$ \textbf{verbindet} und $s$ +gilt ein \textbf{Kantenzug}, der $e_0$ und $e_s$ \textbf{verbindet} und $s$ seine \textbf{Länge}. \end{definition} -Ein Kantenzug wird durch den Tupel $(e_0, \dots, e_s) \in E^{s+1}$ +Ein Kantenzug wird durch den Tupel $(e_0, \dots, e_s) \in E^{s+1}$ charakterisiert. \begin{definition}{Geschlossener Kantenzug} @@ -221,7 +221,7 @@ A heißt \textbf{Kreis} $:\Leftrightarrow A$ ist geschlossen und ein Weg. \begin{definition}{Zusammenhängender Graph} Sei $G = (E, K)$ ein Graph. -$G$ heißt \textbf{zusammenhängend} $:\Leftrightarrow \forall e_1, e_2 \in E: $ +$G$ heißt \textbf{zusammenhängend} $:\Leftrightarrow \forall e_1, e_2 \in E: $ Es ex. ein Kantenzug, der $e_1$ und $e_2$ verbindet \end{definition} @@ -246,13 +246,13 @@ Ein Graph heißt \textbf{eulersch}, wenn er einen eulerschen Kreis enthält. \begin{Proof} Direkt\\ Sei $C = (e_0, \dots, e_n, e_0) \in E^{n+2}$ ein Eulerkreis in $G$ $\Rightarrow $ Es gilt: $\forall e \in E\;\exists i \in \Set{0, \dots, n}: e = e_i$ und alle Kanten aus $G$ sind genau ein einziges Mal in $C$.\\ - Außerdem gilt: + Außerdem gilt: \[\text{Grad}(e_i) = \begin{cases} 2 \cdot \text{Anzahl der Vorkommen von } e_i \text{ in } C & \text{falls } i\neq 0\\ 2 \cdot (\text{Anzahl der Vorkommen von } e_i \text{ in } C -1) & \text{falls } i = 0\\ \end{cases} \] - $\Rightarrow \forall e \in E: \text{Grad}(e)$ ist gerade + $\Rightarrow \forall e \in E: \text{Grad}(e)$ ist gerade \end{Proof} \end{theorem} \vspace{0.5cm} @@ -269,8 +269,8 @@ Ein Graph heißt \textbf{eulersch}, wenn er einen eulerschen Kreis enthält. $m=1$: Es gibt keinen Graphen in dem jede Ecke geraden Grad hat. \cmark\\ $m=2$: Nur ein Graph ist zusammenhängend, hat zwei Kanten und nur Ecken geraden Grades. Dieser ist eulersch. \cmark \goodbreak - \underline{I.V.:} Sei $m \in \mathbb{N}_0$ beliebig, aber fest und - es gelte: + \underline{I.V.:} Sei $m \in \mathbb{N}_0$ beliebig, aber fest und + es gelte: Für alle zusammenhängenden Graphen $G$ mit höchstens $m$ Kanten, bei denen jede Ecke geraden Grad hat, ist $G$ eulersch. @@ -278,14 +278,14 @@ Ein Graph heißt \textbf{eulersch}, wenn er einen eulerschen Kreis enthält. $\Rightarrow$ Jede Ecke von $G$ hat min. Grad 2. $\stackrel{A5}{\Rightarrow}$ Es gibt einen Kreis $C$ in $G$.\\ - Sei nun + Sei nun \[G_C = (E_C, K_C) \text{ mit } E_C \subseteq E \text{ und } K_C \subseteq K \] der Graph, der durch $C$ induziert wird. - Sei + Sei \[ G^* = (E, K \setminus K_C) \] - Es gilt: + Es gilt: \begin{itemize} \item Jede Ecke in $G^*$ hat geraden Grad. \item Jede Zusammenhangskomponente hat weniger als $m$ Knoten. @@ -301,7 +301,7 @@ Ein Graph heißt \textbf{eulersch}, wenn er einen eulerschen Kreis enthält. \begin{definition}{Offene eulersche Linie} Sei $G$ ein Graph und $A$ ein Weg, der kein Kreis ist. -$A$ heißt \textbf{offene eulersche Linie} von $G :\Leftrightarrow$ Jede Kante +$A$ heißt \textbf{offene eulersche Linie} von $G :\Leftrightarrow$ Jede Kante in $G$ kommt genau ein mal in $A$ vor. \end{definition} \vspace{0.5cm} diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Ende.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Ende.tex index 0c5ec8e..1ad5230 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Ende.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Ende.tex @@ -214,12 +214,12 @@ Gebe $G_n$ formal an. \begin{frame}{{\sc RectangleFreeColoring}} \begin{block}{{\sc RectangleFreeColoring}} - Gegeben ist $n, m \in \mathbb{N}_{\geq 1}$ und ein - ungerichteter Graph $G = (E, K)$ mit + Gegeben ist $n, m \in \mathbb{N}_{\geq 1}$ und ein + ungerichteter Graph $G = (E, K)$ mit \[E = \Set{e_{x,y} | 1 \leq x \leq n \land 1 \leq y \leq m}\] und \[K = \Set{k=\Set{e_{x,y}, e_{x',y'}} \in E \times E : |x-x'| + |y-y'| = 1} \] - + Färbe die Ecken von $G$ mit einer minimalen Anzahl von Farben so, dass gilt: \begin{align*} \forall e_{x,y}, e_{x',y'} \in E: (x \neq x' \land y \neq y') \Rightarrow\\ diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Grundlagen.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Grundlagen.tex index 033b39c..f71b712 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Grundlagen.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Grundlagen.tex @@ -1,8 +1,8 @@ \subsection{Grundlagen} \begin{frame}{Graph} \begin{block}{Graph} -Ein Graph ist ein Tupel $(E, K)$, wobei $E \neq \emptyset$ die Eckenmenge und -$K \subseteq E \times E$ die +Ein Graph ist ein Tupel $(E, K)$, wobei $E \neq \emptyset$ die Eckenmenge und +$K \subseteq E \times E$ die Kantenmenge bezeichnet. \end{block} \pause @@ -65,7 +65,7 @@ Hat eine Ecke den Grad 0, so nennt man sie \textbf{isoliert}. \begin{block}{Schlinge} Sei $G=(E, K)$ ein Graph und $k=\Set{e_1, e_2} \in K$ eine Kante. -$k$ heißt \textbf{Schlinge} $:\Leftrightarrow e_1 = e_2$ +$k$ heißt \textbf{Schlinge} $:\Leftrightarrow e_1 = e_2$ \end{block} Ein Graph ohne Schlingen heißt \enquote{schlingenfrei} diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Koenigsberger-Brueckenproblem.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Koenigsberger-Brueckenproblem.tex index 92e8976..2187a5d 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Koenigsberger-Brueckenproblem.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Koenigsberger-Brueckenproblem.tex @@ -173,7 +173,7 @@ $\Rightarrow$ Grad($e$) $\equiv 0 \mod 2$ \begin{frame}{Umkehrung des Satzes von Euler} \begin{block}{Umkehrung des Satzes von Euler} -Wenn in einem zusammenhängenden Graphen $G$ jede Ecke geraden Grad hat, dann +Wenn in einem zusammenhängenden Graphen $G$ jede Ecke geraden Grad hat, dann ist $G$ eulersch. \end{block} \pause @@ -186,9 +186,9 @@ $m=1$: Es gibt keinen Graphen in dem jede Ecke geraden Grad hat. \cmark\\ $m=2$: Nur ein Graph möglich. Dieser ist eulersch. \cmark\\ \pause -\underline{I.V.:} Sei $m \in \mathbb{N}_0$ beliebig, aber fest und -es gelte: Für -alle zusammenhängenden Graphen $G$ mit höchstens $m$ Kanten, bei +\underline{I.V.:} Sei $m \in \mathbb{N}_0$ beliebig, aber fest und +es gelte: Für +alle zusammenhängenden Graphen $G$ mit höchstens $m$ Kanten, bei denen jede Ecke geraden Grad hat, ist $G$ eulersch. \pause @@ -203,7 +203,7 @@ $\xRightarrow[]{A. 5}$ Es gibt einen Kreis $C$ in $G$.\pause \begin{frame}{Umkehrung des Satzes von Euler} \begin{block}{Umkehrung des Satzes von Euler} -Wenn in einem zusammenhängenden Graphen $G$ jede Ecke geraden Grad hat, dann +Wenn in einem zusammenhängenden Graphen $G$ jede Ecke geraden Grad hat, dann ist $G$ eulersch. \end{block} \dots @@ -297,11 +297,11 @@ $\Rightarrow G$ ist eulersch\pause $\Rightarrow $ Beh. \begin{block}{Offene eulersche Linie} Sei $G$ ein Graph und $A$ ein Weg, der kein Kreis ist. -$A$ heißt \textbf{offene eulersche Linie} von $G :\Leftrightarrow$ Jede Kante +$A$ heißt \textbf{offene eulersche Linie} von $G :\Leftrightarrow$ Jede Kante in $G$ kommt genau ein mal in $A$ vor. \end{block} -Ein Graph kann genau dann "`in einem Zug"' gezeichnet werden, wenn er eine +Ein Graph kann genau dann "`in einem Zug"' gezeichnet werden, wenn er eine offene eulersche Linie besitzt. \end{frame} @@ -309,7 +309,7 @@ offene eulersche Linie besitzt. \begin{block}{Satz 8.2.3} Sei $G$ ein zusammenhängender Graph. -$G$ hat eine offene eulersche Linie $:\Leftrightarrow G$ hat genau zwei Ecken +$G$ hat eine offene eulersche Linie $:\Leftrightarrow G$ hat genau zwei Ecken ungeraden Grades. \end{block} diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Spezielle-Graphen.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Spezielle-Graphen.tex index 6342a9a..b224b24 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Spezielle-Graphen.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Spezielle-Graphen.tex @@ -61,7 +61,7 @@ $G$ heißt \textbf{vollständig bipartit} $:\Leftrightarrow A \times B = K$ \end{frame} \begin{frame}{Vollständig bipartite Graphen} -Bezeichnung: Vollständig bipartite Graphen mit der Bipartition $\Set{A, B}$ +Bezeichnung: Vollständig bipartite Graphen mit der Bipartition $\Set{A, B}$ bezeichnet man mit $K_{|A|, |B|}$. \begin{gallery} diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Strukturen.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Strukturen.tex index 0e211e9..c07ee1c 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Strukturen.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Strukturen.tex @@ -11,7 +11,7 @@ $e_0, e_1, e_2, \dots, e_s$ gibt, so dass \item \dots \item $k_s = \Set{e_{s-1}, e_s}$ \end{itemize} -gilt ein \textbf{Kantenzug}, der \textcolor{purple}{$e_0$} und \textcolor{blue}{$e_s$} \textbf{verbindet} und $s$ +gilt ein \textbf{Kantenzug}, der \textcolor{purple}{$e_0$} und \textcolor{blue}{$e_s$} \textbf{verbindet} und $s$ seine \textbf{Länge}. \end{block} @@ -59,7 +59,7 @@ mit $k_1 = \Set{e_0, e_1}$ und $k_s = \Set{e_{s-1}, e_s}$. A heißt \textbf{geschlossen} $:\Leftrightarrow e_0 = e_s$ . \end{block} -Ein Kantenzug wird durch den Tupel $(e_0, \dots, e_s) \in E^{s+1}$ +Ein Kantenzug wird durch den Tupel $(e_0, \dots, e_s) \in E^{s+1}$ charakterisiert. \begin{gallery} @@ -109,7 +109,7 @@ Manchmal wird das auch "`einfacher Kreis"' genannt. \begin{frame}{Aufgabe 5} \begin{block}{Zeigen Sie: } -Wenn in einem Graphen $G=(E,K)$ jede Ecke min. Grad 2 hat, dann +Wenn in einem Graphen $G=(E,K)$ jede Ecke min. Grad 2 hat, dann besitzt $G$ einen Kreis einer Länge $>0$. \end{block} @@ -134,7 +134,7 @@ $e_i, \dots, e_j = e_i$ bilden also eine Kreis $\blacksquare$ \begin{block}{Zusammenhängender Graph} Sei $G = (E, K)$ ein Graph. -$G$ heißt \textbf{zusammenhängend} $:\Leftrightarrow \forall e_1, e_2 \in E: $ +$G$ heißt \textbf{zusammenhängend} $:\Leftrightarrow \forall e_1, e_2 \in E: $ Es ex. ein Kantenzug, der $e_1$ und $e_2$ verbindet \end{block} diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/bipartit-algorithm.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/bipartit-algorithm.tex index ed044fa..7b3b504 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/bipartit-algorithm.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/bipartit-algorithm.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/circle-one-facet.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/circle-one-facet.tex index bc50f77..158c8fa 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/circle-one-facet.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/circle-one-facet.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/circle-two-facets.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/circle-two-facets.tex index 9161469..eb28870 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/circle-two-facets.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/circle-two-facets.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/euler-nicht-hamilton.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/euler-nicht-hamilton.tex index 2f20c47..c1531de 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/euler-nicht-hamilton.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/euler-nicht-hamilton.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/graph-1.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/graph-1.tex index 2706dc8..2eabf29 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/graph-1.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/graph-1.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/graph-2-schlinge.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/graph-2-schlinge.tex index 41ddc97..d7fc7d6 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/graph-2-schlinge.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/graph-2-schlinge.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/graph-2.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/graph-2.tex index 78c2809..ff16c2c 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/graph-2.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/graph-2.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/hamilton-nicht-euler.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/hamilton-nicht-euler.tex index 86da03a..4151df3 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/hamilton-nicht-euler.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/hamilton-nicht-euler.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/haus-des-nikolaus.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/haus-des-nikolaus.tex index ed044fa..7b3b504 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/haus-des-nikolaus.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/haus-des-nikolaus.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-1.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-1.tex index 497ebdb..6680480 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-1.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-1.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{ifthen} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{calc} \begin{document} \tikzstyle{vertex}=[draw,red,fill=red,circle, @@ -20,7 +20,7 @@ minimum size=10pt,inner sep=0pt] \pgfmathtruncatemacro\X{\x} \ifthenelse{\X<\loopend}{\draw[edge] (\x,\y) -- (\x+2,\y);}{} \ifthenelse{\X=\loopend}{}{\draw[edge] (\x,\y) -- (\x+1,\y+1);} - + } } \end{tikzpicture} diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-2.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-2.tex index a97a4e9..21803d4 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-2.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-2.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{ifthen} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{calc} \begin{document} \tikzstyle{vertex}=[draw,red,fill=red,circle, @@ -20,7 +20,7 @@ minimum size=10pt,inner sep=0pt] \pgfmathtruncatemacro\X{\x} \ifthenelse{\X<\loopend}{\draw[edge] (\x,\y) -- (\x+2,\y);}{} \ifthenelse{\X=\loopend}{}{\draw[edge] (\x,\y) -- (\x+1,\y+1);} - + } } \end{tikzpicture} diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-3.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-3.tex index 68095ea..c855f52 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-3.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-3.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{ifthen} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{calc} \begin{document} \tikzstyle{vertex}=[draw,red,fill=red,circle, @@ -20,7 +20,7 @@ minimum size=10pt,inner sep=0pt] \pgfmathtruncatemacro\X{\x} \ifthenelse{\X<\loopend}{\draw[edge] (\x,\y) -- (\x+2,\y);}{} \ifthenelse{\X=\loopend}{}{\draw[edge] (\x,\y) -- (\x+1,\y+1);} - + } } \end{tikzpicture} diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-4.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-4.tex index ed93f70..159c3e8 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-4.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-4.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{ifthen} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{calc} \begin{document} \tikzstyle{vertex}=[draw,red,fill=red,circle, @@ -20,7 +20,7 @@ minimum size=10pt,inner sep=0pt] \pgfmathtruncatemacro\X{\x} \ifthenelse{\X<\loopend}{\draw[edge] (\x,\y) -- (\x+2,\y);}{} \ifthenelse{\X=\loopend}{}{\draw[edge] (\x,\y) -- (\x+1,\y+1);} - + } } \end{tikzpicture} diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-5.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-5.tex index 2d7bf10..efa13dc 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-5.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-5.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{ifthen} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{calc} \begin{document} \tikzstyle{vertex}=[draw,red,fill=red,circle, @@ -20,7 +20,7 @@ minimum size=10pt,inner sep=0pt] \pgfmathtruncatemacro\X{\x} \ifthenelse{\X<\loopend}{\draw[edge] (\x,\y) -- (\x+2,\y);}{} \ifthenelse{\X=\loopend}{}{\draw[edge] (\x,\y) -- (\x+1,\y+1);} - + } } \end{tikzpicture} diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-6.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-6.tex index 0046742..8d9f60e 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-6.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-6.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{ifthen} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{calc} \begin{document} \tikzstyle{vertex}=[draw,red,fill=red,circle, @@ -20,7 +20,7 @@ minimum size=10pt,inner sep=0pt] \pgfmathtruncatemacro\X{\x} \ifthenelse{\X<\loopend}{\draw[edge] (\x,\y) -- (\x+2,\y);}{} \ifthenelse{\X=\loopend}{}{\draw[edge] (\x,\y) -- (\x+1,\y+1);} - + } } \end{tikzpicture} diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-7.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-7.tex index 519a4fa..7a7053c 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-7.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-7.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{ifthen} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{calc} \begin{document} \tikzstyle{vertex}=[draw,red,fill=red,circle, @@ -20,7 +20,7 @@ minimum size=10pt,inner sep=0pt] \pgfmathtruncatemacro\X{\x} \ifthenelse{\X<\loopend}{\draw[edge] (\x,\y) -- (\x+2,\y);}{} \ifthenelse{\X=\loopend}{}{\draw[edge] (\x,\y) -- (\x+1,\y+1);} - + } } \end{tikzpicture} diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/inzidenz/graph-1.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/inzidenz/graph-1.tex index 3a56426..7bde6fa 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/inzidenz/graph-1.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/inzidenz/graph-1.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/inzidenz/graph-2.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/inzidenz/graph-2.tex index d298bcb..38d19a7 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/inzidenz/graph-2.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/inzidenz/graph-2.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/koenigsberg/koenigsberg-1.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/koenigsberg/koenigsberg-1.tex index ed044fa..7b3b504 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/koenigsberg/koenigsberg-1.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/koenigsberg/koenigsberg-1.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/walks/walk-1.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/walks/walk-1.tex index a541629..4f4d934 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/walks/walk-1.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/walks/walk-1.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/walks/walk-2.tex b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/walks/walk-2.tex index 5b259b9..101f730 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/walks/walk-2.tex +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/walks/walk-2.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/presentations/Diskrete-Mathematik/README.md b/presentations/Diskrete-Mathematik/README.md index 236ffb5..aa53a8e 100644 --- a/presentations/Diskrete-Mathematik/README.md +++ b/presentations/Diskrete-Mathematik/README.md @@ -1,9 +1,9 @@ Über die Präsentation --------------------- -Diese Präsentation ist für das Proseminar "Diskrete Mathematik" als +Diese Präsentation ist für das Proseminar "Diskrete Mathematik" als Teilnehmervortrag erstellt worden. -Er wird am 02.07.2013 gehalten und behandelt die Seiten 137 - 144 aus +Er wird am 02.07.2013 gehalten und behandelt die Seiten 137 - 144 aus "Diskrete Mathematik für Einsteiger" von Beutelspacher (ISBN 978-3-8348-1248-3). Der Vortrag ist für 75 Minuten ausgelegt. @@ -13,7 +13,7 @@ Der Vortrag ist für 75 Minuten ausgelegt. KIT-Style --------- -This one doesn't compile, as you need the KIT-Style (logos, layout, +This one doesn't compile, as you need the KIT-Style (logos, layout, color theme) Please take a look at the presentation "Tutorenschulung" for further diff --git a/presentations/English/LaTeX/Animation.tex b/presentations/English/LaTeX/Animation.tex index e60c323..9bf3de9 100644 --- a/presentations/English/LaTeX/Animation.tex +++ b/presentations/English/LaTeX/Animation.tex @@ -3,13 +3,13 @@ \begin{tikzpicture}[->,scale=1.8, auto,swap] % Draw the vertices. First you define a list. \foreach \pos/\name in {{(1,0)/a}, {(4,0)/b}, {(5,1)/c}, - {(3,1)/d}, {(4,2)/e}, {(5,2)/f}, + {(3,1)/d}, {(4,2)/e}, {(5,2)/f}, {(1,2)/g}, {(0,3)/h}, {(2,4)/i}, {(4,3)/j}, {(4,4)/k}, {(5,4)/l}} \node[vertex] (\name) at \pos {$\name$}; - + % Connect vertices with edges and draw weights - \foreach \source/ \dest /\pos in {g/a/, b/c/bend right, + \foreach \source/ \dest /\pos in {g/a/, b/c/bend right, c/b/bend right, d/e/bend right, e/d/, h/g/, g/i/,g/i/bend left, g/i/bend right, h/i/, h/i/bend left, g/j/bend right, j/g/, j/k/bend right, k/j/bend right, j/f/, f/l/,e/j/, @@ -27,13 +27,13 @@ \begin{tikzpicture}[->,scale=1.8, auto,swap] % Draw the vertices. First you define a list. \foreach \pos/\name in {{(1,0)/a}, {(4,0)/b}, {(5,1)/c}, - {(3,1)/d}, {(4,2)/e}, {(5,2)/f}, + {(3,1)/d}, {(4,2)/e}, {(5,2)/f}, {(1,2)/g}, {(0,3)/h}, {(2,4)/i}, {(4,3)/j}, {(4,4)/k}, {(5,4)/l}} \node[vertex] (\name) at \pos {$15$}; - + % Connect vertices with edges and draw weights - \foreach \source/ \dest /\pos in {g/a/, b/c/bend right, + \foreach \source/ \dest /\pos in {g/a/, b/c/bend right, c/b/bend right, d/e/bend right, e/d/, h/g/, g/i/,g/i/bend left, g/i/bend right, h/i/, h/i/bend left, g/j/bend right, j/g/, j/k/bend right, k/j/bend right, j/f/, f/l/,e/j/, diff --git a/presentations/English/README.md b/presentations/English/README.md index be1abc4..fcf7274 100644 --- a/presentations/English/README.md +++ b/presentations/English/README.md @@ -5,7 +5,7 @@ the PageRank algorithm in 8 minutes. KIT-Style --------- -This one doesn't compile, as you need the KIT-Style (logos, layout, +This one doesn't compile, as you need the KIT-Style (logos, layout, color theme) Please take a look at the presentation "Tutorenschulung" for further diff --git a/presentations/Gute-Frage-Schluesselqualifikation/README.md b/presentations/Gute-Frage-Schluesselqualifikation/README.md index 955c6a7..b6128f3 100644 --- a/presentations/Gute-Frage-Schluesselqualifikation/README.md +++ b/presentations/Gute-Frage-Schluesselqualifikation/README.md @@ -11,7 +11,7 @@ See [`documents/survey-mathematische-formeln`](https://github.com/MartinThoma/La KIT-Style --------- -This one doesn't compile, as you need the KIT-Style (logos, layout, +This one doesn't compile, as you need the KIT-Style (logos, layout, color theme) Please take a look at the presentation "Tutorenschulung" for further diff --git a/presentations/ICPC-Referat/Artikulationspunkt.tex b/presentations/ICPC-Referat/Artikulationspunkt.tex index b1fd535..2d6f962 100644 --- a/presentations/ICPC-Referat/Artikulationspunkt.tex +++ b/presentations/ICPC-Referat/Artikulationspunkt.tex @@ -22,7 +22,7 @@ \begin{frame} \frametitle{Algorithmus} - Fast wie für Brücken. Unterschiede: + Fast wie für Brücken. Unterschiede: \begin{itemize} \item $L(v)$ hier anders definiert: bei Rückwärtskanten erst nach mindestens einer Baumkante \item Hier vergleichen wir für alle $v \in V$ $L(v)$ und $N(v)$: \\ diff --git a/presentations/ICPC-Referat/Bridge.tex b/presentations/ICPC-Referat/Bridge.tex index 1afa84a..4a24189 100644 --- a/presentations/ICPC-Referat/Bridge.tex +++ b/presentations/ICPC-Referat/Bridge.tex @@ -12,7 +12,7 @@ % Draw a 7,11 network % First we draw the vertices \foreach \pos/\name in {{(0,0)/a}, {(0,2)/b}, {(1,2)/c}, - {(1,0)/d}, {(2,1)/e}, {(3,1)/f}, + {(1,0)/d}, {(2,1)/e}, {(3,1)/f}, {(4,2)/g}, {(5,2)/h}, {(4,0)/i}, {(5,0)/j}} \node[vertex] (\name) at \pos {$\name$}; diff --git a/presentations/ICPC-Referat/Eulerkreisproblem.tex b/presentations/ICPC-Referat/Eulerkreisproblem.tex index e41c93a..83b86d8 100644 --- a/presentations/ICPC-Referat/Eulerkreisproblem.tex +++ b/presentations/ICPC-Referat/Eulerkreisproblem.tex @@ -11,18 +11,18 @@ Es existiert ein Eulerkreis\\ $\Leftrightarrow$ Der Graph ist zusammenhängend und jeder Knoten hat geraden Grad \end{block} - + \begin{block}{Im gerichteten Graph} Es existiert ein Eulerkreis\\ $\Leftrightarrow$ Der Graph ist stark zusammenhängend und für jeden Knoten gilt: Eingangsgrad = Ausgangsgrad - \end{block} + \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Algorithmus von Fleury} Das Eulerkreisproblem ist effizient lösbar: Algorithmus von Fleury $\in {\cal O}(|E|^2) $: - + \begin{enumerate} \item Start bei einem beliebigen Knoten \item Wähle eine unmarkierte von dem Knoten ausgehende Kante, die wenn möglich im Restgraphen keine Brückenkante ist. Wenn es nur Brückenkanten gibt, dann dann wird die Kante zu dem Knoten genommen, der den höhere Ausgangsgrad hat @@ -34,7 +34,7 @@ %\begin{frame}{Algorithmus von Fleury}{Anwendungsbeispiel} % Wortmenge: $\{$as, man, meet, nets, set, sum, tea, team$\}$ -% +% % Menge der Anfangs- und Endbuchstaben: $\{$a, m, n, s, t$\}$ % \begin{figure} % \begin{tikzpicture}[->,scale=1.8, auto,swap] @@ -63,13 +63,13 @@ % Connect vertices with edges and draw weights \foreach \source/ \dest /\pos in {b/a/,c/a/,a/d/,a/e/,c/b/, d/b/, b/e/, e/c/, g/c/, e/d/, d/f/, f/g/} \path (\source) edge [\pos] node {} (\dest); - % Start animating the edge selection. + % Start animating the edge selection. % For convenience we use a background layer to highlight edges % This way we don't have to worry about the highlighting covering - % weight labels. + % weight labels. \begin{pgfonlayer}{background} \foreach \source / \dest / \fr / \pos in {a/a/1/, a/e/2/, e/d/3/, d/b/4/, b/a/5/, - a/d/6/, d/f/7/, f/g/8/, g/c/9/, c/b/10/, + a/d/6/, d/f/7/, f/g/8/, g/c/9/, c/b/10/, b/e/11/, e/c/12/, c/a/13/} \path<\fr->[selected edge] (\source.center) edge [\pos] node {} (\dest.center); \end{pgfonlayer} @@ -98,13 +98,13 @@ % Connect vertices with edges and draw weights \foreach \source/ \dest /\pos in {b/a/,c/a/,a/d/,a/e/,c/b/, d/b/, b/e/, e/c/, g/c/, e/d/, d/f/, f/g/} \path (\source) edge [\pos] node {} (\dest); - % Start animating the edge selection. + % Start animating the edge selection. % For convenience we use a background layer to highlight edges % This way we don't have to worry about the highlighting covering - % weight labels. + % weight labels. \begin{pgfonlayer}{background} \foreach \source / \dest / \fr / \pos in {a/a/1/, a/e/2/, e/d/3/, d/b/4/, b/a/5/, - e/c/6/, c/b/7/, b/e/8/, d/f/9/, f/g/10/, + e/c/6/, c/b/7/, b/e/8/, d/f/9/, f/g/10/, g/c/11/, c/a/12/, a/d/13/} \path<\fr->[selected edge] (\source.center) edge [\pos] node {} (\dest.center); \end{pgfonlayer} @@ -123,10 +123,10 @@ % Connect vertices with edges and draw weights \foreach \source/ \dest /\pos in {a/b/,b/c/, c/d/, d/e/, a/c/, a/d/, b/d/, c/e/} \path (\source) edge [\pos] node {} (\dest); - % Start animating the edge selection. + % Start animating the edge selection. % For convenience we use a background layer to highlight edges % This way we don't have to worry about the highlighting covering - % weight labels. + % weight labels. \begin{pgfonlayer}{background} \foreach \source / \dest / \fr / \pos in {a/a/1/, b/d/2/, d/c/3/, c/e/4/, e/d/5/, d/a/6/, a/b/7/, b/c/8/, c/a/9/} diff --git a/presentations/ICPC-Referat/GraphColoring.tex b/presentations/ICPC-Referat/GraphColoring.tex index eea2a3d..b582c51 100644 --- a/presentations/ICPC-Referat/GraphColoring.tex +++ b/presentations/ICPC-Referat/GraphColoring.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \begin{frame}{Färbung von Graphen}{Graph coloring} \begin{block}{Problem COLOR} Gegeben sei ein Graph $G = (V, E)$ und ein Parameter $K \in \mathbb{N}$. - Frage: Gibt es eine Knotenfärbung von $G$ mit höchstens $K$ Farben, + Frage: Gibt es eine Knotenfärbung von $G$ mit höchstens $K$ Farben, so dass je zwei adjazente Knoten verschiedene Farben besitzen? \end{block} \begin{itemize} diff --git a/presentations/ICPC-Referat/Graphentheorie-2.tex b/presentations/ICPC-Referat/Graphentheorie-2.tex index 4272f20..2ef56ff 100644 --- a/presentations/ICPC-Referat/Graphentheorie-2.tex +++ b/presentations/ICPC-Referat/Graphentheorie-2.tex @@ -175,12 +175,12 @@ } \begin{document} -\title{Graphentheorie II} -\author{Tobias Sturm, Martin Thoma, Max Wagner, Thomas Krings} -\date{\today} +\title{Graphentheorie II} +\author{Tobias Sturm, Martin Thoma, Max Wagner, Thomas Krings} +\date{\today} \subject{Graphentheorie-Referat fur ICPC} -\frame{\titlepage} +\frame{\titlepage} \frame{ \frametitle{Inhaltsverzeichnis} diff --git a/presentations/ICPC-Referat/Hamiltonkreisproblem.tex b/presentations/ICPC-Referat/Hamiltonkreisproblem.tex index 2172007..8e82ea2 100644 --- a/presentations/ICPC-Referat/Hamiltonkreisproblem.tex +++ b/presentations/ICPC-Referat/Hamiltonkreisproblem.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \begin{frame}{Hamiltonkreisproblem}{Hamiltonian path} \begin{block}{Erklärung} Ein Hamiltonkreis ist ein Kreis in einem Graphen, in dem jeder Knoten genau einmal benutzt wird.\\ - + Das Hamiltonkreisproblem ist NP-vollständig. \end{block} \end{frame} @@ -17,7 +17,7 @@ \end{itemize} \end{block} \begin{block}{Bedingungen} - Bei Graphen G mit $n \geq 3$ Knoten + Bei Graphen G mit $n \geq 3$ Knoten \begin{itemize} \item G hat Minimalgrad $\frac{n}{2} \Rightarrow$ $\exists $ Hamiltonkreis \item G ist vollständig $\Rightarrow \exists$ Hamiltonkreis @@ -31,7 +31,7 @@ Eine Menge von Wörtern \end{block} \begin{block}{Gesucht} - Aneinanderreihung von Wörtern, sodass jeweils Anfangs- und Endbuchstaben gleich sind + Aneinanderreihung von Wörtern, sodass jeweils Anfangs- und Endbuchstaben gleich sind (auch im Ringschluss). \end{block} \end{frame} @@ -39,13 +39,13 @@ \begin{frame}{Hamilton- und Eulerkreisproblem}{Anwendungsbeispiel} Wortmenge: $\{$as, man, meet, nets, set, sum, tea, team$\}$ - + Menge der Anfangs- und Endbuchstaben: $\{$a, m, n, s, t$\}$ \begin{figure} \begin{tikzpicture}[->,scale=1.3, auto,swap] % First we draw the vertices \foreach \pos/\name in {{(1,0)/nets}, {(3,0)/set}, {(5,0)/tea}, - {(0,2)/man}, {(6,2)/team}, {(1,4)/as}, + {(0,2)/man}, {(6,2)/team}, {(1,4)/as}, {(3,4)/sum}, {(5,4)/meet}} \node[vertex] (\name) at \pos {$\name$}; % Connect vertices with edges and draw weights @@ -53,10 +53,10 @@ tea/as/, man/nets/, team/man/, team/meet/, as/set/, as/sum/, sum/meet/, sum/man/, meet/team/bend left, meet/tea/} \path (\source) edge [\pos] node {} (\dest); - % Start animating the edge selection. + % Start animating the edge selection. % For convenience we use a background layer to highlight edges % This way we don't have to worry about the highlighting covering - % weight labels. + % weight labels. \begin{pgfonlayer}{background} \foreach \source / \dest / \fr / \pos in { as/as/1/, as/sum/2/, sum/man/3/, man/nets/4/, nets/set/5/, set/team/6/, team/meet/7/, meet/tea/8/, tea/as/9/} @@ -70,7 +70,7 @@ \begin{frame}{Hamilton- und Eulerkreisproblem}{Anwendungsbeispiel} Wortmenge: $\{$as, man, meet, nets, set, sum, tea, team$\}$ - + Menge der Anfangs- und Endbuchstaben: $\{$a, m, n, s, t$\}$ \begin{figure} \begin{tikzpicture}[->,scale=1.8, auto,swap] @@ -86,10 +86,10 @@ t/a/tea/bend left, t/m/team/bend left, n/s/nets/bend right} %\path (\source) edge [\pos] node {\foo} (\dest); \Edge[label=\foo,style={\pos}](\source)(\dest); - % Start animating the edge selection. + % Start animating the edge selection. % For convenience we use a background layer to highlight edges % This way we don't have to worry about the highlighting covering - % weight labels. + % weight labels. \begin{pgfonlayer}{background} \foreach \source / \dest / \fr / \pos in {s/s/1/, s/t/2/, t/m/3/bend left, m/n/4/bend right, n/s/5/bend right, s/m/6/bend right, m/t/7/bend left, t/a/8/bend left, a/s/9/} diff --git a/presentations/ICPC-Referat/KruskalsAlgorithm.tex b/presentations/ICPC-Referat/KruskalsAlgorithm.tex index 2948f45..9468529 100644 --- a/presentations/ICPC-Referat/KruskalsAlgorithm.tex +++ b/presentations/ICPC-Referat/KruskalsAlgorithm.tex @@ -2,11 +2,11 @@ \subsection{Algorithmus von Kruskal} \begin{frame}{Algorithmus von Kruskal}{Kruskal's algorithm} $E$: Menge der ausgewählten Kanten, $S$: Menge der erreichbaren Knoten.\vspace{10pt}\pause - + So lange, bis alle Knoten erreichbar sind: - + Wähle Kante mit geringstem Gewicht - + Wenn durch ausgewählte Kante ein Knoten erreichbar ist, der davor nicht in $S$ war, füge diese Kante zu $E$ und Knoten zu $E$ hinzu. \end{frame} @@ -25,12 +25,12 @@ f/d/6,f/e/8, g/e/9,g/f/11} \path[edge] (\source) -- node[weight] {$\weight$} (\dest); - % Start animating the vertex and edge selection. + % Start animating the vertex and edge selection. \foreach \vertex / \fr in {d/1,a/1,e/2,c/2,f/3,b/4,g/10} \path<\fr-> node[selected vertex] at (\vertex) {$\vertex$}; % For convenience we use a background layer to highlight edges % This way we don't have to worry about the highlighting covering - % weight labels. + % weight labels. \begin{pgfonlayer}{background} \pause \foreach \source / \dest / \fr in {a/d/1,c/e/2,d/f/3,a/b/4,b/e/6,e/g/10} @@ -63,9 +63,9 @@ end while \begin{frame}{Algorithmus von Kruskal}{Kruskal's algorithm} Erfunden von: - + 1956: Joseph Kruskal - + \begin{figure} \includegraphics[scale=0.6]{Material/kruskal.jpg} \caption{Kruskal} diff --git a/presentations/ICPC-Referat/Literatur.tex b/presentations/ICPC-Referat/Literatur.tex index 75ebef9..bcb0289 100644 --- a/presentations/ICPC-Referat/Literatur.tex +++ b/presentations/ICPC-Referat/Literatur.tex @@ -4,5 +4,5 @@ \item Minimum Spanning Trees: Introduction to Algorithms. Second Edition. Thomas H. Cormen. S. 561 - 579. \item Hamiltonian-cycle problem: Introduction to Algorithms. Second Edition. Thomas H. Cormen. S. 1008 - 1013. \item Euler tour: Introduction to Algorithms. Second Edition. Thomas H. Cormen. S. 966. - \end{itemize} + \end{itemize} \end{frame} diff --git a/presentations/ICPC-Referat/MinimaleSpannbaume.tex b/presentations/ICPC-Referat/MinimaleSpannbaume.tex index efc0aeb..47ce37c 100644 --- a/presentations/ICPC-Referat/MinimaleSpannbaume.tex +++ b/presentations/ICPC-Referat/MinimaleSpannbaume.tex @@ -22,14 +22,14 @@ Minimale Spannbäume sind Teilgraphen, sodass ... \begin{frame}{Definition} Sei $G = (V, E) $ mit Kostenfunktion $w: E \rightarrow \mathbb{R}$ \vspace{10 mm} - + $MST = (V, T)$ ist Spannbaum von G, wenn \begin{itemize} \item $T \subseteq E$ bzw. \item $ \forall u, v \in V: \exists$ Pfad von $u$ nach $v$ \item $W(T) := \displaystyle\sum\limits_{(u, v) \in T} w(u, v)$ minimal ist. \end{itemize} - + \end{frame} \begin{frame}{Eindeutigkeit von Spannbäumen}{Ambiguity of minimal spanning trees} diff --git a/presentations/ICPC-Referat/PrimsAlgorithm.tex b/presentations/ICPC-Referat/PrimsAlgorithm.tex index 1dde2ca..b9c438b 100644 --- a/presentations/ICPC-Referat/PrimsAlgorithm.tex +++ b/presentations/ICPC-Referat/PrimsAlgorithm.tex @@ -9,7 +9,7 @@ $S$ ist Menge aller erreichten Knoten, $E$ ist Menge der ausgewählten Kanten.\pause - + Starte bei einem beliebigen Knoten: füge zu $S$ hinzu. \begin{enumerate} \item wähle Kante am \emph{Rand} von $S$ mit dem geringsten Gewicht und füge zu $E$ hinzu. \pause @@ -41,12 +41,12 @@ f/d/6,f/e/8, g/e/9,g/f/11} \path[edge] (\source) -- node[weight] {$\weight$} (\dest); - % Start animating the vertex and edge selection. + % Start animating the vertex and edge selection. \foreach \vertex / \fr in {d/1,a/2,f/3,b/4,e/5,c/6,g/7} \path<\fr-> node[selected vertex] at (\vertex) {$\vertex$}; % For convenience we use a background layer to highlight edges % This way we don't have to worry about the highlighting covering - % weight labels. + % weight labels. \begin{pgfonlayer}{background} \pause \foreach \source / \dest in {d/a,d/f,a/b,b/e,e/c,e/g} @@ -68,7 +68,7 @@ \item 1957: Robert C. Prim \item 1959 wiederentdeckt von Edsger Dijkstra \end{itemize} - + \begin{figure} \centering \mbox{\subfigure{\includegraphics[width=0.6in]{Material/jarnik_vojtech.jpg}}\quad @@ -81,5 +81,5 @@ \item Jarník algorithm \item Prim–Jarník algorithm \end{itemize} - + \end{frame} \ No newline at end of file diff --git a/presentations/ICPC-Referat/Quellen.tex b/presentations/ICPC-Referat/Quellen.tex index f372a31..298a925 100644 --- a/presentations/ICPC-Referat/Quellen.tex +++ b/presentations/ICPC-Referat/Quellen.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \begin{frame}{Quellen} Quelltext dieser Präsentation auf \href{https://github.com/MartinThoma/ICPC-Referat}{GitHub} - + \textbf{Bilder} \begin{itemize} \item Jarnik Vojtech:\url{http://inserv.math.muni.cz/biografie/obrazky/jarnik_vojtech.jpg} @@ -8,7 +8,7 @@ \item Kruskal: \url{http://www.cs.umd.edu/~kruskal/kruskal.gif} \item Tarjan: \url{http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bob_Tarjan.jpg} \end{itemize} - + \textbf{Tkiz Source} \begin{itemize} \item Prim: \url{http://www.texample.net/tikz/examples/prims-algorithm/} diff --git a/presentations/ICPC-Referat/SCC-finden.tex b/presentations/ICPC-Referat/SCC-finden.tex index bbdd64e..865ccff 100644 --- a/presentations/ICPC-Referat/SCC-finden.tex +++ b/presentations/ICPC-Referat/SCC-finden.tex @@ -15,12 +15,12 @@ nutzt Tiefensuche im Graphen \tikzstyle StackBox=[style=help lines,color=blue!50,fill=white] -\tikzstyle{abstract}=[rectangle, draw=black, - fill=orange!40, +\tikzstyle{abstract}=[rectangle, draw=black, + fill=orange!40, text centered, anchor=center, text=white, text width=0.4cm, text height=0.4cm] -\tikzstyle{textstyle}=[rectangle, draw=white, +\tikzstyle{textstyle}=[rectangle, draw=white, fill=white, anchor=base west, text=black, text width=3cm, text height=0.4cm] -\tikzstyle{textstyleMini}=[rectangle, draw=white, +\tikzstyle{textstyleMini}=[rectangle, draw=white, fill=white, anchor=center, text=black, text width=0.5cm, text height=0.4cm] \begin{frame} @@ -54,10 +54,10 @@ nutzt Tiefensuche im Graphen \Call{tarjan}{successor} \EndIf \State $node.lowlink \gets$ \Call{min}{$node.lowlink, successor.lowlink$} - \EndFor + \EndFor \boxto<1->{a}\If{$node.lowlink == node.index$} - \Repeat + \Repeat \State $successor \gets stack.pop()$ \Until{$successor == node$} \EndIf\tikzmark{a} @@ -68,7 +68,7 @@ nutzt Tiefensuche im Graphen % To insert the annotation \begin{tikzpicture}[remember picture,overlay] -\coordinate (a) at ($(a)+(8.5,3)$); % <= adjust this parameter to move the position of the annotation +\coordinate (a) at ($(a)+(8.5,3)$); % <= adjust this parameter to move the position of the annotation \node[rectangle,draw, gray,text width=3cm,align=left,right] at (a) {SCC wurde gefunden, ggf. ausgeben}; \end{tikzpicture} \end{frame} @@ -81,7 +81,7 @@ nutzt Tiefensuche im Graphen % Draw the vertices \foreach \pos/\name in {{(0,0)/a}, {(0,2)/b}, {(1,2)/c}, - {(1,0)/d}, {(2,1)/e}, {(3,1)/f}, + {(1,0)/d}, {(2,1)/e}, {(3,1)/f}, {(4,2)/g}, {(5,2)/h}, {(4,0)/i}, {(5,0)/j}} \node[vertex] (\name) at \pos {$\name$}; @@ -94,15 +94,15 @@ nutzt Tiefensuche im Graphen g/h/, h/j/, j/i/, i/g/} \path (\source) edge [\pos] node {} (\dest); - % Start animating the vertex and edge selection. + % Start animating the vertex and edge selection. \foreach \vertex / \fr / \lowlink / \index in {a/1/0/0,b/2/1/1,c/3/2/2,d/4/0/3,e/5/2/4,f/6/5/5,g/7/6/6,h/8/7/7,j/9/8/8,i/10/5/9} { \path<\fr-> node[selected vertex] at (\vertex) {$\vertex_{\lowlink, \index}$}; \path<\fr-> node[textstyleMini] at (RecDepth) {$\index$}; } - % Start animating the edge selection. + % Start animating the edge selection. % For convenience we use a background layer to highlight edges % This way we don't have to worry about the highlighting covering - % weight labels. + % weight labels. \begin{pgfonlayer}{background} \path<4->[ignored edge] (d.center) edge [] node {} (a.center); \path<5->[ignored edge] (e.center) edge [] node {} (c.center); @@ -112,7 +112,7 @@ nutzt Tiefensuche im Graphen \path<\fr->[selected edge] (\source.center) edge [\pos] node {} (\dest.center); \end{pgfonlayer} % go back in recursion - % Start animating. + % Start animating. \foreach \vertex / \fr / \lowlink / \index in {j/11/5/8,h/12/5/7,g/13/5/6,f/14/5/5} { \path<\fr-> node[selected vertex] at (\vertex) {$\vertex_{\lowlink, \index}$}; \path<\fr-> node[textstyleMini] at (RecDepth) {$\index$}; @@ -122,7 +122,7 @@ nutzt Tiefensuche im Graphen \path<15->[color=blue,fill=green!20] (4.2,1) circle (1.6cm); \end{pgfonlayer} % go back in recursion - % Start animating. + % Start animating. \foreach \vertex / \fr / \lowlink / \index in {e/16/2/4,c/17/0/3,b/18/0/1,a/19/0/0} { \path<\fr-> node[selected vertex] at (\vertex) {$\vertex_{\lowlink, \index}$}; \path<\fr-> node[textstyleMini] at (RecDepth) {$\index$}; diff --git a/presentations/ICPC-Referat/Zusammenhang.tex b/presentations/ICPC-Referat/Zusammenhang.tex index 5d86e9a..c553aed 100644 --- a/presentations/ICPC-Referat/Zusammenhang.tex +++ b/presentations/ICPC-Referat/Zusammenhang.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \subsection{Zusammenhang von Graphen: Was ist das?} \begin{frame}{Zusammenhang von Graphen}{Connectivity} \begin{block}{Streng zusammenhängender Graph} - Ein streng zusammenhängender Graph ist ein gerichteter Graph, + Ein streng zusammenhängender Graph ist ein gerichteter Graph, in dem jeder Knoten von jedem erreichbar ist. \end{block} \begin{figure} @@ -23,7 +23,7 @@ \begin{frame}{Zusammenhang von Graphen}{Connectivity} \begin{block}{Zusammenhangskomponente} - Eine Zusammenhangskomponente ist ein maximaler Subgraph S + Eine Zusammenhangskomponente ist ein maximaler Subgraph S eines gerichteten Graphen, wobei S streng zusammenhängend ist. % Muss dieser Subgraph maximal sein? \end{block} diff --git a/presentations/ICPC-Referat/Zweifachverbundener-Graph.tex b/presentations/ICPC-Referat/Zweifachverbundener-Graph.tex index c8ff927..5ccff11 100644 --- a/presentations/ICPC-Referat/Zweifachverbundener-Graph.tex +++ b/presentations/ICPC-Referat/Zweifachverbundener-Graph.tex @@ -13,7 +13,7 @@ % Draw a 7,11 network % First we draw the vertices \foreach \pos/\name in {{(0,0)/a}, {(0,2)/b}, {(1,2)/c}, - {(1,0)/d}, {(2,1)/e}, {(3,1)/f}, + {(1,0)/d}, {(2,1)/e}, {(3,1)/f}, {(4,2)/g}, {(5,2)/h}, {(4,0)/i}, {(5,0)/j}} \node[vertex] (\name) at \pos {$\name$}; diff --git a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-01/email-liste.tex b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-01/email-liste.tex index bc52d87..88123ba 100644 --- a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-01/email-liste.tex +++ b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-01/email-liste.tex @@ -1,5 +1,5 @@ \documentclass[a4paper,landscape,9pt]{scrartcl} -\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage[ngerman]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amssymb,amsmath,amsfonts} \usepackage{multicol} @@ -14,7 +14,7 @@ \usepackage{tabularx}% http://ctan.org/pkg/tabularx \usepackage{calc} -\geometry{a4paper,left=10mm,right=10mm, top=1cm, bottom=2cm} +\geometry{a4paper,left=10mm,right=10mm, top=1cm, bottom=2cm} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} @@ -26,7 +26,7 @@ \begin{document} \title{Email-Liste} \author{Martin Thoma} - + \begin{tabularx}{\linewidth}{l|cc|X|X|X|X} &\mars & \venus & Vorname Nachname & Matrikelnummer & Studiengang & E-Mail Adresse\\ \hline diff --git a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-01/tutorium-01.tex b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-01/tutorium-01.tex index 8427caa..56fd11d 100644 --- a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-01/tutorium-01.tex +++ b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-01/tutorium-01.tex @@ -19,7 +19,7 @@ \usepackage{algorithm,algpseudocode} \usepackage{minted} % needed for the inclusion of source code \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes,snakes,calc,patterns} +\usetikzlibrary{shapes,snakes,calc,patterns} \usepackage{xcolor} \usepackage{menukeys} \usepackage{braket} @@ -64,10 +64,10 @@ \subsection{Formalien} \begin{frame}{Formalien} \begin{itemize} - \item Die Folien werden online gestellt $ \Rightarrow $ + \item Die Folien werden online gestellt $ \Rightarrow $ \textbf{Mitschreiben nicht nötig} \item $\rightarrow$ \href{http://martin-thoma.com/programmieren-tutorium}{martin-thoma.com/programmieren-tutorium} - \item Fragen immer sofort stellen – und traut euch!\\ + \item Fragen immer sofort stellen – und traut euch!\\ Wenn nicht hier, wo dann? \end{itemize} \end{frame} @@ -164,7 +164,7 @@ \draw (2, 0) node[longName] (A) {Modul: Programmieren} (6, 0) node[explanation] (X) { \begin{minipage}{0.9\textwidth} - \tiny + \tiny \begin{itemize} \item 5 ECTS \end{itemize} @@ -179,7 +179,7 @@ (2,-3.5) node[algebraicName, purple] (H) {Übungsschein} (1.8,-4.35) node[explanation] (X) { \begin{minipage}{\textwidth} - \tiny + \tiny \begin{itemize} \itemsep-0.2em \item Muss bestanden werden \item Keine Note @@ -190,7 +190,7 @@ (6,-3.5) node[algebraicName, purple] (I) {Klausur} (5.8,-4.3) node[explanation] (X) { \begin{minipage}{\textwidth} - \tiny + \tiny \begin{itemize} \itemsep-0.2em \item Muss bestanden werden \item Abschlussnote ergibt Modulnote @@ -302,7 +302,7 @@ \item[$\Rightarrow$] Sicherungskopie für euch \item[$\Rightarrow$] Eine vergessene Deadline ist nicht ganz so ärgerlich \end{itemize} - \item Rechnet nicht mit der Erreichbarkeit des Praktomaten + \item Rechnet nicht mit der Erreichbarkeit des Praktomaten kurz vor der Deadline \item \textbf{Disclaimer nicht vergessen!} \end{itemize} @@ -375,16 +375,16 @@ \subsection{Begriffe} \begin{frame}{Begriffe} \begin{block}{JDK} - Das Java Development Kit (JDK) ist eines der von + Das Java Development Kit (JDK) ist eines der von Java-Entwicklern meistgenutzten Java-SDKs.\\ - $[\dots]$ Nun wird eine angepasste freie Version als ihr nunmehr + $[\dots]$ Nun wird eine angepasste freie Version als ihr nunmehr offizieller Nachfolger unter dem Namen OpenJDK weitergeführt. \end{block} \begin{block}{JRE} - Die Java-Laufzeitumgebung (englisch: Java Runtime Environment, kurz JRE) - ist die Laufzeitumgebung der Java-Technik. Mit ihr werden - Programme (Java-Anwendungen) weitgehend unabhängig vom + Die Java-Laufzeitumgebung (englisch: Java Runtime Environment, kurz JRE) + ist die Laufzeitumgebung der Java-Technik. Mit ihr werden + Programme (Java-Anwendungen) weitgehend unabhängig vom darunter liegenden Betriebssystem ausgeführt. \end{block} diff --git a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-02/tutorium-02.tex b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-02/tutorium-02.tex index a7e7c4e..11a850d 100644 --- a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-02/tutorium-02.tex +++ b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-02/tutorium-02.tex @@ -226,8 +226,8 @@ \section{Praxis} \subsection{Aufgabe 1a)} \begin{frame}{Aufgabe 1a)} - Entwerfen Sie eine Klasse Baby mit den Attributen Name, Gewicht, - Größe und Lautstärke (eventuell fallen Ihnen weitere sinnvolle + Entwerfen Sie eine Klasse Baby mit den Attributen Name, Gewicht, + Größe und Lautstärke (eventuell fallen Ihnen weitere sinnvolle Attribute ein). \end{frame} @@ -256,7 +256,7 @@ \begin{frame}{Aufgabe 1d)} Erweitern Sie die Klasse \texttt{Baby} um ein Attribut "`Geschlecht"'.\\ - Jedes Mädchen ohne Taufe ({\tiny also ohne weitere Namenszuweisung}) + Jedes Mädchen ohne Taufe ({\tiny also ohne weitere Namenszuweisung}) soll bei der Geburt ({\tiny also der Objekterstellung}) den Namen "`Anna"' bekommen, jeder Junge den Namen "`Bob"'. \end{frame} diff --git a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-03/tutorium-03.tex b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-03/tutorium-03.tex index 3667ea0..f5646db 100644 --- a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-03/tutorium-03.tex +++ b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-03/tutorium-03.tex @@ -202,9 +202,9 @@ Deklarieren und initialisieren: \begin{frame}{Antipattern: Yoda-Conditions} \includegraphics[width=60mm]{yoda-condition.png}\\ \begin{quote} - Using \myCode{if(constant == variable)} instead of - \myCode{if(variable == constant)}, like \myCode{if(4 == foo)}. - Because it's like saying ``if blue is the sky'' or ``if tall + Using \myCode{if(constant == variable)} instead of + \myCode{if(variable == constant)}, like \myCode{if(4 == foo)}. + Because it's like saying ``if blue is the sky'' or ``if tall is the man''. \end{quote} Source: \href{http://www.codinghorror.com/blog/2012/07/new-programming-jargon.html}{codinghorror.com}\\ @@ -282,7 +282,7 @@ Source: \href{http://www.codinghorror.com/blog/2012/07/new-programming-jargon.ht \end{itemize} \end{block} \only<5->{ - Ab nun: + Ab nun: \begin{itemize} \item Attribute sind (fast) immer private \item Methoden können auch private sein @@ -304,7 +304,7 @@ Source: \href{http://www.codinghorror.com/blog/2012/07/new-programming-jargon.ht \end{alertblock} \only<2->{ \begin{block}{Auch hierzu gibt es aber eine Lösung:} - Mit \textbf{getter-Methoden} kann man den Lesezugriff auf Attribute + Mit \textbf{getter-Methoden} kann man den Lesezugriff auf Attribute wieder erlauben. \end{block} } diff --git a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-04/tutorium-04.tex b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-04/tutorium-04.tex index 49c8a95..ce22ca5 100644 --- a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-04/tutorium-04.tex +++ b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-04/tutorium-04.tex @@ -128,9 +128,9 @@ \item Viel (fremden) Code ansehen hilft \item Eigenen Code nach Jahren ansehen hilft \item JEDER Kommentar ist für Java-Entwickler gedacht - \item[$\Rightarrow$] Kommentare à la "`Methode"' oder + \item[$\Rightarrow$] Kommentare à la "`Methode"' oder "`Methodensignatur"' sind nutzlos!\\ - \item Javadoc-Kommentare sind für Entwickler, die nichts von + \item Javadoc-Kommentare sind für Entwickler, die nichts von eurem Code sehen können, ihn aber dennoch nutzen wollen \end{itemize} \end{frame} @@ -154,7 +154,7 @@ \begin{frame}{Kommentare: Beispiel 2} \begin{itemize} - \item Zeile 1 \& 2 bieten einem Entwickler nicht mehr Informationen + \item Zeile 1 \& 2 bieten einem Entwickler nicht mehr Informationen $\Rightarrow$ nutzlos \item Sonst okay \item Bitte nicht \myCode{chainwheel0}, sondern \myCode{chainwheel} @@ -263,7 +263,7 @@ \subsection{Aussagekräftige Variablen!} \begin{frame}{Aussagekräftige Variablen!} In Zukunft: - -1 P. bis -5 P. für Variablennamen wie "`Kr"' für Kettenräder oder + -1 P. bis -5 P. für Variablennamen wie "`Kr"' für Kettenräder oder "`Pr"' für Preis! \end{frame} @@ -369,7 +369,7 @@ \end{frame} \begin{frame}{Javadoc: Codierung} \begin{itemize}[<+->] - \item \quem{} ist ein sicheres Zeichen, dass was bei der + \item \quem{} ist ein sicheres Zeichen, dass was bei der Zeichenkodierung schief ging. \item Bitte verwendet \textbf{immer} UTF-8! \item Eclipse: \menu{Window > Preferences > General > Workspace > Text file encoding > UTF-8} @@ -419,7 +419,7 @@ Keine Whitespaces nach Welche Klassen / Methoden brauche ich? \item \textbf{Konstrollstrukturen}: \begin{itemize} - \item \myCode{if () \{ \dots \}} + \item \myCode{if () \{ \dots \}} \item \myCode{while () \{ \dots \}} \item \myCode{for (, , ) \{\dots\}} \item \myCode{switch () \{case :\}} @@ -496,7 +496,7 @@ Keine Whitespaces nach \subsection{Wie werde ich besser?} \begin{frame}{Wie werde ich besser?} \begin{itemize} - \item \href{http://projecteuler.net/}{ProjectEuler.net}: + \item \href{http://projecteuler.net/}{ProjectEuler.net}: 401 Aufgaben jeder Schwierigkeitsstufe \item Anderen Code anschauen \item Probleme am PC lösen diff --git a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-05/tutorium-05.tex b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-05/tutorium-05.tex index ce5fdf8..070a517 100644 --- a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-05/tutorium-05.tex +++ b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-05/tutorium-05.tex @@ -72,7 +72,7 @@ \begin{block}{Ausgabe} myArray1: geh du alter sack\\ - myArray2: geh du alter sack + myArray2: geh du alter sack \end{block} \end{frame} @@ -106,7 +106,7 @@ \begin{alertblock}{Lehre aus dem Quiz} Beim kopieren von Objekten (alles außer \myCode{boolean}, \myCode{byte}, \myCode{int}, \myCode{long}, \myCode{float}, \myCode{double} - - oder einfacher, alles was mit einem Großbuchstaben beginnt) + oder einfacher, alles was mit einem Großbuchstaben beginnt) ist Vorsicht geboten. \end{alertblock} \end{frame} @@ -120,7 +120,7 @@ \subsection{Magic Numbers} \begin{frame}{Magic Numbers} \begin{alertblock}{Definition: Magic numbers} - Unique values with unexplained meaning or multiple occurrences + Unique values with unexplained meaning or multiple occurrences which could (preferably) be replaced with named constants. \end{alertblock} @@ -158,7 +158,7 @@ \subsection{Flughafenkürzel} \begin{frame}{Flughafenkürzel: Aufgabe} - Wir haben ein Array mit IATA-Codes (Flughafenkürzel) gegeben und + Wir haben ein Array mit IATA-Codes (Flughafenkürzel) gegeben und möchten den Inhalt auf der Konsole ausgeben. \end{frame} @@ -179,7 +179,7 @@ \end{frame} \begin{frame}{Flughafenkürzel: Umgekehrte Reihenfolge} - Modifiziere das Programm so, dass die Kürzel in umgekehrter + Modifiziere das Programm so, dass die Kürzel in umgekehrter Reihenfolge ausgegeben werden. \begin{block}{Lösung von vorhin} \inputminted[linenos=true, numbersep=5pt, tabsize=4, fontsize=\tiny]{java}{IataCode.java} @@ -191,7 +191,7 @@ \end{frame} \begin{frame}{Flughafenkürzel: Jumping} - Modifiziere das Programm so, dass nur jedes dritte Element + Modifiziere das Programm so, dass nur jedes dritte Element ausgegeben wird. \begin{block}{Lösung von vorhin} \inputminted[linenos=true, numbersep=5pt, tabsize=4, fontsize=\tiny]{java}{IataCode.java} @@ -237,9 +237,9 @@ \begin{frame}{Praktomat} \begin{itemize} \item Fragen frühzeitig stellen! - \item Wenn ihr Pakete verwendet, am Anfang eurer Dateien + \item Wenn ihr Pakete verwendet, am Anfang eurer Dateien also \myCode{package AB\_2;} oder ähnliches steht, - müsst ihr die korrekte Ordnerstruktur in den Praktomat + müsst ihr die korrekte Ordnerstruktur in den Praktomat hochladen \item In Eclipse im Fenster "`Navigation"' den Ordner "`src"' auswählen diff --git a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-06/tutorium-06.tex b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-06/tutorium-06.tex index 990c5ae..f7db928 100644 --- a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-06/tutorium-06.tex +++ b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-06/tutorium-06.tex @@ -86,7 +86,7 @@ \subsection{Nachbesprechung ÜB 2} \begin{frame}{Allgmeines} \begin{block}{Musterlösung} - Inoffizielle Musterlösung von Simon und mir ist unter + Inoffizielle Musterlösung von Simon und mir ist unter \href{http://goo.gl/BfA6i}{http://goo.gl/BfA6i} erhältlich.\\ Bitte dort anschauen. \end{block} @@ -114,19 +114,19 @@ \begin{frame}{Allgemeines} \begin{block}{Genau lesen} \begin{itemize}[<+->] - \item \textbf{A.1.1 Konstruktor von Bike}: "`Modifizieren Sie - den Konstruktor der Klasse Bike, indem Sie aus der - Signatur das Argument, nach dem bisher der Preis + \item \textbf{A.1.1 Konstruktor von Bike}: "`Modifizieren Sie + den Konstruktor der Klasse Bike, indem Sie aus der + Signatur das Argument, nach dem bisher der Preis gesetzt wird, entfernen."' - \item \textbf{A.1.2 Setter für Gears} "`Schreiben Sie den - Konstruktor so um, dass er die Methode setSprockets - benutzt, um einen konsistenten Anfangszustand zu + \item \textbf{A.1.2 Setter für Gears} "`Schreiben Sie den + Konstruktor so um, dass er die Methode setSprockets + benutzt, um einen konsistenten Anfangszustand zu garantieren."' - \item \textbf{A.2.1 Tribonacci-Folge}: "`Geben Sie \textbf{nur} die - siebenunddreißigste Tribonacci-Zahl auf der Konsole + \item \textbf{A.2.1 Tribonacci-Folge}: "`Geben Sie \textbf{nur} die + siebenunddreißigste Tribonacci-Zahl auf der Konsole aus."' \item[$\Rightarrow$] Es werden automatische Tests durchgeführt. - Stimmt die Ausgabe nicht exakt - also jedes einzelne + Stimmt die Ausgabe nicht exakt - also jedes einzelne (Leer)zeichen -, schlägt der Test fehl. \end{itemize} \end{block} @@ -162,7 +162,7 @@ Nicht jede Zahl kann als Gleitkomma-Zahl dargestellt werden: \includegraphics[height=50mm]{Gleitkommazahlen.png}\\ \tiny{Quelle: \href{http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Gleitkommazahlen.svg}{de.wikipedia.org/wiki/Datei:Gleitkommazahlen.svg}}\\ - + \end{frame} @@ -185,10 +185,10 @@ \begin{itemize}[<+->] \item Es gibt für jede Teilaufgabe ein Punktekontingent \item Bearbeitet ihr eine Teilaufgabe nicht, ziehe ich alle Punkte ab - \item Bearbeitet ihr einen Teil einer Teilaufgabe nicht, ziehe - ich mindestens so viele Punkte ab, wie derjenige mit dem + \item Bearbeitet ihr einen Teil einer Teilaufgabe nicht, ziehe + ich mindestens so viele Punkte ab, wie derjenige mit dem höchstem Abzug abgezogen bekommen hat - \item Wenn der Code nicht das tut, was gefordert wird, kann ich + \item Wenn der Code nicht das tut, was gefordert wird, kann ich auch alles abziehen \item[$\Rightarrow$] Nein, es bringt keinen Vorteil \end{itemize} @@ -219,7 +219,7 @@ \begin{itemize} \item Pakete werden klein geschrieben \item Pakete können "`Unterpakete"' haben. Dies wird durch - einen Punkt angedeutet: + einen Punkt angedeutet: \begin{itemize} \item \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/overview-summary.html}{Offizielle Pakete}: \item \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/io/package-summary.html}{java.io} @@ -237,7 +237,7 @@ \myCode{public} & \cmark & \cmark & \cmark & \cmark \\ \myCode{protected} & \cmark & \cmark & \cmark & \xmark \\ no modifier & \cmark & \cmark & \xmark & \xmark \\ - \myCode{private} & \cmark & \xmark & \xmark & \xmark + \myCode{private} & \cmark & \xmark & \xmark & \xmark \end{tabular} \small{Weitere Informationen: \href{http://docs.oracle.com/javase/tutorial/java/javaOO/accesscontrol.html}{Controlling Access to Members of a Class}} @@ -245,7 +245,7 @@ \begin{block}{Tipp} \myCode{private} macht fast immer Sinn. Wenn ihr nicht wisst, ob ihr \myCode{private} oder \myCode{protected} nehmen sollt, - nehmt protected. Kein modifier macht selten Sinn. Das sieht + nehmt protected. Kein modifier macht selten Sinn. Das sieht so aus, als ob ihr es dem Zufall überlasst. \end{block} \end{frame} @@ -255,14 +255,14 @@ Foreach \dots \begin{itemize}[<+->] \item wird in Java-Kreisen manchmal auch "`Enhanced for loop"' genannt - \item geht alle Elemente einer - \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/Collection.html}{Collection} + \item geht alle Elemente einer + \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/Collection.html}{Collection} durch zu gehen (genauer: \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/lang/Iterable.html}{Iterable}) \item sollte verwendet werden, wenn man es verwenden kann \item ist auch in der \href{http://docs.oracle.com/javase/1.5.0/docs/guide/language/foreach.html}{Dokumentation} (Nur in 1.5?) und im \href{http://docs.oracle.com/javase/tutorial/java/nutsandbolts/for.html}{Tutorial} \item ist in der \href{http://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se7/html/jls-14.html\#jls-14.14.2}{JLS SE7} spezifiziert - \item ist Teil des \href{http://docs.oracle.com/javase/tutorial/extra/certification/javase-7-programmer1.html}{Programmer Level I Exams} + \item ist Teil des \href{http://docs.oracle.com/javase/tutorial/extra/certification/javase-7-programmer1.html}{Programmer Level I Exams} für das "`Programmer Language Certification"' \end{itemize} \end{frame} @@ -302,7 +302,7 @@ \end{itemize} \begin{alertblock}{Achtung!} Der Algorithmus muss modifiziert werden. Durch die Modifikationen entspricht - der Algorithmus nicht mehr den Varianten, die sich im Internet finden lassen. + der Algorithmus nicht mehr den Varianten, die sich im Internet finden lassen. Ohne diese Modifikationen kann ich euch keine Punkte geben! \end{alertblock} \end{itemize} diff --git a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-07/tutorium-07.tex b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-07/tutorium-07.tex index 2ab9749..7a5c500 100644 --- a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-07/tutorium-07.tex +++ b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-07/tutorium-07.tex @@ -45,7 +45,7 @@ \end{itemize} \pause[\thebeamerpauses] \begin{alertblock}{Achtung} - Trotzdem mit \myCode{abc.equals(def);} vergleichen! Nur so + Trotzdem mit \myCode{abc.equals(def);} vergleichen! Nur so ist garantiert, dass ihr auf Gleichheit (und nicht nur auf "`Selbstheit"' vergleicht). \end{alertblock} @@ -58,8 +58,8 @@ \item Problem: Es tritt ein falsches Ergebnis auf, es ist aber nicht klar warum. \item Lösung: Man macht Zusicherungen (engl. assertions) - \item Man überlegt sich also, welche Variablen an - krischen Stellen welche Werte oder Beziehungen + \item Man überlegt sich also, welche Variablen an + krischen Stellen welche Werte oder Beziehungen zueinander haben sollen \end{itemize} \pause[\thebeamerpauses] @@ -101,7 +101,7 @@ \begin{itemize}[<+->] \item Ihr wollt euch Druckaufträge speichern \item Funktioniert mit Array - \item Problem: + \item Problem: \begin{itemize} \item Ihr belegt immer konstant viel Speicher \item Eventuell braucht ihr mehr, eventuell weniger Speicher diff --git a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-08/tutorium-08.tex b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-08/tutorium-08.tex index e470ade..5e6664d 100644 --- a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-08/tutorium-08.tex +++ b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-08/tutorium-08.tex @@ -57,7 +57,7 @@ \begin{frame}{Erklärung} \begin{itemize} - \item Zeile 2 und 3: \myCode{sound} im Konstruktor von \myCode{Cat} ist eine + \item Zeile 2 und 3: \myCode{sound} im Konstruktor von \myCode{Cat} ist eine lokale Variable, kein Attribut \item In Java werden nur Methoden vererbt \begin{itemize} @@ -127,7 +127,7 @@ \begin{frame}{Beispiel} Wo kann Vererbung nützlich sein? \begin{itemize}[<+->] - \item Oberklasse Liste, Unterklassen SinglyLinkedList und + \item Oberklasse Liste, Unterklassen SinglyLinkedList und DoubleLinkedList \begin{itemize} \item \myCode{contains()} ist gleich @@ -135,7 +135,7 @@ \item \myCode{remove()} ist unterschiedlich \end{itemize} \item Oberklasse Animal, Unterklassen Säugetier, Tiger, Schlange, Bär, \dots - \item Brettspiele: + \item Brettspiele: \begin{itemize} \item Klasse Spielbrett; Unterklassen: Schachbrett, Dame-Brett, Mensch-ärgere-dich-nicht \item Klasse Spielfigur; Unterklassen: Bauer, Dame, Springer, Turm @@ -160,11 +160,11 @@ \begin{frame}{Allgemeines} \begin{block}{\href{http://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se7/html/jls-8.html\#jls-8.4.8}{JLS 8.4.8}} - A class C inherits from its direct superclass and direct - superinterfaces all abstract and non-abstract methods of the - superclass and superinterfaces that are public, protected, or - declared with default access in the same package as C, and are - neither overridden (§8.4.8.1) nor hidden (§8.4.8.2) by a + A class C inherits from its direct superclass and direct + superinterfaces all abstract and non-abstract methods of the + superclass and superinterfaces that are public, protected, or + declared with default access in the same package as C, and are + neither overridden (§8.4.8.1) nor hidden (§8.4.8.2) by a declaration in the class. \end{block} \end{frame} @@ -241,17 +241,17 @@ \end{frame} \begin{frame}{Allgemeines} \begin{itemize}[<+->] - \item \myCode{\href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/lang/String.html\#charAt(int)}{char charAt(int index)}}: + \item \myCode{\href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/lang/String.html\#charAt(int)}{char charAt(int index)}}: Returns the char value at the specified index. \item \myCode{\href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/lang/String.html\#matches(java.lang.String)}{public boolean matches(String regex)}} Tells whether or not this string matches the given regular expression. \item \myCode{\href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/lang/String.html\#substring(int, int)}{String substring(int beginIndex, - int endIndex)}} Returns a new string that is a substring of this string. + int endIndex)}} Returns a new string that is a substring of this string. \end{itemize} \pause[\thebeamerpauses] \begin{block}{Eclipse-Tipp} Wenn Eclipse euch im Projektordner einen Fehler anzeigt, aber - keine Datei fehlerhaft ist, solltet ihr mal einen + keine Datei fehlerhaft ist, solltet ihr mal einen Blick in \menu{Window > Show View > Problem} werfen. \end{block} \end{frame} diff --git a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-09/tutorium-09.tex b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-09/tutorium-09.tex index d7f897c..2b9ccea 100644 --- a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-09/tutorium-09.tex +++ b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-09/tutorium-09.tex @@ -65,7 +65,7 @@ \item Eine Unterklasse kann alles, was die Oberklasse kann \item[$\rightarrow$] sie hat die gleichen Methoden, wenn auch eventuell überschrieben \item Eventuell ist uns die konkrete Klasse egal - \item oder wir benötigen einen Kontainter für viele verschiedene + \item oder wir benötigen einen Kontainter für viele verschiedene Objekte mit einer gemeinsamen Oberklasse \end{itemize} @@ -101,7 +101,7 @@ \begin{itemize} \item Problem: Man schreibt genau eine verkettete Listen-Klasse für genau eine Klasse (z.B. "`Bike"'), obwohl - die Logik (hinzufügen, entfernen, suchen) von der + die Logik (hinzufügen, entfernen, suchen) von der Klasse unabhängig ist \item Lösung: Generics \end{itemize} @@ -119,14 +119,14 @@ \subsection{Praxis} \begin{frame}{Praxis} \begin{block}{Arbeitsauftrag} - Programmiert die Einfach-verkettete Liste um, sodass sie + Programmiert die Einfach-verkettete Liste um, sodass sie nirgends mehr "`Bike"' sondern nur noch Generics verwendet. \end{block}{Arbeitsauftrag} \begin{exampleblock}{Hinweis} \begin{itemize} \item URL für die Bike-Version: \href{http://goo.gl/RoiBC}{http://goo.gl/RoiBC} - \item Wer nur Zettel und Papier hat, implementiert die "`Node.java"' + \item Wer nur Zettel und Papier hat, implementiert die "`Node.java"' komplett neu und "`SinglyLinkedList.java"' mindestens mit "`add()"' \end{itemize} \end{exampleblock} @@ -173,7 +173,7 @@ Welche Bedeutung für die Laufzeit haben Generics? \end{block} - + \begin{overprint} \onslide<1> \begin{itemize} @@ -182,7 +182,7 @@ Gründe warum der kompilierte Code mit Generics \textbf{schneller} läuft als ohne \item Generics haben \textbf{keinen Einfluss} auf die Laufzeit - \item Die erhöhte Flexibilität und Typsicherheit bedeutet, + \item Die erhöhte Flexibilität und Typsicherheit bedeutet, dass der Compiler für jeden konkreten Typen Code aus dem generischen Code erstellen mus. Das bedeutet, die Programme sind \textbf{etwas langsamer} @@ -218,9 +218,9 @@ \begin{itemize} \item Zeile 2 ist ok \item Zeile 3 verursacht einen Laufzeitfehler - \item Der Rückgabewert der Methode \myCode{getElement} - in \myCode{Basket} ist \myCode{Fruit}. - Man kann eine \myCode{Fruit}-Variable + \item Der Rückgabewert der Methode \myCode{getElement} + in \myCode{Basket} ist \myCode{Fruit}. + Man kann eine \myCode{Fruit}-Variable keiner \myCode{Apple}-Variable ohne cast zuweisen. \end{itemize} \end{overprint} diff --git a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-10/tutorium-10.tex b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-10/tutorium-10.tex index 1a3355f..44bf3c5 100644 --- a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-10/tutorium-10.tex +++ b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-10/tutorium-10.tex @@ -97,10 +97,10 @@ \item \myCode{List myList} kann als Elemente \myCode{Fruit} und \myCode{Apple} haben, nicht jedoch \myCode{Object} - \item Hinweis: "`extends"' ist hier nicht exakt das gleiche + \item Hinweis: "`extends"' ist hier nicht exakt das gleiche wie bei der Vererbung. Es kann entweder wirklich "`extends"' oder "`implements"' bedeuten - \item Sowohl in \myCode{List} als auch in + \item Sowohl in \myCode{List} als auch in \myCode{List} können \myCode{Fruit} und \myCode{Apple} beinhalten \end{itemize} @@ -150,7 +150,7 @@ \subsection{Quellen und Ressourcen} \begin{frame}{Quellen und Ressourcen} \begin{itemize} - \item \href{http://docs.oracle.com/javase/tutorial/java/generics/wildcards.html}{JavaDoc Tutorial - Wildcards} + \item \href{http://docs.oracle.com/javase/tutorial/java/generics/wildcards.html}{JavaDoc Tutorial - Wildcards} \item \href{http://docs.oracle.com/javase/tutorial/extra/generics/wildcards.html}{JavaDoc Tutorial - Wildcards} (extra) \item \href{http://stackoverflow.com/q/3009745/562769}{What does the question mark in Java generics' type parameter mean?} \item \href{http://stackoverflow.com/q/12340808/562769}{What's the difference between List and List} @@ -164,7 +164,7 @@ \subsection{Allgemein} \begin{frame}{Allgemein} \begin{itemize}[<+->] - \item Man will ein beliebiges Objekt mit dem momentanen + \item Man will ein beliebiges Objekt mit dem momentanen Objekt auf Gleichheit vergleichen \item Dazu nutzt man \myCode{myObject.equals(otherObject);} \item \myCode{myObject} muss dann die \myCode{equals(Object obj)} implementieren @@ -196,7 +196,7 @@ \begin{itemize}[<+->] \item \dots sind Objekte vom Typ Throwable \item \dots unterbrechen den normalen Ablauf eines Programms - \item Mit dem Schlüsselwort \myCode{throw} werden Exceptions + \item Mit dem Schlüsselwort \myCode{throw} werden Exceptions geworfen und mit \myCode{catch} kann man sie abfangen. \end{itemize} @@ -254,7 +254,7 @@ Gründe: \begin{itemize} - \item Beim lesen eures Codes wird klarer, wo das Problem + \item Beim lesen eures Codes wird klarer, wo das Problem auftreten kann \item Effizienz \end{itemize} @@ -297,7 +297,7 @@ \begin{frame}{Aufgaben} \begin{block}{Klasse "`Disc"'} - Schreiben Sie zunächst eine Klasse Disc, die eine gelochte + Schreiben Sie zunächst eine Klasse Disc, die eine gelochte Scheibe repräsentiert und als Attribut einen Durchmesser hat. \end{block} @@ -313,22 +313,22 @@ \begin{frame}{Aufgaben} \begin{block}{Methode push} - Die Methode push(Disc d) legt die Scheibe d auf den Stab, + Die Methode push(Disc d) legt die Scheibe d auf den Stab, falls dieser noch nicht voll ist und - der Durchmesser der Scheibe d kleiner ist als der Durchmesser + der Durchmesser der Scheibe d kleiner ist als der Durchmesser der obersten Scheibe des Stabes. Wird - die Scheibe erfolgreich auf den Stab gelegt, so ist der + die Scheibe erfolgreich auf den Stab gelegt, so ist der Rückgabewert der Methode true, andernfalls false. \end{block} \begin{block}{Methode pop} - Die Methode pop() entfernt die oberste Scheibe des Stabes und + Die Methode pop() entfernt die oberste Scheibe des Stabes und liefert diese als Rückgabewert. Falls der Stab leer ist, soll der Rückgabewert null sein. \end{block} - Schreiben Sie, falls nötig, weitere Schnittstellen + Schreiben Sie, falls nötig, weitere Schnittstellen (z.B. eine Methode size()) und toString()-Methoden. \end{frame} diff --git a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-11/tutorium-11.tex b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-11/tutorium-11.tex index 6899916..2314537 100644 --- a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-11/tutorium-11.tex +++ b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-11/tutorium-11.tex @@ -33,10 +33,10 @@ \begin{block}{Compiler-Fehler} {\small Exception in thread "main" java.lang.Error: Unresolved compilation problem:\\ - Bound mismatch: The generic method \myCode{sort(List)} of - type Collections is not applicable for the arguments + Bound mismatch: The generic method \myCode{sort(List)} of + type Collections is not applicable for the arguments (\myCode{List>$}).\\ - The inferred type \myCode{List} is not a valid substitute for + The inferred type \myCode{List} is not a valid substitute for the bounded parameter \myCode{>$}\\ at Main.main(Main.java:18)} \end{block} @@ -49,10 +49,10 @@ \begin{block}{Answer} I wouldn't implement clone(). - But it makes sense to implement \myCode{equals()}, - \myCode{hashCode()}, and - \myCode{toString()} to provide the default behavior for all subclasses. - Children can choose to use it if they add no new class + But it makes sense to implement \myCode{equals()}, + \myCode{hashCode()}, and + \myCode{toString()} to provide the default behavior for all subclasses. + Children can choose to use it if they add no new class members or supplement as needed. \end{block} \end{frame} @@ -136,7 +136,7 @@ \item[$\rightarrow$] Bei \myCode{double} und \myCode{float} den Epsilon-Vergleich machen! \item Sonst vergleicht man Strings \item[$\rightarrow$] \myCode{myString.compareTo(myOtherString)} - \item Die JavaDoc von \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/lang/Comparable.html\#compareTo\%28T\%29}{compareTo(other)} + \item Die JavaDoc von \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/lang/Comparable.html\#compareTo\%28T\%29}{compareTo(other)} sind weniger mathematisch formuliert \end{itemize} \end{frame} @@ -157,7 +157,7 @@ \item Countingsort \end{itemize} - Implementierungen und Vergleiche dieser und weiterer Algorithmen sind + Implementierungen und Vergleiche dieser und weiterer Algorithmen sind \href{http://martin-thoma.com/ubersicht-uber-sortieralgorithmen/}{hier} zu finden. @@ -194,7 +194,7 @@ \begin{itemize}[<+->] \item maximal: $3^{7 \cdot 6} = 3^{42} = 109418989131512359209 \approx 109 \cdot 10^{18}$ \item minimal: schwer zu sagen - \item Idee: Brute-Force + \item Idee: Brute-Force \begin{itemize} \item Alle möglichen Spielentscheidungen durchgehen \item Kommt man auf eine bereits bekannte Situation, ist es keine neue @@ -248,11 +248,11 @@ \end{block} \begin{block}{Antwort} - Eine Hash-Funktion $h$ bildet von einem sehr großem + Eine Hash-Funktion $h$ bildet von einem sehr großem Definitionsbereich auf einen deutlich kleineren Wertebereich ab. \end{block} - + \pause \begin{itemize}[<+->] @@ -271,12 +271,12 @@ \pause \begin{block}{Bedingung 1} - Whenever it is invoked on the same object more than once - during an execution of a Java application, the hashCode - method \textbf{must consistently return the same integer}, - provided no information used in equals comparisons on the - object is modified. This integer need not remain consistent - from one execution of an application to another execution of + Whenever it is invoked on the same object more than once + during an execution of a Java application, the hashCode + method \textbf{must consistently return the same integer}, + provided no information used in equals comparisons on the + object is modified. This integer need not remain consistent + from one execution of an application to another execution of the same application. \end{block} {\tiny source: \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/lang/Object.html\#hashCode()}{JavaDoc}} @@ -284,8 +284,8 @@ \begin{frame}{hashCode() in Java} \begin{block}{Bedingung 2} - If two objects are equal according to the equals(Object) - method, then calling the hashCode method on each of the two + If two objects are equal according to the equals(Object) + method, then calling the hashCode method on each of the two objects \textbf{must} produce the same integer result. \end{block} {\tiny source: \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/lang/Object.html\#hashCode()}{JavaDoc}} @@ -304,12 +304,12 @@ \begin{frame}{hashCode() in Java} \begin{block}{Klarstellung 2} - It is \textbf{not required} that if two objects are unequal according - to the equals(java.lang.Object) method, then calling the - hashCode method on each of the two objects must produce + It is \textbf{not required} that if two objects are unequal according + to the equals(java.lang.Object) method, then calling the + hashCode method on each of the two objects must produce distinct integer results.\\ - However, the programmer should be - aware that producing distinct integer results for unequal + However, the programmer should be + aware that producing distinct integer results for unequal objects may improve the performance of hash tables. \end{block} {\tiny source: \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/lang/Object.html\#hashCode()}{JavaDoc}} @@ -350,7 +350,7 @@ Unterklassen bilden. \end{block} - Abstrakte Klassen + Abstrakte Klassen \begin{itemize}[<+->] \item \dots müssen keine abstrakten Methoden beinhalten\\ {\tiny Quelle: \href{http://stackoverflow.com/q/4811678/562769}{Defining an abstract class without any abstract methods}} diff --git a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-12/tutorium-12.tex b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-12/tutorium-12.tex index f4d504a..aa446b1 100644 --- a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-12/tutorium-12.tex +++ b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-12/tutorium-12.tex @@ -48,7 +48,7 @@ \section{Überladung} \subsection{Musterlösung} \begin{frame}{Musterlösung} - Eine Musterlösung zu Blatt 5 ist + Eine Musterlösung zu Blatt 5 ist \href{https://github.com/MartinThoma/prog-ws1213/tree/master/Blatt-05/tutor-solution/Blatt5/src/mediabib}{hier}. \end{frame} @@ -90,10 +90,10 @@ \item \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/lang/Math.html\#signum(double)}{Math.signum(double)}, \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/lang/Math.html\#signum(float)}{Math.signum(float)} \item PrintStream: - \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/io/PrintStream.html\#println()}{println();}, + \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/io/PrintStream.html\#println()}{println();}, \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/io/PrintStream.html\#println(boolean)}{println(boolean);}, \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/io/PrintStream.html\#println(char)}{println(char);} \dots - \item Interface List: + \item Interface List: \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/List.html\#toArray()}{Object[] toArray();}, \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/List.html\#toArray(T[])}{ T[] toArray(T[] a)} \end{itemize} @@ -121,7 +121,7 @@ \begin{itemize} \item \href{http://en.wikipedia.org/wiki/Loose_coupling}{Loose coupling} (Lose Kopplung) \item Loose binding - nicht weit verbreitet, vermutlich falscher Begriff - \item \href{http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_dispatch}{Dynamic dispatch}: + \item \href{http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_dispatch}{Dynamic dispatch}: Laut Wikipedia das gleiche wie "`dynamic binding"'. \end{itemize} \end{frame} @@ -199,7 +199,7 @@ Die Annotation \myCode{@Override} \dots \begin{itemize}[<+->] \item Sollte verwendet werden, damit der Compiler euch warnen - kann, wenn ihr nichts überschreibt + kann, wenn ihr nichts überschreibt \item[$\Rightarrow$] Tippfehler werden unwahrscheinlicher \item Anderen ist klar, dass euch klar war, dass ihr etwas überschreibt @@ -284,9 +284,9 @@ \subsection{Allgemeines} \begin{frame}{Allgemeines} \begin{itemize}[<+->] - \item \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/Dictionary.html}{Dictionary} - is obsolete. New implementations should implement the - \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/Map.html}{Map} + \item \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/Dictionary.html}{Dictionary} + is obsolete. New implementations should implement the + \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/Map.html}{Map} interface, rather than extending Dictionary. \item Telefonbuch-Anwendungsfälle \begin{itemize} @@ -295,12 +295,12 @@ \item Schlüssel ist eindeutig, Wert darfs mehrfach geben (sowohl identisch als auch gleich sind ok) \end{itemize} \item Interface Map links vom \myCode{=} - \item \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/HashMap.html}{HashMap}: + \item \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/HashMap.html}{HashMap}: \begin{itemize} \item makes no guarantees as to the order of the map \item $\mathcal{O}(1)$ für \myCode{get} und \myCode{put} \end{itemize} - \item \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/TreeMap.html}{TreeMap}: + \item \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/TreeMap.html}{TreeMap}: \begin{itemize} \item sorted according to the natural ordering of its keys \item $\mathcal{O}(\log n)$ für \myCode{containsKey}, \myCode{get}, \myCode{put} und \myCode{remove} @@ -344,7 +344,7 @@ http://stackoverflow.com/questions/2889777/difference-between-hashmap-linkedhash ActionLister sind \dots \begin{itemize}[<+->] \item ein weit verbreitetes Konzept - \item Objekte, die auf bestimmte Aktionen warten und + \item Objekte, die auf bestimmte Aktionen warten und \begin{itemize} \item dann was machen \item die Aktion "`delegieren"' diff --git a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-13/tutorium-13.tex b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-13/tutorium-13.tex index 66ecb26..191b03d 100644 --- a/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-13/tutorium-13.tex +++ b/presentations/Programmieren-Tutorium/Tutorium-13/tutorium-13.tex @@ -70,10 +70,10 @@ \begin{frame}{Quiz} Wie löst man das Problem:? - + Mit \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/concurrent/atomic/AtomicLong.html}{AtomicLong} - aus + aus \href{http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/concurrent/package-summary.html}{java.util.concurrent} \end{frame} diff --git a/presentations/Proseminar-Netzwerkanalyse/Hauptpresentation/LaTeX/DYCOS.tex b/presentations/Proseminar-Netzwerkanalyse/Hauptpresentation/LaTeX/DYCOS.tex index 10d83e0..cee607a 100644 --- a/presentations/Proseminar-Netzwerkanalyse/Hauptpresentation/LaTeX/DYCOS.tex +++ b/presentations/Proseminar-Netzwerkanalyse/Hauptpresentation/LaTeX/DYCOS.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \begin{frame}{} \begin{center} \Huge - \textbf{DY}namic \textbf{C}lassification algorithm with + \textbf{DY}namic \textbf{C}lassification algorithm with c\textbf{O}ntent and \textbf{S}tructure \end{center} \end{frame} @@ -25,7 +25,7 @@ % \begin{algorithmic} % \Function{DYCOS}{Network $G_t = (N_t, A_t, T_t), l, h, p_s$} % \ForAll{node $v$ in $T_t$} \Comment{Für jeden gelabelten Knoten} -% \For{$i \in 1, \dots, l$} +% \For{$i \in 1, \dots, l$} % \State Perform an $h$-hop random walk from $v$ % \EndFor % \State Classify $v$ with the class labels most frequent diff --git a/presentations/Proseminar-Netzwerkanalyse/Hauptpresentation/LaTeX/Ueberblick.tex b/presentations/Proseminar-Netzwerkanalyse/Hauptpresentation/LaTeX/Ueberblick.tex index e60704a..99fe9a4 100644 --- a/presentations/Proseminar-Netzwerkanalyse/Hauptpresentation/LaTeX/Ueberblick.tex +++ b/presentations/Proseminar-Netzwerkanalyse/Hauptpresentation/LaTeX/Ueberblick.tex @@ -29,7 +29,7 @@ \begin{tikzpicture}[->,scale=1.8, auto,swap] % Draw the vertices. First you define a list. \foreach \pos/\name/\ltext in {{(0,0)/a/}, {(0,2)/b/b}, {(1,2)/c/}, - {(1,0)/d/}, {(2,1)/e/e}, {(3,1)/f/b}, + {(1,0)/d/}, {(2,1)/e/e}, {(3,1)/f/b}, {(4,2)/g/a}, {(5,2)/h/a}, {(4,0)/i/a}, {(5,0)/j/}} \node[draw,circle,fill=white] (\name) at \pos {$\ltext$}; @@ -55,13 +55,13 @@ } \node<\fr->[fill=white] (Tlabel) at (2,0) {$\number$}; - % Start animating the edge selection. - % For convenience we use a background layer to - % highlight edges. This way we don't have to worry about - % the highlighting covering weight labels. + % Start animating the edge selection. + % For convenience we use a background layer to + % highlight edges. This way we don't have to worry about + % the highlighting covering weight labels. \begin{pgfonlayer}{background} \foreach \source / \dest / \fr / \colorf /\pos in {e/f/2/red/,f/g/3/red/,g/h/4/red/, e/f/5/blue/, f/i/6/blue/, i/g/7/blue/,e/c/8/green/,c/d/9/green/, d/a/10/green/,e/c/11/yellow/,c/e/12/yellow/bend left,e/f/13/yellow/} - \path<\fr->[selected edge, \colorf!20] (\source.center) edge + \path<\fr->[selected edge, \colorf!20] (\source.center) edge [\pos] node {} (\dest.center); \end{pgfonlayer} \end{tikzpicture} diff --git a/presentations/Proseminar-Netzwerkanalyse/Kurzpraesentation/LaTeX/DYCOS.tex b/presentations/Proseminar-Netzwerkanalyse/Kurzpraesentation/LaTeX/DYCOS.tex index 10d83e0..cee607a 100644 --- a/presentations/Proseminar-Netzwerkanalyse/Kurzpraesentation/LaTeX/DYCOS.tex +++ b/presentations/Proseminar-Netzwerkanalyse/Kurzpraesentation/LaTeX/DYCOS.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \begin{frame}{} \begin{center} \Huge - \textbf{DY}namic \textbf{C}lassification algorithm with + \textbf{DY}namic \textbf{C}lassification algorithm with c\textbf{O}ntent and \textbf{S}tructure \end{center} \end{frame} @@ -25,7 +25,7 @@ % \begin{algorithmic} % \Function{DYCOS}{Network $G_t = (N_t, A_t, T_t), l, h, p_s$} % \ForAll{node $v$ in $T_t$} \Comment{Für jeden gelabelten Knoten} -% \For{$i \in 1, \dots, l$} +% \For{$i \in 1, \dots, l$} % \State Perform an $h$-hop random walk from $v$ % \EndFor % \State Classify $v$ with the class labels most frequent diff --git a/presentations/Proseminar-Netzwerkanalyse/README.md b/presentations/Proseminar-Netzwerkanalyse/README.md index c7e9fcb..9b64409 100644 --- a/presentations/Proseminar-Netzwerkanalyse/README.md +++ b/presentations/Proseminar-Netzwerkanalyse/README.md @@ -4,7 +4,7 @@ Zur [Ausarbeitung](https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/doc KIT-Style --------- -This one doesn't compile, as you need the KIT-Style (logos, layout, +This one doesn't compile, as you need the KIT-Style (logos, layout, color theme) Please take a look at the presentation "Tutorenschulung" for further diff --git a/presentations/Tutorenschlung/presentation/Abschluss.tex b/presentations/Tutorenschlung/presentation/Abschluss.tex index 9aca457..8b2fdde 100644 --- a/presentations/Tutorenschlung/presentation/Abschluss.tex +++ b/presentations/Tutorenschlung/presentation/Abschluss.tex @@ -14,7 +14,7 @@ \begin{frame}{And now, the end is near...} \pause -\begin{center}{ +\begin{center}{ zusammenfassen\\ \ \\\pause diff --git a/presentations/Tutorenschlung/presentation/Aufbau.tex b/presentations/Tutorenschlung/presentation/Aufbau.tex index 3c1ee07..c601335 100644 --- a/presentations/Tutorenschlung/presentation/Aufbau.tex +++ b/presentations/Tutorenschlung/presentation/Aufbau.tex @@ -1,35 +1,35 @@ -\subsection{Aufbau} -\begin{frame} -\frametitle{Der Klassiker} -\begin{block}{Dreiteiler} -\begin{itemize} - \item{Einleitung einer Präsentation \quad -- \textcolor{green}{ca. 15\%}} - \item{Hauptteil einer Präsentation \quad -- \textcolor{green}{ca. 75\%}} - \item{Schluss einer Präsentation \qquad -- \textcolor{green}{ca. 10\%}} -\end{itemize} -Die einzelnen Hauptteile jeweils am Ende zusammenfassen und zum nächsten Teil überleiten. -\end{block} -\vspace{1cm} -\begin{alertblock}{Wer hat an der Uhr gedreht?} -Unwesentliche Unterpunkte im Hauptteil kürzen. Dazu ist Planung im Voraus nötig! -\end{alertblock} -\end{frame} - - -\begin{frame} -\frametitle{Der Neue} -\begin{block}{5-Satz} -\begin{itemize} - \item{Einleitung in eine Präsentation \quad -- \textcolor{green}{ca. 15\%}} - \item{Hauptteil einer Präsentation \qquad -- \textcolor{green}{ca. 75\%}} - \begin{itemize} - \item<2->{Ist -- Ziel -- Weg} - \item<2->{Anlass -- Ziel -- Appell} - \item<2->{These -- Antithese -- Synthese} - \item<2->{Position A -- Position B -- Meinung} - \item<2->{\dots} - \end{itemize} - \item{Schluss einer Präsentation \qquad -- \textcolor{green}{ca. 10\%}} -\end{itemize} -\end{block} -\end{frame} +\subsection{Aufbau} +\begin{frame} +\frametitle{Der Klassiker} +\begin{block}{Dreiteiler} +\begin{itemize} + \item{Einleitung einer Präsentation \quad -- \textcolor{green}{ca. 15\%}} + \item{Hauptteil einer Präsentation \quad -- \textcolor{green}{ca. 75\%}} + \item{Schluss einer Präsentation \qquad -- \textcolor{green}{ca. 10\%}} +\end{itemize} +Die einzelnen Hauptteile jeweils am Ende zusammenfassen und zum nächsten Teil überleiten. +\end{block} +\vspace{1cm} +\begin{alertblock}{Wer hat an der Uhr gedreht?} +Unwesentliche Unterpunkte im Hauptteil kürzen. Dazu ist Planung im Voraus nötig! +\end{alertblock} +\end{frame} + + +\begin{frame} +\frametitle{Der Neue} +\begin{block}{5-Satz} +\begin{itemize} + \item{Einleitung in eine Präsentation \quad -- \textcolor{green}{ca. 15\%}} + \item{Hauptteil einer Präsentation \qquad -- \textcolor{green}{ca. 75\%}} + \begin{itemize} + \item<2->{Ist -- Ziel -- Weg} + \item<2->{Anlass -- Ziel -- Appell} + \item<2->{These -- Antithese -- Synthese} + \item<2->{Position A -- Position B -- Meinung} + \item<2->{\dots} + \end{itemize} + \item{Schluss einer Präsentation \qquad -- \textcolor{green}{ca. 10\%}} +\end{itemize} +\end{block} +\end{frame} diff --git a/presentations/Tutorenschlung/presentation/Einleitung.tex b/presentations/Tutorenschlung/presentation/Einleitung.tex index a5a533b..b97b28a 100644 --- a/presentations/Tutorenschlung/presentation/Einleitung.tex +++ b/presentations/Tutorenschlung/presentation/Einleitung.tex @@ -28,14 +28,14 @@ \item Eigene Beweggründe \item "`Heitere"' Einstiegsbemerkung, These, Anekdote o.ä. \item Inhaltliche Übersicht - \item Fragemodus klären + \item Fragemodus klären \item Ggf. Oranisatorisches, z.B. Zeitplan, Raucherzonen, Getränke \end{itemize} \pause[\thebeamerpauses] \begin{block}{Info} In der Einleitung kommt es darauf an, mit dem ersten Kontakt - die Aufmerksamkeit, das Interesse und das Vertrauen der + die Aufmerksamkeit, das Interesse und das Vertrauen der Zuhörer zu gewinnen. \end{block} \end{frame} @@ -51,7 +51,7 @@ \pause[\thebeamerpauses] \begin{alertblock}{Wichtig} - Der erste Eindruck ist entscheident! Es ist hilfreich, die + Der erste Eindruck ist entscheident! Es ist hilfreich, die Einleitung auszuformulieren. \end{alertblock} \end{frame} @@ -68,9 +68,9 @@ \pause[\thebeamerpauses] \begin{block}{Grund} - Negative Vorbemerkungen lenken die Aufmerksamkeit der - Zuhörer erst auf diese Themen und reduzieren die Erwartungen - des Zuhörers. Es kann zu selbsterfüllenden Prophezeihungen + Negative Vorbemerkungen lenken die Aufmerksamkeit der + Zuhörer erst auf diese Themen und reduzieren die Erwartungen + des Zuhörers. Es kann zu selbsterfüllenden Prophezeihungen kommen. \end{block} \end{frame} @@ -84,12 +84,12 @@ \item \textbf{Aufhänger-Technik}: Dabei wird bereits schlaglichtartig das zu behandelnde Thema angesprochen, z.B. durch ein Beispiel - \item \textbf{Denkreiz-Technik}: Soll das Interesse der + \item \textbf{Denkreiz-Technik}: Soll das Interesse der Zuhörer wecken oder beitet auch oft eine manipulative - Vorinformation, z.B. durch die Bündelung von + Vorinformation, z.B. durch die Bündelung von unkommentierten Fakten, durch unkommentierte Meinungen oder eine Aneinanderreihung von rhetorischen Fragen - \item \textbf{Direkt-Technik}: Diese Technik verzichtet + \item \textbf{Direkt-Technik}: Diese Technik verzichtet bewusst auf eine Einführung ins Thema. Sie empfiehlt sich bei kurzen Sachbeiträgen in Gesprächen. \end{itemize} @@ -100,7 +100,7 @@ \item[] Der Redestart ist oft ein angespannter Augenblick \item[$\Rightarrow$] Such dir einen Zuhörer, der freundlich und aufmunternd aussieht \item[$\Rightarrow$] Nutze ihn als "`positiven Augen-Anker"' - \item[] Wiederstehe dem Drang, mit deinem Blick an einem + \item[] Wiederstehe dem Drang, mit deinem Blick an einem kritisch verzogenen, kopfschüttelnden Zuhörergesicht zu verharren \end{itemize} \end{frame} diff --git a/presentations/Tutorenschlung/presentation/Hauptteil.tex b/presentations/Tutorenschlung/presentation/Hauptteil.tex index cfbb299..9e18aac 100644 --- a/presentations/Tutorenschlung/presentation/Hauptteil.tex +++ b/presentations/Tutorenschlung/presentation/Hauptteil.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \begin{itemize}[<+->] \item Systematische Bearbeitung des Themas \item Gliederung in Ober- und Unterpunkte - \item Sinnvolle Aufbereitung der Argumentationskette + \item Sinnvolle Aufbereitung der Argumentationskette \begin{itemize}[<+->] \item Vom Bekannten zum Neuen \item Vom Einfachen zum Schwierigen @@ -16,7 +16,7 @@ \begin{itemize}[<+->] \item Zusammenhänge mit Visualisierungen veranschaulichen \item Abwechslung im Medieneinsatz - \item Rhetorische Fragen stellen um Denkanreize zu geben + \item Rhetorische Fragen stellen um Denkanreize zu geben \item Echte Fragen stellen \item Theorie anhand von Beispielen aus dem Zuhöreralltag verdeutlichen \end{itemize} diff --git a/pstricks/car-bottom/car-bottom.tex b/pstricks/car-bottom/car-bottom.tex index 2fb8ebd..97be20a 100644 --- a/pstricks/car-bottom/car-bottom.tex +++ b/pstricks/car-bottom/car-bottom.tex @@ -1,5 +1,5 @@ \documentclass{standalone} -\usepackage{pst-solides3d} +\usepackage{pst-solides3d} \begin{document} \begin{pspicture}(-4,-2)(3,3) \psset{viewpoint=80 -60 50,Decran=50} @@ -11,5 +11,5 @@ \psSolid[object=cylindre,h=6,r=0.1,action=draw*,mode=4,fillcolor=gray!20,RotX=90] (-5,+3,0) % axis back \psSolid[object=cylindre,h=6,r=0.1,action=draw*,mode=4,fillcolor=gray!20,RotX=90] (+5,+3,0) % axis front %\axesIIID[showOrigin=false](1,1,1)(3,2,2.5) -\end{pspicture} +\end{pspicture} \end{document} diff --git a/pstricks/faltungsdiagramm/faltungsdiagramm.tex b/pstricks/faltungsdiagramm/faltungsdiagramm.tex index 226d6b0..03261f3 100644 --- a/pstricks/faltungsdiagramm/faltungsdiagramm.tex +++ b/pstricks/faltungsdiagramm/faltungsdiagramm.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \documentclass{standalone} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pstricks-add} -\psset{nodesep=2pt, angleA=90, angleB=-90} +\psset{nodesep=2pt, angleA=90, angleB=-90} \begin{document} @@ -116,5 +116,5 @@ \end{scriptsize} \end{pspicture*} - + \end{document} diff --git a/pstricks/family-tree/family-tree.tex b/pstricks/family-tree/family-tree.tex index 95c1755..5ed6c3e 100644 --- a/pstricks/family-tree/family-tree.tex +++ b/pstricks/family-tree/family-tree.tex @@ -3,16 +3,16 @@ \renewcommand\psedge{\nccurve} \newcommand{\Female}[2][]{{\psset{linecolor=lightgray}\TR[#1]{\emph{#2}}}} \newcommand{\Male}[2][]{{\psset{linecolor=black}\TR[#1]{#2}}} -\psset{nodesep=2pt, angleA=90, angleB=-90} +\psset{nodesep=2pt, angleA=90, angleB=-90} \begin{document} \pstree[treemode=U]{\Female{{\bfseries Matilde}}}{% \pstree{\Male{Sebastian}}{% \pstree{\Male[name=P]{Philip}}{\Male{Frederick}\Female{Ethel}} - \pstree{\Female[name=W]{Mary}}{\Male{Lionel}\Female{Agnes}}} - \pstree{\Female{Leonor}}{% + \pstree{\Female[name=W]{Mary}}{\Male{Lionel}\Female{Agnes}}} + \pstree{\Female{Leonor}}{% \pstree{\Male[name=R]{Ra\'ul}}{\Male{Joaquim}\Female{J\'ulia}} \pstree{\Female[name=A]{Am\'elia}}{\Male{\'Alvaro}\Female{Augusta}}}} \psset{doubleline=true, linestyle=dotted} \ncline{P}{W}\nbput{1940} - \ncline{R}{A}\nbput{1954} + \ncline{R}{A}\nbput{1954} \end{document} diff --git a/pstricks/sphere-cylinder/sphere-cylinder.tex b/pstricks/sphere-cylinder/sphere-cylinder.tex index 0e3e1b6..b63650e 100644 --- a/pstricks/sphere-cylinder/sphere-cylinder.tex +++ b/pstricks/sphere-cylinder/sphere-cylinder.tex @@ -1,5 +1,5 @@ \documentclass[pstricks,border=2pt]{standalone} -\usepackage{pst-solides3d} +\usepackage{pst-solides3d} \begin{document} \psset{ unit=0.5, diff --git a/source-code/Pseudocode/Calculate-Legendre/Calculate-Legendre.tex b/source-code/Pseudocode/Calculate-Legendre/Calculate-Legendre.tex index 24c8e4a..f8e3c9d 100644 --- a/source-code/Pseudocode/Calculate-Legendre/Calculate-Legendre.tex +++ b/source-code/Pseudocode/Calculate-Legendre/Calculate-Legendre.tex @@ -33,7 +33,7 @@ \EndIf \Comment{now: $a \in [3, \dots, p-2]$} \ElsIf{!$\Call{isPrime}{a}$} \Comment{rule (II)} \State $p_1, p_2, \dots, p_n \gets \Call{Factorize}{a}$ - \State \Return $\prod_{i=1}^n \Call{CalculateLegendre}{p_i, p}$ + \State \Return $\prod_{i=1}^n \Call{CalculateLegendre}{p_i, p}$ \Else \Comment{now: $a \in \mathbb{P}, \sqrt{p-2} \geq a \geq 3$} \If{$\frac{p-1}{2} \equiv 0 \mod 2$ or $\frac{a-1}{2} \equiv 0 \mod 2$} \State \Return $\Call{CalculateLegendre}{p, a}$ diff --git a/source-code/Pseudocode/Cholesky-Zerlegung/Animation/Animation.tex b/source-code/Pseudocode/Cholesky-Zerlegung/Animation/Animation.tex index 2a5cc14..7b0e0f2 100644 --- a/source-code/Pseudocode/Cholesky-Zerlegung/Animation/Animation.tex +++ b/source-code/Pseudocode/Cholesky-Zerlegung/Animation/Animation.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[aspectratio=169,hyperref={pdfpagelabels=false}]{beamer} \usepackage{lmodern} - + \usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for german umlauts \usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for german umlauts \usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf @@ -11,7 +11,7 @@ \usepackage{verbatim} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{arrows,shapes} - + % Define some styles for graphs \tikzstyle{vertex}=[circle,fill=black!25,minimum size=20pt,inner sep=0pt] \tikzstyle{selected vertex} = [vertex, fill=red!24] @@ -20,14 +20,14 @@ \tikzstyle{weight} = [font=\small] \tikzstyle{selected edge} = [draw,line width=5pt,-,red!50] \tikzstyle{ignored edge} = [draw,line width=5pt,-,black!20] - + % see http://deic.uab.es/~iblanes/beamer_gallery/index_by_theme.html %\usetheme{Frankfurt} \usefonttheme{professionalfonts} - + % disables bottom navigation bar \beamertemplatenavigationsymbolsempty - + % http://tex.stackexchange.com/questions/23727/converting-beamer-slides-to-animated-images \setbeamertemplate{navigation symbols}{}% @@ -41,7 +41,7 @@ \pgfsetlayers{background,main} \newcommand\hlight[1]{\tikz[overlay, remember picture,baseline=-\the\dimexpr\fontdimen22\textfont2\relax]\node[rectangle,fill=blue!50,rounded corners,fill opacity = 0.2,draw,thick,text opacity =1] {$#1$};} \newcommand\tocalculate[1]{\tikz[overlay, remember picture,baseline=-\the\dimexpr\fontdimen22\textfont2\relax]\node[rectangle,fill=green!50,rounded corners,fill opacity = 0.2,draw,thick,text opacity =1] {$#1$};} - + \begin{frame} \begin{minipage}[b]{0.30\linewidth} \centering diff --git a/source-code/Pseudocode/Cholesky-Zerlegung/Cholesky-Zerlegung.tex b/source-code/Pseudocode/Cholesky-Zerlegung/Cholesky-Zerlegung.tex index 91a9f52..1585fb8 100644 --- a/source-code/Pseudocode/Cholesky-Zerlegung/Cholesky-Zerlegung.tex +++ b/source-code/Pseudocode/Cholesky-Zerlegung/Cholesky-Zerlegung.tex @@ -11,11 +11,11 @@ \begin{document} \begin{preview} - Sei $n \in \mathbb{N}_{\geq 1}$, $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ und + Sei $n \in \mathbb{N}_{\geq 1}$, $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ und positiv definit sowie symmetrisch. Dann existiert eine Zerlegung $A = L \cdot L^T$, wobei $L$ eine - untere Dreiecksmatrix ist. Diese wird von folgendem Algorithmus + untere Dreiecksmatrix ist. Diese wird von folgendem Algorithmus berechnet: \begin{algorithm}[H] diff --git a/source-code/Pseudocode/DPLL/DPLL.tex b/source-code/Pseudocode/DPLL/DPLL.tex index c6d0f07..14f5c60 100644 --- a/source-code/Pseudocode/DPLL/DPLL.tex +++ b/source-code/Pseudocode/DPLL/DPLL.tex @@ -9,8 +9,8 @@ \usepackage{braket} % needed for \Set \usepackage{algorithm,algpseudocode} -\algnewcommand\True{\textbf{true}\space} -\algnewcommand\False{\textbf{false}\space} +\algnewcommand\True{\textbf{true}\space} +\algnewcommand\False{\textbf{false}\space} \algnewcommand{\LineComment}[1]{\State \(\triangleright\) #1} \begin{document} \begin{preview} diff --git a/source-code/Pseudocode/Euklidischer-Algorithmus/Euklidischer-Algorithmus.tex b/source-code/Pseudocode/Euklidischer-Algorithmus/Euklidischer-Algorithmus.tex index dd49c20..247161a 100644 --- a/source-code/Pseudocode/Euklidischer-Algorithmus/Euklidischer-Algorithmus.tex +++ b/source-code/Pseudocode/Euklidischer-Algorithmus/Euklidischer-Algorithmus.tex @@ -15,7 +15,7 @@ \newcommand*{\AddNote}[4]{% \begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] \draw [decoration={brace,amplitude=0.5em},decorate,very thick] - ($(#3)!(#1.north)!($(#3)-(0,1)$)$) -- + ($(#3)!(#1.north)!($(#3)-(0,1)$)$) -- ($(#3)!(#2.south)!($(#3)-(0,1)$)$) node [align=center, text width=2.5cm, pos=0.5, anchor=west] {#4}; \end{tikzpicture} @@ -28,7 +28,7 @@ \Require $Z \in \mathbb{R}_{\geq 0}, b \in \mathbb{N}_{\geq 2}$ \State $p\gets 0$\tikzmark{top} \While{$b^p > Z$}\tikzmark{right} - \State $p\gets p+1$ + \State $p\gets p+1$ \EndWhile \State $i\gets p-1$\tikzmark{bottom} \\ diff --git a/source-code/Pseudocode/Goldberg-Tarjan-Push-Relabel/Goldberg-Tarjan-Push-Relabel.tex b/source-code/Pseudocode/Goldberg-Tarjan-Push-Relabel/Goldberg-Tarjan-Push-Relabel.tex index 02b6988..e680f19 100644 --- a/source-code/Pseudocode/Goldberg-Tarjan-Push-Relabel/Goldberg-Tarjan-Push-Relabel.tex +++ b/source-code/Pseudocode/Goldberg-Tarjan-Push-Relabel/Goldberg-Tarjan-Push-Relabel.tex @@ -11,7 +11,7 @@ \begin{itemize} \item $c:E \rightarrow \mathbb{R}_0^+$: capacity of an edge \item $e: V \rightarrow \mathbb{R}_0^+$: excess (too much flow in one node) - \item $r_f: V \times V \rightarrow \mathbb{R}, \; r_f(u,v) := c(u,v) - f(u,v) $: remaining capacity + \item $r_f: V \times V \rightarrow \mathbb{R}, \; r_f(u,v) := c(u,v) - f(u,v) $: remaining capacity \item $dist: V \rightarrow \mathbb{N}$: the label (imagine this as height) \end{itemize} diff --git a/source-code/Pseudocode/Horner-Schema/Horner-Schema.tex b/source-code/Pseudocode/Horner-Schema/Horner-Schema.tex index d757ed5..afc178f 100644 --- a/source-code/Pseudocode/Horner-Schema/Horner-Schema.tex +++ b/source-code/Pseudocode/Horner-Schema/Horner-Schema.tex @@ -15,7 +15,7 @@ \newcommand*{\AddNote}[4]{% \begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] \draw [decoration={brace,amplitude=0.5em},decorate,very thick] - ($(#3)!(#1.north)!($(#3)-(0,1)$)$) -- + ($(#3)!(#1.north)!($(#3)-(0,1)$)$) -- ($(#3)!(#2.south)!($(#3)-(0,1)$)$) node [align=center, text width=2.5cm, pos=0.5, anchor=west] {#4}; \end{tikzpicture} diff --git a/source-code/Pseudocode/Resolutionsalgorithmus/Resolutionsalgorithmus.tex b/source-code/Pseudocode/Resolutionsalgorithmus/Resolutionsalgorithmus.tex index 4f88789..5bd3073 100644 --- a/source-code/Pseudocode/Resolutionsalgorithmus/Resolutionsalgorithmus.tex +++ b/source-code/Pseudocode/Resolutionsalgorithmus/Resolutionsalgorithmus.tex @@ -9,8 +9,8 @@ \usepackage{braket} % needed for \Set \usepackage{algorithm,algpseudocode} -\algnewcommand\True{\textbf{true}\space} -\algnewcommand\False{\textbf{false}\space} +\algnewcommand\True{\textbf{true}\space} +\algnewcommand\False{\textbf{false}\space} \algnewcommand{\LineComment}[1]{\State \(\triangleright\) #1} \begin{document} \begin{preview} diff --git a/source-code/Pseudocode/SolveLinearCongruences/SolveLinearCongruences.tex b/source-code/Pseudocode/SolveLinearCongruences/SolveLinearCongruences.tex index 98f4fd0..e80c0da 100644 --- a/source-code/Pseudocode/SolveLinearCongruences/SolveLinearCongruences.tex +++ b/source-code/Pseudocode/SolveLinearCongruences/SolveLinearCongruences.tex @@ -15,7 +15,7 @@ \newcommand*{\AddNote}[4]{% \begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] \draw [decoration={brace,amplitude=0.5em},decorate,very thick] - ($(#3)!(#1.north)!($(#3)-(0,1)$)$) -- + ($(#3)!(#1.north)!($(#3)-(0,1)$)$) -- ($(#3)!(#2.south)!($(#3)-(0,1)$)$) node [align=center, text width=2.5cm, pos=0.5, anchor=west] {#4}; \end{tikzpicture} diff --git a/source-code/Pseudocode/Stoer-Wagner/Stoer-Wagner.tex b/source-code/Pseudocode/Stoer-Wagner/Stoer-Wagner.tex index 841a886..e9e3789 100644 --- a/source-code/Pseudocode/Stoer-Wagner/Stoer-Wagner.tex +++ b/source-code/Pseudocode/Stoer-Wagner/Stoer-Wagner.tex @@ -11,7 +11,7 @@ \begin{document} \begin{preview} - Sei $S \subseteq V$ und $c:E\rightarrow\mathbb{R}_0^+$ die + Sei $S \subseteq V$ und $c:E\rightarrow\mathbb{R}_0^+$ die Kantengewichtsfunktion. Für $v \in V \setminus S$ sei: @@ -20,8 +20,8 @@ c(S,v) &:= \sum_{\substack{\Set{u,v} \in E\\ u \in S}} c(\Set{u,v}) \end{align*} - Sei nun $d: \mathcal{P}(V) \rightarrow V$ die Funktion, die den - Knoten liefert, der am stärksten mit $S \in \mathcal{P}(V)$ + Sei nun $d: \mathcal{P}(V) \rightarrow V$ die Funktion, die den + Knoten liefert, der am stärksten mit $S \in \mathcal{P}(V)$ verbunden ist: \[d(S) := v \in V \setminus S: c(S, v) = \max(\Set{c(S,v) | v \in V \setminus S})\] diff --git a/source-code/Pseudocode/Vertex-coloring/Vertex-coloring-first-wrong.tex b/source-code/Pseudocode/Vertex-coloring/Vertex-coloring-first-wrong.tex index ab065ab..b10318f 100644 --- a/source-code/Pseudocode/Vertex-coloring/Vertex-coloring-first-wrong.tex +++ b/source-code/Pseudocode/Vertex-coloring/Vertex-coloring-first-wrong.tex @@ -16,7 +16,7 @@ \Require $G = (V, E)$ an undirected graph \State $n \gets |V|$ \State Give all vertices an index $1 \leq i \leq n$ that defines an order - + \For{$i \in 1, \dots, n$} \State $v_i$.color $\gets 1$ \EndFor diff --git a/source-code/Pseudocode/Vertex-coloring/Vertex-coloring-second-wrong.tex b/source-code/Pseudocode/Vertex-coloring/Vertex-coloring-second-wrong.tex index 0335e29..99314e7 100644 --- a/source-code/Pseudocode/Vertex-coloring/Vertex-coloring-second-wrong.tex +++ b/source-code/Pseudocode/Vertex-coloring/Vertex-coloring-second-wrong.tex @@ -17,7 +17,7 @@ \Require $G = (V, E)$ an undirected graph \State $n \gets |V|$ \State Give all vertices an index $1 \leq i \leq n$ that defines an order - + \For{$i \in 1, \dots, n$} \State $v_i$.color $\gets 1$ \EndFor diff --git a/source-code/Pseudocode/WER-calculation/WER-calculation.tex b/source-code/Pseudocode/WER-calculation/WER-calculation.tex index f613984..aa7ecd5 100644 --- a/source-code/Pseudocode/WER-calculation/WER-calculation.tex +++ b/source-code/Pseudocode/WER-calculation/WER-calculation.tex @@ -39,7 +39,7 @@ \EndFor \EndFor - \State + \State \State \Return $D[|r|][|h|]$ \EndFunction \end{algorithmic} diff --git a/tikz/2d-parted-function/2d-parted-function.tex b/tikz/2d-parted-function/2d-parted-function.tex index 91441c2..6c186cc 100644 --- a/tikz/2d-parted-function/2d-parted-function.tex +++ b/tikz/2d-parted-function/2d-parted-function.tex @@ -26,15 +26,15 @@ minor tick num=-3, enlargelimits=true, tension=0.08] - \addplot[domain=0:1, red, thick,samples=20] {0.5*x*x}; - \addplot[domain=1:2, green, thick,samples=20] {x-0.5}; - \addplot[domain=2:3, blue, thick,samples=500] {-0.5*(x-2)*(x-2)+x-0.5}; - \addplot[domain=3:5, purple, thick,samples=20] {5-x}; - \addplot[domain=5:7, orange, thick,samples=3] {0}; - \addplot[domain=-3:0, orange, thick,samples=3] {0}; + \addplot[domain=0:1, red, thick,samples=20] {0.5*x*x}; + \addplot[domain=1:2, green, thick,samples=20] {x-0.5}; + \addplot[domain=2:3, blue, thick,samples=500] {-0.5*(x-2)*(x-2)+x-0.5}; + \addplot[domain=3:5, purple, thick,samples=20] {5-x}; + \addplot[domain=5:7, orange, thick,samples=3] {0}; + \addplot[domain=-3:0, orange, thick,samples=3] {0}; %\addlegendentry{$f_1(x)=\frac{1}{2}x^2$} %\addlegendentry{$f_2(x)=x-\frac{1}{2}$} %\addlegendentry{$f_2(x)=-\frac{1}{2} (x-2)^2+x-\frac{1}{2}$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/2d-x-square-with-circle/2d-x-square-with-circle.tex b/tikz/2d-x-square-with-circle/2d-x-square-with-circle.tex index 3abd13d..e0a6d55 100644 --- a/tikz/2d-x-square-with-circle/2d-x-square-with-circle.tex +++ b/tikz/2d-x-square-with-circle/2d-x-square-with-circle.tex @@ -26,15 +26,15 @@ minor tick num=-3, enlargelimits=true, tension=0.08] - \addplot[domain=-1.5:1.5, red, thick,samples=50] {x*x}; + \addplot[domain=-1.5:1.5, red, thick,samples=50] {x*x}; \draw[blue, thick] \pgfextra{ \pgfpathellipse{\pgfplotspointaxisxy{0}{1}} {\pgfplotspointaxisdirectionxy{0.87}{0}} {\pgfplotspointaxisdirectionxy{0}{0.87}} - % see also the documentation of + % see also the documentation of % 'axis direction cs' which % allows a simpler way to draw this ellipse }; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/3d-cmos-loss-diagram/3d-cmos-loss-diagram.tex b/tikz/3d-cmos-loss-diagram/3d-cmos-loss-diagram.tex index 0499429..4c7039a 100644 --- a/tikz/3d-cmos-loss-diagram/3d-cmos-loss-diagram.tex +++ b/tikz/3d-cmos-loss-diagram/3d-cmos-loss-diagram.tex @@ -37,7 +37,7 @@ ] %\addplot3[patch,patch type=bilinear,mesh,black] {0}; \addplot3[surf,opacity=0.9] {x*x*y}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/3d-function-2/3d-function-2.tex b/tikz/3d-function-2/3d-function-2.tex index ce906da..7f3187c 100644 --- a/tikz/3d-function-2/3d-function-2.tex +++ b/tikz/3d-function-2/3d-function-2.tex @@ -34,7 +34,7 @@ } ] \addplot3[surf] {x^2 + y^2}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/3d-function-3/3d-function-3.tex b/tikz/3d-function-3/3d-function-3.tex index d66da02..92bacd1 100644 --- a/tikz/3d-function-3/3d-function-3.tex +++ b/tikz/3d-function-3/3d-function-3.tex @@ -34,7 +34,7 @@ } ] \addplot3[surf] {2*x*y/(x*x+y*y)}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/3d-function-4/3d-function-4.tex b/tikz/3d-function-4/3d-function-4.tex index 0964d55..08190da 100644 --- a/tikz/3d-function-4/3d-function-4.tex +++ b/tikz/3d-function-4/3d-function-4.tex @@ -34,7 +34,7 @@ } ] \addplot3[surf] {2*x*y/sqrt(x*x+y*y)}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/3d-function-5/3d-function-5.tex b/tikz/3d-function-5/3d-function-5.tex index 4de7de4..f7cc827 100644 --- a/tikz/3d-function-5/3d-function-5.tex +++ b/tikz/3d-function-5/3d-function-5.tex @@ -34,7 +34,7 @@ } ] \addplot3[surf] {sqrt(x*x+y*y)}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/3d-function-6/3d-function-6.tex b/tikz/3d-function-6/3d-function-6.tex index 58c75d3..6295fbc 100644 --- a/tikz/3d-function-6/3d-function-6.tex +++ b/tikz/3d-function-6/3d-function-6.tex @@ -34,7 +34,7 @@ } ] \addplot3[surf] {(3*x*x*y-y*y*y)/(x*x+y*y)}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/3d-function-7/3d-function-7.tex b/tikz/3d-function-7/3d-function-7.tex index 22e32b8..501e041 100644 --- a/tikz/3d-function-7/3d-function-7.tex +++ b/tikz/3d-function-7/3d-function-7.tex @@ -34,7 +34,7 @@ } ] \addplot3[surf] {x*y*y*y/(x*x+y*y*y*y)}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/3d-function-8/3d-function-8.tex b/tikz/3d-function-8/3d-function-8.tex index e122933..867c3f9 100644 --- a/tikz/3d-function-8/3d-function-8.tex +++ b/tikz/3d-function-8/3d-function-8.tex @@ -34,7 +34,7 @@ } ] \addplot3[surf] {(x^2+y^2)*sin(1/(x^2+y^2))}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/3d-function-9/3d-function-9.tex b/tikz/3d-function-9/3d-function-9.tex index 962205e..5180689 100644 --- a/tikz/3d-function-9/3d-function-9.tex +++ b/tikz/3d-function-9/3d-function-9.tex @@ -34,7 +34,7 @@ } ] \addplot3[surf] {sin((x*x)r)*y}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/3d-function-continuous/3d-function-continuous.tex b/tikz/3d-function-continuous/3d-function-continuous.tex index b26ab54..1e2a2bf 100644 --- a/tikz/3d-function-continuous/3d-function-continuous.tex +++ b/tikz/3d-function-continuous/3d-function-continuous.tex @@ -34,7 +34,7 @@ } ] \addplot3[surf] {x*y*y/(x*x+y*y*y*y)}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/3d-function-semicubical-parabola/2d-semicubical-parabola.tex b/tikz/3d-function-semicubical-parabola/2d-semicubical-parabola.tex index 7fdde4b..ae1d4aa 100644 --- a/tikz/3d-function-semicubical-parabola/2d-semicubical-parabola.tex +++ b/tikz/3d-function-semicubical-parabola/2d-semicubical-parabola.tex @@ -24,16 +24,16 @@ tick align=outside, %minor tick num=-3, enlargelimits=true] - \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {1/3*x^1.5}; - \addplot[domain=0:12, orange, thick,samples=500] {1*x^1.5}; - \addplot[domain=0:12, blue, thick,samples=500] {2*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {1/3*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, orange, thick,samples=500] {1*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, blue, thick,samples=500] {2*x^1.5}; - \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {-1/3*x^1.5}; - \addplot[domain=0:12, orange, thick,samples=500] {-1*x^1.5}; - \addplot[domain=0:12, blue, thick,samples=500] {-2*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {-1/3*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, orange, thick,samples=500] {-1*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, blue, thick,samples=500] {-2*x^1.5}; \addlegendentry{$a=\frac{1}{3}$} \addlegendentry{$a=1$} \addlegendentry{$a=2$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/3d-function-semicubical-parabola/3d-function-semicubical-parabola.tex b/tikz/3d-function-semicubical-parabola/3d-function-semicubical-parabola.tex index a51da5e..5408a3c 100644 --- a/tikz/3d-function-semicubical-parabola/3d-function-semicubical-parabola.tex +++ b/tikz/3d-function-semicubical-parabola/3d-function-semicubical-parabola.tex @@ -35,7 +35,7 @@ } ] \addplot3[surf] {y*y-x*x*x}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/3d-gaussian-distribution/3d-gaussian-distribution.tex b/tikz/3d-gaussian-distribution/3d-gaussian-distribution.tex index 13f777f..45c90a4 100644 --- a/tikz/3d-gaussian-distribution/3d-gaussian-distribution.tex +++ b/tikz/3d-gaussian-distribution/3d-gaussian-distribution.tex @@ -48,7 +48,7 @@ colormap={whiteblue}{color(0cm)=(white); color(1cm)=(blue)}, bivar(mu21,sigma21,mu22,sigma22,rho)? bivar(mu11,sigma11,mu12,sigma12,rho): -bivar(mu21,sigma21,mu22,sigma22,rho) - ) + ) } ] { max( diff --git a/tikz/3d-gradient-colored/3d-gradient-colored.tex b/tikz/3d-gradient-colored/3d-gradient-colored.tex index 6116da0..0e39898 100644 --- a/tikz/3d-gradient-colored/3d-gradient-colored.tex +++ b/tikz/3d-gradient-colored/3d-gradient-colored.tex @@ -36,14 +36,14 @@ {x/exp(x^2+y^2)}; % \addplot3[contour gnuplot={number=15, labels=false}, % very thick, - % samples=30] + % samples=30] % {x/exp(x^2+y^2)}; \addplot3[blue, point meta={ sqrt( ((1-2*x^2)*exp(-x^2-y^2))^2+ (-2*x*y*exp(-x^2-y^2))^2 - ) + ) }, quiver={ u={(1-2*x^2)*exp(-x^2-y^2)}, diff --git a/tikz/3d-helix/3d-helix.tex b/tikz/3d-helix/3d-helix.tex index b57f906..d38d80b 100644 --- a/tikz/3d-helix/3d-helix.tex +++ b/tikz/3d-helix/3d-helix.tex @@ -30,7 +30,7 @@ ({sin(deg(x))}, {cos(deg(x))}, {x}); - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/3d-manhattan-bar-plot/3d-manhattan-bar-plot.tex b/tikz/3d-manhattan-bar-plot/3d-manhattan-bar-plot.tex index fdde2d9..02fef8d 100644 --- a/tikz/3d-manhattan-bar-plot/3d-manhattan-bar-plot.tex +++ b/tikz/3d-manhattan-bar-plot/3d-manhattan-bar-plot.tex @@ -18,25 +18,25 @@ colormap={pos}{color(0cm)=(white); color(6cm)=(blue)} ] \addplot3[surf,mark=none] coordinates { - (0,0,0.0) (0,0,0.0) (0,1,0.0) (0,1,0.0) (0,2,0.0) (0,2,0.0) (0,3,0.0) (0,3,0.0) (0,4,0.0) (0,4,0.0) + (0,0,0.0) (0,0,0.0) (0,1,0.0) (0,1,0.0) (0,2,0.0) (0,2,0.0) (0,3,0.0) (0,3,0.0) (0,4,0.0) (0,4,0.0) -(0,0,0.0) (0,0,2) (0,1,2) (0,1,3) (0,2,3) (0,2,1) (0,3,1) (0,3,0) (0,4,0) (0,4,0.0) (1,0,0.0) +(0,0,0.0) (0,0,2) (0,1,2) (0,1,3) (0,2,3) (0,2,1) (0,3,1) (0,3,0) (0,4,0) (0,4,0.0) (1,0,0.0) -(1,0,2) (1,1,2) (1,1,3) (1,2,3) (1,2,1) (1,3,1) (1,3,0) (1,4,0) (1,4,0.0) +(1,0,2) (1,1,2) (1,1,3) (1,2,3) (1,2,1) (1,3,1) (1,3,0) (1,4,0) (1,4,0.0) -(1,0,0.0) (1,0,0) (1,1,0) (1,1,6) (1,2,6) (1,2,0) (1,3,0) (1,3,0) (1,4,0) (1,4,0.0) (2,0,0.0) +(1,0,0.0) (1,0,0) (1,1,0) (1,1,6) (1,2,6) (1,2,0) (1,3,0) (1,3,0) (1,4,0) (1,4,0.0) (2,0,0.0) -(2,0,0) (2,1,0) (2,1,6) (2,2,6) (2,2,0) (2,3,0) (2,3,0) (2,4,0) (2,4,0.0) +(2,0,0) (2,1,0) (2,1,6) (2,2,6) (2,2,0) (2,3,0) (2,3,0) (2,4,0) (2,4,0.0) -(2,0,0.0) (2,0,1) (2,1,1) (2,1,0) (2,2,0) (2,2,0) (2,3,0) (2,3,4) (2,4,4) (2,4,0.0) (3,0,0.0) +(2,0,0.0) (2,0,1) (2,1,1) (2,1,0) (2,2,0) (2,2,0) (2,3,0) (2,3,4) (2,4,4) (2,4,0.0) (3,0,0.0) -(3,0,1) (3,1,1) (3,1,0) (3,2,0) (3,2,0) (3,3,0) (3,3,4) (3,4,4) (3,4,0.0) +(3,0,1) (3,1,1) (3,1,0) (3,2,0) (3,2,0) (3,3,0) (3,3,4) (3,4,4) (3,4,0.0) -(3,0,0.0) (3,0,0) (3,1,0) (3,1,0) (3,2,0) (3,2,0) (3,3,0) (3,3,0) (3,4,0) (3,4,0.0) (4,0,0.0) +(3,0,0.0) (3,0,0) (3,1,0) (3,1,0) (3,2,0) (3,2,0) (3,3,0) (3,3,0) (3,4,0) (3,4,0.0) (4,0,0.0) -(4,0,0) (4,1,0) (4,1,0) (4,2,0) (4,2,0) (4,3,0) (4,3,0) (4,4,0) (4,4,0.0) +(4,0,0) (4,1,0) (4,1,0) (4,2,0) (4,2,0) (4,3,0) (4,3,0) (4,4,0) (4,4,0.0) -(4,0,0.0) (4,0,0.0) (4,1,0.0) (4,1,0.0) (4,2,0.0) (4,2,0.0) (4,3,0.0) (4,3,0.0) (4,4,0.0) (4,4,0.0) +(4,0,0.0) (4,0,0.0) (4,1,0.0) (4,1,0.0) (4,2,0.0) (4,2,0.0) (4,3,0.0) (4,3,0.0) (4,4,0.0) (4,4,0.0) }; \end{axis} \end{tikzpicture} diff --git a/tikz/CBC-Mode-Decryption/CBC-Mode-Decryption.tex b/tikz/CBC-Mode-Decryption/CBC-Mode-Decryption.tex index d1a3b12..075fc61 100644 --- a/tikz/CBC-Mode-Decryption/CBC-Mode-Decryption.tex +++ b/tikz/CBC-Mode-Decryption/CBC-Mode-Decryption.tex @@ -34,7 +34,7 @@ } \foreach \nr in {2, ..., \n}{ - \pgfmathtruncatemacro{\tmp}{\nr-1} + \pgfmathtruncatemacro{\tmp}{\nr-1} \draw[->,very thick] (1,{(\n-\tmp)*2}) -- (1,{(\n-\tmp)*2-0.5}) -- (4,{(\n-\tmp)*2-0.5}) -- (x\nr); } diff --git a/tikz/CBC-Mode-Encryption/CBC-Mode-Encryption.tex b/tikz/CBC-Mode-Encryption/CBC-Mode-Encryption.tex index def9200..38358f9 100644 --- a/tikz/CBC-Mode-Encryption/CBC-Mode-Encryption.tex +++ b/tikz/CBC-Mode-Encryption/CBC-Mode-Encryption.tex @@ -34,7 +34,7 @@ } \foreach \nr in {2, ..., \n}{ - \pgfmathtruncatemacro{\tmp}{\nr-1} + \pgfmathtruncatemacro{\tmp}{\nr-1} \draw[->,very thick] (E\tmp) -- (4, {(\n-\tmp)*2-0.5}) -- (2, {(\n-\nr)*2+1.5}) -- (x\nr); } diff --git a/tikz/CFB-Mode-Decryption/CFB-Mode-Decryption.tex b/tikz/CFB-Mode-Decryption/CFB-Mode-Decryption.tex index fb21cab..50735f6 100644 --- a/tikz/CFB-Mode-Decryption/CFB-Mode-Decryption.tex +++ b/tikz/CFB-Mode-Decryption/CFB-Mode-Decryption.tex @@ -33,7 +33,7 @@ TODO } \foreach \nr in {2, ..., \n}{ - \pgfmathtruncatemacro{\tmp}{\nr-1} + \pgfmathtruncatemacro{\tmp}{\nr-1} \draw[->,very thick] (1, {(\n-\tmp)*3}) -- (1, {(\n-\nr)*3+1}) -- (D\nr); } diff --git a/tikz/CFB-Mode-Encryption/CFB-Mode-Encryption.tex b/tikz/CFB-Mode-Encryption/CFB-Mode-Encryption.tex index d527347..adabf19 100644 --- a/tikz/CFB-Mode-Encryption/CFB-Mode-Encryption.tex +++ b/tikz/CFB-Mode-Encryption/CFB-Mode-Encryption.tex @@ -32,7 +32,7 @@ } \foreach \nr in {2, ..., \n}{ - \pgfmathtruncatemacro{\tmp}{\nr-1} + \pgfmathtruncatemacro{\tmp}{\nr-1} \draw[->,very thick] (3, {(\n-\tmp)*3}) -- (3, {(\n-\tmp)*3-0.5}) -- (1, {(\n-\tmp)*3-0.5}) -- (1, {(\n-\nr)*3+1}) -- (E\nr); } diff --git a/tikz/OFB-Mode-Decryption/OFB-Mode-Decryption.tex b/tikz/OFB-Mode-Decryption/OFB-Mode-Decryption.tex index dd640a1..1477a49 100644 --- a/tikz/OFB-Mode-Decryption/OFB-Mode-Decryption.tex +++ b/tikz/OFB-Mode-Decryption/OFB-Mode-Decryption.tex @@ -32,7 +32,7 @@ } \foreach \nr in {2, ..., \n}{ - \pgfmathtruncatemacro{\tmp}{\nr-1} + \pgfmathtruncatemacro{\tmp}{\nr-1} \draw[->,very thick] (2, {(\n-\tmp)*3+0.5}) -- (1, {(\n-\tmp)*3+0.5}) -- (1, {(\n-\nr)*3+1}) -- (E\nr); } diff --git a/tikz/OFB-Mode-Encryption/OFB-Mode-Encryption.tex b/tikz/OFB-Mode-Encryption/OFB-Mode-Encryption.tex index 366eae9..d98aaa2 100644 --- a/tikz/OFB-Mode-Encryption/OFB-Mode-Encryption.tex +++ b/tikz/OFB-Mode-Encryption/OFB-Mode-Encryption.tex @@ -32,7 +32,7 @@ } \foreach \nr in {2, ..., \n}{ - \pgfmathtruncatemacro{\tmp}{\nr-1} + \pgfmathtruncatemacro{\tmp}{\nr-1} \draw[->,very thick] (2, {(\n-\tmp)*3+0.5}) -- (1, {(\n-\tmp)*3+0.5}) -- (1, {(\n-\nr)*3+1}) -- (E\nr); } diff --git a/tikz/arbelos/arbelos.tex b/tikz/arbelos/arbelos.tex index e774165..0792a10 100644 --- a/tikz/arbelos/arbelos.tex +++ b/tikz/arbelos/arbelos.tex @@ -9,12 +9,12 @@ % Draw A \coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0); - + % Draw the Arbelos \begin{scope}[shift={(4,0)}, scale=4] - \draw[fill=green!30, thick](-1,0) - arc (180:0:1) - arc (0:180:0.25) + \draw[fill=green!30, thick](-1,0) + arc (180:0:1) + arc (0:180:0.25) arc (0:180:0.75); \end{scope} diff --git a/tikz/arc/arc.tex b/tikz/arc/arc.tex index c58d754..aa43346 100644 --- a/tikz/arc/arc.tex +++ b/tikz/arc/arc.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} @@ -14,13 +14,13 @@ \draw[fill=gray!2] (0,0) circle (\R); % draw the background - \draw [line width=0.1pt, fill=gray!10] - (0,0) -- - (170: \R) -- + \draw [line width=0.1pt, fill=gray!10] + (0,0) -- + (170: \R) -- (45:\R) -- cycle; \begin{scope}[color=green] - \draw[fill=green!15] (0,0) -- + \draw[fill=green!15] (0,0) -- (170:{\R*0.3}) arc (170:45:{{(\R)*0.3}}); \end{scope} diff --git a/tikz/array/array.tex b/tikz/array/array.tex index 2f067ea..7c02db1 100644 --- a/tikz/array/array.tex +++ b/tikz/array/array.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - 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font=\tt, - >= stealth, - every picture/.style={thick}, + font=\tt, + >= stealth, + every picture/.style={thick}, pointer/.style={*->}, node/.style={ align=center, rectangle split, rectangle split horizontal, rectangle split parts=#1, - draw, - anchor=center, + draw, + anchor=center, rectangle split part align={center}, rectangle split empty part width=1.5, rectangle split part fill = {white} diff --git a/tikz/b-tree-2-small-3/b-tree-2-small-3.tex b/tikz/b-tree-2-small-3/b-tree-2-small-3.tex index fade4a2..94753df 100644 --- a/tikz/b-tree-2-small-3/b-tree-2-small-3.tex +++ b/tikz/b-tree-2-small-3/b-tree-2-small-3.tex @@ -1,21 +1,21 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc,shapes.multipart,chains,arrows,positioning} +\usetikzlibrary{calc,shapes.multipart,chains,arrows,positioning} \tikzset{ - font=\tt, - >= stealth, - every picture/.style={thick}, + font=\tt, + >= stealth, + every picture/.style={thick}, pointer/.style={*->}, node/.style={ align=center, rectangle split, rectangle split horizontal, rectangle split parts=#1, - draw, - anchor=center, + draw, + anchor=center, rectangle split part align={center}, rectangle split empty part width=1.5, rectangle split part fill = {white} diff --git a/tikz/b-tree-2-small-4/b-tree-2-small-4.tex b/tikz/b-tree-2-small-4/b-tree-2-small-4.tex index a5c3900..64cc114 100644 --- a/tikz/b-tree-2-small-4/b-tree-2-small-4.tex +++ b/tikz/b-tree-2-small-4/b-tree-2-small-4.tex @@ -1,21 +1,21 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc,shapes.multipart,chains,arrows,positioning} +\usetikzlibrary{calc,shapes.multipart,chains,arrows,positioning} \tikzset{ - font=\tt, - >= stealth, - every picture/.style={thick}, + font=\tt, + >= stealth, + every picture/.style={thick}, pointer/.style={*->}, node/.style={ align=center, rectangle split, rectangle split horizontal, rectangle split parts=#1, - draw, - anchor=center, + draw, + anchor=center, rectangle split part align={center}, rectangle split empty part width=1.5, rectangle split part fill = {white} diff --git a/tikz/b-tree-2-small/b-tree-2-small.tex b/tikz/b-tree-2-small/b-tree-2-small.tex index 3fa680a..7d47c3c 100644 --- a/tikz/b-tree-2-small/b-tree-2-small.tex +++ b/tikz/b-tree-2-small/b-tree-2-small.tex @@ -1,21 +1,21 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - 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font=\tt, - >= stealth, - every picture/.style={thick}, + font=\tt, + >= stealth, + every picture/.style={thick}, pointer/.style={*->}, node/.style={ align=center, rectangle split, rectangle split horizontal, rectangle split parts=#1, - draw, - anchor=center, + draw, + anchor=center, rectangle split part align={center}, rectangle split empty part width=1.5, rectangle split part fill = {white} diff --git a/tikz/b-tree-node/b-tree-node.tex b/tikz/b-tree-node/b-tree-node.tex index c9c91c8..e65fcd6 100644 --- a/tikz/b-tree-node/b-tree-node.tex +++ b/tikz/b-tree-node/b-tree-node.tex @@ -1,21 +1,21 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc,shapes.multipart,chains,arrows,positioning} +\usetikzlibrary{calc,shapes.multipart,chains,arrows,positioning} \tikzset{ - font=\tt, - >= stealth, - every picture/.style={thick}, + font=\tt, + >= stealth, + every picture/.style={thick}, pointer/.style={*->}, node/.style={ align=center, rectangle split, rectangle split horizontal, rectangle split parts=#1, - draw, - anchor=center, + draw, + anchor=center, rectangle split part align={center}, rectangle split empty part width=1.5, rectangle split part fill = {orange!50, blue!50, white} diff --git a/tikz/b-tree/b-tree-2.tex b/tikz/b-tree/b-tree-2.tex index 01ffb46..67a13bf 100644 --- a/tikz/b-tree/b-tree-2.tex +++ b/tikz/b-tree/b-tree-2.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes.multipart, calc} +\usetikzlibrary{shapes.multipart, calc} \begin{document} \begin{preview} @@ -17,8 +17,8 @@ child {node {2 \nodepart{two} 5} child {node {0 \nodepart{two} 1}} child {node {3 \nodepart{two} 4}} - child {node {6 \nodepart{two} 7}} - } + child {node {6 \nodepart{two} 7}} + } child {node {11} child {node { 9 \nodepart{two} 10}} child {node {12 \nodepart{two} 13}} diff --git a/tikz/b-tree/b-tree-3.tex b/tikz/b-tree/b-tree-3.tex index afd2856..1d3a91f 100644 --- a/tikz/b-tree/b-tree-3.tex +++ b/tikz/b-tree/b-tree-3.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - 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($x_1$,96000) ($x_2$,126000) ($x_3$,115000) + ($x_1$,96000) ($x_2$,126000) ($x_3$,115000) ($x_4$,125000) ($x_5$,123000) ($x_6$, 123000) ($x_7$, 112000) ($x_8$, 111000) ($x_9$, 110000) - ($x_{10}$, 110000) ($x_{11}$, 120000) + ($x_{10}$, 110000) ($x_{11}$, 120000) ($x_{12}$, 98000) ($x_{13}$, 130000) ($x_{14}$, 87000) ($x_{15}$, 97000)}; \end{axis} @@ -48,8 +48,8 @@ height=9cm, bar width=7pt, symbolic x coords={ - $x_1$,$x_2$,$x_3$,$x_4$,$x_5$,$x_6$, $x_7$, $x_8$, - $x_9$, $x_{10}$, $x_{11}$, $x_{12}$, $x_{13}$, + $x_1$,$x_2$,$x_3$,$x_4$,$x_5$,$x_6$, $x_7$, $x_8$, + $x_9$, $x_{10}$, $x_{11}$, $x_{12}$, $x_{13}$, $x_{14}$, $x_{15}$ }, xtick=data, @@ -58,7 +58,7 @@ axis y line*=right, axis x line=none, ] - \addplot +[shift={(\shift,0)}] coordinates {($x_1$,27) + \addplot +[shift={(\shift,0)}] coordinates {($x_1$,27) ($x_2$,21) ($x_3$,27) ($x_4$,15) ($x_5$,19) ($x_6$, 46) ($x_7$, 47) ($x_8$, 32) ($x_9$, 14) ($x_{10}$, 20) ($x_{11}$, 50) ($x_{12}$, 19) diff --git a/tikz/bellman-ford-algorithm/bellman-ford-algorithm.tex b/tikz/bellman-ford-algorithm/bellman-ford-algorithm.tex index e0931f1..bce6165 100644 --- a/tikz/bellman-ford-algorithm/bellman-ford-algorithm.tex +++ b/tikz/bellman-ford-algorithm/bellman-ford-algorithm.tex @@ -51,7 +51,7 @@ \begin{tikzpicture}[scale=2.5, auto,swap] % First we draw the vertices \foreach \pos/\name in {{(0,2)/a}, {(1,2)/b}, {(2,2)/c}, - {(0,1)/d}, {(1,1)/e}, {(2,1)/f}, + {(0,1)/d}, {(1,1)/e}, {(2,1)/f}, {(0,0)/g}, {(1,0)/h}, {(2,0)/i}} \node[vertexOnly] (\name) at \pos {$\name$}; % Connect vertices with edges and draw weights @@ -73,14 +73,14 @@ % First we draw the vertices \foreach \pos/\name/\weight/\pred in { {(0,2)/a/$0$/-},{(1,2)/b/$\infty$/-}, {(2,2)/c/$\infty$/-}, - {(0,1)/d/$\infty$/-}, {(1,1)/e/$\infty$/-}, {(2,1)/f/$\infty$/-}, + {(0,1)/d/$\infty$/-}, {(1,1)/e/$\infty$/-}, {(2,1)/f/$\infty$/-}, {(0,0)/g/$\infty$/-}, {(1,0)/h/$\infty$/-}, {(2,0)/i/$\infty$/-}} \node[vertex] (\name) at \pos {$\name$}; % Connect vertices with edges and draw weights \foreach \source/ \dest /\weight/\style in { - a/b/0/, b/c/1/, a/d/2/, e/d/5/, b/e/3/bend right, - e/b/-1/bend right, b/f/4/above, f/i/3/, i/e/1/, + a/b/0/, b/c/1/, a/d/2/, e/d/5/, b/e/3/bend right, + e/b/-1/bend right, b/f/4/above, f/i/3/, i/e/1/, g/h/1/} \path (\source) edge[->,\style, thick] node {$\weight$} (\dest); \end{tikzpicture} @@ -95,14 +95,14 @@ % First we draw the vertices \foreach \pos/\name/\weight/\pred in { {(1,2)/b/$\infty$/-}, {(2,2)/c/$\infty$/-}, - {(0,1)/d/$\infty$/-}, {(1,1)/e/$\infty$/-}, {(2,1)/f/$\infty$/-}, + {(0,1)/d/$\infty$/-}, {(1,1)/e/$\infty$/-}, {(2,1)/f/$\infty$/-}, {(0,0)/g/$\infty$/-}, {(1,0)/h/$\infty$/-}, {(2,0)/i/$\infty$/-}} \node[vertex] (\name) at \pos {$\name$}; % Connect vertices with edges and draw weights \foreach \source/ \dest /\weight/\style in { - a/b/0/, b/c/1/, a/d/2/, e/d/5/, b/e/3/bend right, - e/b/-1/bend right, b/f/4/above, f/i/3/, i/e/1/, + a/b/0/, b/c/1/, a/d/2/, e/d/5/, b/e/3/bend right, + e/b/-1/bend right, b/f/4/above, f/i/3/, i/e/1/, g/h/1/} \path (\source) edge[->,\style, thick] node {$\weight$} (\dest); \end{tikzpicture} diff --git a/tikz/bias-variance/bias-variance.tex b/tikz/bias-variance/bias-variance.tex index e56453a..4be2e60 100644 --- a/tikz/bias-variance/bias-variance.tex +++ b/tikz/bias-variance/bias-variance.tex @@ -52,6 +52,6 @@ \addplot[domain=0:2, red, very thick,samples=500] {3*(x-2)*x+3.8}; \addlegendentry{training error} \addlegendentry{validation} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/binary-search-tree/binary-search-tree.tex b/tikz/binary-search-tree/binary-search-tree.tex index ee86662..1408410 100644 --- a/tikz/binary-search-tree/binary-search-tree.tex +++ b/tikz/binary-search-tree/binary-search-tree.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc} +\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc} \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black!15,circle,minimum size=18pt,inner sep=0pt] @@ -24,7 +24,7 @@ node [vertex] {$2$} } } - } + } child { node [vertex] {$8$} child { diff --git a/tikz/binary-tree/binary-tree.tex b/tikz/binary-tree/binary-tree.tex index 247cb12..8fd77fe 100644 --- a/tikz/binary-tree/binary-tree.tex +++ b/tikz/binary-tree/binary-tree.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc} +\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc} \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black!15,circle,minimum size=20pt,inner sep=0pt] @@ -19,7 +19,7 @@ node [vertex] {$-3$} child {node [vertex] {$17$}} child {node [vertex] {$5$}} - } + } child {node [vertex] {$6$}} } child { diff --git a/tikz/birthday-paradox/birthday-paradox.tex b/tikz/birthday-paradox/birthday-paradox.tex index b2a60f2..0c4f031 100644 --- a/tikz/birthday-paradox/birthday-paradox.tex +++ b/tikz/birthday-paradox/birthday-paradox.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{pgfplots} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{arrows, positioning, calc} @@ -41,9 +41,9 @@ \draw[blue, dashed, thick](a |- current plot begin) -- (a); % plot the stirling-formulae - \addplot[domain=0:60, red, thick] - {1-(365/(365-x))^(365.5-x)*e^(-x)}; - \end{axis} + \addplot[domain=0:60, red, thick] + {1-(365/(365-x))^(365.5-x)*e^(-x)}; + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/center-line/center-line.tex b/tikz/center-line/center-line.tex index 947b28d..f32e89f 100644 --- a/tikz/center-line/center-line.tex +++ b/tikz/center-line/center-line.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-fct} \usetikzlibrary{shapes.misc} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} @@ -55,19 +55,19 @@ dot/.style={ thick, % Brace \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=6pt},yshift=3pt] -(2,3) -- (4,3) node [black,midway,yshift=12pt] +(2,3) -- (4,3) node [black,midway,yshift=12pt] {\footnotesize 200m}; \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=6pt},yshift=3pt] -(4,3) -- (6,3) node [black,midway,yshift=12pt] +(4,3) -- (6,3) node [black,midway,yshift=12pt] {\footnotesize 200m}; \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=6pt},yshift=3pt] -(6,3) -- (8,3) node [black,midway,yshift=12pt] +(6,3) -- (8,3) node [black,midway,yshift=12pt] {\footnotesize 200m}; \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=6pt},yshift=3pt] -(8,3) -- (10,3) node [black,midway,yshift=12pt] +(8,3) -- (10,3) node [black,midway,yshift=12pt] {\footnotesize 200m}; \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=6pt},yshift=3pt] -(10,3) -- (12,3) node [black,midway,yshift=12pt] +(10,3) -- (12,3) node [black,midway,yshift=12pt] {\footnotesize 200m}; \end{tikzpicture} diff --git a/tikz/center-two-cluster/center-two-cluster.tex b/tikz/center-two-cluster/center-two-cluster.tex index 85fe9d5..54bf9af 100644 --- a/tikz/center-two-cluster/center-two-cluster.tex +++ b/tikz/center-two-cluster/center-two-cluster.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-fct} \usetikzlibrary{shapes.misc} -\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} diff --git a/tikz/center/center.tex b/tikz/center/center.tex index d2f9722..b0a4c67 100644 --- a/tikz/center/center.tex +++ b/tikz/center/center.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-fct} \usetikzlibrary{shapes.misc} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} diff --git a/tikz/circle-convex-metric-space/circle-convex-metric-space.tex b/tikz/circle-convex-metric-space/circle-convex-metric-space.tex index 2fda86a..cc9dc46 100644 --- a/tikz/circle-convex-metric-space/circle-convex-metric-space.tex +++ b/tikz/circle-convex-metric-space/circle-convex-metric-space.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, arrows} +\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, arrows} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{xcolor} diff --git a/tikz/circle-diameter-radius/circle-diameter-radius.tex b/tikz/circle-diameter-radius/circle-diameter-radius.tex index 4fb295d..b3de017 100644 --- a/tikz/circle-diameter-radius/circle-diameter-radius.tex +++ b/tikz/circle-diameter-radius/circle-diameter-radius.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, arrows} +\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, arrows} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{xcolor} diff --git a/tikz/circle-inscribed-circumscribed-polygon/circle-inscribed-circumscribed-polygon.tex b/tikz/circle-inscribed-circumscribed-polygon/circle-inscribed-circumscribed-polygon.tex index 0802d67..dd4ec42 100644 --- a/tikz/circle-inscribed-circumscribed-polygon/circle-inscribed-circumscribed-polygon.tex +++ b/tikz/circle-inscribed-circumscribed-polygon/circle-inscribed-circumscribed-polygon.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{calc} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} diff --git a/tikz/circles-closed/circles-closed.tex b/tikz/circles-closed/circles-closed.tex index d209aa1..061834c 100644 --- a/tikz/circles-closed/circles-closed.tex +++ b/tikz/circles-closed/circles-closed.tex @@ -12,7 +12,7 @@ \newcommand\radiusSmall{1} % Center for the second (outer) circle - \path (-30:{\radiusBig+\radiusSmall}) coordinate (X); + \path (-30:{\radiusBig+\radiusSmall}) coordinate (X); \path (210:{\radiusBig-\radiusSmall}) coordinate (Y); \path ( 0:0) coordinate (Z); diff --git a/tikz/circular-cone/circular-cone.tex b/tikz/circular-cone/circular-cone.tex index fe23d9c..01f7725 100644 --- a/tikz/circular-cone/circular-cone.tex +++ b/tikz/circular-cone/circular-cone.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} \usepackage{tikz-3dplot} -\usetikzlibrary{shapes, calc} +\usetikzlibrary{shapes, calc} \begin{document} \begin{preview} \tdplotsetmaincoords{70}{0} diff --git a/tikz/circular-sector-centroid/circular-sector-centroid.tex b/tikz/circular-sector-centroid/circular-sector-centroid.tex index 6d6109c..a4c1b13 100644 --- a/tikz/circular-sector-centroid/circular-sector-centroid.tex +++ b/tikz/circular-sector-centroid/circular-sector-centroid.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes,snakes} +\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes,snakes} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} @@ -26,7 +26,7 @@ \draw[dashed] (-{sin(\ALPHA)*\R},-\Add/2) -- (90+\ALPHA:\R); \draw[dashed] ( {sin(\ALPHA)*\R},-\Add/2) -- (90-\ALPHA:\R); \node[below] at (0,-\Add/2) (l) {$l$}; - \draw[dashed] (0,0) -- (\R/2,0) -- (\R/2, {2*\R*\R*sin(\ALPHA)/(2*pi*\ALPHA/360*2*\R)}) node[pos=0.7,right] {$y_s$} -- + \draw[dashed] (0,0) -- (\R/2,0) -- (\R/2, {2*\R*\R*sin(\ALPHA)/(2*pi*\ALPHA/360*2*\R)}) node[pos=0.7,right] {$y_s$} -- (0, {2*\R*\R*sin(\ALPHA)/(2*pi*\ALPHA/360*2*\R)}) node [thick,draw,cross out,solid,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] {}; \node[left] at (0, {2*\R*\R*sin(\ALPHA)/(2*pi*\ALPHA/360*2*\R)}) {$S$}; \node[thick,draw,cross out,solid,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] (0,0) {}; diff --git a/tikz/cmos-nor/cmos-nor.tex b/tikz/cmos-nor/cmos-nor.tex index 19d88d4..d5ac3b8 100644 --- a/tikz/cmos-nor/cmos-nor.tex +++ b/tikz/cmos-nor/cmos-nor.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \begin{document} \begin{preview} diff --git a/tikz/cmos-sram-cell/cmos-sram-cell.tex b/tikz/cmos-sram-cell/cmos-sram-cell.tex index 4584bb4..14c420d 100644 --- a/tikz/cmos-sram-cell/cmos-sram-cell.tex +++ b/tikz/cmos-sram-cell/cmos-sram-cell.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \begin{document} \begin{preview} @@ -54,7 +54,7 @@ \draw (5.5,10.5) -- (7,10.5); % T3 - rechts \draw[fill=black] (5,7.5) circle (0.1); \draw[fill=black] (7,7.5) circle (0.1); - + % center - right part \draw (11,4) -- (11,5); % line to top \draw (11,6) -- (11,10); % line to top @@ -79,7 +79,7 @@ \draw (8,4) -- (8,3); \draw (7.25,3) -- (8.75,3); \draw (7.5,2.75) -- (8.5,2.75); - + % top \draw (5,12) -- (11,12); \draw (8,12) -- (8,15); diff --git a/tikz/commutative-diagram/commutative-diagram.tex b/tikz/commutative-diagram/commutative-diagram.tex index 8788be9..f8e0684 100644 --- a/tikz/commutative-diagram/commutative-diagram.tex +++ b/tikz/commutative-diagram/commutative-diagram.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning,fit,shapes} +\usetikzlibrary{arrows,positioning,fit,shapes} \begin{document} \begin{preview} @@ -17,7 +17,7 @@ \draw[->, below] (Kn) to node {$\Theta_{B'}$} (Km); \draw[->, left] (Phi) to node {$\Theta_B$} (Kn); \draw[->, right] (W) to node {$\Theta_{B'}$} (Km); - \node [ellipse,fit={(Kn) (Km) (TS)}, draw=orange, thick, text=orange] + \node [ellipse,fit={(Kn) (Km) (TS)}, draw=orange, thick, text=orange] {}; \node [ellipse,fit={(Phi) (W) (TN)}, draw=green, thick, text=green] {}; diff --git a/tikz/coordinate-system-2/coordinate-system-2.tex b/tikz/coordinate-system-2/coordinate-system-2.tex index a97f247..f818876 100644 --- a/tikz/coordinate-system-2/coordinate-system-2.tex +++ b/tikz/coordinate-system-2/coordinate-system-2.tex @@ -22,13 +22,13 @@ \tkzDefLine[orthogonal=through P,/tikz/overlay](O,X) \tkzGetPoint{helper} \tkzInterLL(O,X)(P,helper) \tkzGetPoint{xp} \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=4pt,mirror}] - (O) -- (xp) node [black,midway,xshift=0cm, yshift=-0.3cm] + (O) -- (xp) node [black,midway,xshift=0cm, yshift=-0.3cm] {\footnotesize $x_P$}; \tkzDefLine[orthogonal=through P,/tikz/overlay](O,Y) \tkzGetPoint{helper} \tkzInterLL(O,Y)(P,helper) \tkzGetPoint{yp} \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=4pt}] - (O) -- (yp) node [black,midway,xshift=-0.4cm] + (O) -- (yp) node [black,midway,xshift=-0.4cm] {\footnotesize $y_P$}; \tkzDrawPolygon(O,xp,P,yp) diff --git a/tikz/coordinate-system-3/coordinate-system-3.tex b/tikz/coordinate-system-3/coordinate-system-3.tex index 0abee62..554721e 100644 --- a/tikz/coordinate-system-3/coordinate-system-3.tex +++ b/tikz/coordinate-system-3/coordinate-system-3.tex @@ -18,13 +18,13 @@ \tkzDefLine[orthogonal=through P,/tikz/overlay](O,X) \tkzGetPoint{helper} \tkzInterLL(O,X)(P,helper) \tkzGetPoint{xp} \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=4pt,mirror}] - (O) -- (xp) node [black,midway,xshift=0cm, yshift=-0.3cm] + (O) -- (xp) node [black,midway,xshift=0cm, yshift=-0.3cm] {\footnotesize $x_P$}; \tkzDefLine[orthogonal=through P,/tikz/overlay](O,Y) \tkzGetPoint{helper} \tkzInterLL(O,Y)(P,helper) \tkzGetPoint{yp} \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=4pt}] - (O) -- (yp) node [black,midway,xshift=-0.4cm] + (O) -- (yp) node [black,midway,xshift=-0.4cm] {\footnotesize $y_P$}; \tkzDrawPolygon(O,xp,P,yp) diff --git a/tikz/csv-2d-gaussian-multivarate-distributions/csv-2d-gaussian-multivarate-distributions.tex b/tikz/csv-2d-gaussian-multivarate-distributions/csv-2d-gaussian-multivarate-distributions.tex index bc9e15f..5884bec 100644 --- a/tikz/csv-2d-gaussian-multivarate-distributions/csv-2d-gaussian-multivarate-distributions.tex +++ b/tikz/csv-2d-gaussian-multivarate-distributions/csv-2d-gaussian-multivarate-distributions.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -% Thanks to Jake for helping me with this one: +% Thanks to Jake for helping me with this one: % http://tex.stackexchange.com/a/198531/5645 \documentclass[varwidth=true, border=5pt]{article} \usepackage[active,tightpage]{preview} @@ -7,7 +7,7 @@ \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=1.10} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, positioning} +\usetikzlibrary{arrows, positioning} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/cubic-function-intermediate-value-theorem/cubic-function-intermediate-value-theorem.tex b/tikz/cubic-function-intermediate-value-theorem/cubic-function-intermediate-value-theorem.tex index 0011551..3ad2440 100644 --- a/tikz/cubic-function-intermediate-value-theorem/cubic-function-intermediate-value-theorem.tex +++ b/tikz/cubic-function-intermediate-value-theorem/cubic-function-intermediate-value-theorem.tex @@ -11,14 +11,14 @@ \usepackage{xcolor} \definecolor{horizontalLineColor}{HTML}{008000} \definecolor{verticalLineColor}{HTML}{FF0000} - + \begin{document} % Define this as a command to ensure that it is same in both cases \newcommand*{\ShowIntersection}[2]{ -\fill - [name intersections={of=#1 and #2, name=i, total=\t}] - [red, opacity=1, every node/.style={above left, black, opacity=1}] +\fill + [name intersections={of=#1 and #2, name=i, total=\t}] + [red, opacity=1, every node/.style={above left, black, opacity=1}] \foreach \s in {1,...,\t}{(i-\s) circle (2pt) node [above left] {\s}}; } @@ -39,8 +39,8 @@ xticklabels={,,}, yticklabels={,,} ] - \addplot[name path global=a, domain=55:161, dotted, blue, - very thick,samples=500, label=$y=f(x)$] + \addplot[name path global=a, domain=55:161, dotted, blue, + very thick,samples=500, label=$y=f(x)$] {113/132078*x*x*x-11865/44026*x*x+1169437/44026*x-93155207/132078}; % ( 55 | 82.7344) and (161 | 156.011) are on the graph \coordinate (b) at (axis cs: 55,170); @@ -58,7 +58,7 @@ % (100 | 111.494) \coordinate (f) at (axis cs:100, 111.494); \draw[red,dashed](f |- 0,0) -- (f); - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/cubic-function/cubic-function.tex b/tikz/cubic-function/cubic-function.tex index 4caf6fb..02e120d 100644 --- a/tikz/cubic-function/cubic-function.tex +++ b/tikz/cubic-function/cubic-function.tex @@ -1,18 +1,18 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{pgfplots} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{arrows, positioning, calc, intersections} - + \begin{document} % Define this as a command to ensure that it is same in both cases \newcommand*{\ShowIntersection}[2]{ -\fill - [name intersections={of=#1 and #2, name=i, total=\t}] - [red, opacity=1, every node/.style={above left, black, opacity=1}] +\fill + [name intersections={of=#1 and #2, name=i, total=\t}] + [red, opacity=1, every node/.style={above left, black, opacity=1}] \foreach \s in {1,...,\t}{(i-\s) circle (2pt) node [above left] {\s}}; } @@ -42,12 +42,12 @@ tick align=outside, tension=0.08] % plot the stirling-formulae - \addplot[name path global=a, domain=-2:4, red, thick,samples=500] - {-x*x*x + 4*x*x-x-4}; - \addplot[name path global=b, domain=0.25:4, blue, thick, dashed] {x-1.2}; - \addplot[name path global=c, domain=0.25:4, blue, thick, dashed] {x+0.42}; + \addplot[name path global=a, domain=-2:4, red, thick,samples=500] + {-x*x*x + 4*x*x-x-4}; + \addplot[name path global=b, domain=0.25:4, blue, thick, dashed] {x-1.2}; + \addplot[name path global=c, domain=0.25:4, blue, thick, dashed] {x+0.42}; \ShowIntersection{a}{b}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/dijkstra/dot-product-1.tex b/tikz/dijkstra/dot-product-1.tex index abf8c0e..8ad78de 100644 --- a/tikz/dijkstra/dot-product-1.tex +++ b/tikz/dijkstra/dot-product-1.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/dirichlet-function/dirichlet-function.tex b/tikz/dirichlet-function/dirichlet-function.tex index df8c7fc..08a4f84 100644 --- a/tikz/dirichlet-function/dirichlet-function.tex +++ b/tikz/dirichlet-function/dirichlet-function.tex @@ -29,15 +29,15 @@ \addplot[domain=-1:1, ultra thick,samples=100,blue] {1}; \label{plot one} \addplot[domain=-1:1, ultra thick,samples=100,red] {0}; - \label{plot two} + \label{plot two} \node [draw,fill=white] at (rel axis cs: 0.8,0.8) {\shortstack[l]{ - $f(x) = + $f(x) = \left\lbrace\begin{array}{@{}l@{}l@{}l@{}} \tikz[baseline=-0.5ex]\node{\ref{plot one}}; \phantom{1cm}& 1 & \text{ if } x \in \mathbb{Q}\\ \tikz[baseline=-0.5ex]\node{\ref{plot two}}; & 0 & \text{ if } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{array}\right. $}}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/dot-product-1/dot-product-1.tex b/tikz/dot-product-1/dot-product-1.tex index ff850e7..73d762b 100644 --- a/tikz/dot-product-1/dot-product-1.tex +++ b/tikz/dot-product-1/dot-product-1.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/dot-product-2/dot-product-2.tex b/tikz/dot-product-2/dot-product-2.tex index ff57818..15abd12 100644 --- a/tikz/dot-product-2/dot-product-2.tex +++ b/tikz/dot-product-2/dot-product-2.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/dot-product-3/dot-product-3.1.tex b/tikz/dot-product-3/dot-product-3.1.tex index 833e3eb..09fd1e6 100644 --- a/tikz/dot-product-3/dot-product-3.1.tex +++ b/tikz/dot-product-3/dot-product-3.1.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{gensymb} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows,positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/dot-product-3/dot-product-3.2.tex b/tikz/dot-product-3/dot-product-3.2.tex index 027d2ae..0a8d3f7 100644 --- a/tikz/dot-product-3/dot-product-3.2.tex +++ b/tikz/dot-product-3/dot-product-3.2.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows,positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/dot-product-3/dot-product-3.3.tex b/tikz/dot-product-3/dot-product-3.3.tex index e1dff1a..3c1308e 100644 --- a/tikz/dot-product-3/dot-product-3.3.tex +++ b/tikz/dot-product-3/dot-product-3.3.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows,positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/dot-product-3/dot-product-3.4.tex b/tikz/dot-product-3/dot-product-3.4.tex index 9e6d1d6..acc483b 100644 --- a/tikz/dot-product-3/dot-product-3.4.tex +++ b/tikz/dot-product-3/dot-product-3.4.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows,positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/dot-product-4/dot-product-4.tex b/tikz/dot-product-4/dot-product-4.tex index 78871e5..0afc6c1 100644 --- a/tikz/dot-product-4/dot-product-4.tex +++ b/tikz/dot-product-4/dot-product-4.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc} +\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/dot-product-5/dot-product-5.tex b/tikz/dot-product-5/dot-product-5.tex index a204947..2bbc3e6 100644 --- a/tikz/dot-product-5/dot-product-5.tex +++ b/tikz/dot-product-5/dot-product-5.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc} +\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/dot-product-6/dot-product-6.tex b/tikz/dot-product-6/dot-product-6.tex index 5299b70..7e8a674 100644 --- a/tikz/dot-product-6/dot-product-6.tex +++ b/tikz/dot-product-6/dot-product-6.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/doubly-linked-list/doubly-linked-list.tex b/tikz/doubly-linked-list/doubly-linked-list.tex index 7754119..12fb36a 100644 --- a/tikz/doubly-linked-list/doubly-linked-list.tex +++ b/tikz/doubly-linked-list/doubly-linked-list.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{calc,shapes.multipart,chains,arrows,positioning} @@ -11,9 +11,9 @@ inner sep=0pt, text=black, path picture = { \draw[black] - (path picture bounding box.north west) -- + (path picture bounding box.north west) -- (path picture bounding box.south east) - (path picture bounding box.south west) -- + (path picture bounding box.south west) -- (path picture bounding box.north east); } } @@ -23,12 +23,12 @@ \begin{preview} \begin{tikzpicture}[ list/.style={ - very thick, rectangle split, - rectangle split parts=3, draw, + very thick, rectangle split, + rectangle split parts=3, draw, rectangle split horizontal, minimum size=18pt, inner sep=5pt, text=black, rectangle split part fill={blue!20, red!20, blue!20} - }, + }, ->, start chain, very thick ] diff --git a/tikz/ellipsoid/ellipsoid.tex b/tikz/ellipsoid/ellipsoid.tex index c95f5b0..b98b47b 100644 --- a/tikz/ellipsoid/ellipsoid.tex +++ b/tikz/ellipsoid/ellipsoid.tex @@ -11,14 +11,14 @@ \usepackage{xcolor} \definecolor{horizontalLineColor}{HTML}{008000} \definecolor{verticalLineColor}{HTML}{FF0000} - + \begin{document} % Define this as a command to ensure that it is same in both cases \newcommand*{\ShowIntersection}[2]{ -\fill - [name intersections={of=#1 and #2, name=i, total=\t}] - [red, opacity=1, every node/.style={above left, black, opacity=1}] +\fill + [name intersections={of=#1 and #2, name=i, total=\t}] + [red, opacity=1, every node/.style={above left, black, opacity=1}] \foreach \s in {1,...,\t}{(i-\s) circle (2pt) node [above left] {\s}}; } @@ -39,7 +39,7 @@ %yticklabels={,,} ] \addplot3[surf] {-(x*x/16+y*y/4-1)}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/evaluation-tree/evaluation-tree.tex b/tikz/evaluation-tree/evaluation-tree.tex index 3086ad0..16a2942 100644 --- a/tikz/evaluation-tree/evaluation-tree.tex +++ b/tikz/evaluation-tree/evaluation-tree.tex @@ -2,17 +2,17 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc} +\usetikzlibrary{shapes, calc} \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black!15,circle,minimum size=20pt,inner sep=0pt] \begin{document} \begin{preview} \begin{tikzpicture} \node[vertex] {+} - child { + child { node[vertex] {+} - child { - node[vertex] {+} + child { + node[vertex] {+} child { node[vertex] {i} } child { node[vertex] {++i} } } diff --git a/tikz/extended-euclidean-algorithm-runtime/extended-euclidean-algorithm-runtime.tex b/tikz/extended-euclidean-algorithm-runtime/extended-euclidean-algorithm-runtime.tex index c2efb4d..805dbae 100644 --- a/tikz/extended-euclidean-algorithm-runtime/extended-euclidean-algorithm-runtime.tex +++ b/tikz/extended-euclidean-algorithm-runtime/extended-euclidean-algorithm-runtime.tex @@ -5,7 +5,7 @@ \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=1.10} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, positioning} +\usetikzlibrary{arrows, positioning} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/faktorraum/faktorraum.tex b/tikz/faktorraum/faktorraum.tex index b59052c..7547628 100644 --- a/tikz/faktorraum/faktorraum.tex +++ b/tikz/faktorraum/faktorraum.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \usepackage{pgfplots} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{arrows, positioning, calc,matrix} - + \begin{document} \begin{preview} \begin{tikzpicture} @@ -27,19 +27,19 @@ legend pos= north west, legend cell align=left, legend style={legend pos=north west,font=\tiny}] - + \addplot[domain=-100:100, red, thick] {x}; \addlegendentry{$\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} + U$}; - \addplot[domain=-100:100, blue, thick] {x + 12}; + \addplot[domain=-100:100, blue, thick] {x + 12}; \addlegendentry{$\begin{pmatrix}0\\12\end{pmatrix} + U$}; \addplot[domain=-100:100, purple, thick] {x - 42}; \addlegendentry{$\begin{pmatrix}0\\-42\end{pmatrix} + U$}; - \addplot[domain=-100:100, lime, thick] {x + 50}; + \addplot[domain=-100:100, lime, thick] {x + 50}; \addlegendentry{$\begin{pmatrix}0\\50\end{pmatrix} + U$}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/feed-forward-perceptron/feed-forward-perceptron.tex b/tikz/feed-forward-perceptron/feed-forward-perceptron.tex index fea188b..ee63a52 100644 --- a/tikz/feed-forward-perceptron/feed-forward-perceptron.tex +++ b/tikz/feed-forward-perceptron/feed-forward-perceptron.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows} +\usetikzlibrary{arrows} \tikzstyle{input}=[draw,fill=red!50,circle,minimum size=10pt,inner sep=0pt] \tikzstyle{hidden}=[draw,fill=green!50,circle,minimum size=10pt,inner sep=0pt] diff --git a/tikz/force-distance-diagram-constant/force-distance-diagram-constant.tex b/tikz/force-distance-diagram-constant/force-distance-diagram-constant.tex index 44e4ca5..2664f08 100644 --- a/tikz/force-distance-diagram-constant/force-distance-diagram-constant.tex +++ b/tikz/force-distance-diagram-constant/force-distance-diagram-constant.tex @@ -53,6 +53,6 @@ \addplot[fill=green, fill opacity=0.3] fill between[of=f and axis,soft clip={domain=1:3}]; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/force-distance-diagram/force-distance-diagram.tex b/tikz/force-distance-diagram/force-distance-diagram.tex index b68f938..0a296ef 100644 --- a/tikz/force-distance-diagram/force-distance-diagram.tex +++ b/tikz/force-distance-diagram/force-distance-diagram.tex @@ -52,6 +52,6 @@ \addplot[fill=green, fill opacity=0.3] fill between[of=f and axis,soft clip={domain=1:3}]; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/graph-banner/graph-banner.tex b/tikz/graph-banner/graph-banner.tex index 1e9fff4..10cac94 100644 --- a/tikz/graph-banner/graph-banner.tex +++ b/tikz/graph-banner/graph-banner.tex @@ -1,13 +1,13 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{xcolor} \definecolor{pink}{HTML}{FF00FF} \definecolor{purple}{HTML}{800080} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc,lindenmayersystems,decorations.pathmorphing,intersections} +\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc,lindenmayersystems,decorations.pathmorphing,intersections} \tikzstyle{vertex}=[draw, fill=black, circle,minimum size=10pt,inner sep=0pt] diff --git a/tikz/graph-circles/graph-circles.tex b/tikz/graph-circles/graph-circles.tex index 800d731..d7068f5 100644 --- a/tikz/graph-circles/graph-circles.tex +++ b/tikz/graph-circles/graph-circles.tex @@ -1,13 +1,13 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{xcolor} \definecolor{pink}{HTML}{FF00FF} \definecolor{purple}{HTML}{800080} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc,lindenmayersystems,decorations.pathmorphing,intersections} +\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc,lindenmayersystems,decorations.pathmorphing,intersections} \tikzstyle{vertex}=[draw, fill=black, circle,minimum size=10pt,inner sep=0pt] @@ -32,13 +32,13 @@ circle,minimum size=10pt,inner sep=0pt] \node (j)[vertex] at (1.5,8.5) {j}; \node (k)[vertex] at (4,9) {k}; - \node[text=black!80] (o1) at (barycentric cs:a=1,b=1,c=1,d=1,f=1,g=1) {\Large 1}; - \node[text=red] (o2) at (barycentric cs:b=1,d=1,e=1,g=1,h=1) {\Large 2}; - \node[text=yellow] (o3) at (barycentric cs:g=1,h=1,j=1,k=1) {\Large 3}; - \node[text=pink] (o4) at (barycentric cs:f=1,g=1,j=1) {\Large 4}; - \node[text=orange] (o5) at (barycentric cs:h=1,i=1,k=1) {\Large 5}; - \node[text=blue] (o6) at (barycentric cs:h=1,i=1,e=1) {\Large 6}; - \node[text=purple] (o7) at (barycentric cs:f=1,d=1,g=1) {\Large 7}; + \node[text=black!80] (o1) at (barycentric cs:a=1,b=1,c=1,d=1,f=1,g=1) {\Large 1}; + \node[text=red] (o2) at (barycentric cs:b=1,d=1,e=1,g=1,h=1) {\Large 2}; + \node[text=yellow] (o3) at (barycentric cs:g=1,h=1,j=1,k=1) {\Large 3}; + \node[text=pink] (o4) at (barycentric cs:f=1,g=1,j=1) {\Large 4}; + \node[text=orange] (o5) at (barycentric cs:h=1,i=1,k=1) {\Large 5}; + \node[text=blue] (o6) at (barycentric cs:h=1,i=1,e=1) {\Large 6}; + \node[text=purple] (o7) at (barycentric cs:f=1,d=1,g=1) {\Large 7}; \foreach \from/\to in {a/b,a/b,b/d,b/e,c/f,d/f,d/g,f/g,g/h,h/e,h/i,e/i,f/j,g/j,j/k,k/h,k/i} \draw[line width=2pt] (\from) -- (\to); diff --git a/tikz/graph-triangles/graph-triangles.tex b/tikz/graph-triangles/graph-triangles.tex index 9111aba..18ece1d 100644 --- a/tikz/graph-triangles/graph-triangles.tex +++ b/tikz/graph-triangles/graph-triangles.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{ifthen} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{calc} \begin{document} \tikzstyle{vertex}=[draw,red,fill=red,circle, @@ -20,7 +20,7 @@ minimum size=10pt,inner sep=0pt] \pgfmathtruncatemacro\X{\x} \ifthenelse{\X<\loopend}{\draw[edge] (\x,\y) -- (\x+2,\y);}{} \ifthenelse{\X=\loopend}{}{\draw[edge] (\x,\y) -- (\x+1,\y+1);} - + } } \end{tikzpicture} diff --git a/tikz/graph-v6-e8/graph-v6-e8.tex b/tikz/graph-v6-e8/graph-v6-e8.tex index cb9fae8..e83847d 100644 --- a/tikz/graph-v6-e8/graph-v6-e8.tex +++ b/tikz/graph-v6-e8/graph-v6-e8.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{ifthen} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{calc} \begin{document} \tikzstyle{vertex}=[draw,black,fill=blue,circle,minimum size=10pt,inner sep=0pt] diff --git a/tikz/halbleiterspeicher-klassifizierung/halbleiterspeicher-klassifizierung.tex b/tikz/halbleiterspeicher-klassifizierung/halbleiterspeicher-klassifizierung.tex index 9a13db3..e51e092 100644 --- a/tikz/halbleiterspeicher-klassifizierung/halbleiterspeicher-klassifizierung.tex +++ b/tikz/halbleiterspeicher-klassifizierung/halbleiterspeicher-klassifizierung.tex @@ -2,22 +2,22 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc} +\usetikzlibrary{shapes, calc} \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black!15,rectangle,minimum size=20pt,inner sep=10pt] \begin{document} \begin{preview} \begin{tikzpicture}[font=\sffamily,thick,level/.style={sibling distance=120mm/#1}] \node[vertex] {Halbleiterspeicher} - child { + child { node[vertex] {Festwertspeicher} - child { - node[vertex] {Irreversibel} + child { + node[vertex] {Irreversibel} child { node[vertex] {ROM} } child { node[vertex] {PROM} } } - child { - node[vertex] {Reversibel} + child { + node[vertex] {Reversibel} child { node[vertex] {EPROM} } child { node[vertex] {EEPROM} } } diff --git a/tikz/hard-limit-function/hard-limit-function.tex b/tikz/hard-limit-function/hard-limit-function.tex index b84e627..4200275 100644 --- a/tikz/hard-limit-function/hard-limit-function.tex +++ b/tikz/hard-limit-function/hard-limit-function.tex @@ -23,7 +23,7 @@ tick align=outside, enlargelimits=false] % plot the function - \addplot[domain=-1:1, blue, ultra thick,samples=500] {x < 0 ? 0 : 1}; - \end{axis} + \addplot[domain=-1:1, blue, ultra thick,samples=500] {x < 0 ? 0 : 1}; + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/haskell-type-classes/haskell-type-classes.tex b/tikz/haskell-type-classes/haskell-type-classes.tex index ce3b56a..c01e729 100644 --- a/tikz/haskell-type-classes/haskell-type-classes.tex +++ b/tikz/haskell-type-classes/haskell-type-classes.tex @@ -25,7 +25,7 @@ \node[node] (MonadPlus) {\textbf{MonadPlus}\\IO, (), Maybe}; & \node[node] (Functor) {\textbf{Functor}\\IO, (), Maybe}; & \\ - }; + }; \draw[edge] (Eq) -- (Ord); \draw[edge] (Eq) -- (Num); \draw[edge] (Show) -- (Num); diff --git a/tikz/heap/heap.tex b/tikz/heap/heap.tex index fa5c934..f47459c 100644 --- a/tikz/heap/heap.tex +++ b/tikz/heap/heap.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc} +\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc} \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black!15,circle,minimum size=18pt,inner sep=0pt] @@ -18,7 +18,7 @@ child { node [vertex] {$6$} child {node [vertex] {$20$}} - } + } child { node [vertex] {$9$} } diff --git a/tikz/hidden-markov-model-abc-2/hidden-markov-model-abc-2.tex b/tikz/hidden-markov-model-abc-2/hidden-markov-model-abc-2.tex index f3124f2..eae99b8 100644 --- a/tikz/hidden-markov-model-abc-2/hidden-markov-model-abc-2.tex +++ b/tikz/hidden-markov-model-abc-2/hidden-markov-model-abc-2.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage{units} \usepackage{ifthen} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{calc} \begin{document} \tikzstyle{vertex}=[draw,black,fill=blue,circle,minimum size=10pt,inner sep=0pt] diff --git a/tikz/hidden-markov-model-abc/hidden-markov-model-abc.tex b/tikz/hidden-markov-model-abc/hidden-markov-model-abc.tex index d578615..f8c3d29 100644 --- a/tikz/hidden-markov-model-abc/hidden-markov-model-abc.tex +++ b/tikz/hidden-markov-model-abc/hidden-markov-model-abc.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage{units} \usepackage{ifthen} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{calc} \begin{document} \tikzstyle{vertex}=[draw,black,fill=blue,circle,minimum size=10pt,inner sep=0pt] diff --git a/tikz/hidden-markov-model-three-state-symbol/hidden-markov-model-three-state-symbol.tex b/tikz/hidden-markov-model-three-state-symbol/hidden-markov-model-three-state-symbol.tex index 2edfa1f..86c9db3 100644 --- a/tikz/hidden-markov-model-three-state-symbol/hidden-markov-model-three-state-symbol.tex +++ b/tikz/hidden-markov-model-three-state-symbol/hidden-markov-model-three-state-symbol.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage{units} \usepackage{ifthen} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{calc} \begin{document} \tikzstyle{vertex}=[draw,black,fill=blue,circle,minimum size=10pt,inner sep=0pt] diff --git a/tikz/histogram-large-1d-dataset/histogram-large-1d-dataset.template.tex b/tikz/histogram-large-1d-dataset/histogram-large-1d-dataset.template.tex index 0e44222..3d055f8 100644 --- a/tikz/histogram-large-1d-dataset/histogram-large-1d-dataset.template.tex +++ b/tikz/histogram-large-1d-dataset/histogram-large-1d-dataset.template.tex @@ -43,7 +43,7 @@ nodes near coords, every node near coord/.append style={ fill=white, - anchor=mid west, + anchor=mid west, shift={(3pt,4pt)}, inner sep=0, font=\footnotesize, diff --git a/tikz/histogram-symbols/histogram-large-1d-dataset.template.tex b/tikz/histogram-symbols/histogram-large-1d-dataset.template.tex index 3e34652..faac747 100644 --- a/tikz/histogram-symbols/histogram-large-1d-dataset.template.tex +++ b/tikz/histogram-symbols/histogram-large-1d-dataset.template.tex @@ -42,7 +42,7 @@ nodes near coords, every node near coord/.append style={ fill=white, - anchor=mid west, + anchor=mid west, shift={(3pt,4pt)}, inner sep=0, font=\footnotesize, diff --git a/tikz/histogram-symbols/histogram-large-1d-dataset.tex b/tikz/histogram-symbols/histogram-large-1d-dataset.tex index 891b95b..9272f43 100644 --- a/tikz/histogram-symbols/histogram-large-1d-dataset.tex +++ b/tikz/histogram-symbols/histogram-large-1d-dataset.tex @@ -42,7 +42,7 @@ nodes near coords, every node near coord/.append style={ fill=white, - anchor=mid west, + anchor=mid west, shift={(3pt,4pt)}, inner sep=0, font=\footnotesize, diff --git a/tikz/hyberbolische-geometrie-1/hyberbolische-geometrie-1.tex b/tikz/hyberbolische-geometrie-1/hyberbolische-geometrie-1.tex index 0da8126..f30e780 100644 --- a/tikz/hyberbolische-geometrie-1/hyberbolische-geometrie-1.tex +++ b/tikz/hyberbolische-geometrie-1/hyberbolische-geometrie-1.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=10pt]{standalone} \usepackage{tkz-euclide} -\usepackage{tkz-fct} +\usepackage{tkz-fct} \newcommand{\iu}{{i\mkern1mu}} % imaginary unit \begin{document} diff --git a/tikz/hyberbolische-geometrie-2/hyberbolische-geometrie-2.tex b/tikz/hyberbolische-geometrie-2/hyberbolische-geometrie-2.tex index 819ef91..e2667fb 100644 --- a/tikz/hyberbolische-geometrie-2/hyberbolische-geometrie-2.tex +++ b/tikz/hyberbolische-geometrie-2/hyberbolische-geometrie-2.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=10pt]{standalone} \usepackage{tkz-euclide} -\usepackage{tkz-fct} +\usepackage{tkz-fct} \newcommand{\iu}{{i\mkern1mu}} % imaginary unit \begin{document} diff --git a/tikz/hypersurface-2/hypersurface-2.tex b/tikz/hypersurface-2/hypersurface-2.tex index 4ef168f..658ad41 100644 --- a/tikz/hypersurface-2/hypersurface-2.tex +++ b/tikz/hypersurface-2/hypersurface-2.tex @@ -11,14 +11,14 @@ \usepackage{xcolor} \definecolor{horizontalLineColor}{HTML}{008000} \definecolor{verticalLineColor}{HTML}{FF0000} - + \begin{document} % Define this as a command to ensure that it is same in both cases \newcommand*{\ShowIntersection}[2]{ -\fill - [name intersections={of=#1 and #2, name=i, total=\t}] - [red, opacity=1, every node/.style={above left, black, opacity=1}] +\fill + [name intersections={of=#1 and #2, name=i, total=\t}] + [red, opacity=1, every node/.style={above left, black, opacity=1}] \foreach \s in {1,...,\t}{(i-\s) circle (2pt) node [above left] {\s}}; } @@ -43,7 +43,7 @@ %yticklabels={,,} ] \addplot3[surf] {3*x*x-y*y-9*x+1}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/hypersurface-3/hypersurface-3.tex b/tikz/hypersurface-3/hypersurface-3.tex index 1bbc410..629e6da 100644 --- a/tikz/hypersurface-3/hypersurface-3.tex +++ b/tikz/hypersurface-3/hypersurface-3.tex @@ -11,14 +11,14 @@ \usepackage{xcolor} \definecolor{horizontalLineColor}{HTML}{008000} \definecolor{verticalLineColor}{HTML}{FF0000} - + \begin{document} % Define this as a command to ensure that it is same in both cases \newcommand*{\ShowIntersection}[2]{ -\fill - [name intersections={of=#1 and #2, name=i, total=\t}] - [red, opacity=1, every node/.style={above left, black, opacity=1}] +\fill + [name intersections={of=#1 and #2, name=i, total=\t}] + [red, opacity=1, every node/.style={above left, black, opacity=1}] \foreach \s in {1,...,\t}{(i-\s) circle (2pt) node [above left] {\s}}; } @@ -39,7 +39,7 @@ %yticklabels={,,} ] \addplot3[surf] {-3/25*x*x+1/25*y*y}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/hypersurface-order-2/hypersurface-order-2.tex b/tikz/hypersurface-order-2/hypersurface-order-2.tex index e6b4e8c..b57fc5d 100644 --- a/tikz/hypersurface-order-2/hypersurface-order-2.tex +++ b/tikz/hypersurface-order-2/hypersurface-order-2.tex @@ -11,14 +11,14 @@ \usepackage{xcolor} \definecolor{horizontalLineColor}{HTML}{008000} \definecolor{verticalLineColor}{HTML}{FF0000} - + \begin{document} % Define this as a command to ensure that it is same in both cases \newcommand*{\ShowIntersection}[2]{ -\fill - [name intersections={of=#1 and #2, name=i, total=\t}] - [red, opacity=1, every node/.style={above left, black, opacity=1}] +\fill + [name intersections={of=#1 and #2, name=i, total=\t}] + [red, opacity=1, every node/.style={above left, black, opacity=1}] \foreach \s in {1,...,\t}{(i-\s) circle (2pt) node [above left] {\s}}; } @@ -45,7 +45,7 @@ % if you want to use Wolfram|Alpha: % Plot3D[x*x-4*x*y+y*y+1, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}] \addplot3[surf] {x*x-4*x*y+y*y+1}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/isosceles-triangle-more/isosceles-triangle-more.tex b/tikz/isosceles-triangle-more/isosceles-triangle-more.tex index f1e3f92..76ca445 100644 --- a/tikz/isosceles-triangle-more/isosceles-triangle-more.tex +++ b/tikz/isosceles-triangle-more/isosceles-triangle-more.tex @@ -9,7 +9,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc} +\usetikzlibrary{shapes, calc} \begin{document} \begin{preview} @@ -21,7 +21,7 @@ % Draw the background of the triangle \node[isosceles triangle, isosceles triangle apex angle=44,draw, inner sep=0pt,anchor=lower side,rotate=90,draw=black, - line width=1.5pt, minimum height=4cm, fill=gray!2] + line width=1.5pt, minimum height=4cm, fill=gray!2] (triangle) at (1.6,-0.05) {}; % Rechte Winkel @@ -87,7 +87,7 @@ \begin{scope}[shift={($(B)$)}] \draw (146:4) node (BEnd) {}; \end{scope} - + \draw[color=cWinkelhalbierende, densely dashed] (B) -- node {} (BEnd); %\draw[color=red, dashed] (C) -- node {} ($(A)!0.5!(B)$); @@ -100,7 +100,7 @@ % Draw the triangle \node[isosceles triangle, isosceles triangle apex angle=44,draw, inner sep=0pt,anchor=lower side,rotate=90,draw=black, - line width=1.5pt, minimum height=4cm] + line width=1.5pt, minimum height=4cm] (triangle) at (1.6,-0.05) {}; \end{tikzpicture} \end{preview} diff --git a/tikz/isosceles-triangle/isosceles-triangle.tex b/tikz/isosceles-triangle/isosceles-triangle.tex index ac263cb..e582bb3 100644 --- a/tikz/isosceles-triangle/isosceles-triangle.tex +++ b/tikz/isosceles-triangle/isosceles-triangle.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc} +\usetikzlibrary{shapes, calc} \begin{document} \begin{preview} \begin{tikzpicture} diff --git a/tikz/jordan-normal-form-block/jordan-normal-form-block.tex b/tikz/jordan-normal-form-block/jordan-normal-form-block.tex index d9b3a4c..c7f3bf6 100644 --- a/tikz/jordan-normal-form-block/jordan-normal-form-block.tex +++ b/tikz/jordan-normal-form-block/jordan-normal-form-block.tex @@ -27,7 +27,7 @@ \begin{document} \begin{preview} $ - A_{\lambda_i} = + A_{\lambda_i} = \left( \begin{array}{*5{c}} \tikzmark{1}{$\lambda_i$} & 1 & 0 & & 0 \\ @@ -37,8 +37,8 @@ $ 0 & & & & \tikzmark{3}{$\lambda_i$} \tikzmark{4}{} \\ \end{array} \right) - \Highlight{1}{2}{blue} - \Highlight{3}{4}{red} + \Highlight{1}{2}{blue} + \Highlight{3}{4}{red} $ \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/jordan-normal-form/jordan-normal-form.tex b/tikz/jordan-normal-form/jordan-normal-form.tex index 71b86e3..3ba168b 100644 --- a/tikz/jordan-normal-form/jordan-normal-form.tex +++ b/tikz/jordan-normal-form/jordan-normal-form.tex @@ -8,7 +8,7 @@ \begin{document} \begin{preview} $ - J = + J = \left( \begin{array}{*4{c}} A_{\lambda_1} & & & 0\\ diff --git a/tikz/karnaugh-map/karnaugh-map.tex b/tikz/karnaugh-map/karnaugh-map.tex index d181f08..5c802c6 100644 --- a/tikz/karnaugh-map/karnaugh-map.tex +++ b/tikz/karnaugh-map/karnaugh-map.tex @@ -16,8 +16,8 @@ %shorten <=\ShortenBegin, shorten >=\ShortenEnd, %out=\OutAngle, in=\InAngle, Arrow Style, #2 #1 - ] - ($(#2)+(-0.50em,3.5ex)$) to + ] + ($(#2)+(-0.50em,3.5ex)$) to ($(#3)+(1.5em,0.0ex)$); \end{tikzpicture}% <-- important } diff --git a/tikz/knot-trefoil/knot-trefoil.tex b/tikz/knot-trefoil/knot-trefoil.tex index 4619ca1..406cfc8 100644 --- a/tikz/knot-trefoil/knot-trefoil.tex +++ b/tikz/knot-trefoil/knot-trefoil.tex @@ -17,9 +17,9 @@ \end{scope} } \draw (0,0) \foreach \brk in {0,1,2} { - let - \n0=\brk, - \n1={int(Mod(\brk+1,3))}, + let + \n0=\brk, + \n1={int(Mod(\brk+1,3))}, \n2={int(Mod(\brk+2,3))} in (k\n0) .. controls (k\n0.16 south east) and (k\n1.16 south west) .. (k\n1.center) .. controls (k\n1.4 north east) and (k\n2.4 north west) .. (k\n2)} (k2); \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/lda-gauss-1/lda-gauss-1.tex b/tikz/lda-gauss-1/lda-gauss-1.tex index 4f1dd80..ff688ae 100644 --- a/tikz/lda-gauss-1/lda-gauss-1.tex +++ b/tikz/lda-gauss-1/lda-gauss-1.tex @@ -5,7 +5,7 @@ \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=1.10} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} @@ -108,7 +108,7 @@ every axis label/.append style={font=\sffamily\footnotesize}, % Add labels \node[plotA,above] at (axis cs:102,\labelheight){\Large $\mathcal{N}(\meanI,\varI)$}; \node[plotB,above] at (axis cs:20,\labelheight){\Large $\mathcal{N}(\meanII,\varII)$}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/lda-gauss-2/lda-gauss-2.tex b/tikz/lda-gauss-2/lda-gauss-2.tex index 28a9f8e..e7cdfd3 100644 --- a/tikz/lda-gauss-2/lda-gauss-2.tex +++ b/tikz/lda-gauss-2/lda-gauss-2.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{amsmath} \usepackage{pgfplots} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning} +\usetikzlibrary{arrows,positioning} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} @@ -98,7 +98,7 @@ every axis label/.append style={font=\sffamily\footnotesize}, % Add labels \node[plotA,above] at (axis cs:102,0.01){\Large $\mathcal{N}(\meanI,\varI)$}; \node[plotB,above] at (axis cs:20,0.03){\Large $\mathcal{N}(\meanII,\varII)$}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/lda-gauss-intervariance-big/lda-gauss-intervariance-big.tex b/tikz/lda-gauss-intervariance-big/lda-gauss-intervariance-big.tex index 3e62ba0..d1ae2e5 100644 --- a/tikz/lda-gauss-intervariance-big/lda-gauss-intervariance-big.tex +++ b/tikz/lda-gauss-intervariance-big/lda-gauss-intervariance-big.tex @@ -98,7 +98,7 @@ every axis label/.append style={font=\sffamily\footnotesize}, % Add labels \node[plotA,above] at (axis cs:63,0.055){\Large $\mathcal{N}(80, 40)$}; \node[plotB,above] at (axis cs:28,0.055){\Large $\mathcal{N}(40, 40)$}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/lda-gauss-intervariance/lda-gauss-intervariance.tex b/tikz/lda-gauss-intervariance/lda-gauss-intervariance.tex index f820ce9..4b6cf1f 100644 --- a/tikz/lda-gauss-intervariance/lda-gauss-intervariance.tex +++ b/tikz/lda-gauss-intervariance/lda-gauss-intervariance.tex @@ -98,7 +98,7 @@ every axis label/.append style={font=\sffamily\footnotesize}, % Add labels \node[plotA,above] at (axis cs:63,0.055){\Large $\mathcal{N}(50, 40)$}; \node[plotB,above] at (axis cs:28,0.055){\Large $\mathcal{N}(40, 40)$}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/lda-gauss-variance-big/lda-gauss-variance-big.tex b/tikz/lda-gauss-variance-big/lda-gauss-variance-big.tex index 0d13e02..a06b4e9 100644 --- a/tikz/lda-gauss-variance-big/lda-gauss-variance-big.tex +++ b/tikz/lda-gauss-variance-big/lda-gauss-variance-big.tex @@ -110,7 +110,7 @@ every axis label/.append style={font=\sffamily\footnotesize}, % Add labels \node[plotA,above] at (axis cs:\meanI,\labelheight){\Large $\mathcal{N}(\meanI, \varI)$}; \node[plotB,above] at (axis cs:\meanII,\labelheight){\Large $\mathcal{N}(\meanII, \varII)$}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/lda-gauss-variance-small/lda-gauss-variance-small.tex b/tikz/lda-gauss-variance-small/lda-gauss-variance-small.tex index 154427f..336b0ce 100644 --- a/tikz/lda-gauss-variance-small/lda-gauss-variance-small.tex +++ b/tikz/lda-gauss-variance-small/lda-gauss-variance-small.tex @@ -109,7 +109,7 @@ every axis label/.append style={font=\sffamily\footnotesize}, % Add labels \node[plotA,above] at (axis cs:\meanI+11,\labelheight){\Large $\mathcal{N}(\meanI, \varI)$}; \node[plotB,above] at (axis cs:\meanII-11,\labelheight){\Large $\mathcal{N}(\meanII, \varII)$}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/line-segments/flowchart.tex b/tikz/line-segments/flowchart.tex index b21e94c..4c74723 100644 --- a/tikz/line-segments/flowchart.tex +++ b/tikz/line-segments/flowchart.tex @@ -15,12 +15,12 @@ %\begin{preview} % Define block styles -\tikzstyle{decision} = [diamond, draw, fill=blue!20, +\tikzstyle{decision} = [diamond, draw, fill=blue!20, text width=4.5em, text badly centered, node distance=3cm, inner sep=0pt] -\tikzstyle{block} = [rectangle, draw, fill=blue!20, +\tikzstyle{block} = [rectangle, draw, fill=blue!20, text width=5em, text centered, rounded corners, minimum height=4em] \tikzstyle{line} = [draw, -latex'] - + \begin{tikzpicture}[auto] % Place nodes \node [block] (init) {start}; diff --git a/tikz/line-segments/line-segments-bounding-box.tex b/tikz/line-segments/line-segments-bounding-box.tex index 992ef33..18038e5 100644 --- a/tikz/line-segments/line-segments-bounding-box.tex +++ b/tikz/line-segments/line-segments-bounding-box.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/line-segments/line-segments-f1.tex b/tikz/line-segments/line-segments-f1.tex index c9c326c..42bceba 100644 --- a/tikz/line-segments/line-segments-f1.tex +++ b/tikz/line-segments/line-segments-f1.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/line-segments/line-segments-f2.tex b/tikz/line-segments/line-segments-f2.tex index 4654372..512a7fb 100644 --- a/tikz/line-segments/line-segments-f2.tex +++ b/tikz/line-segments/line-segments-f2.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/line-segments/line-segments-f3.tex b/tikz/line-segments/line-segments-f3.tex index 8fd4b2f..39401de 100644 --- a/tikz/line-segments/line-segments-f3.tex +++ b/tikz/line-segments/line-segments-f3.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/line-segments/line-segments-f4.tex b/tikz/line-segments/line-segments-f4.tex index 1a7e2a8..35d73ac 100644 --- a/tikz/line-segments/line-segments-f4.tex +++ b/tikz/line-segments/line-segments-f4.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/line-segments/line-segments-f5.tex b/tikz/line-segments/line-segments-f5.tex index 8c1b11c..d93fe34 100644 --- a/tikz/line-segments/line-segments-f5.tex +++ b/tikz/line-segments/line-segments-f5.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/line-segments/line-segments-f6.tex b/tikz/line-segments/line-segments-f6.tex index 3e77d86..f8273dc 100644 --- a/tikz/line-segments/line-segments-f6.tex +++ b/tikz/line-segments/line-segments-f6.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/line-segments/line-segments-f7.tex b/tikz/line-segments/line-segments-f7.tex index 720d0f7..f2b8d7e 100644 --- a/tikz/line-segments/line-segments-f7.tex +++ b/tikz/line-segments/line-segments-f7.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/line-segments/line-segments-f8.tex b/tikz/line-segments/line-segments-f8.tex index 13f8e1a..620bdfc 100644 --- a/tikz/line-segments/line-segments-f8.tex +++ b/tikz/line-segments/line-segments-f8.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/line-segments/line-segments-t1.tex b/tikz/line-segments/line-segments-t1.tex index dda5768..9bdae45 100644 --- a/tikz/line-segments/line-segments-t1.tex +++ b/tikz/line-segments/line-segments-t1.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/line-segments/line-segments-t2.tex b/tikz/line-segments/line-segments-t2.tex index bfddca7..7507fca 100644 --- a/tikz/line-segments/line-segments-t2.tex +++ b/tikz/line-segments/line-segments-t2.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/line-segments/line-segments-t3.tex b/tikz/line-segments/line-segments-t3.tex index eeef3e7..096389f 100644 --- a/tikz/line-segments/line-segments-t3.tex +++ b/tikz/line-segments/line-segments-t3.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/line-segments/line-segments-t4.tex b/tikz/line-segments/line-segments-t4.tex index a7558c5..5316489 100644 --- a/tikz/line-segments/line-segments-t4.tex +++ b/tikz/line-segments/line-segments-t4.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/line-segments/line-segments-t5.tex b/tikz/line-segments/line-segments-t5.tex index 3b45fbb..7cce2ca 100644 --- a/tikz/line-segments/line-segments-t5.tex +++ b/tikz/line-segments/line-segments-t5.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/line-segments/line-segments-t6.tex b/tikz/line-segments/line-segments-t6.tex index 26344b7..3673b0d 100644 --- a/tikz/line-segments/line-segments-t6.tex +++ b/tikz/line-segments/line-segments-t6.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows, calc, positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/markov-chain-rain-sun/markov-chain-rain-sun.tex b/tikz/markov-chain-rain-sun/markov-chain-rain-sun.tex index e9cda52..b0630fe 100644 --- a/tikz/markov-chain-rain-sun/markov-chain-rain-sun.tex +++ b/tikz/markov-chain-rain-sun/markov-chain-rain-sun.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage{units} \usepackage{ifthen} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{calc} \begin{document} \tikzstyle{vertex}=[draw,black,fill=blue,circle,minimum size=10pt,inner sep=0pt] diff --git a/tikz/missing-square-fibonacci/missing-square-fibonacci.tex b/tikz/missing-square-fibonacci/missing-square-fibonacci.tex index 0c70e0f..d186943 100644 --- a/tikz/missing-square-fibonacci/missing-square-fibonacci.tex +++ b/tikz/missing-square-fibonacci/missing-square-fibonacci.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc, snakes} +\usetikzlibrary{shapes, calc, snakes} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} @@ -11,8 +11,8 @@ % Draw the triangle - \fill[fill=gray!40] (0, 0) coordinate (A) - -- (5,0) coordinate (B) + \fill[fill=gray!40] (0, 0) coordinate (A) + -- (5,0) coordinate (B) -- (0,2) coordinate (C) -- cycle; \fill[fill=blue!40] (B) @@ -70,8 +70,8 @@ raise=0.5cm }, decorate -] (I) -- (K) -node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.55cm] {$f_{n+1}$}; +] (I) -- (K) +node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.55cm] {$f_{n+1}$}; \end{tikzpicture} \end{preview} diff --git a/tikz/multidimensional-intervall/multidimensional-intervall.tex b/tikz/multidimensional-intervall/multidimensional-intervall.tex index 068e82e..6abcec9 100644 --- a/tikz/multidimensional-intervall/multidimensional-intervall.tex +++ b/tikz/multidimensional-intervall/multidimensional-intervall.tex @@ -18,7 +18,7 @@ \fill[green!15] (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- (a); - % Draw lines indicating intersection with y and x axis. Here we + % Draw lines indicating intersection with y and x axis. Here we % use the perpendicular coordinate system \draw[dotted] (yaxis |- a) node[left] {$a_2$} -| (xaxis -| a) node[below] {$a_1$}; diff --git a/tikz/neighbourhood-topology-open/neighbourhood-topology-open.tex b/tikz/neighbourhood-topology-open/neighbourhood-topology-open.tex index 2b82e13..bd4c8a1 100644 --- a/tikz/neighbourhood-topology-open/neighbourhood-topology-open.tex +++ b/tikz/neighbourhood-topology-open/neighbourhood-topology-open.tex @@ -70,6 +70,6 @@ \node at (axis cs:0,3) [anchor=east] {$y$}; \node at (axis cs:2,0) [anchor=north] {$x$}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/neighbourhood-topology/neighbourhood-topology.tex b/tikz/neighbourhood-topology/neighbourhood-topology.tex index 3ddbfff..c48e5bc 100644 --- a/tikz/neighbourhood-topology/neighbourhood-topology.tex +++ b/tikz/neighbourhood-topology/neighbourhood-topology.tex @@ -48,6 +48,6 @@ \node[blue] at (axis cs:0,3) [anchor=east] {$x_2$}; \node[blue] at (axis cs:2,0) [anchor=north] {$x_1$}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/normal-distribution-cumulative-density-function-many/normal-distribution-cumulative-density-function-many.tex b/tikz/normal-distribution-cumulative-density-function-many/normal-distribution-cumulative-density-function-many.tex index 921c90a..bb0f8c9 100644 --- a/tikz/normal-distribution-cumulative-density-function-many/normal-distribution-cumulative-density-function-many.tex +++ b/tikz/normal-distribution-cumulative-density-function-many/normal-distribution-cumulative-density-function-many.tex @@ -64,7 +64,7 @@ every axis label/.append style={font=\sffamily\footnotesize}, \addlegendentry{$\mu=\hphantom{-}0,\enskip \sigma^2 = 1.0$} \addlegendentry{$\mu=\hphantom{-}0,\enskip \sigma^2 = 5.0$} \addlegendentry{$\mu=-2,\enskip \sigma^2 = 0.5$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/normal-distribution-cumulative-density-function/normal-distribution-cumulative-density-function.tex b/tikz/normal-distribution-cumulative-density-function/normal-distribution-cumulative-density-function.tex index dda4a02..770e928 100644 --- a/tikz/normal-distribution-cumulative-density-function/normal-distribution-cumulative-density-function.tex +++ b/tikz/normal-distribution-cumulative-density-function/normal-distribution-cumulative-density-function.tex @@ -35,6 +35,6 @@ tension=0.08] \addplot[domain=-5.2:5.2,smooth,red!70!black,very thick,samples=200,] gnuplot{\cdf(x)(0)(1)}; \addlegendentry{$\sigma^2 = 1$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/number-ray-circle-topology/number-ray-circle-topology.tex b/tikz/number-ray-circle-topology/number-ray-circle-topology.tex index e3dcb62..9030309 100644 --- a/tikz/number-ray-circle-topology/number-ray-circle-topology.tex +++ b/tikz/number-ray-circle-topology/number-ray-circle-topology.tex @@ -17,7 +17,7 @@ }, } \begin{tikzpicture} - + \draw[->] (-1.5,0) -- (5.5,0) node [below] {$\mathbb{R}$}; \foreach \x in {-1,...,5} diff --git a/tikz/open-square/open-square.tex b/tikz/open-square/open-square.tex index 4476589..714eb04 100644 --- a/tikz/open-square/open-square.tex +++ b/tikz/open-square/open-square.tex @@ -29,6 +29,6 @@ % Draw axis text \node at (axis cs:-1,0.5) [anchor=east] {$\mathfrak{B}_r(0) = $}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/parallelogram-triangle-area/parallelogram-triangle-area.tex b/tikz/parallelogram-triangle-area/parallelogram-triangle-area.tex index bf909fc..d49acc3 100644 --- a/tikz/parallelogram-triangle-area/parallelogram-triangle-area.tex +++ b/tikz/parallelogram-triangle-area/parallelogram-triangle-area.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \usetikzlibrary{angles,quotes} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/parse-tree/parse-tree.tex b/tikz/parse-tree/parse-tree.tex index 6788614..edd4b8e 100644 --- a/tikz/parse-tree/parse-tree.tex +++ b/tikz/parse-tree/parse-tree.tex @@ -2,22 +2,22 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc} +\usetikzlibrary{shapes, calc} \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black!15,circle,minimum size=20pt,inner sep=0pt] \begin{document} \begin{preview} \begin{tikzpicture}[font=\sffamily,thick,level/.style={sibling distance=50mm/#1}] \node[vertex] {S} - child { + child { node[vertex] {A} - child { - node[vertex] {a} + child { + node[vertex] {a} } - child { - node[vertex] {A} + child { + node[vertex] {A} child { node[vertex] {a} } - child { + child { node[vertex] {A} child { node[vertex] {$\varepsilon$} } } diff --git a/tikz/path/path.tex b/tikz/path/path.tex index 057cb2a..c97690a 100644 --- a/tikz/path/path.tex +++ b/tikz/path/path.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc} +\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc} \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black!15,circle,minimum size=20pt,inner sep=0pt] \tikzstyle{selected edge} = [draw,line width=5pt,-,red!50] diff --git a/tikz/pentagon-inscribed-circle/pentagon-inscribed-circle.tex b/tikz/pentagon-inscribed-circle/pentagon-inscribed-circle.tex index 0fee446..0807b6d 100644 --- a/tikz/pentagon-inscribed-circle/pentagon-inscribed-circle.tex +++ b/tikz/pentagon-inscribed-circle/pentagon-inscribed-circle.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/perceptron-notation/perceptron-notation.tex b/tikz/perceptron-notation/perceptron-notation.tex index cb1b658..049d404 100644 --- a/tikz/perceptron-notation/perceptron-notation.tex +++ b/tikz/perceptron-notation/perceptron-notation.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{amsmath} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, arrows} +\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, arrows} \tikzstyle{neuron}=[draw,circle,minimum size=20pt,inner sep=0pt] diff --git a/tikz/perceptron-or-task/perceptron-or-task.tex b/tikz/perceptron-or-task/perceptron-or-task.tex index b899a12..2e1ac76 100644 --- a/tikz/perceptron-or-task/perceptron-or-task.tex +++ b/tikz/perceptron-or-task/perceptron-or-task.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{amsmath} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, arrows} +\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, arrows} \tikzstyle{input}=[draw,fill=red!50,circle,minimum size=20pt,inner sep=0pt] \tikzstyle{hidden}=[draw,fill=green!50,circle,minimum size=20pt,inner sep=0pt] diff --git a/tikz/perceptron-xor-task/perceptron-xor-task.tex b/tikz/perceptron-xor-task/perceptron-xor-task.tex index 33bfe50..f915368 100644 --- a/tikz/perceptron-xor-task/perceptron-xor-task.tex +++ b/tikz/perceptron-xor-task/perceptron-xor-task.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{amsmath} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, arrows} +\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, arrows} \tikzstyle{input}=[draw,fill=red!50,circle,minimum size=20pt,inner sep=0pt] \tikzstyle{hidden}=[draw,fill=green!50,circle,minimum size=20pt,inner sep=0pt] diff --git a/tikz/piecewise-linear-function/piecewise-linear-function.tex b/tikz/piecewise-linear-function/piecewise-linear-function.tex index e4fec78..f5ecdba 100644 --- a/tikz/piecewise-linear-function/piecewise-linear-function.tex +++ b/tikz/piecewise-linear-function/piecewise-linear-function.tex @@ -23,7 +23,7 @@ tick align=outside, enlargelimits=false] % plot the function - \addplot[domain=-1:1, blue, ultra thick,samples=500] {x < -0.5 ? 0 : (x < 0.5 ? x +0.5 : 1)}; - \end{axis} + \addplot[domain=-1:1, blue, ultra thick,samples=500] {x < -0.5 ? 0 : (x < 0.5 ? x +0.5 : 1)}; + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/plane-r2/plane-r2.tex b/tikz/plane-r2/plane-r2.tex index a769e5a..f5a45f0 100644 --- a/tikz/plane-r2/plane-r2.tex +++ b/tikz/plane-r2/plane-r2.tex @@ -17,11 +17,11 @@ \draw[grid] (\x,-0.5) -- (\x,2.5); \draw[grid] (-0.5,\y) -- (2.5,\y); } - + %draw the axes \draw[axis] (-1,0,0) -- (3,0,0) node[anchor=west]{$y$}; \draw[axis] (0,-1,0) -- (0,3,0) node[anchor=west]{$x$}; - + \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/polygon-is-point-inside/polygon-is-point-inside.tex b/tikz/polygon-is-point-inside/polygon-is-point-inside.tex index 335a4b7..b651dd3 100644 --- a/tikz/polygon-is-point-inside/polygon-is-point-inside.tex +++ b/tikz/polygon-is-point-inside/polygon-is-point-inside.tex @@ -18,14 +18,14 @@ \draw[polygon] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- (E) -- (F) -- (G) -- cycle; - \node (P) [point, label={[right]{$P$}}] at (2,3.5) {}; + \node (P) [point, label={[right]{$P$}}] at (2,3.5) {}; \draw[line] (P) -- (A); \draw[line] (P) -- (B); \draw[line] (P) -- (C); \draw[line] (P) -- (D); - \draw[line] (P) -- (E); - \draw[line] (P) -- (F); + \draw[line] (P) -- (E); + \draw[line] (P) -- (F); \draw[line] (P) -- (G); \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/polynomial-interpolation/polynomial-interpolation.tex b/tikz/polynomial-interpolation/polynomial-interpolation.tex index 298bb49..a591105 100644 --- a/tikz/polynomial-interpolation/polynomial-interpolation.tex +++ b/tikz/polynomial-interpolation/polynomial-interpolation.tex @@ -25,10 +25,10 @@ %tick align=outside, enlargelimits=true, tension=0.08] - \addplot[domain=-90:30, black, thick,samples=500] {-30.550224302876202 +1.3405464324655687*x +0.33940746902954505*x*x +0.006043447628845429*x*x*x -0.00040762779516188906*x*x*x*x -0.000016598804950050045*x*x*x*x*x -2.1597800840011248e-7*x*x*x*x*x*x +-9.533599505095986e-10*x*x*x*x*x*x*x}; - %\addplot[domain=-90:30, red, thick,samples=500] {-107/168000000*x^5 -5053/50400000*x^4 -103/28800*x^3 +1237/20160*x^2 +59573/25200*x +-77/15}; + \addplot[domain=-90:30, black, thick,samples=500] {-30.550224302876202 +1.3405464324655687*x +0.33940746902954505*x*x +0.006043447628845429*x*x*x -0.00040762779516188906*x*x*x*x -0.000016598804950050045*x*x*x*x*x -2.1597800840011248e-7*x*x*x*x*x*x +-9.533599505095986e-10*x*x*x*x*x*x*x}; + %\addplot[domain=-90:30, red, thick,samples=500] {-107/168000000*x^5 -5053/50400000*x^4 -103/28800*x^3 +1237/20160*x^2 +59573/25200*x +-77/15}; \addplot[red, only marks, mark=*] coordinates {(-79.66666666666667,9.333333333333329) (-69.33333333333333,19.33333333333333) (-58.333333333333336, 19.66666666666667) (-39.666666666666664,0) (-29.666666666666664,8.333333333333329) (-9,-21.33333333333333) (10.333333333333329,19.33333333333333) (22,19.66666666666667)}; %\addlegendentry{$f(x)=x^3$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/quadratic-function-uniform-continuity/quadratic-function-uniform-continuity.tex b/tikz/quadratic-function-uniform-continuity/quadratic-function-uniform-continuity.tex index 36fde3f..4a71019 100644 --- a/tikz/quadratic-function-uniform-continuity/quadratic-function-uniform-continuity.tex +++ b/tikz/quadratic-function-uniform-continuity/quadratic-function-uniform-continuity.tex @@ -89,7 +89,7 @@ \DrawBrace{x1}{x2}{\varepsilon_1}; \DrawBrace{x2}{x3}{\varepsilon_2}; \DrawBrace{x3}{x4}{\varepsilon_3}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/quadratic-function/quadratic-function.tex b/tikz/quadratic-function/quadratic-function.tex index 48bd915..9a83a55 100644 --- a/tikz/quadratic-function/quadratic-function.tex +++ b/tikz/quadratic-function/quadratic-function.tex @@ -30,7 +30,7 @@ every axis label/.append style={font=\sffamily\footnotesize}, tick align=outside, enlargelimits=true, tension=0.08] - \addplot[domain=-6:6, red, thick,samples=200] {x*x}; - \end{axis} + \addplot[domain=-6:6, red, thick,samples=200] {x*x}; + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/rectangle-varignon/rectangle-varignon.tex b/tikz/rectangle-varignon/rectangle-varignon.tex index f25e1dc..4607955 100644 --- a/tikz/rectangle-varignon/rectangle-varignon.tex +++ b/tikz/rectangle-varignon/rectangle-varignon.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc} +\usetikzlibrary{shapes, calc} \makeatletter \newcommand*\getX[1]{\expandafter\getX@i#1\@nil} diff --git a/tikz/rectangle/rectangle-1.tex b/tikz/rectangle/rectangle-1.tex index d1b59bb..07d0f9b 100644 --- a/tikz/rectangle/rectangle-1.tex +++ b/tikz/rectangle/rectangle-1.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows,positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/rectangle/rectangle-2.tex b/tikz/rectangle/rectangle-2.tex index 67fff20..9a386f0 100644 --- a/tikz/rectangle/rectangle-2.tex +++ b/tikz/rectangle/rectangle-2.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows,positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/rectangle/rectangle-3.tex b/tikz/rectangle/rectangle-3.tex index e8773ef..4c32615 100644 --- a/tikz/rectangle/rectangle-3.tex +++ b/tikz/rectangle/rectangle-3.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning,decorations.pathreplacing,shapes} +\usetikzlibrary{arrows,positioning,decorations.pathreplacing,shapes} \tikzset{ %Define standard arrow tip >=stealth', diff --git a/tikz/red-black-tree-small/red-black-tree.tex b/tikz/red-black-tree-small/red-black-tree.tex index bc43b57..c229f64 100644 --- a/tikz/red-black-tree-small/red-black-tree.tex +++ b/tikz/red-black-tree-small/red-black-tree.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{trees,arrows,positioning, calc} +\usetikzlibrary{trees,arrows,positioning, calc} \tikzstyle{redVertex} =[draw,fill=red, circle,minimum size=18pt,inner sep=0pt, text=white] \tikzstyle{blackVertex}=[draw,fill=black, circle,minimum size=18pt,inner sep=0pt, text=white] \tikzstyle{nil} =[draw,fill=black,rectangle,minimum size=18pt,inner sep=0pt, text=white] diff --git a/tikz/red-black-tree/red-black-tree.tex b/tikz/red-black-tree/red-black-tree.tex index fc632a0..43688de 100644 --- a/tikz/red-black-tree/red-black-tree.tex +++ b/tikz/red-black-tree/red-black-tree.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{trees,arrows,positioning, calc} +\usetikzlibrary{trees,arrows,positioning, calc} \tikzstyle{redVertex} =[draw,fill=red, circle,minimum size=18pt,inner sep=0pt, text=white] \tikzstyle{blackVertex}=[draw,fill=black, circle,minimum size=18pt,inner sep=0pt, text=white] \tikzstyle{nil} =[draw,fill=black,rectangle,minimum size=18pt,inner sep=0pt, text=white] @@ -23,7 +23,7 @@ child {node [nil] {NIL}} child {node [nil] {NIL}} } - } + } child { node [blackVertex] {2} child {node [nil] {NIL}} diff --git a/tikz/resource-allocation-graph/resource-allocation-graph.tex b/tikz/resource-allocation-graph/resource-allocation-graph.tex index 2bb505c..4c2b155 100644 --- a/tikz/resource-allocation-graph/resource-allocation-graph.tex +++ b/tikz/resource-allocation-graph/resource-allocation-graph.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc,lindenmayersystems,decorations.pathmorphing,intersections} +\usetikzlibrary{arrows,positioning, calc,lindenmayersystems,decorations.pathmorphing,intersections} \tikzstyle{resource}= [draw,minimum size=16pt,inner sep=0pt] \tikzstyle{process} = [draw,minimum size=16pt,inner sep=0pt,circle] \tikzstyle{allocated} = [->,thick,arrows={-latex}] diff --git a/tikz/riemann-sum/riemann-sum.tex b/tikz/riemann-sum/riemann-sum.tex index 3b1a655..4c2a886 100644 --- a/tikz/riemann-sum/riemann-sum.tex +++ b/tikz/riemann-sum/riemann-sum.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -% Thanks to http://tex.stackexchange.com/a/30782/5645 for this +% Thanks to http://tex.stackexchange.com/a/30782/5645 for this % example! \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} diff --git a/tikz/right-triangle/right-triangle.tex b/tikz/right-triangle/right-triangle.tex index 6a38511..377d3a5 100644 --- a/tikz/right-triangle/right-triangle.tex +++ b/tikz/right-triangle/right-triangle.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} @@ -15,9 +15,9 @@ \newcommand\YB{{sqrt(cos(\ALPHA)*\XC*cos(\ALPHA)*\XC - (\XC*(cos(\ALPHA)*cos(\ALPHA) - sin(\ALPHA)*sin(\ALPHA)) + \XC)*0.5*(\XC*(cos(\ALPHA)*cos(\ALPHA) - sin(\ALPHA)*sin(\ALPHA)) + \XC)*0.5)}} % Draw the triangle - \draw[fill=gray!10] (0, 0) coordinate (A) - -- (\XB,\YB) coordinate (C) - -- (\XC, 0) coordinate (B) + \draw[fill=gray!10] (0, 0) coordinate (A) + -- (\XB,\YB) coordinate (C) + -- (\XC, 0) coordinate (B) -- (0, 0); % Draw nodes @@ -27,9 +27,9 @@ % Draw edge text \node (c) at ($(A)!0.50!(B)$) [below,font=\tiny] {Hy­po­te­nu­se}; - \node (b) at ($(A)!0.50!(C)$) [above,rotate=\ALPHA,font=\tiny] + \node (b) at ($(A)!0.50!(C)$) [above,rotate=\ALPHA,font=\tiny] {Ankathete zu Winkel $\alpha$}; - \node (a) at ($(B)!0.35!(C)$) [above,rotate={\ALPHA-90},font=\tiny] + \node (a) at ($(B)!0.35!(C)$) [above,rotate={\ALPHA-90},font=\tiny] {\parbox{2cm}{Gegenkathete\\ zu Winkel $\alpha$}}; diff --git a/tikz/robot-yaw/robot-yaw.tex b/tikz/robot-yaw/robot-yaw.tex index 32361bb..d3223c8 100644 --- a/tikz/robot-yaw/robot-yaw.tex +++ b/tikz/robot-yaw/robot-yaw.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{calc} \begin{document} \begin{preview} \begin{tikzpicture} diff --git a/tikz/robots-circle/robots-circle.tex b/tikz/robots-circle/robots-circle.tex index 0da3bb8..45cc7cc 100644 --- a/tikz/robots-circle/robots-circle.tex +++ b/tikz/robots-circle/robots-circle.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-fct} \usetikzlibrary{shapes.misc} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} diff --git a/tikz/robots-walk-away/robots-walk-away.tex b/tikz/robots-walk-away/robots-walk-away.tex index 1bbb8e3..b3eeb4e 100644 --- a/tikz/robots-walk-away/robots-walk-away.tex +++ b/tikz/robots-walk-away/robots-walk-away.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-fct} \usetikzlibrary{shapes.misc} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} diff --git a/tikz/sigmoid-function-2/sigmoid-function-2.tex b/tikz/sigmoid-function-2/sigmoid-function-2.tex index 38df4ea..72388e6 100644 --- a/tikz/sigmoid-function-2/sigmoid-function-2.tex +++ b/tikz/sigmoid-function-2/sigmoid-function-2.tex @@ -24,8 +24,8 @@ tick align=outside, enlargelimits=true] % plot the stirling-formulae - \addplot[domain=-8:8, red, ultra thick,samples=500] {1/(1+exp(-1*x))}; + \addplot[domain=-8:8, red, ultra thick,samples=500] {1/(1+exp(-1*x))}; \addlegendentry{sig$(t)=\frac{1}{1+e^{-t}}$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/sigmoid-function/sigmoid-function.tex b/tikz/sigmoid-function/sigmoid-function.tex index 2b798c7..3e827c2 100644 --- a/tikz/sigmoid-function/sigmoid-function.tex +++ b/tikz/sigmoid-function/sigmoid-function.tex @@ -23,10 +23,10 @@ tick align=outside, enlargelimits=false] % plot the stirling-formulae - \addplot[domain=-1:1, red, ultra thick,samples=500] {1/(1+exp(-5*x))}; - \addplot[domain=-1:1, blue, ultra thick,samples=500] {1/(1+exp(-10*x))}; + \addplot[domain=-1:1, red, ultra thick,samples=500] {1/(1+exp(-5*x))}; + \addplot[domain=-1:1, blue, ultra thick,samples=500] {1/(1+exp(-10*x))}; \addlegendentry{$f(x)=\frac{1}{1+e^{-5x}}$} \addlegendentry{$g(x)=\frac{1}{1+e^{-10x}}$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/sin(1divx)/sin(1divx).tex b/tikz/sin(1divx)/sin(1divx).tex index 7d29237..0836fa2 100644 --- a/tikz/sin(1divx)/sin(1divx).tex +++ b/tikz/sin(1divx)/sin(1divx).tex @@ -30,7 +30,7 @@ ] \addplot[domain=0.01:1, red, thick,samples=2000] {-sin(deg(1/(x)))}; \legend{$\sin(\frac{1}{x})$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/sin-cos/sin-cos.tex b/tikz/sin-cos/sin-cos.tex index 85b7913..87e9d9c 100644 --- a/tikz/sin-cos/sin-cos.tex +++ b/tikz/sin-cos/sin-cos.tex @@ -29,7 +29,7 @@ \addplot[domain=-8:8,thick,samples=200,red] {sin(deg(x))}; \addplot[domain=-8:8,thick,samples=200,blue,dotted] {cos(deg(x))}; \legend{$\sin x$, $\cos x$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/single-level-page-table/single-level-page-table.tex b/tikz/single-level-page-table/single-level-page-table.tex index 986fa6d..7bcc793 100644 --- a/tikz/single-level-page-table/single-level-page-table.tex +++ b/tikz/single-level-page-table/single-level-page-table.tex @@ -15,8 +15,8 @@ \newcommand{\PageTable}{Seitentabelle}; \newcommand{\textBoxHeight}{1}; - \node[rectangle split, rectangle split horizontal, - rectangle split parts=2, draw, fill=black!20,label=left:\textbf{\VirtualAdress}] + \node[rectangle split, rectangle split horizontal, + rectangle split parts=2, draw, fill=black!20,label=left:\textbf{\VirtualAdress}] (VirtualAdressNode) at (5,0) {\nodepart{one}\PageNumber \nodepart{two}\Offset}; @@ -27,12 +27,12 @@ \node[fill=white,font=\tiny,yshift=\titleShift] at ($(VirtualAdressNode.one west)!0.5!(VirtualAdressNode.one split)$) {n bit}; \node[fill=white,font=\tiny,yshift=\titleShift] at ($(VirtualAdressNode.one split)!0.5!(VirtualAdressNode.one east)$) {m bit}; - \node[rectangle split, - rectangle split parts=10, draw, fill=black!20] + \node[rectangle split, + rectangle split parts=10, draw, fill=black!20] (PageTableNode1) at (2,-3) {}; \node[rectangle split, minimum width=3cm,anchor=west, - rectangle split parts=10, draw, fill=black!20,label=above:\textbf{\PageTable}] + rectangle split parts=10, draw, fill=black!20,label=above:\textbf{\PageTable}] (PageTableNode2) at (2.2,-3) {}; @@ -41,8 +41,8 @@ \draw[->,very thick] (StatusBitsNode) -- (2, -5); \draw[->,very thick] (BasisadresseNode) -- (4, -5); - \node[rectangle split, rectangle split horizontal, - rectangle split parts=2, draw, fill=black!20,label=left:\textbf{\RealAdress}] + \node[rectangle split, rectangle split horizontal, + rectangle split parts=2, draw, fill=black!20,label=left:\textbf{\RealAdress}] (RealAdressNode) at (5,-6.4) {\nodepart{one}Basisadresse der realen Seite \nodepart{two}\Offset}; diff --git a/tikz/singly-linked-list/singly-linked-list.tex b/tikz/singly-linked-list/singly-linked-list.tex index 96c3c0f..7820106 100644 --- a/tikz/singly-linked-list/singly-linked-list.tex +++ b/tikz/singly-linked-list/singly-linked-list.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{calc,shapes.multipart,chains,arrows} @@ -11,9 +11,9 @@ inner sep=0pt, text=black, path picture = { \draw[black] - (path picture bounding box.north west) -- + (path picture bounding box.north west) -- (path picture bounding box.south east) - (path picture bounding box.south west) -- + (path picture bounding box.south west) -- (path picture bounding box.north east); } } @@ -23,12 +23,12 @@ \begin{preview} \begin{tikzpicture}[ list/.style={ - very thick, rectangle split, - rectangle split parts=2, draw, + very thick, rectangle split, + rectangle split parts=2, draw, rectangle split horizontal, minimum size=18pt, inner sep=4pt, text=black, rectangle split part fill={red!20, blue!20} - }, + }, ->, start chain, very thick ] diff --git a/tikz/sinus-burst-1/sinus-burst-1.tex b/tikz/sinus-burst-1/sinus-burst-1.tex index d390bef..c268b17 100644 --- a/tikz/sinus-burst-1/sinus-burst-1.tex +++ b/tikz/sinus-burst-1/sinus-burst-1.tex @@ -27,8 +27,8 @@ enlargelimits=true, tension=0.08] % plot the stirling-formulae - \addplot[domain=-1:1, samples=500] {sin(1150*x)/(20*x)}; + \addplot[domain=-1:1, samples=500] {sin(1150*x)/(20*x)}; %\addlegendentry{$f_1(x)=\frac{1}{2}x^2$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/spherical-coordinates/spherical-coordinates.tex b/tikz/spherical-coordinates/spherical-coordinates.tex index 4878251..e3a1860 100644 --- a/tikz/spherical-coordinates/spherical-coordinates.tex +++ b/tikz/spherical-coordinates/spherical-coordinates.tex @@ -5,8 +5,8 @@ \usetikzlibrary{positioning} %% helper macros -% The 3D code is based on The drawing is based on Tomas M. Trzeciak's -% `Stereographic and cylindrical map projections example`: +% The 3D code is based on The drawing is based on Tomas M. Trzeciak's +% `Stereographic and cylindrical map projections example`: % http://www.texample.net/tikz/examples/map-projections/ \newcommand\pgfmathsinandcos[3]{% \pgfmathsetmacro#1{sin(#3)}% @@ -147,13 +147,13 @@ \draw[->] (O) -- (P); \draw[dashed] (XE) -- (O) -- (PE); \draw[dashed] (O) -- (QE); - + \draw[pzplane,->,thin] (0:0.5*\R) to[bend right=15] node[midway,right] {$v$} (\angBeta:0.5*\R); \path[pzplane] (0.5*\angBeta:\R) node[right] {$$}; \path[qzplane] (0.5*\angBeta:\R) node[right] {$$}; \draw[equator,->,thin] (\angAz:0.5*\R) to[bend right=30] node[pos=0.4,above] {$u$} (\angPhiOne:0.5*\R); - + \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/stack/stack.tex b/tikz/stack/stack.tex index 63f6382..42ab19a 100644 --- a/tikz/stack/stack.tex +++ b/tikz/stack/stack.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes.multipart} +\usetikzlibrary{shapes.multipart} \begin{document} \begin{preview} diff --git a/tikz/stetigkeit-differenzierbarkeit/stetigkeit-differenzierbarkeit.tex b/tikz/stetigkeit-differenzierbarkeit/stetigkeit-differenzierbarkeit.tex index d375bb0..e797339 100644 --- a/tikz/stetigkeit-differenzierbarkeit/stetigkeit-differenzierbarkeit.tex +++ b/tikz/stetigkeit-differenzierbarkeit/stetigkeit-differenzierbarkeit.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes,decorations,calc,patterns} +\usetikzlibrary{shapes,decorations,calc,patterns} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} \begin{preview} @@ -59,7 +59,7 @@ \draw (0, 0) node[algebraicName] (A) {gleichmäßig stetig} (3, 0) node[explanation] (B) { \begin{minipage}{0.90\textwidth} - \tiny + \tiny $\forall \varepsilon >0 \ \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0\colon\\ |f(x)-f(z)| < \varepsilon\\ \forall x,z \in D \text{ mit } |x-z|<\delta$ \end{minipage} } @@ -69,7 +69,7 @@ (0,-2) node[algebraicName, purple] (C) {Lipschitz-stetig} (3.5,-2) node[explanation] (X) { \begin{minipage}{90\textwidth} - \tiny + \tiny $f$ heißt auf $D$ \textbf{Lipschitz-stetig}\\ $:\Leftrightarrow \exists L\ge 0: |f(x)-f(z)|\le L|x-z|\ \forall x,z \in D$ \end{minipage} @@ -86,7 +86,7 @@ $:\Leftrightarrow \exists L\ge 0: |f(x)-f(z)|\le L|x-z|\ \forall x,z \in D$ (9, 0) node[algebraicName] (O) {stetig} (12,0) node[explanation] (X) { \begin{minipage}{0.9\textwidth} - \tiny + \tiny $f$ heißt stetig in $x_0 :\Leftrightarrow$\\ $\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta(\varepsilon)\colon$\\ $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ \\ @@ -101,7 +101,7 @@ $:\Leftrightarrow \exists L\ge 0: |f(x)-f(z)|\le L|x-z|\ \forall x,z \in D$ (9, -4) node[algebraicName] (random1) {differenzierbar} (9.8, -4.7) node[explanation] (X) { \begin{minipage}{0.9\textwidth} - \tiny + \tiny $f$ heißt differenzierbar in $x_0 :\Leftrightarrow$\\ $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ existiert diff --git a/tikz/taylorpolynom-sin/taylorpolynom-sin.tex b/tikz/taylorpolynom-sin/taylorpolynom-sin.tex index c8602d9..4964536 100644 --- a/tikz/taylorpolynom-sin/taylorpolynom-sin.tex +++ b/tikz/taylorpolynom-sin/taylorpolynom-sin.tex @@ -34,7 +34,7 @@ \addplot[domain=-8:8,thick,samples=200,pink] {x-x^3/6+x^5/120-x^7/(7!)+x^9/(9!)-x^11/(11!)+x^13/(13!)-x^15/(15!)}; \addplot[domain=-8:8,thick,samples=200,black] {sin(deg(x))}; \legend{$T_1$, $T_3$, $T_5$, $T_{15}$, $T_\infty$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/tensor-diagram/tensor-diagram.tex b/tikz/tensor-diagram/tensor-diagram.tex index c1569d7..a84bb30 100644 --- a/tikz/tensor-diagram/tensor-diagram.tex +++ b/tikz/tensor-diagram/tensor-diagram.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, arrows, decorations.markings} +\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, arrows, decorations.markings} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{xcolor} diff --git a/tikz/teststrategien-anschaulich/teststrategien-anschaulich.tex b/tikz/teststrategien-anschaulich/teststrategien-anschaulich.tex index 47ed9e8..7dbde6d 100644 --- a/tikz/teststrategien-anschaulich/teststrategien-anschaulich.tex +++ b/tikz/teststrategien-anschaulich/teststrategien-anschaulich.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations, automata} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations, automata} \usepackage{amsmath,amssymb} \tikzstyle{midnode}=[ @@ -35,7 +35,7 @@ \node[smallnode, below of=c] (d) {4}; \node[smallnode, right of=c, node distance=1.8cm] (e) {5}; \node[midnode, below of=e] (x) {Stopp}; - + % Connect vertices with edges \path (s) edge node {} (a); \path (a) edge node {} (c); diff --git a/tikz/teststrategien/teststrategien.tex b/tikz/teststrategien/teststrategien.tex index a8c9f89..887019a 100644 --- a/tikz/teststrategien/teststrategien.tex +++ b/tikz/teststrategien/teststrategien.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations, automata} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations, automata} \usepackage{amsmath,amssymb} \tikzstyle{textnode}=[ @@ -41,13 +41,13 @@ \node[smallnode, below of=c, node distance=1.5cm] (x) {x}; \node[smallnode, below of=x] (y) {y}; \draw (x.south) -- (y.north) - node [midway, - right of=x, - node distance=3cm, - draw=none, - text width=4cm] + node [midway, + right of=x, + node distance=3cm, + draw=none, + text width=4cm] {Testverfahren x\\subsummiert\\Testverfahren y}; - + % Connect vertices with edges and draw weights \path (a) edge node {} (b); \path (b) edge node {} (c); diff --git a/tikz/thales-circle-triangle/thales-circle-triangle.tex b/tikz/thales-circle-triangle/thales-circle-triangle.tex index 7b29796..20fbfea 100644 --- a/tikz/thales-circle-triangle/thales-circle-triangle.tex +++ b/tikz/thales-circle-triangle/thales-circle-triangle.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/tikz-sizes/tikz-sizes.tex b/tikz/tikz-sizes/tikz-sizes.tex index 4803a67..93140e1 100644 --- a/tikz/tikz-sizes/tikz-sizes.tex +++ b/tikz/tikz-sizes/tikz-sizes.tex @@ -65,7 +65,7 @@ \addplot[domain=0:3,ultra thick, red, samples=500] {sqrt(x)}; \legend{ultra thin, very thin, thin, semithick, thick, very thick, ultra thick}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{preview} \end{document} diff --git a/tikz/topo-halbgerade/topo-halbgerade.tex b/tikz/topo-halbgerade/topo-halbgerade.tex index 0a5725e..19d37b0 100644 --- a/tikz/topo-halbgerade/topo-halbgerade.tex +++ b/tikz/topo-halbgerade/topo-halbgerade.tex @@ -11,8 +11,8 @@ \node (Rright) at (6,0) {}; \draw[red,dashed,very thick] (Pleft) -- (P); \draw[green,dotted,very thick] (P) -- (R) -- (Rright); - \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.2cm},decorate,red] (Pleft) -- (P) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.25cm,red] {$PR^-$}; - \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.2cm},decorate] (P) -- (R) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.25cm] {$\overline{PR}$}; - \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.8cm},decorate,green] (P) -- (Rright) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.85cm,green] {$PR^+$}; + \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.2cm},decorate,red] (Pleft) -- (P) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.25cm,red] {$PR^-$}; + \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.2cm},decorate] (P) -- (R) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.25cm] {$\overline{PR}$}; + \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.8cm},decorate,green] (P) -- (Rright) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.85cm,green] {$PR^+$}; \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/topology-1/topology-1.tex b/tikz/topology-1/topology-1.tex index cf6c132..5ea9472 100644 --- a/tikz/topology-1/topology-1.tex +++ b/tikz/topology-1/topology-1.tex @@ -36,6 +36,6 @@ \node at (axis cs:0.8,1.2) [anchor=-90] {$y$}; \draw (axis cs:0.8,1.2) circle[radius=0.6]; \addplot[mark=*] coordinates {(0.8,1.2)}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/topology-continuous-mapping/topology-continuous-mapping.tex b/tikz/topology-continuous-mapping/topology-continuous-mapping.tex index 5c190ea..5ca4e2d 100644 --- a/tikz/topology-continuous-mapping/topology-continuous-mapping.tex +++ b/tikz/topology-continuous-mapping/topology-continuous-mapping.tex @@ -17,7 +17,7 @@ }, } \begin{tikzpicture} - + \draw[->] (-0.5,0) -- (1.5,0) node [below] {$\mathbb{R}$}; \foreach \x in {0,...,1} diff --git a/tikz/topology-metric-hausdorff/topology-metric-hausdorff.tex b/tikz/topology-metric-hausdorff/topology-metric-hausdorff.tex index 389dd0d..3771acc 100644 --- a/tikz/topology-metric-hausdorff/topology-metric-hausdorff.tex +++ b/tikz/topology-metric-hausdorff/topology-metric-hausdorff.tex @@ -70,7 +70,7 @@ \addplot[hatchcolor=red,mark=none, pattern=custom north west lines, draw=none] coordinates {(4.5, 0) (4.5,5) (5.5,5) (5.5,0) }; \addplot[red,mark=none, thick] coordinates {(4.5, 0) (4.5,5)}; \addplot[red,mark=none, thick] coordinates {(5.5, 0) (5.5,5)}; - + \addplot[mark=none, dashed] coordinates {(1, 0) (1,3)}; \addplot[mark=none, dashed] coordinates {(5, 0) (5,3)}; @@ -85,6 +85,6 @@ \node[red] at (axis cs:1,-0.3) [anchor=north] {$U_1 \times X_2$}; \node[red] at (axis cs:5,-0.3) [anchor=north] {$U_2 \times X_2$}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/topology-paths-in-r2/topology-paths-in-r2.tex b/tikz/topology-paths-in-r2/topology-paths-in-r2.tex index cd514ad..48d253e 100644 --- a/tikz/topology-paths-in-r2/topology-paths-in-r2.tex +++ b/tikz/topology-paths-in-r2/topology-paths-in-r2.tex @@ -29,6 +29,6 @@ (0,0) (-1,1) (-2,2) (-1,3) (0, 3) (1, 4)}; \addplot[mark=none, blue, smooth cycle, thick, tension=3] coordinates {% (0,0) (-1,1) (-2,2) (-1,3) (0, 3) (1, 4)}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/topology-r-spiral-covering-s/topology-r-spiral-covering-s.tex b/tikz/topology-r-spiral-covering-s/topology-r-spiral-covering-s.tex index da1dcc3..77acef1 100644 --- a/tikz/topology-r-spiral-covering-s/topology-r-spiral-covering-s.tex +++ b/tikz/topology-r-spiral-covering-s/topology-r-spiral-covering-s.tex @@ -56,7 +56,7 @@ \addplot3+[ mark options={color=black}, mark=* -] +] coordinates {({sin(deg(45)},{cos(deg(45))},0)}; %%%%%%%%%%%%% diff --git a/tikz/topology-simplex-1/topology-simplex-1.tex b/tikz/topology-simplex-1/topology-simplex-1.tex index 41d0e05..2cb5828 100644 --- a/tikz/topology-simplex-1/topology-simplex-1.tex +++ b/tikz/topology-simplex-1/topology-simplex-1.tex @@ -29,6 +29,6 @@ \addplot[domain=0:2.5, red, thick,samples=20] {-x+2.5}; \node[point,label={[label distance=0cm]45:$e_0$}] at (axis cs:2.5,0) {}; \node[point,label={[label distance=0cm]0:$e_1$}] at (axis cs:0,2.5) {}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/topology-simplex-2/topology-simplex-2.tex b/tikz/topology-simplex-2/topology-simplex-2.tex index 3838d47..cb2d0d6 100644 --- a/tikz/topology-simplex-2/topology-simplex-2.tex +++ b/tikz/topology-simplex-2/topology-simplex-2.tex @@ -28,6 +28,6 @@ \node (b)[point,label={[label distance=0cm]5:$e_1$}] at (axis cs:0,2.5) {}; \node (c)[point,label={[label distance=0cm]0:$e_2$}] at (axis cs:2,2) {}; \draw[thick,fill=orange!50] (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- cycle; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/topology-sinx/topology-sinx.tex b/tikz/topology-sinx/topology-sinx.tex index 23794f2..e5feae3 100644 --- a/tikz/topology-sinx/topology-sinx.tex +++ b/tikz/topology-sinx/topology-sinx.tex @@ -33,7 +33,7 @@ \addplot[domain=0.0105:0.011, blue, thick,samples=20] {10}; \addlegendentry{$\{(x, \sin(\frac{1}{x})) \in X \times Y\}$} \addlegendentry{$(-1,1) \subseteq Y$} - \end{axis} + \end{axis} \draw[ultra thick,blue] (0,0.5) -- (0,5.9); \end{tikzpicture} \end{preview} diff --git a/tikz/topology-triangle-no-simplicial-complex/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex b/tikz/topology-triangle-no-simplicial-complex/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex index 30614ea..b9d8e57 100644 --- a/tikz/topology-triangle-no-simplicial-complex/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex +++ b/tikz/topology-triangle-no-simplicial-complex/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex @@ -14,7 +14,7 @@ \node (e)[point] at (0,2) {}; \node (f)[point] at (4,2) {}; \end{scope} - + \node (p)[point,label={[label distance=0cm]5:$P$}] at (1.5,0.5) {}; \draw[pattern=north east lines] (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- cycle; diff --git a/tikz/topology-triangle-simplicial-complex/topology-triangle-simplicial-complex.tex b/tikz/topology-triangle-simplicial-complex/topology-triangle-simplicial-complex.tex index a9a08f9..b7c7e8c 100644 --- a/tikz/topology-triangle-simplicial-complex/topology-triangle-simplicial-complex.tex +++ b/tikz/topology-triangle-simplicial-complex/topology-triangle-simplicial-complex.tex @@ -14,7 +14,7 @@ \node (e)[point] at (0,2) {}; \node (f)[point] at (4,2) {}; \end{scope} - + \node (p)[point,label={[label distance=0cm]5:$P$}] at (1.5,0.5) {}; \draw[pattern=north east lines] (a.center) -- (p.center) -- (b.center) -- cycle; diff --git a/tikz/topology-ueberlagerung/topology-ueberlagerung.tex b/tikz/topology-ueberlagerung/topology-ueberlagerung.tex index c9d9f5b..a5cebdb 100644 --- a/tikz/topology-ueberlagerung/topology-ueberlagerung.tex +++ b/tikz/topology-ueberlagerung/topology-ueberlagerung.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc,intersections,automata, arrows} +\usetikzlibrary{calc,intersections,automata, arrows} \newcommand\markangle[6]{% origin X Y radius radiusmark mark % fill red circle diff --git a/tikz/torus-invalid-triangulation-1/torus-invalid-triangulation-1.tex b/tikz/torus-invalid-triangulation-1/torus-invalid-triangulation-1.tex index 630041b..883852e 100644 --- a/tikz/torus-invalid-triangulation-1/torus-invalid-triangulation-1.tex +++ b/tikz/torus-invalid-triangulation-1/torus-invalid-triangulation-1.tex @@ -19,7 +19,7 @@ \begin{scope}[decoration={ markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}} - ] + ] \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (b.center); \draw[postaction={decorate}] (d.center) -- (c.center); \end{scope} @@ -27,7 +27,7 @@ \begin{scope}[decoration={ markings, mark=at position 0.55 with {\arrow{>>}}} - ] + ] \draw[postaction={decorate}] (b.center) -- (c.center); \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (d.center); \end{scope} diff --git a/tikz/torus-invalid-triangulation-2/torus-invalid-triangulation-2.tex b/tikz/torus-invalid-triangulation-2/torus-invalid-triangulation-2.tex index ef0b2a9..ff6e0f3 100644 --- a/tikz/torus-invalid-triangulation-2/torus-invalid-triangulation-2.tex +++ b/tikz/torus-invalid-triangulation-2/torus-invalid-triangulation-2.tex @@ -26,7 +26,7 @@ \begin{scope}[decoration={ markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}} - ] + ] \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (b.center); \draw[postaction={decorate}] (d.center) -- (c.center); \end{scope} @@ -34,7 +34,7 @@ \begin{scope}[decoration={ markings, mark=at position 0.55 with {\arrow{>>}}} - ] + ] \draw[postaction={decorate}] (b.center) -- (c.center); \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (d.center); \end{scope} diff --git a/tikz/torus-triangulation-minimal/torus-triangulation-minimal.tex b/tikz/torus-triangulation-minimal/torus-triangulation-minimal.tex index 6ad1df5..6756230 100644 --- a/tikz/torus-triangulation-minimal/torus-triangulation-minimal.tex +++ b/tikz/torus-triangulation-minimal/torus-triangulation-minimal.tex @@ -43,7 +43,7 @@ \begin{scope}[decoration={ markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}} - ] + ] \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (b.center); \draw[postaction={decorate}] (d.center) -- (c.center); \end{scope} @@ -51,7 +51,7 @@ \begin{scope}[decoration={ markings, mark=at position 0.55 with {\arrow{>>}}} - ] + ] \draw[postaction={decorate}] (b.center) -- (c.center); \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (d.center); \end{scope} diff --git a/tikz/torus-triangulation/torus-triangulation.tex b/tikz/torus-triangulation/torus-triangulation.tex index 33d775a..0bd9629 100644 --- a/tikz/torus-triangulation/torus-triangulation.tex +++ b/tikz/torus-triangulation/torus-triangulation.tex @@ -41,7 +41,7 @@ \begin{scope}[decoration={ markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}} - ] + ] \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (b.center); \draw[postaction={decorate}] (d.center) -- (c.center); \end{scope} @@ -49,7 +49,7 @@ \begin{scope}[decoration={ markings, mark=at position 0.55 with {\arrow{>>}}} - ] + ] \draw[postaction={decorate}] (b.center) -- (c.center); \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (d.center); \end{scope} diff --git a/tikz/torus/TorusMain.tex b/tikz/torus/TorusMain.tex index 4feb79f..6ee6477 100644 --- a/tikz/torus/TorusMain.tex +++ b/tikz/torus/TorusMain.tex @@ -12,8 +12,8 @@ \title{Torus} -\hypersetup{ - pdftitle = {Torus} +\hypersetup{ + pdftitle = {Torus} } \makeindex diff --git a/tikz/triangle-9-point-circle-circumscribed-circle/triangle-9-point-circle-circumscribed-circle.tex b/tikz/triangle-9-point-circle-circumscribed-circle/triangle-9-point-circle-circumscribed-circle.tex index 560f3ea..70c539c 100644 --- a/tikz/triangle-9-point-circle-circumscribed-circle/triangle-9-point-circle-circumscribed-circle.tex +++ b/tikz/triangle-9-point-circle-circumscribed-circle/triangle-9-point-circle-circumscribed-circle.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} @@ -59,13 +59,13 @@ % Ocircle, but shifted by dOcircle (x-axis) \tkzDefShiftPoint[Ocircle](\dOcircle pt,0){C'} \tkzDrawSegments[dashed](Ocircle,C') - \tkzLabelSegment[below](Ocircle,C'){$r_1$} + \tkzLabelSegment[below](Ocircle,C'){$r_1$} % TODO: define shiftedIcircOrigin which is % Icircle, but shifted by rIN (x-axis) - \tkzDefShiftPoint[Icircle](\rIN pt,0){C''} + \tkzDefShiftPoint[Icircle](\rIN pt,0){C''} \tkzDrawSegments[dashed](Icircle,C'') - \tkzLabelSegment[below](Icircle,C''){$r_2$} + \tkzLabelSegment[below](Icircle,C''){$r_2$} \tkzDrawPoints[size=2,fill=black](D,E,F) \tkzDrawPoints[size=2,fill=blue,color=blue](Ocircle) diff --git a/tikz/triangle-9-point-circle-escribed-circles/triangle-9-point-circle-escribed-circles.tex b/tikz/triangle-9-point-circle-escribed-circles/triangle-9-point-circle-escribed-circles.tex index ba6c5c5..d5001e5 100644 --- a/tikz/triangle-9-point-circle-escribed-circles/triangle-9-point-circle-escribed-circles.tex +++ b/tikz/triangle-9-point-circle-escribed-circles/triangle-9-point-circle-escribed-circles.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/triangle-9-point-circle/triangle-9-point-circle.tex b/tikz/triangle-9-point-circle/triangle-9-point-circle.tex index b05a167..f40ac04 100644 --- a/tikz/triangle-9-point-circle/triangle-9-point-circle.tex +++ b/tikz/triangle-9-point-circle/triangle-9-point-circle.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} @@ -64,8 +64,8 @@ % Draw rest \tkzDrawSegments[dashed](A,G C,I B,H) \tkzDrawSegments[thick](A,J J,S) % red,very thick - \tkzDrawSegments[thick](C,K K,S) % green,very - \tkzDrawSegments[thick](B,L L,S) % blue,very + \tkzDrawSegments[thick](C,K K,S) % green,very + \tkzDrawSegments[thick](B,L L,S) % blue,very \tkzDrawPoints[size=2,fill=black](D,E,F,I,G,H,S,J,L,K) \tkzDrawPoints[size=2,fill=red,color=red](Icircle) diff --git a/tikz/triangle-angles/triangle-angles.tex b/tikz/triangle-angles/triangle-angles.tex index 2bc3648..109b109 100644 --- a/tikz/triangle-angles/triangle-angles.tex +++ b/tikz/triangle-angles/triangle-angles.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} - \usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, decorations} + \usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} @@ -20,9 +20,9 @@ \newcommand\YBp{{\YB*0.5}} % Draw the triangle - \draw[fill=gray!10] (0, 0) coordinate (A) - -- (\XB,\YB) coordinate (C) - -- (\XC, 0) coordinate (B) + \draw[fill=gray!10] (0, 0) coordinate (A) + -- (\XB,\YB) coordinate (C) + -- (\XC, 0) coordinate (B) -- (0, 0) -- cycle; % Draw nodes @@ -70,9 +70,9 @@ \end{scope} \draw[dashed, color=red] (-1, 0) -- (6, 0); - \draw (0, 0) coordinate (X) - -- (\XB,\YB) coordinate (Y) - -- (\XC, 0) coordinate (Z) + \draw (0, 0) coordinate (X) + -- (\XB,\YB) coordinate (Y) + -- (\XC, 0) coordinate (Z) -- (0, 0); \end{tikzpicture} \end{preview} diff --git a/tikz/triangle-exteriour-angle-theorem-1/triangle-exteriour-angle-theorem-1.tex b/tikz/triangle-exteriour-angle-theorem-1/triangle-exteriour-angle-theorem-1.tex index 1cc261d..d2bedf9 100644 --- a/tikz/triangle-exteriour-angle-theorem-1/triangle-exteriour-angle-theorem-1.tex +++ b/tikz/triangle-exteriour-angle-theorem-1/triangle-exteriour-angle-theorem-1.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/triangle-exteriour-angle-theorem-2/triangle-exteriour-angle-theorem-2.tex b/tikz/triangle-exteriour-angle-theorem-2/triangle-exteriour-angle-theorem-2.tex index 11d3203..8711e49 100644 --- a/tikz/triangle-exteriour-angle-theorem-2/triangle-exteriour-angle-theorem-2.tex +++ b/tikz/triangle-exteriour-angle-theorem-2/triangle-exteriour-angle-theorem-2.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/triangle-gergonne-point/triangle-gergonne-point.tex b/tikz/triangle-gergonne-point/triangle-gergonne-point.tex index b0a7440..5fc50de 100644 --- a/tikz/triangle-gergonne-point/triangle-gergonne-point.tex +++ b/tikz/triangle-gergonne-point/triangle-gergonne-point.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/triangle-heron-tricky/triangle-heron-tricky.tex b/tikz/triangle-heron-tricky/triangle-heron-tricky.tex index 94eb63d..04eaa36 100644 --- a/tikz/triangle-heron-tricky/triangle-heron-tricky.tex +++ b/tikz/triangle-heron-tricky/triangle-heron-tricky.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} @@ -16,19 +16,19 @@ minimum width=4pt, minimum height=4pt}] % Draw the triangle - \draw[fill=green!10] (0, 0) coordinate (a) - -- (5cm,0) coordinate (b) - -- (3.6cm, 4.8cm) coordinate (c) + \draw[fill=green!10] (0, 0) coordinate (a) + -- (5cm,0) coordinate (b) + -- (3.6cm, 4.8cm) coordinate (c) -- (0, 0) -- cycle; - \draw[fill=blue!10] (a) - -- (b) - -- (6.4cm, 4.8cm) coordinate (d) + \draw[fill=blue!10] (a) + -- (b) + -- (6.4cm, 4.8cm) coordinate (d) -- (0, 0) -- cycle; - \draw[fill=red!10] (a) - -- (b) - -- (4.1cm,3.07cm) coordinate (e) + \draw[fill=red!10] (a) + -- (b) + -- (4.1cm,3.07cm) coordinate (e) -- (0, 0) -- cycle; %\node (a) [dot] at (0,0) {}; diff --git a/tikz/triangle-heronian/triangle-heronian.tex b/tikz/triangle-heronian/triangle-heronian.tex index 9df6e85..b52d9b5 100644 --- a/tikz/triangle-heronian/triangle-heronian.tex +++ b/tikz/triangle-heronian/triangle-heronian.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/triangle-inscribed-circle/triangle-inscribed-circle.tex b/tikz/triangle-inscribed-circle/triangle-inscribed-circle.tex index f643e8b..5feb946 100644 --- a/tikz/triangle-inscribed-circle/triangle-inscribed-circle.tex +++ b/tikz/triangle-inscribed-circle/triangle-inscribed-circle.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/triangle-menelaos-1-1/triangle-menelaos-1-1.tex b/tikz/triangle-menelaos-1-1/triangle-menelaos-1-1.tex index 4ab99a4..c5acb57 100644 --- a/tikz/triangle-menelaos-1-1/triangle-menelaos-1-1.tex +++ b/tikz/triangle-menelaos-1-1/triangle-menelaos-1-1.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/triangle-menelaos-1/triangle-menelaos-1.tex b/tikz/triangle-menelaos-1/triangle-menelaos-1.tex index 6ac5e22..52e7d84 100644 --- a/tikz/triangle-menelaos-1/triangle-menelaos-1.tex +++ b/tikz/triangle-menelaos-1/triangle-menelaos-1.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/triangle-menelaos-2/triangle-menelaos-2.tex b/tikz/triangle-menelaos-2/triangle-menelaos-2.tex index d28f125..b652674 100644 --- a/tikz/triangle-menelaos-2/triangle-menelaos-2.tex +++ b/tikz/triangle-menelaos-2/triangle-menelaos-2.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/triangle-pappus/triangle-pappus.tex b/tikz/triangle-pappus/triangle-pappus.tex index 5b7a7c0..e9bf1bf 100644 --- a/tikz/triangle-pappus/triangle-pappus.tex +++ b/tikz/triangle-pappus/triangle-pappus.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/triangle-perpendicular/triangle-perpendicular.tex b/tikz/triangle-perpendicular/triangle-perpendicular.tex index 94b6ef9..c8d7a5b 100644 --- a/tikz/triangle-perpendicular/triangle-perpendicular.tex +++ b/tikz/triangle-perpendicular/triangle-perpendicular.tex @@ -5,7 +5,7 @@ \usepackage{tkz-euclide} \usetikzlibrary{angles,quotes} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/triangle-similar/triangle-similar.tex b/tikz/triangle-similar/triangle-similar.tex index 1c8f340..ce3d388 100644 --- a/tikz/triangle-similar/triangle-similar.tex +++ b/tikz/triangle-similar/triangle-similar.tex @@ -19,8 +19,8 @@ \node at ($(C')+(0,0.4)$) {$C'$}; \node at ($(B)+(0.2,-0.2)$) {$B$}; \node at ($(C)+(0.28,0.5)$) {$C$}; - \tkzDrawPolygon[ultra thick,color=blue,fill=blue!20](A,B',C') - \tkzDrawPolygon[line width=0.3pt,color=red,fill=red!20](A,B,C) + \tkzDrawPolygon[ultra thick,color=blue,fill=blue!20](A,B',C') + \tkzDrawPolygon[line width=0.3pt,color=red,fill=red!20](A,B,C) \tkzDrawPoints(A,B',C',B,C) \tkzLabelSegment[below,red](A,B){$c$} \tkzLabelSegment[left,red](A,C){$b$} diff --git a/tikz/triangle-stewarts-theorem/triangle-stewarts-theorem.tex b/tikz/triangle-stewarts-theorem/triangle-stewarts-theorem.tex index 4ddd115..7cdb5b4 100644 --- a/tikz/triangle-stewarts-theorem/triangle-stewarts-theorem.tex +++ b/tikz/triangle-stewarts-theorem/triangle-stewarts-theorem.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/triangle-sws/triangle-sws.tex b/tikz/triangle-sws/triangle-sws.tex index be96fda..58d0660 100644 --- a/tikz/triangle-sws/triangle-sws.tex +++ b/tikz/triangle-sws/triangle-sws.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/triangle/triangle.tex b/tikz/triangle/triangle.tex index 0340109..8c07b9b 100644 --- a/tikz/triangle/triangle.tex +++ b/tikz/triangle/triangle.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/tut-uebung-vorlesung/tut-uebung-vorlesung.tex b/tikz/tut-uebung-vorlesung/tut-uebung-vorlesung.tex index c6d128e..61a08fc 100644 --- a/tikz/tut-uebung-vorlesung/tut-uebung-vorlesung.tex +++ b/tikz/tut-uebung-vorlesung/tut-uebung-vorlesung.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes,decorations,calc,patterns} +\usetikzlibrary{shapes,decorations,calc,patterns} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} \begin{preview} @@ -58,7 +58,7 @@ \draw (2, 0) node[algebraicName] (A) {Modul: Programmieren} (6, 0) node[explanation] (X) { \begin{minipage}{0.9\textwidth} - \tiny + \tiny \begin{itemize} \item 5 ECTS \end{itemize} @@ -73,7 +73,7 @@ (2,-3.5) node[algebraicName, purple] (H) {Übungsschein} (1.8,-4.35) node[explanation] (X) { \begin{minipage}{\textwidth} - \tiny + \tiny \begin{itemize} \itemsep-0.4em \item Muss bestanden werden \item Keine Note @@ -84,7 +84,7 @@ (6,-3.5) node[algebraicName, purple] (I) {Klausur} (5.8,-4.3) node[explanation] (X) { \begin{minipage}{\textwidth} - \tiny + \tiny \begin{itemize} \itemsep-0.4em \item Muss bestanden werden \item Abschlussnote ergibt Modulnote diff --git a/tikz/two-perpendiculars/two-perpendiculars.tex b/tikz/two-perpendiculars/two-perpendiculars.tex index 38c02cc..0916bec 100644 --- a/tikz/two-perpendiculars/two-perpendiculars.tex +++ b/tikz/two-perpendiculars/two-perpendiculars.tex @@ -23,7 +23,7 @@ \tkzDrawLines(A,B) \tkzDrawLine[dashed,color=orange,add=0.5 and 0.2](F,P) \tkzDrawLine[dashed,color=blue,add=0.5 and 0.2](G,P) - % + % \tkzLabelPoint[below left](A){$A$} \tkzLabelPoint[below left](G){$G$} \tkzLabelPoint[above left](P){$P$} diff --git a/tikz/udp-package-scheme/udp-package-scheme.tex b/tikz/udp-package-scheme/udp-package-scheme.tex index f33f5a8..22e8d84 100644 --- a/tikz/udp-package-scheme/udp-package-scheme.tex +++ b/tikz/udp-package-scheme/udp-package-scheme.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \documentclass{article} \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} - + \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes.multipart, calc, decorations.pathreplacing} +\usetikzlibrary{shapes.multipart, calc, decorations.pathreplacing} \begin{document} \begin{preview} diff --git a/tikz/unit-triangle/unit-triangle.tex b/tikz/unit-triangle/unit-triangle.tex index 3ac0f7b..569d040 100644 --- a/tikz/unit-triangle/unit-triangle.tex +++ b/tikz/unit-triangle/unit-triangle.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} -\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, calc, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{helvet} \usepackage[eulergreek]{sansmath} diff --git a/tikz/url-structure/url-structure.tex b/tikz/url-structure/url-structure.tex index ccce202..c5f42b5 100644 --- a/tikz/url-structure/url-structure.tex +++ b/tikz/url-structure/url-structure.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, decorations} +\usetikzlibrary{shapes, decorations} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} @@ -11,12 +11,12 @@ % Define box and box title style \tikzstyle{mybox} = [ - draw=red, - fill=blue!20, + draw=red, + fill=blue!20, very thick, - rectangle, - rounded corners, - inner sep=10pt, + rectangle, + rounded corners, + inner sep=10pt, inner ysep=20pt ] \tikzstyle{fancytitle} =[fill=red, text=white] diff --git a/tikz/vector-addition-and-scaling/vector-addition-and-scaling.tex b/tikz/vector-addition-and-scaling/vector-addition-and-scaling.tex index 7c60806..556b185 100644 --- a/tikz/vector-addition-and-scaling/vector-addition-and-scaling.tex +++ b/tikz/vector-addition-and-scaling/vector-addition-and-scaling.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, arrows} +\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, arrows} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{xcolor} diff --git a/tikz/vector-change-direction/vector-change-direction.tex b/tikz/vector-change-direction/vector-change-direction.tex index 7d283c5..0992f7d 100644 --- a/tikz/vector-change-direction/vector-change-direction.tex +++ b/tikz/vector-change-direction/vector-change-direction.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tkz-euclide} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, arrows} +\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, arrows} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{xcolor} diff --git a/tikz/vector-triangle-inequality/vector-triangle-inequality.tex b/tikz/vector-triangle-inequality/vector-triangle-inequality.tex index 151169e..7c8ca21 100644 --- a/tikz/vector-triangle-inequality/vector-triangle-inequality.tex +++ b/tikz/vector-triangle-inequality/vector-triangle-inequality.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, arrows} +\usetikzlibrary{shapes, calc, shapes, arrows} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{xcolor} diff --git a/tikz/venn-diagramm/venn-diagramm.tex b/tikz/venn-diagramm/venn-diagramm.tex index 31a8506..d0c06e6 100644 --- a/tikz/venn-diagramm/venn-diagramm.tex +++ b/tikz/venn-diagramm/venn-diagramm.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} \setlength\PreviewBorder{2mm} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{shapes,decorations,calc} +\usetikzlibrary{shapes,decorations,calc} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} \begin{preview} @@ -38,9 +38,9 @@ \draw (0, 0) node[algebraicName] (A) {Gruppe} (2, 0) node[explanation] (B) { \begin{minipage}{0.90\textwidth} - \tiny + \tiny \begin{itemize} - \itemsep -0.3em + \itemsep -0.3em \item Assoziativit\"at \item Neutrales Element \item Inverse Elemente @@ -52,9 +52,9 @@ (0,-2) node[algebraicName, purple] (C) {abelsche Gruppe} (2,-2) node[explanation] (X) { \begin{minipage}{150\textwidth} - \tiny + \tiny \begin{itemize} - \itemsep -0.3em + \itemsep -0.3em \item kommutativ \end{itemize} \end{minipage} @@ -69,9 +69,9 @@ (0,-4) node[algebraicName, blue] (H) {Ring} (2,-4.1) node[explanation] (X) { \begin{minipage}{150\textwidth} - \tiny + \tiny \begin{itemize} - \itemsep -0.3em + \itemsep -0.3em \item Zwei Verkn\"upfungen \item $(R, +)$ ist abelsche Gruppe \item $(R, \cdot)$ ist Halbgruppe @@ -84,9 +84,9 @@ (0,-5) node[algebraicName, red] (J) {K\"orper} (2,-5) node[explanation] (X) { \begin{minipage}{150\textwidth} - \tiny + \tiny \begin{itemize} - \itemsep -0.3em + \itemsep -0.3em \item $(\mathbb{K} \setminus \{0\}, \cdot)$ ist abelsche Gruppe \end{itemize} \end{minipage} @@ -100,9 +100,9 @@ (9, 0) node[algebraicName] (O) {Halbgruppe} (12,0) node[explanation] (X) { \begin{minipage}{150\textwidth} - \tiny + \tiny \begin{itemize} - \itemsep -0.3em + \itemsep -0.3em \item Eine Verkn\"upfung \item Abgeschlossenheit \end{itemize} @@ -112,9 +112,9 @@ (9, -2) node[algebraicName] (Q) {kommutative Halbgruppe} (12,-2) node[explanation] (X) { \begin{minipage}{150\textwidth} - \tiny + \tiny \begin{itemize} - \itemsep -0.3em + \itemsep -0.3em \item kommutativ \end{itemize} \end{minipage} diff --git a/tikz/x-2-quadratic-function/x-2-quadratic-function.tex b/tikz/x-2-quadratic-function/x-2-quadratic-function.tex index 5134f65..bcc6c8e 100644 --- a/tikz/x-2-quadratic-function/x-2-quadratic-function.tex +++ b/tikz/x-2-quadratic-function/x-2-quadratic-function.tex @@ -52,6 +52,6 @@ pattern color=blue, domain=0:1,samples=500] {x*x} \closedcycle; \addlegendentry{$f(x)=x^2$} \addlegendentry{$\int_0^1 x^2 \mathrm{d} x$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/x-3-cubic-function/x-3-cubic-function.tex b/tikz/x-3-cubic-function/x-3-cubic-function.tex index f8675fc..29b7b4d 100644 --- a/tikz/x-3-cubic-function/x-3-cubic-function.tex +++ b/tikz/x-3-cubic-function/x-3-cubic-function.tex @@ -26,8 +26,8 @@ enlargelimits=true, tension=0.08] % plot the stirling-formulae - \addplot[domain=-2:2, red, thick,samples=500] {x*x*x}; + \addplot[domain=-2:2, red, thick,samples=500] {x*x*x}; \addlegendentry{$f(x)=x^3$} - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/zariski-topology/zariski-topology.tex b/tikz/zariski-topology/zariski-topology.tex index 56b9f44..ea3b1d4 100644 --- a/tikz/zariski-topology/zariski-topology.tex +++ b/tikz/zariski-topology/zariski-topology.tex @@ -35,6 +35,6 @@ \addplot[mark=none] coordinates {(\i,-0.2) (\i,5.2)}; } \addplot[mark=none] coordinates {(0,2) (5,2)}; - \end{axis} + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document}