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find . -type f -name '*.md' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
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find . -type f -name '*.tex' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
were used to do so.
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2.3 KiB
TeX
87 lines
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TeX
\section*{Aufgabe 1}
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\subsection*{Teilaufgabe a)}
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\paragraph{Gegeben:}
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\[A := \begin{pmatrix}
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4 & 2 & 8\\
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2 & 5 & 8\\
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8 & 8 & 29
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\end{pmatrix}\]
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\paragraph{Aufgabe:} Cholesky-Zerlegung $A = \overline{L} \cdot \overline{L}^T$ berechnen
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\paragraph{Rechenweg:}
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Entweder mit dem Algorithmus:
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\begin{algorithm}[H]
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\begin{algorithmic}
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\Function{Cholesky}{$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$}
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\State $L = \Set{0} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ \Comment{Initialisiere $L$}
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\For{($k=1$; $\;k \leq n$; $\;k$++)}
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\State $L_{k,k} = \sqrt{A_{k,k} - \sum_{i=1}^{k-1} L_{k,i}^2}$
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\For{($i=k+1$; $\;i \leq n$; $\;i$++)}
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\State $L_{i,k} = \frac{A_{i,k} - \sum_{j=1}^{k-1} L_{i,j} \cdot L_{k,j}}{L_{k,k}}$
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\EndFor
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\EndFor
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\State \Return $L$
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\EndFunction
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\end{algorithmic}
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\caption{Cholesky-Zerlegung}
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\label{alg:seq1}
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\end{algorithm}
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oder über die LR-Zerlegung:
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\begin{align}
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A &= L\cdot R\\
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&= L\cdot(D\cdot L^T)\\
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&= L\cdot(D^\frac{1}{2} \cdot D^\frac{1}{2})\cdot L^T\\
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&= \underbrace{(L\cdot D^\frac{1}{2})}_{=: \overline{L}} \cdot (D^\frac{1}{2} \cdot L^T)
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\end{align}
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\paragraph{Lösung:}
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$
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\overline{L} =
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\begin{pmatrix}
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2 & 0 & 0 \\
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1 & 2 & 0 \\
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4 & 2 & 3 \\
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\end{pmatrix}
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$
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\subsection*{Teilaufgabe b)}
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\textbf{Gesucht}: $\det(A)$
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Sei $P \cdot A = L \cdot R$, die gewohnte LR-Zerlegung.
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Dann gilt:
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\[\det(A) = \frac{\det(L) \cdot \det(R)}{\det(P)}\]
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$\det(L) = 1$, da alle Diagonalelemente 1 sind und es sich um eine strikte untere Dreiecksmatrix handelt.
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$\det(R) = r_{11} \cdot \ldots \cdot r_{nn}$, da es sich um eine obere Dreiecksmatrix handelt.
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$\det(P) \in \Set{1, -1}$
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Das Verfahren ist also:
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\begin{algorithm}[H]
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\begin{algorithmic}
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\Require $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$
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\State $P, L, R \gets \Call{LRZerl}{A}$
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\State $x \gets 1$
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\For{$i$ in $1..n$}
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\State $x \gets x \cdot r_{ii}$
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\State $x \gets x \cdot p_{ii}$
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\EndFor
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\end{algorithmic}
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\caption{Determinante berechnen}
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\label{alg:seq1}
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\end{algorithm}
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Alternativ kann man auch in einer angepassten LR-Zerlegung direkt die
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Anzahl an Zeilenvertauschungen zählen. Dann benötigt man $P$ nicht mehr.
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Ist die Anzahl der Zeilenvertauschungen ungerade, muss das Produkt
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der $r_ii$ negiert werden.
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