Definitionen verbessert; Beispiel zu Basis/Subbasis hinzugefügt; Fragen aktualisiert

documents/GeoTopo/Fragen/Fragen.tex

@@ -50,88 +50,26 @@
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 \begin{document}
 \chapter{Fragen zu Definitionen}
-\section*{1.) Definition topologischer Raum}
-\begin{definition}\xindex{Raum!topologischer}\xindex{Menge!offene}\xindex{Menge!abgeschlossene}%
-    Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
-    aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit
-    folgenden Eigenschaften
-    \begin{defenumprops}
-        \item $\emptyset, X \in \fT$
-        \item \label{def:topologie.ii} Sind $U_1, U_2 \in \fT$, so ist $U_1 \cap U_2 \in \fT$
-        \item Ist $I$ eine Menge und $U_i \in \fT$ für jedes $i \in I$,
-              so ist $\displaystyle \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT$
-    \end{defenumprops}
-    Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$. 
-
-    $A \subseteq X$ heißt \textbf{abgeschlossen}, wenn $X \setminus A$ offen ist.
-\end{definition}
-
-\todo[inline]{Ich glaube es ist unnötig in (i) zu fordern, dass $\emptyset \in \fT$ gilt,
-da man das mit (iii) bereits abdeckt:
-
-Sei in (iii) die Indexmenge $I = \emptyset$. Dann muss gelten:
-
-$\displaystyle \bigcup_{i \in \emptyset} U_i = \emptyset \in \fT$}
-
-\section*{4.) Knotendiagramm:}
-\begin{definition}\xindex{Knotendiagramm}%
-    Ein \textbf{Knotendiagramm} eines Knotens $\gamma$ ist eine 
-    Projektion $\pi: \mdr^3 \rightarrow E$ auf eine Ebene $E$, sodass
-    $|\pi^{-1}(x) \cap C| \leq 2$ für jedes $x \in {\color{red}D}$, wobei $C = \gamma(S^1)$.
-
-    Ist ${\color{red}(\pi|C)}^{-1}(x) = \Set{y_1, y_2}$, so \textbf{liegt $y_1$ über $y_2$},
-    wenn $(y_1-x) = \lambda (y_2 - x)$ für ein $\lambda > 1$ ist.
-\end{definition}
-
-\todo[inline]{Sollte das jeweils $\pi|_C$ (sprich: \enquote{$\pi$ eingeschränkt auf $C$})
-sein?
-
-Was ist $D$? Ich vermute, das sollte $E$ sein.
-
-Ich würde die Definition eher so schreiben:}
-
-\begin{definition}\xindex{Knotendiagramm}%
-    Sei $\gamma: [0,1] \rightarrow \mdr^3$ ein Knoten, $E$ eine Ebene und 
-    $\pi: \mdr^3 \rightarrow E$ eine Projektion auf $E$.
-
-    $\pi$ heißt \textbf{Knotendiagramm} von $\gamma$, wenn gilt:
-    \[\left | \left (\pi|_{\gamma([0,1])} \right )^{-1}(x) \right | \leq 2 \;\;\; \forall x \in E\]
-
-    Ist $(\pi|_{\gamma([0,1])})^{-1}(x) = \Set{y_1, y_2}$, so \textbf{liegt $y_1$ über $y_2$},
-    wenn gilt:
-    \[\exists \lambda > 1: (y_1-x) = \lambda (y_2 - x)\]
-\end{definition}
-
-\todo[inline]{Ist meine Definition äquivalent zu der aus der Vorlesung?}
-
-\section*{5.) Isotopie/Knoten}
-\begin{definition}
-    Zwei Knoten $\gamma_1, \gamma_2: S^1 \rightarrow \mdr^3$ heißen
-    \textbf{äquivalent}, wenn es eine stetige Abbildung
-    \[H: S^1 \times [0,1] \rightarrow \mdr^3\]
-    gibt mit 
-    \begin{align*}
-        H(z,0) &= \gamma_1(z) {\;\;\;\color{red} \forall z \in S^1}\\
-        H(z,1) &= \gamma_2(z) {\;\;\;\color{red} \forall z \in S^1}
-    \end{align*}
-    und für jedes
-    feste $t \in [0,1]$ ist 
-    \[H_z: S^1 \rightarrow \mdr^2, z \mapsto H(z,t)\]
-    ein Knoten. Die Abbildung $H$ heißt \textbf{Isotopie} zwischen
-    $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
-\end{definition}
-
-\todo[inline]{Fehlt hier nicht etwas wie \enquote{$\forall z \in S^1$} (nun rot ergänzt).}
-
 \section*{6.) Basisbeispiele}
-\begin{itemize}
-    \item Kennst du ein Beispiel für eine Subbasis in einem Topologischen Raum,
-die zugleich eine Basis ist?
-    \item Kennst du ein Beispiel für eine Subbasis in einem Topologischen Raum,
-die keine Basis ist?
-    \item Kennst du ein Beispiel für eine Basis in einem Topologischen Raum,
-die keine Subbasis ist?
-\end{itemize}
+\todo[inline]{Kennst du ein Beispiel für eine Subbasis in einem Topologischen Raum,
+die keine Basis ist?}
+
+Wie ist es mit folgendem?
+
+Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum mit 
+  $X = \Set{0,1,2}$ und $\fT = \Set{\emptyset, \Set{0}, \Set{0,1}, X}$.\\
+  Dann ist $\calS = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0,2}}$ eine Subbasis von 
+  $\fT$, da gilt:
+  \begin{itemize}
+    \item $\emptyset \in \calS$
+    \item $\Set{0} = \Set{0, 1} \cap \Set{0,2}$
+    \item $\Set{0,1} \in \calS$
+    \item $X = \Set{0,1} \cup \Set{0,2}$
+  \end{itemize}
+  Allerings ist $\calS$ keine Basis von $(X, \fT)$, da
+  $\Set{0}$ nicht als Vereinigung von Elementen aus $\calS$
+  erzeugt werden kann.
+
 
 \section*{9.) Mannigfaltigkeit mit Rand}
 \begin{definition}%
@@ -155,13 +93,25 @@ die keine Subbasis ist?
     wenn es einen Atlas $(U_i, \varphi_i)$ gibt, wobei $U_i \subseteq X_i$
     offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene 
     Teilmenge von 
-    \[R_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_m \geq 0}\]
+    \[R_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_{\color{red}m} \geq 0}\]
     ist.
 \end{definition}
 
-Wieso wird bei der Mannigfaltigkeit mit Rand nicht gefordert, dass
-sie eine abzählbare Basis haben soll? Sollte man nicht vielleicht
-hinzufügen, dass der Atlas $n$-dimensional sein soll?
+\todo[inline]{Sind Mannigfaltigkeiten mit Rand auch Mannigfaltigkeiten? Sollte das rote $m$ eventuell $n$ sein? Oder sollte es ein $i$ sein, mit $i = 1..n$?}
+
+Laut \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Mannigfaltigkeit_mit_Rand}:
+
+\enquote{Eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt sich hierbei nicht um einen Spezialfall einer Mannigfaltigkeit, sondern ganz im Gegenteil um eine Verallgemeinerung.}
+
+\todo[inline]{Ist die Aussage auf Wikipedia korrekt? Für mich sieht das so aus, also ob folgende Definition auch richtig wäre:}
+
+\begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand}%
+    Sei $X$ eine Mannigfaltigkeit mit Atlas $\atlas$ und
+    \[\mdr_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_m \geq 0}\]
+
+    $X$ heißt \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand}, wenn gilt:
+    \[\forall (U, \varphi) \in \atlas: \varphi(U) \subseteq \mdr_{+,0}^n\]
+\end{definition}
 
 \section*{11.) Produkttopologie}
 \begin{definition}\xindex{Produkttopologie}%
@@ -175,7 +125,8 @@ hinzufügen, dass der Atlas $n$-dimensional sein soll?
     $\fB = \Set{U_1 \times U_2 | U_i \text{ offen in } X_i, i=1,2}$
     ist eine Basis von $\fT$.
 \end{definition}
-Gibt es ein Beispiel, das zegit, dass nicht $\fB = \fT$ gilt?
+
+\todo[inline]{Gibt es ein Beispiel, das zegit, dass nicht $\fB = \fT$ gilt?}
 
 \section*{12.) $\Delta^2$ explizit}
 Wie sieht der Standard-Simplex der dim. 2, also $\Delta^2$, explizit
@@ -228,9 +179,6 @@ oder sogar etwas innerhalb vom Polyeder, oder?
 \todo[inline]{Die beiden Definitionen eins Normalenvektors / der Krümmung scheinen mir äquivalent zu sein.
 Warum haben wir beide? Ich würde die zweite bevorzugen.}
 
-\section*{14.) Dimension von Simplizes}
-Gibt es 0-Dimensionale Simplizes?
-
 \section*{15.) Existenz der Parallelen}
 \begin{definition}%
     \begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=5]
@@ -243,7 +191,7 @@ Gibt es 0-Dimensionale Simplizes?
 
 \todo[inline]{Soll hier wirklich \enquote{mindestens} stehen? Wie beweist man, dass es genau eine gibt?}
 
-\section{15.) Simpliziale Abbildungen}
+\section*{17.) Simpliziale Abbildungen}
 Wenn man Simpliziale Abbildungen wie folgt definiert
 
 \begin{definition}\xindex{Abbildung!simpliziale}%
@@ -263,7 +211,7 @@ Gibt es eine Abbildung
 \[f:|K| \rightarrow |L|\]
 mit $f(\Delta) \notin L$?
 
-\section*{16.) ÜB 1, Aufgabe 2}
+\section*{18.) ÜB 1, Aufgabe 2}
 \underline{Vor.:} Es sei $(X, d)$ ein metrischer Raum, $A \subseteq X$. 
 Weiter bezeichne $\fT$ die von $d$ auf $X$ erzeugte Topologie $\fT'$, die von
 der auf $A \times A$ eingeschränkten Metrik $d|_{A \times A}$ erzeugte Topologie.

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -97,8 +97,11 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     \end{defenum}
 \end{definition}
 
-\begin{beispiel}
+\begin{beispiel}[Basis und Subbasis]
     \begin{bspenum}
+        \item Jede Basis ist auch eine Subbasis, z.B.\\
+              $S=\Set{ (a,b) | a,b \in \mdr, a<b }$ ist für $\mdr$ mit der 
+              Standardtopologie sowohl Basis als auch Subbasis.
         \item Gegeben sei $X = \mdr^n$ mit euklidischer Topologie $\fT$. Dann ist
               \[\fB = \Set{B_r(x) | r \in \mdq_{> 0}, x \in \mdq^n}\]
               ist eine abzählbare Basis von $\fT$.
@@ -1009,8 +1012,8 @@ $\qed$
     \[H: S^1 \times [0,1] \rightarrow \mdr^3\]
     gibt mit 
     \begin{align*}
-        H(z,0) &= \gamma_1(z)\\
-        H(z,1) &= \gamma_2(z)
+        H(z,0) &= \gamma_1(z) \;\;\;\forall z \in S^1\\
+        H(z,1) &= \gamma_2(z) \;\;\;\forall z \in S^1
     \end{align*}
     und für jedes
     feste $t \in [0,1]$ ist 
@@ -1020,12 +1023,15 @@ $\qed$
 \end{definition}
 
 \begin{definition}\xindex{Knotendiagramm}%
-    Ein \textbf{Knotendiagramm} eines Knotens $\gamma$ ist eine 
-    Projektion $\pi: \mdr^3 \rightarrow E$ auf eine Ebene $E$, sodass
-    $|(\pi|C)^{-1}(x)| \leq 2$ für jedes $x \in D$.
+    Sei $\gamma: [0,1] \rightarrow \mdr^3$ ein Knoten, $E$ eine Ebene und 
+    $\pi: \mdr^3 \rightarrow E$ eine Projektion auf $E$.
 
-    Ist $(\pi|C)^{-1}(x) = \Set{y_1, y_2}$, so \textbf{liegt $y_1$ über $y_2$},
-    wenn $(y_1-x) = \lambda (y_2 - x)$ für ein $\lambda > 1$ ist.
+    $\pi$ heißt \textbf{Knotendiagramm} von $\gamma$, wenn gilt:
+    \[\left | \pi^{-1}(x) \right | \leq 2 \;\;\; \forall x \in \pi(\gamma)\]
+
+    Ist $(\pi|_{\gamma([0,1])})^{-1}(x) = \Set{y_1, y_2}$, so \textbf{liegt $y_1$ über $y_2$},
+    wenn gilt:
+    \[\exists \lambda > 1: (y_1-x) = \lambda (y_2 - x)\]
 \end{definition}
 
 \begin{satz}[Satz von Reidemeister]

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -636,7 +636,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
         \item $|K| := \bigcup_{\Delta \in K} \Delta$ (mit Teilraumtopologie)
               heißt \textbf{geometrische Realisierung}\xindex{Realisierung!geometrische}
               von $K$.
-        \item Ist $d = \max \Set{ k \in \mdn | K \text{ enthält } k\text{-Simplex}}$,
+        \item Ist $d = \max \Set{ k \in \mdn_0 | K \text{ enthält } k\text{-Simplex}}$,
               so heißt $d$ die \textbf{Dimension}\xindex{Dimension} von
               $K$.
     \end{enumerate}

documents/GeoTopo/Makefile

@@ -14,4 +14,4 @@ ebook:
 	ebook-convert $(DOKUMENT).html $(DOKUMENT).epub --language de --no-default-epub-cover
 
 clean:
-	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.thm *.idx *.toc *.ind *.ilg figures/torus.tex *.glg *.glo *.gls *.ist *.xdy
+	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.thm *.idx *.toc *.ind *.ilg figures/torus.tex *.glg *.glo *.gls *.ist *.xdy *.fdb_latexmk