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documents/Analysis I/Analysis-I.tex

@@ -31,7 +31,7 @@
 \chapter{Vorwort}
 
 \section{Über dieses Skriptum}
-Dies ist ein erweiterter Mitschrieb der Vorlesung \glqq Analysis I\grqq\ von Herrn Schmoeger im
+Dies ist ein erweiterter Mitschrieb der Vorlesung "`Analysis I"' von Herrn Schmoeger im
 Wintersemester 04/05 an der Universität Karlsruhe (TH). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit
 ausdrücklicher Genehmigung von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger ist für den
 Inhalt nicht verantwortlich.
@@ -65,8 +65,8 @@ $M$,$N$ Mengen, $M,N \ne \emptyset$; $f:\, M\rightarrow N$
 \item $\Leftrightarrow$ Äquivalenz
 \item $:=$ per Definition gleich
 \item $:\Leftrightarrow$ per Definiton äquivalent
-\item $\forall$ Abkürzung für \glqq für jedes\grqq, \glqq für alle\grqq
-\item $\exists$ Abkürzung für \glqq es gibt\grqq, \glqq es existiert\grqq
+\item $\forall$ Abkürzung für "`für jedes"', "`für alle"'
+\item $\exists$ Abkürzung für "`es gibt"', "`es existiert"'
 \end{itemize}
 
 \renewcommand{\thechapter}{\arabic{chapter}}
@@ -79,7 +79,7 @@ Die \begriff{Reellen Zahlen} sind eine Erfindung des menschlichen Geistes, sie h
 
 Die Grundmenge der Analysis ist $\MdR$, die Menge der reellen Zahlen: Diese Menge führen wir axiomatisch ein, durch die folgenden 15 Axiome.
 
-In $\MdR$ sind zwei Verknüpfungen \glqq +\grqq und \glqq $\cdot$\grqq gegeben, die jedem Paar $a,b \in \MdR$ genau ein $ a+b \in \MdR$ und genau ein $ ab := a \cdot b \in \MdR$ zuordnen.
+In $\MdR$ sind zwei Verknüpfungen "`+"' und "`$\cdot$"' gegeben, die jedem Paar $a,b \in \MdR$ genau ein $ a+b \in \MdR$ und genau ein $ ab := a \cdot b \in \MdR$ zuordnen.
 
 \indexlabel{Körperaxiome}\begin{axiom}[Körperaxiome]
 \begin{liste}
@@ -119,7 +119,7 @@ Für $a,b \in\MdR: a - b := a+ (-b)$; ist $b \neq 0: \frac{a}{b} := ab^{-1}$.
 \end{schreibweisen}
 
 \indexlabel{Anordnungsaxiome}\begin{axiom}[Anordnungsaxiome]
-In \MdR\ ist eine Relation \glqq$\le$\grqq\ gegeben. Es sollen gelten:
+In \MdR\ ist eine Relation "`$\le$"' gegeben. Es sollen gelten:
 \begin{liste}
 \item[(A10)] für $a,b\in\MdR$ gilt $a\le b$ oder $b \le a$.
 \item[(A11)] aus $a \le b$ und $b \le a $ folgt $a = b$.
@@ -146,7 +146,7 @@ Für $a \in \MdR$ heißt $ |a| :=
 -a & \mbox{falls } a < 0
 \end{cases} $. 
 
-$|a|$ wird der \begriff{Betrag} von a genannt und entspricht dem \glqq Abstand\grqq\ von $a$ und $0$. $|a-b|$ entspricht dem \glqq Abstand\grqq\ von $a$ und $b$.
+$|a|$ wird der \begriff{Betrag} von a genannt und entspricht dem "`Abstand"' von $a$ und $0$. $|a-b|$ entspricht dem "`Abstand"' von $a$ und $b$.
 \end{definition}
 
 \indexlabel{Betragssätze}\begin{satz}[Betragssätze]
@@ -215,8 +215,8 @@ Sei $\emptyset \ne M \subseteq \MdR$, $M$ sei nach oben beschränkt, $\gamma$ se
 \[ \gamma = \sup{M} \equizu \ \forall\varepsilon > 0 \ \exists x \in M: x > \gamma - \varepsilon \]
 \end{satz}
 
-\begin{beweis} \glqq$\folgt$\grqq: Sei $\gamma = sup{M}$ und $\varepsilon > 0 \folgt \gamma - \varepsilon$ ist keine obere Schranke von $M \folgt \ \exists x\in M: x > \gamma - \varepsilon$. \\
- \glqq$\Leftarrow$\grqq: \textbf{(A15)} $\folgt \ \exists s = \sup{M}$. Annahme: $\gamma \ne s \folgt s < \gamma \folgt \varepsilon = \gamma - s > 0$. Laut Vorausetzung gilt: $\exists x \in M: x > \gamma - \varepsilon = \gamma - (\gamma - s) = s$, Widerspruch zu $x \le s$.
+\begin{beweis} "`$\folgt$"': Sei $\gamma = sup{M}$ und $\varepsilon > 0 \folgt \gamma - \varepsilon$ ist keine obere Schranke von $M \folgt \ \exists x\in M: x > \gamma - \varepsilon$. \\
+ "`$\Leftarrow$"': \textbf{(A15)} $\folgt \ \exists s = \sup{M}$. Annahme: $\gamma \ne s \folgt s < \gamma \folgt \varepsilon = \gamma - s > 0$. Laut Vorausetzung gilt: $\exists x \in M: x > \gamma - \varepsilon = \gamma - (\gamma - s) = s$, Widerspruch zu $x \le s$.
 \end{beweis}
 
 Analog gilt: Sei $\emptyset \ne M \subseteq \MdR$, $M$ sei nach unten beschränkt, $\gamma$ sei eine untere Schranke von $M$.
@@ -357,7 +357,7 @@ Sei $B$ eine nichtleere Menge.
 \item $B$ heißt \begriff{endlich} $:\equizu \ \exists n \in \MdN$ und eine surjektive Funktion $f:\{1,\ldots,n\} \rightarrow B$, also $B=\{f(1),\ldots,f(n)\}$.
 \item $B$ heißt \begriff{unendlich} $:\equizu$ $B$ ist nicht endlich.
 \item $B$ heißt \begriff{abzählbar} $:\equizu \ \exists  (a_n) \in B: B=\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$ ($\equizu \exists a: \MdN \rightarrow B$  mit $a$ surjektiv).\\
-\glqq Die Elemente von $B$ können mit natürlichen Zahlen durchnummeriert werden.\grqq\\
+"`Die Elemente von $B$ können mit natürlichen Zahlen durchnummeriert werden."'\\
 Beachte: Endliche Mengen sind abzählbar!
 \item $B$ heißt \begriff{überabzählbar} $:\equizu$ $B$ ist nicht abzählbar.
 \end{liste}
@@ -475,11 +475,11 @@ $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
 \end{wichtigerhilfssatz}
 
 \begin{beweise}
-\item \glqq$\Rightarrow$\grqq (induktiv)\\
+\item "`$\Rightarrow$"' (induktiv)\\
 I.A. $n = 1 \surd$\\
 I.V. Sei $n\in\MdN$ und $x^{n}\le y^{n}$\\
 I.S. $x^{n+1}=x^{n}x\le y^{n}x\le y^{n}y=y^{n+1}$\\
-\glqq$\Leftarrow$\grqq: Annahme: $y < x \folgtwegen{\text{wie oben}} y^{k} < x^{k} \ \forall k\in\MdN$, Wid.
+"`$\Leftarrow$"': Annahme: $y < x \folgtwegen{\text{wie oben}} y^{k} < x^{k} \ \forall k\in\MdN$, Wid.
 \item 2.1(4) $\Rightarrow \exists m\in\MdN:m>\frac{1}{\beta}\Rightarrow\frac{1}{m}<\beta$.
 \end{beweise}
 
@@ -533,7 +533,7 @@ $$ x \in U_\varepsilon(a) \equizu -\varepsilon < x - a < \varepsilon \equizu a -
 Also gilt: $U_\varepsilon(a) = (a-\varepsilon, a+\varepsilon)$
 \end{definition}
 
-\begin{definition}[\glqq für fast alle\grqq]
+\begin{definition}["`für fast alle"']
 Für jedes $n \in \MdN$ sei eine Aussage $A(n)$ gemacht. $A(n)$ gilt \begriff{für fast alle} (\ffa) $n \in \MdN \equizu \exists m \in \MdN $ so dass $A(n)$ wahr ist für alle $n \ge m$. Ein Beispiel ist $n^2\ge n + 17$ gilt \ffa $n \in \MdN$.
 \end{definition}
 
@@ -826,11 +826,11 @@ Sei $(a_n)$ eine Folge in $\MdR$ und $(n_1,n_2,\ldots)$ sei eine Folge in $\MdN$
 \end{satz}
 
 \begin{beweise}
-\item \textbf{\glqq$\folgt$\grqq:} Sei $\alpha\in \H(a_n)$. Zu $\varepsilon = 1$ existiert $n_1\in\MdN$: $a_{n_1}\in U_1(\alpha)$. \\
+\item \textbf{"`$\folgt$"':} Sei $\alpha\in \H(a_n)$. Zu $\varepsilon = 1$ existiert $n_1\in\MdN$: $a_{n_1}\in U_1(\alpha)$. \\
 Zu $\varepsilon =\frac{1}{2}$ existiert $n_2\in\MdN$: $a_{n_2} \in U_{\frac{1}{2}}(\alpha)$ und $n_2>n_1$ \\
 Zu $\varepsilon =\frac{1}{3}$ existiert $n_2\in\MdN$: $a_{n_3} \in U_{\frac{1}{3}}(\alpha)$ und $n_3>n_2$. etc \\
 Wir erhalten so eine Teilfolge von $(a_{n_k})$ von $(a_n)$ mit $a_{n_k} \in U_{\frac{1}{k}}(\alpha) \ \forall k\in\MdN$, also: $|a_{n_k} - \alpha| < \frac{1}{k} \ \forall k\in\MdN \folgt a_{n_k} \to \alpha \ (k\to\infty)$. \\
-\textbf{\glqq$\Leftarrow$\grqq:} Sei $(a_{n_k})$ eine Teilfolge von $(a_n)$ und  $a_{n_k} \to \alpha\ (k\to\infty)$. Sei $\varepsilon > 0 \folgt \exists k_0 \in\MdN$: $a_{n_k} \in U_\varepsilon(\alpha) \ \forall k>k_0 \folgt a_n \in U_\varepsilon(\alpha)$ für unendlich viele $n\in\MdN \folgt \alpha \in \H(a_n)$
+\textbf{"`$\Leftarrow$"':} Sei $(a_{n_k})$ eine Teilfolge von $(a_n)$ und  $a_{n_k} \to \alpha\ (k\to\infty)$. Sei $\varepsilon > 0 \folgt \exists k_0 \in\MdN$: $a_{n_k} \in U_\varepsilon(\alpha) \ \forall k>k_0 \folgt a_n \in U_\varepsilon(\alpha)$ für unendlich viele $n\in\MdN \folgt \alpha \in \H(a_n)$
 \item Sei $\MdQ = \{a_1, a_2, \ldots\}$. Bekannt: H$(a_n) = \MdR$. Also: $\alpha \in \H(a_n) \folgtnach{(1)}$ Behauptung.
 \item Klar: $a \in \H(a_n)$\\
 Sei $(a_{n_k})$ eine Teilfolge von $(a_n)$ und $\varepsilon > 0 $. $a = \lim a_n \folgt a_n \in U_\varepsilon(a)$ \ffa $n\in\MdN \folgt a_{n_k} \in U_\varepsilon(a)$ \ffa $k\in\MdN \folgt a_{n_k} \to a\ (k\to\infty)$. Aus (1) folgt noch H$(a_n) = {a}$.
@@ -908,10 +908,10 @@ $ \alpha = \lim\sup a_n \equizu \forall \ep>0$ gilt:
 \begin{beweis}
 \textit{nur für $\lim\inf$}.
 
-\glqq$\folgt$\grqq: Sei $\alpha = \lim\inf a_n$. Sei $\ep > 0 $. $\alpha\in\H(a_n) \folgt a_n \in U_\ep(\alpha)$ für unendlich viele $n\in\MdN \folgt$ (ii). \\
+"`$\folgt$"': Sei $\alpha = \lim\inf a_n$. Sei $\ep > 0 $. $\alpha\in\H(a_n) \folgt a_n \in U_\ep(\alpha)$ für unendlich viele $n\in\MdN \folgt$ (ii). \\
 \textbf{Annahme:} (i) gilt nicht. D.h.: $a_n \le \alpha - \ep$ für unendlich viele $n$, etwa für $n_1, n_2, n_3,\ldots$ mit $n_1 < n_2 < n_3 <\ldots$. Dann ist $a_{n_k}$ eine Teilfolge von $(a_n)$ mit $a_{n_k} \le \alpha-\ep \ \forall k \in\MdN$. $a_{n_k}$ ist beschränkt. $\folgtwegen{8.2} (a_{n_k})$ enthält eine konvergente Teilfolge $(a_{n_{k_j}})$; $\displaystyle\beta := \lim_{j\to\infty} a_{n_{k_j}}$. $(a_{n_{k_j}})$ ist auch eine Teilfolge von $(a_n) \folgtwegen{8.1} \beta \in\H(a_n) \folgt \alpha \le \beta$. $a_{n_{k_j}} \le \alpha -\ep \ \forall j \in\MdN \folgtwegen{j\to\infty} \beta \le \alpha-\ep \folgt \alpha \le \alpha - \ep$, Widerspruch!
 
-\glqq$\Leftarrow$\grqq: für jedes $\ep>0$ gelte (i) und (ii). Sei $\ep>0\folgtnach{(i),(ii)} \alpha -\ep < a_n < \alpha+\ep$ für unendlich viele $n \folgt a_n\in U_\ep(\alpha)$ für unendlich viele $n \folgt \alpha \in \H(a_n)$. Sei $\beta < \alpha$. Zu zeigen: $\beta \ne \H(a_n)$.  $\ep := \frac{\alpha -\beta}{2} \folgt \beta + \ep = \alpha - \ep$. (i) $\folgt a_n > \alpha - \ep = \beta + \ep$ \ffa $n\in\MdN \folgt a_n\in U_\ep(\beta)$ für höchstens endlich viele $n \folgt \beta \ne \H(a_n)$.
+"`$\Leftarrow$"': für jedes $\ep>0$ gelte (i) und (ii). Sei $\ep>0\folgtnach{(i),(ii)} \alpha -\ep < a_n < \alpha+\ep$ für unendlich viele $n \folgt a_n\in U_\ep(\alpha)$ für unendlich viele $n \folgt \alpha \in \H(a_n)$. Sei $\beta < \alpha$. Zu zeigen: $\beta \ne \H(a_n)$.  $\ep := \frac{\alpha -\beta}{2} \folgt \beta + \ep = \alpha - \ep$. (i) $\folgt a_n > \alpha - \ep = \beta + \ep$ \ffa $n\in\MdN \folgt a_n\in U_\ep(\beta)$ für höchstens endlich viele $n \folgt \beta \ne \H(a_n)$.
 \end{beweis}
 
 \begin{satz}[Äquivalenzaussagen zur Konvergenz]
@@ -933,11 +933,11 @@ Sei $\ep>0 \folgtnach{9.2} \alpha - \ep < a_n < \alpha + \ep$ \ffa $n\in\MdN \fo
 \begin{folgerung}
 Sei $(b_n)$ eine Folge in $\MdR$. $(b_n)$ ist konvergent genau dann, wenn $(b_n)$ beschränkt ist und genau einen Häufungswert hat.
 \textbf{Beweis}
-\glqq$\folgt$\grqq: 6.1, 9.3; \glqq$\Leftarrow$\grqq: 9.3
+"`$\folgt$"': 6.1, 9.3; "`$\Leftarrow$"': 9.3
 \end{folgerung}
 
 \begin{beispiel}
-auf die Voraussetzung \glqq$(b_n)$ beschränkt\grqq kann in 9.4 nicht verzichtet werden!\\
+auf die Voraussetzung "`$(b_n)$ beschränkt"' kann in 9.4 nicht verzichtet werden!\\
 \textbf{Beispiel:} $(b_n)=(1,0,3,0,5,0,\ldots)$
 \end{beispiel}
 
@@ -1230,7 +1230,7 @@ Später zeige wir: $E(r) = e^r \ \forall r\in\MdQ$. Dann \textit{definieren} wir
 
 \begin{motivation}
 $b_n := (-1)^n \quad (n\in\MdN)$, $b_n \nrightarrow 0 \folgt \reihe{b_n}=b_1 + b_2 + \ldots$ ist divergent. \\
-$a_1 := b_1 + b_2$, $a_2 := b_3 + b_4$, \ldots also: $a_n = 0 \ \forall\natn \folgt \reihe{a_n} = (b_1+b_2) + (b_3+b_4) + \ldots$ ist konvergent. Also: \glqq Im Allgemeinen darf man Klammern in konvergenten Reihen nicht weglassen.\grqq
+$a_1 := b_1 + b_2$, $a_2 := b_3 + b_4$, \ldots also: $a_n = 0 \ \forall\natn \folgt \reihe{a_n} = (b_1+b_2) + (b_3+b_4) + \ldots$ ist konvergent. Also: "`Im Allgemeinen darf man Klammern in konvergenten Reihen nicht weglassen."'
 \end{motivation}
 
 \begin{satz}[In konvergenten Folgen darf man Klammern setzen]
@@ -1339,7 +1339,7 @@ $\alpha_k := |a_0|+|a_1|+\ldots+|a_k|, (\alpha_k)$ konvergiert und $\alpha_k \to
 
 6.3 $\folgt (\sigma_n)$ konvergiert $\folgt \sum{p_n}$ ist absolut konvergent. Noch z.z.: $\sum{p_n} = s$.
 
-Dazu betrachten wir eine spezielle Produktreihe $\sum{q_n}$ (\glqq Anordnung nach Quadraten \grqq):
+Dazu betrachten wir eine spezielle Produktreihe $\sum{q_n}$ ("`Anordnung nach Quadraten "'):
 
 %\begin{center}
 %\mbox{\xymatrix @=10pt{
@@ -1421,7 +1421,7 @@ Sind $\sum{a_n}$ und $\sum{b_n}$ \emph{absolut} konvergent, so konvergiert ihr C
 \end{satz}
 
 \begin{beweis}
-Sei $\sum{p_n}$ die Produktreihe von $\sum{a_n}$ und $\sum{b_n}$, die durch \glqq Anordnung nach Diagonalen\grqq entsteht. ($p_0 = a_0b_0, p_1=a_0b_1, p_2 = a_1b_0, p_3 = a_0b_2, p_4 = a_1b_1, p_5=a_0b_3, \ldots$). Dann: $c_0  =a_0b_0 = p_0, c_1=p_1+p_2, c_2 = p_3+p_4+p_5$. $\sum{c_n}$ ensteht also aus $\sum{p_n}$ durch Setzen vom Klammern. 13.3 $\folgt \sum{p_n}$ konvergiert absolut und $\sum{p_n} = s \folgtnach{12.6}$ Behauptung.
+Sei $\sum{p_n}$ die Produktreihe von $\sum{a_n}$ und $\sum{b_n}$, die durch "`Anordnung nach Diagonalen"' entsteht. ($p_0 = a_0b_0, p_1=a_0b_1, p_2 = a_1b_0, p_3 = a_0b_2, p_4 = a_1b_1, p_5=a_0b_3, \ldots$). Dann: $c_0  =a_0b_0 = p_0, c_1=p_1+p_2, c_2 = p_3+p_4+p_5$. $\sum{c_n}$ ensteht also aus $\sum{p_n}$ durch Setzen vom Klammern. 13.3 $\folgt \sum{p_n}$ konvergiert absolut und $\sum{p_n} = s \folgtnach{12.6}$ Behauptung.
 \end{beweis}
 
 \begin{beispiel}
@@ -1508,7 +1508,7 @@ Ist $(x_n)$ eine Folge, die nicht nach oben beschränkt ist und $x_n\ge 0\ \fora
 \end{erinnerung}
 
 \begin{vereinbarung}
-\glqq$\frac{1}{0}:=\infty$\grqq, \glqq$\frac{1}{\infty}:=0$\grqq
+"`$\frac{1}{0}:=\infty$"', "`$\frac{1}{\infty}:=0$"'
 \end{vereinbarung}
 
 \begin{satz}[Konvergenz von Potenzreihen]
@@ -1671,7 +1671,7 @@ Sei $D\subseteq\MdR$ und $x_0 \in\MdR$. $x_0$ heißt ein \begriff{Häufungspunkt
 \end{beispiele}
 
 \begin{bemerkung}
-Unterscheide zwischen \glqq $x_0$ ist Häufungswert von $(a_n)$\grqq und \glqq $x_0$ ist Häufungspunkt von $\{a_1,a_2,\ldots\}$\grqq. Beispiel: $a_n=(-1)^n$. $\H(a_n) = \{1,-1\}, \{a_1,a_2,\ldots\} = \{-1,1\}$ hat keine Häufungspunkte.
+Unterscheide zwischen "`$x_0$ ist Häufungswert von $(a_n)$"' und "`$x_0$ ist Häufungspunkt von $\{a_1,a_2,\ldots\}$"'. Beispiel: $a_n=(-1)^n$. $\H(a_n) = \{1,-1\}, \{a_1,a_2,\ldots\} = \{-1,1\}$ hat keine Häufungspunkte.
 \end{bemerkung}
 
 \paragraph{Zur Übung:} Sei $D\subseteq\MdR$, $x_0 \in\MdR$. $x_0$ ist Häufungspunkt von $D \equizu \forall\ep>0$ gilt: $D\cap(U_\ep(x_0) \backslash\{x_0\}) \ne \emptyset$
@@ -1718,10 +1718,10 @@ Für $\delta >0$: $D_\delta(x_n) = D \cap U_\delta(x_0)$. $\dot D_\delta(x_0) =
 \end{satz}
 
 \begin{beweise}
-\item \glqq $\folgt$ \grqq: aus Definition. \\
-\glqq $\Leftarrow$ \grqq: Seien $(x_n), (z_n)$ Folgen in $D\backslash\{x_0\}$ mit $x_n \to x_0$, $z_n \to x_0$. Voraussetzung $\folgt$ es existiert $a := \lim f(x_n)$ und $b := \lim f(z_n)$. Zu zeigen ist: $a=b$. Sei $t_n$ definiert durch $(t_n) := (x_1,z_1,x_2,z_2,\ldots)$. $(t_n)$ ist Folge in $D \backslash\{x_0\}$ mit $t_n\to x_0$, Voraussetzung $\folgt  \exists c := \lim f(t_n)$. $(f(x_n))$ ist Teilfolge von $(f(t_n)) \folgt a=c$, analog: $b=c \folgt a = b$.
-\item \glqq $\folgt$ \grqq: Sei $\ep > 0$. \textbf{Annahme}: Es gibt kein $\delta > 0$, so dass $(*)$ gilt. Das heißt: $\forall \delta > 0$ exisistert ein $x_j \in \dot D_\delta(x_j)$: $|f(x_j) - a| \ge \ep$, also $\forall n\in\MdN \ \exists x_n \in \dot D_{\frac{1}{n}}(x_0): |f(x_n) - a|\ge\ep$. Das heißt: $(x_n)$ ist eine Folge in $D \backslash\{x_0\}$ mit $x_n \to x_0$ und $f(x_n) \nrightarrow a$, Widerspruch. \\
-\glqq $\Leftarrow$ \grqq: Sei $x_n$ eine Folge in $D \backslash\{x_n\}$ mit $x_n \to x_0$. Zu zeigen ist: $f(x_n) \to a$. Sei $\ep>0$. $\exists \delta > 0$ so dass $(*)$ gilt. Dann: $x_n \in \dot D_\delta(x_0) \ffa n\in\MdN \folgt |f(x_n) - a| < \ep \ffa n\in\MdN$.
+\item "`$\folgt$ "': aus Definition. \\
+"`$\Leftarrow$ "': Seien $(x_n), (z_n)$ Folgen in $D\backslash\{x_0\}$ mit $x_n \to x_0$, $z_n \to x_0$. Voraussetzung $\folgt$ es existiert $a := \lim f(x_n)$ und $b := \lim f(z_n)$. Zu zeigen ist: $a=b$. Sei $t_n$ definiert durch $(t_n) := (x_1,z_1,x_2,z_2,\ldots)$. $(t_n)$ ist Folge in $D \backslash\{x_0\}$ mit $t_n\to x_0$, Voraussetzung $\folgt  \exists c := \lim f(t_n)$. $(f(x_n))$ ist Teilfolge von $(f(t_n)) \folgt a=c$, analog: $b=c \folgt a = b$.
+\item "`$\folgt$ "': Sei $\ep > 0$. \textbf{Annahme}: Es gibt kein $\delta > 0$, so dass $(*)$ gilt. Das heißt: $\forall \delta > 0$ exisistert ein $x_j \in \dot D_\delta(x_j)$: $|f(x_j) - a| \ge \ep$, also $\forall n\in\MdN \ \exists x_n \in \dot D_{\frac{1}{n}}(x_0): |f(x_n) - a|\ge\ep$. Das heißt: $(x_n)$ ist eine Folge in $D \backslash\{x_0\}$ mit $x_n \to x_0$ und $f(x_n) \nrightarrow a$, Widerspruch. \\
+"`$\Leftarrow$ "': Sei $x_n$ eine Folge in $D \backslash\{x_n\}$ mit $x_n \to x_0$. Zu zeigen ist: $f(x_n) \to a$. Sei $\ep>0$. $\exists \delta > 0$ so dass $(*)$ gilt. Dann: $x_n \in \dot D_\delta(x_0) \ffa n\in\MdN \folgt |f(x_n) - a| < \ep \ffa n\in\MdN$.
 \item In Übung.
 \end{beweise}
 
@@ -1896,10 +1896,10 @@ $B \subseteq \MdR$ heißt \indexlabel{offene Menge}\textbf{offen} $:\equizu \for
 \begin{beweis}
 \begin{liste}
 \item Übung
-\item \glqq \folgt \grqq: Sei $(x_n)$ eine konvergente Folge in $\MdR\ \backslash\ B$ und $x_0:=\lim x_n$.Annahme: $x_0 \in B$. B offen $\folgt \exists \delta>0 : U_\delta(x_0) \subseteq B$. $x_n \to x_0 \folgt x_n \in U_\delta(x_0) \subseteq B \ffa n \in\MdN$, Widerspruch! \glqq $\Leftarrow$ \grqq: Sei $x \in B$. Annahme: $U_\delta(x) \nsubseteq B \forall \delta>0$. 
+\item "`\folgt "': Sei $(x_n)$ eine konvergente Folge in $\MdR\ \backslash\ B$ und $x_0:=\lim x_n$.Annahme: $x_0 \in B$. B offen $\folgt \exists \delta>0 : U_\delta(x_0) \subseteq B$. $x_n \to x_0 \folgt x_n \in U_\delta(x_0) \subseteq B \ffa n \in\MdN$, Widerspruch! "`$\Leftarrow$ "': Sei $x \in B$. Annahme: $U_\delta(x) \nsubseteq B \forall \delta>0$. 
 \folgt $U_{\frac{1}{n}}(x) \nsubseteq B \forall n \in \MdN 
 \folgt \forall n \in \MdN \exists x_n \in U_{\frac{1}{n}}$ mit: $x_n \in \MdR\ \backslash\ B \folgt (x_n)$ ist eine Folge in $\MdR\ \backslash\ B: x_n \to x$. $\MdR\ \backslash\ B$ abgeschlossen \folgt $x \in \MdR\ \backslash\ B$, Widerspruch!
-\item \glqq \folgt \grqq: Sei $(x_n)$ Folge in $D$. $D$ beschränkt \folgt $(x_n)$ beschränkt. 8.2 \folgt $(x_n)$ enthält eine konvergente Teilfolge $(x_{n_k})$. $D$ abgeschlossen $\folgt \lim x_{n_k} \in D$. \glqq $\Leftarrow$ \grqq: Übung. Sei $D$ beschränkt und abgeschlossen. Sei $s:=\sup D$. z.z.: $s \in D$ (analog zeigt man $\inf D \in D$). $\forall n \in \MdN$ ist $s-\frac{1}{n}$ keine obere Schranke von s. \folgt $\forall n \in\MdN\exists\ x_n \in D$ mit $s - \frac{1}{n} < x_n \le s \folgt x_n \to s$. D abgeschlossen \folgt $s \in D$
+\item "`\folgt "': Sei $(x_n)$ Folge in $D$. $D$ beschränkt \folgt $(x_n)$ beschränkt. 8.2 \folgt $(x_n)$ enthält eine konvergente Teilfolge $(x_{n_k})$. $D$ abgeschlossen $\folgt \lim x_{n_k} \in D$. "`$\Leftarrow$ "': Übung. Sei $D$ beschränkt und abgeschlossen. Sei $s:=\sup D$. z.z.: $s \in D$ (analog zeigt man $\inf D \in D$). $\forall n \in \MdN$ ist $s-\frac{1}{n}$ keine obere Schranke von s. \folgt $\forall n \in\MdN\exists\ x_n \in D$ mit $s - \frac{1}{n} < x_n \le s \folgt x_n \to s$. D abgeschlossen \folgt $s \in D$
 \end{liste}
 \end{beweis}
 
@@ -2383,7 +2383,7 @@ $\sin(x+2\pi)=\sin x, $\>$\cos(x+2\pi)=\cos x$
 \item $cos 0 = 1> 0$. $\cos 2 = \cos(1+1) = \cos^2 1 - \sin^2 1=\cos^2 1 + \sin^2 1 - 2\sin^2 1 = 1-2\sin^2 1 \overset{\text{(3)}}{<} 1-2\frac{25}{36}<0$. 18.2 $\folgt \exists \xi_0 \in (0, 2): \cos \xi_0=0$, In $(0,2)$: $(\cos x)'=-\sin x \overset{\text{(3)}}{<} 0 \folgt \cos x$ ist in $(0,2)$ streng monoton fallend $\folgt \cos x \ne 0 \ \forall x \in [0, \xi_0)$
 \item $\sin^2\frac{\pi}{2}=1-\cos^2\frac{\pi}{2}=1\folgt\sin\frac{\pi}{2}=\pm 1$. (3) $\folgt\sin\frac{\pi}{2}>0\folgt\sin\frac{\pi}{2}=1$.
 \item Die erste Behauptung mit kann mit Potenzreihen, der Rest mit den Additionstheoremen bewiesen werden.
-\item \glqq$\Leftarrow$\grqq: klar, \glqq$\Rightarrow$\grqq: Sei $x\in[0, \pi]$ und $\cos x = 0 \folgtnach{(4)} x\ge\frac{\pi}{2}, y:=\pi-x, y \in [0, \frac{\pi}{2}]$ und $\cos y=\cos(x+\pi)\gleichnach{(6)}-\cos(-x)=-\cos(x)\folgtnach{(4)}y\le\frac{\pi}{2}, x=\frac{\pi}{2}$.
+\item "`$\Leftarrow$"': klar, "`$\Rightarrow$"': Sei $x\in[0, \pi]$ und $\cos x = 0 \folgtnach{(4)} x\ge\frac{\pi}{2}, y:=\pi-x, y \in [0, \frac{\pi}{2}]$ und $\cos y=\cos(x+\pi)\gleichnach{(6)}-\cos(-x)=-\cos(x)\folgtnach{(4)}y\le\frac{\pi}{2}, x=\frac{\pi}{2}$.
 \item In den großen Übungen
 \end{beweise}
 
@@ -2667,8 +2667,8 @@ Sei $z=\{x_0, \cdots, x_n\} \in \Z, m_j, M_j, I_j$ wie immer. $\widetilde{m_j}:=
 $f \in R[a,b] \equizu \forall \ep>0\ \exists Z \in \Z: S_f(Z)-s_f(Z) < \ep$.
 \end{satz}
 \begin{beweis}
-\glqq$\Leftarrow$\grqq: Sei $\ep>0.$ Voraussetzung $\folgt \exists Z \in \Z: S_f(Z)<s_f(Z)+\ep \folgt \oint_a^bf\dx \le S_f(Z) < s_f(z) + \ep\le\uint_a^bf\dx + \ep$. Also: $\oint_a^bf\dx < \uint_a^bf\dx\ \forall \ep>0\folgtwegen{\ep\to 0+}\oint_a^bf\dx \le \uint_a^bf\dx (\le \oint_a^bf\dx)\folgt f\in R[a, b]$.\\
-\glqq$\folgt$\grqq: $S:=\int_a^bf\dx$. Sei $\ep>0.\ \exists Z_1, Z_2 \in \Z: s_f(Z_1) > \uint_a^bf\dx - \frac{\ep}{2}=S-\frac{\ep}{2}.\ S_f(Z_2)<S+\frac{\ep}{2}.\ Z:=Z_1 \cup Z_2 \in \Z$. $S_f(Z)-s_f(Z) \overset{23.1}{\le}S_f(Z_2)-s_f(Z_1)<S+\frac{\ep}{2}-(S-\frac{\ep}{2})=\ep$.
+"`$\Leftarrow$"': Sei $\ep>0.$ Voraussetzung $\folgt \exists Z \in \Z: S_f(Z)<s_f(Z)+\ep \folgt \oint_a^bf\dx \le S_f(Z) < s_f(z) + \ep\le\uint_a^bf\dx + \ep$. Also: $\oint_a^bf\dx < \uint_a^bf\dx\ \forall \ep>0\folgtwegen{\ep\to 0+}\oint_a^bf\dx \le \uint_a^bf\dx (\le \oint_a^bf\dx)\folgt f\in R[a, b]$.\\
+"`$\folgt$"': $S:=\int_a^bf\dx$. Sei $\ep>0.\ \exists Z_1, Z_2 \in \Z: s_f(Z_1) > \uint_a^bf\dx - \frac{\ep}{2}=S-\frac{\ep}{2}.\ S_f(Z_2)<S+\frac{\ep}{2}.\ Z:=Z_1 \cup Z_2 \in \Z$. $S_f(Z)-s_f(Z) \overset{23.1}{\le}S_f(Z_2)-s_f(Z_1)<S+\frac{\ep}{2}-(S-\frac{\ep}{2})=\ep$.
 \end{beweis}
 
 \begin{satz}[Integratibilität monotoner und stetiger Funktionen]
@@ -2690,7 +2690,7 @@ $f \in R[a,b] \equizu \forall \ep>0\ \exists Z \in \Z: S_f(Z)-s_f(Z) < \ep$.
 
 \begin{definition}
 Sei $J\subseteq\MdR$ ein Intervall und $G,g: J\to\MdR$ seien Funktionen. 
-$G$ heißt eine \begriff{Stammfunktion} (SF) von $g$ auf $J$ :$\equizu$ G ist auf $J$ differenzierbar und $G'=g$ auf $J$.\\
+$G$ heißt eine \begriff{Stammfunktion} von $g$ auf $J$ :$\equizu$ G ist auf $J$ differenzierbar und $G'=g$ auf $J$.\\
 \end{definition}
 \textbf{Beachte:}
 \begin{liste}
@@ -2973,7 +2973,7 @@ Sei $f\in C(I)$ und $g \in C^1(J)$ und $g(J)\subseteq I$.
 \end{satz}
 
 \begin{merkregel}
-Ist $y=y(x)$ differenzierbar, so schreibt man für $y'$ auch $\frac{dy}{dx}$. In 23.16 substituiere $x=g(t)$ (fasse also $x$ als Funktion von $t$ auf) $\folgt g'(t)=\frac{dx}{dt}$ \glqq$\folgt dx=g'(t)dt$\grqq.
+Ist $y=y(x)$ differenzierbar, so schreibt man für $y'$ auch $\frac{dy}{dx}$. In 23.16 substituiere $x=g(t)$ (fasse also $x$ als Funktion von $t$ auf) $\folgt g'(t)=\frac{dx}{dt}$ "`$\folgt dx=g'(t)dt$"'.
 \end{merkregel}
 
 \begin{beweise}

documents/Analysis II/Analysis-II.tex

@@ -28,7 +28,7 @@
 \chapter*{Vorwort}
 
 \section*{Über dieses Skriptum}
-Dies ist ein erweiterter Mitschrieb der Vorlesung \glqq Analysis II\grqq\ von Herrn Schmoeger im
+Dies ist ein erweiterter Mitschrieb der Vorlesung "`Analysis II"' von Herrn Schmoeger im
 Sommersemester 2005 (bis einschließlich §14) und im Sommersemester 2010 (ab §15) an der Universität 
 Karlsruhe (KIT). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit ausdrücklicher Genehmigung 
 von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger ist für den Inhalt nicht 
@@ -167,8 +167,8 @@ Sei $x_0 \in \MdR^n$, $\delta > 0$, $A, U\subseteq \MdR^n$.
 \end{beispiel}
 
 \begin{beweise}
- \item \glqq\folgt\grqq: Sei $x_0\in\MdR^n\backslash A$. Annahme: $\forall \delta>0: U_\delta(x_0) \nsubseteq \MdR^n\backslash A\folgt\forall\delta>0: U_\delta(x_0)\cap A\ne\emptyset \folgt x_0\in\bar{A} \gleichnach{Vor.} A$, Widerspruch \\
- \glqq$\impliedby$\grqq: Annahme: $\subset\bar{A} \folgt \ \exists x_0\in\bar{A}: x_0\notin A$; also $x_0\in\MdR^n\backslash A$. Voraussetzung $\folgt \ \exists \delta > 0: U_\delta(x_0) \subseteq \MdR^n\backslash A \folgt U_\delta(x_0) \cap A = \emptyset \folgt x_0 \notin \bar{A}$, Widerspruch!
+ \item "`\folgt"': Sei $x_0\in\MdR^n\backslash A$. Annahme: $\forall \delta>0: U_\delta(x_0) \nsubseteq \MdR^n\backslash A\folgt\forall\delta>0: U_\delta(x_0)\cap A\ne\emptyset \folgt x_0\in\bar{A} \gleichnach{Vor.} A$, Widerspruch \\
+ "`$\impliedby$"': Annahme: $\subset\bar{A} \folgt \ \exists x_0\in\bar{A}: x_0\notin A$; also $x_0\in\MdR^n\backslash A$. Voraussetzung $\folgt \ \exists \delta > 0: U_\delta(x_0) \subseteq \MdR^n\backslash A \folgt U_\delta(x_0) \cap A = \emptyset \folgt x_0 \notin \bar{A}$, Widerspruch!
  \item Sei $(A_\lambda)_{\lambda\in M}$ eine Familie offener Mengen und $V := \bigcup_{\lambda\in M} A_\lambda$. Sei $x_0\in V \folgt \exists\lambda_0\in M: x_0 \in A_{\lambda_0}$. $A_{\lambda_0}$ offen $\folgt \ \exists \delta > 0: U_\delta(x_0) \subseteq A_{\lambda_0} \subseteq V$
  \item folgt aus (1) und (2) (Komplemente!)
  \item $D:=\bigcap_{j=1}^mA_j$. Sei $x_0\in D$. $\forall j\in\{1,\ldots,m\}: x_0\in A_j$, also eixistiert $\delta_j>0: U_\delta(x_0)\subseteq A_j$. $\delta := \min\{\delta_j,\ldots,\delta_m\} \folgt U_\delta(x_0) \subseteq D$
@@ -206,7 +206,7 @@ Sei $(a^{(k)})$ eine Folge in $\MdR^n$.
   \item wie in Analysis I.
   \item folgt aus (1)
   \item Sei $(a^{(k)})$ beschränkt. O.B.d.A: $n=2$. Also $a^{(k)}=(a_1^{(k)},a_2^{(k)})$ 1.1(7) $\folgt |a_1^{(k)}|,|a_2^{(k)}|\le\|a^{(k)}\|\ \forall k\in\MdN \folgt (a_1^{(k)},a_2^{(k)})$ sind beschränkte Folgen in $\MdR$. Analysis 1 $\folgt (a_1^{(k)})$ enthält eine konvergente Teilfolge $(a_1^{(k_j)})$. $(a_2^{(k_j)})$ enthält eine konvergente Teilfolge$ (a_2^{(k_{j_l})})$. Analysis 1 $\folgt (a_1^{(k_{j_l})})$ ist konvergent $\overset{(1)}{\folgt} (a^{(k_{j_l})})$ konvergiert.
-  \item \glqq$\folgt$\grqq: wie in Analysis 1. \glqq$\impliedby$\grqq: 1.1(7) $\folgt |a_j^{(k)}-a_j^{(l)}| \le \|a^{(k)}-a^{(l)}\|\ (j=1,\ldots,n)\ \folgt$ jede Folge $(a_j^{(k)})$ ist eine Cauchyfolge in $\MdR$, also konvergent $\overset{(1)}{\folgt} (a^{(k)})$ konvergiert.
+  \item "`$\folgt$"': wie in Analysis 1. "`$\impliedby$"': 1.1(7) $\folgt |a_j^{(k)}-a_j^{(l)}| \le \|a^{(k)}-a^{(l)}\|\ (j=1,\ldots,n)\ \folgt$ jede Folge $(a_j^{(k)})$ ist eine Cauchyfolge in $\MdR$, also konvergent $\overset{(1)}{\folgt} (a^{(k)})$ konvergiert.
 \end{beweise}
 
 \begin{satz}[Häufungswerte und konvergente Folgen]
@@ -228,7 +228,7 @@ Sei $A\subseteq\MdR^n$
 \item Wie in Analysis 1
 \item Fast wörtlich wie bei (1)
 \item[(4)] Wörtlich wie in Analysis 1
-\item[(3)] \glqq$\folgt$\grqq: Sei $(a^{(k)})$ eine konvergente Folge in $A$ und $x_0:=\lim a^{(k)} \overset{(2)}{\folgt} x_0 \in \bar A \overset{\text{Vor.}}{=}A$. \glqq$\impliedby$\grqq: z.z: $\bar A \subseteq A$. Sei $x_0 \in \bar A \overset{(2)}{\folgt}x_0 \in A$. Also: $A=\bar A$.
+\item[(3)] "`$\folgt$"': Sei $(a^{(k)})$ eine konvergente Folge in $A$ und $x_0:=\lim a^{(k)} \overset{(2)}{\folgt} x_0 \in \bar A \overset{\text{Vor.}}{=}A$. "`$\impliedby$"': z.z: $\bar A \subseteq A$. Sei $x_0 \in \bar A \overset{(2)}{\folgt}x_0 \in A$. Also: $A=\bar A$.
 \end{beweise}
 
 \begin{satz}[Überdeckungen]
@@ -995,7 +995,7 @@ A ist negativ definit & $\equizu \exists c>0: Q_A(x)\le -c\|x\|^2\ \forall x\in\
 \begin{beweise}
 \item Klar
 \item $Q_A(\alpha x)=(\alpha x)(A(\alpha x))=\alpha^2x(Ax)=\alpha^2Q_A(x)$
-\item \glqq$\impliedby$\grqq: Klar. \glqq$\folgt$\grqq: $K:=\{x\in\MdR^n: \|x\|=1\}=\partial U_1(0)$ ist beschränkt und abgeschlossen. $Q_A$ ist stetig auf $K$. 3.3 $\folgt\exists x_0\in K: Q_A(x_0)\le Q_A(x)\ \forall x\in K$. $c:=Q_A(x_0).\ A$ positiv definit, $x_0\ne 0\folgt Q_A(x_0)=c>0$. Sei $x\in\MdR^n\ \backslash\ \{0\};\ z:=\frac{1}{\|x\|}x\folgt z\in K\folgt Q_A(z)\ge c\folgt c \le Q_A\left(\frac{1}{\|x\|}x\right)\gleichnach{(2)}\frac{1}{\|x\|}^2Q_A(x)\folgt Q_A(x)\ge c\|x\|^2$
+\item "`$\impliedby$"': Klar. "`$\folgt$"': $K:=\{x\in\MdR^n: \|x\|=1\}=\partial U_1(0)$ ist beschränkt und abgeschlossen. $Q_A$ ist stetig auf $K$. 3.3 $\folgt\exists x_0\in K: Q_A(x_0)\le Q_A(x)\ \forall x\in K$. $c:=Q_A(x_0).\ A$ positiv definit, $x_0\ne 0\folgt Q_A(x_0)=c>0$. Sei $x\in\MdR^n\ \backslash\ \{0\};\ z:=\frac{1}{\|x\|}x\folgt z\in K\folgt Q_A(z)\ge c\folgt c \le Q_A\left(\frac{1}{\|x\|}x\right)\gleichnach{(2)}\frac{1}{\|x\|}^2Q_A(x)\folgt Q_A(x)\ge c\|x\|^2$
 \end{beweise}
 
 \begin{satz}[Störung von definiten Matrizen]
@@ -1181,7 +1181,7 @@ $D:=\{(x,y) \in \MdR^2: x\ne 0\}$. Sei $(\xi, \eta)\in D$ 9.3 $\folgt \exists$ U
 \item $f(x,y)=x^2+y^2-1$. $f(x,y)=0\equizu y^2=1-x^2\equizu y=\pm\sqrt{1-x^2}$. \\
 Sei $(x_0, y_0)\in\MdR^2$ mit $f(x_0, y_0)=0$ und $y_0\overset{(<)}{>}0$. Dann existiert eine Umgebung $U$ von $x_0$ und genau eine Funktion $g:U\to\MdR$ mit $g(x_0)=y_0$ und $f(x,g(x))=0\ \forall x \in U$, nämlich $g(x)=\overset{(-\sqrt{\cdots})}{\sqrt{1-x^2}}$
 
-\textbf{Sprechweisen}: \glqq $g$ ist implizit durch die Gleichung $f(x,y)=0$ definiert\grqq\ oder\ \glqq die Gleichung $f(x,y)=0$ kann in der Form $y=g(x)$ aufgelöst werden\grqq
+\textbf{Sprechweisen}: "`$g$ ist implizit durch die Gleichung $f(x,y)=0$ definiert"' oder "`die Gleichung $f(x,y)=0$ kann in der Form $y=g(x)$ aufgelöst werden"'
 
 \item $f(x,y,z)=y+z+\log(x+z)$. Wir werden sehen: $\exists$ Umgebung $U\subseteq \MdR^2$ von $(0,1)$ und genau eine Funktion $g:U\to\MdR$ mit $g(0,-1)=1$ und $f(x,y,g(x,y))=0\ \forall\ (x,y)\in U$.
 \end{beispiele}
@@ -1568,7 +1568,7 @@ $\gamma_1:[a,b]\to\MdR^n$ und $\gamma_2:[\alpha,\beta]\to\MdR^n$ seien Wege.
 \index{Äquivalenz}
 \index{Parameter-!Transformation}
 $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{äquivalent}, in Zeichen $\gamma_1\sim\gamma_2:\equizu\exists h:[a,b]\to[\alpha, \beta]$ stetig und streng wachsend, $h(a)=\alpha, h(b)=\beta$ und $\gamma_1(t)=\gamma_2(h(t))\ \forall t\in[a,b]$ (also $\gamma_1=\gamma_2\circ h)$. $h$ heißt eine \textbf{Parametertransformation} (PTF). Analysis 1 $\folgt h([a,b])=[\alpha,\beta]\folgt \Gamma_{\gamma_1}=\Gamma_{\gamma_2}$.
-Es gilt: $\gamma_2=\gamma_1\circ h^{-1}\folgt \gamma_2\sim\gamma_1$. \glqq$\sim$\grqq\ ist eine Äquivalenzrelation.
+Es gilt: $\gamma_2=\gamma_1\circ h^{-1}\folgt \gamma_2\sim\gamma_1$. "`$\sim$"' ist eine Äquivalenzrelation.
 \end{definition*}
 
 \begin{beispiele}
@@ -1786,7 +1786,7 @@ Dann ist $\varphi$ eine Stammfunktion von $f$ auf $G$.
 \end{satz}
 
 \begin{beweis}
-\glqq$\folgt$\grqq: 14.1\quad \glqq$\impliedby$\grqq: Sei $x_0\in G$ und $\varphi$ wie in $(*)$. Zu zeigen: $\varphi$ ist auf $G$ differenzierbar und $\varphi'=f$ auf G. Sei $z_0\in G, h\in\MdR^n,h\ne 0$ und $\|h\|$ so klein, dass $z_0+th\in G\ \forall t\in[0,1].\ \gamma(t):=z_0+th\ (t\in[0,1]), \Gamma_\gamma=s[z_0, z_0+h]\subseteq G$. $\rho(h):=\frac{1}{\|h\|}(\varphi(z_0+h)-\varphi(z_0)-f(z_0)\cdot h)$. Zu zeigen: $\rho(h)\to 0\ (h\to 0)$. 14.2 $\folgt$ es existieren stückweise stetig differenzierbare Wege $\gamma_1, \gamma_2$ mit: $\Gamma_{\gamma_1},\Gamma_{\gamma_2}\subseteq G$. Anfangspunkt von $\gamma_1=x_0=$Anfangspunkt von $\gamma_2$. Endpunkt von $\gamma_1=z_0$, Endpunkt von $\gamma_2=z_0+h$. Sei $\gamma_3\in \text{AH}(\gamma_1,\gamma)$ stückweise stetig differenzierbar (13.4!). Dann: 
+"`$\folgt$"': 14.1\quad "`$\impliedby$"': Sei $x_0\in G$ und $\varphi$ wie in $(*)$. Zu zeigen: $\varphi$ ist auf $G$ differenzierbar und $\varphi'=f$ auf G. Sei $z_0\in G, h\in\MdR^n,h\ne 0$ und $\|h\|$ so klein, dass $z_0+th\in G\ \forall t\in[0,1].\ \gamma(t):=z_0+th\ (t\in[0,1]), \Gamma_\gamma=s[z_0, z_0+h]\subseteq G$. $\rho(h):=\frac{1}{\|h\|}(\varphi(z_0+h)-\varphi(z_0)-f(z_0)\cdot h)$. Zu zeigen: $\rho(h)\to 0\ (h\to 0)$. 14.2 $\folgt$ es existieren stückweise stetig differenzierbare Wege $\gamma_1, \gamma_2$ mit: $\Gamma_{\gamma_1},\Gamma_{\gamma_2}\subseteq G$. Anfangspunkt von $\gamma_1=x_0=$Anfangspunkt von $\gamma_2$. Endpunkt von $\gamma_1=z_0$, Endpunkt von $\gamma_2=z_0+h$. Sei $\gamma_3\in \text{AH}(\gamma_1,\gamma)$ stückweise stetig differenzierbar (13.4!). Dann: 
 $$\underbrace{\ds\int_{\gamma_3}f(x)\cdot\text{d}x}_{=\varphi(z_0+h)}=\underbrace{\ds\int_{\gamma_1}f(x)\cdot\text{d}x}_{=\varphi(z_0)}+\ds\int_{\gamma}f(x)\cdot\text{d}x$$
 $\ds\int f(x)\cdot\text{d}x$ ist wegunabhängig in $G\folgt$\\
 $$\ds\int_{\gamma_3}f(x)\cdot\text{d}x=\ds\int_{\gamma_2}f(x)\cdot\text{d}x=\varphi(z_0+h)\folgt\varphi(z_0+h)-\varphi(z_0)=\ds\int_{\gamma}f(x)\cdot\text{d}x$$
@@ -1827,7 +1827,7 @@ Sei $G$ sternförmig und $f\in C^1(G,\MdR^n)$. Dann: $f$ besitzt auf $G$ eine St
 \end{satz}
 
 \begin{beweis}
-\glqq$\folgt$\grqq: 14.1\quad \glqq$\impliedby$\grqq: $G$ sternförmig $\folgt\exists x_0\in G:S[x_0,x]\subseteq G\ \forall x\in G$. OBdA: $x_0=0$. 
+"`$\folgt$"': 14.1\quad "`$\impliedby$"': $G$ sternförmig $\folgt\exists x_0\in G:S[x_0,x]\subseteq G\ \forall x\in G$. OBdA: $x_0=0$. 
 
 Für $x=(x_1,\ldots,x_n)\in G$ sei $\gamma_x(t)=tx, t\in [0,1]$.
 \begin{eqnarray*}
@@ -3341,12 +3341,14 @@ Also: $c_1 = c_2 = 0$, d.h.: \textbf{die} Lösung des AwP ist: $y(x) = \begin{pm
 \chapter{Homogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten}
 
 
-In diesem Paragraphen sei $A$ eine reelle konstante $n\times n$-Matrix. Wir betrachten das homogene System
+In diesem Paragraphen sei $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ eine 
+konstante Matrix. \\
+Wir betrachten das homogene System
 \begin{align*}
 \tag H y'=Ay
 \end{align*}
 
-\textbf{Ohne} Beweise geben wir ein \glqq Kochrezept\grqq an, wie man zu einem Fundamentalsystem von (H) kommt.
+\textbf{Ohne} Beweise geben wir ein "`Kochrezept"' an, wie man zu einem Fundamentalsystem von (H) kommt.
 
 \textbf{Vorbereitungen}: 
 \index{charakteristisches Polynom}\index{Polynom!charakteristisches}
@@ -3363,7 +3365,7 @@ und damit $\overline{\lambda_0}$ ein Eigenwert von $A$.
 \textbf{Kochrezept}:
 \begin{enumerate}
 \item Bestimme die \textbf{verschiedenen} Eigenwerte $\lambda_1, \ldots, \lambda_r (r \le n)$ 
-von $A$ und deren Vielfachheiten $k_1, \ldots, k_r$, also: 
+von $A$ und deren algebraische Vielfachheiten $k_1, \ldots, k_r$, also: 
 \[p(\lambda) = (-1)^n (\lambda - \lambda_1)^{k_1} (\lambda - \lambda_2)^{k_2} \cdots (\lambda - \lambda_r)^{k_r}\] 
 Ordne diese Eigenwerte wie folgt an: $\lambda_1, \ldots, \lambda_m \in \mdr, \lambda_{m+1}, \ldots, \lambda_r \in \mdc \setminus \mdr$.\\ 
 Aus der Liste $\lambda_{m+1}, \ldots, \lambda_r$ entferne jedes $\lambda_j$ mit 
@@ -3376,6 +3378,8 @@ einer Basis von Kern$((A-\lambda_j I)^2)$, usw.
 
 \item Sei $\lambda_j \in M$ und $v$ ein Basisvektor von $V_j$. \\
 \[y(x) := e^{\lambda_j x} (v+\frac{x}{1!} (A-\lambda_j I)v + \frac{x^2}{2!} (A-\lambda_j I)^2 v + \cdots + \frac{x^{k_j - 1}}{ (k_j - 1)! } (A - \lambda_j I)^{k_j - 1} v )\]
+Schöner:
+\[y(x) := e^{\lambda_j x} \cdot \left ( \sum_{i=0}^{k_j-1} \frac{x^i}{i!} (A - \lambda_j I)^i \cdot v \right )\]
 \textbf{Fall 1}: $\lambda_j \in \mdr$.\\
 Dann ist $y(x) \in \mdr^n \; \forall x \in \mdr$ und y ist eine Lösung von (H). \\
 \textbf{Fall 2}: $\lambda_j \in \mdc \setminus \mdr$.\\