\section{Färbung von Graphen}
\subsection{}
\begin{frame}{Färbung von Graphen}{Graph coloring}
	\begin{block}{Problem COLOR}
		Gegeben sei ein Graph $G = (V, E)$ und ein Parameter $K \in \mathbb{N}$.
		Frage: Gibt es eine Knotenfärbung von $G$ mit höchstens $K$ Farben, 
		so dass je zwei adjazente Knoten verschiedene Farben besitzen?
	\end{block}
	\begin{itemize}
		\item Ist für 2 Farben entscheidbar (bipartite Graphen)
		\item Für 3 Farben schon $\mathcal{NP}$-vollständig \\
			(Sogar $\mathcal{NP}$-schwer einen 3-färbbaren Graphen mit 4 Farben zu färben)
		\item Für 4 Farben für planare Graphen bewiesenermaßen immer möglich
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{2-COLOR}{Bipartite Graphen}
	Problem: Gegeben Graph $G=(V, E)$. Ist dieser eine Ja-Instanz von 2-COLOR?

	Lösungsansatz:
	\begin{itemize}
		\item Tiefensuche
		\item Wechsle Farbe nach jedem Knoten
		\item Bei Konflikten breche ab und antworte "Nein"
	\end{itemize}
	Läuft die Tiefensuche ohne abzubrechen durch, ist der Graph bipartit. Aus dem Algorithmus folgt bereits eine gültige Färbung.
\end{frame}

\begin{frame}{3-COLOR}
	Auch hier: Ist Graph $G = (V,E)$ mit 3 Farben färbbar? \\
	Achtung: Problem ist $\mathcal{NP}$-Vollständig.
	\\
	Das heißt es ist kein effizienter Algorithmus bekannt, Laufzeit zur Lösung steigt i.A. exponentiell. \\
	Brute-force für kleine Instanzen des Problems praktikabel. \\
	Für größere Instanzen bietet sich Transformation zu $\mathcal{SAT}$ und Lösung per SAT-Solver an.

\end{frame}