mirror of
https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples.git
synced 2025-04-18 19:18:21 +02:00
7740f0147f
The commands
find . -type f -name '*.md' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
and
find . -type f -name '*.tex' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
were used to do so.
33 lines
1.2 KiB
TeX
33 lines
1.2 KiB
TeX
\section*{Aufgabe 3}
|
|
\subsection*{Teilaufgabe a)}
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Selbstabbildung: \\
|
|
Sei $x \in D := [1.75 , 2] = [\frac{7}{4}, \frac{8}{4}]$.
|
|
|
|
Dann:
|
|
\begin{align}
|
|
F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \le 1 + \frac{1}{1.75} + \frac{1}{1.75^2} = 1 + \frac{44}{49} \le 2 %TODO: schöner formulieren
|
|
\end{align}
|
|
und: \\
|
|
\begin{align}
|
|
F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \ge 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1.75
|
|
\end{align}
|
|
|
|
\item Abgeschlossenheit: $D$ ist offentsichtlich abgeschlossen.
|
|
\item Kontraktion: \\ %TODO:
|
|
%\textbf{Behauptung:} $F(x)$ ist auf $A$ eine Kontraktion.
|
|
%\textbf{Beweis:}
|
|
%z.Z.: $\exists L \in [0, 1): \forall x,y \in A: || F(x) - F(y) || \leq L \cdot || x - y||$
|
|
Hier ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung von Nutzen.\\
|
|
$F$ ist Lipschitz-stetig auf $D$ und für alle $x \in D$ gilt: \\
|
|
\begin{align}
|
|
|F'(x)| = |-\frac{1}{x^2}-2 \cdot \frac{1}{x^3}| \le \frac{240}{343} =: \theta < 1
|
|
\end{align}
|
|
Also gilt auch $\forall x,y \in D $:
|
|
\begin{align}
|
|
|F(x) - F(y)| \le \theta \cdot |x - y|
|
|
\end{align}
|
|
Somit ist die Lipschitz- bzw. Kontraktions-Konstante $\theta$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
Insgesamt folgt, dass $F$ die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.
|