LaTeX-examples/documents/GeoTopo/Vorwort.tex

%!TEX root = GeoTopo.tex
\chapter*{Vorwort}
Dieses Skript wurde im Wintersemester 2013/2014
von Martin Thoma geschrieben. Es beinhaltet die Mitschriften aus
der Vorlesung von Prof.~Dr.~Herrlich sowie die Mitschriften einiger
Übungen und Tutorien.

Das Skript ist kostenlos über \href{http://martin-thoma.com/geotopo/}{martin-thoma.com/geotopo}
verfügbar. Wer es gerne in A5 (Schwarz-Weiß, Ringbindung) für 10 Euro hätte,
kann mir eine E-Mail schicken (info@martin-thoma.de).

\section*{Danksagungen}
An dieser Stelle möchte ich Herrn~Prof.~Dr.~Herrlich für einige
Korrekturvorschläge und einen gut strukturierten Tafelanschrieb
danken, der als Vorlage für dieses Skript diente. Tatsächlich basiert
die Struktur dieses Skripts auf der Vorlesung von Herrn~Prof.~Dr.~Herrlich
und ganze Abschnitte konnten direkt mit \LaTeX{} umgesetzt werden.
Vielen Dank für die Erlaubnis, Ihre Inhalte in diesem Skript einbauen
zu dürfen!

Vielen Dank auch an Frau Lenz und Frau Randecker, die es mir erlaubt
haben, ihre Übungsaufgaben und Lösungen zu benutzen.

Jérôme Urhausen hat durch viele Verbesserungsvorschläge und Beweise zu einer erheblichen
Qualitätssteigerung am Skript beigetragen und meine Tutorin Sarah hat mir
viele Fragen per E-Mail und nach dem Tutorium beantwortet. Danke!


\section*{Was ist Topologie?}

Die Kugeloberfläche $S^2$ lässt sich durch strecken, stauchen
und umformen zur Würfeloberfläche oder
der Oberfläche einer Pyramide verformen, aber nicht zum $\mdr^2$
oder zu einem Torus $T^2$. Für den $\mdr^2$ müsste man die Oberfläche
unendlich ausdehnen und für einen Torus müsste man ein Loch machen.

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \subfloat[$S^2$]{
        \input{figures/s2.tex}
        \label{fig:s2}
    }%
    \subfloat[Würfel]{
        \input{figures/cube.tex}
        \label{fig:cube}
    }%
    \subfloat[Pyramide]{
        \input{figures/pyramid.tex}
        \label{fig:pyramide}
    }

    \subfloat[$\mdr^2$]{
        \input{figures/plane-r2.tex}
        \label{fig:plane-r2}
    }%
    \subfloat[$T^2$]{
        \input{figures/torus.tex} \xindex{Torus}
        \label{fig:torus}
    }
    \label{fig:formen}
    \caption{Beispiele für verschiedene Formen}
\end{figure}

\section*{Erforderliche Vorkenntnisse}
Es wird ein sicherer Umgang mit den Quantoren ($\forall, \exists$),
Mengenschreibweisen ($\cup, \cap, \setminus, \emptyset, \mdr, \powerset{M}$)
und ganz allgemein formaler Schreibweise vorausgesetzt. Auch die
Beweisführung mittels Widerspruchsbeweisen sollte bekannt sein und
der Umgang mit komplexen Zahlen $\mdc$, deren Betrag, Folgen und
Häufungspunkten nicht weiter schwer fallen.
Diese Vorkenntnisse werden vor allem in \enquote{Analysis I} vermittelt.

Außerdem wird vorausgesetzt, dass (affine) Vektorräume, Faktorräume,
lineare Unabhängigkeit, der Spektralsatz und der projektive Raum $\praum(\mdr)$ aus
\enquote{Lineare Algebra I} bekannt sind. In \enquote{Lineare Algebra II}
wird der Begriff der Orthonormalbasis eingeführt.

Obwohl es nicht vorausgesetzt wird, könnte es von Vorteil sein
\enquote{Einführung in die Algebra und Zahlentheorie} gehört zu
haben.