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% Mitschrieb vom 03.12.2013 %
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\chapter{Fundamentalgruppe und Überlagerungen}
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\section{Homotopie von Wegen}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\subfloat[$\gamma_1$ und $\gamma_2$ sind homotop, da man sie
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\enquote{zueinander verschieben} kann.]{
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\input{figures/topology-homotop-paths.tex}
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\label{fig:homotope-wege-anschaulich}
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}\hspace{1em}%
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\subfloat[$\gamma_1$ und $\gamma_2$ sind wegen dem Hindernis nicht homotop.]{
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\input{figures/topology-non-homotop-paths.tex}
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\label{fig:nicht-homotope-wege-anschaulich}
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}
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\label{Formen}
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\caption{Beispiele für Wege $\gamma_1$ und $\gamma_2$}
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\end{figure}
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\begin{definition}
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Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$,
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$\gamma_1, \gamma_2: [0,1] \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$,
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d.~h. $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = a$, $\gamma_1(1) = \gamma_2(1) = b$
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{homotop}\xindex{homotop}
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($\gamma_1 \sim \gamma_2$), wenn es eine stetige Abbildung
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\[H(t,0) = \gamma_1(t), H(t,1) = \gamma_2(t) \;\;\; \forall t \in [0,1] =: I \]
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und $H(0,s) = a$ und $H(1,s) = b$ für alle $s \in I$ gibt.
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$H$ heißt \textbf{Homotopie}\xindex{Homotopie} zwischen
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$\gamma_1$ und $\gamma_2$.
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\item $\gamma_s: I \rightarrow X, \gamma_s(t) = H(t,s)$ ist
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Weg in $X$ von $a$ nach $b$ für jedes $s \in I$.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{korollar}
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\enquote{Homotop} ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller
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Wege in $X$ von $a$ nach $b$.
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\end{korollar}
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\begin{beweis}\leavevmode
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\begin{itemize}
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\item reflexiv: $H(t,s) = \gamma(t)$ für alle $t,s \in I \times I$
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\item symmetrisch: $H'(t,s) = H(t,1-s)$ für alle $t,s \in I \times I$
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\item transitiv: Seien $H'$ bzw. $H''$ Homotopien von $\gamma_1$
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nach $\gamma_2$ bzw. von $\gamma_2$ nach $\gamma_3$.
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Dann sei $H(t,s) := \begin{cases}
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H'(t, 2s) &\text{falls } 0 \leq s \leq \frac{1}{2}\\
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H''(t, 2s-1) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq s \leq 1\end{cases}$
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$\Rightarrow$ $H$ ist stetig und Homotopie von $\gamma_1$ nach
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$\gamma_2$
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\end{itemize}
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$\qed$
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\end{beweis}
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\begin{beispiel}
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\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
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\item Sei $X = S^1$. $\gamma_1$ und $\gamma_2$ aus
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Abb.~\ref{fig:circle-two-paths} nicht homöotop.
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\begin{figure}
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\centering
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\input{figures/topology-circle-two-paths.tex}
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\caption{Kreis mit zwei Wegen}
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\label{fig:circle-two-paths}
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\end{figure}
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\item Sei $X = T^2$. $\gamma_1, \gamma_2$ und $\gamma_3$
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aus Abb.~\ref{fig:torus-three-paths} sind paarweise
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nicht homöotop.
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\begin{figure}
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\centering
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\input{figures/todo.tex}
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\caption{Torus mit drei Wegen}
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\label{fig:torus-three-paths}
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\end{figure}
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\item Sei $X = \mdr^2$ und $a=b=(0,0)$.
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Je zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Enpunkt $(0,0)$
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sind homöotop.
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\begin{figure}
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\centering
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\input{figures/topology-paths-in-r2.tex}
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\caption{Zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Enpunkt $(0,0)$}
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\label{fig:torus-three-paths}
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\end{figure}
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Sei $\gamma_0: I \rightarrow \mdr^2$ der konstante Weg
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$\gamma_0(t) = 0 \; \forall t \in I$. Sei
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$\gamma(0) = \gamma(1) = 0$.
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$H(t,s) := (1-s) \gamma(t)$ ist stetig,
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$H(t,0) = \gamma(t)\; \forall t \in I$ und
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$H(t,1) = 0 \; \forall t \in I$
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\end{enumerate}
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\end{beispiel}
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% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
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\input{Kapitel3-UB}
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