\documentclass[a5paper,oneside]{scrbook} \usepackage{etoolbox} \usepackage{amsmath,amssymb}% math symbols / fonts \usepackage{mathtools} % \xRightarrow \usepackage{nicefrac} % \nicefrac \usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts \usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts \usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf \usepackage[framed,amsmath,thmmarks,hyperref]{ntheorem} \usepackage{framed} \usepackage{marvosym} \usepackage{makeidx} % for automatically generation of an index \usepackage{xcolor} \usepackage[bookmarks,bookmarksnumbered,hypertexnames=false,pdfpagelayout=OneColumn,colorlinks,hyperindex=false]{hyperref} % has to be after makeidx \usepackage{enumitem} % Better than \usepackage{enumerate}, because it allows to set references \usepackage{tabto} \usepackage{braket} % needed for \Set \usepackage{csquotes} % \enquote{} \usepackage{subfig} % multiple figures in one \usepackage{parskip} % nicer paragraphs \usepackage{xifthen} % \isempty \usepackage{changepage} % for the adjustwidth environment \usepackage{pst-solides3d} \usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes} \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=1.7} \usepackage[arrow, matrix, curve]{xy} \usepackage{caption} % get newlines within captions \usepackage{tikz} % draw \usepackage{tikz-3dplot} % draw \usepackage{tkz-fct} % draw \usepackage{tkz-euclide} % draw \usetkzobj{all} % tkz-euclide \usetikzlibrary{3d,calc,intersections,er,arrows,positioning,shapes.misc,patterns,fadings,decorations.pathreplacing} \usepackage{tqft} \usepackage{xspace} % for new commands; decides weather I want to insert a space after the command \usepackage[german,nameinlink]{cleveref} % has to be after hyperref, ntheorem, amsthm \usepackage[left=10mm,right=10mm, top=2mm, bottom=10mm]{geometry} \usepackage{../shortcuts} \hypersetup{ pdfauthor = {Martin Thoma}, pdfkeywords = {Geometrie und Topologie}, pdftitle = {Fragen zu Definitionen} } \allowdisplaybreaks %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Begin document % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \chapter{Fragen zu Definitionen} \section*{6.) Basisbeispiele} \todo[inline]{Kennst du ein Beispiel für eine Subbasis in einem Topologischen Raum, die keine Basis ist?} Wie ist es mit folgendem? Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum mit $X = \Set{0,1,2}$ und $\fT = \Set{\emptyset, \Set{0}, \Set{0,1}, X}$.\\ Dann ist $\calS = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0,2}}$ eine Subbasis von $\fT$, da gilt: \begin{itemize} \item $\emptyset \in \calS$ \item $\Set{0} = \Set{0, 1} \cap \Set{0,2}$ \item $\Set{0,1} \in \calS$ \item $X = \Set{0,1} \cup \Set{0,2}$ \end{itemize} Allerings ist $\calS$ keine Basis von $(X, \fT)$, da $\Set{0}$ nicht als Vereinigung von Elementen aus $\calS$ erzeugt werden kann. \section*{9.) Mannigfaltigkeit mit Rand} \begin{definition}% Sei $X$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$. \begin{defenum} \item Eine $n$-dimensionale \textbf{Karte}\xindex{Karte} auf $X$ ist ein Paar $(U, \varphi)$, wobei $U \subseteq X$ offen und $\varphi: U \rightarrow V$ Homöomorphismus von $U$ auf eine offene Teilmenge $V \subseteq \mdr^n$. \item Ein $n$-dimensionaler \textbf{Atlas}\xindex{Atlas} $\atlas$ auf $X$ ist eine Familie $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$ von Karten auf $X$, sodass $\bigcup_{i \in I} U_i = X$. \item $X$ heißt (topologische) $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit}, wenn $X$ hausdorffsch ist, eine abzählbare Basis der Topologie hat und ein $n$-dimensionalen Atlas besitzt. \end{defenum} \end{definition} \begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand}% Sei $X$ ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie. $X$ heißt $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand}, wenn es einen Atlas $(U_i, \varphi_i)$ gibt, wobei $U_i \subseteq X_i$ offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene Teilmenge von \[R_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_{\color{red}m} \geq 0}\] ist. \end{definition} \todo[inline]{Sind Mannigfaltigkeiten mit Rand auch Mannigfaltigkeiten? Sollte das rote $m$ eventuell $n$ sein? Oder sollte es ein $i$ sein, mit $i = 1..n$?} Laut \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Mannigfaltigkeit_mit_Rand}: \enquote{Eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt sich hierbei nicht um einen Spezialfall einer Mannigfaltigkeit, sondern ganz im Gegenteil um eine Verallgemeinerung.} \todo[inline]{Ist die Aussage auf Wikipedia korrekt? Für mich sieht das so aus, also ob folgende Definition auch richtig wäre:} \begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand}% Sei $X$ eine Mannigfaltigkeit mit Atlas $\atlas$ und \[\mdr_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_m \geq 0}\] $X$ heißt \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand}, wenn gilt: \[\forall (U, \varphi) \in \atlas: \varphi(U) \subseteq \mdr_{+,0}^n\] \end{definition} \section*{11.) Produkttopologie} \begin{definition}\xindex{Produkttopologie}% Seien $X_1, X_2$ topologische Räume.\\ $U \subseteq X_1 \times X_2$ sei offen, wenn es zu jedem $x = (x_1, x_2) \in U$ Umgebungen $U_i$ um $x_i$ mit $i=1,2$ gibt, sodass $U_1 \times U_2 \subseteq U$ gilt. $\fT = \Set{U \subseteq X_1 \times X_2 | U \text{ offen}}$ ist eine Topologie auf $X_1 \times X_2$. Sie heißt \textbf{Produkttopologie}. $\fB = \Set{U_1 \times U_2 | U_i \text{ offen in } X_i, i=1,2}$ ist eine Basis von $\fT$. \end{definition} \todo[inline]{Gibt es ein Beispiel, das zegit, dass nicht $\fB = \fT$ gilt?} \section*{15.) Existenz der Parallelen} \begin{definition}% \begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=5] \item \label{axiom:5}\textbf{Parallelenaxiom}\xindex{Parallele}: Für jedes $g \in G$ und jedes $P \in X \setminus g$ gibt es höchstens ein $h \in G$ mit $h \cap g = \emptyset$. $h$ heißt \textbf{Parallele zu $g$ durch $P$}. \end{enumerate} \end{definition} \todo[inline]{Wie beweist man, dass es genau eine gibt? (Verschiebung der Geraden in den entsprechenden Punkt mit der Isometrie, die die Halbebenen gleich lässt)} \section*{17.) Simpliziale Abbildungen} Wenn man Simpliziale Abbildungen wie folgt definiert \begin{definition}\xindex{Abbildung!simpliziale}% Seien $K, L$ Simplizialkomplexe. Eine stetige Abbildung \[f:|K| \rightarrow |L|\] heißt \textbf{simplizial}, wenn für jedes $\Delta \in K$ gilt: \begin{defenum} \item $f(\Delta) \in L$ \item $f|_{\Delta} : \Delta \rightarrow f(\Delta)$ ist eine affine Abbildung. \end{defenum} \end{definition} \todo[inline]{Dann ist die Forderung \enquote{$f(\Delta) \in L$} doch immer erfüllt, oder? Gibt es eine Abbildung $f:|K| \rightarrow |L|$ mit $f(\Delta) \notin L$?} \section*{18.) ÜB 1, Aufgabe 2} \underline{Vor.:} Es sei $(X, d)$ ein metrischer Raum, $A \subseteq X$. Weiter bezeichne $\fT$ die von $d$ auf $X$ erzeugte Topologie $\fT'$, die von der auf $A \times A$ eingeschränkten Metrik $d|_{A \times A}$ erzeugte Topologie. \underline{Beh.:} Die Topologie $\fT'$ und $\fT|_A$ (Spurtopologie) stimmen überein. \underline{Bew.:} \enquote{$\fT|_A \subseteq \fT'$}: Sei $U \in \fT|_A = \Set{V \cap A | V \in \fT}$.\\ Dann ex. also $V \in \fT$ mit $U = V \cap A$.\\ Sei $x \in U$.\\ Da $V \in \fT$, ex. nach Bemerkung~3 ein $r > 0$ mit \begin{align*} \fB_r(x) := \Set{y \in X | d(x,y) < r} &\subseteq V\\ \Set{y \in A | d(x,y) < r} &\subseteq V \cap A = U \end{align*} also ist $U$ offen bzgl. $d|_{A \times A}$. \todo[inline]{Wieso ist $U$ offen bzgl. $d|_{A \times A}$?} Da $x \in U$ beliebig gewählt war gilt: $\fT|_A \subseteq \fT'$ \end{document}