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TeX
\section{Färbung von Graphen}
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\subsection{}
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\begin{frame}{Färbung von Graphen}{Graph coloring}
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\begin{block}{Problem COLOR}
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Gegeben sei ein Graph $G = (V, E)$ und ein Parameter $K \in \mathbb{N}$.
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Frage: Gibt es eine Knotenfärbung von $G$ mit höchstens $K$ Farben,
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so dass je zwei adjazente Knoten verschiedene Farben besitzen?
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\end{block}
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\begin{itemize}
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\item Ist für 2 Farben entscheidbar (bipartite Graphen)
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\item Für 3 Farben schon $\mathcal{NP}$-vollständig \\
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(Sogar $\mathcal{NP}$-schwer einen 3-färbbaren Graphen mit 4 Farben zu färben)
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\item Für 4 Farben für planare Graphen bewiesenermaßen immer möglich
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\end{itemize}
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\end{frame}
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\begin{frame}{2-COLOR}{Bipartite Graphen}
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Problem: Gegeben Graph $G=(V, E)$. Ist dieser eine Ja-Instanz von 2-COLOR?
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Lösungsansatz:
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\begin{itemize}
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\item Tiefensuche
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\item Wechsle Farbe nach jedem Knoten
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\item Bei Konflikten breche ab und antworte "Nein"
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\end{itemize}
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Läuft die Tiefensuche ohne abzubrechen durch, ist der Graph bipartit. Aus dem Algorithmus folgt bereits eine gültige Färbung.
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\end{frame}
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\begin{frame}{3-COLOR}
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Auch hier: Ist Graph $G = (V,E)$ mit 3 Farben färbbar? \\
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Achtung: Problem ist $\mathcal{NP}$-Vollständig.
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\\
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Das heißt es ist kein effizienter Algorithmus bekannt, Laufzeit zur Lösung steigt i.A. exponentiell. \\
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Brute-force für kleine Instanzen des Problems praktikabel. \\
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Für größere Instanzen bietet sich Transformation zu $\mathcal{SAT}$ und Lösung per SAT-Solver an.
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\end{frame}
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