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find . -type f -name '*.tex' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
were used to do so.
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Martin Thoma
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c578b25d2f
commit
7740f0147f
538 changed files with 3496 additions and 3496 deletions
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@ -7,16 +7,16 @@
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\semester{Wintersemeseter 10/11 und 12/13}
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\scriptstate{complete}
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\author{Die Mitarbeiter von \href{http://mitschriebwiki.nomeata.de/}{mitschriebwiki.nomeata.de}
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\author{Die Mitarbeiter von \href{http://mitschriebwiki.nomeata.de/}{mitschriebwiki.nomeata.de}
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und \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents}{GitHub}}
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\title{Analysis III - Bachelorversion}
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\makeindex
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\hypersetup{
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pdfauthor = {Die Mitarbeiter von mitschriebwiki.nomeata.de und GitHub},
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pdfkeywords = {Analysis},
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pdftitle = {Analysis III}
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}
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\hypersetup{
|
||||
pdfauthor = {Die Mitarbeiter von mitschriebwiki.nomeata.de und GitHub},
|
||||
pdfkeywords = {Analysis},
|
||||
pdftitle = {Analysis III}
|
||||
}
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\begin{document}
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\maketitle
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@ -29,10 +29,10 @@ und \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents}{G
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\chapter*{Vorwort}
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\section*{Über dieses Skriptum}
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Dies ist ein Mitschrieb der Vorlesung \glqq Analysis III\grqq\ von
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Herrn Schmoeger im Wintersemester 2010 an der Universität Karlsruhe
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(KIT). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit ausdrücklicher
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||||
Genehmigung von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger
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Dies ist ein Mitschrieb der Vorlesung \glqq Analysis III\grqq\ von
|
||||
Herrn Schmoeger im Wintersemester 2010 an der Universität Karlsruhe
|
||||
(KIT). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit ausdrücklicher
|
||||
Genehmigung von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger
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ist für den Inhalt nicht verantwortlich.
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Kapitel werden in Beweisen durch "`§"' abgekürzt.
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@ -46,13 +46,13 @@ Im September 2012 wurde das Skript mit der Revisionsnummer 7132 von
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mitschriebwiki auf \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/blob/master/documents/Analysis%20III}{GitHub} hochgeladen.
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\section*{Wo}
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Alle Kapitel inklusive \LaTeX-Quellen können unter
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\href{http://mitschriebwiki.nomeata.de}{mitschriebwiki.nomeata.de}
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||||
Alle Kapitel inklusive \LaTeX-Quellen können unter
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\href{http://mitschriebwiki.nomeata.de}{mitschriebwiki.nomeata.de}
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abgerufen werden.
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Dort ist ein \emph{Wiki} eingerichtet und von Joachim Breitner um die
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Dort ist ein \emph{Wiki} eingerichtet und von Joachim Breitner um die
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\LaTeX-Funktionen erweitert.
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||||
Das heißt, jeder kann Fehler nachbessern und sich an der Entwicklung
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beteiligen. Auf Wunsch ist auch ein Zugang über \emph{Subversion}
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beteiligen. Auf Wunsch ist auch ein Zugang über \emph{Subversion}
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möglich.
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Oder man geht auf \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/blob/master/documents/Analysis%20III/}{github},
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@ -158,7 +158,7 @@ erstellt einen Fork und kann direkt Änderungen umsetzen.
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\textbf{§ 10: Der Satz von Fubini}: Jan Ihrens\\
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\textbf{§ 11: Der Transformationssatz}: Jan Ihrens, Rebecca Schwerdt\\
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\textbf{§ 12: Vorbereitungen für die Integralsätze}: Rebecca Schwerdt\\
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||||
\textbf{§ 13: Der Integralsatz von Gauß\ im \(\mdr^{2}\)}: Benjamin Unger\\
|
||||
\textbf{§ 13: Der Integralsatz von Gauß\ im \(\mdr^{2}\)}: Benjamin Unger\\
|
||||
\textbf{§ 14: Flächen im \(\mdr^{3}\)}: Benjamin Unger\\
|
||||
\textbf{§ 15: Der Integralsatz von Stokes}: Philipp Ost\\
|
||||
\textbf{§ 16: \(\fl^{p}\)-Räume und \(\mathrm{L}^{p}\)-Räume}: Philipp Ost, Rebecca Schwerdt, Peter Pan, Jan Ihrens \\
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||||
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|||
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@ -1,17 +1,17 @@
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|||
In diesem Kapitel seien $X,Y,Z$ Mengen ($\ne\emptyset$) und
|
||||
In diesem Kapitel seien $X,Y,Z$ Mengen ($\ne\emptyset$) und
|
||||
$f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\index{Potenzmenge}
|
||||
\index{Disjunktheit}
|
||||
\item
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\mathcal{P}(X):=\{A:A\subseteq X\}$ heißt
|
||||
\item $\mathcal{P}(X):=\{A:A\subseteq X\}$ heißt
|
||||
\textbf{Potenzmenge} von $X$.
|
||||
\item Sei $\fm\subseteq\mathcal{P}(X)$, so heißt $\fm$
|
||||
\textbf{disjunkt}, genau dann wenn $A\cap B=\emptyset$
|
||||
\item Sei $\fm\subseteq\mathcal{P}(X)$, so heißt $\fm$
|
||||
\textbf{disjunkt}, genau dann wenn $A\cap B=\emptyset$
|
||||
für $A,B\in\fm$ mit $A\ne B$.
|
||||
\item Sei $(A_j)$ eine Folge in $\mathcal{P}(X)$ (also
|
||||
\item Sei $(A_j)$ eine Folge in $\mathcal{P}(X)$ (also
|
||||
$A_j\subseteq X$), so heißt $(A_j)$ \textbf{disjunkt},
|
||||
genau dann wenn $\{A_1,A_2,\dots\}$ disjunkt ist.\\
|
||||
\textbf{Schreibweise}:\\
|
||||
|
|
@ -22,16 +22,16 @@ $f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen.
|
|||
\sum_{j=1}^\infty a_j &=: \sum a_j
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Sei $A\subseteq X$, $\mathds{1}_A : X \rightarrow R$
|
||||
\item Sei $A\subseteq X$, $\mathds{1}_A : X \rightarrow R$
|
||||
definiert durch:
|
||||
\[\mathds{1}_A(x):= \begin{cases}
|
||||
1 &\text{falls } x\in A\\
|
||||
0 &\text{falls } x\in A^c
|
||||
\end{cases}\]
|
||||
wobei $A^c:=X\setminus A$. $\mathds{1}_A$ heißt die
|
||||
\textbf{charakteristische Funktion} oder
|
||||
\textbf{charakteristische Funktion} oder
|
||||
\textbf{Indikatorfunktion von A}.
|
||||
\item Sei $B\subseteq Y$ dann ist $f^{-1}(B):=\{x\in X: f(x)\in B\}$
|
||||
\item Sei $B\subseteq Y$ dann ist $f^{-1}(B):=\{x\in X: f(x)\in B\}$
|
||||
und es gelten folgende Eigenschaften:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f^{-1}(B^c)=f^{-1}(B)^c$
|
||||
|
|
@ -47,12 +47,12 @@ $f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen.
|
|||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{offen}
|
||||
Sei $n \in \mdn$ und $\emptyset \neq X \subseteq \mdr^n$ und
|
||||
Sei $n \in \mdn$ und $\emptyset \neq X \subseteq \mdr^n$ und
|
||||
$A \subseteq X$.
|
||||
|
||||
$A$ heißt $\stackrel{\text{offen}}{\text{abgeschlossen}}$ in
|
||||
$X :\Leftrightarrow \exists B \subseteq \mdr^n$.
|
||||
$B$ ist $\stackrel{\text{offen}}{\text{abgeschlossen}}$ und
|
||||
$A$ heißt $\stackrel{\text{offen}}{\text{abgeschlossen}}$ in
|
||||
$X :\Leftrightarrow \exists B \subseteq \mdr^n$.
|
||||
$B$ ist $\stackrel{\text{offen}}{\text{abgeschlossen}}$ und
|
||||
$A = B \cap X$
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
|
|
@ -61,18 +61,18 @@ $f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen.
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|||
$f: X \rightarrow \mdr^n$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A$ ist offen in $X \Leftrightarrow \forall x \in A$
|
||||
\item $A$ ist offen in $X \Leftrightarrow \forall x \in A$
|
||||
ex. eine Umgebung $U$ von $x$ mit $U \cap X \subseteq A$
|
||||
\item $A$ ist abgeschlossen in $X$\\
|
||||
$\Leftrightarrow X \setminus A$ ist offen in $X$\\
|
||||
$\Leftrightarrow$ für jede konvergente Folge $(a_k)$
|
||||
$\Leftrightarrow$ für jede konvergente Folge $(a_k)$
|
||||
in $A$ mit $\lim a_k \in X$ ist $\lim a_k \in A$
|
||||
\item Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f \in C(X, \mdr^m)$
|
||||
\item für jede offene Menge $B \subseteq \mdr^m$ ist
|
||||
\item für jede offene Menge $B \subseteq \mdr^m$ ist
|
||||
$f^{-1}(B)$ offen in $X$
|
||||
\item für jede abgeschlossene Menge $B \subseteq \mdr^m$ ist
|
||||
\item für jede abgeschlossene Menge $B \subseteq \mdr^m$ ist
|
||||
$f^{-1}(B)$ abgeschlossen in $X$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
|
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|||
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@ -2,7 +2,7 @@ In diesem Kapitel sei $X \neq \emptyset$ eine Menge.
|
|||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{$\sigma$-!Algebra}
|
||||
Sei $\fa\subseteq\mathcal{P}(X)$, $\fa$ heißt eine
|
||||
Sei $\fa\subseteq\mathcal{P}(X)$, $\fa$ heißt eine
|
||||
\textbf{$\sigma$-Algebra} auf $X$, wenn gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item[($\sigma_1$)] $X\in\fa$
|
||||
|
|
@ -14,11 +14,11 @@ In diesem Kapitel sei $X \neq \emptyset$ eine Menge.
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|||
|
||||
\begin{beispieleX}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\Set{X,\emptyset}$ und $\mathcal{P}(X)$ sind
|
||||
\item $\Set{X,\emptyset}$ und $\mathcal{P}(X)$ sind
|
||||
$\sigma$-Algebren auf $X$.
|
||||
\item Sei $A\subseteq X$, dann ist $\Set{X,\emptyset, A, A^c}$
|
||||
\item Sei $A\subseteq X$, dann ist $\Set{X,\emptyset, A, A^c}$
|
||||
eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
|
||||
\item $\fa:=\Set{A\subseteq X | A \text{ abzählbar oder } A^c \text{ abzählbar}}$
|
||||
\item $\fa:=\Set{A\subseteq X | A \text{ abzählbar oder } A^c \text{ abzählbar}}$
|
||||
ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beispieleX}
|
||||
|
|
@ -41,13 +41,13 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
|
|||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \folgtnach{$\sigma_2$} $\emptyset=X^c\in\fa$.
|
||||
\item $D:=\bigcap A_j$. $D^c=\bigcup A_j^c\in\fa$ (nach
|
||||
($\sigma_2$) und ($\sigma_3$)), also gilt auch
|
||||
\item $D:=\bigcap A_j$. $D^c=\bigcup A_j^c\in\fa$ (nach
|
||||
($\sigma_2$) und ($\sigma_3$)), also gilt auch
|
||||
$D=(D^c)^c\in\fa$.
|
||||
\item \begin{enumerate}
|
||||
\item \folgtnach{($\sigma_3$) mit $A_{n+j}:=\emptyset$ ($j\ge 1$)}
|
||||
\item \folgtnach{($\sigma_3$) mit $A_{n+j}:=\emptyset$ ($j\ge 1$)}
|
||||
$A_1\cup\dots\cup A_n\in\fa$.
|
||||
\item \folgtnach{(2) mit $A_{n+j}:=X$ ($j\ge 1)$}
|
||||
\item \folgtnach{(2) mit $A_{n+j}:=X$ ($j\ge 1)$}
|
||||
$A_1\cap\dots\cap A_n\in\fa$.
|
||||
\item $A_1\setminus A_2=A_1\cap A_2^c\in\fa$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
|
@ -56,8 +56,8 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
|
|||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{Lemma 1.2}
|
||||
Sei $\cf \neq \emptyset$ eine Menge von $\sigma$-Algebren auf $X$.
|
||||
Dann ist
|
||||
Sei $\cf \neq \emptyset$ eine Menge von $\sigma$-Algebren auf $X$.
|
||||
Dann ist
|
||||
\[\fa_0:=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\]
|
||||
eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
|
@ -70,7 +70,7 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
|
|||
\forall\fa\in\cf:A\in\fa &\implies \forall\fa\in\cf:A^c\in\fa\\
|
||||
&\implies A^c\in\fa_0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item[($\sigma_3$)] Sei $(A_j)$ eine Folge in $\fa_0$, dann
|
||||
\item[($\sigma_3$)] Sei $(A_j)$ eine Folge in $\fa_0$, dann
|
||||
ist $(A_j)$ Folge in $\fa$ für alle $\fa\in\cf$, dann gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\forall\fa\in\cf:\bigcap A_j\in\fa \implies \bigcap A_j\in\fa_0
|
||||
|
|
@ -80,14 +80,14 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
|
|||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Erzeuger}
|
||||
Sei $\emptyset \neq \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$ und
|
||||
$\cf:=\{\fa:\fa$ ist $\sigma$-Algebra auf $X$ mit
|
||||
Sei $\emptyset \neq \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$ und
|
||||
$\cf:=\{\fa:\fa$ ist $\sigma$-Algebra auf $X$ mit
|
||||
$\mathcal{E}\subseteq\fa\}$. Definiere
|
||||
\[\sigma(\mathcal{E}):=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\]
|
||||
\folgtnach{1.2} $\sigma(\mathcal{E})$ ist eine $\sigma$-Algebra
|
||||
auf $X$. $\sigma(\mathcal{E})$ heißt die
|
||||
\textbf{von $\mathcal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra}.
|
||||
$\mathcal{E}$ heißt ein \textbf{Erzeuger} von
|
||||
\folgtnach{1.2} $\sigma(\mathcal{E})$ ist eine $\sigma$-Algebra
|
||||
auf $X$. $\sigma(\mathcal{E})$ heißt die
|
||||
\textbf{von $\mathcal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra}.
|
||||
$\mathcal{E}$ heißt ein \textbf{Erzeuger} von
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
|
|
@ -95,12 +95,12 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
|
|||
\label{Lemma 1.3}
|
||||
Sei $\emptyset\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\mathcal{E}\subseteq\sigma(\mathcal{E})$.
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})$ ist die "`kleinste"'
|
||||
\item $\mathcal{E}\subseteq\sigma(\mathcal{E})$.
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})$ ist die "`kleinste"'
|
||||
$\sigma$-Algebra auf $X$, die $\mathcal{E}$ enthält.
|
||||
\item Ist $\mathcal{E}$ eine $\sigma$-Algebra, so ist
|
||||
\item Ist $\mathcal{E}$ eine $\sigma$-Algebra, so ist
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{E}$.
|
||||
\item Ist $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'$, so ist
|
||||
\item Ist $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'$, so ist
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
|
@ -108,19 +108,19 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
|
|||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Klar nach Definition.
|
||||
\item $\fa:=\mathcal{E}$, dann gilt
|
||||
\item $\fa:=\mathcal{E}$, dann gilt
|
||||
$\fa\subseteq\sigma(\mathcal{E})\subseteq\fa$.
|
||||
\item $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$,
|
||||
also folgt nach Definition
|
||||
\item $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$,
|
||||
also folgt nach Definition
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $A\subseteq X$ und $\mathcal{E}:=\{A\}$. Dann ist
|
||||
\item Sei $A\subseteq X$ und $\mathcal{E}:=\{A\}$. Dann ist
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})=\{X,\emptyset,A,A^c\}$.
|
||||
\item $X:=\{1,2,3,4,5\}, \mathcal{E}:=\{\{1\},\{1,2\}\}$.
|
||||
\item $X:=\{1,2,3,4,5\}, \mathcal{E}:=\{\{1\},\{1,2\}\}$.
|
||||
Dann gilt:
|
||||
\[\sigma(\mathcal{E}):=\{X,\emptyset, \{1\},\{2\},\{1,2\},\{3,4,5\},\{1,3,4,5\},\{2,3,4,5\}\}\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
|
@ -128,11 +128,11 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
|
|||
|
||||
\begin{erinnerung}
|
||||
\index{Offenheit}\index{Abgeschlossenheit}
|
||||
Sei $d\in\mdn, X\subseteq\mdr^d$. $A\subseteq X$ heißt
|
||||
\textbf{offen} (\textbf{abgeschlossen}) in $X$, genau dann wenn
|
||||
ein offenes (abgeschlossenes) $G\subseteq\mdr^d$ existiert mit
|
||||
Sei $d\in\mdn, X\subseteq\mdr^d$. $A\subseteq X$ heißt
|
||||
\textbf{offen} (\textbf{abgeschlossen}) in $X$, genau dann wenn
|
||||
ein offenes (abgeschlossenes) $G\subseteq\mdr^d$ existiert mit
|
||||
$A=X\cap G$.\\
|
||||
Beachte: $A$ abgeschlossen in $X$ $\iff$ $X\setminus A$ offen in
|
||||
Beachte: $A$ abgeschlossen in $X$ $\iff$ $X\setminus A$ offen in
|
||||
$X$.
|
||||
\end{erinnerung}
|
||||
|
||||
|
|
@ -142,27 +142,27 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
|
|||
Sei $X\subseteq\mdr^d$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\mathcal{O}(X):=\Set{A\subseteq X | A \text{ ist offen in } X}$
|
||||
\item $\fb(X):=\sigma(\mathcal{O}(X))$ heißt
|
||||
\item $\fb(X):=\sigma(\mathcal{O}(X))$ heißt
|
||||
\textbf{Borelsche $\sigma$-Algebra} auf $X$.
|
||||
\item $\fb_d:=\fb(\mdr^d)$. Die Elemente von $\fb_d$ heißen
|
||||
\item $\fb_d:=\fb(\mdr^d)$. Die Elemente von $\fb_d$ heißen
|
||||
\textbf{Borelsche Mengen} oder \textbf{Borel-Mengen}.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $\emptyset \neq X\subseteq\mdr^d$. Ist $A\subseteq$
|
||||
\item Sei $\emptyset \neq X\subseteq\mdr^d$. Ist $A\subseteq$
|
||||
$\stackrel{\hbox{offen}}{\hbox{abgeschlossen}}$
|
||||
in $X$, so ist $A\in\fb(X)$.
|
||||
\item Ist $A\subseteq\mdr^d$
|
||||
\item Ist $A\subseteq\mdr^d$
|
||||
$\stackrel{\hbox{offen}}{\hbox{abgeschlossen}}$,
|
||||
so ist $A\in\fb_d$.
|
||||
\item Sei $d=1, A=\mdq$. $\mdq$ ist abzählbar, also
|
||||
$\mdq=\{r_1,r_2,\dots\}$ (mit $r_i\ne r_j$ für $i\ne j$).
|
||||
Also ist $\mdq=\bigcup \{r_j\}$. Sei nun $r\in\mdq$,
|
||||
dann ist $B:=(-\infty,r)\cup(r,\infty)\in\fb_1$. Daraus
|
||||
\item Sei $d=1, A=\mdq$. $\mdq$ ist abzählbar, also
|
||||
$\mdq=\{r_1,r_2,\dots\}$ (mit $r_i\ne r_j$ für $i\ne j$).
|
||||
Also ist $\mdq=\bigcup \{r_j\}$. Sei nun $r\in\mdq$,
|
||||
dann ist $B:=(-\infty,r)\cup(r,\infty)\in\fb_1$. Daraus
|
||||
folgt $\{r_j\}\in\fb_1$, also auch $\mdq\in\fb_1$.\\
|
||||
Allgemeiner lässt sich zeigen:
|
||||
Allgemeiner lässt sich zeigen:
|
||||
$\mdq^d:=\{(x_1,\dots,x_n):x_j\in\mdq (j=1,\dots,n)\}\in\fb_d$.
|
||||
\item Sei $x_0 \in \mdr^d, \Set{x_0}$ ist abgeschlossen
|
||||
$\Rightarrow \Set{x_0} \in \fb$
|
||||
|
|
@ -173,8 +173,8 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
|
|||
\index{Intervall}
|
||||
\index{Halbraum}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Seien $I_1,\dots,I_d$ Intervalle in $\mdr$.
|
||||
Dann heißt $I_1\times\dots\times I_d$ ein \textbf{Intervall}
|
||||
\item Seien $I_1,\dots,I_d$ Intervalle in $\mdr$.
|
||||
Dann heißt $I_1\times\dots\times I_d$ ein \textbf{Intervall}
|
||||
in $\mdr^d$.
|
||||
\item Seien $a=(a_1,\dots,a_d), b=(b_1,\dots,b_d)\in\mdr^d$.
|
||||
\[a\le b:\iff a_j\le b_j \quad \forall j \in \Set{1, \dots, d}\]
|
||||
|
|
@ -185,9 +185,9 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
|
|||
[a,b) &:= [a_1,b_1)\times[a_2,b_2)\times\dots\times[a_d,b_d)\\
|
||||
[a,b] &:= [a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\dots\times[a_d,b_d]
|
||||
\end{align*}
|
||||
mit der Festlegung $(a,b):=(a,b]:=[a,b):=\emptyset$, falls
|
||||
mit der Festlegung $(a,b):=(a,b]:=[a,b):=\emptyset$, falls
|
||||
$a_j=b_j$ für ein $j\in\{1,\dots,d\}$.
|
||||
\item Für $k\in\{1,\dots,d\}$ und $\alpha\in\mdr$ definiere die
|
||||
\item Für $k\in\{1,\dots,d\}$ und $\alpha\in\mdr$ definiere die
|
||||
folgenden \textbf{Halbräume}:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
H_k^-(\alpha) &:= \Set{(x_1,\dots,x_d)\in\mdr^d:x_k\le\alpha}\\
|
||||
|
|
@ -211,7 +211,7 @@ die beiden Halbräume:\\
|
|||
|
||||
\fill[green!15] (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- (a);
|
||||
|
||||
% Draw lines indicating intersection with y and x axis. Here we
|
||||
% Draw lines indicating intersection with y and x axis. Here we
|
||||
% use the perpendicular coordinate system
|
||||
\draw[dotted] (yaxis |- a) node[left] {$a_2$}
|
||||
-| (xaxis -| a) node[below] {$a_1$};
|
||||
|
|
@ -274,10 +274,10 @@ Entsprechendes gilt für die anderen Typen von Intervallen und Halbräumen.
|
|||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\[\fb_d
|
||||
\stackrel{(1)}{\subseteq} \sigma(\ce_1)
|
||||
\stackrel{(2)}{\subseteq} \sigma(\ce_2)
|
||||
\stackrel{(3)}{\subseteq} \sigma(\ce_3)
|
||||
\[\fb_d
|
||||
\stackrel{(1)}{\subseteq} \sigma(\ce_1)
|
||||
\stackrel{(2)}{\subseteq} \sigma(\ce_2)
|
||||
\stackrel{(3)}{\subseteq} \sigma(\ce_3)
|
||||
\stackrel{(4)}{\subseteq} \fb_d
|
||||
\]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
|
@ -293,57 +293,57 @@ Entsprechendes gilt für die anderen Typen von Intervallen und Halbräumen.
|
|||
\[\exists N\in\mdn:\forall n\ge N: \forall j\in\{1,\dots,d\}:a_j<b_j-\frac1n\]
|
||||
Definiere $c_n:=(\frac1n,\dots,\frac1n)\in\mdq^d$. Dann gilt:
|
||||
\[(a,b)=\bigcup_{n\ge N}(a,b-c_n]\in\sigma(\ce_2)\]
|
||||
Also auch $\ce_1\subseteq\sigma(\ce_2)$ und damit
|
||||
Also auch $\ce_1\subseteq\sigma(\ce_2)$ und damit
|
||||
$\sigma(\ce_1)\subseteq\sigma(\ce_2)$.
|
||||
\item Seien $a = (a_1,\dots,a_d), b=(b_1,\dots,b_d) \in \mdq^d$
|
||||
mit $a \leq b$.
|
||||
\item Seien $a = (a_1,\dots,a_d), b=(b_1,\dots,b_d) \in \mdq^d$
|
||||
mit $a \leq b$.
|
||||
Nachrechnen:
|
||||
\[(a,b] = \bigcap_{k=1}^d (H^-_k(b_k) \cap H^-_k(a_k)^c) \in \sigma(\ce_3). \]
|
||||
Das heißt $\ce_2 \subseteq \sigma(\ce_3)$ und damit auch
|
||||
$\sigma(\ce_2) \subseteq \sigma(\ce_3)$.
|
||||
\item $H^-_k(\alpha)$ ist abgeschlossen, somit ist
|
||||
$H^-_k(\alpha)^c$ offen und damit $H^-_k(\alpha)^c \in \fb_d$,
|
||||
also auch $H^-_k(\alpha) \in \fb_d$. Damit ist
|
||||
$\ce_3 \subseteq \fb_d \implies \sigma(\ce_3) \subseteq \fb_d$.
|
||||
Das heißt $\ce_2 \subseteq \sigma(\ce_3)$ und damit auch
|
||||
$\sigma(\ce_2) \subseteq \sigma(\ce_3)$.
|
||||
\item $H^-_k(\alpha)$ ist abgeschlossen, somit ist
|
||||
$H^-_k(\alpha)^c$ offen und damit $H^-_k(\alpha)^c \in \fb_d$,
|
||||
also auch $H^-_k(\alpha) \in \fb_d$. Damit ist
|
||||
$\ce_3 \subseteq \fb_d \implies \sigma(\ce_3) \subseteq \fb_d$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Spur}
|
||||
Sei $\emptyset \neq \fm \subseteq \mathcal{P}(X)$ und
|
||||
$\emptyset \neq Y \subseteq X$.
|
||||
\[\fm_Y := \{A \cap Y : A \in \fm\}\]
|
||||
Sei $\emptyset \neq \fm \subseteq \mathcal{P}(X)$ und
|
||||
$\emptyset \neq Y \subseteq X$.
|
||||
\[\fm_Y := \{A \cap Y : A \in \fm\}\]
|
||||
heißt die \textbf{Spur von $\fm$ in $Y$}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
$X = \mdr^d, \fm \subseteq \sigma(\mdr^d), \; Y \subseteq X$.
|
||||
$X = \mdr^d, \fm \subseteq \sigma(\mdr^d), \; Y \subseteq X$.
|
||||
Dann: $(\co(\mdr^d))_Y = \sigma(Y)$
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Spuren und $\sigma$-Algebren]
|
||||
\label{Satz 1.5}
|
||||
Sei $\emptyset \neq Y \subseteq X$ und $\fa$ eine
|
||||
Sei $\emptyset \neq Y \subseteq X$ und $\fa$ eine
|
||||
$\sigma$-Algebra auf $X$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\fa_Y$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $Y$.
|
||||
\item $\fa_Y \subseteq \fa \iff Y \in \fa$
|
||||
\item Ist $\emptyset \neq \ce \subseteq \mathcal{P}(X)$, so
|
||||
\item Ist $\emptyset \neq \ce \subseteq \mathcal{P}(X)$, so
|
||||
ist $\sigma(\ce_Y) = \sigma(\ce)_Y$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item[($\sigma_1$)] Es ist $Y=Y\cap X\in\fa_Y$, da $X\in\fa$.
|
||||
\item[($\sigma_2$)] Sei $B\in\fa_Y$, dann existiert ein
|
||||
\item[($\sigma_2$)] Sei $B\in\fa_Y$, dann existiert ein
|
||||
$A\in\fa$ mit $B=A\cap Y$.\\
|
||||
Also ist
|
||||
Also ist
|
||||
$Y\setminus B=\overbrace{(X\setminus A)}^{\in\fa} \cap Y\in\fa_Y$.
|
||||
\item[($\sigma_3$)] Sei $(B_j)$ eine Folge in $\fa_Y$, dann
|
||||
existiert eine Folge $(A_j)\in\fa^\mdn$
|
||||
\item[($\sigma_3$)] Sei $(B_j)$ eine Folge in $\fa_Y$, dann
|
||||
existiert eine Folge $(A_j)\in\fa^\mdn$
|
||||
mit $B_j=A_j\cap Y$. Es gilt:
|
||||
\[\bigcup B_j=\bigcup(A_j\cap Y)=(\bigcup A_j)\cap Y\in\fa_Y\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
|
@ -392,10 +392,10 @@ Außerdem sei $[0,+\infty]:=[0,\infty)\cup\{+\infty\}$.
|
|||
\begin{cases}
|
||||
\exists n \in \mdn \text{ mit } a_n = +\infty \text{ oder }\\
|
||||
\sum a_n \text{ divergiert}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Wegen Ana I, 13.1 können Reihen der obigen Form beliebig umgeordnet
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Wegen Ana I, 13.1 können Reihen der obigen Form beliebig umgeordnet
|
||||
werden, ohne dass sich ihr Wert verändert.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
|
|
@ -405,13 +405,13 @@ werden, ohne dass sich ihr Wert verändert.
|
|||
\index{Maßraum}
|
||||
\index{Maß!endliches}
|
||||
\index{Wahrscheinlichkeitsmaß}\index{Maß!Wahrscheinlichkeits-}
|
||||
Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$ und $\mu:\fa\to[0,+\infty]$
|
||||
eine Abbildung. $\mu$ heißt ein \textbf{Maß} auf $\fa$, genau dann
|
||||
Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$ und $\mu:\fa\to[0,+\infty]$
|
||||
eine Abbildung. $\mu$ heißt ein \textbf{Maß} auf $\fa$, genau dann
|
||||
wenn gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item[$(M_1)$] $\mu(\emptyset)=0$
|
||||
\item[$(M_2)$] Ist $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fa$, so ist
|
||||
$\mu(\bigcup A_j)=\sum\mu(A_j)$. Diese Eigenschaft heißt
|
||||
\item[$(M_2)$] Ist $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fa$, so ist
|
||||
$\mu(\bigcup A_j)=\sum\mu(A_j)$. Diese Eigenschaft heißt
|
||||
\textbf{$\sigma$-Additivität}.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
In diesem Fall heißt $(X,\fa,\mu)$ ein \textbf{Maßraum}.\\
|
||||
|
|
@ -424,7 +424,7 @@ Ein Maß $\mu$ heißt ein \textbf{Wahrscheinlichkeitsmaß} $:\Leftrightarrow\mu(
|
|||
\index{Dirac-Maß}\index{Maß!Dirac-}
|
||||
\index{Zählmaß}\index{Maß!Zähl-}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $\fa:=\cp(X)$ und $x_0\in X$.
|
||||
\item Sei $\fa:=\cp(X)$ und $x_0\in X$.
|
||||
$\delta_{x_0}:\fa\to[0,+\infty]$ sei definiert durch:
|
||||
\[\delta_{x_0}(A):=
|
||||
\begin{cases}
|
||||
|
|
@ -438,36 +438,36 @@ Ein Maß $\mu$ heißt ein \textbf{Wahrscheinlichkeitsmaß} $:\Leftrightarrow\mu(
|
|||
1,\ x_0\in\bigcup A_j\\
|
||||
0,\ x_0\not\in\bigcup A_j
|
||||
\end{cases}\right\}=\sum\delta_{x_0}(A_j)\]
|
||||
$\delta_{x_0}$ ist ein Maß auf $\fa$ und heißt
|
||||
$\delta_{x_0}$ ist ein Maß auf $\fa$ und heißt
|
||||
\textbf{Punktmaß} oder \textbf{Dirac-Maß}.
|
||||
\item Sei $X:=\mdn$, $\fa:=\cp(X)$ und $(p_j)$ eine Folge in
|
||||
\item Sei $X:=\mdn$, $\fa:=\cp(X)$ und $(p_j)$ eine Folge in
|
||||
$[0,+\infty]$. Definiere $\mu:\fa\to[0,+\infty]$ durch:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\text{Für } A \in \fa: \quad
|
||||
\text{Für } A \in \fa: \quad
|
||||
\mu(A):=
|
||||
\begin{cases}
|
||||
0 &\text{, falls } A=\emptyset\\
|
||||
\sum_{j\in A}p_j &\text{, falls } A\ne\emptyset
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Übung: $\mu$ ist ein Maß auf $\fa=\cp(\mdn)$ und heißt ein \textbf{Zählmaß}.
|
||||
Sind alle $p_j=1$, so ist $\mu(A)$ gerade die Anzahl der
|
||||
Übung: $\mu$ ist ein Maß auf $\fa=\cp(\mdn)$ und heißt ein \textbf{Zählmaß}.
|
||||
Sind alle $p_j=1$, so ist $\mu(A)$ gerade die Anzahl der
|
||||
Elemente von $A$.
|
||||
\item Sei $(X,\fa,\mu)$ ein Maßraum, $\emptyset\ne Y\subseteq X$
|
||||
und $\fa_0\subseteq\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $Y$.
|
||||
Definiere $\mu_0:\fa_0\to[0,+\infty]$ durch
|
||||
\item Sei $(X,\fa,\mu)$ ein Maßraum, $\emptyset\ne Y\subseteq X$
|
||||
und $\fa_0\subseteq\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $Y$.
|
||||
Definiere $\mu_0:\fa_0\to[0,+\infty]$ durch
|
||||
$\mu_0(A):=\mu(A)$ ($A\in\fa_0$).\\
|
||||
Dann ist
|
||||
Dann ist
|
||||
$(Y,\fa_0,\mu_0)$ ein Maßraum.\\
|
||||
Ist spezieller $Y\in\fa$, so ist $\fa_0:=\fa_Y\subseteq\fa$
|
||||
und man definiert $\mu_{|Y}:\fa_Y\to[0,+\infty]$ durch
|
||||
Ist spezieller $Y\in\fa$, so ist $\fa_0:=\fa_Y\subseteq\fa$
|
||||
und man definiert $\mu_{|Y}:\fa_Y\to[0,+\infty]$ durch
|
||||
$\mu_{|Y}(A):=\mu(A)$ ist ein Maß auf $\fa_Y$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 1.7}
|
||||
\((X,\fa,\mu)\) sei ein Maßraum, es seien \(A,B\in\fa\) und
|
||||
\((X,\fa,\mu)\) sei ein Maßraum, es seien \(A,B\in\fa\) und
|
||||
\((A_{j})\) sei eine Folge in \(\fa\). Dann:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(A\subseteq B\,\implies\,\mu(A)\leq\mu(B)\)
|
||||
|
|
@ -481,7 +481,7 @@ Ein Maß $\mu$ heißt ein \textbf{Wahrscheinlichkeitsmaß} $:\Leftrightarrow\mu(
|
|||
\end{satz}
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
% Eigentlich muesste es in folgender Zeile statt B=(B\setminus A)\cup A korrekt
|
||||
% Eigentlich muesste es in folgender Zeile statt B=(B\setminus A)\cup A korrekt
|
||||
% heissen: B=(B\setminus A)\cupdot A -- Spaeter
|
||||
\item[(1)-(3)] \(B=(B\setminus A)\cup A\). Dann: \(\mu(B)=\underbrace{\mu(B\setminus A)}_{\geq0}+\mu(A)\geq\mu(A)\)
|
||||
\item[(4)] % Das muesste jetzt eigentlich Punkt 4 sein
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -7,7 +7,7 @@ Für \(x\in\mdr^k\):
|
|||
\[F(x):=\int_{\mdr^l}f(x,y)\,dy=\int_{\mdr^l}f^x(y)\,dy\]
|
||||
Für \(y\in\mdr^l\):
|
||||
\[G(y):=\int_{\mdr^k}f(x,y)\,dx=\int_{\mdr^k}f_y(x)\,dx\]
|
||||
Dann sind $F,G$ messbar und
|
||||
Dann sind $F,G$ messbar und
|
||||
\[\int_{\mdr^d}f(z)\,dz=\int_{\mdr^k}F(x)\,dx=\int_{\mdr^l}G(y)\,dy\]
|
||||
also
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|
|
@ -26,7 +26,7 @@ Für \(x\in\mdr^k\) und \(\natn\) gilt:
|
|||
und nach Fall 2 ist \(F_n\) messbar. \\
|
||||
Aus \(0\leq f_n\leq f_{n+1}\) folgt \(0\leq F_n\leq F_{n+1}\) und \ref{Satz 4.6} liefert \(F_n\to F\) auf \(\mdr^k\). Dann gilt
|
||||
\[\int_{\mdr^d}f(z)\,dz = \lim \int_{\mdr^d}f_n(z)\,dz \overset{Fall 2}= \lim \int_{\mdr^k}F_n(x)\,dx \overset{\ref{Satz 4.6}}=\int_{\mdr^k}F(x)\,dx\]
|
||||
Genauso zeigt man
|
||||
Genauso zeigt man
|
||||
\[\int_{\mdr^d}(f(z)\,dz=\int_{\mdr^l}G(y)\,dy\]
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
|
|
@ -35,7 +35,7 @@ Genauso zeigt man
|
|||
Es sei \(f\colon\mdr^d\to\imdr\) integrierbar. Dann existieren Nullmengen \(M\subseteq\mdr^k\) und \(N\subseteq\mdr^l\) mit
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f^x\colon\mdr^l\to\imdr \text{ ist integrierbar für jedes } x\in\mdr^k\setminus M \\
|
||||
f_y\colon\mdr^k\to\imdr \text{ ist integrierbar für jedes } y\in\mdr^l\setminus N
|
||||
f_y\colon\mdr^k\to\imdr \text{ ist integrierbar für jedes } y\in\mdr^l\setminus N
|
||||
\end{align*}
|
||||
Setze
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|
|
@ -60,22 +60,22 @@ Es gilt also wieder \((\ast)\) aus \ref{Satz 10.1}.
|
|||
Wir zeigen nur die Aussagen über \(f^x\), $F$ und die erste der obigen beiden Gleichungen. Genauso zeigt man die Aussagen über \(f_n, G\) und die zweite Gleichung.\\
|
||||
Aus \ref{Lemma 8.1} folgt, dass \(f^x\) messbar ist. Definiere
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Phi(x) := \int_{\mdr^l}\lvert f^x(y)\rvert\,dy
|
||||
= \int_{\mdr^l}\lvert f(x,y)\rvert\,dy \ \text{ für } x\in\mdr^k
|
||||
\Phi(x) := \int_{\mdr^l}\lvert f^x(y)\rvert\,dy
|
||||
= \int_{\mdr^l}\lvert f(x,y)\rvert\,dy \ \text{ für } x\in\mdr^k
|
||||
\end{align*}
|
||||
Nach \ref{Satz 10.1} ist \(\Phi\) messbar und
|
||||
Nach \ref{Satz 10.1} ist \(\Phi\) messbar und
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_{\mdr^k}\Phi(x)\,dx
|
||||
= \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l}\lvert f(x,y)\rvert\,dy\right)dx \overset{\ref{Satz 10.1}}
|
||||
= \int_{\mdr^d}\lvert f(z)\rvert\,dz
|
||||
\int_{\mdr^k}\Phi(x)\,dx
|
||||
= \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l}\lvert f(x,y)\rvert\,dy\right)dx \overset{\ref{Satz 10.1}}
|
||||
= \int_{\mdr^d}\lvert f(z)\rvert\,dz
|
||||
< \infty
|
||||
\end{align*}
|
||||
(denn mit $f$ ist nach \ref{Satz 4.9} auch \(\lvert f\rvert\) integrierbar). Somit ist \(\Phi\) integrierbar.
|
||||
Setze \(M:=\{\Phi = \infty \}\) was nach \ref{Satz 4.10} eine Nullmenge ist.
|
||||
Setze \(M:=\{\Phi = \infty \}\) was nach \ref{Satz 4.10} eine Nullmenge ist.
|
||||
Also gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_{\mdr^l}\lvert f^x(y)\rvert\,dy
|
||||
= \Phi(x) < \infty \ \text{ für jedes } x\in\mdr^k\setminus M
|
||||
\int_{\mdr^l}\lvert f^x(y)\rvert\,dy
|
||||
= \Phi(x) < \infty \ \text{ für jedes } x\in\mdr^k\setminus M
|
||||
\end{align*}
|
||||
Das heißt, \(\lvert f^x\rvert\) ist für jedes \(x\in\mdr^k\setminus M\) integrierbar und es gilt nach \ref{Satz 4.9} auch
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|
|
@ -90,22 +90,22 @@ Setze
|
|||
0 &\text{, falls } z\in M\times\mdr^l
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Aus \ref{Lemma 9.3} folgt, dass \(\tilde f\) messbar ist. Klar ist, dass fast überall \(f=\tilde f\) gilt. Es ist
|
||||
Aus \ref{Lemma 9.3} folgt, dass \(\tilde f\) messbar ist. Klar ist, dass fast überall \(f=\tilde f\) gilt. Es ist
|
||||
\[\tilde f^x = \left(\mathds{1}_{(M\times\mdr^l)^C}\cdot f\right)^x\]
|
||||
Das heißt \(\tilde f^x\) ist integrierbar für jedes \(x\in\mdr^k\). Dann gilt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
F(x) \overset{\ref{Satz 5.3}}
|
||||
= \int_{\mdr^l}\tilde f(x,y)\,dy
|
||||
= \underbrace{\int_{\mdr^l}\tilde f_+ (x,y)\,dy}_{=:F^+(x)} - \underbrace{\int_{\mdr^l}\tilde f_- (x,y)\,dy}_{=:F^-(x)}
|
||||
F(x) \overset{\ref{Satz 5.3}}
|
||||
= \int_{\mdr^l}\tilde f(x,y)\,dy
|
||||
= \underbrace{\int_{\mdr^l}\tilde f_+ (x,y)\,dy}_{=:F^+(x)} - \underbrace{\int_{\mdr^l}\tilde f_- (x,y)\,dy}_{=:F^-(x)}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Nach \ref{Satz 10.1} sind \(F^+\) und \(F^-\) messbar. Die Dreiecksungleichung liefert nun
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\lvert F(x)\rvert
|
||||
\leq \int_{\mdr^l}\lvert \tilde f(x,y)\rvert\,dy
|
||||
\overset{\ref{Satz 5.3}}= \int_{\mdr^l}\lvert f(x,y)\rvert\,dy
|
||||
\lvert F(x)\rvert
|
||||
\leq \int_{\mdr^l}\lvert \tilde f(x,y)\rvert\,dy
|
||||
\overset{\ref{Satz 5.3}}= \int_{\mdr^l}\lvert f(x,y)\rvert\,dy
|
||||
= \Phi(x) \ \text{ für } x\in\mdr^k
|
||||
\end{align*}
|
||||
Also ist \(\lvert F\rvert\leq\Phi\) und \(\Phi\) ist integrierbar. Aus \ref{Satz 4.9} folgt, dass $F$ und \(\lvert F\rvert\) integrierbar sind
|
||||
Also ist \(\lvert F\rvert\leq\Phi\) und \(\Phi\) ist integrierbar. Aus \ref{Satz 4.9} folgt, dass $F$ und \(\lvert F\rvert\) integrierbar sind
|
||||
und dann sind auch \(F^+\) und \(F^-\) integrierbar (zur Übung). Es folgt
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||||
\begin{align*}
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||||
\int_{\mdr^k}F(x)\,dx
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||||
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@ -138,15 +138,15 @@ Gegeben: \(\emptyset\neq D\subseteq\fb_d\) und messbares \(f\colon D\to\imdr\).
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|||
Setze $f$ auf \(\mdr^d\) zu einer messbaren Funktion \(\tilde f\) fort (zum Beispiel wie in \ref{Lemma 9.3}).
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||||
Aus \ref{Satz 3.8} folgt dann, dass \(\mathds{1}_{D}\tilde f\) messbar ist und \ref{Satz 10.1} liefert
|
||||
\begin{align*}
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||||
\int_{\mdr^d}\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\,dz
|
||||
= \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l}\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\,dy\right)dx
|
||||
\int_{\mdr^d}\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\,dz
|
||||
= \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l}\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\,dy\right)dx
|
||||
= \int_{\mdr^l}\left(\int_{\mdr^k}\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\,dx\right)dy
|
||||
\end{align*}
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||||
Ist eines der drei obigen Integrale endlich, so ist \(\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\) integrierbar und
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||||
damit ist nach \ref{Satz 4.9} auch \(\mathds{1}_{D}\tilde f\) integrierbar.\\
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||||
Dann ist $f$ integrierbar und es folgt
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||||
\begin{align*}
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||||
\int_Df(z)\,dz
|
||||
\int_Df(z)\,dz
|
||||
& = \int_{\mdr^d}\left(\mathds{1}_{D}\tilde f\right)(z)\,dz \\
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||||
& \overset{\ref{Satz 10.2}}= \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l}\left(\mathds{1}_{D}\tilde f\right)(x,y)\,dy\right)dx \\
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||||
& = \int_{\mdr^l}\left(\int_{\mdr^k}\left(\mathds{1}_{D}\tilde f\right)(x,y)\,dx\right)dy
|
||||
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|
@ -154,11 +154,11 @@ Dann ist $f$ integrierbar und es folgt
|
|||
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||||
\begin{beispiel}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Sei \(D=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\dots\times[a_d,b_d]\) mit \(a_i\leq b_i \ (i=1,\dots,d)\).
|
||||
\item Sei \(D=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\dots\times[a_d,b_d]\) mit \(a_i\leq b_i \ (i=1,\dots,d)\).
|
||||
Es sei \(f\colon D\to\mdr\) stetig. $D$ ist kompakt, also gilt \(D\in\fb_d\).
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||||
Nach \ref{Satz 4.12}(2) ist \(f\in\mathfrak{L}^1(D)\) und aus obiger Bemerkung folgt
|
||||
\begin{align*}
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||||
\int_Df(x_1,\dots,x_d)\,d(x_1,\dots,x_d)
|
||||
\int_Df(x_1,\dots,x_d)\,d(x_1,\dots,x_d)
|
||||
= \int_{a_d}^{b^d} \left(\dots \left( \int_{a_2}^{b^2} \left(\int_{a_1}^{b^1}f(x_1,\dots,x_d)\,dx_1\right)dx_2\right)\dots\right)dx_d
|
||||
\end{align*}
|
||||
Die Reihenfolge der Integrationen darf beliebig vertauscht werden. Aus \ref{Satz 4.13} folgt
|
||||
|
|
@ -167,7 +167,7 @@ Die Reihenfolge der Integrationen darf beliebig vertauscht werden. Aus \ref{Satz
|
|||
\textbf{Konkretes Beispiel}\\
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||||
Sei \(D:=[a,b]\times[c,d]\subseteq\mdr^2\), \(f\in C([a,b])\) und \(g\in C([c,d])\).
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_Df(x)g(y)\,d(x,y)
|
||||
\int_Df(x)g(y)\,d(x,y)
|
||||
& = \int_c^d\left(\int_a^bf(x)g(y)\,dx\right)dy \\
|
||||
& = \int_c^d\left(g(y)\left(\int_a^bf(x)\,dx\right)\right)dy \\
|
||||
&= \left(\int_a^bf(x)\,dx\right) \left(\int_c^dg(y)\,dy\right)
|
||||
|
|
@ -175,7 +175,7 @@ Sei \(D:=[a,b]\times[c,d]\subseteq\mdr^2\), \(f\in C([a,b])\) und \(g\in C([c,d
|
|||
\item
|
||||
Wir rechtfertigen die "'Kochrezepte"' aus Analysis II, Paragraph 15.
|
||||
Seien \(a,b\in\mdr\) mit \(a<b\) und \(I:=[a,b]\). Weiter seien
|
||||
\(h_1,h_2\in C(I)\) mit \(h_1\leq h_2\) auf \(I\) und
|
||||
\(h_1,h_2\in C(I)\) mit \(h_1\leq h_2\) auf \(I\) und
|
||||
\[A:=\{(x,y)\in\mdr^2: x\in I, h_1(x)\leq y\leq h_2(x)\}\]
|
||||
Sei \(f\colon A\to\mdr\) stetig. Da \(h_1\) und \(h_2\) stetig
|
||||
sind, ist \(A\) kompakt und somit gilt \(A\in\fb_2\). Aus
|
||||
|
|
@ -187,15 +187,15 @@ Sei \(D:=[a,b]\times[c,d]\subseteq\mdr^2\), \(f\in C([a,b])\) und \(g\in C([c,d
|
|||
0 &\text{, falls } (x,y)\notin A
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
Nach \ref{Lemma 9.3} ist \(\tilde f\) messbar. Setze
|
||||
Nach \ref{Lemma 9.3} ist \(\tilde f\) messbar. Setze
|
||||
\[M:=\max\{\lvert f(x,y)\rvert:(x,y)\in A\}\]
|
||||
Dann gilt \(\lvert\tilde f\rvert \leq M\cdot\mathds{1}_A\).
|
||||
Wegen \(\lambda_2(A)<\infty\) ist \(M\cdot\mathds{1}_A\)
|
||||
Wegen \(\lambda_2(A)<\infty\) ist \(M\cdot\mathds{1}_A\)
|
||||
integrierbar und nach \ref{Satz 4.9} ist \(\lvert\tilde f\rvert\)
|
||||
und damit auch \(\tilde f\) integrierbar. Dann ist
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_A f(x,y)\,d(x,y) &= \int_{\mdr^2}\tilde f(x,y)\,d(x,y) \\
|
||||
& \overset{\ref{Satz 10.3}}=
|
||||
& \overset{\ref{Satz 10.3}}=
|
||||
\int_\mdr\left(\int_\mdr\tilde f (x,y)\,dy\right)dx \\
|
||||
&=\int_a^b\left(\int^{h_2(x)}_{h_1(x)}f(x,y)\,dy\right)dx
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
|
@ -211,7 +211,7 @@ Sei \(D:=[a,b]\times[c,d]\subseteq\mdr^2\), \(f\in C([a,b])\) und \(g\in C([c,d
|
|||
\(\tilde f\) ist eine Fortsetzung von \(f\) auf \(X\times Y\).
|
||||
\(\tilde f\) ist also messbar. Es ist
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_D\lvert f\rvert\,d(x,y)
|
||||
\int_D\lvert f\rvert\,d(x,y)
|
||||
&=\int_Q\mathds{1}_D\cdot\lvert\tilde f\rvert\,d(x,y) \\
|
||||
&\overset{\ref{Satz 10.1}}=
|
||||
\int_X\left(\int_Y\mathds{1}_D(x,y)\frac1x\lvert\cos(xy)\rvert
|
||||
|
|
@ -255,12 +255,12 @@ und daraus folgt \(\int_0^\infty e^{-xy}\,dy=\frac1x\)
|
|||
1 &\text{, falls } x=0
|
||||
\end{cases}\]
|
||||
$g$ ist stetig auf \([0,\infty)\). Aus Analysis 1 ist bekannt, dass
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||||
\(\int_0^\infty g(x)\,dx\) konvergent, aber \textbf{ nicht }
|
||||
absolut konvergent ist. Aus \ref{Satz 4.14} folgt, dass
|
||||
\(\int_0^\infty g(x)\,dx\) konvergent, aber \textbf{ nicht }
|
||||
absolut konvergent ist. Aus \ref{Satz 4.14} folgt, dass
|
||||
\(g\notin\mathfrak{L}^1\left([0,\infty)\right)\)\\
|
||||
\textbf{Behauptung: } \(\int^\infty_0 g(x)\,dx = \frac\pi{2}\)\\
|
||||
\textbf{Beweis: } Setze \(X:=[0,R]\) mit \(R>0\), \(Y:=[0,\infty)\) und
|
||||
\(D:=X\times Y\), sowie
|
||||
\(D:=X\times Y\), sowie
|
||||
\[f(x,y):= e^{-xy}\sin x \text{ für } (x,y)\in D\]
|
||||
Es ist \(D\in\fb_2\) und $f$ stetig, also messbar. Es ist weiter
|
||||
\(f\in\mathfrak{L}^1(D)\) (warum?) und
|
||||
|
|
@ -301,8 +301,8 @@ und daraus folgt \(\int_0^\infty e^{-xy}\,dy=\frac1x\)
|
|||
&\leq 2\int^\infty_0 e^{-yR}\,dy \\
|
||||
&\overset{\text{Vorbemerkung}}=\frac2R
|
||||
\end{align*}
|
||||
Das heißt also \(\tilde I_R\to 0 \ (R\to\infty)\) und damit folgt
|
||||
Das heißt also \(\tilde I_R\to 0 \ (R\to\infty)\) und damit folgt
|
||||
die Behauptung durch
|
||||
\[I_R=\frac{\pi}2-\tilde I_R\to\frac{\pi}2 \ (R\to\infty)\]
|
||||
\[I_R=\frac{\pi}2-\tilde I_R\to\frac{\pi}2 \ (R\to\infty)\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
|
|
|||
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@ -1,10 +1,10 @@
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|||
|
||||
Die Sätze in diesem Kapitel geben wir \textbf{ohne} Beweis an. Es seien
|
||||
\(X,Y\subseteq\mdr^d\) nichtleer und offen.
|
||||
\(X,Y\subseteq\mdr^d\) nichtleer und offen.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Diffeomorphismus}
|
||||
Sei \(\Phi\colon X\to Y\) eine Abbildung. \(\Phi\) heißt
|
||||
Sei \(\Phi\colon X\to Y\) eine Abbildung. \(\Phi\) heißt
|
||||
\textbf{Diffeomorphismus} genau dann wenn \(\Phi\in C^1(X,\mdr^d)\), \(\Phi\)
|
||||
ist bijektiv und \(\Phi^{-1}\in C^{1}(Y,\mdr^d)\).\\
|
||||
Es gilt \[x=\Phi^{-1}(\Phi(x))\text{ für jedes } x\in X\]
|
||||
|
|
@ -35,7 +35,7 @@ Sei \(A\subseteq\mdr^d\) und \(A^\circ:=\{x\in A :\text{ es existiert ein } r=r(
|
|||
\end{erinnerung}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
Sei \(A=\mdr\setminus\mdq\). Es ist \(A^\circ=\emptyset\) und
|
||||
Sei \(A=\mdr\setminus\mdq\). Es ist \(A^\circ=\emptyset\) und
|
||||
\(A\setminus A^\circ=A\). Aus \(\mdr=A\dot\cup\mdq\) folgt
|
||||
\[\infty=\lambda_1(\mdr)=\lambda_1(A)+\lambda_1(\mdq)=\lambda_1(A)\]
|
||||
Das heißt \(A\setminus A^\circ\) ist keine Nullmenge.
|
||||
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|
@ -66,7 +66,7 @@ Ist $f \in \fl^{1}(B)$ so gilt $(\ast\ast)$
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|||
\item Sei $T\colon \MdR^d \to \MdR^d$ linear und $\det T \neq 0$. Weiter sei $A \in \fb_d$ und $v \in \MdR^d$.
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||||
Dann ist $T(A) \in \fb_d$ und es gilt:
|
||||
\[\lambda_d(T(A)+v) = \lvert\det T\rvert \cdot\lambda_d(A)\]
|
||||
\item $\Phi\colon X \to Y$ sei ein Diffeomorphismus und $A \in \fb(X)$.
|
||||
\item $\Phi\colon X \to Y$ sei ein Diffeomorphismus und $A \in \fb(X)$.
|
||||
Dann ist $\Phi(A) \in \fb_d$ und es gilt:
|
||||
\[\lambda_d(\Phi(A)) = \int_A |\det \Phi'(X)| \, dx\]
|
||||
\item Sei $F \in C^1(X, \MdR^d)$ und $N \subseteq X$ eine Nullmenge.
|
||||
|
|
@ -101,9 +101,9 @@ y = r \sin(\varphi)
|
|||
\end{cases}\]
|
||||
Definiere nun für $(r,\varphi) \in [0,\infty)\times[0,2\pi]$:
|
||||
\[\Phi(r,\varphi) := (r \cos(\varphi), r \sin(\varphi))\]
|
||||
Dann ist $\Phi \in C^1(\MdR^2, \MdR^2)$ und es gilt:
|
||||
Dann ist $\Phi \in C^1(\MdR^2, \MdR^2)$ und es gilt:
|
||||
\[\Phi'(r,\varphi) = \begin{pmatrix}
|
||||
\cos(\varphi) & -r \sin(\varphi) \\
|
||||
\cos(\varphi) & -r \sin(\varphi) \\
|
||||
\sin(\varphi) & r \cos(\varphi)
|
||||
\end{pmatrix}\]
|
||||
d.h. falls $r > 0$ ist gilt:
|
||||
|
|
@ -119,19 +119,19 @@ Mit \ref{Satz 11.2} folgt dann:
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|||
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||||
\begin{beispiel}
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $0 \le \rho < R$. Definiere
|
||||
\item Sei $0 \le \rho < R$. Definiere
|
||||
\[B := \{(x,y) \in \MdR^2 : \rho^2 \le x^2 + y^2 \le R^2\} \]
|
||||
Dann gilt:
|
||||
Dann gilt:
|
||||
%% BILD: der Kreisfläche und Trafo
|
||||
\begin{align*}
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||||
\lambda_2(B) &= \int_B 1 \text{ d}(x,y)\\
|
||||
&= \int_A 1 \cdot r \text{ d}(r,\varphi)\\
|
||||
\lambda_2(B) &= \int_B 1 \text{ d}(x,y)\\
|
||||
&= \int_A 1 \cdot r \text{ d}(r,\varphi)\\
|
||||
&\overset{\text{§\ref{Kapitel 10}}}= \int_{\rho}^{R} \left( \int_0^{2\pi} r \text{ d}\varphi \right) \text{ d}r\\
|
||||
&= \left[ 2\pi \frac{1}{2} r^2 \right]_\rho^R\\
|
||||
&= \pi (R^2 - \rho^2)
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\item Definiere
|
||||
|
||||
\item Definiere
|
||||
\[B := \{ (x,y) \in \MdR^2 : x^2 + y^2 \le 1, y \ge 0 \}\]
|
||||
%% BILD: der (Halb)Kreisfläche und Trafo
|
||||
Dann gilt:
|
||||
|
|
@ -162,7 +162,7 @@ Außerdem gilt:
|
|||
&= \int_0^\rho \left( \int_0^\rho e^{-x^2} e^{-y^2} \text{ d}y \right) \text{ d}x \\
|
||||
&= \left( \int_0^\rho e^{-x^2} \text{ d}x \right)^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
|
||||
Wegen $ B_\rho \subseteq Q_\rho \subseteq B_{\sqrt{2} \rho} $ und $f \ge 0$ folgt:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{cccccc}
|
||||
|
|
@ -172,7 +172,7 @@ $\implies$ &$h(\rho)$ &$\le$ &$\left( \int_0^\rho e^{-x^2} \text{ d}x \right)^2$
|
|||
$\implies$ &$\sqrt{h(\rho)}$ &$\le$ &$\int_0^\rho e^{-x^2} \text{ d}x$ &$\le$ &$\sqrt{h(\sqrt{2} \rho)}$\\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
Mit $\rho \to \infty$ folgt daraus
|
||||
Mit $\rho \to \infty$ folgt daraus
|
||||
\[\int_0^\infty e^{-x^2} \text{ d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\]
|
||||
und damit die Behauptung.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
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|
|||
|
|
@ -1,11 +1,11 @@
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|||
In diesem Kapitel sei $(x_0,y_0)\in\MdR^2$ (fest), es sei
|
||||
$R:[0,2\pi]\to[0,\infty)$ stetig und stückweise stetig
|
||||
differenzierbar und $R(0) = R(2\pi)$. Weiter sei
|
||||
In diesem Kapitel sei $(x_0,y_0)\in\MdR^2$ (fest), es sei
|
||||
$R:[0,2\pi]\to[0,\infty)$ stetig und stückweise stetig
|
||||
differenzierbar und $R(0) = R(2\pi)$. Weiter sei
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\gamma(t) := (x_0 + R(t)\cos t,y_0 + R(t)\sin t) \text{ } (t\in[0,2\pi])
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Dann ist $\gamma$ ein stückweise stetig differenzierbarer, geschlossener und rektifizierbarer Weg in $\MdR^2$. Es sei
|
||||
\[B:= \{(x_0+r\cos t,y_0 + r\sin t): t\in [0,2\pi ], 0\le r\le R(t)\}\]
|
||||
Dann ist $\gamma$ ein stückweise stetig differenzierbarer, geschlossener und rektifizierbarer Weg in $\MdR^2$. Es sei
|
||||
\[B:= \{(x_0+r\cos t,y_0 + r\sin t): t\in [0,2\pi ], 0\le r\le R(t)\}\]
|
||||
Dann ist $B$ kompakt, also $B\in\fb_2 $. Weiter ist $\partial B = \gamma([0,2\pi]) = \Gamma_\gamma$.\\
|
||||
Sind $B$ und $\gamma$ wie oben, so heißt $B$ \begriff{zulässig}.
|
||||
\index{zulässig}
|
||||
|
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@ -48,13 +48,13 @@ Mit Polarkoordinaten, Transformations-Satz und Fubini:
|
|||
A = \int_0^{2\pi }(\int_0^{R(t)} u_x(r\cos t,r\sin t)r dr) dt
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\beta(r,t) := u(r\cos t,r\sin t)$. Nachrechnen: $r\beta_r(r,t)\cos t - \beta_t(r,t)\sin t = u_x(r\cos t,r\sin t)r$. Also:
|
||||
\item $\beta(r,t) := u(r\cos t,r\sin t)$. Nachrechnen: $r\beta_r(r,t)\cos t - \beta_t(r,t)\sin t = u_x(r\cos t,r\sin t)r$. Also:
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
A = \int_0^{2\pi} (\int_0^{R(t)} (r\beta_r(r,t)\cos t - \beta_t(r,t)\sin t) dr)dt
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
\item $\int_0^{R(t)} r\beta_r(r,t) dr = r\beta(r,t)\vert_{r=0}^{r=R(t)} - \underbrace{\int_0^{R(t)} \beta(r,t) dr}_{=:\alpha(t)} = R(t)\beta(R(t),t) - \alpha(t) = R(t)u(\gamma(t)) -\alpha(t)$
|
||||
\item $\Psi(s,t) := \int_0^s \beta(r,t)dr$. Mit dem zweiten Hauptsatz aus Analysis 1 folgt: $\Psi_s(s,t) = \beta(s,t)$ \\ 7.3 \folgt $\Psi_t(s,t) = \int_0^s \beta_t(r,t) dr$.\\
|
||||
Dann: $\alpha(t) = \Psi(R(t),t)$, also
|
||||
Dann: $\alpha(t) = \Psi(R(t),t)$, also
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\alpha'(t) = \Psi_s(R(t),t)\cdot R'(t) + \Psi_t(R(t),t)\cdot 1 = R'(t)\underbrace{\beta(R(t),t)}_{=u(\gamma(t))} + \int_0^{R(t)} \beta_t(r,t) dr
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
|
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|||
|
|
@ -4,7 +4,7 @@
|
|||
\index{Parameterbereich}
|
||||
\index{Normalenvektor}
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||||
\index{Flächeninhalt}
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||||
Es sei $\emptyset \ne B\subseteq \MdR^2$ kompakt, $D\subseteq\MdR^2$ offen und $B\subseteq D$. Weiter sei $\varphi = (\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3) \in C^1(D,\MdR^3)$ und $\varphi = \varphi(u,v)$. Dann heißt $\varphi_{|B}$ eine \textbf{Fläche} (im $\MdR^3$), $S:= \varphi(B)$ heißt \textbf{Flächenstück} und $B$ heißt \textbf{Parameterbereich} der Fläche. Es ist
|
||||
Es sei $\emptyset \ne B\subseteq \MdR^2$ kompakt, $D\subseteq\MdR^2$ offen und $B\subseteq D$. Weiter sei $\varphi = (\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3) \in C^1(D,\MdR^3)$ und $\varphi = \varphi(u,v)$. Dann heißt $\varphi_{|B}$ eine \textbf{Fläche} (im $\MdR^3$), $S:= \varphi(B)$ heißt \textbf{Flächenstück} und $B$ heißt \textbf{Parameterbereich} der Fläche. Es ist
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\varphi' = \begin{pmatrix}\frac{\partial \varphi_1}{\partial u} & \frac{\partial\varphi_1}{\partial v}\\
|
||||
\frac{\partial \varphi_2}{\partial u} & \frac{\partial\varphi_2}{\partial v}\\
|
||||
|
|
@ -16,10 +16,10 @@
|
|||
\gamma(t) &:= \varphi(t,v_0) &\gamma'(t) &= \varphi_u(t,v_0) &\gamma'(u_0) &= \varphi_u(u_0,v_0)\\
|
||||
\tilde{\gamma}(t)&:= \varphi(u_0,t) &\tilde{\gamma}'(t) &= \varphi_v(u_0,v) &\tilde{\gamma}'(v_0) &= \varphi_v(u_0,v_0)
|
||||
\end{align*}
|
||||
Definere damit den \textbf{Normalenvektor} in $\varphi(u_0,v_0)$:
|
||||
Definere damit den \textbf{Normalenvektor} in $\varphi(u_0,v_0)$:
|
||||
\[N(u_0,v_0) := \varphi_u(u_0,v_0)\times\varphi_v(u_0,v_0)\]
|
||||
Seien $\Delta u,\Delta v >0$ (aber "`klein"'). $a:= \Delta u\varphi_u(u_0,v_0)$, $b:= \Delta v\varphi_v(u_0,v_0)$.
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\[P:= \{\lambda a+\mu b: \ \lambda,\mu\in [0,1]\}\]
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||||
\[P:= \{\lambda a+\mu b: \ \lambda,\mu\in [0,1]\}\]
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||||
Aus der Linearen Algebra folgt, der "`Inhalt"' von $P$ ist $\|a \times b\| = \Delta u\Delta v \|N(u_0,v_0)\|$.
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\begin{displaymath}
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I(\varphi) = \int_B \|N(u,v)\| d(u,v)
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@ -31,12 +31,12 @@
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$B:=[0,2\pi]\times[-\frac\pi2,\frac\pi2]$, $D=\MdR^2$\\
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$\varphi(u,v) := (\cos u\cos v,\sin u\cos v,\sin v)$. Dann: $\varphi(B) = \{(x,y,z)\in\MdR^3:\ x^2+y^2+z^2 = 1\}$.\\
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||||
Nachrechnen: $N(u,v) = \cos v\varphi(u,v)$. Dann: $\|N(u,v)\| = |\cos v|\underbrace{\|\varphi(u,v)\|}_{=1} = \cos v\ \ \ \ ((u,v)\in B)$. \\
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||||
Damit gilt:
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Damit gilt:
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\[I(\varphi) = \int_B \cos v d(u,v) = \int_0^{2\pi} (\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\cos v d(v)) d(u) = 4\pi\]
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||||
\end{beispiel}
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\section{Explizite Parameterdarstellung}
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Seien \(B\) und \(D\) wie in obiger Definition und \(f\in C^{1}(D,\,\mdr)\). Setze
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||||
Seien \(B\) und \(D\) wie in obiger Definition und \(f\in C^{1}(D,\,\mdr)\). Setze
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||||
\[\varphi(u,v):=(u,v,f(u,v))\quad((u,v)\in D)\]
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Damit ist \(\varphi_{|B}\) eine Fläche (in expliziter Darstellung).
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% hier Graphik einfuegen
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@ -45,7 +45,7 @@ Dann ist \(S=\varphi(B)\) gleich dem Graph von \(f_{|B}\).
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\[
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||||
\varphi_{u}=(1,0,f_{u}),\quad \varphi_{v}=(0,1,f_{v}),\quad N(u,v)=(-f_{u},-f_{v},1)\quad\text{(Nachrechnen!)}
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||||
\]
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||||
Damit gilt:
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||||
Damit gilt:
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||||
\[I(\varphi)=\int_{B}{(f_{u}^{2}+f_{v}^{2}+1)^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}(u,v)}\]
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\begin{beispiel}
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@ -1,13 +1,13 @@
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In diesem Kapitel sei \(\emptyset\neq B\subseteq\mdr^{2}\), \(B\)
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||||
In diesem Kapitel sei \(\emptyset\neq B\subseteq\mdr^{2}\), \(B\)
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||||
kompakt, \(D\subseteq\mdr^{2}\) offen, \(B\subseteq D\)
|
||||
und \(\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\in C^{1}(D,\mdr^{3})\). Das heißt: \(\varphi_{|B}\) ist eine Fläche mit
|
||||
und \(\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\in C^{1}(D,\mdr^{3})\). Das heißt: \(\varphi_{|B}\) ist eine Fläche mit
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Parameterbereich \(B\), \(S:=\varphi(B)\)
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||||
\begin{definition}
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\index{Oberflächenintegral}
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Definiere die folgenden \textbf{Oberflächenintegrale}:
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\begin{enumerate}
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\item Sei \(f:\,S\to\mdr\) stetig. Dann:
|
||||
\item Sei \(f:\,S\to\mdr\) stetig. Dann:
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||||
\[
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||||
\int_{\varphi}{f\mathrm{d}\sigma}:=\int_{B}{f(\varphi(u,v))\lVert N(u,v)\rVert\mathrm{d}(u,v)}
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||||
\]
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||||
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@ -28,7 +28,7 @@ F(\varphi(u,v))\cdot N(u,v)&=F(u,v,u^{2}+v^{2})\cdot(-2u,-2v,1)\\
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&=-(u^{2}+v^{2})
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||||
\end{align*}
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||||
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||||
Also:
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||||
Also:
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||||
\[
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||||
\int_{\varphi}{F\cdot n\mathrm{d}\sigma}=-\int_{B}{(u^{2}+v^{2})\mathrm{d}(u,v)}=-\frac{\pi}{2}
|
||||
\]
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@ -47,7 +47,7 @@ Es sei \(B\) zulässig, \(\partial B=\Gamma_{\gamma}\), wobei \(\gamma=(\gamma_{
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\begin{beispiel}
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\(D,\,B,\,f,\,F\) und \(\varphi\) seien wie in obigem Beispiel.
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% Bild einfuegen
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Hier: \(\gamma(t)=(\cos t,\sin t)\quad(t\in [0,2\pi])\).
|
||||
Hier: \(\gamma(t)=(\cos t,\sin t)\quad(t\in [0,2\pi])\).
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||||
Dann: \((\varphi\circ\gamma)(t)=\varphi(\cos t, \sin t)=(\cos t, \sin t, 1)\quad(t\in [0,2\pi])\).
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||||
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||||
Es ist \(\rot F=0\), also: \(\int_{\varphi}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma}=0\)
|
||||
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@ -61,7 +61,7 @@ Es ist \(\rot F=0\), also: \(\int_{\varphi}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma}=0\)
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\end{beispiel}
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||||
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\begin{beweis}
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||||
Sei \(\varphi:=\varphi\circ\gamma,\,\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\), also
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||||
Sei \(\varphi:=\varphi\circ\gamma,\,\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\), also
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||||
\(\varphi_{j}=\varphi_{j}\circ\gamma\quad(j=1,2,3)\).
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Zu zeigen:
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@ -48,7 +48,7 @@ Für \(f\in\fl^{\infty}(X)\): \(\lVert f\rVert_{\infty}:=\esssup_{x\in X}\lVert
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\end{definition}
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||||
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||||
\begin{bemerkung}
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||||
Es sei \(f\in\fl^{\infty}(X)\) und stetig. Außerdem habe jede in \(X\) offene, nichtleere Teilmenge positives Maß. Dann ist \(f\) auf \(X\) beschränkt und \(\sup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert=\esssup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert\).
|
||||
Es sei \(f\in\fl^{\infty}(X)\) und stetig. Außerdem habe jede in \(X\) offene, nichtleere Teilmenge positives Maß. Dann ist \(f\) auf \(X\) beschränkt und \(\sup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert=\esssup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert\).
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
\begin{beweis}
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||||
Übung (ist \(N\subseteq X\) eine Nullmenge, so ist \(N^{\circ}=\emptyset\) und \(\overline{X\setminus N}=X\))
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@ -57,10 +57,10 @@ Es sei \(f\in\fl^{\infty}(X)\) und stetig. Außerdem habe jede in \(X\) offene,
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\begin{beispiel}
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Sei \(d=1,\,X=[1,\infty),\,p>1\,(p<\infty),\,\alpha,\beta>0,\,f(x)=\frac{1}{x^{\alpha}},\,g(x)=\frac{1}{x^{\beta}}\)
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item \[f\in\fl^{p}(X)\overset{\text{\ref{Satz 4.14}}}{\iff}\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{\alpha p}}}\mathrm{d}x\]
|
||||
\item \[f\in\fl^{p}(X)\overset{\text{\ref{Satz 4.14}}}{\iff}\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{\alpha p}}}\mathrm{d}x\]
|
||||
konvergiert genau dann, wenn \(\alpha p>1\Leftrightarrow \alpha>\frac{1}{p}\)
|
||||
\item
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||||
\[fg\in\fl^{1}(X)\overset{\text{\ref{Satz 4.14}}}{\iff}\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{\alpha+\beta}}\mathrm{d}x}\]
|
||||
\[fg\in\fl^{1}(X)\overset{\text{\ref{Satz 4.14}}}{\iff}\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{\alpha+\beta}}\mathrm{d}x}\]
|
||||
konvergiert genau dann, wenn $\alpha+\beta >1$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beispiel}
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||||
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@ -92,7 +92,7 @@ Ist \(p=2\,(\implies p'=2)\), so heißt obige Ungleichung auch \textbf{Cauchy-Sc
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\begin{itemize}
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\item[Fall 1:] \(p=1\) (also \(p'=\infty\)) oder \(p=\infty\) (also \(p'=1\)). Etwa \(p=1,\,p'=\infty\).
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||||
Sei \(c>0\) und \(N_{c}\subseteq X\) Nullmenge mit: \(\lvert g(x)\rvert\leq c\,\forall x\in X\setminus N_{c}\).
|
||||
Sei \(c>0\) und \(N_{c}\subseteq X\) Nullmenge mit: \(\lvert g(x)\rvert\leq c\,\forall x\in X\setminus N_{c}\).
|
||||
\(\tilde{g}:=\mathds{1}_{X\setminus N_{c}}\cdot g\)
|
||||
|
||||
Dann: \(g=\tilde{g}\) fast überall und \(\lvert\tilde{g}\rvert\leq c\) auf \(X\). Weiter: \(fg=f\tilde{g}\) fast überall,
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||||
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@ -102,7 +102,7 @@ Dann:
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\[
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||||
\int_{X}{\lvert fg\rvert\mathrm{d}x}=\int_{X}{\lvert f\tilde{g}\rvert\mathrm{d}x}=\int_{X}{\lvert f\rvert\underbrace{\lvert\tilde{g}\rvert}_{\leq c}\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lvert f\rvert\mathrm{d}x}=c\cdot\lVert f\rVert_{1}<\infty
|
||||
\]
|
||||
Also: \(fg\in\fl^{1}(X)\) und \(\lVert fg\rVert_{1}\leq c\lVert f\rVert_{1}\). Übergang zum Infimum über alle \(c>0\)
|
||||
Also: \(fg\in\fl^{1}(X)\) und \(\lVert fg\rVert_{1}\leq c\lVert f\rVert_{1}\). Übergang zum Infimum über alle \(c>0\)
|
||||
liefert: \(\lVert fg\rVert_{1}\leq\lVert g\rVert_{\infty}\cdot\lVert f\rVert_{1}\)
|
||||
\item[Fall 2:] Sei \(1<p<\infty\). Ist \(\lVert f\rVert_{p}=0\) oder \(\lVert g\rVert_{p'}=0\), so ist \(f=0\) fast überall
|
||||
oder \(g=0\) fast überall. Daraus folgt: \(\lvert fg\rvert=0\) fast überall.
|
||||
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|
@ -146,7 +146,7 @@ Nullmengen und \(\lvert f(x)\rvert\leq c_{1}\forall x\in X\setminus N_{1},\,\lve
|
|||
\item[Fall 3:] Sei \(1<p<\infty\) und \(f,\,g\in\fl^{p}(X)\). Es ist \(\lvert f+g\rvert^{p}\leq(\lvert f\rvert+\lvert g\rvert)^{p}\leq\left(2\max\{\lvert f\rvert,\,\lvert g\rvert\}\right)^{p}\leq 2^{p}\left(\lvert f\rvert^{p}+\lvert g\rvert^{p}\right)\)
|
||||
auf \(X\). Mit \ref{Satz 4.9} folgt: \(\lvert f+g\rvert^{p}\in\fl^{1}(X)\implies f+g\in\fl^{p}(X)\)\\
|
||||
|
||||
\(p'=\frac{p}{p-1};\,h:=\lvert f+g\rvert^{p-1}\), dann: \(h^{p'}=\left(\lvert f+g\rvert^{p-1}\right)^{\frac{p}{p-1}}=\lvert f+g\rvert^{p}\in\fl^{1}(X)\). Dann ist \(h\in\fl^{p'}(X)\). Also: \(h\in\fl^{p'}(X),\,f\in\fl^{p}(X)\)
|
||||
\(p'=\frac{p}{p-1};\,h:=\lvert f+g\rvert^{p-1}\), dann: \(h^{p'}=\left(\lvert f+g\rvert^{p-1}\right)^{\frac{p}{p-1}}=\lvert f+g\rvert^{p}\in\fl^{1}(X)\). Dann ist \(h\in\fl^{p'}(X)\). Also: \(h\in\fl^{p'}(X),\,f\in\fl^{p}(X)\)
|
||||
(und \(\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1\)).
|
||||
|
||||
Mit der Hölderschen Ungleichung folgt:
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||||
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@ -201,7 +201,7 @@ Also gilt:
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\begin {beispiel}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Sei $X:=(0,1]$, $1\le p<q<\infty$ (also $\frac 1q<\frac1p$) und $f(x):=\frac 1{x^\alpha}$ $(\alpha>0)$. Dann gilt nach
|
||||
\item Sei $X:=(0,1]$, $1\le p<q<\infty$ (also $\frac 1q<\frac1p$) und $f(x):=\frac 1{x^\alpha}$ $(\alpha>0)$. Dann gilt nach
|
||||
\ref{Satz 4.14} und Analysis I:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f\in\fl^p(X)&\iff\int_0^1\frac1{x^{\alpha p}}\text{ d}x \text{ konvergiert}\\
|
||||
|
|
@ -229,13 +229,13 @@ Dann ist $f\in\fl^p(X)$ und es gilt
|
|||
Aus (i) und (ii) folgt: $|f|^p \leq g$ f.ü.
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||||
Im Kapitel 5 haben wir gesehen, dass dann gilt:
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||||
\[ \int_X |f|^p \text{ d}x \leq \int_X g \text{ d}x < \infty \]
|
||||
(denn $g$ ist nach Voraussetzung integrierbar).
|
||||
(denn $g$ ist nach Voraussetzung integrierbar).
|
||||
Daraus folgt: $f \in \fl^p(X)$.
|
||||
|
||||
Setze $g_n := |f_n - f|^p$. Aus (i): $g_n \to 0$ f.ü. Es sind $f_n, f \in \fl^p(X)$ (ersteres nach Voraussetzung, zweiteres haben wir gerade gezeigt), und weil $\fl^p(X)$ ein reeller Vektorraum ist (\ref{Satz 16.1}(2)), folgt:
|
||||
\[ f_n - f \in \fl^p(X) \]
|
||||
Also $g_n \in \fl^1(X)$.
|
||||
Es ist
|
||||
Es ist
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||||
\[ 0 \leq g_n \leq \left( |f_n| + |f| \right)^p \leq \left( g^{\frac{1}{p}} + g^{\frac{1}{p}} \right)^p = \left( 2g^{\frac{1}{p}} \right)^p = 2^p g \quad\text{f.ü.} \]
|
||||
Mit \ref{Satz 6.2} folgt schließlich:
|
||||
\[ \underbrace{\int_X g_n \text{ d}x}_{=\|f_n - f\|_p^p} \to 0. \]
|
||||
|
|
@ -256,19 +256,19 @@ und die Addition
|
|||
zu einem Vektorraum über $\mdr$ wird.
|
||||
\end{definition}
|
||||
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||||
Setze für $\hat f \in L^1(X)$:
|
||||
Setze für $\hat f \in L^1(X)$:
|
||||
\[\int_X \hat f(x) \text{ d}x := \int_X f(x) \text{ d}x\]
|
||||
dabei ist diese Definition unabhängig von der Wahl des Repräsentanten $f \in \fl^1(X)$ von $\hat f$, denn: ist auch noch $g \in \fl^1(X)$ und $\hat g = \hat f$, so ist $f - g \in \cn$, also $f-g = 0$ f.ü. und damit: $\int_X f \text{ d}x = \int_X g \text{ d}x$.
|
||||
|
||||
Für $\hat f \in L^p(X)$ definiere
|
||||
Für $\hat f \in L^p(X)$ definiere
|
||||
\[\| \hat f \|_p := \| f \|_p\]
|
||||
wobei diese Definition unabhängig ist von der Wahl des Repräsentanten $f \in \fl^p(X)$ von $\hat f$.
|
||||
|
||||
Für $\hat f, \hat g \in L^2(X)$ setze
|
||||
Für $\hat f, \hat g \in L^2(X)$ setze
|
||||
\[( \hat f | \hat g ) := \int_X f(x)g(x) \text{ d}x\]
|
||||
(auch diese Definition ist Repräsentanten-unabhängig) (Beachte: $f\cdot g \in \fl^1(X)$ )
|
||||
|
||||
\textbf{Dann gilt:}
|
||||
\textbf{Dann gilt:}
|
||||
\index{Ungleichung!Cauchy-Schwarz}
|
||||
\begin{enumerate} \item $L^p(X)$ ist unter $\| \cdot \|_p$ ein normierter Raum (NR).
|
||||
\item Für $\hat f, \hat g \in L^2(X)$ gilt:
|
||||
|
|
@ -296,7 +296,7 @@ so heißt $B$ ein \textbf{Prähilbertraum}. Ist $B$ ein Banachraum mit $(*)$, so
|
|||
Seien \(f,f_n\in\fl^p(X)\)
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(\| f_n-f\|_p = \| \hat{f_n}-\hat f\|_p\to 0\) genau
|
||||
dann, wenn \((\hat{f_n})\) eine konvergente Folge im normierten Raum \(L^p(X)\)
|
||||
dann, wenn \((\hat{f_n})\) eine konvergente Folge im normierten Raum \(L^p(X)\)
|
||||
mit dem Grenzwert \(\hat f\) ist.
|
||||
\item \((\hat f_n)\) ist eine \textbf{Cauchyfolge} (CF) in \(L^p(X)\) genau dann, wenn für jedes $\ep>0$ ein $n_0\in\mdn$ exitiert mit:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
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|
@ -331,26 +331,26 @@ Sei \(X=[0,1]\) und \((I_n)\) sei die folgende Folge von Intervallen:
|
|||
\[I_1=\left[0,1\right], I_2=\left[0,\frac12\right], I_3=\left[\frac12,1\right], I_4=\left[0,\frac14\right],
|
||||
I_5=\left[\frac14,\frac12\right], I_6=\left[\frac12, \frac34\right], I_7=\left[\frac34,1\right], \dots\]
|
||||
Es sei \(f_n:=\mathds{1}_{I_n}\), sodass \(\int_X f_n\,dx=\int_{I_n}1\,dx=\lambda_1(I_n)\to 0\).
|
||||
Also \(\hat f_n\in L^1(X)\) und \(\| \hat f_n-\hat 0\|_1\to 0\).
|
||||
Ist \(x\in X\), so gilt: \(x\in I_n\) für unendlich viele \natn. Daraus folgt, dass eine Teilfolge
|
||||
Also \(\hat f_n\in L^1(X)\) und \(\| \hat f_n-\hat 0\|_1\to 0\).
|
||||
Ist \(x\in X\), so gilt: \(x\in I_n\) für unendlich viele \natn. Daraus folgt, dass eine Teilfolge
|
||||
\(I_{n_j}\) mit \(x\in I_{n_j}\) für jedes \(j\in\mdn\) existiert. Somit ist \(f_{n_j}(x)=1\) für jedes \(j\in\mdn\)
|
||||
und deshalb gilt fast überall \(f_n\nrightarrow 0\).
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}[von \ref{Satz 16.4}]
|
||||
Setze \(\ep_j:=\frac1{2^j}\ (j\in\mdn)\).
|
||||
Zu \(\ep_1\) existiert ein \(n_1\in\mdn\) mit \(\| f_l-f_{n_1}\|_p<\ep_1\)
|
||||
für alle \(l\geq n_1\).
|
||||
Zu \(\ep_2\) existiert ein \(n_2\in\mdn\) mit \(n_2>n_2\) und
|
||||
Setze \(\ep_j:=\frac1{2^j}\ (j\in\mdn)\).
|
||||
Zu \(\ep_1\) existiert ein \(n_1\in\mdn\) mit \(\| f_l-f_{n_1}\|_p<\ep_1\)
|
||||
für alle \(l\geq n_1\).
|
||||
Zu \(\ep_2\) existiert ein \(n_2\in\mdn\) mit \(n_2>n_2\) und
|
||||
\(\| f_l-f_{n_2}\|_p<\ep_2\) für alle \(l\geq n_2\).
|
||||
Etc.\\
|
||||
Wir erhalten eine Teilfolge \((f_{n_j})\) mit
|
||||
Wir erhalten eine Teilfolge \((f_{n_j})\) mit
|
||||
\[(+)\ \ \ \| f_l-f_{n_j}\|_p<\ep_j \text{ für alle } l\geq n_j \text{ mit } j\in\mdn\]
|
||||
Setze \(g_j:=f_{n_{j+1}}-f_{n_j}\ (j\in\mdn)\). Klar: \(g_l\in\fl^p(X)\).
|
||||
Für \(N\in\mdn\): \[S_N:=\int_X\left(\sum^N_{j=1}\lvert g_j(x)\rvert^p\right)^{\frac1p}\]
|
||||
Dann:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
S_N=\left\lvert\left\lvert\sum^N_{j=1}\lvert g_j\rvert\right\rvert\right\rvert_p
|
||||
S_N=\left\lvert\left\lvert\sum^N_{j=1}\lvert g_j\rvert\right\rvert\right\rvert_p
|
||||
\leq \sum^N_{j=1}\| g_j\|_p
|
||||
\overset{\text{(+)}}\leq \sum^N_{j=1}\ep_j
|
||||
=\sum^N_{j=1}\frac1{2^j}
|
||||
|
|
@ -368,10 +368,10 @@ Somit ist \(g^p\) ist integrierbar. Aus \ref{Satz 5.2} folgt, dass eine Nullmeng
|
|||
existiert mit \(0\leq g^p(x)<\infty\) für alle \(x\in X\setminus N_1\). Es ist dann auch
|
||||
\(0\leq g(x)<\infty\) für alle \(x\in X\setminus N_1\) und somit folgt nach Konstruktion von $g$, dass
|
||||
\(\sum^\infty_{j=1}g_j\,dx\) konvergiert absolut in jedem \(x\in X\setminus N_1\).
|
||||
Aus Analysis I folgt, dass damit \(\sum^\infty_{j=1}g_j\,dx\) in jedem
|
||||
Aus Analysis I folgt, dass damit \(\sum^\infty_{j=1}g_j\,dx\) in jedem
|
||||
\(x\in X\setminus N_1\) konvergiert.
|
||||
|
||||
Für \(m\in\mdn\):
|
||||
Für \(m\in\mdn\):
|
||||
\[\sum^{m-1}_{j=1}g_j=f_{n_m}-f_{n_1} \implies f_{n_m}=\sum^{m-1}_{j=1}g_j + f_{n_1} \]
|
||||
Deshalb ist \((f_{n_m})\) konvergent (in \mdr) für alle \(x\in X\setminus N_1\).
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|
|
@ -381,18 +381,18 @@ f(x):=
|
|||
0 &, x\in N_1
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Aus \S 3 ist bekannt, dass $f$ messbar ist. Klar: \(f_{n_m}\to f\) fast überall und
|
||||
Aus \S 3 ist bekannt, dass $f$ messbar ist. Klar: \(f_{n_m}\to f\) fast überall und
|
||||
\(f(X)\subseteq\mdr\).
|
||||
Es ist \(f_{n_m}=\sum^{m-1}_{j=1}g_j + f_{n_1}\) und somit
|
||||
Es ist \(f_{n_m}=\sum^{m-1}_{j=1}g_j + f_{n_1}\) und somit
|
||||
\[\lvert f_{n_m}\rvert = \lvert f_{n_1}\rvert + \sum^{m-1}_{j=1}g_j \leq \lvert f_{n_1}\rvert +
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||||
\lvert g\rvert\]
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||||
Wie im Beweis von Satz \ref{Satz 16.1} folgern wir
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\[\lvert f_{n_m}\rvert^p\leq 2^p\left(\lvert f_{n_1}\rvert^p+g^p\right)=:\tilde g \]
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||||
\(f_{n_1}\in\fl^p(X)\), \(g^p\) ist integrierbar. Aus \ref{Satz 16.3} folgt, dass \(f\in\fl^p(X)\)
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||||
und \[\| f_{n_m}-f\|_p\to 0 \ (m\to\infty)\]
|
||||
Sei nun \(\ep>0\). Wähle \(m\in M\) so, dass \(\frac1{2^m}<\frac\ep2\) und
|
||||
Sei nun \(\ep>0\). Wähle \(m\in M\) so, dass \(\frac1{2^m}<\frac\ep2\) und
|
||||
\(\| f-f_{n_m}\|_p<\frac\ep2\).
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||||
Für \(l\geq n_m\) gilt:
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||||
Für \(l\geq n_m\) gilt:
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||||
\[\| f_l-f\|_p= \| f_l-f_{n_m}+f_{n_m}-f\|_p
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\leq \| f_l-f_{n_m}\|_p + \| f_{n_m}-f\|_p
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||||
\overset{\text{(+)}}< \frac1{2^m}+\frac\ep2 <\ep\]
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||||
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@ -416,7 +416,7 @@ Dann ist fast überall \(f=g\).
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\item[\textbf{1.}]
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Aus Bemerkung (3) vor \ref{Satz 16.4} folgt, dass \((\hat f_n)\) ist eine Cachyfolge in
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\(L^p(X)\). Wegen \ref{Satz 16.4} existiert dann ein \(\varphi\in\fl^p(X)\) und eine Teilfolge
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||||
\((f_{n_j})\) mit: \(f_{n_j}\to\varphi\) fast überall und
|
||||
\((f_{n_j})\) mit: \(f_{n_j}\to\varphi\) fast überall und
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||||
\(\| f_n-\varphi\|_p\to0\)
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\begin{align*}
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\| f-\varphi\|_p
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@ -434,14 +434,14 @@ Dann ist fast überall \(f=g\).
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\[g_{j_k}(x)\to g(x) \text{ für alle } x\in X\setminus N_2\]
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||||
\end{enumerate}
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Wir wissen, dass \(N:=N_1\cup N_2\) eine Nullmenge ist. Sei nun \(x\in X\setminus N\). Dann
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folgt aus dem ersten Schritt \(f_{n_j}(x)\to f(x)\) und daraus
|
||||
folgt aus dem ersten Schritt \(f_{n_j}(x)\to f(x)\) und daraus
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||||
\[ \underbrace{f_{n_{j_k}}(x)}_{=g_{n_{j_k}}(x)}\to f(x) \]
|
||||
Aus dem Zweiten Schritt folgt dann, dass \(f_{n_{j_k}}(x)\to g(x)\) und somit \(f(x)=g(x)\).
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||||
\end{beweis}
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||||
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||||
\begin{bemerkung}
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||||
Seien \(f_n,f\in\fl^p(X)\) und es gelte \(\| f_n-f\|_p\to 0\ \ (n\to\infty)\). Der
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||||
Beweis von \ref{Satz 16.5} zeigt, dass eine Teilfolge \((f_{n_j})\) von \((f_n)\) existiert mit
|
||||
Beweis von \ref{Satz 16.5} zeigt, dass eine Teilfolge \((f_{n_j})\) von \((f_n)\) existiert mit
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\(f_{n_j}\to f\) fast überall.
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||||
\end{bemerkung}
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@ -457,7 +457,7 @@ Sei \((f_n)\) wie im Beispiel vor \ref{Satz 16.4}. Also \(\| f_n-0\|_p\to 0\), a
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\begin{beispiel}
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%Bild einfügen
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Sei \(X=[0,1]\) und \(f_n\) sei wie im Bild. \(f_n\) ist stetig, also messbar.
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||||
Sei \(X=[0,1]\) und \(f_n\) sei wie im Bild. \(f_n\) ist stetig, also messbar.
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\[\int_X f_n\,dx=1 \text{ für alle } \natn\]
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||||
Somit ist \(f_n\in\fl^1(X)\).
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\[f_n(x)\to
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||||
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@ -465,7 +465,7 @@ Somit ist \(f_n\in\fl^1(X)\).
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0, x\in(0,1]\\
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1, x=0
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||||
\end{cases}\]
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||||
Damit gilt fast überall \(f_n\to0\), aber
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||||
Damit gilt fast überall \(f_n\to0\), aber
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\(\| f_n-0\|_1=1\nrightarrow0 \ \ (n\to\infty)\)
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||||
\end{beispiel}
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@ -481,9 +481,9 @@ Seien \((E,\|\cdot\|_1), (F,\|\cdot\|_2)\) normierte Räume.
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\[\sum^\infty_{n=1}x_n:=\lim_{n\to\infty}s_n\]
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||||
\item \(\Phi\colon E\to F\) sei eine Abbildung. \(\Phi\) heißt \textbf{stetig} in \(x_0\in E\)
|
||||
genau dann, wenn für jede konvergente Folge \((x_n)\) in $E$ mit \(x_n\to x_0\)
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gilt: \[\Phi(x_n)\to\Phi(x_0)\]
|
||||
gilt: \[\Phi(x_n)\to\Phi(x_0)\]
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||||
\(\Phi\) heißt auf $E$ stetig genau dann, wenn \(\Phi\) ist in jedem \(x\in E\) stetig.
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||||
\item Für $(x,y)\in E\times E$ setze
|
||||
\item Für $(x,y)\in E\times E$ setze
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||||
\[\|(x,y)\|:=\sqrt{\|x\|_1^2+\|y\|_1^2}\]
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||||
Dann ist $\|\cdot\|$ eine Norm auf $E\times E$ (nachrechnen!). Weiter gilt, dass $E\times E$ genau dann ein Banachraum ist, wenn $E$ einer ist. Für eine Folge $((x_n,y_n))$ in $E\times E$ und $(x,y)\in E\times E$ gilt
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||||
\[(x_n,y_n)\stackrel{\|\cdot\|}\to (x,y) \iff x_n\stackrel{\|\cdot\|}\to x \wedge y_n\stackrel{\|\cdot\|}\to y\]
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||||
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@ -506,7 +506,7 @@ Für den Rest dieser Vorlesung schreiben wir (meist) $f$ statt $\hat f$ und iden
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|||
\item Die Abbildung $\Phi:L^p(X)\to\mdr$, definiert durch
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||||
\[\Phi(f):=\|f\|_p\]
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||||
ist stetig auf $L^p(X)$. D.h. für $f_n,f\in L^p(X)$ mit $f_n\stackrel{\|\cdot\|_p}\to f$ gilt $\|f_n\|_p\to\|f\|_p$, also
|
||||
\[\int_X|f_n|^p\text{ d}x\to\int_X|f|^p\text{ d}x\]
|
||||
\[\int_X|f_n|^p\text{ d}x\to\int_X|f|^p\text{ d}x\]
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||||
\begin{beweis}
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||||
Aus Analysis II §17 folgt:
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||||
\[| \|f_n\|_p-\|f\|_p |\le \|f_n-f\|_p\stackrel{n\to\infty}\to 0\]
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||||
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@ -553,13 +553,13 @@ Es genügt den Fall $f\ge 0$ zu betrachten (also $f=f_+$, $f_-\equiv 0$). Sei al
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\begin{align*}
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||||
0\le\varphi_n&\le (|f_n|+|f|)^p\\
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||||
&=|f_n+f|^p\le (2f)^p\\
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||||
&=2^pf^p=:g
|
||||
&=2^pf^p=:g
|
||||
\end{align*}
|
||||
Dann ist $g\in L^1(X)$ integrierbar.\\
|
||||
Aus \ref{Satz 4.9} folgt:
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||||
\begin{align*}
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||||
\varphi\in L^1(X)&\implies f_n-f\in L^p(X)\\
|
||||
&\implies f_n=(f_n-f)+f\in L^p(X)
|
||||
&\implies f_n=(f_n-f)+f\in L^p(X)
|
||||
\end{align*}
|
||||
Aus \ref{Satz 6.2} folgt:
|
||||
\[\int_X\varphi_n\text{ d}x\to 0 \implies \|f_n-f\|_p^p\to 0\]
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||||
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|||
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@ -12,7 +12,7 @@ Aus 3.2 folgt: $f$ ist messbar genau dann, wenn $u$ und $v$ messbar sind.
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|||
\begin{definition}
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||||
\index{integrierbar}\index{Integral}
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||||
Sei $f$ messbar. $f$ heißt \textbf{integrierbar} (ib.) genau dann, wenn $u$ und $v$ integrierbar sind.
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||||
In diesem Fall setze
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||||
In diesem Fall setze
|
||||
\[ \int_X f \text{ d}x := \int_X u \text{ d}x + i\int_X v \text{ d}x \quad ( \in \MdC) \]
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||||
\end{definition}
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||||
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||||
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@ -23,22 +23,22 @@ Hieraus und aus 4.9 folgt: $f$ ist integrierbar genau dann, wenn $|f|$ integrier
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\[ \fl^p(X, \MdC) := \{ f : X \to \MdC | f \text{ ist messbar und } \int_X |f|^p \text{ d}x < \infty \} \]
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||||
(Achtung: mit den Betragsstrichen in ob. Integral ist der komplexe Betrag gemeint!)
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||||
\[ \cn := \{ f: X \to \MdC | f \text{ ist messbar und } f = 0 \text{ f.ü.} \} \]
|
||||
$\fl^p(X,\MdC )$ ist ein komplexer Vektorraum (siehe 17.1) und $\cn$ ist ein Untervektorraum von $\fl^p(X,\MdC )$.
|
||||
$\fl^p(X,\MdC )$ ist ein komplexer Vektorraum (siehe 17.1) und $\cn$ ist ein Untervektorraum von $\fl^p(X,\MdC )$.
|
||||
\[ L^p(X,\MdC ) := \fl^p(X,\MdC)\diagup\cn \]
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||||
\end{definition}
|
||||
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||||
\begin{definition}
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||||
\index{orthogonal}
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||||
Für $f,g \in L^2(X,\MdC )$ setze
|
||||
Für $f,g \in L^2(X,\MdC )$ setze
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\[(f | g) := \int_X f(x) \overline{g(x)} \text{ d}x\]
|
||||
sowie
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||||
sowie
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\[f \bot g :\Longleftrightarrow (f | g) = 0 \quad \text{ ($f$ und $g$ sind \textbf{orthogonal}).} \]
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||||
( $\overline{z}$ bezeichne hierbei die komplex Konjugierte von $z$, vgl. Lineare Algebra).
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||||
\end{definition}
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||||
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||||
\textbf{Klar:} \begin{enumerate}
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||||
\item $L^p(X,\MdC )$ ist mit $\| f \|_p := (\int_X |f|^p \text{ d}x )^{\frac{1}{p}}$ ein komplexer normierter Raum (NR).
|
||||
\item $(f | g)$ definiert ein Skalarprodukt auf $L^2(X,\MdC)$. Es ist
|
||||
\item $(f | g)$ definiert ein Skalarprodukt auf $L^2(X,\MdC)$. Es ist
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||||
\[(f | g) = \overline{(g | f)}, \]
|
||||
\[ (f | f) = \int_X f(x) \overline{f(x)} \text{ d}x = \int_X |f(x)|^2 \text{ d}x = \| f \|_2^2 \text{, also:} \]
|
||||
\[ \| f\|_2 = \sqrt{(f|f)} \quad (f,g \in L^2(X,\MdC )) \]
|
||||
|
|
@ -56,16 +56,16 @@ sowie
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|||
\begin{enumerate}
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||||
\item Seien \(f,g\colon X\to\mdc\) integrierbar und \(\alpha,\beta\in\mdc\). Dann gelten:
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item[(i)] \(\alpha f+\beta g\) ist integrierbar und
|
||||
\item[(i)] \(\alpha f+\beta g\) ist integrierbar und
|
||||
\[\int_X(\alpha f+\beta g)\,dx = \alpha\int_Xf\,dx+\beta\int_Xg\,dx\]
|
||||
\item[(ii)] \(\text{Re}\left(\int_Xf\,dx\right) = \int_X\text{Re}(f)\,dx\ \) und
|
||||
\(\ \text{Im}\left(\int_Xf\,dx\right) = \int_X\text{Im}(f)\,dx\)
|
||||
\item[(iii)] \(\overline f\) ist integrierbar und
|
||||
\item[(iii)] \(\overline f\) ist integrierbar und
|
||||
\[\int_X\overline f\,dx=\overline{\int_Xf\,dx}\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Die Sätze \ref{Satz 16.1} bis \ref{Satz 16.3} und das Beispiel \ref{Beispiel 16.6} gelten in
|
||||
\item Die Sätze \ref{Satz 16.1} bis \ref{Satz 16.3} und das Beispiel \ref{Beispiel 16.6} gelten in
|
||||
\(L^p(X,\mdc)\).
|
||||
\item \(L^p(X,\mdc)\) ist ein komplexer Banachraum, \(L^2(X,\mdc)\) ist ein komplexer
|
||||
\item \(L^p(X,\mdc)\) ist ein komplexer Banachraum, \(L^2(X,\mdc)\) ist ein komplexer
|
||||
Hilbertraum.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
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@ -79,12 +79,12 @@ Sei \(X=[0,2\pi]\). Für \(k\in\MdZ\) und \(t\in\mdr\) setzen wir
|
|||
Dann gilt: \(b_k,e_k\in L^2([0,2\pi],\mdc)\) und \[\int_0^{2\pi}e_0(t)\,dt=2\pi\]
|
||||
Für \(k\in\MdZ\) und \(k\neq0\) ist
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_0^{2\pi}e_k(t)\,dt=\left.\frac1{ik}e^{ikt}\right\rvert_0^{2\pi}
|
||||
\int_0^{2\pi}e_k(t)\,dt=\left.\frac1{ik}e^{ikt}\right\rvert_0^{2\pi}
|
||||
= \frac1{ik}\left(e^{2\pi ki}-1\right)=0
|
||||
\intertext{Damit ist}
|
||||
(b_k\mid b_l) = \int^{2\pi}_0 b_k\overline{b_l}\,dt = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{ikt}e^{-ilt}\,dt
|
||||
= \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{i(k-l)t}\,dt =
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\begin{cases}
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||||
1 ,\text{falls } k=l\\
|
||||
0 ,\text{falls }k\neq l
|
||||
\end{cases}
|
||||
|
|
@ -95,19 +95,19 @@ Zur Übung: \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) ist linear unabhängig in \(L^2([0,2\pi],\m
|
|||
\end{wichtigesbeispiel}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei \((\alpha_k)_{k\in\MdZ}\) eine Folge in \(\mdc\) und \((f_k)_{k\in\MdZ}\) eine Folge in
|
||||
Sei \((\alpha_k)_{k\in\MdZ}\) eine Folge in \(\mdc\) und \((f_k)_{k\in\MdZ}\) eine Folge in
|
||||
\(L^2(X,\mdc)\).
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Für \(n\in\mdn_0\) setze
|
||||
\item Für \(n\in\mdn_0\) setze
|
||||
\[s_n:=\sum^n_{k=-n}\alpha_k = \sum_{\lvert k\rvert\leq n}\alpha_k
|
||||
=\alpha_{-n}+\alpha_{-(n-1)}+\dots+\alpha_0+\alpha_1+\dots+\alpha_n\]
|
||||
Existiert \(\lim_{n\to\infty}s_n\) in \(\mdc\), so schreiben wir
|
||||
\(\sum_{k\in\MdZ}\alpha_k:=\lim_{n\to\infty}s_n\)
|
||||
\item Für \(n\in\mdn_0\) setze
|
||||
\item Für \(n\in\mdn_0\) setze
|
||||
\[\sigma_n:=\sum^n_{k=-n}f_k=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}f_k\]
|
||||
Gilt für ein \(f\in L^2(X,\mdc)\):
|
||||
Gilt für ein \(f\in L^2(X,\mdc)\):
|
||||
\(\| f-\sigma_n\|_2\overset{n\to\infty}\longrightarrow 0\), so schreiben
|
||||
wir \[f\overset{\|\cdot\|_2}=\sum_{k\in\MdZ}f_k \ \ \
|
||||
wir \[f\overset{\|\cdot\|_2}=\sum_{k\in\MdZ}f_k \ \ \
|
||||
\left(=\lim_{n\to\infty}\sigma_n \text{ im Sinne der } L^2\text{-Norm}\right)\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
|
@ -119,19 +119,19 @@ Sei \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) wie in \ref{Beispiel 17.2}. \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\
|
|||
\(f\in L^2([0,2\pi],\mdc)\) eine Folge \[(c_k)_{k\in\MdZ}=(c_k(f))_{k\in\MdZ}\] gibt, mit
|
||||
\[(\ast)\ \ \ \ \ \ \ \ \ f\overset{\|\cdot\|_2}=\sum_{k\in\MdZ}c_kb_k \]
|
||||
\textbf{Frage:} Ist \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) eine ONB von \(L^2([0,2\pi],\mdc)\)?\\
|
||||
\textbf{Antwort:} Ja! In \ref{Satz 18.5} werden wir sehen, dass \((\ast)\) gilt mit
|
||||
\textbf{Antwort:} Ja! In \ref{Satz 18.5} werden wir sehen, dass \((\ast)\) gilt mit
|
||||
\(c_k=(f\mid b_k)\).
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\chapter{Fourierreihen}
|
||||
\label{Kapitel 18}
|
||||
|
||||
In diesem Kapitel sei stets \(X=[0,2\pi]\), \(L^2:=L^2([0,2\pi],\mdc)\) und
|
||||
In diesem Kapitel sei stets \(X=[0,2\pi]\), \(L^2:=L^2([0,2\pi],\mdc)\) und
|
||||
\(L^2_\mdr:=L^2([0,2\pi],\mdr)\). Weiter sei \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) wie in \ref{Beispiel 17.2}.
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 18.1}
|
||||
Ist \(f\in L^2\) und gilt mit einer Folge \((c_k)_{k\in\MdZ}\) in \(\mdc\):
|
||||
Ist \(f\in L^2\) und gilt mit einer Folge \((c_k)_{k\in\MdZ}\) in \(\mdc\):
|
||||
\(f\overset{\|\cdot\|_2}=\sum_{k\in\MdZ}c_kb_k \), so gilt:
|
||||
\[c_k=(f\mid b_k) \text{ für alle } k\in\MdZ\]
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
|
@ -139,7 +139,7 @@ Ist \(f\in L^2\) und gilt mit einer Folge \((c_k)_{k\in\MdZ}\) in \(\mdc\):
|
|||
\begin{beweis}
|
||||
Für \(n\in\mdn_0\) setze \[\sigma_n:=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}c_kb_k\] Aus der Voraussetzung folgt
|
||||
\(\| \sigma_n-f\|_2\to 0\) für \(n\to\infty\). Sei \(j\in\MdZ\) und \(n\in\mdn\) mit
|
||||
\(n\geq \lvert j\rvert\). Es gilt einerseits
|
||||
\(n\geq \lvert j\rvert\). Es gilt einerseits
|
||||
\[(\sigma_n\mid b_j) = \sum_{\lvert k\rvert\leq n}c_k(b_k\mid b_j)=c_j, \text{ da gilt: }
|
||||
(b_k\mid b_j)=
|
||||
\begin{cases}
|
||||
|
|
@ -163,11 +163,11 @@ Sei \(f\in L^2\), \(n\in\mdn_0\) und \(k\in\MdZ\).
|
|||
\to0\]
|
||||
\item \((f\mid b_k)\) heißt \textbf{k-ter Fourierkoeffizient von f}.
|
||||
\item \(\sum_{k\in\MdZ}(f\mid b_k)b_k\) heißt \textbf{Fourierreihe von f}.
|
||||
\item Für \(n_0\in\mdn_0\) setze
|
||||
\(E_n:=[b_{-n},b_{-(n-1)},\dots,b_0,b_1,\dots,b_n]\)
|
||||
\item Für \(n_0\in\mdn_0\) setze
|
||||
\(E_n:=[b_{-n},b_{-(n-1)},\dots,b_0,b_1,\dots,b_n]\)
|
||||
(lineare Hülle). Es ist dann \[\dim E_n=2n+1\]
|
||||
\textbf{Beachte: } Für \(v\in E_n\) gilt \(v(0)=v(2\pi)\).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
|
|
@ -177,7 +177,7 @@ Sei \(f\in L^2\), \(n\in\mdn_0\) und \(k\in\MdZ\).
|
|||
Seien \(f_1,\dots,f_n,f\in L^2\).
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Gilt \(f_\mu\perp f_\nu\) für \(\mu\neq\nu\) (\(\mu,\nu=1,\dots,n\)),
|
||||
so gilt der Satz des Pythagoras
|
||||
so gilt der Satz des Pythagoras
|
||||
\[\| f_1+\dots+f_n\|^2_2=
|
||||
\| f_1\|^2_2+\dots+
|
||||
\| f_n\|^2_2\]
|
||||
|
|
@ -186,15 +186,15 @@ Seien \(f_1,\dots,f_n,f\in L^2\).
|
|||
L^2\to E_n\\
|
||||
S_nf:=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}(f\mid b_k)b_k
|
||||
\end{cases}\]
|
||||
ist linear und für jedes \(v\in E_n\) gilt \(S_nv=v\) und
|
||||
ist linear und für jedes \(v\in E_n\) gilt \(S_nv=v\) und
|
||||
\((f-S_nf)\perp v\) mit \(f\in L^2\).
|
||||
\item Die \textbf{Besselsche Ungleichung} lautet:
|
||||
\[\| S_nf\|^2_2
|
||||
=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}\lvert(f\mid b_k)\rvert^2
|
||||
=\| f\|_2^2-\|(f-S_nf)\|^2_2
|
||||
\leq\| f\|^2_2\]
|
||||
\item Für alle \(v\in E_n\) gilt:
|
||||
\[\| f-S_nf\|_2\leq\| f-v\|_2
|
||||
\item Für alle \(v\in E_n\) gilt:
|
||||
\[\| f-S_nf\|_2\leq\| f-v\|_2
|
||||
\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
|
@ -207,26 +207,26 @@ Seien \(f_1,\dots,f_n,f\in L^2\).
|
|||
&= (f_1+f_2\mid f_1+f_2) \\
|
||||
&= (f_1\mid f_1)+(f_1\mid f_2)+(f_2\mid f_1)+(f_2\mid f_2) \\
|
||||
&= (f_1\mid f_1)+(f_2\mid f_2) \\
|
||||
&=\| f_1\|^2_2+\| f_2\|^2_2
|
||||
&=\| f_1\|^2_2+\| f_2\|^2_2
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Übung!
|
||||
\item Es gilt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\| S_nf\|^2_2
|
||||
&= \left\lvert\left\lvert\sum_{\lvert k\rvert\leq n}(f\mid b_k)b_k\right\rvert
|
||||
\right\rvert^2_2
|
||||
\right\rvert^2_2
|
||||
\overset{(1)}=
|
||||
\sum_{\lvert k\rvert\leq n}\|(f\mid b_k)b_k\rvert
|
||||
\rvert^2_2
|
||||
\rvert^2_2
|
||||
= \sum_{\lvert k\rvert\leq n}\lvert(f\mid b_k)\rvert^2\| b_k\rvert
|
||||
\rvert^2_2
|
||||
\rvert^2_2
|
||||
= \sum_{\lvert k\rvert\leq n}\lvert(f\mid b_k)\rvert^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
und
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\| f\|^2_2
|
||||
\| f\|^2_2
|
||||
= \|\underbrace{(f-S_nf)}_{\underset{(2)}\perp E_n}
|
||||
+\underbrace{S_nf}_{\in E_n}\|^2_2
|
||||
+\underbrace{S_nf}_{\in E_n}\|^2_2
|
||||
= \| f-S_nf\|^2_2 + \| S_nf\|^2_2
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Sei \(v\in E_n\). Dann gilt:
|
||||
|
|
@ -244,17 +244,17 @@ Seien \(f_1,\dots,f_n,f\in L^2\).
|
|||
|
||||
\begin{wichtigebemerkung}
|
||||
\label{Bemerkung 18.3}
|
||||
Es sei \(\mdk\in\{\mdr,\mdc\},\,a,b\in\mdr,\,I:=[a,b]\,(a<b)\) und \(f_{n},\,f,\,g\in C(I,\mdk)\); es war
|
||||
Es sei \(\mdk\in\{\mdr,\mdc\},\,a,b\in\mdr,\,I:=[a,b]\,(a<b)\) und \(f_{n},\,f,\,g\in C(I,\mdk)\); es war
|
||||
\(\lVert f\rVert_{\infty}:=\max_{t\in I}\lvert f(t)\rvert\).
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \((f_{n})\) konvergiert auf \(I\) gleichmäßig gegen \(f\) genau dann, wenn
|
||||
\item \((f_{n})\) konvergiert auf \(I\) gleichmäßig gegen \(f\) genau dann, wenn
|
||||
\(\lVert f_{n}-f\rVert_{\infty}\to 0\,(n\to\infty)\) (vgl. Analysis I/II).
|
||||
\item \(f\in\mathrm{L}^{p}(I,\mdk)\) und \(\lVert f\rVert_{p}\leq(b-a)^{\frac{1}{p}}\lVert f\rVert_{\infty}\) (siehe \ref{Satz 16.2}).
|
||||
\item Gilt \(f=g\) fast überall, so ist \(f=g\) auf \(I\).
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Es existiert eine Nullmenge \(N\subseteq I:\,f(x)=g(x)\,\forall x\in I\setminus N\).\\
|
||||
Sei \(x_{0}\in\mdn\). Für \(\ep>0\) gilt: \(U_{\ep}(x_{0})\cap I\not\subseteq N\) (andernfalls:
|
||||
\(\lambda_{1}(N)\geq\lambda_{1}(U_{\ep}(x_{0})\cap I)>0\)). Das heißt, es existiert ein
|
||||
Sei \(x_{0}\in\mdn\). Für \(\ep>0\) gilt: \(U_{\ep}(x_{0})\cap I\not\subseteq N\) (andernfalls:
|
||||
\(\lambda_{1}(N)\geq\lambda_{1}(U_{\ep}(x_{0})\cap I)>0\)). Das heißt, es existiert ein
|
||||
\(x_{\ep}\in U_{\ep}(x_{0})\cap I:\,x_{\ep}\not\in N\). Also:
|
||||
\(\forall n\in\mdn\,\exists x_{n}\in U_{\frac{1}{n}}(x_{0})\cap I:\, x_{n}\not\in N\). Also: \(x_{n}\to x_{0}\).\\
|
||||
Dann: \(f(x_{0})=\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=\lim_{n\to\infty}g(x_{n})=g(x_{0})\)
|
||||
|
|
@ -287,9 +287,9 @@ Sei \(f\in\mathrm{L}^{2}\). Dann gilt: \(f\overset{\lVert\cdot\rVert_{2}}{=}\sum
|
|||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Zu zeigen: \(\lVert f-S_{n}f\rVert_{2}\to0\,(n\to\infty)\). Die Parsevalsche Gleichung folgt dann aus \ref{Satz 18.2}.\\
|
||||
Sei \(\ep>0\). Wende \ref{Satz 16.8}(2) auf \(\Re f\) und \(\Im f\) an. Dies liefert eine stetige Funktion
|
||||
Sei \(\ep>0\). Wende \ref{Satz 16.8}(2) auf \(\Re f\) und \(\Im f\) an. Dies liefert eine stetige Funktion
|
||||
\(g:\,(0,2\pi)\to\mdc\) mit: \(K:=\supp(g)\subseteq(0,2\pi)\), \(K\) kompakt und \(\lVert f-g\rVert_{2}<\ep\).\\
|
||||
Setze \(g(0):=g(2\pi):=0\). Dann ist \(g\) stetig auf \([0,2\pi]\). Satz \ref{Satz 18.4} liefert nun:
|
||||
Setze \(g(0):=g(2\pi):=0\). Dann ist \(g\) stetig auf \([0,2\pi]\). Satz \ref{Satz 18.4} liefert nun:
|
||||
\(\exists n\in\mdn\exists v\in\mathrm{E}_{n}:\,\lVert g-v\rVert_{\infty}<\ep\).\\
|
||||
Damit: \(\lVert g-v\rVert_{2}\leq\sqrt{2\pi}\lVert g-v\rVert_{\infty}<\sqrt{2\pi}\ep\). Somit:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|
|
@ -344,9 +344,9 @@ Fourierreihe von \(f\) ist eine \textbf{Sinusreihe}.
|
|||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(f(t):=\begin{cases}1,&0\leq t\leq\pi\\-1,&\pi<t\leq 2\pi\end{cases}\)
|
||||
|
||||
\(f\) ist ungerade, also \(\alpha_{k}=0\,\forall k\in\mdn_{0}\). Es ist
|
||||
\(f\) ist ungerade, also \(\alpha_{k}=0\,\forall k\in\mdn_{0}\). Es ist
|
||||
\(\beta_{k}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}{\sin(kt)\mathrm{d}t}=\begin{cases}0,&k\text{ gerade}\\\frac{4}{k\pi},&k\text{ ungerade}\end{cases}\).\\
|
||||
Damit:
|
||||
Damit:
|
||||
\[
|
||||
f\overset{\lVert\cdot\rVert_{2}}{=}\frac{4}{\pi}\sum_{j=0}^{\infty}{\frac{\sin((2j+1)\cdot)}{2j+1}}
|
||||
\]
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -3,7 +3,7 @@
|
|||
In diesem Kapitel sei \(X\) eine Menge, \(X\neq\emptyset\).
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Ring}
|
||||
Sei \(\emptyset\neq \fr \subseteq \cp(X)\).
|
||||
Sei \(\emptyset\neq \fr \subseteq \cp(X)\).
|
||||
$\fr$ heißt ein \textbf{Ring} auf \(X\), genau dann wenn gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item[(R1)] \(\emptyset \in \fr\)
|
||||
|
|
@ -12,7 +12,7 @@ In diesem Kapitel sei \(X\) eine Menge, \(X\neq\emptyset\).
|
|||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\textbf{Hinweis}: $(\fr, \cup, \setminus)$ ist kein Ring im Sinne
|
||||
der linearen Algebra, $(\fr, \cup)$ kein Inverses Element hat und
|
||||
der linearen Algebra, $(\fr, \cup)$ kein Inverses Element hat und
|
||||
$(\fr, \cup)$ nicht kommutativ ist.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
|
|
@ -21,7 +21,7 @@ $(\fr, \cup)$ nicht kommutativ ist.
|
|||
Sei \(d\in\MdN\).
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(\ci_d :=\Set{(a,b] | a,b \in \MdR^{d}, \, a \leq b} (\emptyset \in \ci_d)\).
|
||||
Seien \(a=(a_{1},\dots,a_{d}),\,b=(b_{1},\dots,b_{d})\in\MdR^d\)
|
||||
Seien \(a=(a_{1},\dots,a_{d}),\,b=(b_{1},\dots,b_{d})\in\MdR^d\)
|
||||
und \(I:=(a,b] \in \ci_{d}\)
|
||||
\[
|
||||
\lambda_{d}(I)= \begin{cases}
|
||||
|
|
@ -31,7 +31,7 @@ $(\fr, \cup)$ nicht kommutativ ist.
|
|||
\item \(\cf_d:=\Set{\bigcup_{j=1}^{n}I_{j} | n\in\MdN,\,I_{1},\dots,I_{n}\in \ci_d}\) (\textbf{Menge der Figuren})
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
Ziel dieses Kapitels: Fortsetzung von \(\lambda_{d}\) auf \(\cf_{d}\)
|
||||
Ziel dieses Kapitels: Fortsetzung von \(\lambda_{d}\) auf \(\cf_{d}\)
|
||||
und dann auf \(\fb_d\) (\(\leadsto\) Lebesgue-Maß)
|
||||
|
||||
Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}=\sigma(\ci_{d})=\sigma(\cf_{d})\)
|
||||
|
|
@ -40,7 +40,7 @@ Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}
|
|||
Seien \(I,I'\in\ci_{d}\) und \(A\in\cf_{d}\). Dann:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(I\cap I'\in\ci_{d}\)
|
||||
\item \(I\setminus I'\in\cf_{d}.\)
|
||||
\item \(I\setminus I'\in\cf_{d}.\)
|
||||
Genauer: \(\exists\left\{I_{1}',\dots,I_{l}'\right\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
|
||||
\(I\setminus I'=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\) % \bigcupdot
|
||||
\item \(\exists\left\{I_{1}',\dots,I_{l}'\right\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt: \(A=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\)
|
||||
|
|
@ -67,7 +67,7 @@ Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}
|
|||
\(I=I_{1}\times I_{2},\,I'=I_{1}'\times I_{2}'\)
|
||||
% Graphik einfuegen!
|
||||
|
||||
Nachrechnen:
|
||||
Nachrechnen:
|
||||
\[
|
||||
I\setminus I'=(I_{1}\setminus I_{1}')\times I_{2}\dot \cup(I_{1}\cap I_{1}')\times(I_{2}\setminus I_{2}')
|
||||
\]
|
||||
|
|
@ -76,11 +76,11 @@ Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}
|
|||
Daraus folgt die Behauptung für \(d+1\)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item \begin{itemize}
|
||||
\item[\underline{Vor.:}] Sei $n \in \mdn$ und
|
||||
\(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit
|
||||
\(I_{1},\dots,I_{d}\in\ci_{d}\)
|
||||
\item[\underline{Vor.:}] Sei $n \in \mdn$ und
|
||||
\(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit
|
||||
\(I_{1},\dots,I_{d}\in\ci_{d}\)
|
||||
\item[\underline{Beh.:}] Es existiert
|
||||
\(\{I_{1}',\dots,I_{l}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
|
||||
\(\{I_{1}',\dots,I_{l}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
|
||||
\(A=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\)
|
||||
\item[\underline{Bew.:}] mit Induktion nach $n$:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
|
|
@ -93,7 +93,7 @@ Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}
|
|||
|
||||
Dann: \(A=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{(I_{j}'\setminus I_{n+1})}\) % \cupdot
|
||||
|
||||
Wende (2) auf jedes \(I_{j}'\setminus I_{n+1}\) an \((j=1,\dots,l)\):
|
||||
Wende (2) auf jedes \(I_{j}'\setminus I_{n+1}\) an \((j=1,\dots,l)\):
|
||||
\(I_{j}'\setminus I_{n+1}=\bigcup_{j=1}^{l_{j}}{I_{j}''}\quad(I_{j}''\in\ci_{d})\)
|
||||
|
||||
Damit folgt:
|
||||
|
|
@ -124,14 +124,14 @@ ohne Beweis:
|
|||
\begin{lemma}[Unabhängigkeit von der Darstellung]
|
||||
\label{Lemma 2.2}
|
||||
Sei \(A\in\cf_{d}\) und \(\{I_{1},\dots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt und
|
||||
\(\{I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt mit
|
||||
\(\{I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt mit
|
||||
\(\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}=A=\bigcup_{j=1}^{m}{I_{j}'}\). Dann:
|
||||
\[
|
||||
\sum_{j=1}^{n}{\lambda_{d}(I_{j})}=\sum_{j=1}^{m}{\lambda_{d}(I_{j}')}
|
||||
\]
|
||||
\end{lemma}
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei \(A\in\cf_{d}\) und \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit
|
||||
Sei \(A\in\cf_{d}\) und \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit
|
||||
\(\{I_{1},\dots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\)
|
||||
disjunkt (beachte Lemma \ref{Lemma 2.1}, Punkt 3).
|
||||
\[
|
||||
|
|
@ -147,23 +147,23 @@ ohne Beweis:
|
|||
\item \(A\cap B=\emptyset\implies\lambda_{d}(A\cup B)=\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\)
|
||||
\item \(A\subseteq B\implies\lambda_{d}(A)\leq\lambda_{d}(B)\)
|
||||
\item \(\lambda_{d}(A\cup B)\leq\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\)
|
||||
\item Sei \(\delta>0\). Es existiert \(C\in\cf_{d}:\overline{C}\subseteq B\)
|
||||
\item Sei \(\delta>0\). Es existiert \(C\in\cf_{d}:\overline{C}\subseteq B\)
|
||||
und \(\lambda_{d}(B\setminus C)\leq\delta\).
|
||||
\item Ist \(B_{n+1}\subseteq B_{n}\forall n\in\mdn\) und
|
||||
\(\bigcap B_{n}=\emptyset\), so gilt:
|
||||
\item Ist \(B_{n+1}\subseteq B_{n}\forall n\in\mdn\) und
|
||||
\(\bigcap B_{n}=\emptyset\), so gilt:
|
||||
\(\lambda_{d}(B_{n})\to 0\,(n\to \infty)\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Aus Lemma \ref{Lemma 2.1} folgt: Es existiert
|
||||
\item Aus Lemma \ref{Lemma 2.1} folgt: Es existiert
|
||||
\(\{I_{1},\dots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\)
|
||||
disjunkt und es existiert \(\{I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
|
||||
\(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}},\,B=\bigcup_{j=1}^{m}{I_{j}'}\).
|
||||
|
||||
\(J:=\{I_{1},\dots,I_{n},I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\). Aus
|
||||
\(A\cap B=\emptyset\) folgt: \(J\) ist disjunkt. Dann:
|
||||
\(J:=\{I_{1},\dots,I_{n},I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\). Aus
|
||||
\(A\cap B=\emptyset\) folgt: \(J\) ist disjunkt. Dann:
|
||||
\(A\cup B=\bigcup_{I\in J}{I}\) % Hier auch wieder: \bigcupdot
|
||||
|
||||
Also:
|
||||
|
|
@ -187,7 +187,7 @@ Dann:
|
|||
Aus der Definition von Kompaktheit (Analysis II, \S 2) folgt:
|
||||
\(\exists m\in\mdn:\,\bigcup_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}^{c}}\supseteq\overline{B}_{1}\)
|
||||
Dann: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}\subseteq\overline{B}_{1}^{c}\).
|
||||
Andererseits: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}\subseteq\bigcap_{j=1}^{m}{B_{j}}\subseteq B_{1}\subseteq\overline{B}_{1}\).
|
||||
Andererseits: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}\subseteq\bigcap_{j=1}^{m}{B_{j}}\subseteq B_{1}\subseteq\overline{B}_{1}\).
|
||||
|
||||
Also: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}=\emptyset\). Das heißt:
|
||||
\(\bigcap_{j=1}^{n}{\overline{C}_{j}}=\emptyset \quad \forall n\geq m\)
|
||||
|
|
@ -198,7 +198,7 @@ Also: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}=\emptyset\). Das heißt:
|
|||
\begin{beweis} (induktiv)
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item[I.A.] \(\lambda_{d}(B_{1}\setminus D_{1})=\lambda_{d}(B_{1}\setminus C_{1})\overset{\eqref{eq: Abschaetzung Mass -- Beweis Satz 2.3.(5)}}{\leq}\frac{\ep}{2}=\left(1-\frac{1}{2}\right)\ep\) \checkmark
|
||||
\item[I.V.] Sei \(n\in\mdn\) und es gelte
|
||||
\item[I.V.] Sei \(n\in\mdn\) und es gelte
|
||||
$\lambda_{d}(B_{n}\setminus D_{n})\leq\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)\ep$
|
||||
\item[I.S.] \begin{align*}
|
||||
\lambda_{d}(B_{n+1}\setminus D_{n+1})&=\lambda_{d}\left((B_{n+1}\setminus D_{n})\cup(B_{n+1}\setminus C_{n+1})\right)\\
|
||||
|
|
@ -216,7 +216,7 @@ Für \(n\geq m:\,D_{n}=\emptyset\,\implies\,\lambda_{d}(B_{n})=\lambda_{d}(B_{n}
|
|||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Prämaß}
|
||||
Es sei \(\fr\) ein Ring auf \(X\). Eine Abbildung \(\mu:\fr\to[0,\infty]\)
|
||||
Es sei \(\fr\) ein Ring auf \(X\). Eine Abbildung \(\mu:\fr\to[0,\infty]\)
|
||||
heißt ein \textbf{Prämaß} \ auf \(\fr\), wenn gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(\mu(\emptyset)=0\)
|
||||
|
|
@ -240,7 +240,7 @@ Für \(n\geq 2\):
|
|||
\[
|
||||
\lambda_{d}(A)=\lambda_{d}(A_{1}\cup\dots\cup A_{n-1}\cup B_{n})\overset{\ref{Satz 2.3}.(1)}{=}\sum_{j=1}^{n-1}{\lambda_{d}(A_{j})}+\lambda_{d}(B_{n})
|
||||
\]
|
||||
Daraus folgt:
|
||||
Daraus folgt:
|
||||
\[
|
||||
\sum_{j=1}^{n-1}{\lambda_{d}(A_{j})}=\lambda_{d}(A)-\lambda_{d}(B_{n})\quad\forall n\geq 2
|
||||
\]
|
||||
|
|
@ -268,7 +268,7 @@ Sei \(\emptyset\neq\ce\subseteq\cp(X)\), es seien \(\nu,\,\mu\) Maße auf
|
|||
Es gelte:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(E,F\in\ce\implies E\cap F\in\ce\quad\text{(durchschnittstabil)}\)
|
||||
\item $\exists$ eine Folge \((E_{n})\) in \(\ce\): \(\bigcup{E_{n}}=X\)
|
||||
\item $\exists$ eine Folge \((E_{n})\) in \(\ce\): \(\bigcup{E_{n}}=X\)
|
||||
und \(\mu(E_{n})<\infty \quad \forall n\in\mdn\).
|
||||
\item \(\mu(E)=\nu(E) \quad \forall E\in\ce\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
|
@ -286,18 +286,18 @@ und wird ebenfalls mit \(\lambda_{d}\) bezeichnet.
|
|||
\folgtnach{(\ref{Lemma 2.1}) und (\ref{Satz 2.4})}: \(\lambda_{d}\) ist ein
|
||||
Prämaß\ auf \(\fr:=\cf_{d}\); es ist \(\sigma(\fr)=\fb_{d}\).
|
||||
|
||||
\folgtnach{\ref{Satz 2.5}}: \(\lambda_{d}\) kann zu einem Maß auf
|
||||
\(\sigma(\cf_{d}) = \fb_{d}\) fortgesetzt werden. Für diese
|
||||
\folgtnach{\ref{Satz 2.5}}: \(\lambda_{d}\) kann zu einem Maß auf
|
||||
\(\sigma(\cf_{d}) = \fb_{d}\) fortgesetzt werden. Für diese
|
||||
Fortsetzung schreiben wir wieder $\lambda_d$, also
|
||||
$\lambda_d: \fb_{d} \rightarrow [0, +\infty]$
|
||||
|
||||
Sei \(\nu\) ein weiteres Maß\ auf \(\fb_{d}\) mit:
|
||||
Sei \(\nu\) ein weiteres Maß\ auf \(\fb_{d}\) mit:
|
||||
\(\nu(A)=\lambda_{d}(A)\,\forall A\in\cf_{d}\). \(\ce:=\ci_{d}\). Dann:
|
||||
\(\sigma(\ce)\overset{\ref{Satz 1.4}}{=}\fb_{d}\).
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(E,F\in\ce\overset{\ref{Lemma 2.1}}{\implies}E\cap F\in\ce\)
|
||||
\item \(E_{n}:=(-n,n]^{d}\)
|
||||
Klar:
|
||||
Klar:
|
||||
\begin{align*}
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||||
\bigcup E_{n}&=\mdr^{d}\\
|
||||
\lambda_{d}(E_{n})&=(2n)^{d}<\infty
|
||||
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|
@ -426,9 +426,9 @@ Also auch:
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|||
\end{beweis}
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||||
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||||
\textbf{Auswahlaxiom:}\\
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||||
Sei $\emptyset\ne\Omega$ Indexmenge, es sei $\Set{X_\omega | \omega\in\Omega}$
|
||||
ein disjunktes System von nichtleeren Mengen $X_\omega$. Dann
|
||||
existiert ein $C\subseteq\bigcup_{\omega\in\Omega}X_\omega$, sodass
|
||||
Sei $\emptyset\ne\Omega$ Indexmenge, es sei $\Set{X_\omega | \omega\in\Omega}$
|
||||
ein disjunktes System von nichtleeren Mengen $X_\omega$. Dann
|
||||
existiert ein $C\subseteq\bigcup_{\omega\in\Omega}X_\omega$, sodass
|
||||
$C$ mit jedem $X_j$ genau ein Element gemeinsam hat.
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||||
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||||
\begin{satz}[Satz von Vitali]
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@ -450,7 +450,7 @@ Es ist $\mdq^d\cap[-1,1]^d=\{q_1,q_2,\dots\}$ mit $q_i\ne q_j$ für $(i\ne j)$.
|
|||
\end{align*}
|
||||
\begin{beweis}
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||||
Sei $x\in[0,1]^d$. Wähle $y\in C$ mit $y\in[x]$, dann ist $x\sim y$, also $x-y\in\mdq^d\cap[-1,1]^d$. D.h.:
|
||||
\[\exists n\in\mdn: x-y=q_n\implies x=q_n+y\in q_n+C\]
|
||||
\[\exists n\in\mdn: x-y=q_n\implies x=q_n+y\in q_n+C\]
|
||||
\end{beweis}
|
||||
Außerdem ist $\Set{q_n+C | n\in\mdn}$ disjunkt.
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||||
\begin{beweis}
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||||
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@ -18,8 +18,8 @@ Seien die Bezeichnungen wie in obiger Definition, dann gilt:
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|||
\begin{enumerate}
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||||
\item $f$ sei $\fa$-$\fb$-messbar, $\fa'$ eine weitere $\sigma$-Algebra auf $X$ mit $\fa\subseteq\fa'$ und $\fb'$ sei eine $\sigma$-Algebra auf $Y$ mit $\fb'\subseteq\fb$.\\
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||||
Dann ist $f$ $\fa'$-$\fb'$-messbar.
|
||||
\item Sei $X_0\in\fa$, dann gilt $\fa_{X_0}\subseteq\fa$ nach
|
||||
\ref{Satz 1.5}. Nun sei $f:X\to Y$ $\fa$-$\fb$-messbar, dann ist
|
||||
\item Sei $X_0\in\fa$, dann gilt $\fa_{X_0}\subseteq\fa$ nach
|
||||
\ref{Satz 1.5}. Nun sei $f:X\to Y$ $\fa$-$\fb$-messbar, dann ist
|
||||
$f_{\mid X_0}:X_0\to Y$ $\fa_{X_0}$-$\fb$-messbar.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
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@ -66,7 +66,7 @@ Dann: \(\fb=\sigma(\ce)\subseteq\fd\). Ist \(B\in\fb\), so ist \(B\in\fd\), also
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|||
\index{messbar!Borel}\index{messbar}
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||||
Sei \(X\in\fb_{d}\). Ist \(f:\,X\to\mdr^{k}\) \(\fb(X)-\fb_{k}-\)messbar, so heißt \(f\) \textbf{(Borel-)messbar}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
Ab jetzt sei stets \(\emptyset \neq X\in\fb_{d}\).
|
||||
Ab jetzt sei stets \(\emptyset \neq X\in\fb_{d}\).
|
||||
(Erinnerung: \(\fb(X)=\Set{A\in\fb_{d} | A\subseteq X}\))
|
||||
|
||||
\begin{satz}
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||||
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@ -80,7 +80,7 @@ Seien \(f,\,g:\,X\to\mdr^{k}\) Abbildungen und \(\alpha,\beta\in\mdr\).
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|||
\item Sei \(k=1\) und \(f\) und \(g\) seien messbar. Dann:
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item \(f \cdot g\) ist messbar
|
||||
\item Ist \(f(x)\neq 0 \quad \forall x\in X\), so ist
|
||||
\item Ist \(f(x)\neq 0 \quad \forall x\in X\), so ist
|
||||
\(\frac{1}{f}\) messbar
|
||||
\item \(\Set{x\in X | f(x)\stackrel{>}{\geq} g(x)} \in \fb(X)\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
|
@ -96,13 +96,13 @@ Seien \(f,\,g:\,X\to\mdr^{k}\) Abbildungen und \(\alpha,\beta\in\mdr\).
|
|||
stetig, also messbar.
|
||||
|
||||
Es ist \(g=\vp\circ f\). \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)} \(g\) ist messbar.
|
||||
\item
|
||||
\item
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item["`\(\Rightarrow:\)"'] Für \(j=1, \dots,k\) sei
|
||||
\(p_{j}:\mdr^{k}\to\mdr\) definiert durch
|
||||
\item["`\(\Rightarrow:\)"'] Für \(j=1, \dots,k\) sei
|
||||
\(p_{j}:\mdr^{k}\to\mdr\) definiert durch
|
||||
\(p_{j}(x_{1},\dots,x_{k}):=x_{j}\)
|
||||
\(p_{j}\) ist stetig, also messbar. Es ist
|
||||
\(f_{j}=p_{j}\circ f\) \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)}
|
||||
\(p_{j}\) ist stetig, also messbar. Es ist
|
||||
\(f_{j}=p_{j}\circ f\) \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)}
|
||||
\(f_{j}\) ist messbar.
|
||||
\item["`\(\Leftarrow:\)"'] Sei \(I=(a,b]=\prod_{j=1}^{k}{(a_{j},b_{j}]}\in I_{k}\quad (a=(a_{1},\dots,a_{k}),\,b=(b_{1},\dots,b_{k}),\,a\leq b)\)\\
|
||||
Dann: \(f^{-1}(I)=\bigcap_{j=1}^{k}{\underbrace{f_{j}^{-1}(\underbrace{(a_{j},b_{j}]}_{\in\fb_{1}}}_{\in\fb(X)}}\in\fb(X)\)
|
||||
|
|
@ -114,7 +114,7 @@ Es ist \(g=\vp\circ f\). \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)} \(g\) ist messbar.
|
|||
|
||||
\(\vp\) ist stetig, also messbar. Es ist \(\alpha f+\beta g=\vp\circ h\)
|
||||
\folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)} \(\alpha f+\beta g\) ist messbar.
|
||||
\item
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(h:=(f,g):\,X\to\mdr^{2k}\) ist messbar (nach (2)); \(\vp(x,y):=xy\), \(\vp\) ist stetig, also messbar.
|
||||
|
||||
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|
@ -130,10 +130,10 @@ Es ist \(fg=\vp\circ h\) \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)} \(fg\) ist messbar.
|
|||
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||||
\begin{folgerungen}
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||||
\label{Lemma 3.3}
|
||||
Seien \(A,\,B\in\fb(X),\,A\cap B=\emptyset\) und \(X=A\cup B\).
|
||||
Seien \(A,\,B\in\fb(X),\,A\cap B=\emptyset\) und \(X=A\cup B\).
|
||||
Weiter seien \(f:A\to\mdr^{k}\) und
|
||||
\(g:B\to\mdr^{k}\) messbar.\\
|
||||
Dann ist \(h:X\to\mdr^{k}\), definiert durch
|
||||
Dann ist \(h:X\to\mdr^{k}\), definiert durch
|
||||
\[
|
||||
h(x):=\begin{cases}f(x)&x\in A\\g(x)&x\in B\end{cases},
|
||||
\]
|
||||
|
|
@ -184,7 +184,7 @@ In \(\imdr\) gelten folgende Regeln, wobei \(a\in\mdr\):
|
|||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei \((x_{n})\) eine Folge in
|
||||
\item Sei \((x_{n})\) eine Folge in
|
||||
\(\imdr\). \(x_{n}\rightarrow+\infty:\Leftrightarrow\forall c\in\mdr\,\exists n_{c}\in\mdn:x_{n}\geq c\quad\forall n\geq n_{c}\)\\
|
||||
Analog für \(-\infty\).
|
||||
\item Seien \(f,g: X\to\imdr\) Funktionen. Dann:
|
||||
|
|
@ -208,7 +208,7 @@ Analog für \(-\infty\).
|
|||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Borel!$\sigma$-Algebra}\index{messbar}
|
||||
\(\ifb_{1}:=\Set{B\cup E | B\in\fb_{1},\,E\subseteq\Set{-\infty,+\infty}}\).
|
||||
\(\ifb_{1}:=\Set{B\cup E | B\in\fb_{1},\,E\subseteq\Set{-\infty,+\infty}}\).
|
||||
Dann: \(\fb_{1}\subseteq\ifb_{1}\)\\
|
||||
Übung: \(\ifb_{1}\) ist eine \(\sigma\)-Algebra auf \(\imdr\).\\
|
||||
Klar: \(\fb_{1} \subseteq \ifb_{1}\)
|
||||
|
|
@ -258,11 +258,11 @@ Die folgenden Beweise erfolgen exemplarisch für einen der Unterpunkte und funkt
|
|||
\item Es gilt:
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||||
\[\forall a \in \mdq\colon \{f\le a\}=\Set{x\in X | f(x)\le a}=f^{-1}(\underbrace{[-\infty,a]}_{\ce_1}) (*)\]
|
||||
Die Äquivalenz folgt dann aus (1) und \ref{Satz 3.1}.
|
||||
\item Die Funktion $f:X\to\imdr$ kann aufgefasst werden als Funktion $\overline{f}:X\to\imdr$. Es ist $f$ genau dann $\fb(X)$-$\fb_1$-messbar wenn $\overline{f}$ $\fb(X)$-$\overline{\fb_1}$-messbar ist.
|
||||
\item Die Funktion $f:X\to\imdr$ kann aufgefasst werden als Funktion $\overline{f}:X\to\imdr$. Es ist $f$ genau dann $\fb(X)$-$\fb_1$-messbar wenn $\overline{f}$ $\fb(X)$-$\overline{\fb_1}$-messbar ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}\
|
||||
\begin{bemerkung}\
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ist $X \subseteq \mdr$ ein Intervall und $f: \bar X \rightarrow \mdr$ monoton, so ist
|
||||
$f$ messbar (vgl. 3. ÜB)
|
||||
|
|
@ -284,11 +284,11 @@ Es ist $|f(x)|=1 \quad \forall x \in \mdr^d$, also $|f| = \mathds{1}_{\mdr^d}$.
|
|||
\begin{definition}
|
||||
Sei $M\subseteq\imdr$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ist $M=\emptyset$ oder $M=\{-\infty\}$, so sei
|
||||
\item Ist $M=\emptyset$ oder $M=\{-\infty\}$, so sei
|
||||
\[\sup M:=-\infty\]
|
||||
\item Ist $M\setminus\{-\infty\}\ne\emptyset$ und nach oben beschränkt (also insbesondere $\infty\not\in M$), so sei
|
||||
\item Ist $M\setminus\{-\infty\}\ne\emptyset$ und nach oben beschränkt (also insbesondere $\infty\not\in M$), so sei
|
||||
\[\sup M:= \sup (M\setminus\{-\infty\})\]
|
||||
\item Ist $M\setminus\{-\infty\}$ nicht nach oben beschränkt oder $\infty\in M$, so sei
|
||||
\item Ist $M\setminus\{-\infty\}$ nicht nach oben beschränkt oder $\infty\in M$, so sei
|
||||
\[\sup M:=\infty\]
|
||||
\item Es sei $\inf M:=-\sup(-M)$, wobei $-M:=\Set{-m | m\in M}$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
|
@ -343,7 +343,7 @@ Also ist $\sup_{n\in\mdn} f_n$ messbar. Analog lässt sich die Messbarkeit von $
|
|||
Sei $X=I$ ein Intervall in $\mdr$ und $f:I\to\mdr$ sei auf $I$ differenzierbar.\\
|
||||
Für $x\in I,n\in\mdn$ sei $f_n:= n(f(x-\frac1n)-f(x))$. Da $f$ stetig ist, ist auch jedes $f_n$ stetig, also insbesondere messbar und es gilt:
|
||||
\[f_n(x)=\frac{f(x-\frac1n)-f(x)}{\frac1n}\stackrel{n\to\infty}{\to}f'(x)\]
|
||||
Aus \ref{Satz 3.5}(2) folgt, dass $f'$ messbar ist.
|
||||
Aus \ref{Satz 3.5}(2) folgt, dass $f'$ messbar ist.
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
|
|
@ -435,13 +435,13 @@ Sei $f:X\to\imdr$ eine Funktion, dann ist $f$ genau dann messbar, wenn eine Folg
|
|||
Dann ist $\varphi_n$ $(\fb_1)_{[0,\infty]}$-$\fb_1$-messbar, außerdem gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\forall t\in[0,\infty]\forall n\in\mdn&: 0\le\varphi_1\le\dots\le t\\
|
||||
\forall t\in[0,n]\forall n\in\mdn&: t-\frac1{2^n}\le\varphi_n(t)\le t
|
||||
\forall t\in[0,n]\forall n\in\mdn&: t-\frac1{2^n}\le\varphi_n(t)\le t
|
||||
\end{align*}
|
||||
und es ist $\varphi_n(t)\stackrel{n\to\infty}\to t$ für alle $t\in[0\infty]$. Setze $f_n:=\varphi_n\circ f$. Dann leistet $(f_n)$ das gewünschte.
|
||||
\item Es ist $f=f_+-f_-$ und $f_+,f_-\ge0$ auf $X$. Seien $(g_n),(h_n)$ zulässige Folgen für $f_+$ bzw. $f_-$. Definiere $f_n:=g_n-h_n$. Dann ist klar, dass gilt:
|
||||
\[\forall x\in X: f_n(x)=g_n(x)-h_n(x)\stackrel{n\to\infty}\to f_+(x)-f_-(x)=f(x)\]
|
||||
Weiter gilt:
|
||||
\[|f_n|\le g_n+h_n\le f_++f_-=|f|\]
|
||||
\item Ohne Beweis.
|
||||
\item Ohne Beweis.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -53,7 +53,7 @@ Sei $f:X\to[0,\infty]$ messbar. $(f_n)$ sei eine für $f$ zulässige Folge. Das
|
|||
\end{align*}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}\
|
||||
\begin{bemerkung}\
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item In \ref{Satz 4.3} werden wir sehen, dass $(*)$ unabhängig ist von der Wahl der für $f$ zulässigen Folge $(f_n)$.
|
||||
\item $(f_n(x))$ ist wachsend für alle $x\in X$, d.h.:
|
||||
|
|
@ -92,8 +92,8 @@ Es folgt \(x\in B_n\) für jedes \(n\geq n(x)\).\\
|
|||
\textbf{Fazit:} \(X=\bigcup B_n\). \[A_j=A_j\cap X=A_j\cap\left(\bigcup B_n\right) = \bigcup(A_j\cap B_n) \text{ und } A_j\cap B_n\subseteq A_j\cap B_{n+1} \]
|
||||
Aus \ref{Satz 1.7} folgt \(\lambda(A_j)=\lim\limits_{n\to\infty}\lambda(A_j\cap B_n)\). Das liefert:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int\limits_Xg\,dx &= \sum\limits_{j=1}^m y_j\lambda(A_j)
|
||||
= \sum\limits_{j=1}^m y_j\lim\limits_{n\to\infty}\lambda(A_j\cap B_n)\\
|
||||
\int\limits_Xg\,dx &= \sum\limits_{j=1}^m y_j\lambda(A_j)
|
||||
= \sum\limits_{j=1}^m y_j\lim\limits_{n\to\infty}\lambda(A_j\cap B_n)\\
|
||||
&=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{j=1}^m y_j\lambda(A_j\cap B_n)
|
||||
\overset{\ref{Satz 4.1}}= \lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_X \mathds{1}_{B_n}g\,dx\\
|
||||
&\leq \lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_X \alpha f_n\,dx
|
||||
|
|
@ -127,7 +127,7 @@ Dann ist wegen \ref{Satz 3.7} und \(\alpha , \beta \geq 0\), dass \((h_n)\) zul
|
|||
\begin{enumerate}
|
||||
\item["'$\implies$"'] Sei \(\int_Xf\,dx=0\) und \(A_n:=\{f>\frac{1}{n}\}\). Dann ist \(A=\bigcup A_n\) und \(f\geq\frac{1}{n}\mathds{1}_{A_n}\). Damit folgt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
0 = \int_Xf\,dx
|
||||
0 = \int_Xf\,dx
|
||||
\overset{\text{(2)}}\geq \int_X\frac1{n}\mathds{1}_{A_n}\,dx
|
||||
=\frac1{n}\lambda(A_n)
|
||||
\intertext{Es ist also \(\lambda(A_n)=0\) und damit gilt weiter}
|
||||
|
|
@ -212,7 +212,7 @@ Sei $X \in \fb_1$, $f(x) := \begin{cases} 1&,x\in X\cap\MdQ\\ 0&,x\in X\setminus
|
|||
$X, \MdQ \in \fb_1 \implies X \cap \MdQ \in \fb_1 \implies f$ ist messbar.
|
||||
\[0 \leq \int_X f(x) \text{ d}x = \int_X \mathds{1}_{X\cap\MdQ} \text{ d}x = \lambda(X\cap\MdQ) \leq \lambda(\MdQ) = 0\]
|
||||
\textbf{Das heißt:} $f \in \fl^1(X)$, $\int_X f \text{ d}x = 0$.
|
||||
Ist speziell $X = [a,b]\quad (a<b)$, so gilt: $f \in \fl^1([a,b])$, aber $f \not\in R([a,b])$.
|
||||
Ist speziell $X = [a,b]\quad (a<b)$, so gilt: $f \in \fl^1([a,b])$, aber $f \not\in R([a,b])$.
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Charakterisierung der Integrierbarkeit]
|
||||
|
|
@ -258,9 +258,9 @@ Sei $f:X\to\imdr$ integrierbar und $N := \{\lvert f \rvert = +\infty\} = \{x\in
|
|||
\end{folgerungen}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
$\ref{Satz 3.4} \implies N \in \fb(X).$ $n\mathds{1}_N \leq \lvert f \rvert$ für alle $n\in \MdN$. Dann:
|
||||
$\ref{Satz 3.4} \implies N \in \fb(X).$ $n\mathds{1}_N \leq \lvert f \rvert$ für alle $n\in \MdN$. Dann:
|
||||
\[n \cdot \lambda(N) = \int_X n\mathds{1}_N \text{ d}x \stackrel{4.5}{\leq} \int_X \lvert f \rvert \text{ d}x \stackrel{4.9}{<} \infty \text{ für alle } n \in \mdn\]
|
||||
Also: $0 \leq n\lambda(N) \leq \int_X \lvert f \rvert \text{ d}x \quad \forall n \in \mdn \implies \lambda(N) = 0$
|
||||
Also: $0 \leq n\lambda(N) \leq \int_X \lvert f \rvert \text{ d}x \quad \forall n \in \mdn \implies \lambda(N) = 0$
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
|
|
@ -277,13 +277,13 @@ $f, g: X \to \imdr$ seien integrierbar und es sei $\alpha \in \mdr$.
|
|||
\item $\lvert \int_X f \text{ d}x \rvert \leq \int_X \lvert f \rvert \text{ d}x$. (Dreiecksungleichung für Integrale)
|
||||
\item Sei $\emptyset\ne Y \in \fb(X)$. Dann sind die Funktionen $f_{|Y}: Y \to \imdr$ und $\mathds{1}_Y\cdot f: X \to \imdr$ integrierbar und
|
||||
\[\int_Y f(x) \text{ d}x := \int_Y f_{|Y} (x) \text{ d}x = \int_X(\mathds{1}_Y \cdot f)(x) \text{ d}x\]
|
||||
\item Sei $\lambda(X) < \infty$ und $h: X \to \mdr$ sei messbar und beschränkt. Dann: $h \in \fl^1(X)$ und $\lvert \int_X h \text{ d}x\rvert \leq \|h\|_\infty \lambda(X) \quad$ (mit $\|h\|_\infty := \sup\{|h(x)| : x\in X\}$)
|
||||
\item Sei $\lambda(X) < \infty$ und $h: X \to \mdr$ sei messbar und beschränkt. Dann: $h \in \fl^1(X)$ und $\lvert \int_X h \text{ d}x\rvert \leq \|h\|_\infty \lambda(X) \quad$ (mit $\|h\|_\infty := \sup\{|h(x)| : x\in X\}$)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item folgt aus \(\alpha f)_{\pm}=\alpha f_{\pm}\), falls \(\alpha\geq0\) und \(\alpha f)_{\pm}=-\alpha f_{\mp}\), falls
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item folgt aus \(\alpha f)_{\pm}=\alpha f_{\pm}\), falls \(\alpha\geq0\) und \(\alpha f)_{\pm}=-\alpha f_{\mp}\), falls
|
||||
\(\alpha<0\).
|
||||
\item Es gilt \(f+g=\underbrace{f_{+}+g_{+}}_{=:u}-\underbrace{(f_{-}+g_{-})}_{=:v}=u-v\). Dann:
|
||||
\[
|
||||
|
|
@ -309,11 +309,11 @@ Es folgt:
|
|||
\[
|
||||
\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\int_{X}{f_{+}\mathrm{d}x}-\int_{X}{f_{-}\mathrm{d}x}\overset{\ref{Satz 4.5}}{\leq}\int_{X}{g_{+}\mathrm{d}x}-\int_{X}{g_{-}\mathrm{d}x}=\int_{X}{g\mathrm{d}x}
|
||||
\]
|
||||
\item Es ist \(\pm f\leq\lvert f\rvert\). Mit Aussage (1) und (5) folgt:
|
||||
\item Es ist \(\pm f\leq\lvert f\rvert\). Mit Aussage (1) und (5) folgt:
|
||||
\(\pm\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\int_{X}{(\pm f)\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lvert f\rvert\mathrm{d}x}\).\\
|
||||
Es ist \(\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\lvert\int_{X}{f\mathrm{d}x}\rvert\) oder \(-\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\lvert\int_{X}{f\mathrm{d}x}\rvert\)
|
||||
\item Mit Bemerkung (2) vor \ref{Satz 3.1} und Satz \ref{Satz 3.6}.(2) folgt: \(f_{|Y}\) und \(\mathds{1}_{Y}\cdot f\) sind
|
||||
messbar. Es gilt: \((f_{|Y})_{\pm}=(f_{\pm})_{|Y}\) und \((\mathds{1}_{Y}\cdot f)_{\pm}=\mathds{1}\cdot f_{\pm}\). Weiterhin
|
||||
messbar. Es gilt: \((f_{|Y})_{\pm}=(f_{\pm})_{|Y}\) und \((\mathds{1}_{Y}\cdot f)_{\pm}=\mathds{1}\cdot f_{\pm}\). Weiterhin
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gilt \(0\leq\mathds{1}_{Y}f_{\pm}\leq f_{\pm}\). Mit \ref{Satz 4.9} folgt dann, daß\ \(\mathds{1}_{Y}f_{\pm}\) integrierbar
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ist. Dann:
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\begin{align*}
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@ -325,7 +325,7 @@ Es folgt: \(f_{|Y}\) ist integrierbar und \(\int_{Y}{f_{|Y}\mathrm{d}x}=\int_{Y}
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\[
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||||
\int_{X}{\lvert h\rvert\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lVert h\rVert_{\infty}\mathds{1}_{X}\mathrm{d}x}=\lVert h\rVert_{\infty}\lambda(X)<\infty
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||||
\]
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||||
Damit: \(\lvert h\rvert\) ist integrierbar und mit \ref{Satz 4.9} auch \(h\). Da \(h\) beschränkt ist, folgt:
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||||
Damit: \(\lvert h\rvert\) ist integrierbar und mit \ref{Satz 4.9} auch \(h\). Da \(h\) beschränkt ist, folgt:
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||||
\(h\in\fl^{1}(X)\). Schließlich:
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\[
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||||
\left\lvert\int_{X}{h\mathrm{d}x}\right\rvert\leq\int_{X}{\lvert h\rvert\mathrm{d}x}\leq\lVert h\lVert_{\infty}\lambda(X)
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||||
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@ -345,7 +345,7 @@ Damit: \(\lvert h\rvert\) ist integrierbar und mit \ref{Satz 4.9} auch \(h\). Da
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\begin{beweis}
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\begin{enumerate}
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||||
\item Aus \ref{Satz 4.11}(7) folgt: $f$ ist integrierbar über $A$ und integrierbar über $B$. Es ist
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||||
\item Aus \ref{Satz 4.11}(7) folgt: $f$ ist integrierbar über $A$ und integrierbar über $B$. Es ist
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||||
\[ \int_X f(x) \text{ d}x = \int_X \left( \mathds{1}_{A\cup B} \cdot f \right)(x) \text{ d}x = \int_X \left( \left( \mathds{1}_A + \mathds{1}_B \right) f\right)(x) \text{ d}x \]
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||||
\[= \int_X \left(\mathds{1}_A f + \mathds{1}_B f \right)(x) \text{ d}x \stackrel{4.11(2)}{=} \int_X \mathds{1}_A f \text{ d}x + \int_X \mathds{1}_B f \text{ d}x \stackrel{4.11(7)}{=} \int_A f \text{ d}x + \int_B f \text{ d}x.\]
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||||
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@ -364,8 +364,8 @@ Sei $\natn$, $t_j^{(n)}:=a+j\frac{b-a}{n}$ ($j=0,\dots,n$) und $I_j^{(n)}:=\left
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\begin{align*}
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||||
S_n:=\sum^n_{j=1} f \left(t_j^{(n)}\right) \underbrace{ \frac{b-a}{n}}_{= \lambda_1 \left(I_j^{(n)}\right)} \text{ ist Riemannsche Zwischensumme für R-} \int_a^bf(x)\,dx.
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||||
\end{align*}
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||||
Aus Analysis I folgt $S_n\to\text{R-}\int_a^bf(x)\,dx$ ($n\to\infty$).
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||||
Definiere $f_n:=\sum^n_{j=1}f \left(t_j^{(n)} \right) \mathds{1}_{I_j^{(n)}} $. Dann ist $f_n$ einfach und
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||||
Aus Analysis I folgt $S_n\to\text{R-}\int_a^bf(x)\,dx$ ($n\to\infty$).
|
||||
Definiere $f_n:=\sum^n_{j=1}f \left(t_j^{(n)} \right) \mathds{1}_{I_j^{(n)}} $. Dann ist $f_n$ einfach und
|
||||
\[\int_X f_n(x)\,dx=\sum_{j=1}^n f \left(t_j^{(n)} \right) \lambda_1 \left(I_j^{(n)}\right)=S_n\]
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||||
$f$ ist auf $X$ gleichmäßig stetig also konvergiert $f_n$ auf $X$ gleichmäßig gegen $f$ (Übung!), also gilt:
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||||
\[\lVert f_n-f \rVert_{\infty}=\text{sup} \left \{ \lvert f_n(x)-f(x) \rvert : x\in X \right\} \to 0 \ (n\to \infty)\]
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||||
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@ -56,7 +56,7 @@ Seien $f:X\to\imdr$ messbare Funktionen.
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|||
\item Ist $f$ integrierbar, so ist $f$ fast überall endlich.
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||||
\item Ist $f \ge0$ auf $X$, so ist $\int_X f(x)\text{ d}x=0$ genau dann wenn fast überall $f=0$.
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||||
\item Ist $f$ integrierbar und $N\subseteq X$ eine Nullmenge, so gilt:
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||||
\[\int_N f(x)\text{ d}x=0\]
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||||
\[\int_N f(x)\text{ d}x=0\]
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{satz}
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@ -64,9 +64,9 @@ Seien $f:X\to\imdr$ messbare Funktionen.
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\begin{enumerate}
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||||
\item ist gerade \ref{Folgerung 4.10}.
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||||
\item ist gerade \ref{Satz 4.5}(3)
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||||
\item Setze $g:=\mathds{1}_N f$. Aus \ref{Satz 4.11} folgt, dass g integrierbar ist, also ist nach \ref{Satz 4.9} auch $\lvert g \rvert$ integrierbar. Für $x\in X\setminus N$ gilt:
|
||||
\item Setze $g:=\mathds{1}_N f$. Aus \ref{Satz 4.11} folgt, dass g integrierbar ist, also ist nach \ref{Satz 4.9} auch $\lvert g \rvert$ integrierbar. Für $x\in X\setminus N$ gilt:
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||||
\[g(x)=\lvert g(x) \rvert =0\]
|
||||
D.h. $\lvert g \rvert =0$ fast überall. Aus (2) folgt damit $\int_X \lvert g \rvert \,dx = 0$. Dann ist mit \ref{Satz 4.11}: \[\left\lvert\int_X g\,dx \right\rvert \leq \int_X \lvert g \rvert \,dx =0\]
|
||||
D.h. $\lvert g \rvert =0$ fast überall. Aus (2) folgt damit $\int_X \lvert g \rvert \,dx = 0$. Dann ist mit \ref{Satz 4.11}: \[\left\lvert\int_X g\,dx \right\rvert \leq \int_X \lvert g \rvert \,dx =0\]
|
||||
und somit $\int_X g\,dx=0$.
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{beweis}
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||||
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@ -78,7 +78,7 @@ $f,g:X\to\imdr$ seien messbar.
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|||
\item Ist $f$ integrierbar und gilt fast überall $f=g$, so ist $g$ integrierbar und es gilt:
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||||
\[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\]
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||||
\item Ist $f$ integrierbar und $g:=\mathds{1}_{\{ \lvert f \rvert <\infty \}}\cdot f$, so ist $g$ integrierbar und es gilt: \[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\]
|
||||
\item Sind $f$ und $g$ beide $\geq0$ auf $X$, und ist fast überall $f=g$, so ist
|
||||
\item Sind $f$ und $g$ beide $\geq0$ auf $X$, und ist fast überall $f=g$, so ist
|
||||
\[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\]
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{satz}
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||||
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|
@ -86,14 +86,14 @@ $f,g:X\to\imdr$ seien messbar.
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\begin{beweis}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Nach Voraussetzung existiert eine Nullmenge $N\subseteq X$, sodass gilt:
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||||
\[\forall x\in X\setminus N:f(x)=g(x)\]
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||||
\[\forall x\in X\setminus N:f(x)=g(x)\]
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||||
Aus \ref{Satz 5.2}(3) folgt dann $\int_N f\,dx=0$.
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||||
Sei $x\in X\setminus N$ Dann gilt:
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||||
\[\left( \mathds{1}_N \lvert g \rvert \right)(x)=\mathds{1}_N(x)\cdot \lvert g(x) \rvert=0\]
|
||||
Sei $x\in X\setminus N$ Dann gilt:
|
||||
\[\left( \mathds{1}_N \lvert g \rvert \right)(x)=\mathds{1}_N(x)\cdot \lvert g(x) \rvert=0\]
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||||
D.h.: Fast überall ist $\mathds{1}_N \lvert g \rvert =0$. Aus \ref{Satz 5.2}(2) folgt $\int_N \lvert g \rvert\,dx=\int_X\mathds{1}_N\cdot \lvert g \rvert\,dx=0$.
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||||
Dann gilt:
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\begin{align*}
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||||
\int_X \lvert g\rvert\,dx & = \int_X \left(\mathds{1}_N \lvert g\rvert + \mathds{1}_{X\setminus N} \lvert g\rvert \right)\,dx\\
|
||||
\int_X \lvert g\rvert\,dx & = \int_X \left(\mathds{1}_N \lvert g\rvert + \mathds{1}_{X\setminus N} \lvert g\rvert \right)\,dx\\
|
||||
&= \int_X\mathds{1}_N \lvert g\rvert\,dx + \int _X\mathds{1}_{X\setminus N} \lvert g\rvert\,dx\\
|
||||
&= \int_X \mathds{1}_{X\setminus N} \lvert g \rvert\,dx\\
|
||||
& \leq\int_X \lvert f\rvert\,dx \overset{\ref{Satz 4.9}}< \infty
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||||
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@ -141,15 +141,15 @@ Ist \(g\) wie in (2), so muss \(g\) nicht messbar sein (ein Beispiel gibt es in
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\begin{beweis}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Es existiert eine Nullmenge \(N_{1}\subseteq X:\,(f_{n}(x))\) konvergiert in \(\imdr\) für alle
|
||||
\item Es existiert eine Nullmenge \(N_{1}\subseteq X:\,(f_{n}(x))\) konvergiert in \(\imdr\) für alle
|
||||
\(x\in X\setminus N_{1}\).
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||||
\[
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||||
f(x)=\begin{cases}0&x\in N_{1}\\\lim_{n\to\infty}{f_{n}(x)}&x\in X\setminus N_{1}\end{cases}
|
||||
\]
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||||
\(g_{n}:=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f_{n}\), \(g_{n}\) ist messbar und \(g_{n}(x)\to f(x)\) für alle \(x\in X\).
|
||||
Mit \ref{Satz 3.5} folgt: \(f\) ist messbar.
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||||
\item Es existiert eine Nullmenge \(N_{2}\subseteq X:\,f_{n}(x)\to g(x)\,\forall x\in X\setminus N_{2}\).
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||||
\(N=N_{1}\cup N_{2}\). Aus \ref{Lemma 5.1} folgt: \(N\) ist eine Nullmenge.
|
||||
\item Es existiert eine Nullmenge \(N_{2}\subseteq X:\,f_{n}(x)\to g(x)\,\forall x\in X\setminus N_{2}\).
|
||||
\(N=N_{1}\cup N_{2}\). Aus \ref{Lemma 5.1} folgt: \(N\) ist eine Nullmenge.
|
||||
|
||||
Für \(x\in X\setminus N:\,f(x)=g(x)\).
|
||||
\end{enumerate}
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||||
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@ -159,19 +159,19 @@ Für \(x\in X\setminus N:\,f(x)=g(x)\).
|
|||
\label{Satz 5.5}
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||||
Sei \((f_{n})\) eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}:\,X\to[0,+\infty]\) und für jedes \(n\in\mdn\) gelte:
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||||
\(f_{n}\leq f_{n+1}\) fast überall. Dann existiert eine messbare Funktion
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||||
\(f:X\to[0,+\infty]\) mit: \(f_{n}\to f\) fast überall und
|
||||
\(f:X\to[0,+\infty]\) mit: \(f_{n}\to f\) fast überall und
|
||||
\[\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\lim_{n\to\infty}{\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}}\]
|
||||
\end{satz}
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||||
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||||
\begin{beweis}
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||||
Zu jedem \(n\in\mdn\) existiert eine Nullmenge
|
||||
\(N_{n}:\,f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\;\forall x\in X\setminus N_{n}\).\\
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||||
Zu jedem \(n\in\mdn\) existiert eine Nullmenge
|
||||
\(N_{n}:\,f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\;\forall x\in X\setminus N_{n}\).\\
|
||||
\(N:=\bigcup_{n=1}^{\infty}{N_{n}}\) \folgtnach{\ref{Lemma 5.1}} \(N\) ist eine
|
||||
Nullmenge.
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||||
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||||
Dann: \(f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\forall x\in X\setminus N\forall n\in\mdn\).
|
||||
|
||||
\(\hat{f}_{n}:=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f_{n}\), \(\hat{f}_{n}\) ist
|
||||
\(\hat{f}_{n}:=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f_{n}\), \(\hat{f}_{n}\) ist
|
||||
messbar, \(\forall n\in\mdn: \hat{f}_{n}\leq\hat{f}_{n+1}\) auf $X$.
|
||||
|
||||
\(f(x):=\lim_{n\to\infty}{\hat{f}_{n}(x)}\,(x\in X)\) \folgtnach{\ref{Satz 3.5}}
|
||||
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|||
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@ -41,7 +41,7 @@ Dann gilt \(f=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f\) fast überall.
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|||
&\overset{(1)}{\leq}\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n}\mathrm{d}x}\\
|
||||
&\overset{\text{\ref{Satz 5.3}.(3)}}{=}\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item folgt aus (2). Nach Voraussetzung gilt
|
||||
\item folgt aus (2). Nach Voraussetzung gilt
|
||||
\[
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||||
0\leq\int_{X}{f\mathrm{d}x}\overset{\text{(2)}}{\leq}\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}<\infty
|
||||
\]
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||||
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@ -67,8 +67,8 @@ Dann sind alle \(f_{n}\) integrierbar und es existiert ein \(f\in\fl^{1}(X)\) mi
|
|||
\[
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||||
\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}=n\cdot\lambda_{1}\left(\left(0,\frac{1}{n}\right)\right)=n\cdot\frac{1}{n}=1\quad\forall n\in\mdn
|
||||
\]
|
||||
Es gilt \(f_{n}\to f:=0\) punktweise und \(\int_{X}{f\mathrm{d}x}=0 \neq 1 = \int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}\).
|
||||
$\Rightarrow$ \ref{Satz 6.2} ist ohne die integrierbare Majorante
|
||||
Es gilt \(f_{n}\to f:=0\) punktweise und \(\int_{X}{f\mathrm{d}x}=0 \neq 1 = \int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}\).
|
||||
$\Rightarrow$ \ref{Satz 6.2} ist ohne die integrierbare Majorante
|
||||
$g$ im allgemeinen falsch.
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||||
\item Sei $X = [1, \infty), \alpha > 1, f_n(x) := \frac{1}{x^\alpha} \sin{\frac{x}{n}} (x \in X, n \in \mathbb{N})$.\\
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||||
Berechne $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_X f_n(x) \mathrm{d}x$\\
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||||
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@ -132,9 +132,9 @@ Also gilt auch:
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||||
\begin{beispiel}
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Sei \(X:=[1,\infty)\) und \(f_n(x):=\frac1{x^\frac32}\sin\left(\frac xn \right) \) für alle \(x\in X, n\in\mdn\) mit \(f_n(x)\to f(x)\equiv 0\) für jedes \(x\in X\).
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||||
Dann ist \(\lvert f_n(x) \rvert\leq \frac1{x^\frac32}\) für jedes \(x\in X\) und $\natn$.
|
||||
Dann ist \(\lvert f_n(x) \rvert\leq \frac1{x^\frac32}\) für jedes \(x\in X\) und $\natn$.
|
||||
Definiere nun \[g(x):=\frac1{x^\frac32}\]
|
||||
Aus Analysis I ist bekannt, dass \(\int^\infty_1 g(x)\,dx\) (absolut) konvergent ist
|
||||
Aus Analysis I ist bekannt, dass \(\int^\infty_1 g(x)\,dx\) (absolut) konvergent ist
|
||||
und aus \ref{Satz 4.14} folgt \[g\in\mathfrak{L}^1(X) \text{ sowie } \int_X g(x)\,dx = \text{R-}\int^\infty_1 g(x)\,dx\]
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||||
Weiter folgen aus \ref{Satz 6.2}:
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||||
\[\int_X f_n\,dx\to 0 \text{ und } \int_X\lvert f_n\rvert\,dx\to 0 \ (n\to\infty) \]
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||||
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@ -155,17 +155,17 @@ Weiter folgen aus \ref{Satz 6.2}:
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|||
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||||
\begin{beweis}
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei \(x\in X\). Es exisitert ein $m\in\mdn$, für das \(x\in A_m\) ist und somit auch \(x\in A_n \) für jedes \(n\geq m\). Nach der Definition von $f_n$ gilt dann \(f_n(x)=f(x)\) für jedes \(n\geq m\) und somit \(f_n\to f\) auf $X$. Damit gilt auch \[\lvert f_n\rvert\to\lvert f\rvert \text{ auf } X\] Durch die Konstruktion der $f_n$ ergibt sich:
|
||||
\item Sei \(x\in X\). Es exisitert ein $m\in\mdn$, für das \(x\in A_m\) ist und somit auch \(x\in A_n \) für jedes \(n\geq m\). Nach der Definition von $f_n$ gilt dann \(f_n(x)=f(x)\) für jedes \(n\geq m\) und somit \(f_n\to f\) auf $X$. Damit gilt auch \[\lvert f_n\rvert\to\lvert f\rvert \text{ auf } X\] Durch die Konstruktion der $f_n$ ergibt sich:
|
||||
\[ \lvert f_n\rvert=\lvert \mathds{1}_{A_n}f\rvert=\mathds{1}_{A_n}\lvert f\rvert \leq \mathds{1}_{A_{n+1}}\lvert f\rvert=\lvert f_{n+1}\rvert \]
|
||||
Dann gilt:
|
||||
\[ \int_X \lvert f\rvert\,dx \overset{\ref{Satz 4.6}}=\lim\int_X \lvert f_n\rvert\,dx = \lim\int_{A_n} \lvert f\rvert\,dx \overset{Vor.}<\infty \]
|
||||
Es folgt, dass \(\lvert f\rvert\) integrierbar ist und somit ist nach \ref{Satz 4.9} auch $f$ integrierbar. Da \(\lvert f_n\rvert \leq \lvert f\rvert\) auf $X$ für jedes \(\natn\) gilt, ist $f$ eine
|
||||
Es folgt, dass \(\lvert f\rvert\) integrierbar ist und somit ist nach \ref{Satz 4.9} auch $f$ integrierbar. Da \(\lvert f_n\rvert \leq \lvert f\rvert\) auf $X$ für jedes \(\natn\) gilt, ist $f$ eine
|
||||
integrierbare Majorante und es folgt mit \ref{Satz 6.2}:
|
||||
\[ \int_Xf\,dx = \lim\int_Xf_n\,dx = \lim\int_{A_n}f\,dx \]
|
||||
\item Setze \(A_n:=[a,n]\ (\natn)\) und es gelte o.B.d.A.: \(a\leq 1\). Dann gilt:
|
||||
\[ \int_{A_n}\lvert f\rvert\,dx \overset{\ref{Satz 4.13}}= \text{R-}\int^n_a \lvert f\rvert\,dx \overset{Vor.}\longrightarrow \text{R-}\int^\infty_a \lvert f\rvert\,dx \]
|
||||
D.h.\(\left(\int_{A_n}\lvert f\rvert\,dx\right)\) ist beschränkt. Definiere \(f_n:=\mathds{1}_{A_n}f\) mit \ref{Satz 4.13} folgt daraus, dass $f_n$ integrierbar ist. Weiter folgt
|
||||
aus (1) \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) (denn es ist \(f(X)\subseteq\mdr\)) und
|
||||
aus (1) \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) (denn es ist \(f(X)\subseteq\mdr\)) und
|
||||
\[ \text{L-}\int_Xf\,dx = \lim\int_{A_n}f\,dx \overset{\ref{Satz 4.13}}= \lim\left(\text{R-}\int^n_a f\,dx \right) = \text{R-}\int^\infty_a f\,dx. \]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
|
@ -177,12 +177,12 @@ Weiter folgen aus \ref{Satz 6.2}:
|
|||
\begin{folgerung}
|
||||
\label{Folgerung 6.4}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \((f_n)\) sei eine Folge integrierbarer Funktionen \(f_n\colon X\to\imdr\), \(g\colon X\to[0,+\infty]\) sei ebenfalls integrierbar und
|
||||
\item \((f_n)\) sei eine Folge integrierbarer Funktionen \(f_n\colon X\to\imdr\), \(g\colon X\to[0,+\infty]\) sei ebenfalls integrierbar und
|
||||
\[g_n:=f_1+f_2+\dots+f_n \ (\natn)\]
|
||||
Weiter sei $N$ eine Nullmenge in $X$ so, dass \((g_n(x))\) für jedes \(x\in X\setminus N\) in $\imdr$ konvergiert und
|
||||
Weiter sei $N$ eine Nullmenge in $X$ so, dass \((g_n(x))\) für jedes \(x\in X\setminus N\) in $\imdr$ konvergiert und
|
||||
\[\lvert g_n(x)\rvert \leq g(x) \text{ für jedes } \natn \text{ und } x\in X\setminus N\]
|
||||
Setzt man
|
||||
\[f(x):=\sum^\infty_{j=1}f_j(x):=
|
||||
\[f(x):=\sum^\infty_{j=1}f_j(x):=
|
||||
\begin{cases}
|
||||
0, & \text{falls } x\in N \\
|
||||
\lim\limits_{n\to\infty}g_n(x), & \text{falls } x\in X\setminus N
|
||||
|
|
@ -198,7 +198,7 @@ Weiter folgen aus \ref{Satz 6.2}:
|
|||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Fast überall gelten \(g_n\to f\) und für jedes \(\natn\) auch \(\lvert g_n\rvert \leq g\). Aus \ref{Satz 6.2} folgt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_X \left(\sum^\infty_{j=1}f_j(x)\right) \,dx
|
||||
\int_X \left(\sum^\infty_{j=1}f_j(x)\right) \,dx
|
||||
&= \int_Xf\,dx \\
|
||||
&\overset{\ref{Satz 6.2}}= \lim\int_Xg_n\,dx \\
|
||||
&= \lim\int_X\left(\sum^n_{j=1}f_j\right)\,dx \\
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -6,7 +6,7 @@ Sei \(U\in\fb_k, t_0\in U\) und es sei \(f\colon U\times X\to \mdr\) eine Funkti
|
|||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Für jedes \(t\in U\) ist \(x\mapsto f(t,x)\) messbar.
|
||||
\item Es existiert eine Nullmenge \(N\subseteq X\) so, dass \(t\mapsto f(t,x)\) für jedes \(x\in X\setminus N\) stetig in $t_0$ ist.
|
||||
\item Es existiert eine integrierbare Funktion \(g\colon X\to [0,\infty]\) und zu jedem \(t\in U\) existiert eine Nullmenge \(N_t\subseteq X\) so, dass für
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\item Es existiert eine integrierbare Funktion \(g\colon X\to [0,\infty]\) und zu jedem \(t\in U\) existiert eine Nullmenge \(N_t\subseteq X\) so, dass für
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jedes \(t\in U\) und jedes \(x\in X\setminus N_t\) gilt: \[ \lvert f(t,x)\rvert \leq g(x) \]
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\end{enumerate}
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Dann ist \(x\mapsto f(t,x)\) für jedes \(t\in U\) integrierbar. Ist \(F\colon U\to\mdr\) definiert durch
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@ -17,31 +17,31 @@ so ist $F$ stetig in $t_0$.
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Also: \[ \lim\limits_{t\to t_0}\int_X f(t,x)\,dx = \lim\limits_{t\to t_0}F(t)=F(t_0) = \int_X f(t_0,x)\,dx =\int_X\lim\limits_{t\to t_0} f(t,x)\,dx \]
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\begin{beweis}
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Aus (1) und (3) folgt, dass \(x\mapsto f(t,x)\) für jedes \(t\in U\) integrierbar ist (zur Übung). Sei \((t_n)\) eine Folge in $U$ mit \(t_n\to t_0\) und
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Aus (1) und (3) folgt, dass \(x\mapsto f(t,x)\) für jedes \(t\in U\) integrierbar ist (zur Übung). Sei \((t_n)\) eine Folge in $U$ mit \(t_n\to t_0\) und
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\[g_n(x):=f(t_n,x) \ (\natn, x\in X) \]
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Setze \[ \tilde N := N\cup \left(\bigcup^\infty_{n=1}N_{t_n} \right) \]
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Aus \ref{Lemma 5.1} folgt, dass \(\tilde N\) eine Nullmenge ist. Voraussetzung (2) liefert \(g_n(x)\to f(t_0,x)\) für jedes \(x\in X\setminus\tilde N\), also gilt
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Aus \ref{Lemma 5.1} folgt, dass \(\tilde N\) eine Nullmenge ist. Voraussetzung (2) liefert \(g_n(x)\to f(t_0,x)\) für jedes \(x\in X\setminus\tilde N\), also gilt
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\[g_n(x)\to f(t_0,x) \text{ fast überall auf } X\]
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Voraussetzung (3) liefert \(\lvert g_n(x)\rvert = \lvert f(t_n,x)\rvert \leq g(x) \) für jedes \(\natn\) und \(x\in X\setminus\tilde N\). Aus \ref{Satz 6.2} folgt
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\[ F(t_n) = \int_X f(t_n,x)\,dx = \int_Xg_n\,dx \longrightarrow \int_X f(t_0,x)\,dx = F(t_0) \]
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\end{beweis}
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\textbf{Bezeichnung}\\
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Sei \(I\subseteq\mdr\) ein Intervall, \(a:=\inf I\) und \(b:=\sup I\), wobei \(a=-\infty\) oder \(b=+\infty\) zugelassen sind. Weiter sei \(f\colon I\to\imdr\) integrierbar
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(oder $f$ ist messbar und \(\geq 0\)) und
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Sei \(I\subseteq\mdr\) ein Intervall, \(a:=\inf I\) und \(b:=\sup I\), wobei \(a=-\infty\) oder \(b=+\infty\) zugelassen sind. Weiter sei \(f\colon I\to\imdr\) integrierbar
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(oder $f$ ist messbar und \(\geq 0\)) und
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\[\int\limits^b_af(x)\,dx:=\int\limits_{(a,b)}f_{|(a,b)}(x)\,dx \]
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Dann ist
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Dann ist
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\[ \int_I f(x) dx = \int_{(a,b)} f(x) dx\]
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Ist z.B. \(I=[a,b)\), dann gilt, da \(\{a\}\) eine Nullmenge ist: \[\int_If\,dx=\int_{\{a\}}f\,dx + \int_{(a,b)}f\,dx= \int_{(a,b)}f\,dx \]
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Ist z.B. \(I=[a,b)\), dann gilt, da \(\{a\}\) eine Nullmenge ist: \[\int_If\,dx=\int_{\{a\}}f\,dx + \int_{(a,b)}f\,dx= \int_{(a,b)}f\,dx \]
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\begin{folgerung}
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\label{Folgerung 7.2}
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Sei \(I\subseteq\mdr\) ein Intervall, \(a=\inf I\) und \(f\colon I\to\mdr\) sei integrierbar. Definiert man \(F\colon I\to\mdr\) durch
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Sei \(I\subseteq\mdr\) ein Intervall, \(a=\inf I\) und \(f\colon I\to\mdr\) sei integrierbar. Definiert man \(F\colon I\to\mdr\) durch
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\[F(t):=\int^t_a f(x)\,dx,\] so ist \(F\in C(I)\).
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\end{folgerung}
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\begin{beweis}
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Für \(x,t\in I\) definiere \(h(t,x):=\mathds{1}_{(a,t)}f(x)\). Dann ist \(F(t)=\int_I h(t,x)\,dx\) und
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Für \(x,t\in I\) definiere \(h(t,x):=\mathds{1}_{(a,t)}f(x)\). Dann ist \(F(t)=\int_I h(t,x)\,dx\) und
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\[\lvert h(t,x)\rvert = \mathds{1}_{(a,t)}\cdot \lvert f(x)\rvert \leq \lvert f(x)\rvert \text{ für alle } t,x\in I\]
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Aus \ref{Satz 4.9} folgt, dass \(\lvert f\rvert\) integrierbar ist. Sei \(t_0\in I\) und \(N:=\{t_0\}\), also eine Nullmenge.
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Dann ist \(t\mapsto h(t,x)\) für jedes \(x\in I\setminus N\) stetig in \(t_0\) (zur Übung). Die Behauptung folgt aus \ref{Satz 7.1}.
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@ -44,7 +44,7 @@ C_y= \begin{cases}
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{\emptyset, \text{falls } x\notin A}\\
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{B, \text{falls } x\in A}
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\end{cases}
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\end{align*}
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\end{align*}
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\begin{lemma}
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\label{Lemma 8.3}
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@ -74,11 +74,11 @@ folgt aus \ref{Lemma 8.1} und \ref{Lemma 8.3}.
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\end{beweis}
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%vielleicht funktioniert die nummerierung jetzt
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\begin{defusatz}[ohne Beweis]
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\begin{defusatz}[ohne Beweis]
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\label{Satz 8.5}
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Sei \(C\in\fb_d\). Die Funktionen \(\varphi_C\) und \(\psi_C\) seien unter Beachtung von \ref{Lemma 8.2} definiert durch:
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\begin{align*}
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\varphi_C(x):=\lambda_l(C^x) \ \ (x\in\mdr^k) & & \psi_C(x):=\lambda_k(C_y) \ \ (y\in\mdr^l)
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\varphi_C(x):=\lambda_l(C^x) \ \ (x\in\mdr^k) & & \psi_C(x):=\lambda_k(C_y) \ \ (y\in\mdr^l)
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\end{align*}
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Dann sind \(\varphi_C\) und \(\psi_C\) messbar.
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\end{defusatz}
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@ -26,7 +26,7 @@ Das heißt:
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&\overset{Ana I}= \pi r^2
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\end{align*}
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\item Sei \(\emptyset\neq X\subseteq\mdr^d\). $X$ sei kompakt, also \(X\in\fb_d\). Weiter sei \(f\colon X\to[0,\infty)\) stetig, woraus mit \ref{Satz 4.11} \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) folgt.
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Setze \[C:=\{(x,y):x\in X, 0\leq y\leq f(x)\}\]
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||||
Setze \[C:=\{(x,y):x\in X, 0\leq y\leq f(x)\}\]
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||||
$C$ ist kompakt und somit gilt: \(C\in\fb_{d+1}\).\\
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Ist \(x\notin X\), so ist \(C^x=\emptyset\), also \(\lambda_1(C^x)=0\).\\
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Ist \(x\in X\), so ist \(C^x=[0,f(x)]\), also \(\lambda_1(C^x)=f(x)\). Damit gilt
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@ -35,7 +35,7 @@ Das heißt:
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\[C:=\{(x,y)\in\mdr^2:x\in I, 0\leq y\leq f(x)\}\]
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Aus Beispiel (2) und \ref{Satz 4.13} folgt \[\lambda_2(C)=\text{R-}\int_a^bf(x)\,dx \]
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\item $X$ und $f$ seien wie in Beispiel (2). Setze \[G:=\{(x,f(x)):x\in X\}\]
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||||
$G$ ist kompakt, also ist \(G\in\fb_2\).
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||||
$G$ ist kompakt, also ist \(G\in\fb_2\).
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||||
Ist \(x\notin X\), so ist \(G^x=\emptyset\), also \(\lambda_1(G^x)=0\).
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||||
Ist \(x\in X\), so ist \(G^x=\{f(x)\}\), also \(\lambda_1(G^x)=0\).
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Aus \ref{Satz 9.1} folgt \[\lambda_2(G)=\int_\mdr\lambda_1(G^x)\,dx=0\]
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@ -58,7 +58,7 @@ Sei $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fb_d$. Dann ist $(A_j^x)$ ebenfalls disjun
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D.h. $\mu$ ist ein Maß auf $\fb_d$. Analog lässt sich zeigen, dass $\nu$ ein Maß auf $\fb_d$ ist.\\
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||||
Sei nun $I\in\ci_d$, dann existieren $I'\in\ci_k, I''\in\ci_l$ mit $I=I'\times I''$. Aus §\ref{Kapitel 8} folgt:
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\begin{align*}
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||||
I^x=\begin{cases} I''&,x\in I'\\
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||||
I^x=\begin{cases} I''&,x\in I'\\
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\emptyset &,x\not\in I'\end{cases}
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\end{align*}
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||||
Also ist $\lambda_l(I^x)=\lambda_l(I'')\cdot\mathds{1}_{I'}(x)$ und damit:
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@ -111,7 +111,7 @@ Also folgt aus \ref{Satz 3.4} die Messbarkeit von $\tilde f$.
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\begin{beispiel}
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\index{Rotationskörper}
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\begin{enumerate}
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\item Sei $r>0$ und
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||||
\item Sei $r>0$ und
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\[K:=\{(x,y)\in\mdr^2\mid x^2+y^2<r^2\}\]
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Dann ist $K$ offen, also $K\in\fb_2$ und es gilt:
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\[\partial K=\overline{K}\setminus K=\{(x,y)\in\mdr^2\mid x^2+y^2=r^2\}\in\fb_2\]
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@ -120,7 +120,7 @@ Damit enthält die Menge $(\partial K)_y$ für alle $x\in\mdr$ höchstens zwei E
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Mit $\overline K=(\partial K) \dot\cup K$ folgt dann
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\[\lambda_2(K)=\lambda_2(\partial K)+\lambda_2(\overline K)=\lambda_2(\overline K)=\pi r^2\]
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||||
Sei nun $A\in\fb_2$ mit $K\subseteq A\subseteq\overline K$, dann ist $\lambda_2(A)=\pi r^2$.
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\item Sei $r>0$ und
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||||
\item Sei $r>0$ und
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||||
\[K:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid x^2+y^2+z^2\le r^2\}\]
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||||
Dann ist $K$ abgeschlossen, also $K\in\fb_3$.\\
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||||
\textbf{Fall $|z|>r$:} Es ist $K_z=\emptyset$, also $\lambda_2(K_z)=0$.\\
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@ -146,7 +146,7 @@ und damit $\lambda_2(V_z)=\pi f(z)^2$.\\
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|||
Aus \ref{Satz 9.1} folgt dann:
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||||
\begin{align*}
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||||
\lambda_3(V)&=\int_\mdr \lambda_2(V_z)\text{ d}z\\
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||||
&= \pi\int_a^b f(z)^2\text{ d}z
|
||||
&= \pi\int_a^b f(z)^2\text{ d}z
|
||||
\end{align*}
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||||
\item Sei $h>0$, $I=[0,h]$ und $f(z)=\frac rhz$. Definiere den Kegel
|
||||
\[V:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid x^2+y^2\le \frac{r^2}{h^2}z^2\}\]
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