%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 03.12.2013                                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Fundamentalgruppe und Überlagerungen}
\section{Homotopie von Wegen}
\begin{figure}[ht]
    \centering
    \subfloat[$\gamma_1$ und $\gamma_2$ sind homotop, da man sie 
             \enquote{zueinander verschieben} kann.]{
        \input{figures/topology-homotop-paths.tex}
        \label{fig:homotope-wege-anschaulich}
    }\hspace{1em}%
    \subfloat[$\gamma_1$ und $\gamma_2$ sind wegen dem Hindernis nicht homotop.]{
        \input{figures/topology-non-homotop-paths.tex}
        \label{fig:nicht-homotope-wege-anschaulich}
    }
    \label{Formen}
    \caption{Beispiele für Wege $\gamma_1$ und $\gamma_2$}
\end{figure}

\begin{definition}
    Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$, 
    $\gamma_1, \gamma_2: [0,1] \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$,
    d.~h. $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = a$, $\gamma_1(1) = \gamma_2(1) = b$

    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{homotop}\xindex{homotop}
              ($\gamma_1 \sim \gamma_2$), wenn es eine stetige Abbildung
              \[H(t,0) = \gamma_1(t), H(t,1) = \gamma_2(t) \;\;\; \forall t \in [0,1] =: I \]
              und $H(0,s) = a$ und $H(1,s) = b$ für alle $s \in I$ gibt.

              $H$ heißt \textbf{Homotopie}\xindex{Homotopie} zwischen
              $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
        \item $\gamma_s: I \rightarrow X, \gamma_s(t) = H(t,s)$ ist
              Weg in $X$ von $a$ nach $b$ für jedes $s \in I$.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{korollar}
    \enquote{Homotop} ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller
    Wege in $X$ von $a$ nach $b$.
\end{korollar}

\begin{beweis}\leavevmode
    \begin{itemize}
        \item reflexiv: $H(t,s) = \gamma(t)$ für alle $t,s \in I \times I$
        \item symmetrisch: $H'(t,s) = H(t,1-s)$ für alle $t,s \in I \times I$
        \item transitiv: Seien $H'$ bzw. $H''$ Homotopien von $\gamma_1$
              nach $\gamma_2$ bzw. von $\gamma_2$ nach $\gamma_3$.

              Dann sei $H(t,s) := \begin{cases}
              H'(t, 2s)    &\text{falls } 0 \leq s \leq \frac{1}{2}\\
              H''(t, 2s-1) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq s \leq 1\end{cases}$

              $\Rightarrow$ $H$ ist stetig und Homotopie von $\gamma_1$ nach 
              $\gamma_2$
    \end{itemize}
    $\qed$
\end{beweis}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item Sei $X = S^1$. $\gamma_1$ und $\gamma_2$ aus 
              Abb.~\ref{fig:circle-two-paths} nicht homöotop.
              \begin{figure}
                \centering
                \input{figures/topology-circle-two-paths.tex}
                \caption{Kreis mit zwei Wegen}
                \label{fig:circle-two-paths}
              \end{figure}
        \item Sei $X = T^2$. $\gamma_1, \gamma_2$ und $\gamma_3$
              aus Abb.~\ref{fig:torus-three-paths} sind paarweise
              nicht homöotop.
              \begin{figure}
                \centering
                \input{figures/todo.tex}
                \caption{Torus mit drei Wegen}
                \label{fig:torus-three-paths}
              \end{figure}
        \item Sei $X = \mdr^2$ und $a=b=(0,0)$. 

              Je zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Enpunkt $(0,0)$
              sind homöotop.

              \begin{figure}
                \centering
                \input{figures/topology-paths-in-r2.tex}
                \caption{Zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Enpunkt $(0,0)$}
                \label{fig:torus-three-paths}
              \end{figure}

              Sei $\gamma_0: I \rightarrow \mdr^2$ der konstante Weg
              $\gamma_0(t) = 0 \; \forall t \in I$. Sei
              $\gamma(0) = \gamma(1) = 0$.

              $H(t,s) := (1-s) \gamma(t)$ ist stetig, 
              $H(t,0) = \gamma(t)\; \forall t \in I$ und
              $H(t,1) = 0 \; \forall t \in I$
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
\input{Kapitel3-UB}