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find . -type f -name '*.md' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
and
find . -type f -name '*.tex' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
were used to do so.
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2.6 KiB
TeX
78 lines
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TeX
\section*{Aufgabe 2}
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Zeige die Aussage für $2\times2$ Matrizen durch Gauß-en mit
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Spaltenpivotwahl.
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\subsection*{Lösung}
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\subsubsection*{Behauptung:}
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Für alle tridiagonalen Matrizen gilt:
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\begin{enumerate}
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\item[(i)] Die Gauß-Elimination erhält die tridiagonale Struktur
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\item[(ii)] $\rho_n(A) := \frac{\alpha_\text{max}}{\max_{i,j} |a_{ij}|} \leq 2$
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\end{enumerate}
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\subsubsection*{Beweis:}
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\paragraph{Teil 1: (i)}
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\begin{align}
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A &= \begin{gmatrix}[p]
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* & * & & \\
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* & \ddots & \ddots & \\
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& \ddots & \ddots & * \\
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& & * & *
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\rowops
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\add[\cdot \frac{-a_{21}}{a_{11}}]{0}{1}
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\end{gmatrix}
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\end{align}
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Offensichtlich ändert diese Operation nur Zeile 2. $a_{21}$ wird zu 0,
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$a_{22}$ ändert sich irgendwie, alles andere bleibt unverändert.
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Die gesammte Matrix ist keine tridiagonale Matrix mehr, aber die
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um Submatrix in $R^{(n-1) \times (n-1)}$ ist noch eine.
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Muss man zuvor Zeile 1 und 2 tauschen (andere Zeilen kommen nicht in
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Frage), so ist später die Stelle $a_{21} = 0$, $a_{22}$ ändert sich
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wieder irgendwie und $a_{23}$ ändert sich auch. Dies ändert aber nichts
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an der tridiagonalen Struktur der Submatrix.
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\paragraph{Teil 2: (ii) für $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$}
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Sei $\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$
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beliebig.
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O.B.d.A sei die Spaltenpivotwahl bereits durchgeführt, also $|a_{11}| \geq |a_{21}|$.
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Nun folgt:
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\begin{align}
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\begin{gmatrix}[p]
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a_{11} & a_{12}\\
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a_{21} & a_{22}
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\rowops
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\add[\cdot \frac{-a_{21}}{a_{11}}]{0}{1}
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\end{gmatrix}\\
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\leadsto
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\begin{gmatrix}[p]
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a_{11} & a_{12}\\
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0 & a_{22} - \frac{a_{12} \cdot a_{21}}{a_{11}}
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\end{gmatrix}
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\end{align}
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Wegen $|a_{11}| \geq |a_{21}|$ gilt:
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\begin{align}
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\|\frac{a_{21}}{a_{11}}\| \leq 1
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\end{align}
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Also insbesondere
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\begin{align}
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\underbrace{a_{22} - a_{12} \cdot \frac{a_{21}}{a_{11}}}_{\leq \alpha_\text{max}} \leq 2 \cdot \max_{i,j}|a_{ij}|
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\end{align}
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Damit ist Aussage (ii) für $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ gezeigt.
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\paragraph{Teil 3: (ii) für allgemeinen Fall}
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Aus Teil 2 folgt die Aussage auch direkt für größere Matrizen.
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Der worst case ist, wenn man beim Addieren einer Zeile auf eine
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andere mit $\max_{i,j}|a_{ij}|$ multiplizieren muss um das erste nicht-0-Element
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der Zeile zu entfernen und das zweite auch $\max_{i,j}|a_{ij}|$ ist.
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Dann muss man aber im nächsten schritt mit einem Faktor $\leq \frac{1}{2}$
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multiplizieren, erhält also nicht einmal mehr $2 \cdot \max_{i,j}|a_{ij}|$.
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