Mitschrieb vom 05.12.2013 digitalisiert

documents/GeoTopo/Arbeitszeit.txt

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 Datum      | Uhrzeit
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 03.12.2013 | 11:00 - 12:00, 13:10 - 15:00
+05.12.2013 | 15:50 - 17:00

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -24,10 +24,11 @@
     d.~h. $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = a$, $\gamma_1(1) = \gamma_2(1) = b$
 
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
-        \item $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{homotop}\xindex{homotop}
-              ($\gamma_1 \sim \gamma_2$), wenn es eine stetige Abbildung
+        \item $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{homotop}\xindex{homotop},
+              wenn es eine stetige Abbildung
               \[H(t,0) = \gamma_1(t), H(t,1) = \gamma_2(t) \;\;\; \forall t \in [0,1] =: I \]
               und $H(0,s) = a$ und $H(1,s) = b$ für alle $s \in I$ gibt.
+              Dann schreibt man: $\gamma_1 \sim \gamma_2$
 
               $H$ heißt \textbf{Homotopie}\xindex{Homotopie} zwischen
               $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
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     \end{enumerate}
 \end{beispiel}
 
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Mitschrieb vom 05.12.2013                                         %
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+\begin{korollar}\label{kor:homotope-wege}
+    Sei $X$ ein topologischer Raum, $\gamma: I \rightarrow X$ ein 
+    Weg und $\varphi: I \rightarrow I$ stetig mit $\varphi(0) = 0$,
+    $\varphi(1) = 1$. Dann sind $\gamma$ und $\gamma \circ \varphi$
+    homotop.
+\end{korollar}
+
+\begin{beweis}
+    Sei $H (t,s) = \gamma ((1-s) t + s \cdot \varphi(t))$.
+
+    $H$ ist stetig, $H(t,0) = \gamma(t)\;\;\; H(t,1) = \gamma ( \varphi(t))$,
+    $H(0,s) = \gamma(0),\;\;\; H(1,s) = \gamma(1-s+s) = \gamma(1)$\\
+    $\Rightarrow H$ ist Homotopie.
+\end{beweis}
+
+\begin{definition}\xindex{Weg!zusammengesetzter}
+    Seien $\gamma_1, \gamma_2$ Wege in $X$ mit $\gamma_1(1) = \gamma_2(0)$.
+    Dann ist 
+    \[\gamma (t) = \begin{cases}
+        \gamma_1(2t)   &\text{falls} 0 \leq t < \frac{1}{2}\\
+        \gamma_2(2t-1) &\text{falls} \frac{1}{2} \leq t \leq 1
+      \end{cases}\]
+    ein Weg in $X$. Er heißt \textbf{zusammengesetzter Weg} und man
+    schreibt $\gamma = \gamma_1 * \gamma_2$.
+\end{definition}
+
+\begin{korollar}\label{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
+    Das zusammensetzen von Wegen ist nur bis auf 
+    Homotopie assoziativ, d.~h.:
+    \begin{align*}
+        \gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\neq (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3\\
+        \gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\sim (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3
+    \end{align*}
+    mit $\gamma_1(1)=\gamma_2(0)$ und $\gamma_2(1) = \gamma_3(0)$.
+\end{korollar}
+
+\begin{beweis}
+    \begin{figure}[ht]
+        \centering
+        \subfloat[$\gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3)$]{
+            \input{figures/todo.tex}
+            \label{fig:assotiativitaet-von-wegen-a}
+        }%
+        \subfloat[$(\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3$]{
+            \input{figures/todo.tex}
+            \label{fig:assotiativitaet-von-wegen-b}
+        }%
+        \label{fig:assoziativitaet-von-wegen}
+        \caption{Das Zusammensetzen von Wegen ist nicht assoziativ}
+    \end{figure}
+
+    Das Zusammensetzen von Wegen ist wegen Korollar~\ref{kor:homotope-wege}
+    bis auf Homotopie assoziativ, da
+
+    \[\gamma(t) = \begin{cases}
+            \frac{1}{2} t   &\text{falls } 0 \leq t < \frac{1}{2}\\
+            t - \frac{1}{4} &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t < \frac{3}{4}\\
+            2t - 1          &\text{falls } \frac{3}{4} \leq t \leq 1
+        \end{cases}\]
+\end{beweis}
+
+\begin{korollar}\label{kor:bemerkung-10-6}
+    Sei $X$ ein topologischer Raum, $a,b,c \in X$, $\gamma_1, \gamma_1'$
+    Wege von $a$ nach $b$, $\gamma_2, \gamma_2'$ Wege von $b$ nach $c$.
+
+    Sind $\gamma_1 \sim \gamma_1'$ und $\gamma_2 \sim \gamma_2'$, so
+    ist $\gamma_1 * \gamma_2 \sim \gamma_1 ' * \gamma_2'$.
+\end{korollar}
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \input{figures/todo.tex}
+    \caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:bemerkung-10-6}}.
+    \label{fig:situation-bemerkung-10-6}
+\end{figure}
+
+\begin{beweis}
+    Sei $H_i$ eine Homotopie zwischen $\gamma_i$ und $\gamma_i'$,
+    $i=1,2$.
+
+    Dann ist 
+    \[H(t,s) := \begin{cases}
+        H_1(2t, s)  &\text{falls } 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\;\;\;\forall s \in I\\
+        H_2(2t-1,s) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t \leq 1
+    \end{cases}\]
+
+    Homotopie zwischen $\gamma_1 * \gamma_2$ und $\gamma_1' * \gamma_2 '$ (!)
+    \todo[inline]{Hier fehlt noch was}
+\end{beweis}
+
+\section{Fundamentalgruppe}
+Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Homotopieklasse}.
+
+\begin{definition}
+    Sei $X$ ein topologischer Raum und $x \in X$. Sei außerdem
+    \[\pi_1(X,x) := \Set{[\gamma] | \gamma \text{ ist Weg in } X \text{ mit } \gamma(0) = \gamma(1) = x}\]
+
+    Durch $[\gamma_1] * [\gamma_2] : = [\gamma_1 * \gamma_2]$ wird
+    $\pi_1(X,x)$ zu einer Gruppe. Diese Gruppe heißt \textbf{Fundamentalgruppe}\xindex{Fundamentalgruppe}
+    in $X$ im Basispunkt $x$.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+    Im $\mdr^2$ gibt es nur eine Homotopieklasse.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{beweis}{Fundamentalgruppe ist eine Gruppe}
+    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
+        \item Abgeschlossenheit folgt aus \todo{?}
+        \item Assoziativität folgt aus Korollar~\ref{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
+        \item Neutrales Element $e = [\gamma_0], \gamma_0(t) = x \;\;\; \forall t \in I$.
+
+        $e * [\gamma] = [\gamma] = [\gamma] * e$, da $\gamma_0 * \gamma \sim \gamma$
+
+        \begin{figure}
+            \centering
+            \input{figures/todo.tex}
+            \caption{Bis auf Parametrisierung sind $\gamma_0 * \gamma$ und $\gamma$ das selbe}.
+            \label{fig:weg-zusammengesetzt-mit-neutralem-weg}
+        \end{figure}
+        \item Inverses Element  $[\gamma]^{-1} = [\overline{\gamma}] = [\gamma(1-t)]$, 
+            denn $\overline{\gamma} * \gamma \sim \gamma_0 \sim \gamma * \overline{\gamma}$
+    \end{enumerate}
+\end{beweis}
+
+\begin{beispiel}
+    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
+        \item $S^1 = \Set{z \in \mdc | |z| = 1} = \Set{(\cos \varphi, \sin \varphi) \in \mdr^2 | 0 \leq \varphi \leq 2 \pi}$
+
+              $\pi_1 (S^1, 1) = \Set{[\gamma^k] | k \in \mdz} \cong \mdz$
+
+              $[\gamma^k] \mapsto k$
+        \item $\pi_1 (\mdr^2, 0) = \pi_1 (\mdr^2, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^2$
+        \item $\pi_1 (\mdr^n, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^n$
+        \item $G \subseteq \mdr^n$ \todo{hier fehlt was}heißt bzgl. $x \in G$, 
+            wenn für jedes $y \in G$ auch die Strecke $[x, y] \subseteq G$
+            ist.
+
+            Für jedes sternförmige $G \subseteq \mdr^n$ ist
+            $\pi_1(G,x) = \Set{e}$
+
+
+            \begin{figure}[ht]
+                \centering
+                \subfloat[TODO]{
+                    \input{figures/todo.tex}
+                    \label{fig:wege-zueinander-zusammenziehen}
+                }\hspace{1em}%
+                \subfloat[Sternförmiges Gebiet]{
+                    \input{figures/todo.tex}
+                    \label{fig:sternfoermiges-gebiet}
+                }
+                \label{fig:Gebiete}
+                \caption{TODO}
+            \end{figure}
+        \item $\pi_1(S^2, x_0) = \Set{e}$, da im $\mdr^2$ alle Wege
+              homotop zu $\Set{e}$ sind. Mithilfe der stereographischen
+              Projektion kann von $S^2$ auf den $\mdr^2$ abgebildet
+              werden.
+
+              Dieses Argument funktioniert nicht mehr bei flächendeckenden
+              Wegen!
+    \end{enumerate}
+\end{beispiel}
+
+\begin{korollar}\label{kor:gruppenisomorphismus-wege}
+    Sei $X$ ein topologischer Raum, $a,b \in X$, $\delta: I \rightarrow X$
+    ein Weg von $a$ nach $b$.
+
+    Dann ist die Abbildung
+    \[\alpha: \pi_1 (X, a) \rightarrow \pi_1(X,b)\;\;\;[\gamma] \mapsto [\overline{\delta} * \gamma * \delta]\]
+    ein Gruppenisomorphismus.
+\end{korollar}
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \input{figures/todo.tex}
+    \caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:gruppenisomorphismus-wege}}.
+    \label{fig:situation-gruppenisomorphismus-wege}
+\end{figure}
+
+\begin{beweis}
+    \begin{align*}
+        \alpha([\gamma_1] * [\gamma_2]) &= [\overline{\delta} * (\gamma_1 \gamma_2) * \delta]\\
+        &= [\overline{\delta} * \gamma_1 * \delta * \overline{\delta} * \gamma_2 * \delta]
+        &= [\overline{\delta} * \gamma_1 * \delta] * [\overline{\delta} * \gamma_2 * \delta]\\
+        &= \alpha([\gamma_1]) * \alpha([\gamma_2])
+    \end{align*}
+\end{beweis}
+
 % Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
 \input{Kapitel3-UB}

documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex

@@ -61,5 +61,6 @@ $f^{-1}(M)\;\;\;$ Urbild von $M$\\
 $\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe (general linear group)\\
 $\text{Rg}(M)\;\;\;$ Rang von $M$\\
 $f|_U\;\;\;$ $f$ eingeschränkt auf $U$\\
+$[\gamma]\;\;\;$ Homotopieklasse eines Weges $\gamma$\\
 
 \end{minipage}