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\documentclass[a4paper,oneside,DIV15,BCOR12mm]{scrbook}
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\usepackage{etoolbox}
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\usepackage{amsmath,amssymb}% math symbols / fonts
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\usepackage{nicefrac} % \nicefrac
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\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
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\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
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\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf
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@ -8,6 +9,7 @@
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\usepackage{framed}
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\usepackage{marvosym}
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\usepackage{makeidx} % for automatically generation of an index
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\usepackage{xcolor}
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\usepackage[bookmarks,bookmarksnumbered,hypertexnames=false,pdfpagelayout=OneColumn,colorlinks,hyperindex=false]{hyperref} % has to be after makeidx
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\usepackage[xindy,toc,nonumberlist]{glossaries} % for symbol table, has to be after hyperref
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\usepackage{glossary-mcols}
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@ -1,38 +1,4 @@
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\chapter{Topologische Grundbegriffe}
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\section{Vorgeplänkel}
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Die Kugeloberfläche $S^2$ lässt sich durch strecken, stauchen
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und umformen zur Würfeloberfläche oder
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der Oberfläche einer Pyramide verformen, aber nicht zum $\mdr^2$
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oder zu einem Torus. Für den $\mdr^2$ müsste man die Oberfläche
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unendlich ausdehnen und für einen Torus müsste man ein Loch machen.
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\subfigure[$S^2$]{
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\input{figures/s2.tex}
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\label{fig:s2}
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}%
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\subfigure[Würfel]{
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\input{figures/cube.tex}
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||||
\label{fig:cube}
|
||||
}%
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||||
\subfigure[Pyramide]{
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||||
\input{figures/pyramid.tex}
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||||
\label{fig:pyramide}
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||||
}
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||||
\subfigure[$\mdr^2$]{
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||||
\input{figures/plane-r2.tex}
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\label{fig:plane-r2}
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||||
}%
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||||
\subfigure[Torus]{
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\input{figures/torus.tex} \xindex{Torus}
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||||
\label{fig:torus}
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}
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||||
\label{Formen}
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||||
\caption{Beispiele für verschiedene Formen}
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\end{figure}
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\section{Topologische Räume}
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||||
\begin{definition} \xindex{Raum!topologischer} \xindex{offen} \xindex{abgeschlossen}
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||||
Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
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|
@ -658,16 +624,173 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
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\[\forall x \in X: \exists M \in T: x \in M\]
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||||
\end{definition}
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||||
\begin{korollar}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% Mitschrieb vom 05.11.2013 %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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||||
\begin{korollar}\label{abgeschlossen01IstKompakt}
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||||
$I = [0, 1]$ ist kompakt bezüglich der euklidischen Topologie.
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||||
\end{korollar}
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||||
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||||
\begin{beweis}
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||||
\todo{Der Beweis ist komisch. Das würde ich gerne mit jemanden durchsprechen.}
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||||
Sei $(U_i)_{i \in J}$ eine offene Überdeckung von $I$.
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||||
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||||
Es gibt ein $\delta > 0$, sodass jedes Teilintervall von $I$
|
||||
in einem der $U_i$ enthalten ist. Dann überdecken endlich viele
|
||||
... \todo{das haben wir nicht mehr geschafft}
|
||||
\underline{z.~Z.}: Es gibt ein $\delta > 0$, sodass jedes Teilintervall
|
||||
der Länge $\delta$ von $I$ in einem der $U_i$ enthalten ist.
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||||
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||||
Angenommen, es gibt kein solches $\delta$. Dann gibt es für jedes
|
||||
$n \in \mdn$ ein Intervall $I_n \subseteq [0,1]$ der Länge $\nicefrac{1}{n}$
|
||||
sodass $I_n \not\subseteq U_i$ für alle $i \in I$.
|
||||
|
||||
Sei $x_n$ der Mittelpunkt von $I_n$. Die Folge $(x_n)$ hat einen
|
||||
Häufungspunkt $x \in [0,1]$. Dann gibt es $i \in I$ mit $x \in U_i$.
|
||||
Da $U_i$ offen ist, gibt es ein $\varepsilon > 0$, sodass $(x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U_i$.
|
||||
Dann gibt es $n$ mit $\nicefrac{1}{n} < \nicefrac{\varepsilon}{2}$ und
|
||||
$|x - x_n| < \nicefrac{\varepsilon}{2}$, also $I_n \subseteq (x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U_i$
|
||||
|
||||
$\Rightarrow$ Widerspruch
|
||||
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||||
Dann überdecke $[0,1]$ mit endlich vielen Intervallen $I_1, \dots, I_d$
|
||||
der Länge $\delta$. Jedes $I_j$ ist in $U_{ij}$ enthalten.
|
||||
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||||
$\Rightarrow U_{j_1}, \dots, U_{j_d}$ ist endliche Teilüberdeckung von $U$
|
||||
$\qed$
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||||
\end{beweis}
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||||
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||||
\begin{beispiel}
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\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
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||||
\item $\mdr$ ist nicht kompakt
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||||
\item $(0,1)$ ist nicht kompakt\\
|
||||
$U_n = (\nicefrac{1}{n}, 1-\nicefrac{1}{n}) \Rightarrow \bigcup_{n \in \mdn} U_n = (0,1)$
|
||||
\item $\mdr$ mit der Zariski-Topologie ist kompakt und jede
|
||||
Teilmenge von $\mdr$ ist es auch.\xindex{Topologie!Zariski}
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{beispiel}
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||||
\begin{korollar}\label{abgeschlossenInKomaktIstKompakt}
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||||
Sei $X$ kompakter Raum, $A \subseteq X$ abgeschlossen. Dann ist
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||||
$A$ kompakt.
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||||
\end{korollar}
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||||
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||||
\begin{beweis}
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||||
Sei $(V_i)_{i \in I}$ offene Teilmenge $U_i \subseteq X$ mit
|
||||
$V_i = U_i \cap A$\\
|
||||
\begin{align*}
|
||||
&\Rightarrow A \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i\\
|
||||
&\Rightarrow \mathfrak{U} = \Set{U_i | i \in I} \cup \Set{X \setminus A} \text{ ist offene Überdeckung von } X\\
|
||||
&\stackrel{X \text{ kompakt}}{\Rightarrow} \text{ es gibt } i_1, \dots, i_n \in I\text{, sodass }\bigcup_{j=1}^n U_{i_j} \cup (X \setminus A) = X\\
|
||||
&\Rightarrow \left (\bigcup_{j=1}^n U_{i_j} \cup (X \setminus A)\right ) \cap A = A\\
|
||||
&\Rightarrow \bigcup_{j=1}^n \underbrace{(U_{i_j} \cap A)}_{= V_{i_j}} \cup \underbrace{((X \setminus A) \cap A)}_{= \emptyset}\\
|
||||
&\Rightarrow V_{i_1}, \dots, V_{i_n} \text{ Überdecken } A
|
||||
\end{align*}
|
||||
$\qed$
|
||||
\end{beweis}
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||||
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||||
\begin{korollar}\label{kompaktTimesKompaktIstKompakt}
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||||
Seien $X, Y$ kompakte topologische Räume. Dann ist $X \times Y$
|
||||
mit der Produkttopologie kompakt.
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||||
\end{korollar}
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||||
\begin{beweis}
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||||
Sei $(W_i)_{i \in I}$ eine offene Überdeckung von $X \times Y$.
|
||||
Für jedes $(x,y) \in X \times Y$ gibt es offene Teilmengen
|
||||
$U_{x,y}$ von $X$ und $V_{x,y}$ von $Y$ sowie ein $i \in I$, sodass
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||||
$U_{x,y} \times V_{x,y} \subseteq W_i$.
|
||||
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||||
\begin{figure}[htp]
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||||
\centering
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||||
\input{figures/neighbourhood-topology-open}
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||||
\caption{\todo[inline]{Beschreibung}}
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\end{figure}
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||||
Die offenen Mengen $U_{x_0, y} \times V_{x_0, y}$ für festes $x_0$
|
||||
und alle $y \in Y$ überdecken $\Set{x_0} \times y$. Da $Y$ kompakt
|
||||
ist, ist auch $\Set{x_0} \times Y$ kompakt. Also gibt es
|
||||
$y_1, \dots, y_{m(x_0)}$ mit
|
||||
$\bigcup_{i=1}^{m(x_0)} U_{x_0, y_i} \times V_{x_0, y_i} \supseteq \Set{x_0} \times Y$
|
||||
Sei ${\color{blue} U_{x_0}} := \bigcap_{i=1}^{m(x)} U_{x_0, y_i}$.
|
||||
Da $X$ kompakt ist, gibt es $x_1, \dots, x_n \in X$ mit
|
||||
$\bigcup_{j=1}^n U_{x_j} = X \Rightarrow \bigcup_{j=1}^k \bigcup_{i=1}^{m(x_j)} \underbrace{\left ( U_{x_j, y_i} \times V_{x_j, y_i} \right)}_{\text{Ein grün-oranges Kästchen}} \supseteq X \times Y$\\
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||||
$\Rightarrow U_j U_i W_i (x_j, y_i) = X \times Y \qed$
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||||
\end{beweis}
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\begin{korollar}\label{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen}
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Sei $X$ ein Hausdorffraum und $K \subseteq X$ kompakt.
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Dann ist $K$ abgeschlossen.
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\end{korollar}
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\begin{beweis}
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\underline{z.~Z.: Komplement ist offen}
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Ist $X = K$, so ist $K$ abgeschlossen in $X$. Andernfalls sei
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$y \in X \setminus K$. Für jedes $x \in K$ seien $U_x$ bzw. $V_y$
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||||
Umgebungen von $x$ bzw. von $y$, sodass $U_x \cap V_x = \emptyset$.
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\begin{figure}[htp]
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\centering
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\input{figures/topology-1}
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\end{figure}
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||||
Da $K$ kompakt ist, gibt es endlich viele $x_1, \dots, x_n \in K$,
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sodass $\bigcup_{i=1}^m U_{x_i} \supseteq K$.
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\begin{align*}
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&\text{Sei } V := \bigcap_{i=1}^n V_{x_i}
|
||||
&\Rightarrow V \cap (\bigcup_{i=1}^n U_{x_i} = \emptyset)\\
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||||
&\Rightarrow V \cap K = \emptyset\\
|
||||
&\Rightarrow V \text{ ist Überdeckung von } y\text{, die ganz in } X \setminus K \text{ enthalten ist}.\\
|
||||
&\Rightarrow X \setminus K \text{ ist offen}\\
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||||
&\Rightarrow K \text{ ist abgeschlossen} \qed
|
||||
\end{align*}
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\end{beweis}
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\begin{korollar}
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Seien $X, Y$ topologische Räume, $f: X \rightarrow Y$ stetig.
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||||
Ist $K \subseteq X$ kompakt, so ist $f(K) \subseteq Y$ kompakt.
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\end{korollar}
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\begin{beweis}
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Sei $(V_i)_{i \in I}$ offene Überdeckung von $f(K)$
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$\Rightarrow (f^{-1}(V_i))_{i \in I}$ ist offene Überdeckung von $K$\\
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||||
$\stackrel{\text{Kompakt}}{\Rightarrow}$ es gibt $i_1, \dots, i_n$,
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||||
sodass $f^{-1}(V_{i_1}), \dots, f^{-1}(V_{i_n})$ Überdeckung von
|
||||
$K$ ist.\\
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||||
$\Rightarrow f(f^{-1}( V_{i_1})), \dots, f(f^{-1}(V_{i_n}))$
|
||||
überdecken $f(K)$.
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Es gilt: $f(f^{-1}(V)) = V \cap f(X) \qed$
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\end{beweis}
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\begin{korollar}[Heine-Borel]
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||||
Eine Teilmenge von $\mdr^n$ oder $\mdc^n$ ist genau dann kompakt,
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||||
wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.
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\end{korollar}
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||||
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||||
\begin{beweis}
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||||
\enquote{$\Rightarrow$}: Sei $K \subseteq \mdr^n$ (oder $\mdc^n$)
|
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kompakt.
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||||
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||||
Da $\mdr^n$ und $\mdc^n$ hausdorffsch sind, ist $K$ nach Korollar
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||||
\ref{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen} abgeschlossen.
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||||
Nach Voraussetzung kann $K$ mit endlich vielen offenen Kugeln von
|
||||
Radien 1 überdeckt werden $\Rightarrow K$ ist beschränkt.
|
||||
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||||
\enquote{$\Leftarrow$} Sei $A \subseteq \mdr^n$ (oder $\mdc^n$)
|
||||
beschränkt und abgeschlossen.
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|
||||
Dann gibt es einen Würfel $W = \underbrace{[-N, N] \times \dots \times [-N, N]}_{n \text{ mal}}$
|
||||
mit $A \subseteq W$ bzw. \enquote{Polyzylinder}\xindex{Polyzylinder}
|
||||
$Z = \Set{(z_1, \dots, z_n) \in \mdc^n | z_i \leq N \text{ für } i= 1, \dots, n}$
|
||||
|
||||
Nach Korollar \ref{kompaktTimesKompaktIstKompakt} und Korollar
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||||
\ref{abgeschlossen01IstKompakt} ist $W$ kompakt, also ist $A$
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nach Korollar \ref{abgeschlossenInKomaktIstKompakt} auch kompakt.
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Genauso ist $Z$ kompakt, weil
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\[\Set{z \in \mdc | |z| \leq 1}\]
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||||
homöomorph zu
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\[\Set{(x,y) \in \mdr^2 | \|(x,y)\| \leq 1}\]
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ist. $\qed$
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\end{beweis}
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% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
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@ -12,3 +12,39 @@ für einige Korrekturvorschläge und einen gut strukturierten
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|||
Tafelanschrieb danken, der als Vorlage für dieses Skript diente.
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Vielen Dank auch an Frau Lenz, die es mir erlaubt hat, ihre
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Übungsaufgaben und meine Lösungen zu benutzen.
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\textbf{Was ist Topologie?}
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Die Kugeloberfläche $S^2$ lässt sich durch strecken, stauchen
|
||||
und umformen zur Würfeloberfläche oder
|
||||
der Oberfläche einer Pyramide verformen, aber nicht zum $\mdr^2$
|
||||
oder zu einem Torus. Für den $\mdr^2$ müsste man die Oberfläche
|
||||
unendlich ausdehnen und für einen Torus müsste man ein Loch machen.
|
||||
|
||||
\begin{figure}[ht]
|
||||
\centering
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||||
\subfigure[$S^2$]{
|
||||
\input{figures/s2.tex}
|
||||
\label{fig:s2}
|
||||
}%
|
||||
\subfigure[Würfel]{
|
||||
\input{figures/cube.tex}
|
||||
\label{fig:cube}
|
||||
}%
|
||||
\subfigure[Pyramide]{
|
||||
\input{figures/pyramid.tex}
|
||||
\label{fig:pyramide}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\subfigure[$\mdr^2$]{
|
||||
\input{figures/plane-r2.tex}
|
||||
\label{fig:plane-r2}
|
||||
}%
|
||||
\subfigure[Torus]{
|
||||
\input{figures/torus.tex} \xindex{Torus}
|
||||
\label{fig:torus}
|
||||
}
|
||||
\label{Formen}
|
||||
\caption{Beispiele für verschiedene Formen}
|
||||
\end{figure}
|
||||
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|
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67
documents/GeoTopo/figures/neighbourhood-topology-open.tex
Normal file
67
documents/GeoTopo/figures/neighbourhood-topology-open.tex
Normal file
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@ -0,0 +1,67 @@
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|||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
axis x line=middle,
|
||||
axis y line=middle,
|
||||
%width=9cm,
|
||||
%height=4.5cm,
|
||||
xmin=-1, % start the diagram at this x-coordinate
|
||||
xmax= 5, % end the diagram at this x-coordinate
|
||||
ymin=-1, % start the diagram at this y-coordinate
|
||||
ymax= 5, % end the diagram at this y-coordinate
|
||||
xlabel=$Y$,
|
||||
ylabel=$X$,
|
||||
ticks=none,
|
||||
enlargelimits=true,
|
||||
after end axis/.code={
|
||||
\draw [decorate,decoration={brace,mirror,raise=15pt}, orange] (axis cs:0,3.6) -- (axis cs:0,2.5) node [midway,left=20pt,orange] {$V_{x,y}$};
|
||||
\draw [decorate,decoration={brace,mirror,raise=12pt}, green] (axis cs:1.5,0) -- (axis cs:2.5,0) node [midway,below=16pt,green] {$U_{x,y}$};
|
||||
}]
|
||||
|
||||
\addplot[mark=none, red, smooth cycle, thick, fill=red!30] coordinates {(1,1) (2,0.5) (3,1.5) (3,2) (3.5,3) (3.2, 5) (2.2, 4.7) (1.5, 4.2) (1.1, 3.9) (0.9, 2.5)};
|
||||
\node[red] at (axis cs:4,4) [anchor=south] {$W_i$};
|
||||
|
||||
% Draw help lines
|
||||
%\addplot[dashed] coordinates {(1.5,0) (1.5,3.6)};
|
||||
%\addplot[dashed] coordinates {(2.5,0) (2.5,3.6)};
|
||||
%\addplot[dashed] coordinates {(0,2.5) (2.5,2.5)};
|
||||
%\addplot[dashed] coordinates {(0,3.6) (2.5,3.6)};
|
||||
|
||||
% Draw solid square
|
||||
\addplot[mark=none, orange, thick] coordinates {(2.5,2.5) (2.5,3.6)};
|
||||
\addplot[mark=none, green, thick] coordinates {(2.5,3.6) (1.5,3.6)};
|
||||
\addplot[mark=none, orange, thick] coordinates {(1.5,3.6) (1.5,2.5)};
|
||||
\addplot[mark=none, green, thick] coordinates {(1.5,2.5) (2.5,2.5)};
|
||||
|
||||
\addplot[mark=none, orange, thick] coordinates {(3.0,1.5) (3.0,2.6)};
|
||||
\addplot[mark=none, green, thick] coordinates {(3.0,2.6) (1.1,2.6)};
|
||||
\addplot[mark=none, orange, thick] coordinates {(1.1,1.5) (1.1,2.6)};
|
||||
\addplot[mark=none, green, thick] coordinates {(1.1,1.5) (3.0,1.5)};
|
||||
|
||||
|
||||
\addplot[mark=none, orange, thick] coordinates {(3.0,1.5) (3.0,2.6)};
|
||||
\addplot[mark=none, green, thick] coordinates {(3.0,2.6) (1.1,2.6)};
|
||||
\addplot[mark=none, orange, thick] coordinates {(1.1,1.5) (1.1,2.6)};
|
||||
\addplot[mark=none, green, thick] coordinates {(1.1,1.5) (3.0,1.5)};
|
||||
|
||||
\addplot[mark=none, blue, thick, dashed] coordinates {((1.8,0) (1.8,5)};
|
||||
\addplot[mark=none, blue, thick, dashed] coordinates {((2.2,0) (2.2,5)};
|
||||
|
||||
% Draw x and annotation
|
||||
\node at (axis cs:2,3) [anchor=-90] {$x$};
|
||||
\addplot[mark=*] coordinates {(2,3)};
|
||||
|
||||
% Draw ticks of help lines
|
||||
\addplot[mark=none, green, thick] coordinates {(1.5, -0.1) (1.5,0.1)};
|
||||
\addplot[mark=none, green, thick] coordinates {(2.5, -0.1) (2.5,0.1)};
|
||||
\addplot[mark=none, green, thick] coordinates {(1.5, 0) (2.5,0)};
|
||||
|
||||
\addplot[mark=none, orange, thick] coordinates {(-0.1, 2.5) (0.1,2.5)};
|
||||
\addplot[mark=none, orange, thick] coordinates {(-0.1, 3.6) (0.1,3.6)};
|
||||
\addplot[mark=none, orange, thick] coordinates {(0, 2.5) (0,3.6)};
|
||||
|
||||
% Draw axis text
|
||||
\node at (axis cs:0,3) [anchor=east] {$y$};
|
||||
\node at (axis cs:2,0) [anchor=north] {$x$};
|
||||
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
33
documents/GeoTopo/figures/topology-1.tex
Normal file
33
documents/GeoTopo/figures/topology-1.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,33 @@
|
|||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
axis x line=none,
|
||||
axis y line=none,
|
||||
%width=9cm,
|
||||
%height=4.5cm,
|
||||
xmin= 0, % start the diagram at this x-coordinate
|
||||
xmax= 5, % end the diagram at this x-coordinate
|
||||
ymin= 0, % start the diagram at this y-coordinate
|
||||
ymax= 5, % end the diagram at this y-coordinate
|
||||
xlabel=$Y$,
|
||||
ylabel=$X$,
|
||||
ticks=none,
|
||||
enlargelimits=true]
|
||||
|
||||
\addplot[mark=none, red, smooth cycle, thick, fill=red!30] coordinates {(0,0) (2,0.2) (3,1.5) (3,2) (3.5,3) (3.2, 5) (2.2, 4.7) (1.5, 4.2) (1.1, 3.9) (0.2, 2.5)};
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\node[red] at (axis cs:4,4) [anchor=south] {$X_i$};
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% Draw solid square
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\addplot[mark=none, thick] coordinates {(1.5,2.0) (2.5,2.0) (2.5,3.6) (1.5,3.6) (1.5,2.0)};
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\node at (axis cs:2.7,3.2) [anchor=90] {$K$};
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% Draw x and annotation
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\node at (axis cs:1.8,3.2) [anchor=-90] {$x$};
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\draw (axis cs:1.8,3.2) circle[radius=0.6];
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\addplot[mark=*] coordinates {(1.8,3.2)};
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\node at (axis cs:0.8,1.2) [anchor=-90] {$y$};
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\draw (axis cs:0.8,1.2) circle[radius=0.6];
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\addplot[mark=*] coordinates {(0.8,1.2)};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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