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find . -type f -name '*.md' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
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find . -type f -name '*.tex' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
were used to do so.
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TeX
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TeX
\section*{Aufgabe 2}
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\paragraph{Voraussetzung:}
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Gegeben sei eine Funktion $F$:
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\begin{align*}
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F: \mathbb{R} &\rightarrow [-1, 1]\\
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F(x) &:= \cos(x)
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\end{align*}
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sowie eine Folge $(x)_k$ mit $x_{k+1} := F(x_k)$.
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\paragraph{Behauptung:} $\displaystyle \exists! x^*: \forall x \in \mathbb{R}: \lim_{k \rightarrow \infty} x_k = x^*$
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\paragraph{Beweis:} über den Banachschen Fixpunktsatz.
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\begin{proof}
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Sei $ x \in \mathbb{R}$, so gilt:\marginpar{Teil 1: Fix\-punkte können nur in $[0,1]$ sein.}
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\begin{align*}
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-1 \leq \cos(x) \leq 1
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\end{align*}
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Also genügt es $x \in [-1, 1]$ auf der Suche nach Fixpunkten zu betrachten.
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Sei nun $x \in [-1, 0)$. Dann gilt: $\cos(x) > 0$. Da $x <0$ aber $F(x) > 0$,
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kann kein Fixpunkt in $[-1, 0)$ sein. Es genügt also sogar,
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nur $[0, 1]$ zu betrachten.
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Sei $0 \leq x < y \leq 1$. Dann folgt:\marginnote{Teil 2: $F$ ist auf $[0,1]$ eine Kontraktion}
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\begin{align}
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\stackrel{\text{Mittelwertsatz}}{\Rightarrow} \exists L \in (x,y): \frac{\cos(y) - \cos(x)}{y-x} &= f'(L)\\
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\Rightarrow \exists L \in [0,1]: \| \cos y - \cos x \| &= \| - \sin(L) \cdot (y-x)\| \\
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&= \underbrace{\sin(L)}_{[0,1)} (y-x)\\
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\Rightarrow F \text{ ist Kontraktion auf [0,1]}
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\end{align}
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Da $F|_{[0,1]}$ eine Selbstabbildung und eine Kontraktion ist und
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offensichtlich $[0,1]$ abgeschlossen ist, greift der
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Banachsche Fixpunktsatz. Es folgt direkt, dass auch für alle $x \in [0,1]$
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die Folge $(x)_k$ gegen den einzigen Fixpunkt $x^*$ konvergiert.
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\end{proof}
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\subsection*{Anmerkung}
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Um zu zeigen, dass es genau einen Fixpunkt $x^*$ in $(0,1)$ gibt,
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braucht man den Banachschen Fixpunktsatz nicht. Nur um zu zeigen,
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dass die Fixpunktiteration auf für jedes $x \in \mathbb{R}$ gegen
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diesen Fixpunkt $x^*$ konvergiert, braucht man ihn.
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So kann man die existenz eines Fixpunktes zeigen:
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Offensichtlich ist $F(0) \neq 0$ und $F(1) \neq 1$, also ist der
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Fixpunkt - falls vorhanden - in $(0,1)$. $F$ ist in $(0,1)$ stetig
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und streng monoton fallend. Da auch $-x$ in $(0,1)$ streng monoton
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fallend ist, folgt, dass $\cos(x) - x$ in $(0,1)$ streng monoton
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fallend ist.
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$x=0 \Rightarrow \cos(x) - x = \cos(0) - 0 = 1$
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$x=45^\circ = \frac{1}{4} \pi < 1 \Rightarrow \cos(45^\circ) - \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\pi}{4} <0$, da
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\begin{align}
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8 &< 9 < \pi^2\\
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\Rightarrow \sqrt{8} &< \pi\\
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\Leftrightarrow 2 \sqrt{2} &< \pi\\
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\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} &< \frac{\pi}{4}
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\end{align}
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$\stackrel{\text{Zwischenwertsatz}}{\Rightarrow} \exists x^*: \cos(x^*) - x^* = 0 \Leftrightarrow \exists x^*: \cos(x^*) = x^*$.
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Dieses $x^*$ ist eindeutig, da $\cos(x)-x$ \emph{streng} monoton fallend ist.
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