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% Mitschrieb vom 03.12.2013 %
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\chapter{Fundamentalgruppe und Überlagerungen}
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\section{Homotopie von Wegen}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\subfloat[$\gamma_1$ und $\gamma_2$ sind homotop, da man sie
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\enquote{zueinander verschieben} kann.]{
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\input{figures/topology-homotop-paths.tex}
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\label{fig:homotope-wege-anschaulich}
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}\hspace{1em}%
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\subfloat[$\gamma_1$ und $\gamma_2$ sind wegen dem Hindernis nicht homotop.]{
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\input{figures/topology-non-homotop-paths.tex}
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\label{fig:nicht-homotope-wege-anschaulich}
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}
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\label{Formen}
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\caption{Beispiele für Wege $\gamma_1$ und $\gamma_2$}
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\end{figure}
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\begin{definition}
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Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$,
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$\gamma_1, \gamma_2: [0,1] \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$,
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d.~h. $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = a$, $\gamma_1(1) = \gamma_2(1) = b$
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{homotop}\xindex{homotop},
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wenn es eine stetige Abbildung
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\[H(t,0) = \gamma_1(t), H(t,1) = \gamma_2(t) \;\;\; \forall t \in [0,1] =: I \]
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und $H(0,s) = a$ und $H(1,s) = b$ für alle $s \in I$ gibt.
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Dann schreibt man: $\gamma_1 \sim \gamma_2$
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$H$ heißt \textbf{Homotopie}\xindex{Homotopie} zwischen
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$\gamma_1$ und $\gamma_2$.
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\item $\gamma_s: I \rightarrow X, \gamma_s(t) = H(t,s)$ ist
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Weg in $X$ von $a$ nach $b$ für jedes $s \in I$.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{korollar}
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\enquote{Homotop} ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller
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Wege in $X$ von $a$ nach $b$.
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\end{korollar}
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\begin{beweis}\leavevmode
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\begin{itemize}
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\item reflexiv: $H(t,s) = \gamma(t)$ für alle $t,s \in I \times I$
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\item symmetrisch: $H'(t,s) = H(t,1-s)$ für alle $t,s \in I \times I$
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\item transitiv: Seien $H'$ bzw. $H''$ Homotopien von $\gamma_1$
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nach $\gamma_2$ bzw. von $\gamma_2$ nach $\gamma_3$.
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Dann sei $H(t,s) := \begin{cases}
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H'(t, 2s) &\text{falls } 0 \leq s \leq \frac{1}{2}\\
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H''(t, 2s-1) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq s \leq 1\end{cases}$
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$\Rightarrow$ $H$ ist stetig und Homotopie von $\gamma_1$ nach
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$\gamma_2$
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\end{itemize}
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$\qed$
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\end{beweis}
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\begin{beispiel}
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\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
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\item Sei $X = S^1$. $\gamma_1$ und $\gamma_2$ aus
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Abb.~\ref{fig:circle-two-paths} nicht homöotop.
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\begin{figure}
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\centering
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\input{figures/topology-circle-two-paths.tex}
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\caption{Kreis mit zwei Wegen}
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\label{fig:circle-two-paths}
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\end{figure}
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\item Sei $X = T^2$. $\gamma_1, \gamma_2$ und $\gamma_3$
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aus Abb.~\ref{fig:torus-three-paths} sind paarweise
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nicht homöotop.
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\begin{figure}
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\centering
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\input{figures/todo.tex}
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\caption{Torus mit drei Wegen}
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\label{fig:torus-three-paths}
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|
\end{figure}
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\item Sei $X = \mdr^2$ und $a=b=(0,0)$.
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Je zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Enpunkt $(0,0)$
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sind homöotop.
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\begin{figure}
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\centering
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|
\input{figures/topology-paths-in-r2.tex}
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|
\caption{Zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Enpunkt $(0,0)$}
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\label{fig:torus-three-paths}
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|
\end{figure}
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Sei $\gamma_0: I \rightarrow \mdr^2$ der konstante Weg
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$\gamma_0(t) = 0 \; \forall t \in I$. Sei
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$\gamma(0) = \gamma(1) = 0$.
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$H(t,s) := (1-s) \gamma(t)$ ist stetig,
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$H(t,0) = \gamma(t)\; \forall t \in I$ und
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|
$H(t,1) = 0 \; \forall t \in I$
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\end{enumerate}
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\end{beispiel}
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% Mitschrieb vom 05.12.2013 %
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\begin{korollar}\label{kor:homotope-wege}
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Sei $X$ ein topologischer Raum, $\gamma: I \rightarrow X$ ein
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Weg und $\varphi: I \rightarrow I$ stetig mit $\varphi(0) = 0$,
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$\varphi(1) = 1$. Dann sind $\gamma$ und $\gamma \circ \varphi$
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homotop.
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\end{korollar}
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\begin{beweis}
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Sei $H (t,s) = \gamma ((1-s) t + s \cdot \varphi(t))$.
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$H$ ist stetig, $H(t,0) = \gamma(t)\;\;\; H(t,1) = \gamma ( \varphi(t))$,
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$H(0,s) = \gamma(0),\;\;\; H(1,s) = \gamma(1-s+s) = \gamma(1)$\\
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$\Rightarrow H$ ist Homotopie.
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\end{beweis}
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\begin{definition}\xindex{Weg!zusammengesetzter}
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Seien $\gamma_1, \gamma_2$ Wege in $X$ mit $\gamma_1(1) = \gamma_2(0)$.
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Dann ist
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\[\gamma (t) = \begin{cases}
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\gamma_1(2t) &\text{falls} 0 \leq t < \frac{1}{2}\\
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|
\gamma_2(2t-1) &\text{falls} \frac{1}{2} \leq t \leq 1
|
|
\end{cases}\]
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ein Weg in $X$. Er heißt \textbf{zusammengesetzter Weg} und man
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schreibt $\gamma = \gamma_1 * \gamma_2$.
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\end{definition}
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\begin{korollar}\label{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
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Das zusammensetzen von Wegen ist nur bis auf
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Homotopie assoziativ, d.~h.:
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\begin{align*}
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\gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\neq (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3\\
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\gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\sim (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3
|
|
\end{align*}
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|
mit $\gamma_1(1)=\gamma_2(0)$ und $\gamma_2(1) = \gamma_3(0)$.
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\end{korollar}
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\begin{beweis}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\subfloat[$\gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3)$]{
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|
\input{figures/todo.tex}
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\label{fig:assotiativitaet-von-wegen-a}
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}%
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\subfloat[$(\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3$]{
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\input{figures/todo.tex}
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\label{fig:assotiativitaet-von-wegen-b}
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|
}%
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\label{fig:assoziativitaet-von-wegen}
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|
\caption{Das Zusammensetzen von Wegen ist nicht assoziativ}
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|
\end{figure}
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Das Zusammensetzen von Wegen ist wegen Korollar~\ref{kor:homotope-wege}
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bis auf Homotopie assoziativ, da
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\[\gamma(t) = \begin{cases}
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|
\frac{1}{2} t &\text{falls } 0 \leq t < \frac{1}{2}\\
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t - \frac{1}{4} &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t < \frac{3}{4}\\
|
|
2t - 1 &\text{falls } \frac{3}{4} \leq t \leq 1
|
|
\end{cases}\]
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|
\end{beweis}
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\begin{korollar}\label{kor:bemerkung-10-6}
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Sei $X$ ein topologischer Raum, $a,b,c \in X$, $\gamma_1, \gamma_1'$
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|
Wege von $a$ nach $b$, $\gamma_2, \gamma_2'$ Wege von $b$ nach $c$.
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|
Sind $\gamma_1 \sim \gamma_1'$ und $\gamma_2 \sim \gamma_2'$, so
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ist $\gamma_1 * \gamma_2 \sim \gamma_1 ' * \gamma_2'$.
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\end{korollar}
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\begin{figure}
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\centering
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|
\input{figures/todo.tex}
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|
\caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:bemerkung-10-6}}.
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\label{fig:situation-bemerkung-10-6}
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|
\end{figure}
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\begin{beweis}
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Sei $H_i$ eine Homotopie zwischen $\gamma_i$ und $\gamma_i'$,
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|
$i=1,2$.
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Dann ist
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\[H(t,s) := \begin{cases}
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|
H_1(2t, s) &\text{falls } 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\;\;\;\forall s \in I\\
|
|
H_2(2t-1,s) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t \leq 1
|
|
\end{cases}\]
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|
Homotopie zwischen $\gamma_1 * \gamma_2$ und $\gamma_1' * \gamma_2 '$ (!)
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\todo[inline]{Hier fehlt noch was}
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\end{beweis}
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\section{Fundamentalgruppe}
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Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Homotopieklasse}.
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\begin{definition}
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Sei $X$ ein topologischer Raum und $x \in X$. Sei außerdem
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\[\pi_1(X,x) := \Set{[\gamma] | \gamma \text{ ist Weg in } X \text{ mit } \gamma(0) = \gamma(1) = x}\]
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Durch $[\gamma_1] * [\gamma_2] : = [\gamma_1 * \gamma_2]$ wird
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$\pi_1(X,x)$ zu einer Gruppe. Diese Gruppe heißt \textbf{Fundamentalgruppe}\xindex{Fundamentalgruppe}
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in $X$ im Basispunkt $x$.
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}
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Im $\mdr^2$ gibt es nur eine Homotopieklasse.
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\end{bemerkung}
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\begin{beweis}{Fundamentalgruppe ist eine Gruppe}
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item Abgeschlossenheit folgt aus \todo{?}
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\item Assoziativität folgt aus Korollar~\ref{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
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\item Neutrales Element $e = [\gamma_0], \gamma_0(t) = x \;\;\; \forall t \in I$.
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$e * [\gamma] = [\gamma] = [\gamma] * e$, da $\gamma_0 * \gamma \sim \gamma$
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\begin{figure}
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\centering
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\input{figures/todo.tex}
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\caption{Bis auf Parametrisierung sind $\gamma_0 * \gamma$ und $\gamma$ das selbe}.
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\label{fig:weg-zusammengesetzt-mit-neutralem-weg}
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\end{figure}
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|
\item Inverses Element $[\gamma]^{-1} = [\overline{\gamma}] = [\gamma(1-t)]$,
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|
denn $\overline{\gamma} * \gamma \sim \gamma_0 \sim \gamma * \overline{\gamma}$
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|
\end{enumerate}
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|
\end{beweis}
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\begin{beispiel}
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\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
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|
\item $S^1 = \Set{z \in \mdc | |z| = 1} = \Set{(\cos \varphi, \sin \varphi) \in \mdr^2 | 0 \leq \varphi \leq 2 \pi}$
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$\pi_1 (S^1, 1) = \Set{[\gamma^k] | k \in \mdz} \cong \mdz$
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$[\gamma^k] \mapsto k$
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\item $\pi_1 (\mdr^2, 0) = \pi_1 (\mdr^2, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^2$
|
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\item $\pi_1 (\mdr^n, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^n$
|
|
\item $G \subseteq \mdr^n$ \todo{hier fehlt was}heißt bzgl. $x \in G$,
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|
wenn für jedes $y \in G$ auch die Strecke $[x, y] \subseteq G$
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ist.
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Für jedes sternförmige $G \subseteq \mdr^n$ ist
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|
$\pi_1(G,x) = \Set{e}$
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\subfloat[TODO]{
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\input{figures/todo.tex}
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\label{fig:wege-zueinander-zusammenziehen}
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}\hspace{1em}%
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\subfloat[Sternförmiges Gebiet]{
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\input{figures/todo.tex}
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\label{fig:sternfoermiges-gebiet}
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|
}
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|
\label{fig:Gebiete}
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|
\caption{TODO}
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\end{figure}
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\item $\pi_1(S^2, x_0) = \Set{e}$, da im $\mdr^2$ alle Wege
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homotop zu $\Set{e}$ sind. Mithilfe der stereographischen
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Projektion kann von $S^2$ auf den $\mdr^2$ abgebildet
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werden.
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Dieses Argument funktioniert nicht mehr bei flächendeckenden
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Wegen!
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\end{enumerate}
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\end{beispiel}
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\begin{korollar}\label{kor:gruppenisomorphismus-wege}
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Sei $X$ ein topologischer Raum, $a,b \in X$, $\delta: I \rightarrow X$
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ein Weg von $a$ nach $b$.
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Dann ist die Abbildung
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\[\alpha: \pi_1 (X, a) \rightarrow \pi_1(X,b)\;\;\;[\gamma] \mapsto [\overline{\delta} * \gamma * \delta]\]
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ein Gruppenisomorphismus.
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\end{korollar}
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\begin{figure}
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\centering
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\input{figures/todo.tex}
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|
\caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:gruppenisomorphismus-wege}}.
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|
\label{fig:situation-gruppenisomorphismus-wege}
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|
\end{figure}
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\begin{beweis}
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\begin{align*}
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\alpha([\gamma_1] * [\gamma_2]) &= [\overline{\delta} * (\gamma_1 \gamma_2) * \delta]\\
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&= [\overline{\delta} * \gamma_1 * \delta * \overline{\delta} * \gamma_2 * \delta]
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&= [\overline{\delta} * \gamma_1 * \delta] * [\overline{\delta} * \gamma_2 * \delta]\\
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&= \alpha([\gamma_1]) * \alpha([\gamma_2])
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|
\end{align*}
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\end{beweis}
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% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
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\input{Kapitel3-UB}
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