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  pdfauthor   = {Martin Thoma}, 
  pdfkeywords = {Geometrie und Topologie}, 
  pdftitle    = {Fragen zu Definitionen} 
}
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% Begin document                                                    %
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\begin{document}
\chapter{Fragen zu Definitionen}
\section*{6.) Basisbeispiele}
\todo[inline]{Kennst du ein Beispiel für eine Subbasis in einem Topologischen Raum,
die keine Basis ist?}

Wie ist es mit folgendem?

Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum mit 
  $X = \Set{0,1,2}$ und $\fT = \Set{\emptyset, \Set{0}, \Set{0,1}, X}$.\\
  Dann ist $\calS = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0,2}}$ eine Subbasis von 
  $\fT$, da gilt:
  \begin{itemize}
    \item $\emptyset \in \calS$
    \item $\Set{0} = \Set{0, 1} \cap \Set{0,2}$
    \item $\Set{0,1} \in \calS$
    \item $X = \Set{0,1} \cup \Set{0,2}$
  \end{itemize}
  Allerings ist $\calS$ keine Basis von $(X, \fT)$, da
  $\Set{0}$ nicht als Vereinigung von Elementen aus $\calS$
  erzeugt werden kann.


\section*{9.) Mannigfaltigkeit mit Rand}
\begin{definition}%
    Sei $X$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$.
    \begin{defenum}
        \item Eine $n$-dimensionale \textbf{Karte}\xindex{Karte} auf
              $X$ ist ein Paar $(U, \varphi)$, wobei $U \subseteq X$
              offen und $\varphi: U \rightarrow V$ Homöomorphismus
              von $U$ auf eine offene Teilmenge $V \subseteq \mdr^n$.
        \item Ein $n$-dimensionaler \textbf{Atlas}\xindex{Atlas} $\atlas$ auf $X$ ist eine
              Familie $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$ von Karten auf $X$,
              sodass $\bigcup_{i \in I} U_i = X$.
        \item $X$ heißt (topologische) $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit},
              wenn $X$ hausdorffsch ist, eine abzählbare Basis der 
              Topologie hat und ein $n$-dimensionalen Atlas besitzt.
    \end{defenum}
\end{definition}
\begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand}%
    Sei $X$ ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie.
    $X$ heißt $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand},
    wenn es einen Atlas $(U_i, \varphi_i)$ gibt, wobei $U_i \subseteq X_i$
    offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene 
    Teilmenge von 
    \[R_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_{\color{red}m} \geq 0}\]
    ist.
\end{definition}

\todo[inline]{Sind Mannigfaltigkeiten mit Rand auch Mannigfaltigkeiten? Sollte das rote $m$ eventuell $n$ sein? Oder sollte es ein $i$ sein, mit $i = 1..n$?}

Laut \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Mannigfaltigkeit_mit_Rand}:

\enquote{Eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt sich hierbei nicht um einen Spezialfall einer Mannigfaltigkeit, sondern ganz im Gegenteil um eine Verallgemeinerung.}

\todo[inline]{Ist die Aussage auf Wikipedia korrekt? Für mich sieht das so aus, also ob folgende Definition auch richtig wäre:}

\begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand}%
    Sei $X$ eine Mannigfaltigkeit mit Atlas $\atlas$ und
    \[\mdr_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_m \geq 0}\]

    $X$ heißt \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand}, wenn gilt:
    \[\forall (U, \varphi) \in \atlas: \varphi(U) \subseteq \mdr_{+,0}^n\]
\end{definition}

\section*{11.) Produkttopologie}
\begin{definition}\xindex{Produkttopologie}%
    Seien $X_1, X_2$ topologische Räume.\\
    $U \subseteq X_1 \times X_2$ sei offen, wenn es zu jedem $x = (x_1, x_2) \in U$
    Umgebungen $U_i$ um $x_i$  mit $i=1,2$ gibt, sodass $U_1 \times U_2 \subseteq U$
    gilt.

    $\fT = \Set{U \subseteq X_1 \times X_2 | U \text{ offen}}$
    ist eine Topologie auf $X_1 \times X_2$. Sie heißt \textbf{Produkttopologie}.
    $\fB = \Set{U_1 \times U_2 | U_i \text{ offen in } X_i, i=1,2}$
    ist eine Basis von $\fT$.
\end{definition}

\todo[inline]{Gibt es ein Beispiel, das zegit, dass nicht $\fB = \fT$ gilt?}

\section*{15.) Existenz der Parallelen}
\begin{definition}%
    \begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=5]
        \item \label{axiom:5}\textbf{Parallelenaxiom}\xindex{Parallele}:
            Für jedes $g \in G$ und jedes
            $P \in X \setminus g$ gibt es höchstens ein $h \in G$ mit
            $h \cap g = \emptyset$. $h$ heißt \textbf{Parallele zu $g$ durch $P$}.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\todo[inline]{Wie beweist man, dass es genau eine gibt? (Verschiebung der Geraden in den entsprechenden Punkt mit der Isometrie, die die Halbebenen gleich lässt)}

\section*{17.) Simpliziale Abbildungen}
Wenn man Simpliziale Abbildungen wie folgt definiert

\begin{definition}\xindex{Abbildung!simpliziale}%
    Seien $K, L$ Simplizialkomplexe. Eine stetige Abbildung
    \[f:|K| \rightarrow |L|\]
    heißt \textbf{simplizial}, wenn für
    jedes $\Delta \in K$ gilt:
    \begin{defenum}
        \item $f(\Delta) \in L$
        \item $f|_{\Delta} : \Delta \rightarrow f(\Delta)$ ist eine
              affine Abbildung.
    \end{defenum}
\end{definition}

\todo[inline]{Dann ist die Forderung \enquote{$f(\Delta) \in L$} doch immer erfüllt, oder?
Gibt es eine Abbildung
$f:|K| \rightarrow |L|$
mit $f(\Delta) \notin L$?}

\section*{18.) ÜB 1, Aufgabe 2}
\underline{Vor.:} Es sei $(X, d)$ ein metrischer Raum, $A \subseteq X$. 
Weiter bezeichne $\fT$ die von $d$ auf $X$ erzeugte Topologie $\fT'$, die von
der auf $A \times A$ eingeschränkten Metrik $d|_{A \times A}$ erzeugte Topologie.

\underline{Beh.:} Die Topologie $\fT'$ und $\fT|_A$ (Spurtopologie) stimmen überein.

\underline{Bew.:}

\enquote{$\fT|_A \subseteq \fT'$}:

Sei $U \in \fT|_A = \Set{V \cap A | V \in \fT}$.\\
Dann ex. also $V \in \fT$ mit
$U = V \cap A$.\\
Sei $x \in U$.\\
Da $V \in \fT$, ex. nach Bemerkung~3 ein $r > 0$ mit 

\begin{align*}
    \fB_r(x) := \Set{y \in X | d(x,y) < r} &\subseteq V\\
                \Set{y \in A | d(x,y) < r} &\subseteq V \cap A = U
\end{align*}
also ist $U$ offen bzgl. $d|_{A \times A}$.
\todo[inline]{Wieso ist $U$ offen bzgl. $d|_{A \times A}$?}
Da $x \in U$ beliebig gewählt war gilt: $\fT|_A \subseteq \fT'$

\section*{19.) Topologische Gruppe und stetige Gruppenoperation}
\begin{definition}%
    Sei $G$ eine Mannigfaltigkeit und $(G, \circ)$ eine Gruppe.

    \begin{defenum}
        \item $G$ heißt \textbf{topologische Gruppe}\xindex{Gruppe!topologische},
              wenn die Abbildungen $\circ: G \times G \rightarrow G$
              und $\iota: G \rightarrow G$ definiert durch
              \[g \circ h := g \cdot h \text{ und } \iota(g) := g^{-1}\]
              stetig sind.
        \item Ist $G$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so heißt
              $G$ \textbf{Lie-Gruppe}\xindex{Lie-Gruppe}, wenn
              $(G, \circ)$ und $(G, \iota)$ differenzierbar sind.
    \end{defenum}
\end{definition}

\begin{definition}
    Sei $G$ eine Gruppe, $X$ ein topologischer Raum und
    $\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenoperation.

    \begin{defenum}
        \item \xindex{Gruppe operiert durch Homöomorphismen}\textbf{$G$ operiert durch Homöomorphismen}, wenn für jedes $g \in G$
              die Abbildung
              \[m_g: X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x\]
              ein Homöomorphismus ist.
        \item Ist $G$ eine topologische Gruppe, so heißt die Gruppenoperation $\circ$
              \textbf{stetig}\xindex{Gruppenoperation!stetige}, wenn 
              $\circ: G \times X \rightarrow X$ stetig ist.
    \end{defenum}
\end{definition}

\todo[inline]{Wenn $G$ eine topologische Gruppe ist, dann ist $\circ$ doch auf jeden Fall stetig! Was soll die Definition? Des Weiteren verstehe ich $g \circ h := g \cdot h$ nicht. Was ist $\cdot$?}

\section*{20.) Hyperbolische Metrik und Geraden}
\begin{definition}\xindex{Gerade!hyperbolische}%
    Sei
        \[\mdh:= \Set{z \in \mdc | \Im(z) > 0} = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | y > 0}\]
    die obere Halbebene bzw. Poincaré-Halbebene und $G = G_1 \cup G_2$
    mit
        \begin{align*}
            G_1 &= \Set{g_1 \subseteq \mdh | \exists m \in \mdr, r \in \mdr_{>0}: g_1 = \Set{z \in \mdh : |z-m|=r}}\\
            G_2 &= \Set{g_2 \subseteq \mdh | \exists x \in \mdr: g_2 = \Set{z \in \mdh: \Re(z) = x}}
        \end{align*}

    Die Elemente von $\mdh$ heißen \textbf{hyperbolische Geraden}.
\end{definition}
\begin{definition}\xindex{Metrik!hyperbolische}%
    Für $z_1, z_2 \in \mdh$ sei $g_{z_1, z_2}$ die eindeutige hyperbolische
    Gerade durch $z_1$ und $z_2$ und $a_1, a_2$ die
    \enquote{Schnittpunkte} von $g_{z_1, z_2}$ mit $\mdr \cup \Set{\infty}$.

    Dann sei $d(z_1, z_2) := \frac{1}{2} \ln |\DV(a_1, z_4, a_2, z_2) |$
    und heiße \textbf{hyperbolische Metrik}.
\end{definition}

\todo[inline]{Wir haben hyperbolische Geraden mit der euklidischen Metrik beschrieben. Kann man hyperbolische Geraden auch mit der hyperbolischen Metrik beschreiben? Wie?}
vgl. Beweis von Bemerkung 68 b)

\section*{21.) Defintion Normalenvektor}
\begin{definition}%In Vorlesung: Definition 16.2
    Sei $\gamma: I \rightarrow \mdr^2$ eine durch Bogenlänge
    parametrisierte Kurve.

    \begin{defenum}
        \item Für $t \in I$ sei $n(t)$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor}
              an $\gamma$ in $t$, d.~h.
              \[\langle n(t), \gamma'(t) \rangle = 0, \;\;\; \|n(t)\|=1 \]
              und $\det((\gamma_1(t), n(t))) = +1$.
        \item Nach \cref{bem:16.1d} sind $n(t)$ und $\gamma''(t)$ linear
              abhängig, d.~h. es gibt $\kappa(t) \in \mdr$ mit
              \[\gamma''(t) = \kappa(t) \cdot n(t)\]
              $\kappa(t)$ heißt \textbf{Krümmung}\xindex{Krümmung}
              von $\gamma$ in $t$.
    \end{defenum}
\end{definition}

\todo[inline]{Sollte es in a) $\det((\gamma_1{\color{red}'}(t), n(t))) = +1$ sein?}

\section*{22.) MF-Beispiel}
$\praum^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\praum^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten
der Dimension $n$ bzw. $2n$, da gilt:

Sei $U_i := \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \praum^n(\mdr) | x_i \neq 0}\;\forall i \in 0, \dots, n$.
Dann ist $\praum^n(\mdr) = \bigcup_{i=0}^n U_i$ und die Abbildung
\begin{align*}
  U_i &\rightarrow \mdr^n\\
  (x_0 : \dots : x_n) &\mapsto \left (\frac{x_0}{x_i}, \dots, \cancel{\frac{x_i}{x_i}}, \dots, \frac{x_n}{x_i} \right )\\
  (y_1 : \dots : y_{i-1} : 1 : y_i : \dots : y_n) &\mapsfrom (y_1, \dots, y_n)
\end{align*}
ist bijektiv.
\todo[inline]{Was wird im Folgenden gemacht?}
Die $U_i$ mit $i = 0, \dots, n$ bilden einen $n$-dimensionalen Atlas:
\begin{align*}
        x &= (1:0:0) \in U_0 \rightarrow \mdr^2 & x &\mapsto (0,0)\\
        y &= (0:1:1) \in U_2 \rightarrow \mdr^2 & y &\mapsto (0,1)
\end{align*}
$\text{Umgebung: } \fB_1 (0,1) \rightarrow \Set{(1:u:v) | \|(u,v)\| < 1} = V_1$\\
$\text{Umgebung: } \fB_1 (0,1) \rightarrow \Set{(w:z:1) | w^2 + z^2 < 1} = V_2$\\

$V_1 \cap V_2 = \emptyset$?

$(a:b:c) \in V_1 \cap V_2$\\
$\Rightarrow a \neq 0$ und $(\frac{b}{a})^2 + (\frac{c}{a})^2 < 1 \Rightarrow \frac{c}{a} < 1$\\
$\Rightarrow c \neq 0$ und $(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 < 1 \Rightarrow \frac{a}{c} < 1$\\
$\Rightarrow$ Widerspruch


\section*{23) Hyperbolische Geraden erfüllen 3.ii}
\begin{bemerkung}[Eigenschaften der hyperbolischen Geraden]
    Die hyperbolischen Geraden erfüllen das Anordnungsaxiom 3 ii
\end{bemerkung}

\begin{beweis}\leavevmode
 Sei $g \in G_1 \dcup G_2$ eine hyperbolische Gerade.\\
              \underline{Fall 1:} $g = \Set{z \in \mdh | |z-m| = r} \in G_1$\\
              Dann gilt:
              \[\mdh = \underbrace{\Set{z \in \mdh | |z-m| < r}}_{=:H_1 \text{ (Kreisinneres)}} \dcup \underbrace{\Set{z \in \mdh | |z-m| < r}}_{=:H_2 \text{ (Kreisäußeres)}}\]
              Da $r > 0$ ist $H_1$ nicht leer, da $r \in \mdr$ ist $H_2$ nicht leer.

              \underline{Zu zeigen:} $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit
                      $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: 
                      $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\
              \enquote{$\Leftarrow$}: Da $d_\mdh$ stetig ist, folgt diese Richtung
              direkt. Alle Punkte in $H_1$ haben einen Abstand von $m$ der kleiner
              ist als $r$ und alle Punkte in $H_2$ haben einen Abstand von $m$ der
              größer ist als $r$. Da man jede Strecke von $A$ nach $B$ insbesondere
              auch als stetige Abbildung $f: \mdr \rightarrow \mdr_{>0}$ auffassen
              kann, greift der Zwischenwertsatz $\Rightarrow$ $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset$

              \enquote{$\Rightarrow$}:
              \todo[inline]{TODO}

              \underline{Fall 2:} $g = \Set{z \in \mdh | \Re{z} = x} \in G_2$\\
              Die disjunkte Zerlegung ist:
              \[\mdh = \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) < x}}_{=: H_1 \text{ (Links)}} \dcup \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) > x}}_{=: H_2 \text{ (Rechts)}}\]

              \underline{Zu zeigen:} $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit
                      $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: 
                      $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\
              \enquote{$\Leftarrow$}: Wie zuvor mit dem Zwischenwertsatz.

              \enquote{$\Rightarrow$}:
              \todo[inline]{TODO}
\end{beweis}


\section*{24) Tangentialebene}
Erinnerung Sie sich an \cref{def:8.5} \enquote{reguläre Fläche}.

Äquivalent dazu ist: $S$ ist lokal von der Form
\[V(f) = \Set{x \in \mdr^3 | f(x) = 0 }\]
für eine $C^\infty$-Funktion $f: \mdr^\infty \rightarrow \mdr$.\todo{Wirklich $\mdr^\infty$?}

\section*{25.) Fragen}
\begin{enumerate}
  \item Kapitel II:
  \begin{enumerate}
    \item Frage 7: Anschaulich ist mir klar, warum durch Verkleben gegenüberliegernder Seiten ein Torus entsteht. Was wird hier erwartet?
  \end{enumerate}
  \item Kapitel III
  \begin{enumerate}
    \item Deformationsretrakt: Das hatten wir nicht in der Vorlesung, oder? Ich meine mich zwar an das Wort zu erinnern (aus einem Übungsblatt? Einem Tutorium?) Könntest du bitte nochmals erklären was das ist?
Das ist zwar auf Blatt 7 und 8 vorgekommen, aber sonst nie.
    \item Damit verbunden: Was genau ist eine "Einbettung"? 
    \item Was bedeutet der Pfeil: $f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2\;\;\;$ Einbettung der Kreislinie in die Ebene
    \item Was ist eine Inklusionsabbildung?
    \item Was ist ein Homotopietyp? (Ist das eventuell die Anzahl der Homotopieklassen?)
    \item Frage 4: Was ist eine Rose?
    \item Frage 5: Wieso ist $\GL(n, \mdr)$ eine Lie-Gruppe?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}