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TeX
\documentclass[a5paper,oneside]{scrbook}
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\usepackage{etoolbox}
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\usepackage{amsmath,amssymb}% math symbols / fonts
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\usepackage{mathtools} % \xRightarrow
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\usepackage{nicefrac} % \nicefrac
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\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
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\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
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\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf
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\usepackage[framed,amsmath,thmmarks,hyperref]{ntheorem}
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\usepackage{framed}
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\usepackage{marvosym}
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\usepackage{makeidx} % for automatically generation of an index
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\usepackage{xcolor}
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\usepackage[bookmarks,bookmarksnumbered,hypertexnames=false,pdfpagelayout=OneColumn,colorlinks,hyperindex=false]{hyperref} % has to be after makeidx
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\usepackage{enumitem} % Better than \usepackage{enumerate}, because it allows to set references
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\usepackage{tabto}
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\usepackage{braket} % needed for \Set
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\usepackage{csquotes} % \enquote{}
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\usepackage{subfig} % multiple figures in one
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\usepackage{parskip} % nicer paragraphs
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\usepackage{xifthen} % \isempty
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\usepackage{changepage} % for the adjustwidth environment
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\usepackage{pst-solides3d}
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\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes}
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\usepackage{pgfplots}
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\pgfplotsset{compat=1.7}
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\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
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\usepackage{caption} % get newlines within captions
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\usepackage{tikz} % draw
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\usepackage{tikz-3dplot} % draw
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\usepackage{tkz-fct} % draw
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\usepackage{tkz-euclide} % draw
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\usetkzobj{all} % tkz-euclide
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\usetikzlibrary{3d,calc,intersections,er,arrows,positioning,shapes.misc,patterns,fadings,decorations.pathreplacing}
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\usepackage{tqft}
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\usepackage{xspace} % for new commands; decides weather I want to insert a space after the command
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\usepackage[german,nameinlink]{cleveref} % has to be after hyperref, ntheorem, amsthm
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\usepackage[left=10mm,right=10mm, top=2mm, bottom=10mm]{geometry}
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\usepackage{../shortcuts}
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\hypersetup{
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pdfauthor = {Martin Thoma},
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pdfkeywords = {Geometrie und Topologie},
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pdftitle = {Fragen zu Definitionen}
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}
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\allowdisplaybreaks
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% Begin document %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
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\chapter{Fragen zu Definitionen}
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\section*{6.) Basisbeispiele}
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\todo[inline]{Kennst du ein Beispiel für eine Subbasis in einem Topologischen Raum,
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die keine Basis ist?}
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Wie ist es mit folgendem?
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Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum mit
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$X = \Set{0,1,2}$ und $\fT = \Set{\emptyset, \Set{0}, \Set{0,1}, X}$.\\
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Dann ist $\calS = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0,2}}$ eine Subbasis von
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$\fT$, da gilt:
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\begin{itemize}
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\item $\emptyset \in \calS$
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\item $\Set{0} = \Set{0, 1} \cap \Set{0,2}$
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\item $\Set{0,1} \in \calS$
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\item $X = \Set{0,1} \cup \Set{0,2}$
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\end{itemize}
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Allerings ist $\calS$ keine Basis von $(X, \fT)$, da
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$\Set{0}$ nicht als Vereinigung von Elementen aus $\calS$
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erzeugt werden kann.
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\section*{9.) Mannigfaltigkeit mit Rand}
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\begin{definition}%
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Sei $X$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$.
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\begin{defenum}
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\item Eine $n$-dimensionale \textbf{Karte}\xindex{Karte} auf
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$X$ ist ein Paar $(U, \varphi)$, wobei $U \subseteq X$
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offen und $\varphi: U \rightarrow V$ Homöomorphismus
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von $U$ auf eine offene Teilmenge $V \subseteq \mdr^n$.
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\item Ein $n$-dimensionaler \textbf{Atlas}\xindex{Atlas} $\atlas$ auf $X$ ist eine
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Familie $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$ von Karten auf $X$,
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sodass $\bigcup_{i \in I} U_i = X$.
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\item $X$ heißt (topologische) $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit},
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wenn $X$ hausdorffsch ist, eine abzählbare Basis der
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Topologie hat und ein $n$-dimensionalen Atlas besitzt.
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\end{defenum}
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\end{definition}
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\begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand}%
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Sei $X$ ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie.
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$X$ heißt $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand},
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wenn es einen Atlas $(U_i, \varphi_i)$ gibt, wobei $U_i \subseteq X_i$
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offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene
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Teilmenge von
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\[R_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_{\color{red}m} \geq 0}\]
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ist.
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\end{definition}
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\todo[inline]{Sind Mannigfaltigkeiten mit Rand auch Mannigfaltigkeiten? Sollte das rote $m$ eventuell $n$ sein? Oder sollte es ein $i$ sein, mit $i = 1..n$?}
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Laut \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Mannigfaltigkeit_mit_Rand}:
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\enquote{Eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt sich hierbei nicht um einen Spezialfall einer Mannigfaltigkeit, sondern ganz im Gegenteil um eine Verallgemeinerung.}
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\todo[inline]{Ist die Aussage auf Wikipedia korrekt? Für mich sieht das so aus, also ob folgende Definition auch richtig wäre:}
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\begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand}%
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Sei $X$ eine Mannigfaltigkeit mit Atlas $\atlas$ und
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\[\mdr_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_m \geq 0}\]
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$X$ heißt \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand}, wenn gilt:
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\[\forall (U, \varphi) \in \atlas: \varphi(U) \subseteq \mdr_{+,0}^n\]
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\end{definition}
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\section*{11.) Produkttopologie}
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\begin{definition}\xindex{Produkttopologie}%
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Seien $X_1, X_2$ topologische Räume.\\
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$U \subseteq X_1 \times X_2$ sei offen, wenn es zu jedem $x = (x_1, x_2) \in U$
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Umgebungen $U_i$ um $x_i$ mit $i=1,2$ gibt, sodass $U_1 \times U_2 \subseteq U$
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gilt.
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$\fT = \Set{U \subseteq X_1 \times X_2 | U \text{ offen}}$
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ist eine Topologie auf $X_1 \times X_2$. Sie heißt \textbf{Produkttopologie}.
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$\fB = \Set{U_1 \times U_2 | U_i \text{ offen in } X_i, i=1,2}$
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ist eine Basis von $\fT$.
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\end{definition}
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\todo[inline]{Gibt es ein Beispiel, das zegit, dass nicht $\fB = \fT$ gilt?}
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\section*{15.) Existenz der Parallelen}
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\begin{definition}%
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\begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=5]
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\item \label{axiom:5}\textbf{Parallelenaxiom}\xindex{Parallele}:
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Für jedes $g \in G$ und jedes
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$P \in X \setminus g$ gibt es höchstens ein $h \in G$ mit
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$h \cap g = \emptyset$. $h$ heißt \textbf{Parallele zu $g$ durch $P$}.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\todo[inline]{Wie beweist man, dass es genau eine gibt? (Verschiebung der Geraden in den entsprechenden Punkt mit der Isometrie, die die Halbebenen gleich lässt)}
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\section*{17.) Simpliziale Abbildungen}
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Wenn man Simpliziale Abbildungen wie folgt definiert
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\begin{definition}\xindex{Abbildung!simpliziale}%
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Seien $K, L$ Simplizialkomplexe. Eine stetige Abbildung
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\[f:|K| \rightarrow |L|\]
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heißt \textbf{simplizial}, wenn für
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jedes $\Delta \in K$ gilt:
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\begin{defenum}
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\item $f(\Delta) \in L$
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\item $f|_{\Delta} : \Delta \rightarrow f(\Delta)$ ist eine
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affine Abbildung.
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\end{defenum}
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\end{definition}
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\todo[inline]{Dann ist die Forderung \enquote{$f(\Delta) \in L$} doch immer erfüllt, oder?
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Gibt es eine Abbildung
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$f:|K| \rightarrow |L|$
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mit $f(\Delta) \notin L$?}
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\section*{18.) ÜB 1, Aufgabe 2}
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\underline{Vor.:} Es sei $(X, d)$ ein metrischer Raum, $A \subseteq X$.
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Weiter bezeichne $\fT$ die von $d$ auf $X$ erzeugte Topologie $\fT'$, die von
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der auf $A \times A$ eingeschränkten Metrik $d|_{A \times A}$ erzeugte Topologie.
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\underline{Beh.:} Die Topologie $\fT'$ und $\fT|_A$ (Spurtopologie) stimmen überein.
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\underline{Bew.:}
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\enquote{$\fT|_A \subseteq \fT'$}:
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Sei $U \in \fT|_A = \Set{V \cap A | V \in \fT}$.\\
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Dann ex. also $V \in \fT$ mit
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$U = V \cap A$.\\
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Sei $x \in U$.\\
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Da $V \in \fT$, ex. nach Bemerkung~3 ein $r > 0$ mit
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\begin{align*}
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\fB_r(x) := \Set{y \in X | d(x,y) < r} &\subseteq V\\
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\Set{y \in A | d(x,y) < r} &\subseteq V \cap A = U
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\end{align*}
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also ist $U$ offen bzgl. $d|_{A \times A}$.
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\todo[inline]{Wieso ist $U$ offen bzgl. $d|_{A \times A}$?}
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Da $x \in U$ beliebig gewählt war gilt: $\fT|_A \subseteq \fT'$
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\end{document} |