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@ -1,130 +0,0 @@
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\section*{Aufgabe 1}
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\subsection*{Teilaufgabe a}
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\textbf{Gegeben:}
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\[A =
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\begin{pmatrix}
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3 & 15 & 13 \\
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6 & 6 & 6 \\
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2 & 8 & 19
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\end{pmatrix}\]
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\textbf{Aufgabe:} LR-Zerlegung von $A$ mit Spaltenpivotwahl
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\textbf{Lösung:}
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\begin{align*}
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&
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&
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A^{(0)} &= \begin{gmatrix}[p]
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3 & 15 & 13 \\
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6 & 6 & 6 \\
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2 & 8 & 19
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\rowops
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\swap{0}{1}
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\end{gmatrix}
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&\\
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P^{(1)} &= \begin{pmatrix}
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0 & 1 & 0\\
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1 & 0 & 0\\
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0 & 0 & 1
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\end{pmatrix},
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&
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A^{(1)} &= \begin{gmatrix}[p]
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6 & 6 & 6 \\
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3 & 15 & 13 \\
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2 & 8 & 19
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\rowops
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\add[\cdot (-\frac{1}{2})]{0}{1}
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\add[\cdot (-\frac{1}{3})]{0}{2}
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\end{gmatrix}
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&\\
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L^{(1)} &= \begin{pmatrix}
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1 & 0 & 0\\
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-\frac{1}{2} & 1 & 0\\
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-\frac{1}{3} & 0 & 1
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\end{pmatrix},
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&
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A^{(2)} &= \begin{gmatrix}[p]
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6 & 6 & 6 \\
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0 & 12 & 10 \\
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0 & 6 & 17
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\rowops
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\add[\cdot (-\frac{1}{2})]{1}{2}
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||||||
\end{gmatrix}
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||||||
&\\
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||||||
L^{(2)} &= \begin{pmatrix}
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1 & 0 & 0\\
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0 & 1 & 0\\
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0 & -\frac{1}{2} & 1
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\end{pmatrix},
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&
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A^{(3)} &= \begin{gmatrix}[p]
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6 & 6 & 6 \\
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0 & 12 & 10 \\
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0 & 0 & 12
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||||||
\end{gmatrix}
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||||||
\end{align*}
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Es gilt:
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\begin{align}
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L^{(2)} \cdot L^{(1)} \cdot \underbrace{P^{(1)}}_{=: P} \cdot A^{0} &= \underbrace{A^{(3)}}_{=: R}\\
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||||||
\Leftrightarrow P A &= (L^{(2)} \cdot L^{(1)})^{-1} \cdot R \\
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||||||
\Rightarrow L &= (L^{(2)} \cdot L^{(1)})^{-1}\\
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||||||
&= \begin{pmatrix}
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||||||
1 & 0 & 0\\
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||||||
\frac{1}{2} & 1 & 0\\
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||||||
\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1
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||||||
\end{pmatrix}
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||||||
\end{align}
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||||||
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||||||
Nun gilt: $P A = L R = A^{(1)}$ (Kontrolle mit \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C0%2C0%7D%2C%7B0.5%2C1%2C0%7D%2C%7B1%2F3%2C0.5%2C1%7D%7D*%7B%7B6%2C6%2C6%7D%2C%7B0%2C12%2C10%7D%2C%7B0%2C0%2C12%7D%7D}{Wolfram|Alpha})
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\subsection*{Teilaufgabe b}
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\textbf{Gegeben:}
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\[A =
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\begin{pmatrix}
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9 & 4 & 12 \\
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4 & 1 & 4 \\
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||||||
12 & 4 & 17
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||||||
\end{pmatrix}\]
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\textbf{Aufgabe:} $A$ auf positive Definitheit untersuchen, ohne Eigenwerte zu berechnen.
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\textbf{Vorüberlegung:}
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Eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißt positiv definit $\dots$
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\begin{align*}
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||||||
\dots & \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}^n \setminus \Set{0}: x^T A x > 0\\
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||||||
& \Leftrightarrow \text{Alle Eigenwerte sind größer als 0}
|
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||||||
\end{align*}
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||||||
Falls $A$ symmetrisch ist, gilt:
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\begin{align*}
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||||||
\text{$A$ ist positiv definit} & \Leftrightarrow \text{alle führenden Hauptminore von $A$ sind positiv}\\
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||||||
& \Leftrightarrow \text{es gibt eine Cholesky-Zerlegung $A=GG^T$}\\
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||||||
\end{align*}
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\subsubsection*{Lösung 1: Hauptminor-Kriterium}
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\begin{align}
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||||||
\det(A_1) &= 9 > 0\\
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||||||
\det(A_2) &=
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||||||
\begin{vmatrix}
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||||||
9 & 4 \\
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4 & 1 \\
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||||||
\end{vmatrix} = 9 - 16 < 0\\
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||||||
&\Rightarrow \text{$A$ ist nicht positiv definit}
|
|
||||||
\end{align}
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||||||
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\subsubsection*{Lösung 2: Cholesky-Zerlegung}
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\begin{align}
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||||||
l_{11} &= \sqrt{a_{11}} = 3\\
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||||||
l_{21} &= \frac{a_{21}}{l_{11}} = \frac{4}{3}\\
|
|
||||||
l_{31} &= \frac{a_{31}}{l_{11}} = \frac{12}{3} = 4\\
|
|
||||||
l_{22} &= \sqrt{a_{22} - {l_{21}}^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{9}}= \sqrt{-\frac{7}{9}} \notin \mathbb{R}\\
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|
||||||
& \Rightarrow \text{Es ex. keine Cholesky-Zerlegung, aber $A$ ist symmetrisch}\\
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|
||||||
& \Rightarrow \text{$A$ ist nicht positiv definit}
|
|
||||||
\end{align}
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@ -1,53 +0,0 @@
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\section*{Aufgabe 2}
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\subsection*{Teilaufgabe a}
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\textbf{Aufgabe}
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Formulieren Sie einen Algorithmus in Pseudocode zum Lösen des Gleichungssystems
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\[Ly = b,\]
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wobei $L$ eine invertierbare, untere Dreiecksmatrix ist.
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Geben Sie die Formel zur Berechnung von $y_i$ an.
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\textbf{Lösung:}
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\[y_i = \frac{b_i - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik} \cdot y_k}{l_{ii}}\]
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||||||
\begin{algorithm}[H]
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||||||
\begin{algorithmic}
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\Require Lower, invertable, triangular Matrix $L \in \mathbb{R}^{n \times n}$, Vektor $b$
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||||||
\Procedure{solve}{$L$, $b$}
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||||||
\For{$i \in \Set{1, \dots n}$}
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||||||
\State $y_i \gets b_i$
|
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||||||
\For{$k \in \Set{1, \dots, i-1}$}
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||||||
\State $y_i \gets y_i - l_{ik} \cdot y_k$
|
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||||||
\EndFor
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||||||
\State $y_i \gets \frac{y_i}{l_{ii}}$
|
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||||||
\EndFor
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||||||
\EndProcedure
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||||||
\end{algorithmic}
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||||||
\caption{Calculate $y$ in $Ly = b$}
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||||||
\end{algorithm}
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||||||
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\subsection*{Teilaufgabe b}
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\[Ax = b \Leftrightarrow PAx = Pb \Leftrightarrow LRx = Pb \]
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\begin{algorithm}[H]
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||||||
\begin{algorithmic}
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||||||
\Require Matrix $A$, Vektor $b$
|
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||||||
\Procedure{LoeseLGS}{$A$, $b$}
|
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||||||
\State $P, L, R \gets \Call{LRZer}{A}$
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||||||
\State $b^* \gets P \cdot b$
|
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||||||
\State $c \gets \Call{VorSub}{L, b^*}$
|
|
||||||
\State $x \gets \Call{RueckSub}{R, c}$
|
|
||||||
\State \Return $x$
|
|
||||||
\EndProcedure
|
|
||||||
\end{algorithmic}
|
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||||||
\caption{Löse ein LGS $Ax = b$}
|
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||||||
\end{algorithm}
|
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||||||
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\subsection*{Teilaufgabe c}
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||||||
Der Gesamtaufwand ist:
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\begin{itemize}
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\item LR-Zerlegung, $\frac{1}{3}n^3 - \frac{1}{3} n^2$
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||||||
\item Vektormultiplikation, $2n$
|
|
||||||
\item Vorwärtssubstitution, $\frac{1}{2} n^2$
|
|
||||||
\item Rückwärtssubstitution, $\frac{1}{2} n^2$
|
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||||||
\end{itemize}
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||||||
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@ -1,165 +0,0 @@
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||||||
\section*{Aufgabe 3}
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||||||
Die Jacobi-Matrix von $f$ lautet:
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||||||
\[f' (x,y) = \begin{pmatrix}
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||||||
3 & \cos y\\
|
|
||||||
3 x^2 & e^y
|
|
||||||
\end{pmatrix}\]
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||||||
Hierfür wurde in in der ersten Spalte nach $x$ abgeleitet und in der
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zweiten Spalte nach $y$.
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||||||
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||||||
Eine Iteration des Newton-Verfahren ist durch
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\begin{align}
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||||||
x_{k+1}&=x_{k}\underbrace{-f'(x_k)^{-1}\cdot f(x_k)}_{\Delta x}
|
|
||||||
\end{align}
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||||||
gegeben (vgl. Skript, S. 35).
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||||||
Zur praktischen Durchführung lösen wir
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||||||
\begin{align}
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||||||
f'(x_0, y_0)\Delta x &= -f(x_0,y_0)\\
|
|
||||||
L \cdot \underbrace{R \cdot \Delta x}_{=: c} &= -f(x_0, y_0)
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
mit Hilfe der LR Zerlegung nach $\Delta x$ auf.
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||||||
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||||||
\subsection*{Lösungsvorschlag 1 (Numerische Lösung)}
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\begin{align}
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|
||||||
%
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||||||
f'(x_0,y_0) &= L \cdot R \\
|
|
||||||
\Leftrightarrow f'(-\nicefrac{1}{3}, 0) &= L \cdot R \\
|
|
||||||
\Leftrightarrow \begin{pmatrix}
|
|
||||||
3 & 1\\
|
|
||||||
\frac{1}{3} & 1
|
|
||||||
\end{pmatrix}
|
|
||||||
&=
|
|
||||||
\overbrace{\begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 0\\
|
|
||||||
\frac{1}{9} & 1
|
|
||||||
\end{pmatrix}}^{=: L} \cdot
|
|
||||||
\overbrace{\begin{pmatrix}
|
|
||||||
3 & 1\\
|
|
||||||
0 & \frac{8}{9}
|
|
||||||
\end{pmatrix}}^{=: R}\\
|
|
||||||
%
|
|
||||||
L \cdot c &= -f(x_0,y_0) \\
|
|
||||||
\Leftrightarrow
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 0\\
|
|
||||||
\frac{1}{9} & 1
|
|
||||||
\end{pmatrix}
|
|
||||||
\cdot c
|
|
||||||
&= -
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
2\\
|
|
||||||
\frac{26}{27}
|
|
||||||
\end{pmatrix}\\
|
|
||||||
\Rightarrow
|
|
||||||
c &= \begin{pmatrix}
|
|
||||||
-2\\
|
|
||||||
-\frac{20}{27}
|
|
||||||
\end{pmatrix}\footnotemark\\
|
|
||||||
%
|
|
||||||
R\cdot \Delta x &= c\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
3 & 1\\
|
|
||||||
0 & \frac{8}{9}
|
|
||||||
\end{pmatrix}
|
|
||||||
\cdot \Delta x &=
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
-2\\
|
|
||||||
-\frac{20}{27}
|
|
||||||
\end{pmatrix}\\
|
|
||||||
\Rightarrow \Delta x &= \frac{1}{18}
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
-7\\
|
|
||||||
-15
|
|
||||||
\end{pmatrix}
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
\footnotetext{Dieser Schritt wird durch Vorwärtssubsitution berechnet.}
|
|
||||||
|
|
||||||
Anschließend berechnen wir
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||||||
\begin{align}
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
x_1\\
|
|
||||||
y_1
|
|
||||||
\end{pmatrix} &=
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
x_0\\
|
|
||||||
y_0
|
|
||||||
\end{pmatrix}+\Delta x \\
|
|
||||||
\Leftrightarrow\begin{pmatrix}
|
|
||||||
x_1\\
|
|
||||||
y_1
|
|
||||||
\end{pmatrix} &=
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
-\frac{1}{3}\\
|
|
||||||
0
|
|
||||||
\end{pmatrix} +
|
|
||||||
\frac{1}{18}
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
-7\\
|
|
||||||
-15
|
|
||||||
\end{pmatrix} \\
|
|
||||||
\Leftrightarrow\begin{pmatrix}
|
|
||||||
x_1\\
|
|
||||||
y_1
|
|
||||||
\end{pmatrix} &=
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
-\nicefrac{13}{18}\\
|
|
||||||
-\nicefrac{15}{18}
|
|
||||||
\end{pmatrix}
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
\subsection*{Lösungsvorschlag 2 (Analytische Lösung)}
|
|
||||||
LR-Zerlegung für $f'(x, y)$ kann durch scharfes hinsehen durchgeführt
|
|
||||||
werden, da es in $L$ nur eine Unbekannte links unten gibt. Es gilt
|
|
||||||
also ausführlich:
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{align}
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
3 & \cos y\\
|
|
||||||
3 x^2 & e^y
|
|
||||||
\end{pmatrix}
|
|
||||||
&=
|
|
||||||
\overbrace{\begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 0\\
|
|
||||||
l_{12} & 1
|
|
||||||
\end{pmatrix}}^L \cdot
|
|
||||||
\overbrace{\begin{pmatrix}
|
|
||||||
r_{11} & r_{12}\\
|
|
||||||
0 & r_{22}
|
|
||||||
\end{pmatrix}}^R\\
|
|
||||||
\Rightarrow r_{11} &= 3\\
|
|
||||||
\Rightarrow r_{12} &= \cos y\\
|
|
||||||
\Rightarrow \begin{pmatrix}
|
|
||||||
3 & \cos y\\
|
|
||||||
3 x^2 & e^y
|
|
||||||
\end{pmatrix}
|
|
||||||
&=
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 0\\
|
|
||||||
l_{12} & 1
|
|
||||||
\end{pmatrix} \cdot
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
3 & \cos y\\
|
|
||||||
0 & r_{22}
|
|
||||||
\end{pmatrix}\\
|
|
||||||
\Rightarrow 3x^2 &\stackrel{!}{=} l_{12} \cdot 3 + 1 \cdot 0\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow l_{12} &= x^2\\
|
|
||||||
\Rightarrow e^y &\stackrel{!}{=} x^2 \cdot \cos y + 1 \cdot r_{22}\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow r_{22} &= -x^2 \cdot \cos y + e^y\\
|
|
||||||
\Rightarrow \begin{pmatrix}
|
|
||||||
3 & \cos y\\
|
|
||||||
3 x^2 & e^y
|
|
||||||
\end{pmatrix}
|
|
||||||
&=
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 0\\
|
|
||||||
x^2 & 1
|
|
||||||
\end{pmatrix} \cdot
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
3 & \cos y\\
|
|
||||||
0 & -x^2 \cdot \cos y + e^y
|
|
||||||
\end{pmatrix}\\
|
|
||||||
P &= I_2
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
@ -1,73 +0,0 @@
|
||||||
\section*{Aufgabe 4}
|
|
||||||
\textbf{Aufgabe}:
|
|
||||||
|
|
||||||
\[I(f) = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \]
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{enumerate}
|
|
||||||
\item Integrand am linken und am rechten Rand interpolieren
|
|
||||||
\item Interpolationspolynom mit Quadraturformel integrieren
|
|
||||||
\end{enumerate}
|
|
||||||
|
|
||||||
\textbf{Lösung}:
|
|
||||||
|
|
||||||
Nutze Interpolationsformel von Lagrange:
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{align}
|
|
||||||
L_i &= \frac{\prod_{j=1, j \neq i}^n (x-x_j)}{\prod_{j=1, j \neq i}^n (x_i - x_j)}\\
|
|
||||||
p(x) &= \sum_{i=0}^{1} f_i \cdot L_i(x)
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
||||||
Berechne Lagrangepolynome:
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{align}
|
|
||||||
L_0(x) = \frac{x-b}{a-b} \\
|
|
||||||
L_1(x) = \frac{x-a}{b-a}
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
||||||
So erhalten wir:
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{align}
|
|
||||||
p(x) &= f(a) \frac{x-b}{a-b} + f(b) \frac{x-a}{b-a}\\
|
|
||||||
&= \frac{f(a) (b-x) + f(b) (x-a)}{b-a} \\
|
|
||||||
&= \frac{f(a)b- f(a)x + f(b) x- f(b)a}{b-a}\\
|
|
||||||
&=\frac{x \cdot \left (f(b)-f(a) \right ) + f(a)b- f(b)a}{b-a}\\
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||||||
&= x \cdot \underbrace{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}_{=:r} + \underbrace{\frac{f(a)b - f(b)a}{b-a}}_{=: s}
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||||||
\end{align}
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Nun integrieren wir das Interpolationspolynom:
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\begin{align}
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\int_a^b p(x) \mathrm{d} x &= \left [\frac{r}{2} x^2 + sx \right ]_a^b\\
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||||||
&= \left (\frac{a^2 r}{2} + sa \right ) - \left (\frac{b^2 r}{2} + sb \right )\\
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|
||||||
&= a\left (\frac{a r}{2} + s \right ) - b \left (\frac{b r}{2} + s \right )\\
|
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||||||
&= a\left (\frac{a \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{2} + \frac{f(a)b - f(b)a}{b-a} \right ) - b \left (\frac{b \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{2} + \frac{f(a)b - f(b)a}{b-a} \right )\\
|
|
||||||
&= a\left (\frac{-a f(a)+2b f(a)-a f(b)}{2 \cdot(b-a)}\right ) - b \left (\frac{bf(b) + b f(a) - 2 a f(b)}{2 \cdot (b-a)} \right )\\
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|
||||||
& \dots \text{theoretisch sollte das zu } (b-a)(\frac{f(a)}{2} + \frac{f(b)}{2}) \text{ zu vereinfachen sein}
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||||||
\end{align}
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Alternativer Rechenweg
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\[ \int_a^b p(x)dx = \int_a^b f(a) \frac{x-b}{a-b}dx + \int_a^b f(b) \frac{x-a}{b-a}dx \]
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||||||
\[ = \int_a^b \frac{f(a) \cdot x}{a-b}dx - \int_a^b \frac{f(a) \cdot b}{a-b}dx + \int_a^b \frac{f(b) \cdot x}{b-a}dx - \int_a^b \frac{f(b) \cdot a}{b-a}dx \]
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||||||
\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{f(a) \cdot b^2}{a-b} - \frac{1}{2} \cdot \frac{f(a) \cdot a^2}{a-b} - \frac{f(a) \cdot b^2}{a-b} + \frac{f(a) \cdot b \cdot a}{a-b} + \frac{1}{2} \cdot \frac{f(b) \cdot b^2}{b-a} \]
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||||||
\[ - \frac{1}{2} \cdot \frac{f(b) \cdot a^2}{b-a} - \frac{f(b) \cdot a \cdot b}{b-a} + \frac{f(b) \cdot a^2}{b-a}\]
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||||||
\[=(b-a)\cdot(\frac{f(a)}{2} + \frac{f(b)}{2})\]
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Betrachtet man nun die allgemeine Quadraturformel,
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\[
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\int_a^b f(x)dx \approx (b-a) \sum_{i=1}^s b_i f(a+c_i(b-a))
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\]
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so gilt für die hergeleitete Quadraturformel also $s=2$, $c_1=0, c_2=1$ und $b_1 = b_2 = \frac{1}{2}$. Sie entspricht damit der Trapezregel.
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\subsection*{Teilaufgabe b)}
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Sei nun $f(x) = x^2$ und $a = 0$ sowie $b = 4$. Man soll die ermittelte
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Formel zwei mal auf äquidistanten Intervallen anwenden.
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\textbf{Lösung:}
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\begin{align}
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\int_0^4 p(x) \mathrm{d}x &= \int_0^2 p(x)\mathrm{d}x + \int_2^4 p(x)\mathrm{d}x \\
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||||||
&= (2-0)\cdot \left (\frac{0}{2} + \frac{4}{2} \right ) + (4-2) \cdot \left (\frac{4}{2} + \frac{16}{2} \right )\\
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||||||
&= 2 \cdot 2 + 2 \cdot (2+8)\\
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&= 24
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||||||
\end{align}
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@ -1,67 +0,0 @@
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\section*{Aufgabe 5}
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\subsection*{Teilaufgabe a}
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Eine Quadraturformel $(b_i, c_i)_{i=1, \dots, s}$ hat die Ordnung
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$p$, falls sie exakte Lösungen für alle Polynome vom Grad $\leq p -1$
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liefert.
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\subsection*{Teilaufgabe b}
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Die Ordnungsbedingungen, mit denen man zeigen kann, dass eine Quadraturformel
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mindestens Ordnung $p$ hat, lautet:
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\[\forall p \in \Set{1, \dots, p}: \sum_{i=1}^s b_i c_i^{q-1} = \frac{1}{q}\]
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\subsection*{Teilaufgabe c}
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\paragraph{Aufgabe} Bestimmen Sie zu den Knoten $c_1 = 0$ und $c_2 = \frac{2}{3}$ Gewichte, um eine Quadraturformel
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maximaler Ordnung zu erhalten. Wie hoch ist die Ordnung?
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\paragraph{Lösung}
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Nach VL kann bei Vorgabe von $s$ Knoten auch die Ordnung $s$ durch
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geschickte Wahl der Gewichte erreicht werden. Nach Satz 27 ist diese
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Wahl eindeutig.
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Also berechnen wir die Gewichte, um die Ordnung $p=2$ zu sichern.
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Dazu stellen wir zuerst die Lagrange-Polynome auf:
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\begin{align}
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L_1(x) &= \frac{x-x_2}{x_1 - x_2} = \frac{x-c_2}{c_1-c_2} = \frac{x-\nicefrac{2}{3}}{-\nicefrac{2}{3}} = -\frac{3}{2} x + 1\\
|
|
||||||
L_2(x) &= \frac{x-x_1}{x_2 - x_1} = \frac{x-c_1}{c_2-c_1} = \frac{x}{\nicefrac{2}{3}} = \frac{3}{2} x
|
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||||||
\end{align}
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||||||
Nun gilt für die Gewichte:
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\begin{align}
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||||||
b_i &= \int_0^1 L_i(x) \mathrm{d}x\\
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||||||
b_1 &= \int_0^1 -\frac{3}{2} x + 1 \mathrm{d}x = \left [ -\frac{3}{4}x^2 + x \right ]_0^1 = \frac{1}{4}\\
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||||||
b_2 &= \frac{3}{4}
|
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||||||
\end{align}
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||||||
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Nun sind die Ordnungsbedingungen zu überprüfen:
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\begin{align}
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\nicefrac{1}{1} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^0 + b_2 c_2^0 = \nicefrac{1}{4} + \nicefrac{3}{4} \text{\;\;\cmark}\\
|
|
||||||
\nicefrac{1}{2} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^1 + b_2 c_2^1 = \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \text{\;\;\cmark}\\
|
|
||||||
\nicefrac{1}{3} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^2 + b_2 c_2^2 = \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9} \text{\;\;\cmark}\\
|
|
||||||
\nicefrac{1}{4} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^3 + b_2 c_2^3 = \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{27} \text{\;\;\xmark}\\
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
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|
||||||
Die Quadraturformel mit den Knoten $c_1 = 0$, $c_2 = \nicefrac{2}{3}$ sowie
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den Gewichten $b_1 = \nicefrac{1}{4}$, $b_2 = \nicefrac{3}{4}$ erfüllt
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also die 1., 2. und 3. Ordnungsbedingung, nicht jedoch die 4.
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Ordnungsbedingung. Ihre maximale Ordnung ist also $p=3$.
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\textbf{Anmerkungen:} Da $c_1 = 0$ kann es sich nicht um die Gauß-QF handeln.
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Somit können wir nicht Ordnung $p=4$ erreichen.
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Bei der Suche nach den Gewichten hätte man alternativ auch das folgende
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LGS lösen können:
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\begin{align}
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||||||
\begin{pmatrix}
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||||||
c_1^0 & c_2^0\\
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||||||
c_1^1 & c_2^1
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||||||
\end{pmatrix}
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||||||
\cdot x
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||||||
=
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||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
1\\
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||||||
\nicefrac{1}{2}
|
|
||||||
\end{pmatrix}
|
|
||||||
\end{align}
|
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||||||
Binary file not shown.
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@ -1,49 +0,0 @@
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||||||
\documentclass[a4paper]{scrartcl}
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||||||
\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
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||||||
\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
|
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||||||
\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
|
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||||||
\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf
|
|
||||||
\usepackage{pdfpages} % Signatureinbingung und includepdf
|
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||||||
\usepackage{geometry} % [margin=2.5cm]layout
|
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||||||
\usepackage[pdftex]{hyperref} % links im text
|
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||||||
\usepackage{color}
|
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||||||
\usepackage{framed}
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||||||
\usepackage{enumerate} % for advanced numbering of lists
|
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||||||
\usepackage{marvosym} % checkedbox
|
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||||||
\usepackage{wasysym}
|
|
||||||
\usepackage{braket} % for \Set{}
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||||||
\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
|
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||||||
\usepackage{gauss}
|
|
||||||
\usepackage{algorithm,algpseudocode}
|
|
||||||
\usepackage{units}
|
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||||||
\usepackage{parskip}
|
|
||||||
\usepackage{lastpage}
|
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||||||
\allowdisplaybreaks
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||||||
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||||||
\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
|
|
||||||
\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
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||||||
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||||||
\title{Numerik Klausur 1 - Musterlösung}
|
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||||||
\makeatletter
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||||||
\AtBeginDocument{
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||||||
\hypersetup{
|
|
||||||
pdfauthor = {Martin Thoma, Peter, Felix},
|
|
||||||
pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
|
|
||||||
pdftitle = {\@title}
|
|
||||||
}
|
|
||||||
\pagestyle{fancy}
|
|
||||||
\lhead{\@title}
|
|
||||||
\rhead{Seite \thepage{} von \pageref{LastPage}}
|
|
||||||
}
|
|
||||||
\makeatother
|
|
||||||
|
|
||||||
\usepackage{fancyhdr}
|
|
||||||
\fancyfoot[C]{}
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{document}
|
|
||||||
\include{Aufgabe1}
|
|
||||||
\include{Aufgabe2}
|
|
||||||
\include{Aufgabe3}
|
|
||||||
\include{Aufgabe4}
|
|
||||||
\include{Aufgabe5}
|
|
||||||
\end{document}
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||||||
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@ -1,8 +0,0 @@
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||||||
SOURCE = Klausur1
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make:
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pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
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||||||
pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
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make clean
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clean:
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rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg
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@ -1,4 +0,0 @@
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Dies ist eine inoffizielle Lösung für [Klausur1.pdf von Dr. Daniel Weiß](http://www.math.kit.edu/ianm3/lehre/numainfing2013s/seite/uebnuminfing).
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||||||
Verbesserungsvorschläge gerne per [GitHub Pull Request](https://help.github.com/articles/using-pull-requests)
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an mich schicken oder auch einfach per E-Mail an info@martin-thoma.de
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@ -1,87 +0,0 @@
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||||||
\section*{Aufgabe 1}
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||||||
\subsection*{Teilaufgabe a)}
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\paragraph{Gegeben:}
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\[A := \begin{pmatrix}
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4 & 2 & 8\\
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||||||
2 & 5 & 8\\
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||||||
8 & 8 & 29
|
|
||||||
\end{pmatrix}\]
|
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||||||
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||||||
\paragraph{Aufgabe:} Cholesky-Zerlegung $A = \overline{L} \cdot \overline{L}^T$ berechnen
|
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||||||
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\paragraph{Rechenweg:}
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Entweder mit dem Algorithmus:
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\begin{algorithm}[H]
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||||||
\begin{algorithmic}
|
|
||||||
\Function{Cholesky}{$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$}
|
|
||||||
\State $L = \Set{0} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ \Comment{Initialisiere $L$}
|
|
||||||
\For{($k=1$; $\;k \leq n$; $\;k$++)}
|
|
||||||
\State $L_{k,k} = \sqrt{A_{k,k} - \sum_{i=1}^{k-1} L_{k,i}^2}$
|
|
||||||
\For{($i=k+1$; $\;i \leq n$; $\;i$++)}
|
|
||||||
\State $L_{i,k} = \frac{A_{i,k} - \sum_{j=1}^{k-1} L_{i,j} \cdot L_{k,j}}{L_{k,k}}$
|
|
||||||
\EndFor
|
|
||||||
\EndFor
|
|
||||||
\State \Return $L$
|
|
||||||
\EndFunction
|
|
||||||
\end{algorithmic}
|
|
||||||
\caption{Cholesky-Zerlegung}
|
|
||||||
\label{alg:seq1}
|
|
||||||
\end{algorithm}
|
|
||||||
|
|
||||||
oder über die LR-Zerlegung:
|
|
||||||
\begin{align}
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|
||||||
A &= L\cdot R\\
|
|
||||||
&= L\cdot(D\cdot L^T)\\
|
|
||||||
&= L\cdot(D^\frac{1}{2} \cdot D^\frac{1}{2})\cdot L^T\\
|
|
||||||
&= \underbrace{(L\cdot D^\frac{1}{2})}_{=: \overline{L}} \cdot (D^\frac{1}{2} \cdot L^T)
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
||||||
\paragraph{Lösung:}
|
|
||||||
$
|
|
||||||
\overline{L} =
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
2 & 0 & 0 \\
|
|
||||||
1 & 2 & 0 \\
|
|
||||||
4 & 2 & 3 \\
|
|
||||||
\end{pmatrix}
|
|
||||||
$
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
\subsection*{Teilaufgabe b)}
|
|
||||||
\textbf{Gesucht}: $\det(A)$
|
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||||||
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||||||
Sei $P \cdot A = L \cdot R$, die gewohnte LR-Zerlegung.
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||||||
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||||||
Dann gilt:
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\[\det(A) = \frac{\det(L) \cdot \det(R)}{\det(P)}\]
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||||||
|
|
||||||
$\det(L) = 1$, da alle Diagonalelemente 1 sind und es sich um eine strikte untere Dreiecksmatrix handelt.
|
|
||||||
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|
||||||
$\det(R) = r_{11} \cdot \ldots \cdot r_{nn}$, da es sich um eine obere Dreiecksmatrix handelt.
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
$\det(P) \in \Set{1, -1}$
|
|
||||||
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||||||
Das Verfahren ist also:
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||||||
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||||||
\begin{algorithm}[H]
|
|
||||||
\begin{algorithmic}
|
|
||||||
\Require $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$
|
|
||||||
\State $P, L, R \gets \Call{LRZerl}{A}$
|
|
||||||
\State $x \gets 1$
|
|
||||||
\For{$i$ in $1..n$}
|
|
||||||
\State $x \gets x \cdot r_{ii}$
|
|
||||||
\State $x \gets x \cdot p_{ii}$
|
|
||||||
\EndFor
|
|
||||||
\end{algorithmic}
|
|
||||||
\caption{Determinante berechnen}
|
|
||||||
\label{alg:seq1}
|
|
||||||
\end{algorithm}
|
|
||||||
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||||||
Alternativ kann man auch in einer angepassten LR-Zerlegung direkt die
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Anzahl an Zeilenvertauschungen zählen. Dann benötigt man $P$ nicht mehr.
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||||||
Ist die Anzahl der Zeilenvertauschungen ungerade, muss das Produkt
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||||||
der $r_ii$ negiert werden.
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||||||
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|
@ -1,66 +0,0 @@
|
||||||
\section*{Aufgabe 2}
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||||||
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||||||
\paragraph{Voraussetzung:}
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||||||
Gegeben sei eine Funktion $F$:
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\begin{align*}
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||||||
F: \mathbb{R} &\rightarrow [-1, 1]\\
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|
||||||
F(x) &:= \cos(x)
|
|
||||||
\end{align*}
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|
||||||
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|
||||||
sowie eine Folge $(x)_k$ mit $x_{k+1} := F(x_k)$.
|
|
||||||
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|
||||||
\paragraph{Behauptung:} $\displaystyle \exists! x^*: \forall x \in \mathbb{R}: \lim_{k \rightarrow \infty} x_k = x^*$
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|
||||||
|
|
||||||
\paragraph{Beweis:} über den Banachschen Fixpunktsatz.
|
|
||||||
\begin{proof}
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|
||||||
Sei $ x \in \mathbb{R}$, so gilt:\marginpar{Teil 1: Fix\-punkte können nur in $[0,1]$ sein.}
|
|
||||||
\begin{align*}
|
|
||||||
-1 \leq \cos(x) \leq 1
|
|
||||||
\end{align*}
|
|
||||||
Also genügt es $x \in [-1, 1]$ auf der Suche nach Fixpunkten zu betrachten.
|
|
||||||
|
|
||||||
Sei nun $x \in [-1, 0)$. Dann gilt: $\cos(x) > 0$. Da $x <0$ aber $F(x) > 0$,
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|
||||||
kann kein Fixpunkt in $[-1, 0)$ sein. Es genügt also sogar,
|
|
||||||
nur $[0, 1]$ zu betrachten.
|
|
||||||
|
|
||||||
Sei $0 \leq x < y \leq 1$. Dann folgt:\marginnote{Teil 2: $F$ ist auf $[0,1]$ eine Kontraktion}
|
|
||||||
\begin{align}
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|
||||||
\stackrel{\text{Mittelwertsatz}}{\Rightarrow} \exists L \in (x,y): \frac{\cos(y) - \cos(x)}{y-x} &= f'(L)\\
|
|
||||||
\Rightarrow \exists L \in [0,1]: \| \cos y - \cos x \| &= \| - \sin(L) \cdot (y-x)\| \\
|
|
||||||
&= \underbrace{\sin(L)}_{[0,1)} (y-x)\\
|
|
||||||
\Rightarrow F \text{ ist Kontraktion auf [0,1]}
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
||||||
Da $F|_{[0,1]}$ eine Selbstabbildung und eine Kontraktion ist und
|
|
||||||
offensichtlich $[0,1]$ abgeschlossen ist, greift der
|
|
||||||
Banachsche Fixpunktsatz. Es folgt direkt, dass auch für alle $x \in [0,1]$
|
|
||||||
die Folge $(x)_k$ gegen den einzigen Fixpunkt $x^*$ konvergiert.
|
|
||||||
\end{proof}
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|
||||||
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||||||
\subsection*{Anmerkung}
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Um zu zeigen, dass es genau einen Fixpunkt $x^*$ in $(0,1)$ gibt,
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||||||
braucht man den Banachschen Fixpunktsatz nicht. Nur um zu zeigen,
|
|
||||||
dass die Fixpunktiteration auf für jedes $x \in \mathbb{R}$ gegen
|
|
||||||
diesen Fixpunkt $x^*$ konvergiert, braucht man ihn.
|
|
||||||
|
|
||||||
So kann man die existenz eines Fixpunktes zeigen:
|
|
||||||
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|
||||||
Offensichtlich ist $F(0) \neq 0$ und $F(1) \neq 1$, also ist der
|
|
||||||
Fixpunkt - falls vorhanden - in $(0,1)$. $F$ ist in $(0,1)$ stetig
|
|
||||||
und streng monoton fallend. Da auch $-x$ in $(0,1)$ streng monoton
|
|
||||||
fallend ist, folgt, dass $\cos(x) - x$ in $(0,1)$ streng monoton
|
|
||||||
fallend ist.
|
|
||||||
|
|
||||||
$x=0 \Rightarrow \cos(x) - x = \cos(0) - 0 = 1$
|
|
||||||
|
|
||||||
$x=45^\circ = \frac{1}{4} \pi < 1 \Rightarrow \cos(45^\circ) - \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\pi}{4} <0$, da
|
|
||||||
\begin{align}
|
|
||||||
8 &< 9 < \pi^2\\
|
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||||||
\Rightarrow \sqrt{8} &< \pi\\
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\Leftrightarrow 2 \sqrt{2} &< \pi\\
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||||||
\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} &< \frac{\pi}{4}
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\end{align}
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$\stackrel{\text{Zwischenwertsatz}}{\Rightarrow} \exists x^*: \cos(x^*) - x^* = 0 \Leftrightarrow \exists x^*: \cos(x^*) = x^*$.
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Dieses $x^*$ ist eindeutig, da $\cos(x)-x$ \emph{streng} monoton fallend ist.
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@ -1,56 +0,0 @@
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\section*{Aufgabe 3}
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\textbf{Gegeben:}
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\begin{table}[h!]
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\begin{tabular}{l||l|l|l|l}
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$f_i$ & 7 & 1 & -1 & 7 \\\hline
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$x_i$ & -1 & 0 & 1 & 2 \\
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\end{tabular}
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\end{table}
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\subsection*{Teilaufgabe a)}
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Allgemein lauten Lagrange-Polynome:
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\[L_i = \frac{\overbrace{\prod_{j=0, j \neq i}^n (x-x_j)}^\text{Produkt der Nullstellen}}{\underbrace{\prod_{j=0, j \neq i}^n (x_i - x_j)}_\text{Normalisierungsfaktor}}\]
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Im speziellen:
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\begin{align}
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L_0(x) &= \frac{(x-0)(x-1)(x-2)}{(-1-0)(-1-1)(-1-2)} &&=-\frac{1}{6} \cdot (x^3 - 3 x^2 + 2x)\\
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||||||
L_1(x) &= \frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{(0+1)(0-1)(0-2)} &&= \frac{1}{2} \cdot (x^3 - 2x^2 - x + 2)\\
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||||||
L_2(x) &= \frac{(x+1)x(x-2)}{(1+1)(1-0)(1-2)} &&=-\frac{1}{2} \cdot (x^3 - x^2 - 2x)\\
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||||||
L_3(x) &= \frac{(x+1)(x-0)(x-1)}{(2+1)(2-0)(2-1)} &&= \frac{1}{6} \cdot (x^3 - x)
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\end{align}
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Durch die Interpolationsformel von Lagrange
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\[p(x) = \sum_{i=0}^n f_i L_i(x)\]
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ergibt sich
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\begin{align}
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p(x) &= x^3 + 2x^2 - 5x + 1
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\end{align}
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Anmerkung: Es ist nicht notwendig die Monomdarstellung zu berechnen.
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In diesem Fall hat es jedoch das Endergebnis stark vereinfacht.
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\subsection*{Teilaufgabe b)}
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Für die Berechnung der dividierten Differenzen gilt allgemein:
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\begin{align}
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f[x_i, \dots, x_{i+k}] = \frac{f[x_i, \dots x_{(i+k)-1}] - f[x_{i+1}, \dots x_{i+k}]}{x_i - x_{i+k}}
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\end{align}
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In diesem Fall bedeutet das konkret:
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\begin{align}
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f[x_0] &= 7, &f[x_1] &= 1, & f[x_2] &= -1, & f[x_3] = 7\\
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f[x_0, x_1] &= -6, &f[x_1, x_2] &= -2, &f[x_2, x_3] &= 8\\
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f[x_0, x_1, x_2] &= 2, &f[x_1, x_2, x_3] &= 5\\
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||||||
f[x_0, x_1, x_2, x_3] &= 1
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\end{align}
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Insgesamt ergibt sich also
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\begin{align}
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p(x) &= 7 + (x-\underbrace{(-1)}_{x_0}) \cdot (-6) + (x-\underbrace{(-1)}_{x_0}) \cdot (x-\underbrace{(0)}_{x_1}) \cdot 2 + (x+1) \cdot x \cdot (x-1)\\
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&= 7 -6 (x+1) + 2x(x+1) + x(x+1)(x-1)
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\end{align}
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(Siehe erste Spalte mit $x_0$)
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@ -1,47 +0,0 @@
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\section*{Aufgabe 4}
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\subsection*{Teilaufgabe a)}
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\begin{enumerate}
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\item Ordnung 3 kann durch geschickte Gewichtswahl erzwungen werden.
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\item Ordnung 4 ist automatisch gegeben, da die QF symmetrisch sein soll.
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\item Aufgrund der Symmetrie gilt Äquivalenz zwischen Ordnung 5 und 6.
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Denn eine hätte die QF Ordnung 5, so wäre wegen der
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Symmetrie Ordnung 6 direkt gegeben. Ordnung 6 wäre aber
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bei der Quadraturformel mit 3 Knoten das Maximum, was nur
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mit der Gauß-QF erreicht werden kann. Da aber $c_1 = 0$ gilt,
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kann es sich hier nicht um die Gauß-QF handeln. Wegen
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erwähnter Äquivalenz kann die QF auch nicht Ordnung 5 haben.
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\end{enumerate}
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Da $c_1 = 0$ gilt, muss $c_3 = 1$ sein (Symmetrie). Und dann muss $c_2 = \frac{1}{2}$
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sein. Es müssen nun die Gewichte bestimmt werden um Ordnung 3 zu
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garantieren mit:
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\begin{align}
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b_i &= \int_0^1 L_i(x) \mathrm{d}x\\
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b_1 &= \frac{1}{6},\\
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b_2 &= \frac{4}{6},\\
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||||||
b_3 &= \frac{1}{6}
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||||||
\end{align}
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\subsection*{Teilaufgabe b)}
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Als erstes ist festzustellen, dass es sich hier um die Simpsonregel handelt und die QF
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\begin{align}
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\int_a^b f(x) \mathrm{d}x &= (b-a) \cdot \frac{1}{6} \cdot \left ( f(a) + 4 \cdot f(\frac{a+b}{2}) + f(b) \right )
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||||||
\end{align}
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||||||
ist. Wenn diese nun auf $N$ Intervalle aufgepflittet wird gilt folgendes:
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\begin{align}
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h &= \frac{(b-a)}{N} \\
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||||||
\int_a^b f(x) \mathrm{d}x &= h \cdot \frac{1}{6} \cdot \left [ f(a) + f(b) + 2 \cdot \sum_{i=1}^{N-1} f(a + i \cdot h) + 4 \cdot \sum_{l=0}^{N-1} f(a + \frac{1}{2} \cdot h + l \cdot h)\right ]
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||||||
\end{align}
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$\sum_{i=1}^{N-1} f(a + i \cdot h)$ steht für die Grenzknoten
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(deshalb werden sie doppelt gezählt). Von den Grenzknoten gibt es
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insgesamt $N-2$ Stück, da die tatsächlichen Integralgrenzen $a$ und $b$
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nur einmal in die Berechnung mit einfließen.
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$\sum_{l=0}^{N-1} f(a + \frac{1}{2} \cdot h + l \cdot h)$ sind die jeweiligen
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mittleren Knoten der Intervalle. Davon gibt es $N$ Stück.
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\subsection*{Teilaufgabe c)}
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Diese Aufgabe ist nicht relevant, da Matlab nicht Klausurrelevant ist.
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@ -1,99 +0,0 @@
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\section*{Aufgabe 5}
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Zunächst ist nach der Familie von Quadraturformeln gefragt, für die gilt: ($p := $ Ordnung der QF)
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\begin{align}
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s = 3 \\
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0 = c_1 < c_2 < c_3 \\
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p \ge 4
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\end{align}
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Nach Satz 29 sind in der Familie genau die QFs, für die gilt: \\
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Für alle Polynome $g(x)$ mit Grad $\le m-1 = 0$ gilt:
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\begin{align}
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\int_0^1 M(x) \cdot g(x) \mathrm{d}x = 0 \label{a3}
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\end{align}
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Da eine Quadraturformel höchstens Grad $2s=6$ (Satz 30) haben kann und es wegen
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$c_1 = 0$ nicht die Gauss-Quadratur sein kann (Satz 31), kommt nur Ordnung $p=4$
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und $p=5$ in Frage.
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In dieser Aufgabe sind nur die symmetrischen QF, also die von Ordnung
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$p=4$ explizit anzugeben. Für die QF von Ordnung $p=5$ hätte man nur
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die Gewichte in Abhängigkeit der Knoten darstellen müssen und
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eine Bedinung nur an die Knoten herleiten müssen.
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\subsection*{Ordnung 4}
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Es gilt $g(x) = c$ für eine Konstante $c$, da $\text{Grad}(g(x))=0$ ist.
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Also ist \ref{a3} gleichbedeutend mit:
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\begin{align}
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\int_0^1 M(x) \cdot c \mathrm{d}x &= 0 \\
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||||||
\Leftrightarrow c \cdot \int_0^1 M(x) \mathrm{d}x &= 0 \\
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||||||
\Leftrightarrow \int_0^1 M(x) \mathrm{d}x &= 0 \\
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||||||
\Leftrightarrow \int_0^1 (x-c_1)(x-c_2)(x-c_3) \mathrm{d}x &= 0 \\
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||||||
\Leftrightarrow \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot (c_2 + c_3) + \frac{1}{2} \cdot c_2 \cdot c_3 &= 0 \\
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||||||
\Leftrightarrow \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot c_3}
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||||||
{\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \cdot c_3} &= c_2
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||||||
\end{align}
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||||||
Natürlich müssen auch die Gewichte optimal gewählt werden. Dafür wird Satz 28 genutzt:
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Sei $b^T = (b_1, b_2, b_3)$ der Gewichtsvektor. Sei zudem $C :=
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\begin{pmatrix}
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{c_1}^0 & {c_2}^0 & {c_3}^0 \\
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||||||
{c_1}^1 & {c_2}^1 & {c_3}^1 \\
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||||||
{c_1}^2 & {c_2}^2 & {c_3}^2
|
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||||||
\end{pmatrix}
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$. \\
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||||||
Dann gilt: $C$ ist invertierbar und $b = C^{-1} \cdot
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\begin{pmatrix}
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1 \\
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\frac{1}{2} \\
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\frac{1}{3}
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||||||
\end{pmatrix}
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||||||
$.
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||||||
Es gibt genau eine symmetrische QF in der Familie. Begründung: \\
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Aus $c_1 = 0 $ folgt, dass $c_3 = 1$ ist. Außerdem muss $c_2 = \frac{1}{2} $ sein. Also sind die Knoten festgelegt. Da wir die Ordnung $\ge s = 3$ fordern, sind auch die Gewichte eindeutig. \\
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Es handelt sich um die aus der Vorlesung bekannte Simpsonregel.
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\subsection*{Ordnung 5}
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Es gilt $g(x) = ax+c$ für Konstanten $a \neq 0, c$, da $\text{Grad}(g(x))=1$ ist.
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||||||
Also ist \ref{a3} gleichbedeutend mit:
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||||||
\begin{align}
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\int_0^1 M(x) \cdot (ax+c) \mathrm{d}x &= 0 \\
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||||||
\Leftrightarrow a \int_0^1 x M(x) \mathrm{d}x + c \int_0^1 M(x) \mathrm{d}x &= 0 \\
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||||||
\Leftrightarrow a \int_0^1 x (x-c_1)(x-c_2)(x-c_3) \mathrm{d}x + c \int_0^1 (x-c_1)(x-c_2)(x-c_3) \mathrm{d}x &= 0 \\
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|
||||||
\stackrel{c_1=0}{\Leftrightarrow} a \int_0^1 x^2(x-c_2)(x-c_3) \mathrm{d}x + c \int_0^1 x(x-c_2)(x-c_3) \mathrm{d}x &= 0 \\
|
|
||||||
\Leftrightarrow a \left (\frac{c_2 c_3}{3}-\frac{c_2}{4}-\frac{c_3}{4}+\frac{1}{5} \right ) + c \left ( \frac{c_2 c_3}{2}-\frac{c_2}{3}-\frac{c_3}{3}+\frac{1}{4} \right ) &= 0 \\
|
|
||||||
\Leftrightarrow \left (\frac{c_2 c_3}{3}-\frac{c_2}{4}-\frac{c_3}{4}+\frac{1}{5} \right ) + \underbrace{\frac{c}{a}}_{=: d} \left ( \frac{c_2 c_3}{2}-\frac{c_2}{3}-\frac{c_3}{3}+\frac{1}{4} \right ) &= 0
|
|
||||||
\end{align}
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||||||
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||||||
Nun habe ich \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2F5+-+c%2F4+%2B+(b+(-3+%2B+4+c))%2F12)%2B+d*(3+-+4+c+%2B+b+(-4+%2B+6+c))%2F12%3D0}{Wolfram|Alpha} lösen lassen:
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\begin{align}
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||||||
c_2 &= \frac{6-\sqrt{6}}{10} \approx 0.355\\
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||||||
c_3 &= \frac{6+\sqrt{6}}{10} \approx 0.845
|
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||||||
\end{align}
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||||||
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||||||
Wegen der Ordnungsbedingungen gilt nun:
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\begin{align}
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1 &= b_1 + b_2 + b_3\\
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\frac{1}{2} &= b_2 \cdot \frac{6-\sqrt{6}}{10} + b_3 \cdot \frac{6+\sqrt{6}}{10}\\
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|
||||||
\frac{1}{3} &= b_2 \cdot \left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^2 + b_3 \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right )^2\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow \frac{1}{3} - b_3 \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right )^2 &= b_2 \cdot \left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^2\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow \frac{\frac{1}{3} - b_3 \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right )^2}{\left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^2} &= b_2\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow b_2 &= \frac{100}{3 \cdot (6-\sqrt{6})^2} - b_3 \cdot \frac{(6+\sqrt{6})^2}{(6-\sqrt{6})^2}\\
|
|
||||||
\Rightarrow \frac{1}{2} &= \left ( \frac{100}{3 \cdot (6-\sqrt{6})^2} - b_3 \cdot \frac{(6+\sqrt{6})^2}{(6-\sqrt{6})^2} \right ) \cdot \frac{6-\sqrt{6}}{10} + b_3 \cdot \frac{6+\sqrt{6}}{10}\\
|
|
||||||
&= \left (\frac{10}{3 \cdot (6 - \sqrt{6})} - b_3 \cdot \frac{(6+\sqrt{6})^2}{10 \cdot (6 - \sqrt{6})} \right ) + b_3 \cdot \frac{6+\sqrt{6}}{10}\\
|
|
||||||
&= b_3 \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} - \frac{(6+\sqrt{6})^2}{10 \cdot (6 - \sqrt{6})} \right ) + \frac{10}{3 \cdot (6 - \sqrt{6})}\\
|
|
||||||
&= b_3 \cdot \left (\frac{30-(6+\sqrt{6})^2}{10 \cdot (6 - \sqrt{6})} \right ) + \frac{10}{3 \cdot (6 - \sqrt{6})}\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow \frac{1}{2} - \frac{10}{3 \cdot (6 - \sqrt{6})} &= b_3 \cdot \left (\frac{30-(6+\sqrt{6})^2}{10 \cdot (6 - \sqrt{6})} \right )\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow \frac{3 \cdot (6 - \sqrt{6}) - 20}{6\cdot (6 - \sqrt{6})} &= b_3 \cdot \left (\frac{30-(6+\sqrt{6})^2}{10 \cdot (6 - \sqrt{6})} \right )\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow b_3 &= \frac{(3 \cdot (6 - \sqrt{6}) - 20) \cdot 10 \cdot (6 - \sqrt{6})}{6\cdot (6 - \sqrt{6}) \cdot (30-(6+\sqrt{6})^2)}\\
|
|
||||||
&= \frac{(3 \cdot (6 - \sqrt{6}) - 20) \cdot 5}{3 \cdot (30-(6+\sqrt{6})^2)}\\
|
|
||||||
&= \frac{15 \cdot (6 - \sqrt{6}) - 100}{90-3 \cdot (6+\sqrt{6})^2}\\
|
|
||||||
\Aboxed{b_3 &= \frac{16-\sqrt{6}}{36}} \approx 0.3764\\
|
|
||||||
\Aboxed{b_2 &= \frac{16+\sqrt{6}}{36}} \approx 0.5125\\
|
|
||||||
\stackrel{\text{Ordnungsbedinung 1}}{\Rightarrow} \Aboxed{b_1 &= \frac{1}{9}}\\
|
|
||||||
\frac{1}{4} &\stackrel{?}{=} \frac{16+\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^3 + \frac{16-\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right)^3 \text{ \cmark}\\
|
|
||||||
\frac{1}{5} &\stackrel{?}{=} \frac{16+\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^4 + \frac{16-\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right)^4 \text{ \cmark}\\
|
|
||||||
\frac{1}{6} &\stackrel{?}{=} \frac{16+\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^5 + \frac{16-\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right)^5 = \frac{33}{200} \text{ \xmark}
|
|
||||||
\end{align}
|
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||||||
Binary file not shown.
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|
@ -1,68 +0,0 @@
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||||||
\documentclass[a4paper]{scrartcl}
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||||||
\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
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\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
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\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
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\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf
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||||||
\usepackage{pdfpages} % Signatureinbingung und includepdf
|
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||||||
\usepackage[marginparwidth=3.0cm,marginparsep=-0.5cm]{geometry} % [margin=2.5cm]layout
|
|
||||||
\usepackage[pdftex]{hyperref} % links im text
|
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||||||
\usepackage{color}
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||||||
\usepackage{framed}
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||||||
\usepackage{enumerate} % for advanced numbering of lists
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||||||
\usepackage{marvosym} % checkedbox
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||||||
\usepackage{wasysym}
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||||||
\usepackage{braket} % for \Set{}
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||||||
\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
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||||||
\usepackage{gauss}
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||||||
\usepackage{algorithm,algpseudocode}
|
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||||||
\usepackage{parskip}
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||||||
\usepackage{lastpage}
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||||||
\usepackage{amsthm}
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||||||
\usepackage{marginnote}
|
|
||||||
\usepackage{mathtools}
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\allowdisplaybreaks
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\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
|
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||||||
\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
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\title{Numerik Klausur 2{} - Musterlösung}
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\AtBeginDocument{
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\hypersetup{
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pdfauthor = {Felix Benz-Baldas, Martin Thoma, Peter Merkert},
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pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
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pdftitle = {\@title}
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\rhead{Seite \thepage{} von \pageref{LastPage}}
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\fancyfoot[C]{}
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\renewenvironment{proof}[1][\proofname]{\par
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\pushQED{\qed}%
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\normalfont \topsep6\p@\@plus6\p@\relax
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\include{Aufgabe1}
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\include{Aufgabe2}
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||||||
\include{Aufgabe3}
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||||||
\include{Aufgabe4}
|
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||||||
\include{Aufgabe5}
|
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||||||
\end{document}
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@ -1,8 +0,0 @@
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SOURCE = Klausur2
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make:
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pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
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pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
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make clean
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clean:
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rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg
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@ -1,49 +0,0 @@
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\section*{Aufgabe 1}
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||||||
\subsection*{Teilaufgabe a)}
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||||||
\paragraph{Gegeben:} Sei $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$.
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\paragraph{Gesucht:} Cholesky-Zerlegung $A = L \cdot L^T$
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\paragraph{Rechnung:}
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Erste Spalte:
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\begin{align}
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||||||
l_{11} &= \sqrt{a_{11}} \\
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|
||||||
l_{21} &= \frac{a_{21}}{l_{11}}\\
|
|
||||||
l_{31} &= \frac{a_{31}}{l_{11}}\\
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
Zweite Spalte:
|
|
||||||
\begin{align}
|
|
||||||
l_{22} &= \sqrt{a_{22} - {l_{21}}^2}\\
|
|
||||||
l_{32} &= \frac{a_{32} -l_{21} \cdot l_{31}}{l_{22}} \\
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
Dritte Spalte:
|
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||||||
\begin{align}
|
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||||||
l_{33} &= \sqrt{a_{33}-{l_{32}^2}-{l_{31}}^2}
|
|
||||||
\end{align}
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||||||
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||||||
\subsection*{Teilaufgabe b)}
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||||||
\begin{align}
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||||||
l_{11} &= 2 \\
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||||||
l_{21} &= 1 \\
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||||||
l_{31} &= -2 \\
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||||||
l_{22} &= 3 \\
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||||||
l_{32} &= 1 \\
|
|
||||||
l_{33} &= 1 \\
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||||||
\end{align}
|
|
||||||
Die restlichen Einträge sind $0$. ($L$ ist immer eine untere Dreiecksmatrix)
|
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||||||
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||||||
\subsection*{Teilaufgabe c)}
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||||||
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||||||
\begin{align}
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||||||
A \cdot x = b \Leftrightarrow L \cdot L^T \cdot x = b \\
|
|
||||||
L \cdot c = b \label{a1}
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
Löse \ref{a1} mit Vorwärtssubstitution.
|
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||||||
\begin{align}
|
|
||||||
L^T \cdot x = c \label{a2}
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
Löse \ref{a2} mit Rückwärtssubstitution.
|
|
||||||
\begin{align}
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|
||||||
x_3 &= 3 \\
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|
||||||
x_2 &= 1 \\
|
|
||||||
x_1 &= 2
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
@ -1,17 +0,0 @@
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||||||
\section*{Aufgabe 2}
|
|
||||||
\subsection*{Teilaufgabe a)}
|
|
||||||
\begin{align}
|
|
||||||
r_{ij} = a_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik} \cdot r_{kj} \\ %TODO: Korrektheit überprüfen
|
|
||||||
l_{ij} = \frac{a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \cdot r_{kj}}{r_{jj}}
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
||||||
|
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||||||
\begin{algorithm}
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|
||||||
\begin{algorithmic}
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||||||
\For{$d \in \Set{1, \dots n}$}
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||||||
\State berechne d-te Zeile von $R$
|
|
||||||
\State berechne d-te Spalte von $L$
|
|
||||||
\EndFor
|
|
||||||
\end{algorithmic}
|
|
||||||
\end{algorithm}
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
@ -1,33 +0,0 @@
|
||||||
\section*{Aufgabe 3}
|
|
||||||
\subsection*{Teilaufgabe a)}
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{enumerate}
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|
||||||
\item Selbstabbildung: \\
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||||||
Sei $x \in D := [1.75 , 2] = [\frac{7}{4}, \frac{8}{4}]$.
|
|
||||||
|
|
||||||
Dann:
|
|
||||||
\begin{align}
|
|
||||||
F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \le 1 + \frac{1}{1.75} + \frac{1}{1.75^2} = 1 + \frac{44}{49} \le 2 %TODO: schöner formulieren
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
und: \\
|
|
||||||
\begin{align}
|
|
||||||
F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \ge 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1.75
|
|
||||||
\end{align}
|
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||||||
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|
||||||
\item Abgeschlossenheit: $D$ ist offentsichtlich abgeschlossen.
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\item Kontraktion: \\ %TODO:
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%\textbf{Behauptung:} $F(x)$ ist auf $A$ eine Kontraktion.
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||||||
%\textbf{Beweis:}
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||||||
%z.Z.: $\exists L \in [0, 1): \forall x,y \in A: || F(x) - F(y) || \leq L \cdot || x - y||$
|
|
||||||
Hier ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung von Nutzen.\\
|
|
||||||
$F$ ist Lipschitz-stetig auf $D$ und für alle $x \in D$ gilt: \\
|
|
||||||
\begin{align}
|
|
||||||
|F'(x)| = |-\frac{1}{x^2}-2 \cdot \frac{1}{x^3}| \le \frac{240}{343} =: \theta < 1
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
Also gilt auch $\forall x,y \in D $:
|
|
||||||
\begin{align}
|
|
||||||
|F(x) - F(y)| \le \theta \cdot |x - y|
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
Somit ist die Lipschitz- bzw. Kontraktions-Konstante $\theta$.
|
|
||||||
\end{enumerate}
|
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||||||
Insgesamt folgt, dass $F$ die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.
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||||||
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@ -1,8 +0,0 @@
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||||||
\section*{Aufgabe 4}
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\begin{align*}
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||||||
I &= \int_0^1 \frac{1}{1+4x} dx\\
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||||||
&= \int_0^{0.5} \frac{1}{1+4x} dx +\int_{0.5}^{1} \frac{1}{1+4x} dx\\
|
|
||||||
&= (0.5 - 0) \cdot \frac{f(0) + f(0.5)}{2} + (1 - 0.5) \cdot \frac{f(1) + f(0.5)}{2} \\
|
|
||||||
&= \frac{7}{15}
|
|
||||||
\end{align*}
|
|
||||||
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@ -1,21 +0,0 @@
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||||||
\section*{Aufgabe 5}
|
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||||||
\subsection*{Teilaufgabe a}
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||||||
Eine Quadraturformel $(b_i, c_i)_{i=1, \dots, s}$ hat die Ordnung
|
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||||||
$p$, falls sie exakte Lösungen für alle Polynome vom Grad $\leq p -1$
|
|
||||||
liefert.
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\subsection*{Teilaufgabe b}
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Für die ersten 3. Ordnungsbedingungen gilt:
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\begin{align*}
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1 = \sum_{i = 0}^{s} b_i \\
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||||||
\frac{1}{2} = \sum_{i = 0}^{s} b_i \cdot c_i \\
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|
||||||
\frac{1}{3} = \sum_{i = 0}^{s} b_i \cdot c_i^2
|
|
||||||
\end{align*}
|
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||||||
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||||||
\subsection*{Teilaufgabe c}
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||||||
Wähle die Simpson-Regel, also $c_1=0, c_2 = \frac{1}{2}, c_3 = 1$ und
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||||||
$b_1 = b_3 = \frac{1}{6}$ und $b_2 = \frac{4}{6}$.
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||||||
Überprüfe nun Ordnungsbedingungen 1-4 $\Rightarrow$ Simpson-Regel hat Ordnung 4
|
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||||||
Überprüfe Ordnungsbedingung 5 $\Rightarrow$ Simpson-Regel hat nicht Ordnung 5. %TODO ausführlicher
|
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||||||
Binary file not shown.
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@ -1,48 +0,0 @@
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||||||
\documentclass[a4paper]{scrartcl}
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||||||
\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
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\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
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\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
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\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf
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\usepackage{pdfpages} % Signatureinbingung und includepdf
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\usepackage{geometry} % [margin=2.5cm]layout
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\usepackage[pdftex]{hyperref} % links im text
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\usepackage{color}
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\usepackage{framed}
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\usepackage{enumerate} % for advanced numbering of lists
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||||||
\usepackage{marvosym} % checkedbox
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||||||
\usepackage{wasysym}
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\usepackage{braket} % for \Set{}
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\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
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\usepackage{gauss}
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||||||
\usepackage{algorithm,algpseudocode}
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||||||
\usepackage{parskip}
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||||||
\usepackage{lastpage}
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||||||
\allowdisplaybreaks
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||||||
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||||||
\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
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||||||
\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
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||||||
\title{Numerik Klausur 3 - Musterlösung}
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||||||
\makeatletter
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||||||
\AtBeginDocument{
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||||||
\hypersetup{
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||||||
pdfauthor = {Felix Benz-Baldas, Martin Thoma, Peter Merkert},
|
|
||||||
pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
|
|
||||||
pdftitle = {\@title}
|
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||||||
}
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||||||
\pagestyle{fancy}
|
|
||||||
\lhead{\@title}
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||||||
\rhead{Seite \thepage{} von \pageref{LastPage}}
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||||||
}
|
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||||||
\makeatother
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||||||
|
|
||||||
\usepackage{fancyhdr}
|
|
||||||
\fancyfoot[C]{}
|
|
||||||
|
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||||||
\begin{document}
|
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||||||
\input{Aufgabe1}
|
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||||||
\input{Aufgabe2}
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||||||
\input{Aufgabe3}
|
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||||||
\input{Aufgabe4}
|
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||||||
\input{Aufgabe5}
|
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||||||
\end{document}
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@ -1,8 +0,0 @@
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||||||
SOURCE = Klausur3
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make:
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pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
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pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
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make clean
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clean:
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rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg
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@ -1,86 +0,0 @@
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||||||
\section*{Aufgabe 1}
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||||||
\textbf{Gegeben:}
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||||||
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\[A =
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||||||
\begin{pmatrix}
|
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||||||
6 & -6 & 0 \\
|
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||||||
-3 & 7 & 2 \\
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|
||||||
2 & 4 & 1
|
|
||||||
\end{pmatrix}, \;\;\;
|
|
||||||
b =\begin{pmatrix}
|
|
||||||
0 \\
|
|
||||||
8 \\
|
|
||||||
8
|
|
||||||
\end{pmatrix}\]
|
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||||||
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||||||
\textbf{Aufgabe:} $Ax = b$ mit Gaußelimination und Spaltenpivotwahl lösen
|
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||||||
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||||||
\textbf{Lösung:}
|
|
||||||
|
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||||||
\begin{align}
|
|
||||||
\begin{gmatrix}[p]
|
|
||||||
6 & -6 & 0 & 0\\
|
|
||||||
-3 & 7 & 2 & 8\\
|
|
||||||
2 & 4 & 1 & 8
|
|
||||||
\rowops
|
|
||||||
\mult{0}{\cdot \frac{1}{6}}
|
|
||||||
\end{gmatrix}
|
|
||||||
&\leadsto
|
|
||||||
\begin{gmatrix}[p]
|
|
||||||
1 & -1 & 0 & 0\\
|
|
||||||
-3 & 7 & 2 & 8\\
|
|
||||||
2 & 4 & 1 & 8
|
|
||||||
\rowops
|
|
||||||
\add[3]{0}{1}
|
|
||||||
\add[-2]{0}{2}
|
|
||||||
\end{gmatrix}\\
|
|
||||||
&\leadsto
|
|
||||||
\begin{gmatrix}[p]
|
|
||||||
1 & -1 & 0 & 0\\
|
|
||||||
0 & 4 & 2 & 8\\
|
|
||||||
0 & 6 & 1 & 8
|
|
||||||
\rowops
|
|
||||||
\swap{1}{2}
|
|
||||||
\end{gmatrix}\\
|
|
||||||
&\leadsto
|
|
||||||
\begin{gmatrix}[p]
|
|
||||||
1 & -1 & 0 & 0\\
|
|
||||||
0 & 6 & 1 & 8\\
|
|
||||||
0 & 4 & 2 & 8
|
|
||||||
\rowops
|
|
||||||
\mult{1}{\cdot \frac{1}{6}}
|
|
||||||
\add[-4]{1}{2}
|
|
||||||
\end{gmatrix}\\
|
|
||||||
&\leadsto
|
|
||||||
\begin{gmatrix}[p]
|
|
||||||
1 & -1 & 0 & 0\\
|
|
||||||
0 & 1 & \frac{1}{6} & \frac{4}{3}\\
|
|
||||||
0 & 0 & \frac{4}{3} & \frac{8}{3}
|
|
||||||
\rowops
|
|
||||||
\mult{2}{\cdot \frac{3}{4}}
|
|
||||||
\end{gmatrix}\\
|
|
||||||
&\leadsto
|
|
||||||
\begin{gmatrix}[p]
|
|
||||||
1 & -1 & 0 & 0\\
|
|
||||||
0 & 1 & \frac{1}{6} & \frac{4}{3}\\
|
|
||||||
0 & 0 & 1 & 2
|
|
||||||
\rowops
|
|
||||||
\add[\cdot \frac{-1}{6}]{2}{1}
|
|
||||||
\end{gmatrix}\\
|
|
||||||
&\leadsto
|
|
||||||
\begin{gmatrix}[p]
|
|
||||||
1 & -1 & 0 & 0\\
|
|
||||||
0 & 1 & 0 & 1\\
|
|
||||||
0 & 0 & 1 & 2
|
|
||||||
\rowops
|
|
||||||
\add[]{1}{0}
|
|
||||||
\end{gmatrix}\\
|
|
||||||
&\leadsto
|
|
||||||
\begin{gmatrix}[p]
|
|
||||||
1 & 0 & 0 & 1\\
|
|
||||||
0 & 1 & 0 & 1\\
|
|
||||||
0 & 0 & 1 & 2
|
|
||||||
\end{gmatrix}
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
||||||
$\Rightarrow x = \begin{pmatrix}1 & 1 & 2\end{pmatrix}^T$ löst das LGS.
|
|
||||||
|
|
@ -1,14 +0,0 @@
|
||||||
\section*{Aufgabe 2}
|
|
||||||
Die \emph{Kondition} eines Problems ist die Frage, wie sich kleine Störungen
|
|
||||||
der Eingabegrößen unabhängig vom gewählten Algorithmus auf die
|
|
||||||
Lösung des Problems auswirken.
|
|
||||||
|
|
||||||
Bei dem lösen von linearen Gleichungssystemen sind die Eingabegrößen
|
|
||||||
die Koeffizientenmatrix $A$ und der Vektor $b$.
|
|
||||||
|
|
||||||
Der Begriff \emph{Stabilität} ist auf einen konkreten Algorithmus
|
|
||||||
zu beziehen und beschäftigt sich mit der Frage, wie sich Rundungsfehler,
|
|
||||||
welche während der Durchführung des Algorithmus entstehen, auf
|
|
||||||
die Lösung auswirken.
|
|
||||||
|
|
||||||
Die Stabilität eines Algorithmus bezeichnet, wie stark der Algorithmus das Ergebnis verfälschen kann. Man kann also die Stabilität der Gauß-Elimination angeben. Man kann allerdings nicht von einer Stabilität des Problems $A \cdot x = b$ sprechen.
|
|
||||||
|
|
@ -1,4 +0,0 @@
|
||||||
\section*{Aufgabe 3}
|
|
||||||
|
|
||||||
Diese Aufgabe ist identisch zu Aufgabe 3, Klausur3.
|
|
||||||
Die Lösung ist bei Klausur3 zu finden.
|
|
||||||
|
|
@ -1,4 +0,0 @@
|
||||||
\section*{Aufgabe 4}
|
|
||||||
|
|
||||||
Diese Aufgabe ist identisch zu Aufgabe 3, Klausur2.
|
|
||||||
Die Lösung ist bei Klausur2 zu finden.
|
|
||||||
|
|
@ -1,32 +0,0 @@
|
||||||
\section*{Aufgabe 5}
|
|
||||||
\subsection*{Teilaufgabe a}
|
|
||||||
Eine Quadraturformel $(b_i, c_i)_{i=1,\dots,s}$ hat die Ordnung
|
|
||||||
$p$, falls sie exakte Lösungenfür alle Polynome vom Grad $\leq p-1$ liefern.\footnote{Kapitel 4, S. 4 des Skripts}
|
|
||||||
|
|
||||||
Die Ordnungsbedinungen liefern ein hinreichendes Kriterium zum Überprüfen
|
|
||||||
der Ordnung einer Quadraturformel.
|
|
||||||
|
|
||||||
Für die Mittelpunktsregel $c_1 = \frac{1}{2}, b_1 = 1$ gilt:
|
|
||||||
\begin{align}
|
|
||||||
\frac{1}{1} &\stackrel{?}{=} b_1 = 1 \text{ \cmark}\\
|
|
||||||
\frac{1}{2} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1 = \frac{1}{2} \text{ \cmark}\\
|
|
||||||
\frac{1}{3} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^2 = \frac{1}{4} \text{ \xmark}
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
||||||
Die Ordnung der Mittelpunktsregel ist also $p=2$.
|
|
||||||
|
|
||||||
\subsection*{Teilaufgabe b}
|
|
||||||
\paragraph*{Aufgabe:}
|
|
||||||
Das Integral
|
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||||||
\[I = \int_0^1 \frac{1}{1+4x} \mathrm{d}x\]
|
|
||||||
soll näherungsweise mit der Mittelpunktsregel, angwendet auf eine
|
|
||||||
äquistante Unterteilung des Intervalls $[0,1]$ in zwei Teilintervalle
|
|
||||||
angewendet werden.
|
|
||||||
|
|
||||||
\paragraph*{Lösung:}
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{align}
|
|
||||||
I &= \int_0^\frac{1}{2} \frac{1}{1+4x} \mathrm{d}x + \int_\frac{1}{2}^1 \frac{1}{1+4x} \mathrm{d}x\\
|
|
||||||
&\approx \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+1} + \frac{1}{2} \frac{1}{1+ 4 \cdot \frac{3}{4}} \\
|
|
||||||
&= \frac{3}{8}
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
Binary file not shown.
|
|
@ -1,48 +0,0 @@
|
||||||
\documentclass[a4paper]{scrartcl}
|
|
||||||
\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
|
|
||||||
\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
|
|
||||||
\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
|
|
||||||
\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf
|
|
||||||
\usepackage{pdfpages} % Signatureinbingung und includepdf
|
|
||||||
\usepackage{geometry} % [margin=2.5cm]layout
|
|
||||||
\usepackage[pdftex]{hyperref} % links im text
|
|
||||||
\usepackage{color}
|
|
||||||
\usepackage{framed}
|
|
||||||
\usepackage{enumerate} % for advanced numbering of lists
|
|
||||||
\usepackage{marvosym} % checkedbox
|
|
||||||
\usepackage{wasysym}
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\usepackage{braket} % for \Set{}
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\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
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\usepackage{gauss}
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\usepackage{algorithm,algpseudocode}
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\usepackage{parskip}
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\usepackage{lastpage}
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\allowdisplaybreaks
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\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
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\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
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\title{Numerik Klausur 4 - Musterlösung}
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\makeatletter
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\AtBeginDocument{
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\hypersetup{
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pdfauthor = {Martin Thoma, Peter, Felix},
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pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
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pdftitle = {\@title}
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}
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\pagestyle{fancy}
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\lhead{\@title}
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\rhead{Seite \thepage{} von \pageref{LastPage}}
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}
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\makeatother
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\usepackage{fancyhdr}
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\fancyfoot[C]{}
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\begin{document}
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\input{Aufgabe1}
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\input{Aufgabe2}
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\input{Aufgabe3}
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\input{Aufgabe4}\clearpage
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\input{Aufgabe5}
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\end{document}
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@ -1,8 +0,0 @@
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SOURCE = Klausur4
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make:
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pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
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pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
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make clean
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clean:
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rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg
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@ -1,106 +0,0 @@
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\section*{Aufgabe 1}
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\paragraph{Gegeben:}
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\[A = \begin{pmatrix}
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2 & 3 & -1\\
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-6 & -5 & 0\\
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2 & -5 & 6
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\end{pmatrix},\;\;\; b = \begin{pmatrix}20\\-41\\-15\end{pmatrix}\]
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\paragraph{LR-Zerlegung:}
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\begin{align}
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&&A^{(0)} &= \begin{gmatrix}[p]
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2 & 3 & -1\\
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||||||
-6 & -5 & 0\\
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||||||
2 & -5 & 6
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||||||
\rowops
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||||||
\swap{0}{1}
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||||||
\end{gmatrix}\\
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||||||
P^{(1)} &= \begin{pmatrix}
|
|
||||||
0 & 1 & 0\\
|
|
||||||
1 & 0 & 0\\
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|
||||||
0 & 0 & 1
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|
||||||
\end{pmatrix}
|
|
||||||
&A^{(1)} &=
|
|
||||||
\begin{gmatrix}[p]
|
|
||||||
-6 & -5 & 0\\
|
|
||||||
2 & 3 & -1\\
|
|
||||||
2 & -5 & 6
|
|
||||||
\rowops
|
|
||||||
\add[\cdot \frac{1}{3}]{0}{1}
|
|
||||||
\add[\cdot \frac{1}{3}]{0}{2}
|
|
||||||
\end{gmatrix}\\
|
|
||||||
L^{(2)} &=\begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 0 & 0\\
|
|
||||||
\nicefrac{1}{3} & 1 & 0\\
|
|
||||||
\nicefrac{1}{3} & 0 & 1
|
|
||||||
\end{pmatrix},
|
|
||||||
& A^{(2)} &= \begin{gmatrix}[p]
|
|
||||||
-6 & -5 & 0\\
|
|
||||||
0 & \frac{4}{3} & -1\\
|
|
||||||
0 & -\frac{20}{3} & 6
|
|
||||||
\rowops
|
|
||||||
\swap{1}{2}
|
|
||||||
\end{gmatrix}\\
|
|
||||||
P^{(3)} &= \begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 0 & 0\\
|
|
||||||
0 & 0 & 1\\
|
|
||||||
0 & 1 & 0
|
|
||||||
\end{pmatrix},
|
|
||||||
& A^{(3)} &= \begin{gmatrix}[p]
|
|
||||||
-6 & -5 & 0\\
|
|
||||||
0 & -\frac{20}{3} & 6\\
|
|
||||||
0 & \frac{4}{3} & -1
|
|
||||||
\rowops
|
|
||||||
\add[\cdot \frac{1}{5}]{1}{2}
|
|
||||||
\end{gmatrix}\\
|
|
||||||
L^{(4)} &= \begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 0 & 0\\
|
|
||||||
0 & 1 & 0\\
|
|
||||||
0 & \nicefrac{1}{5} & 1
|
|
||||||
\end{pmatrix},
|
|
||||||
& A^{(4)} &= \begin{gmatrix}[p]
|
|
||||||
-6 & -5 & 0\\
|
|
||||||
0 & -\frac{20}{3} & 6\\
|
|
||||||
0 & 0 & \nicefrac{1}{5}
|
|
||||||
\end{gmatrix} =:R
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
||||||
Es gilt nun:
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||||||
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||||||
\begin{align}
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||||||
P :&= P^{(3)} \cdot P^{(1)}\\
|
|
||||||
&= \begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 0 & 0\\
|
|
||||||
0 & 0 & 1\\
|
|
||||||
0 & 1 & 0
|
|
||||||
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
|
|
||||||
0 & 1 & 0\\
|
|
||||||
1 & 0 & 0\\
|
|
||||||
0 & 0 & 1
|
|
||||||
\end{pmatrix} \\
|
|
||||||
&=
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
0 & 1 & 0\\
|
|
||||||
0 & 0 & 1\\
|
|
||||||
1 & 0 & 0
|
|
||||||
\end{pmatrix}\\
|
|
||||||
L^{(4)} \cdot P^{(3)} \cdot L^{(2)} \cdot P^{(1)} \cdot A &= R\\
|
|
||||||
L^{-1} &= L^{(4)} \cdot \hat{L_1}\\
|
|
||||||
\hat{L_1} &= P^{(3)} \cdot L^{(2)} \cdot (P^{(3)})^{-1}\\
|
|
||||||
&= P^{(3)} \cdot L^{(2)} \cdot P^{(3)}\\
|
|
||||||
&= \begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 0 & 0\\
|
|
||||||
\nicefrac{1}{3} & 1 & 0\\
|
|
||||||
\nicefrac{1}{3} & 0 & 1
|
|
||||||
\end{pmatrix}\\
|
|
||||||
L &= (L^{(4)} \cdot \hat{L_1})^{-1}\\
|
|
||||||
&= \begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 0 & 0\\
|
|
||||||
-\frac{1}{3} & 1 & 0\\
|
|
||||||
-\frac{1}{3} & -\frac{1}{5} & 1
|
|
||||||
\end{pmatrix}
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
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|
||||||
Überprüfung mit \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C+0%2C+0%7D%2C+%7B-1%2F3%2C+1%2C+0%7D%2C+%7B-1%2F3%2C+-1%2F5%2C+1%7D%7D*%7B%7B-6%2C-5%2C0%7D%2C%7B0%2C-20%2F3%2C6%7D%2C%7B0%2C0%2C1%2F5%7D%7D}{Wolfram|Alpha}.
|
|
||||||
|
|
@ -1,78 +0,0 @@
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||||||
\section*{Aufgabe 2}
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||||||
Zeige die Aussage für $2\times2$ Matrizen durch Gauß-en mit
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Spaltenpivotwahl.
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\subsection*{Lösung}
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\subsubsection*{Behauptung:}
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||||||
Für alle tridiagonalen Matrizen gilt:
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\begin{enumerate}
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||||||
\item[(i)] Die Gauß-Elimination erhält die tridiagonale Struktur
|
|
||||||
\item[(ii)] $\rho_n(A) := \frac{\alpha_\text{max}}{\max_{i,j} |a_{ij}|} \leq 2$
|
|
||||||
\end{enumerate}
|
|
||||||
|
|
||||||
\subsubsection*{Beweis:}
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||||||
\paragraph{Teil 1: (i)}
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||||||
\begin{align}
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||||||
A &= \begin{gmatrix}[p]
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||||||
* & * & & \\
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||||||
* & \ddots & \ddots & \\
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||||||
& \ddots & \ddots & * \\
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|
||||||
& & * & *
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\rowops
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\add[\cdot \frac{-a_{21}}{a_{11}}]{0}{1}
|
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||||||
\end{gmatrix}
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|
||||||
\end{align}
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||||||
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||||||
Offensichtlich ändert diese Operation nur Zeile 2. $a_{21}$ wird zu 0,
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||||||
$a_{22}$ ändert sich irgendwie, alles andere bleibt unverändert.
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||||||
Die gesammte Matrix ist keine tridiagonale Matrix mehr, aber die
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|
||||||
um Submatrix in $R^{(n-1) \times (n-1)}$ ist noch eine.
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||||||
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||||||
Muss man zuvor Zeile 1 und 2 tauschen (andere Zeilen kommen nicht in
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||||||
Frage), so ist später die Stelle $a_{21} = 0$, $a_{22}$ ändert sich
|
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||||||
wieder irgendwie und $a_{23}$ ändert sich auch. Dies ändert aber nichts
|
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||||||
an der tridiagonalen Struktur der Submatrix.
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||||||
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||||||
\paragraph{Teil 2: (ii) für $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$}
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Sei $\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$
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beliebig.
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||||||
O.B.d.A sei die Spaltenpivotwahl bereits durchgeführt, also $|a_{11}| \geq |a_{21}|$.
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Nun folgt:
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\begin{align}
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\begin{gmatrix}[p]
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||||||
a_{11} & a_{12}\\
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|
||||||
a_{21} & a_{22}
|
|
||||||
\rowops
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||||||
\add[\cdot \frac{-a_{21}}{a_{11}}]{0}{1}
|
|
||||||
\end{gmatrix}\\
|
|
||||||
\leadsto
|
|
||||||
\begin{gmatrix}[p]
|
|
||||||
a_{11} & a_{12}\\
|
|
||||||
0 & a_{22} - \frac{a_{12} \cdot a_{21}}{a_{11}}
|
|
||||||
\end{gmatrix}
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
||||||
Wegen $|a_{11}| \geq |a_{21}|$ gilt:
|
|
||||||
\begin{align}
|
|
||||||
\|\frac{a_{21}}{a_{11}}\| \leq 1
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
||||||
Also insbesondere
|
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||||||
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||||||
\begin{align}
|
|
||||||
\underbrace{a_{22} - a_{12} \cdot \frac{a_{21}}{a_{11}}}_{\leq \alpha_\text{max}} \leq 2 \cdot \max_{i,j}|a_{ij}|
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
||||||
Damit ist Aussage (ii) für $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ gezeigt.
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||||||
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|
||||||
\paragraph{Teil 3: (ii) für allgemeinen Fall}
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||||||
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|
||||||
Aus Teil 2 folgt die Aussage auch direkt für größere Matrizen.
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||||||
Der worst case ist, wenn man beim Addieren einer Zeile auf eine
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|
||||||
andere mit $\max_{i,j}|a_{ij}|$ multiplizieren muss um das erste nicht-0-Element
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|
||||||
der Zeile zu entfernen und das zweite auch $\max_{i,j}|a_{ij}|$ ist.
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|
||||||
Dann muss man aber im nächsten schritt mit einem Faktor $\leq \frac{1}{2}$
|
|
||||||
multiplizieren, erhält also nicht einmal mehr $2 \cdot \max_{i,j}|a_{ij}|$.
|
|
||||||
|
|
@ -1,24 +0,0 @@
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||||||
\section*{Aufgabe 3}
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||||||
\subsection*{Teilaufgabe i}
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||||||
relativer Fehler:
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||||||
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||||||
\begin{align}
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||||||
\frac{ | \frac{x}{y} - \frac{x \cdot (1 + \varepsilon_x)}{y \cdot (1 + \varepsilon_y)}|}{|\frac{x}{y}|}
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|
||||||
&= \frac{| \frac{x(1+\varepsilon_y) - x (1+\varepsilon_x)}{y(1+\varepsilon_y)} |}{|\frac{x}{y}|} \\
|
|
||||||
&= \frac{| \frac{x(\varepsilon_y-\varepsilon_x)}{y(1+\varepsilon_y)} |}{|\frac{x}{y}|} \\
|
|
||||||
&= \left |\frac{\varepsilon_y - \epsilon_x }{1 + \varepsilon_y} \right |\\
|
|
||||||
&\le \frac{|\varepsilon_y | + | \varepsilon_x |}{|1 + \varepsilon_y|} \le \frac{2 \cdot \text{eps}}{|1 + \varepsilon_y|} \\
|
|
||||||
&\approx 2 \cdot \text{eps}
|
|
||||||
\end{align}
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||||||
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|
||||||
Der letzte Ausdruck ist ungefähr gleich $2 \cdot \text{eps}$, da $1 + \epsilon_y$ ungefähr gleich $1$ ist.
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||||||
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||||||
Der relative Fehler kann sich also maximal verdoppeln.
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||||||
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||||||
\subsection*{Teilaufgabe ii}
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||||||
Die zweite Formel ist vorzuziehen, also $f(x) = -\ln (x + \sqrt{x^2-1})$, da es bei Subtraktion zweier annähernd gleich-großer Zahlen zur Stellenauslöschung kommt. Bei der ersten Formel, also $f(x) = \ln (x - \sqrt{x^2-1})$, tritt genau dieses Problem auf: $x$ und $\sqrt{x^2-1}$ sind für große $x$ ungefähr gleich groß. \\
|
|
||||||
Bei der zweiten Formel tritt das Problem nicht auf: $x$ ist positiv und $\sqrt{x^2 - 1}$ auch, also gibt es in dem Ausdruck keine Subtraktion zweier annähernd gleich-großer Zahlen.
|
|
||||||
|
|
||||||
Außerdem ändert sich $\ln(x)$ stärker, je näher $x$ bei 0 ist. Es ist
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|
||||||
also auch wegen der Ungenauigkeit der Berechnung des $\ln$ besser,
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||||||
weiter von $0$ entfernt zu sein.
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||||||
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@ -1,9 +0,0 @@
|
||||||
\section*{Aufgabe 4}
|
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||||||
TODO
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||||||
|
|
||||||
\begin{itemize}
|
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||||||
\item Klausur 3, Aufgabe 3 ist ähnlich
|
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||||||
\item Klausur 4, Aufgabe 3 ist ähnlich
|
|
||||||
\item Klausur 5, Aufgabe 4 ist ähnlich
|
|
||||||
\item Klausur 6, Aufgabe 3 ist ähnlich
|
|
||||||
\end{itemize}
|
|
||||||
|
|
@ -1,51 +0,0 @@
|
||||||
\section*{Aufgabe 5}
|
|
||||||
\subsection*{Aufgabe}
|
|
||||||
Bestimme alle Quadraturformeln mit $s=3$ und Knoten
|
|
||||||
$0 = c_1 < c_2, c_3$ und Ordnung $p \geq 4$.
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||||||
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|
||||||
Schreiben Sie ein Programm in Pseudocode, welches zu vorgegebenem
|
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||||||
$c_2$ den Knoten $c_3$ und die Gewichte $b_i$ möglichst effizient
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||||||
berechnet.
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||||||
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||||||
Wie viele symmetrische Quadraturformeln gibt es mit diesen Eigneschaften?
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||||||
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||||||
\subsection*{Lösung}
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||||||
Da $c_1 = 0$ kann es keine Gauß-Quadraturformel sein. Daher kann
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||||||
die Ordnung nicht $2 \cdot s = 6$ sein. Interessant sind also
|
|
||||||
\begin{itemize}
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||||||
\item[(A)] Symmetrische Quadraturformeln der Ordnung 4
|
|
||||||
\item[(B)] Unsymmetrische Quadraturformeln der Ordnung 4
|
|
||||||
\item[(C)] Unsymmetrische Quadraturformeln der Ordnung 5
|
|
||||||
\end{itemize}
|
|
||||||
|
|
||||||
Die Simpson-Regel mit $c_1 = 0, c_2 = \frac{1}{2}$ und $c_3 = 1$
|
|
||||||
mit $b_1 = b_3 = \frac{1}{6}$ und $b_2 = \frac{4}{6}$ ist die einzige
|
|
||||||
symmetrische Quadraturformel in (A).
|
|
||||||
|
|
||||||
Für (B) müssen die Ordnungsbedingungen gelten:
|
|
||||||
\begin{align}
|
|
||||||
\nicefrac{1}{1} &\stackrel{!}{=} b_1 + b_2 + b_3\label{eq:i}\\
|
|
||||||
\nicefrac{1}{2} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2 + b_3 c_3\label{eq:ii}\\
|
|
||||||
\nicefrac{1}{3} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^2 + b_3 c_3^2\label{eq:iii}\\
|
|
||||||
\nicefrac{1}{4} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^3 + b_3 c_3^3\label{eq:iv}\\
|
|
||||||
\stackrel{\ref{eq:ii}}{\Rightarrow} \frac{\nicefrac{1}{2} - b_3 c_3}{c_2}&\stackrel{!}{=} b_2 \label{eq:ii2}\\
|
|
||||||
\stackrel{\ref{eq:ii2} \text{ in } \ref{eq:iii}}{\Rightarrow} \nicefrac{1}{3} &\stackrel{!}{=} (\nicefrac{1}{2} - b_3 c_3) \cdot c_2 + b_3 c_3^2\label{eq:iii2}\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow \nicefrac{1}{3} - \nicefrac{1}{2} \cdot c_2 &\stackrel{!}{=} b_3 (- c_3 c_2 + c_3^2)\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow \frac{\nicefrac{1}{3} - \nicefrac{1}{2} \cdot c_2}{c_3^2 - c_3 c_2} &\stackrel{!}{=} b_3 \label{eq:iii3}\\
|
|
||||||
\stackrel{\ref{eq:ii2} \text{ in } \ref{eq:iv}}{\Rightarrow} \nicefrac{1}{4} &\stackrel{!}{=} (\nicefrac{1}{2} - b_3 c_3) \cdot c_2^2 + b_3 c_3^3\label{eq:iv2}\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow \nicefrac{1}{4} - \nicefrac{1}{2} c_2^2&\stackrel{!}{=} b_3 (c_3^3 - c_3 \cdot c_2^2) \label{eq:iv2}\\
|
|
||||||
\stackrel{\ref{eq:iii3} \text{ in } \ref{eq:iv2}}{\Rightarrow} \nicefrac{1}{4} - \nicefrac{1}{2} c_2^2&\stackrel{!}{=} \frac{\nicefrac{1}{3} - \nicefrac{1}{2} \cdot c_2}{c_3^2 - c_3 c_2} (c_3^3 - c_3 \cdot c_2^2)\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow \frac{1}{2} \left (\frac{1}{2} - c_2^2 \right ) &= \frac{(\nicefrac{1}{3} - \nicefrac{1}{2} \cdot c_2)(c_3^2 - c_2^2)}{c_3 - c_2}\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow \frac{1}{2} - c_2^2 &= (\nicefrac{2}{3} - c_2)(c_3 + c_2)\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow \frac{1}{2} - c_2^2 &= \nicefrac{2}{3} c_3 + \nicefrac{2}{3} c_2 - c_2 c_3 - c_2^2\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow \frac{1}{2} - \frac{2}{3} c_2 &= \nicefrac{2}{3} c_3- c_2 c_3\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow \frac{1}{2} - \frac{2}{3} c_2 &= c_3(\nicefrac{2}{3}- c_2)\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow c_3 &= \frac{\frac{1}{2} - \frac{2}{3} c_2}{\nicefrac{2}{3}- c_2} = \frac{2c_2-\nicefrac{3}{2}}{3c_2 - 2}\\
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
||||||
Für (C) muss zusätzlich gelten:
|
|
||||||
\begin{align}
|
|
||||||
\nicefrac{1}{5} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^4 + b_3 c_3^4
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
||||||
TODO
|
|
||||||
Binary file not shown.
|
|
@ -1,49 +0,0 @@
|
||||||
\documentclass[a4paper]{scrartcl}
|
|
||||||
\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
|
|
||||||
\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
|
|
||||||
\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
|
|
||||||
\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf
|
|
||||||
\usepackage{pdfpages} % Signatureinbingung und includepdf
|
|
||||||
\usepackage{geometry} % [margin=2.5cm]layout
|
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||||||
\usepackage[pdftex]{hyperref} % links im text
|
|
||||||
\usepackage{color}
|
|
||||||
\usepackage{framed}
|
|
||||||
\usepackage{enumerate} % for advanced numbering of lists
|
|
||||||
\usepackage{marvosym} % checkedbox
|
|
||||||
\usepackage{wasysym}
|
|
||||||
\usepackage{braket} % for \Set{}
|
|
||||||
\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
|
|
||||||
\usepackage{gauss}
|
|
||||||
\usepackage{algorithm,algpseudocode}
|
|
||||||
\usepackage{parskip}
|
|
||||||
\usepackage{lastpage}
|
|
||||||
\usepackage{units}
|
|
||||||
\allowdisplaybreaks
|
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||||||
|
|
||||||
\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
|
|
||||||
\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
|
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||||||
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|
||||||
\title{Numerik Klausur 5 - Musterlösung}
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|
||||||
\makeatletter
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|
||||||
\AtBeginDocument{
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||||||
\hypersetup{
|
|
||||||
pdfauthor = {Martin Thoma, Peter, Felix},
|
|
||||||
pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
|
|
||||||
pdftitle = {\@title}
|
|
||||||
}
|
|
||||||
\pagestyle{fancy}
|
|
||||||
\lhead{\@title}
|
|
||||||
\rhead{Seite \thepage von \pageref{LastPage}}
|
|
||||||
}
|
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||||||
\makeatother
|
|
||||||
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|
||||||
\usepackage{fancyhdr}
|
|
||||||
\fancyfoot[C]{}
|
|
||||||
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||||||
\begin{document}
|
|
||||||
\input{Aufgabe1}
|
|
||||||
\input{Aufgabe2}\clearpage
|
|
||||||
\input{Aufgabe3}\clearpage
|
|
||||||
\input{Aufgabe4}
|
|
||||||
\input{Aufgabe5}
|
|
||||||
\end{document}
|
|
||||||
|
|
@ -1,8 +0,0 @@
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||||||
SOURCE = Klausur5
|
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make:
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||||||
pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
|
|
||||||
pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
|
|
||||||
make clean
|
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||||||
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|
||||||
clean:
|
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||||||
rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg
|
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@ -1,88 +0,0 @@
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||||||
\section*{Aufgabe 1}
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||||||
\textbf{Gegeben:}
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\[
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||||||
A = \begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 2 & 3\\
|
|
||||||
2 & 8 & 14\\
|
|
||||||
3 & 14 & 34
|
|
||||||
\end{pmatrix}\]
|
|
||||||
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||||||
\textbf{Aufgabe:} Durch Gauß-Elimination die Cholesky-Zerlegung $A = \overline{L} \overline{L}^T$
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berechnen
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||||||
\begin{align*}
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||||||
A &=
|
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||||||
\begin{gmatrix}[p]
|
|
||||||
1 & 2 & 3\\
|
|
||||||
2 & 8 & 14\\
|
|
||||||
3 & 14 & 34
|
|
||||||
\rowops
|
|
||||||
\add[\cdot (-2)]{0}{1}
|
|
||||||
\add[\cdot (-3)]{0}{2}
|
|
||||||
\end{gmatrix}\\
|
|
||||||
\leadsto
|
|
||||||
L^{(1)} &=
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 0 & 0\\
|
|
||||||
-2 & 1 & 0\\
|
|
||||||
-3 & 0 & 1
|
|
||||||
\end{pmatrix},&
|
|
||||||
A^{(1)} &=
|
|
||||||
\begin{gmatrix}[p]
|
|
||||||
1 & 2 & 3\\
|
|
||||||
0 & 4 & 8\\
|
|
||||||
0 & 8 & 25
|
|
||||||
\rowops
|
|
||||||
\add[\cdot (-2)]{1}{2}
|
|
||||||
\end{gmatrix}\\
|
|
||||||
\leadsto
|
|
||||||
L^{(2)} &=
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 0 & 0\\
|
|
||||||
0 & 1 & 0\\
|
|
||||||
0 & -2 & 1
|
|
||||||
\end{pmatrix},&
|
|
||||||
A^{(2)} &=
|
|
||||||
\begin{gmatrix}[p]
|
|
||||||
1 & 2 & 3\\
|
|
||||||
0 & 4 & 8\\
|
|
||||||
0 & 0 & 9
|
|
||||||
\end{gmatrix} =: R\\
|
|
||||||
L &= (L^{(2)} \cdot L^{(1)})^{-1}\footnotemark
|
|
||||||
&L &= \begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 0 & 0\\
|
|
||||||
2 & 1 & 0\\
|
|
||||||
3 & 2 & 1
|
|
||||||
\end{pmatrix}
|
|
||||||
\end{align*}
|
|
||||||
\footnotetext{Da dies beides Frobeniusmatrizen sind, kann einfach die negierten Elemente unter der Diagonalmatrix auf die Einheitsmatrix addieren um das Ergebnis zu erhalten}
|
|
||||||
|
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||||||
Nun gilt:
|
|
||||||
\begin{align}
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|
||||||
A &= LR = L (DL^T)\\
|
|
||||||
\Rightarrow A &= \underbrace{(L D^\frac{1}{2})}_{=: \overline{L}} (D^\frac{1}{2} L^T)\\
|
|
||||||
\begin{pmatrix}d_1 &0&0\\0&d_2&0\\0&0&d_3\end{pmatrix} \cdot
|
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 2 & 3\\
|
|
||||||
0 & 1 & 2\\
|
|
||||||
0 & 0 & 1
|
|
||||||
\end{pmatrix}
|
|
||||||
&= \begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 2 & 3\\
|
|
||||||
0 & 4 & 8\\
|
|
||||||
0 & 0 & 9
|
|
||||||
\end{pmatrix}\\
|
|
||||||
\Rightarrow D &= \begin{pmatrix}1 &0&0\\0&4&0\\0&0&9\end{pmatrix}\\
|
|
||||||
\Rightarrow D^\frac{1}{2} &= \begin{pmatrix}1 &0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\\
|
|
||||||
\overline{L} &= \begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 0 & 0\\
|
|
||||||
2 & 1 & 0\\
|
|
||||||
3 & 2 & 1
|
|
||||||
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 &0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\\
|
|
||||||
&= \begin{pmatrix}
|
|
||||||
1 & 0 & 0\\
|
|
||||||
2 & 2 & 0\\
|
|
||||||
3 & 4 & 3
|
|
||||||
\end{pmatrix}
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
@ -1,75 +0,0 @@
|
||||||
\section*{Aufgabe 2}
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||||||
\subsection*{Teilaufgabe i}
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||||||
Es gilt:
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|
||||||
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||||||
\begin{align}
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||||||
2x - e^{-x} &= 0\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow 2x &= e^{-x}\\
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
||||||
Offensichtlich ist $g(x) := 2x$ streng monoton steigend und $h(x) := e^{-x}$ streng
|
|
||||||
monoton fallend.
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|
||||||
|
|
||||||
Nun gilt: $g(0) = 0 < 1 = e^0 = h(0)$. Das heißt, es gibt keinen
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|
||||||
Schnittpunkt für $x \leq 0$.
|
|
||||||
|
|
||||||
Außerdem: $g(1) = 2$ und $h(1) = e^{-1} = \frac{1}{e} < 2$.
|
|
||||||
Das heißt, für $x \geq 1$ haben $g$ und $h$ keinen Schnittpunkt.
|
|
||||||
|
|
||||||
Da $g$ und $h$ auf $[0,1]$ stetig sind und $g(0) < h(0)$ sowie $g(1) > h(1)$
|
|
||||||
gilt, müssen sich $g$ und $h$ im Intervall mindestens ein mal schneiden.
|
|
||||||
Da beide Funktionen streng monoton sind, schneiden sie sich genau
|
|
||||||
ein mal.
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|
||||||
|
|
||||||
Ein Schnittpunkt der Funktion $g,h$ ist äquivalent zu einer
|
|
||||||
Nullstelle der Funktion $f$. Also hat $f$ genau eine Nullstelle
|
|
||||||
und diese liegt in $[0,1]$.
|
|
||||||
|
|
||||||
\subsection*{Teilaufgabe ii}
|
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||||||
\begin{align}
|
|
||||||
2x - e^{-x} &= 0\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow 2x &= e^{-x}\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow x &= \frac{1}{2} \cdot e^{-x} = F_1(x) \label{a2iif1}\\
|
|
||||||
\stackrel{x \in \mathbb{R}^+}{\Rightarrow} \ln(2x) &= -x\\
|
|
||||||
\Leftrightarrow x &= - \ln(2x) = F_2(x)\label{a2iif2}
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
||||||
Gleichung \ref{a2iif1} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der
|
|
||||||
Nullstelle von $f$ übereinstimmt.
|
|
||||||
|
|
||||||
Gleichung \ref{a2iif2} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der
|
|
||||||
Nullstelle von $f$ übereinstimmt. Da es nur in $[0,1]$ eine Nullstelle
|
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||||||
gibt (vgl. Teilaufgabe i), ist die Einschränkung von $x$ auf $\mathbb{R}^+$
|
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||||||
irrelevant.
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||||||
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||||||
Man sollte $F_1$ zur Fixpunktiteration verwenden, da $\ln(x)$ nur für
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$x>0$ definiert ist. Bei der Iteration kommt man aber schnell in
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einen Bereich, der nicht erlaubt ist (das erlaubte Intervall ist klein;
|
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||||||
Rechenungenauigkeit)
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||||||
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||||||
$F_1$ ist auf $[0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta = \frac{1}{2}$:
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||||||
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|
||||||
Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ex. ein $\xi \in (a,b)$ mit $ 0 \leq a < b \leq 1$, sodass
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||||||
gilt:
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||||||
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||||||
|
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\begin{align}
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|
||||||
\frac{F(b) - F(a)}{b-a} &= f'(\xi) \\
|
|
||||||
\Leftrightarrow \frac{F(b) - F(a)}{b-a} &= - \frac{1}{2} e^{- \xi} \\
|
|
||||||
\Leftrightarrow \frac{\|F(b) - F(a)\|}{\|b-a\|} &= \frac{1}{2} \frac{1}{e^{\xi}} < \frac{1}{2 e^a} \\
|
|
||||||
\Leftrightarrow \|F(b) - F(a)\| &< \frac{1}{2 e^a} |b-a|\\
|
|
||||||
\Rightarrow \forall x, y \in [0,1]: |F(x) - F(y)| &< \frac{1}{2} |x-y|
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
||||||
Die Ableitung $F_2' = -\frac{1}{x}$. Da $F_2(1) \neq 1$ ist $x^* \neq 1$.
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||||||
Also ist $|F_2'(x^*)| > 1$. Deshalb konvergiert das Iterationsverfahren
|
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||||||
definiert durch $F_2$ nicht gegen $x^*$ für Startwerte ungleich $x^*$.
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||||||
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||||||
Gegen $F_2$ spricht auch, dass $\log$ nur auf $\mathbb{R}^+$ definiert
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||||||
ist. Das kann bei Rundungsfehlern eventuell zu einem Fehler führen.
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||||||
(vgl. Python-Skript)
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||||||
\subsection*{Teilaufgabe iii}
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||||||
\[x_{k+1} = x_k - \frac{2x_k - e^{-x_k}}{2 + e^{-x_k}}\]
|
|
||||||
|
|
||||||
Laut \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x-e%5E(-x)%3D0}{Wolfram|Alpha} ist die Lösung etwa 0.35173371124919582602
|
|
||||||
|
|
@ -1,37 +0,0 @@
|
||||||
\section*{Aufgabe 3}
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||||||
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||||||
\begin{table}[H]
|
|
||||||
\begin{tabular}{l|l|l|l|l}
|
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||||||
$f_i$ & 8 & 3 & 4 & 8 \\ \hline
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|
||||||
$x_i$ & -1 & 0 & 1 & 3 \\
|
|
||||||
\end{tabular}
|
|
||||||
\end{table}
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||||||
|
|
||||||
\subsection*{Teilaufgabe i}
|
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||||||
\begin{align}
|
|
||||||
p(x) = \sum_{i=0}^3 f_i \cdot L_i(x)
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
mit
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||||||
\begin{align}
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|
||||||
L_0(x) &= \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0 - x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}
|
|
||||||
= \ldots = \frac{x^3 - 4x^2 + 3x}{-8} \\
|
|
||||||
L_1(x) &= \frac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{3} \\
|
|
||||||
L_2(x) &= \frac{x^3 - 2x^2 - 3x}{-4} \\
|
|
||||||
L_3(x) &= \frac{x^3 - x}{24}
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
||||||
\subsection*{Teilaufgabe ii}
|
|
||||||
Anordnung der dividierten Differenzen im so genannten Differenzenschema:
|
|
||||||
\begin{table}[H]
|
|
||||||
\begin{tabular}{llll}
|
|
||||||
$f[x_0]=f_0=8$ & ~ & ~ & ~ \\
|
|
||||||
$f[x_1]= 3$ & $f[x_0,x_1] = \frac{f[x_0] - f[x_1]}{x_0-x_1} = -5$ & ~ & ~ \\
|
|
||||||
$f[x_2] = 4$ & $1$ & $3$ & ~ \\
|
|
||||||
$f[x_3] = 8$ & $2$ & $\frac{1}{3}$ & $- \frac{2}{3} $ \\
|
|
||||||
\end{tabular}
|
|
||||||
\end{table}
|
|
||||||
Also:
|
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||||||
\begin{align}
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|
||||||
p(x) &= f[x_0] + f[x_0,x_1] \cdot (x-x_0) + f[x_0, x_1, x_2] \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \\ & + f[x_0, x_1, x_2, x_3] \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \\
|
|
||||||
&= 8 - 5 \cdot (x-x_0) + 3 \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \\ & - \frac{2}{3} \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)
|
|
||||||
\end{align}
|
|
||||||
|
|
@ -1,14 +0,0 @@
|
||||||
\section*{Aufgabe 4}
|
|
||||||
Nach der Substitutionsregel gilt:
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|
||||||
\[\int_{x_2}^{x_3} f(x) \mathrm{d}x = (x_3 - x_2) \cdot \int_0^1 f(x_2 + \tau (b-a)) \mathrm{d} \tau\]
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|
||||||
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||||||
Wenn $f$ ein Polynom vom Grad $q$ war, so ist auch das neue Integral ein Polynom
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vom Grad $q$.
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||||||
Ein Polynom, das vier Punkte interpoliert, hat maximal Grad 3.
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||||||
Da wir das Integral über dieses Polynom im Bereich $[x_2, x_3]$
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||||||
exakt berechnen sollen, muss die Quadraturformel vom Grad $p=4$ sein.
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||||||
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||||||
|
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||||||
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||||||
TODO
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||||||
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@ -1,7 +0,0 @@
|
||||||
\section*{Aufgabe 5}
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||||||
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||||||
Das \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Explizites_Euler-Verfahren}{explizite Euler-Verfahren}
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||||||
dient der numerischen Lösung eines Anfangswertproblems (Differentialgleichungen).
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||||||
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||||||
Wir haben das nicht in der Vorlesung gemacht, also wird das wohl nicht
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||||||
relevant sein.
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||||||
Binary file not shown.
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|
@ -1,51 +0,0 @@
|
||||||
\documentclass[a4paper]{scrartcl}
|
|
||||||
\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
|
|
||||||
\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
|
|
||||||
\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
|
|
||||||
\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf
|
|
||||||
\usepackage{pdfpages} % Signatureinbingung und includepdf
|
|
||||||
\usepackage{geometry} % [margin=2.5cm]layout
|
|
||||||
\usepackage[pdftex]{hyperref} % links im text
|
|
||||||
\usepackage{color}
|
|
||||||
\usepackage{framed}
|
|
||||||
\usepackage{enumerate} % for advanced numbering of lists
|
|
||||||
\usepackage{marvosym} % checkedbox
|
|
||||||
\usepackage{wasysym}
|
|
||||||
\usepackage{braket} % for \Set{}
|
|
||||||
\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
|
|
||||||
\usepackage{gauss}
|
|
||||||
\usepackage{algorithm,algpseudocode}
|
|
||||||
\usepackage{parskip}
|
|
||||||
\usepackage{lastpage}
|
|
||||||
\usepackage{gauss}
|
|
||||||
\usepackage{units}
|
|
||||||
\usepackage{amsthm}
|
|
||||||
\allowdisplaybreaks
|
|
||||||
|
|
||||||
\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
|
|
||||||
\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
|
|
||||||
|
|
||||||
\title{Numerik Klausur 6 - Musterlösung}
|
|
||||||
\makeatletter
|
|
||||||
\AtBeginDocument{
|
|
||||||
\hypersetup{
|
|
||||||
pdfauthor = {Martin Thoma, Peter, Felix},
|
|
||||||
pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
|
|
||||||
pdftitle = {\@title}
|
|
||||||
}
|
|
||||||
\pagestyle{fancy}
|
|
||||||
\lhead{\@title}
|
|
||||||
\rhead{Seite \thepage{} von \pageref{LastPage}}
|
|
||||||
}
|
|
||||||
\makeatother
|
|
||||||
|
|
||||||
\usepackage{fancyhdr}
|
|
||||||
\fancyfoot[C]{}
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{document}
|
|
||||||
\input{Aufgabe1}\clearpage
|
|
||||||
\input{Aufgabe2}\clearpage
|
|
||||||
\input{Aufgabe3}
|
|
||||||
\input{Aufgabe4}
|
|
||||||
\input{Aufgabe5}
|
|
||||||
\end{document}
|
|
||||||
|
|
@ -1,8 +0,0 @@
|
||||||
SOURCE = Klausur6
|
|
||||||
make:
|
|
||||||
pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
|
|
||||||
pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
|
|
||||||
make clean
|
|
||||||
|
|
||||||
clean:
|
|
||||||
rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg
|
|
||||||
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|
@ -1,14 +0,0 @@
|
||||||
from math import exp
|
|
||||||
|
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||||||
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||||||
def iterate(x, times=1):
|
|
||||||
# x = x - (2.0*x - exp(-x))/(2.0+exp(-x)) #Newton
|
|
||||||
x = 0.5*exp(-x) # F_1
|
|
||||||
# x = (-1)*log(2.0*x) #F_2
|
|
||||||
|
|
||||||
if times > 0:
|
|
||||||
x = iterate(x, times-1)
|
|
||||||
|
|
||||||
return x
|
|
||||||
|
|
||||||
print(iterate(0.5, 6))
|
|
||||||
|
|
@ -1,23 +1 @@
|
||||||
Diese Lösungen sind noch im Aufbau.
|
See https://github.com/MartinThoma/KIT-Musterloesungen
|
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||||||
Wenn du einen Fehler findest (auch Textsetzungs- und Rechtschreibfehler
|
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||||||
oder missverständliche Stellen)
|
|
||||||
oder selbst eine Lösung geschrieben hast, kannst du mir eine E-Mail
|
|
||||||
schreiben (info@martin-thoma.de). Oder du machst direkt einen Pull-Request.
|
|
||||||
|
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Credits
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Detailliert in den Commit-Nachrichten, aber die beitragenden waren:
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* Felix Benz-Baladas
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* Martin Thoma
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* Peter Merkert
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Korrektur gelesen
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Da diese Lösungen von Studenten geschrieben wurden, wäre es toll wenn viele
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Leute sie korrektur-lesen würden! Wenn ihr eine **komplette** Klausur
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korrektur-gelesen habt, dann schreibt mir doch bitte eine E-Mail, in der steht
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welche Version (z.B. bae5d05c67191192941ef7b36109aef4e4dd0e07 von Klausur1.pdf)
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ihr korrektur gelesen habt und wo ihr denkt Fehler zu sehen. Diese können wir
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dann gemeinsam besprechen korrigieren.
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@ -1,100 +0,0 @@
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\section*{Aufgabe 31}
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\subsection*{Gesucht:}
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Eine Quadraturformel maximaler Ordnung mit:
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\begin{align}
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s &= 3\\
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c_1 &= 0\\
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c_3 &= 1\\
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\end{align}
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\subsection*{Lösung:}
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Nach Satz 28 können Ordnungen $\geq s = 3$ erreicht werden.
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Die Ordnung kann nach Satz 31 höchstens $2s = 6$ sein. Da $c_1 = 0$
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ist, kann es jedoch keine Gauß-Quadraturformel sein. Also kann
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die Ordnung höchstens $5$ sein.
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\subsubsection*{Ordnung 5}
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Es gibt mindestens zwei Möglichkeiten, zu zeigen, dass es keine
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QF der Ordnung 5 mit den Knoten $c_1 = 0$ und $c_3 = 1$ gibt:
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Mit hilfe von Satz 29 oder über die Ordnungsbedingungen.
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\paragraph*{Mit Satz 29}
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\begin{align}
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M(x) &= (x-c_1) (x-c_2) (x-c_3)\\
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&= x (x-c_2) (x-1)\\
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&= (x^2- x) (x-c_2)\\
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&= x^3 - (1+c_2)x^2 + c_2 x\\
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\int_0^1 M(x) \cdot g(x) \mathrm{d} x &\stackrel{!}{=} 0
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\end{align}
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Da wir Ordnung $5 = s + 2$ erreichen wollen, muss $g$ ein beliebiges
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Polynom vom Grad $\leq 2-1 = 1$ sein. Also:
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\begin{align}
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g(x) &= ax + b\\
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M(x) \cdot g(x) &= ax^4 + (b-a-ac_2)x^3 + (ac_2-bc_2-b)x^2 + b c_2 x\\
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\int_0^1 M(x) g(x) \mathrm{d} x &= \frac{a}{5} + \frac{b-a-ac_2}{4} + \frac{ac_2 - bc_2-b}{3} + \frac{b c_2}{2}\\
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&= \frac{a c_2}{12}-\frac{a}{20}+\frac{b c_2}{6}-\frac{b}{12}\\
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0 &\stackrel{!}{=}\frac{a c_2}{12}-\frac{a}{20}+\frac{b c_2}{6}-\frac{b}{12}\\
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\Leftrightarrow 0 &\stackrel{!}{=} 5 a c_2 - 3a + 10 b c_2 - 5 b\\
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\Leftrightarrow -5 a c_2 - 10 b c_2&\stackrel{!}{=} - 3a - 5 b\\
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\Leftrightarrow 5 a c_2 + 10 b c_2&\stackrel{!}{=} 3a + 5 b\\
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\Leftrightarrow c_2(5 a + 10 b)&\stackrel{!}{=} 3a + 5 b\\
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\Leftrightarrow c_2 &\stackrel{!}{=} \frac{3a + 5 b}{5 a + 10 b}
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\end{align}
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Da diese Bedingung für alle $a, b \in \mathbb{R}$ gelten soll, muss
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sie auf jeden Fall für $a=1, b=0$ sowie für $a=1, b=1$ gelten. Aber:
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\begin{align}
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\frac{2\cdot1+5\cdot0}{5\cdot1+10\cdot0} = \frac{3}{5} &\neq \frac{8}{15} = \frac{3\cdot1+5\cdot1}{5\cdot1+10\cdot1}
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\end{align}
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Offensichtlich gibt also es kein $c_2$, dass diese Bedingung für jedes $a,b \in \mathbb{R}$
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erfüllt. Daher kann es keine Quadraturformel der Ordnung $5$ mit den Knoten
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$0$ und $1$ geben.
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\paragraph*{Mit Ordnungsbedingungen}
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Wir kennen $c_1 = 0$ und $c_3=1$, was die Ordnungsbedingungen
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sehr vereinfacht:
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\begin{align}
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1 &\stackrel{!}{=} b_1 + b_2 + b_3\\
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\nicefrac{1}{2} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2 + b_3 \label{eq:bed2}\\
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\nicefrac{1}{3} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^2 + b_3 \label{eq:bed3}\\
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\nicefrac{1}{4} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^3 + b_3\\
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\nicefrac{1}{5} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^4 + b_3
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\end{align}
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Aus \ref{eq:bed2} folgt:
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\begin{align}
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c_2 &= \frac{\nicefrac{1}{2} - b_3}{b_2}
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\end{align}
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Und damit:
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\begin{align}
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\nicefrac{1}{3} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot \left (\frac{\nicefrac{1}{2} - b_3}{b_2} \right )^2 + b_3\\
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&= \frac{(\nicefrac{1}{2} - b_3)^2}{b_2} + b_3\\
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\Leftrightarrow \frac{1}{3} b_2 - b_2 b_3&= (\nicefrac{1}{2} - b_3)^2\\
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\Leftrightarrow b_2 (\frac{1}{3} - b_3) &= (\nicefrac{1}{2} - b_3)^2\\
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\Leftrightarrow b_2 &= \frac{(\nicefrac{1}{2} - b_3)^2}{\frac{1}{3} - b_3}
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\end{align}
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Nun könnte man das ganze in die 4. Ordnungsbedinung einsetzen \dots aber ich
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glaube nicht, dass das schön wird. Mache das, wer will.
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\subsubsection*{Ordnung 4}
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Die Simpson-Regel erfüllt offensichtlich alle Bedinungen und hat
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Ordnung 4:
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\begin{align}
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c_2 &= \nicefrac{1}{2}\\
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b_1 &= \nicefrac{1}{6}\\
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b_2 &= \nicefrac{4}{6}\\
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b_3 &= \nicefrac{1}{6}
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\end{align}
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Dass die Simpson-Regel Ordnung 4 hat, lässt sich schnell über
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die Ordnungsbedingungen zeigen.
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@ -1,8 +0,0 @@
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SOURCE = UB11
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make:
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pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
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pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
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make clean
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clean:
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rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg
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Binary file not shown.
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@ -1,47 +0,0 @@
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\documentclass[a4paper]{scrartcl}
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\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
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\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
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\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
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\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf
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\usepackage{pdfpages} % Signatureinbingung und includepdf
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\usepackage{geometry} % [margin=2.5cm]layout
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\usepackage[pdftex]{hyperref} % links im text
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\usepackage{color}
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\usepackage{framed}
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\usepackage{enumerate} % for advanced numbering of lists
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\usepackage{marvosym} % checkedbox
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\usepackage{wasysym}
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\usepackage{braket} % for \Set{}
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\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
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\usepackage{gauss}
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\usepackage{algorithm,algpseudocode}
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\usepackage{parskip}
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\usepackage{lastpage}
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\usepackage{gauss}
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\usepackage{units}
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\usepackage{amsthm}
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\allowdisplaybreaks
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\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
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\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
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\title{Numerik Übungsblatt 11 - Musterlösung}
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\makeatletter
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\AtBeginDocument{
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\hypersetup{
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pdfauthor = {Martin Thoma, Peter, Felix},
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pdfkeywords = {Numerik, KIT, Übungsblatt},
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pdftitle = {\@title}
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}
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\pagestyle{fancy}
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\lhead{\@title}
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\rhead{Seite \thepage{} von \pageref{LastPage}}
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}
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||||||
\makeatother
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\usepackage{fancyhdr}
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\fancyfoot[C]{}
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\begin{document}
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\input{Aufgabe31}
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\end{document}
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