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\section*{Aufgabe 5}
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\subsection*{Teilaufgabe a}
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Eine Quadraturformel $(b_i, c_i)_{i=1,\dots,s}$ hat die Ordnung
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$p$, falls sie exakte Lösungenfür alle Polynome vom Grad $\leq p-1$ liefern.\footnote{Kapitel 4, S. 4 des Skripts}
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Die Ordnungsbedinungen liefern ein hinreichendes Kriterium zum Überprüfen
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der Ordnung einer Quadraturformel.
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Für die Mittelpunktsregel $c_1 = \frac{1}{2}, b_1 = 1$ gilt:
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\begin{align}
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\frac{1}{1} &\stackrel{?}{=} b_1 = 1 \text{ \cmark}\\
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\frac{1}{2} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1 = \frac{1}{2} \text{ \cmark}\\
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\frac{1}{3} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^2 = \frac{1}{4} \text{ \xmark}
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\end{align}
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Die Ordnung der Mittelpunktsregel ist also $p=2$.
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\subsection*{Teilaufgabe b}
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\paragraph*{Aufgabe:}
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Das Integral
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\[I = \int_0^1 \frac{1}{1+4x} \mathrm{d}x\]
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soll näherungsweise mit der Mittelpunktsregel, angwendet auf eine
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äquistante Unterteilung des Intervalls $[0,1]$ in zwei Teilintervalle
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angewendet werden.
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\paragraph*{Lösung:}
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\begin{align}
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I &= \int_0^\frac{1}{2} \frac{1}{1+4x} \mathrm{d}x + \int_\frac{1}{2}^1 \frac{1}{1+4x} \mathrm{d}x\\
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&\approx \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+1} + \frac{1}{2} \frac{1}{1+ 4 \cdot \frac{3}{4}} \\
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&= \frac{3}{8}
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\end{align}
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