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find . -type f -name '*.md' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
and
find . -type f -name '*.tex' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
were used to do so.
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3 KiB
TeX
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TeX
\section*{Aufgabe 5}
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\subsection*{Aufgabe}
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Bestimme alle Quadraturformeln mit $s=3$ und Knoten
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$0 = c_1 < c_2, c_3$ und Ordnung $p \geq 4$.
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Schreiben Sie ein Programm in Pseudocode, welches zu vorgegebenem
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$c_2$ den Knoten $c_3$ und die Gewichte $b_i$ möglichst effizient
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berechnet.
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Wie viele symmetrische Quadraturformeln gibt es mit diesen Eigneschaften?
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\subsection*{Lösung}
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Da $c_1 = 0$ kann es keine Gauß-Quadraturformel sein. Daher kann
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die Ordnung nicht $2 \cdot s = 6$ sein. Interessant sind also
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\begin{itemize}
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\item[(A)] Symmetrische Quadraturformeln der Ordnung 4
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\item[(B)] Unsymmetrische Quadraturformeln der Ordnung 4
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\item[(C)] Unsymmetrische Quadraturformeln der Ordnung 5
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\end{itemize}
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Die Simpson-Regel mit $c_1 = 0, c_2 = \frac{1}{2}$ und $c_3 = 1$
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mit $b_1 = b_3 = \frac{1}{6}$ und $b_2 = \frac{4}{6}$ ist die einzige
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symmetrische Quadraturformel in (A).
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Für (B) müssen die Ordnungsbedingungen gelten:
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\begin{align}
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\nicefrac{1}{1} &\stackrel{!}{=} b_1 + b_2 + b_3\label{eq:i}\\
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\nicefrac{1}{2} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2 + b_3 c_3\label{eq:ii}\\
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\nicefrac{1}{3} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^2 + b_3 c_3^2\label{eq:iii}\\
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\nicefrac{1}{4} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^3 + b_3 c_3^3\label{eq:iv}\\
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\stackrel{\ref{eq:ii}}{\Rightarrow} \frac{\nicefrac{1}{2} - b_3 c_3}{c_2}&\stackrel{!}{=} b_2 \label{eq:ii2}\\
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\stackrel{\ref{eq:ii2} \text{ in } \ref{eq:iii}}{\Rightarrow} \nicefrac{1}{3} &\stackrel{!}{=} (\nicefrac{1}{2} - b_3 c_3) \cdot c_2 + b_3 c_3^2\label{eq:iii2}\\
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\Leftrightarrow \nicefrac{1}{3} - \nicefrac{1}{2} \cdot c_2 &\stackrel{!}{=} b_3 (- c_3 c_2 + c_3^2)\\
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\Leftrightarrow \frac{\nicefrac{1}{3} - \nicefrac{1}{2} \cdot c_2}{c_3^2 - c_3 c_2} &\stackrel{!}{=} b_3 \label{eq:iii3}\\
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\stackrel{\ref{eq:ii2} \text{ in } \ref{eq:iv}}{\Rightarrow} \nicefrac{1}{4} &\stackrel{!}{=} (\nicefrac{1}{2} - b_3 c_3) \cdot c_2^2 + b_3 c_3^3\label{eq:iv2}\\
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\Leftrightarrow \nicefrac{1}{4} - \nicefrac{1}{2} c_2^2&\stackrel{!}{=} b_3 (c_3^3 - c_3 \cdot c_2^2) \label{eq:iv2}\\
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\stackrel{\ref{eq:iii3} \text{ in } \ref{eq:iv2}}{\Rightarrow} \nicefrac{1}{4} - \nicefrac{1}{2} c_2^2&\stackrel{!}{=} \frac{\nicefrac{1}{3} - \nicefrac{1}{2} \cdot c_2}{c_3^2 - c_3 c_2} (c_3^3 - c_3 \cdot c_2^2)\\
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\Leftrightarrow \frac{1}{2} \left (\frac{1}{2} - c_2^2 \right ) &= \frac{(\nicefrac{1}{3} - \nicefrac{1}{2} \cdot c_2)(c_3^2 - c_2^2)}{c_3 - c_2}\\
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\Leftrightarrow \frac{1}{2} - c_2^2 &= (\nicefrac{2}{3} - c_2)(c_3 + c_2)\\
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\Leftrightarrow \frac{1}{2} - c_2^2 &= \nicefrac{2}{3} c_3 + \nicefrac{2}{3} c_2 - c_2 c_3 - c_2^2\\
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\Leftrightarrow \frac{1}{2} - \frac{2}{3} c_2 &= \nicefrac{2}{3} c_3- c_2 c_3\\
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\Leftrightarrow \frac{1}{2} - \frac{2}{3} c_2 &= c_3(\nicefrac{2}{3}- c_2)\\
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\Leftrightarrow c_3 &= \frac{\frac{1}{2} - \frac{2}{3} c_2}{\nicefrac{2}{3}- c_2} = \frac{2c_2-\nicefrac{3}{2}}{3c_2 - 2}\\
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\end{align}
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Für (C) muss zusätzlich gelten:
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\begin{align}
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\nicefrac{1}{5} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^4 + b_3 c_3^4
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\end{align}
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TODO
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