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% Mitschrieb vom 09.01.2014 %
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\chapter{Euklidische und nichteuklidische Geometrie}
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\section{Axiome für die euklidische Ebene}
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Axiome\xindex{Axiom} bilden die Grundbausteine jeder mathematischen Theorie. Eine
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Sammlung aus Axiomen nennt man Axiomensystem\xindex{Axiomensystem}.
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Da der Begriff des Axiomensystems so grundlegend ist, hat man auch
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ein paar sehr grundlegende Forderungen an ihn: Axiomensysteme sollen
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\textbf{widerspruchsfrei} sein, die Axiome sollen möglichst
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\textbf{unabhängig} sein und \textbf{Vollständigkeit} wäre auch toll.
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Mit Unabhängigkeit ist gemeint, dass kein Axiom sich aus einem anderem
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herleiten lässt. Dies scheint auf den ersten Blick eine einfache
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Eigenschaft zu sein. Auf den zweiten Blick muss man jedoch einsehen,
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dass das Parallelenproblem, also die Frage ob das Parallelenaxiom
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unabhängig von den restlichen Axiomen ist, über 2000 Jahre nicht
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gelöst wurde. Ein ganz anderes Kaliber ist die Frage nach der
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Vollständigkeit. Ein Axiomensystem gilt als Vollständig, wenn
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jede Aussage innerhalb des Systems verifizierbar oder falsifizierbar
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ist. Interessant ist hierbei der Gödelsche Unvollständigkeitssatz,
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der z.~B. für die Arithmetik beweist, dass nicht alle Aussagen
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formal bewiesen oder widerlegt werden können.
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Kehren wir nun jedoch zurück zur Geometrie. Euklid hat in seiner
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Abhandlung \enquote{Die Elemente} ein Axiomensystem für die Geometrie
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aufgestellt.
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\textbf{Euklids Axiome}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Strecke} zwischen je zwei Punkten
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\item Jede Strecke bestimmt genau eine \textbf{Gerade}
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\item \textbf{Kreis} (um jeden Punkt mit jedem Radius)
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\item Je zwei rechte Winkel sind gleich (Isometrie, Bewegung)
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\item Parallelenaxiom von Euklid:\xindex{Parallelenaxiom}\\
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Wird eine Gerade so von zwei Geraden geschnitten, dass die
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Summe der Innenwinkel zwei Rechte ist, dann schneiden sich
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diese Geraden auf der Seite dieser Winkel.\\
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\\
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Man mache sich klar, dass das nur dann nicht der Fall ist,
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wenn beide Geraden parallel sind und senkrecht auf die erste stehen.
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\end{itemize}
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\begin{definition}\xindex{Ebene!euklidische}%In Vorlesung: Definition 14.2
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Eine \textbf{euklidische Ebene} ist ein metrischer Raum $(X,d)$
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zusammen mit einer Teilmenge $G \subseteq \powerset{X}$, sodass die
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Axiome~\ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4} erfüllt sind:
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\begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*]
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\item \textbf{Inzidenzaxiome}\xindex{Inzidenzaxiome}:\label{axiom:1}
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\begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumi{} (\roman*)]
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\item Zu $P \neq Q \in X$ gibt es genau ein $g \in G$ mit
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$\Set{P, Q} \subseteq g$.
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\item $|g| \geq 2 \;\;\; \forall g \in G$
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\item $X \in G$
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Abstandsaxiom}\xindex{Abstandsaxiom}: Zu $P, Q, R \in X$ gibt es \label{axiom:2}
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genau dann ein $g \in G$ mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$,
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wenn gilt:
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\begin{itemize}[]
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\item $d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)$ oder
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\item $d(P, Q) = d(P, R) + d(R, Q)$ oder
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|
\item $d(Q, R) = d(Q, P) + d(P, R)$
|
|
\end{itemize}
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|
\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{definition}
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item $P, Q, R$ liegen \textbf{kollinear}\xindex{kollinear},
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wenn es $g \in G$ gibt mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$.
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\item $Q$ \textbf{liegt zwischen}\xindex{liegt zwischen} $P$
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und $R$, wenn $d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)$
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\item \textbf{Strecke}\xindex{Strecke} $\overline{PR} := \Set{Q \in X | Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R}$
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|
\item \textbf{Halbgeraden}\xindex{Halbgerade}:\\
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$PR^+ := \Set{Q \in X | Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \text{ oder } R \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q}$\\
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|
$PR^- := \Set{Q \in X | P \text{ liegt zwischen } Q \text{ und } R}$\\
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
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\begin{figure}[htp]
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\centering
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\input{figures/topo-halbgerade.tex}
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\caption{Halbgeraden}
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\label{fig:halbgeraden}
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\end{figure}
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\begin{korollar}
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\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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\item $PR^+ \cup PR^- = PR$
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\item $PR^+ \cap PR^- = \Set{P}$
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\end{enumerate}
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\end{korollar}
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\begin{beweis}\leavevmode
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\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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\item \enquote{$\subseteq$} folgt direkt aus der Definition von $PR^+$ und $PR^-$\\
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\enquote{$\supseteq$}: Sei $Q \in PR \Rightarrow P, Q, R$
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sind kollinear.\\
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$\overset{\ref{axiom:2}}{\Rightarrow}
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\begin{cases}
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Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \Rightarrow Q \in PR\\
|
|
R \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q \Rightarrow Q \in PR\\
|
|
P \text{ liegt zwischen } Q \text{ und } R \Rightarrow Q \in PR
|
|
\end{cases}$
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|
\item \enquote{$\supseteq$} ist offensichtlich\\
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\enquote{$\subseteq$}: Sei $PR^+ \cap PR^-$. Dann ist
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$d(Q,R) = d(P,Q) + d(P,R)$ weil $Q \in PR^-$ und
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\begin{align*}
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&\left \{ \begin{array}{l}
|
|
d(P,R) = d(P,Q) + d(Q,R) \text{ oder }\\
|
|
d(P,Q) = d(P,R) + d(R,Q)
|
|
\end{array} \right \}\\
|
|
&\Rightarrow d(Q,R) = 2d(P,Q) + d(Q,R)\\
|
|
&\Rightarrow d(P,Q) = 0\\
|
|
&\Rightarrow P=Q\\
|
|
&d(P,Q) = 2d(P,R) + d(P,Q)\\
|
|
&\Rightarrow P=R\\
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|
&\Rightarrow \text{Widerspruch}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
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|
\end{beweis}
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\begin{definition}
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\begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=3]
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|
\item \textbf{Anordnungsaxiome}\xindex{Anordnungsaxiome}\label{axiom:3}
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\begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=§\theenumi{} (\roman*)]
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|
\item \label{axiom:3.1} Zu jedem $P \in X$ jeder
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Halbgerade $H$ mit Anfangspunkt $P$ und jedem
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$r \in \mdr_{\geq 0}$ gibt es genau ein
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$Q \in H$ mit $d(P,Q) = r$.
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\item \label{axiom:3.2} Jede Gerade zerlegt
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$X \setminus g = H_1 \dcup H_2$ in zwei
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nichtleere Teilmengen $H_1, H_2$,
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sodass für alle $A \in H_i$, $B \in H_j$ mit
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$i,j \in \Set{1,2}$ gilt:
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$\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$.\\
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Diese Teilmengen $H_i$ heißen
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\textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl.
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$g$.
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Bewegungsaxiome}\xindex{Bewegungsaxiome}: Zu $P, Q, P', Q' \in X$\label{axiom:4}
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mit $d(P,Q) = d(P', Q')$. Isometrien $\varphi_1, \varphi_2$
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mit $\varphi_i (P) = P'$ und $\varpi_i(Q) = Q', i=1,2$
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(Spiegelung an der Gerade durch $P$ und $Q$ ist nach
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Identifizierung von $P \cong P'$ und $Q \cong Q'$ eine
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weitere Isometrie.)
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\item \textbf{Parallelenaxiom}: Für jedes $g \in G$ und jedes
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$P \in X \setminus g$ gibt es höchstens ein $h \in G$ mit
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$h \cap g = \emptyset$.\footnote{$h$ heißt \enquote{Parallele zu $g$ durch $P$}.}
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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% Mitschrieb vom 14.01.2014 %
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\begin{satz}[Satz von Rasch]\label{satz:rasch} %In Vorlesung: Bemerkung 14.5
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Seien $P$, $Q$, $R$ nicht kollinear, $g \in G$ mit $g \cap \Set{P, Q, R} = \emptyset$
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und $g \cap \overline{PQ} \neq \emptyset$.
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Dann ist $g \cap \overline{PR} \neq \emptyset$ oder
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$g \cap \overline{QR} \neq \emptyset$.
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\end{satz}
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Dieser Satz besagt, dass Geraden, die eine Seite eines Dreiecks
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(also nicht nur eine Ecke) schneiden, auch eine weitere Seite
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scheiden.
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\begin{beweis}
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$g \cap \overline{PQ} \neq \emptyset$\\
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$\overset{\mathclap{\ref{axiom:3.2}}}{\Rightarrow} P$ und $Q$ liegen in verschiedenen Halbebenen bzgl. $g$\\
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$\Rightarrow$ \obda $R$ und $P$ liegen in verschieden
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Halbebenen bzgl. $P$\todo{bzgl. P? Nicht PQ?}\\
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$\Rightarrow g \cap \overline{RP} \neq \emptyset$
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\end{beweis}
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\begin{korollar}\label{kor:beh3}
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Sei $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ sowie $A, B \in X \setminus PQ$
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mit $A \neq B$.
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Außerdem seien $A$ und $B$ in der selben Halbebene bzgl. $PQ$ sowie
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$Q$ und $B$ in der selben Halbenebe bzgl. $PA$.
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Dann gilt: $PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$
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\end{korollar}
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\begin{figure}[htp]
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\centering
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\input{figures/geometry-5.tex}
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\caption{Situation aus \cref{kor:beh3}}
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\label{fig:bild-5}
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\end{figure}
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Auch \cref{kor:beh3} lässt sich Umgangssprachlich sehr viel
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einfacher ausdrücken: Die Diagonalen eines konvexen Vierecks
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schneiden sich.
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\begin{beweis}%In Vorlesung: Behauptung 3
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Sei $P' \in PQ^-, P' \neq P$
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$\overset{\cref{satz:rasch}}{\Rightarrow} PB$ schneidet
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$\overline{AP'} \cup \overline{AQ}$
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Sei $C$ der Schnittpunkt. Dann gilt:
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\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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\item $C \in PB^+$, denn $A$ und $B$ liegen in derselben
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Halbebene bzgl. $PQ = P'Q$, also auch
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$\overline{AP'}$ und $\overline{AQ}$.
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\item $C$ liegt in derselben Halbebene bzgl. $PA$ wie
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$B$, weil das für $Q$ gilt.
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$\overline{AP'}$ liegt in der anderen Halbebene
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bzgl. $PA \Rightarrow C \notin \overline{P'A} \Rightarrow C \in \overline{AQ}$
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\end{enumerate}
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Da $C \in PB^+$ und $C \in \overline{AQ}$ folgt nun direkt:
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$\emptyset \neq \Set{C} \subseteq PB^+ \cap \overline{AQ} \qed$
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\end{beweis}
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\begin{korollar}\label{kor:14.6}%In Vorlesung: Bemerkung 14.6
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Seien $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ und $A, B \in X \setminus PQ$
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in der selben Halbebene bzgl. $PQ$. Außerdem sei $d(A,P)=d(B,P)$
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und $d(A, Q) = d(B, Q)$.
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Dann ist $A = B$.
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\end{korollar}
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\begin{figure}[htp]
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\centering
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\input{figures/geometry-2.tex}
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\caption{\cref{kor:14.6}: Die beiden roten und die beiden blauen Linien sind gleich lang. Intuitiv weiß man, dass daraus folgt, dass $A = B$ gilt.}
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\label{fig:bild-2}
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\end{figure}
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\begin{beweis} durch Widerspruch\\
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\underline{Annahme}: $A \neq B$
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Dann ist $B \notin (PA \cup QA)$ wegen \ref{axiom:2}.
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\subfloat[1. Fall]{
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\input{figures/geometry-3.tex}
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\label{fig:bild-3}
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}%
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\subfloat[2. Fall]{
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\input{figures/geometry-4.tex}
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\label{fig:bild-4}
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}%
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\label{Formen}
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\caption{Fallunterscheidung aus \cref{kor:14.6}}
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\end{figure}
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\underline{1. Fall}: $Q$ und $B$ liegen in derselben Halbebene bzgl. $PA$
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$\overset{\cref{kor:beh3}}{\Rightarrow} PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$.
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Sei $C$ der Schnittpunkt vom $PB$ und $AQ$.
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Dann gilt:
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\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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\item $d(A, C) + d(A, Q) = d(B, Q) < d(B, C) + d(C, Q) \Rightarrow d(A, C) < d(B, C)$ \label{enum:komischer-beweis-i}
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|
\item \begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item $B$ liegt zwischen $P$ und $C$.
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$d(P,A) + d(A, C) > d(P,C) = d(P,B) + d(B,c) = d(P,A) + d(B,C)$
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$\Rightarrow d(A,c) > d(B,C) \Rightarrow$ Widerspruch zu \ref{enum:komischer-beweis-i}
|
|
\item $C$ liegt zwischen $P$ und $B$
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|
$d(P,C) + d(C,A) > d(P,A) = d(P,B) = d(P,C) + d(C, B)$\\
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|
$\Rightarrow d(C, A) > d(C, B)$\\
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|
$\Rightarrow$ Widerspruch zu \ref{enum:komischer-beweis-i}
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|
\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\underline{2. Fall}: $Q$ und $B$ liegen auf verscheiden Halbebenen bzgl. $PA$.
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Dann liegen $A$ und $Q$ in derselben Halbebene bzgl. $PB$.
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Tausche $A$ und $B \Rightarrow$ Fall 1 $\qed$
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\end{beweis}
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\begin{proposition}%In Vorlesung: Satz 14.4
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In einer Geometrie, die \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:3} erfüllt,
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gibt es zu $P, P', Q, Q'$ mit $d(P, Q) = d(P', Q')$ höchstens
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zwei Isometrien mit $\varphi(P) = P'$ und $\varphi(Q) = Q'$
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Aus den Axiomen folgt, dass es in
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den Situation \ref{axiom:4} höchstens zwei Isometrien mit
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$\varphi_i(P) = P'$ und $\varphi_i(Q) = Q'$ gibt.
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\end{proposition}
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\begin{beweis}
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Seien $\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3$ Isometrien mit
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$\varphi_i(P) = P'$, $\varphi_i(Q) = Q'$, $i=1,2,3$
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|
\begin{behauptung}[1]
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|
$\exists R \in X \setminus PQ$ mit $\varphi_{1} (R) = \varphi_{2} (R)$.
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\end{behauptung}
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\begin{behauptung}[2]
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Hat $\varphi$ 3 Fixpunkte, die nicht kollinear sind,
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so ist $\varphi = \id_X$.
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|
\end{behauptung}
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|
\begin{behauptung}[2']
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|
$(\varphi(P) = P \land \varphi(Q) = Q) \Rightarrow (\varphi(S) = S\;\forall S \in PQ)$
|
|
\end{behauptung}
|
|
|
|
Aus Beh. 1 und Beh. 2 folgt, dass $\varphi_2^{-1} \circ \varphi_1 = \id_X$,
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|
also $\varphi_2 = \varphi_1$.\todo{Wieso?}
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|
|
\begin{beweis}\leavevmode
|
|
\begin{behauptung}
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|
Sind $P \neq Q$ Fixpunkte einer Isometrie, so ist
|
|
$\varphi(R) = R$ für jedes $R \in PQ$.
|
|
\end{behauptung}
|
|
\begin{beweis}[von Beh. 2 mit Beh. 2']
|
|
Seien $P$, $Q$ und $R$ Fixpunkte von $\varphi$, $R \in PG$
|
|
und $A \notin \overline{PQ} \cup \overline{PR} \cup \overline{QR}$.
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|
Sei $B \in \overline{PQ} \setminus \Set{P, Q}$. Dann ist
|
|
$\varphi(B) = B$ wegen Beh.~2'.
|
|
|
|
Ist $R \in AB$, so enthält $AB$ 2 Fixpunkte von $\varphi$
|
|
$\overset{Beh.~2'}{\Rightarrow} \varphi(A) = A$.
|
|
|
|
\begin{figure}[htp]
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|
\centering
|
|
\input{figures/geometry-1.tex}
|
|
\caption{$P, Q, R$ sind Fixpunkte, $B \in \overline{PQ} \setminus \Set{P,Q}$, $A \notin PQ \cup PR \cup QR$}
|
|
\label{fig:geometry-1}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Ist $R \notin AB$, so ist $AB \cap \overline{PR} \neq \emptyset$
|
|
oder $AB \in \overline{RQ} \neq \emptyset$ nach \cref{satz:rasch}.
|
|
Der Schnittpunkt $C$ ist dann Fixpunkt von $\varphi'$
|
|
nach Beh.~2' $\Rightarrow \varphi(A) = A$.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{beweis}[von Beh. 1]
|
|
Sei $R \in X \setminus PQ$. Von den drei Punkten
|
|
$\varphi_1(R), \varphi_2(R), \varphi_3(R)$ liegen zwei
|
|
in der selben Halbebene bzgl. $P'Q' = \varphi_i(PQ)$.
|
|
|
|
\Obda seien $\varphi_1(R)$ und $\varphi_2(R)$ in der
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|
selben Halbebene.
|
|
|
|
Es gilt:
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|
\begin{align}
|
|
d(P', \varphi_1(R)) &= d(\varphi_1(P), \varphi_1(R))\\
|
|
&= d(P, R)\\
|
|
&= d(\varphi_2(P), \varphi_2(R))\\
|
|
&= d(P', \varphi_2(R))\\
|
|
&= d(Q', \varphi_2(R))
|
|
\end{align}
|
|
und analog $d(Q', \varphi_1(R)) = d(Q', \varphi_2(R))$
|
|
\end{beweis}
|
|
\end{beweis}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
Mit \ref{kor:14.6} lassen sich die Kongruenzsätze für Dreiecke,
|
|
wie man sie aus der Schule kennt, beweisen.
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{proposition}\label{prop:14.7}%In Vorlesung: Proposition 14.7
|
|
Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie mit den Axiomen \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4}.
|
|
|
|
Dann gibt es zu jedem $g \in G$ und jedem $P \in X \setminus g$ ein
|
|
$h \in G$ mit $P \in h$ und $g \cap h \neq \emptyset$.
|
|
\end{proposition}
|
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|
\begin{figure}[htp]
|
|
\centering
|
|
\input{figures/geometry-6.tex}
|
|
\caption{Situation aus \cref{prop:14.7}}
|
|
\label{fig:bild-6}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei $f \in G$ mit $P \in f$. Ist $f \cap g = \emptyset$, so setze
|
|
$h := f$. Andernfalls sei $\Set{Q} : = f \cap g$.
|
|
|
|
Sei $\varphi$ die eindeutige Isometrie mit $\varphi(Q) = P$,
|
|
$\varphi(P) = P'$, die die Halbebenen bzgl. $f$ nicht vertauscht.
|
|
|
|
Setze $h := \varphi(g)$.
|
|
|
|
\underline{Z.~Z.:} $h \cap g = \emptyset$.
|
|
|
|
Andernfalls sei $\Set{R} = h \cap g$.
|
|
|
|
\begin{figure}[htp]
|
|
\centering
|
|
\input{figures/geometry-7.tex}
|
|
\caption{TODO}
|
|
\label{fig:bild-6}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
Jeder Innenwinkel eines Dreiecks ist kleiner als alle nicht-anliegenden
|
|
Außenwinkel.
|
|
\end{bemerkung}
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