tex-projects/LaTeX-examples
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documents/Analysis I/Analysis-I.tex
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@ -2005,11 +2005,15 @@ $(f_n)$ konvergiert punktweise auf $D$ gegen $f$.
Konvergiert $(f_n)$ auf $D$ punktweise gegen $f:D\to\MdR$, so bedeutet dies: Ist $\ep>0$ und $x\in D$, so existiert ein $n_0 = n_0(\ep,x)\in\MdN$: $|f_n(x)-f(x)|<\ep \ \forall n\ge n_0$ Konvergiert $(f_n)$ auf $D$ punktweise gegen $f:D\to\MdR$, so bedeutet dies: Ist $\ep>0$ und $x\in D$, so existiert ein $n_0 = n_0(\ep,x)\in\MdN$: $|f_n(x)-f(x)|<\ep \ \forall n\ge n_0$
\begin{definition} \begin{definition}
$(f_n)$ heißt auf $D$ \begriff{gleichmäßig (glm) konvergent} $:\equizu \exists \text{ Funktion } f:D\to\MdR$ mit $\forall \ep>0 \ \exists n_0 = n_0(\ep) \in\MdN$: $|f_n(x) - f(x)|<\ep \ \forall n\ge n_0 \ \forall x\in D$. \\ $(f_n)$ heißt auf $D$ \begriff{gleichmäßig konvergent}
$\reihe{f_n}$ heißt auf $D$ \begriff{gleichmäßig (glm) konvergent} $:\equizu \exists \text{ Funktion } f:D\to\MdR$ mit $\forall \ep>0 \ \exists n_0 = n_0(\ep) \in\MdN$: $|s_n(x) - f(x)|<\ep \ \forall n\ge n_0 \ \forall x\in D$. $:\equizu \exists \text{ Funktion } f:D\to\MdR$ für die gilt:\\
\hspace*{10mm} $\forall \ep>0 \ \exists n_0 = n_0(\ep) \in\MdN \ \forall n\ge n_0 \ \forall x\in D\colon |f_n(x) - f(x)|<\ep$.
$\reihe{f_n}$ heißt auf $D$ \begriff{gleichmäßig konvergent} $:\equizu \exists \text{ Funktion } f:D\to\MdR$ für die gilt:\\
\hspace*{10mm} $\forall \ep>0 \ \exists n_0 = n_0(\ep) \in\MdN \ \forall n\ge n_0 \ \forall x\in D\colon |s_n(x) - f(x)|<\ep$.
\end{definition} \end{definition}
Klar: gleichmäßige Konvergenz $\folgt$ punktweise Konvergenz. ($\Leftarrow$ im Allgemeinen falsch) Klar: gleichmäßige Konvergenz $\folgt$ punktweise Konvergenz. ($\Leftarrow$ ist im Allgemeinen falsch)
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
$(f_n)$ sei auf $D$ punktweise konvergent gegen $f:D\to \MdR$\\ $(f_n)$ sei auf $D$ punktweise konvergent gegen $f:D\to \MdR$\\

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tikz/sin(1:x)/sin(1:x).tex
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@ -12,6 +12,8 @@
\begin{tikzpicture} \begin{tikzpicture}
\begin{axis}[ \begin{axis}[
axis x line=middle, axis x line=middle,
axis y line=left,
enlarge y limits=true,
xmode=log, % Logarithmic x axis xmode=log, % Logarithmic x axis
xmin=0.01, xmax=1, % Positive domain... xmin=0.01, xmax=1, % Positive domain...
xticklabel=\pgfmathparse{exp(\tick)}\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}, xticklabel=\pgfmathparse{exp(\tick)}\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult},

5
tikz/stetigkeit-differenzierbarkeit/stetigkeit-differenzierbarkeit.tex
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@ -85,8 +85,9 @@ $:\Leftrightarrow \exists L\ge 0: |f(x)-f(z)|\le L|x-z|\ \forall x,z \in D$
\begin{minipage}{0.9\textwidth} \begin{minipage}{0.9\textwidth}
\tiny \tiny
$f$ heißt stetig in $x_0 :\Leftrightarrow$\\ $f$ heißt stetig in $x_0 :\Leftrightarrow$\\
für jede Folge $(x_n)$ in $D$ mit $x_n \rightarrow x_0$ gilt:\\ $\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta(\varepsilon)\colon$\\
$f(x_n) \rightarrow f(x_0)$ $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ \\
$\forall x\in D_\delta(x_0)$
\end{minipage} \end{minipage}
} }