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\documentclass[a5paper,oneside]{scrbook}
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\usepackage{etoolbox}
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\usepackage{amsmath,amssymb}% math symbols / fonts
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\usepackage{mathtools} % \xRightarrow
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\usepackage{nicefrac} % \nicefrac
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\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
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\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
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\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf
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\usepackage[framed,amsmath,thmmarks,hyperref]{ntheorem}
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\usepackage{framed}
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\usepackage{marvosym}
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\usepackage{makeidx} % for automatically generation of an index
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\usepackage{xcolor}
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\usepackage[bookmarks,bookmarksnumbered,hypertexnames=false,pdfpagelayout=OneColumn,colorlinks,hyperindex=false]{hyperref} % has to be after makeidx
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\usepackage{enumitem} % Better than \usepackage{enumerate}, because it allows to set references
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\usepackage{tabto}
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\usepackage{braket} % needed for \Set
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\usepackage{csquotes} % \enquote{}
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\usepackage{subfig} % multiple figures in one
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\usepackage{parskip} % nicer paragraphs
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\usepackage{xifthen} % \isempty
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\usepackage{changepage} % for the adjustwidth environment
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\usepackage{pst-solides3d}
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\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes}
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\pgfplotsset{compat=1.7}
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\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
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\usepackage{caption} % get newlines within captions
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\usepackage{cancel}
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\usepackage{tikz} % draw
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\usepackage{tikz-3dplot} % draw
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\usepackage{tkz-fct} % draw
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\usepackage{tkz-euclide} % draw
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\usetkzobj{all} % tkz-euclide
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\usetikzlibrary{3d,calc,intersections,er,arrows,positioning,shapes.misc,patterns,fadings,decorations.pathreplacing}
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\usepackage{tqft}
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\usepackage{xspace} % for new commands; decides weather I want to insert a space after the command
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\usepackage[german,nameinlink]{cleveref} % has to be after hyperref, ntheorem, amsthm
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\usepackage[left=10mm,right=10mm, top=2mm, bottom=10mm]{geometry}
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\usepackage{../shortcuts}
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\hypersetup{
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pdfauthor = {Martin Thoma},
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pdfkeywords = {Geometrie und Topologie},
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pdftitle = {Fragen zu Definitionen}
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}
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\allowdisplaybreaks
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% Begin document %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
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\chapter{Fragen zu Definitionen}
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\section*{6.) Basisbeispiele}
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\todo[inline]{Kennst du ein Beispiel für eine Subbasis in einem Topologischen Raum,
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die keine Basis ist?}
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Wie ist es mit folgendem?
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Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum mit
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$X = \Set{0,1,2}$ und $\fT = \Set{\emptyset, \Set{0}, \Set{0,1}, X}$.\\
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Dann ist $\calS = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0,2}}$ eine Subbasis von
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$\fT$, da gilt:
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\begin{itemize}
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\item $\emptyset \in \calS$
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\item $\Set{0} = \Set{0, 1} \cap \Set{0,2}$
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\item $\Set{0,1} \in \calS$
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\item $X = \Set{0,1} \cup \Set{0,2}$
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\end{itemize}
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Allerings ist $\calS$ keine Basis von $(X, \fT)$, da
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$\Set{0}$ nicht als Vereinigung von Elementen aus $\calS$
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erzeugt werden kann.
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\section*{9.) Mannigfaltigkeit mit Rand}
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\begin{definition}%
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Sei $X$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$.
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\begin{defenum}
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\item Eine $n$-dimensionale \textbf{Karte}\xindex{Karte} auf
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$X$ ist ein Paar $(U, \varphi)$, wobei $U \subseteq X$
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offen und $\varphi: U \rightarrow V$ Homöomorphismus
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von $U$ auf eine offene Teilmenge $V \subseteq \mdr^n$.
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|
\item Ein $n$-dimensionaler \textbf{Atlas}\xindex{Atlas} $\atlas$ auf $X$ ist eine
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Familie $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$ von Karten auf $X$,
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sodass $\bigcup_{i \in I} U_i = X$.
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\item $X$ heißt (topologische) $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit},
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wenn $X$ hausdorffsch ist, eine abzählbare Basis der
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Topologie hat und ein $n$-dimensionalen Atlas besitzt.
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\end{defenum}
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\end{definition}
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\begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand}%
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Sei $X$ ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie.
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$X$ heißt $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand},
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|
wenn es einen Atlas $(U_i, \varphi_i)$ gibt, wobei $U_i \subseteq X_i$
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offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene
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Teilmenge von
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\[R_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_{\color{red}m} \geq 0}\]
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ist.
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\end{definition}
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\todo[inline]{Sind Mannigfaltigkeiten mit Rand auch Mannigfaltigkeiten? Sollte das rote $m$ eventuell $n$ sein? Oder sollte es ein $i$ sein, mit $i = 1..n$?}
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Laut \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Mannigfaltigkeit_mit_Rand}:
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\enquote{Eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt sich hierbei nicht um einen Spezialfall einer Mannigfaltigkeit, sondern ganz im Gegenteil um eine Verallgemeinerung.}
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\todo[inline]{Ist die Aussage auf Wikipedia korrekt? Für mich sieht das so aus, also ob folgende Definition auch richtig wäre:}
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\begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand}%
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|
Sei $X$ eine Mannigfaltigkeit mit Atlas $\atlas$ und
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\[\mdr_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_m \geq 0}\]
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$X$ heißt \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand}, wenn gilt:
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\[\forall (U, \varphi) \in \atlas: \varphi(U) \subseteq \mdr_{+,0}^n\]
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\end{definition}
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\section*{11.) Produkttopologie}
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\begin{definition}\xindex{Produkttopologie}%
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Seien $X_1, X_2$ topologische Räume.\\
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$U \subseteq X_1 \times X_2$ sei offen, wenn es zu jedem $x = (x_1, x_2) \in U$
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Umgebungen $U_i$ um $x_i$ mit $i=1,2$ gibt, sodass $U_1 \times U_2 \subseteq U$
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gilt.
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$\fT = \Set{U \subseteq X_1 \times X_2 | U \text{ offen}}$
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ist eine Topologie auf $X_1 \times X_2$. Sie heißt \textbf{Produkttopologie}.
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$\fB = \Set{U_1 \times U_2 | U_i \text{ offen in } X_i, i=1,2}$
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|
ist eine Basis von $\fT$.
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\end{definition}
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\todo[inline]{Gibt es ein Beispiel, das zegit, dass nicht $\fB = \fT$ gilt?}
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\section*{15.) Existenz der Parallelen}
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\begin{definition}%
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\begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=5]
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\item \label{axiom:5}\textbf{Parallelenaxiom}\xindex{Parallele}:
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|
Für jedes $g \in G$ und jedes
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|
$P \in X \setminus g$ gibt es höchstens ein $h \in G$ mit
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|
$h \cap g = \emptyset$. $h$ heißt \textbf{Parallele zu $g$ durch $P$}.
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\end{enumerate}
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|
\end{definition}
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\todo[inline]{Wie beweist man, dass es genau eine gibt? (Verschiebung der Geraden in den entsprechenden Punkt mit der Isometrie, die die Halbebenen gleich lässt)}
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\section*{17.) Simpliziale Abbildungen}
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|
Wenn man Simpliziale Abbildungen wie folgt definiert
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\begin{definition}\xindex{Abbildung!simpliziale}%
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Seien $K, L$ Simplizialkomplexe. Eine stetige Abbildung
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\[f:|K| \rightarrow |L|\]
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heißt \textbf{simplizial}, wenn für
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jedes $\Delta \in K$ gilt:
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\begin{defenum}
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\item $f(\Delta) \in L$
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|
\item $f|_{\Delta} : \Delta \rightarrow f(\Delta)$ ist eine
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affine Abbildung.
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\end{defenum}
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|
\end{definition}
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|
\todo[inline]{Dann ist die Forderung \enquote{$f(\Delta) \in L$} doch immer erfüllt, oder?
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Gibt es eine Abbildung
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$f:|K| \rightarrow |L|$
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mit $f(\Delta) \notin L$?}
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\section*{18.) ÜB 1, Aufgabe 2}
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\underline{Vor.:} Es sei $(X, d)$ ein metrischer Raum, $A \subseteq X$.
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Weiter bezeichne $\fT$ die von $d$ auf $X$ erzeugte Topologie $\fT'$, die von
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der auf $A \times A$ eingeschränkten Metrik $d|_{A \times A}$ erzeugte Topologie.
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\underline{Beh.:} Die Topologie $\fT'$ und $\fT|_A$ (Spurtopologie) stimmen überein.
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\underline{Bew.:}
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\enquote{$\fT|_A \subseteq \fT'$}:
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Sei $U \in \fT|_A = \Set{V \cap A | V \in \fT}$.\\
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Dann ex. also $V \in \fT$ mit
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$U = V \cap A$.\\
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|
Sei $x \in U$.\\
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Da $V \in \fT$, ex. nach Bemerkung~3 ein $r > 0$ mit
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\begin{align*}
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\fB_r(x) := \Set{y \in X | d(x,y) < r} &\subseteq V\\
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|
\Set{y \in A | d(x,y) < r} &\subseteq V \cap A = U
|
|
\end{align*}
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|
also ist $U$ offen bzgl. $d|_{A \times A}$.
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|
\todo[inline]{Wieso ist $U$ offen bzgl. $d|_{A \times A}$?}
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|
Da $x \in U$ beliebig gewählt war gilt: $\fT|_A \subseteq \fT'$
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\section*{19.) Topologische Gruppe und stetige Gruppenoperation}
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\begin{definition}%
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Sei $G$ eine Mannigfaltigkeit und $(G, \circ)$ eine Gruppe.
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\begin{defenum}
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|
\item $G$ heißt \textbf{topologische Gruppe}\xindex{Gruppe!topologische},
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wenn die Abbildungen $\circ: G \times G \rightarrow G$
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und $\iota: G \rightarrow G$ definiert durch
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\[g \circ h := g \cdot h \text{ und } \iota(g) := g^{-1}\]
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stetig sind.
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\item Ist $G$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so heißt
|
|
$G$ \textbf{Lie-Gruppe}\xindex{Lie-Gruppe}, wenn
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$(G, \circ)$ und $(G, \iota)$ differenzierbar sind.
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|
\end{defenum}
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|
\end{definition}
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|
\begin{definition}
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|
Sei $G$ eine Gruppe, $X$ ein topologischer Raum und
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|
$\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenoperation.
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|
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|
\begin{defenum}
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|
\item \xindex{Gruppe operiert durch Homöomorphismen}\textbf{$G$ operiert durch Homöomorphismen}, wenn für jedes $g \in G$
|
|
die Abbildung
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\[m_g: X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x\]
|
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ein Homöomorphismus ist.
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|
\item Ist $G$ eine topologische Gruppe, so heißt die Gruppenoperation $\circ$
|
|
\textbf{stetig}\xindex{Gruppenoperation!stetige}, wenn
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|
$\circ: G \times X \rightarrow X$ stetig ist.
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|
\end{defenum}
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|
\end{definition}
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|
\todo[inline]{Wenn $G$ eine topologische Gruppe ist, dann ist $\circ$ doch auf jeden Fall stetig! Was soll die Definition? Des Weiteren verstehe ich $g \circ h := g \cdot h$ nicht. Was ist $\cdot$?}
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\section*{20.) Hyperbolische Metrik und Geraden}
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\begin{definition}\xindex{Gerade!hyperbolische}%
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Sei
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\[\mdh:= \Set{z \in \mdc | \Im(z) > 0} = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | y > 0}\]
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die obere Halbebene bzw. Poincaré-Halbebene und $G = G_1 \cup G_2$
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mit
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\begin{align*}
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G_1 &= \Set{g_1 \subseteq \mdh | \exists m \in \mdr, r \in \mdr_{>0}: g_1 = \Set{z \in \mdh : |z-m|=r}}\\
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|
G_2 &= \Set{g_2 \subseteq \mdh | \exists x \in \mdr: g_2 = \Set{z \in \mdh: \Re(z) = x}}
|
|
\end{align*}
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Die Elemente von $\mdh$ heißen \textbf{hyperbolische Geraden}.
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|
\end{definition}
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\begin{definition}\xindex{Metrik!hyperbolische}%
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Für $z_1, z_2 \in \mdh$ sei $g_{z_1, z_2}$ die eindeutige hyperbolische
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|
Gerade durch $z_1$ und $z_2$ und $a_1, a_2$ die
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|
\enquote{Schnittpunkte} von $g_{z_1, z_2}$ mit $\mdr \cup \Set{\infty}$.
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Dann sei $d(z_1, z_2) := \frac{1}{2} \ln |\DV(a_1, z_4, a_2, z_2) |$
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und heiße \textbf{hyperbolische Metrik}.
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\end{definition}
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\todo[inline]{Wir haben hyperbolische Geraden mit der euklidischen Metrik beschrieben. Kann man hyperbolische Geraden auch mit der hyperbolischen Metrik beschreiben? Wie?}
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vgl. Beweis von Bemerkung 68 b)
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\section*{21.) Defintion Normalenvektor}
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\begin{definition}%In Vorlesung: Definition 16.2
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Sei $\gamma: I \rightarrow \mdr^2$ eine durch Bogenlänge
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parametrisierte Kurve.
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\begin{defenum}
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\item Für $t \in I$ sei $n(t)$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor}
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|
an $\gamma$ in $t$, d.~h.
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\[\langle n(t), \gamma'(t) \rangle = 0, \;\;\; \|n(t)\|=1 \]
|
|
und $\det((\gamma_1(t), n(t))) = +1$.
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|
\item Nach \cref{bem:16.1d} sind $n(t)$ und $\gamma''(t)$ linear
|
|
abhängig, d.~h. es gibt $\kappa(t) \in \mdr$ mit
|
|
\[\gamma''(t) = \kappa(t) \cdot n(t)\]
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|
$\kappa(t)$ heißt \textbf{Krümmung}\xindex{Krümmung}
|
|
von $\gamma$ in $t$.
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|
\end{defenum}
|
|
\end{definition}
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|
|
\todo[inline]{Sollte es in a) $\det((\gamma_1{\color{red}'}(t), n(t))) = +1$ sein?}
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\section*{22.) MF-Beispiel}
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$\praum^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\praum^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten
|
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der Dimension $n$ bzw. $2n$, da gilt:
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Sei $U_i := \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \praum^n(\mdr) | x_i \neq 0}\;\forall i \in 0, \dots, n$.
|
|
Dann ist $\praum^n(\mdr) = \bigcup_{i=0}^n U_i$ und die Abbildung
|
|
\begin{align*}
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|
U_i &\rightarrow \mdr^n\\
|
|
(x_0 : \dots : x_n) &\mapsto \left (\frac{x_0}{x_i}, \dots, \cancel{\frac{x_i}{x_i}}, \dots, \frac{x_n}{x_i} \right )\\
|
|
(y_1 : \dots : y_{i-1} : 1 : y_i : \dots : y_n) &\mapsfrom (y_1, \dots, y_n)
|
|
\end{align*}
|
|
ist bijektiv.
|
|
\todo[inline]{Was wird im Folgenden gemacht?}
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|
Die $U_i$ mit $i = 0, \dots, n$ bilden einen $n$-dimensionalen Atlas:
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|
\begin{align*}
|
|
x &= (1:0:0) \in U_0 \rightarrow \mdr^2 & x &\mapsto (0,0)\\
|
|
y &= (0:1:1) \in U_2 \rightarrow \mdr^2 & y &\mapsto (0,1)
|
|
\end{align*}
|
|
$\text{Umgebung: } \fB_1 (0,1) \rightarrow \Set{(1:u:v) | \|(u,v)\| < 1} = V_1$\\
|
|
$\text{Umgebung: } \fB_1 (0,1) \rightarrow \Set{(w:z:1) | w^2 + z^2 < 1} = V_2$\\
|
|
|
|
$V_1 \cap V_2 = \emptyset$?
|
|
|
|
$(a:b:c) \in V_1 \cap V_2$\\
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|
$\Rightarrow a \neq 0$ und $(\frac{b}{a})^2 + (\frac{c}{a})^2 < 1 \Rightarrow \frac{c}{a} < 1$\\
|
|
$\Rightarrow c \neq 0$ und $(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 < 1 \Rightarrow \frac{a}{c} < 1$\\
|
|
$\Rightarrow$ Widerspruch
|
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|
|
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|
\section*{23) Hyperbolische Geraden erfüllen 3.ii}
|
|
\begin{bemerkung}[Eigenschaften der hyperbolischen Geraden]
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|
Die hyperbolischen Geraden erfüllen das Anordnungsaxiom 3 ii
|
|
\end{bemerkung}
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\begin{beweis}\leavevmode
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Sei $g \in G_1 \dcup G_2$ eine hyperbolische Gerade.\\
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|
\underline{Fall 1:} $g = \Set{z \in \mdh | |z-m| = r} \in G_1$\\
|
|
Dann gilt:
|
|
\[\mdh = \underbrace{\Set{z \in \mdh | |z-m| < r}}_{=:H_1 \text{ (Kreisinneres)}} \dcup \underbrace{\Set{z \in \mdh | |z-m| < r}}_{=:H_2 \text{ (Kreisäußeres)}}\]
|
|
Da $r > 0$ ist $H_1$ nicht leer, da $r \in \mdr$ ist $H_2$ nicht leer.
|
|
|
|
\underline{Zu zeigen:} $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit
|
|
$i,j \in \Set{1,2}$ gilt:
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|
$\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\
|
|
\enquote{$\Leftarrow$}: Da $d_\mdh$ stetig ist, folgt diese Richtung
|
|
direkt. Alle Punkte in $H_1$ haben einen Abstand von $m$ der kleiner
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ist als $r$ und alle Punkte in $H_2$ haben einen Abstand von $m$ der
|
|
größer ist als $r$. Da man jede Strecke von $A$ nach $B$ insbesondere
|
|
auch als stetige Abbildung $f: \mdr \rightarrow \mdr_{>0}$ auffassen
|
|
kann, greift der Zwischenwertsatz $\Rightarrow$ $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset$
|
|
|
|
\enquote{$\Rightarrow$}:
|
|
\todo[inline]{TODO}
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|
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|
\underline{Fall 2:} $g = \Set{z \in \mdh | \Re{z} = x} \in G_2$\\
|
|
Die disjunkte Zerlegung ist:
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\[\mdh = \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) < x}}_{=: H_1 \text{ (Links)}} \dcup \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) > x}}_{=: H_2 \text{ (Rechts)}}\]
|
|
|
|
\underline{Zu zeigen:} $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit
|
|
$i,j \in \Set{1,2}$ gilt:
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|
$\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\
|
|
\enquote{$\Leftarrow$}: Wie zuvor mit dem Zwischenwertsatz.
|
|
|
|
\enquote{$\Rightarrow$}:
|
|
\todo[inline]{TODO}
|
|
\end{beweis}
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|
\section*{24) Tangentialebene}
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|
Erinnerung Sie sich an \cref{def:8.5} \enquote{reguläre Fläche}.
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|
Äquivalent dazu ist: $S$ ist lokal von der Form
|
|
\[V(f) = \Set{x \in \mdr^3 | f(x) = 0 }\]
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|
für eine $C^\infty$-Funktion $f: \mdr^\infty \rightarrow \mdr$.\todo{Wirklich $\mdr^\infty$?}
|
|
|
|
\section*{25.) Fragen}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Kapitel II:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Frage 7: Anschaulich ist mir klar, warum durch Verkleben gegenüberliegernder Seiten ein Torus entsteht. Was wird hier erwartet?
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item Kapitel III
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Deformationsretrakt: Das hatten wir nicht in der Vorlesung, oder? Ich meine mich zwar an das Wort zu erinnern (aus einem Übungsblatt? Einem Tutorium?) Könntest du bitte nochmals erklären was das ist?
|
|
Das ist zwar auf Blatt 7 und 8 vorgekommen, aber sonst nie.
|
|
\item Damit verbunden: Was genau ist eine "Einbettung"?
|
|
\item Was bedeutet der Pfeil: $f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2\;\;\;$ Einbettung der Kreislinie in die Ebene
|
|
\item Was ist eine Inklusionsabbildung?
|
|
\item Was ist ein Homotopietyp? (Ist das eventuell die Anzahl der Homotopieklassen?)
|
|
\item Frage 4: Was ist eine Rose?
|
|
\item Frage 5: Wieso ist $\GL(n, \mdr)$ eine Lie-Gruppe?
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{document} |