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@ -1,16 +1,15 @@
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\twocolumn
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\chapter*{Abkürzungsverzeichnis\markboth{Abkürzungsverzeichnis}{Abkürzungsverzeichnis}}
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\addcontentsline{toc}{chapter}{Abkürzungsverzeichnis}
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\begin{acronym}
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\acro{ca.}{circa}
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\acro{d. h.}{das heißt}
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\acro{Beh.}{Behauptung}
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\acro{Bew.}{Beweis}
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\acro{zhgd.}{zusammenhängend}
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\acro{Vor.}{Voraussetzung}
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\acro{bzw.}{beziehungsweise}
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\acro{ca.}{circa}
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\acro{d. h.}{das heißt}
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\acro{etc.}{et cetera}
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\acro{o. B. d. A.}{ohne Beschränkung der Allgemeinheit}
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\acro{Vor.}{Voraussetzung}
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\acro{z. B.}{zum Beispiel}
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\acro{zhgd.}{zusammenhängend}
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\acro{z. z.}{zu zeigen}
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\end{acronym}
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\onecolumn
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@ -13,16 +13,16 @@ modifiziert.
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\item[Abb. \ref{fig:stereographic-projection}] Stereographische Projektion: \href{http://texample.net/tikz/examples/map-projections/}{texample.net/tikz/examples/map-projections}
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\item[Abb. \ref{fig:Knoten}] Knoten von Jim.belk aus der \enquote{\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Blue_knots}{Blue knots}}-Serie:
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\begin{itemize}
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\item Trivialer Knoten: \url{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_Unknot.png}
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\item Kleeblattknoten: \url{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_Trefoil_Knot.png}
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\item Achterknoten: \url{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_Figure-Eight_Knot.png}
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\item $6_2$-Knoten: \url{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_6_2_Knot.png}
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\item Trivialer Knoten: \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_Unknot.png}{\path{commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_Unknot.png}}
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\item Kleeblattknoten: \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_Trefoil_Knot.png}{\path{commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_Trefoil_Knot.png}}
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||||
\item Achterknoten: \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_Figure-Eight_Knot.png}{\path{commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_Figure-Eight_Knot.png}}
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||||
\item $6_2$-Knoten: \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_6_2_Knot.png}{\path{commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_6_2_Knot.png}}
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\end{itemize}
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\item[Abb. \ref{fig:reidemeister-zuege}] Reidemeister-Züge: YAMASHITA Makoto (\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Reidemeister_move_1.png}{1}, \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Reidemeister_move_1.png}{2}, \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Reidemeister_move_1.png}{3})
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\item[Abb. \ref{fig:treefoil-knot-three-colors}] Kleeblattknoten, 3-Färbung: Jim.belk, \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tricoloring.png}{commons.wikimedia.org/wiki/File:Tricoloring.png}
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\item[Abb. \ref{fig:double-torus}] Doppeltorus: Oleg Alexandrov, \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Double_torus_illustration.png}{commons.wikimedia.org/wiki/File:Double\_torus\_illustration.png}
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\item[Abb. \ref{fig:torus-three-paths}] 3 Pfade auf Torus: \href{http://tex.stackexchange.com/users/484/charles-staats}{Charles Staats}, \url{http://tex.stackexchange.com/a/149991/5645}
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\item[Abb. \ref{fig:ueberlappung-r1-spirale-s1}] Überlappung vom $S^1$ mit $\mdr$: \href{http://tex.stackexchange.com/users/22467/alex}{Alex}, \url{http://tex.stackexchange.com/a/149706/5645}
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\item[Abb. \ref{fig:treefoil-knot-three-colors}] Kleeblattknoten, 3-Färbung: Jim.belk, \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tricoloring.png}{\path{commons.wikimedia.org/wiki/File:Tricoloring.png}}
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\item[Abb. \ref{fig:double-torus}] Doppeltorus: Oleg Alexandrov, \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Double_torus_illustration.png}{\path{commons.wikimedia.org/wiki/File:Double\_torus\_illustration.png}}
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||||
\item[Abb. \ref{fig:torus-three-paths}] 3 Pfade auf Torus: \href{http://tex.stackexchange.com/users/484/charles-staats}{Charles Staats}, \href{http://tex.stackexchange.com/a/149991/5645}{\path{tex.stackexchange.com/a/149991/5645}}
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||||
\item[Abb. \ref{fig:ueberlappung-r1-spirale-s1}] Überlagerung von $S^1$ mit $\mdr$: \href{http://tex.stackexchange.com/users/22467/alex}{Alex}, \href{http://tex.stackexchange.com/a/149706/5645}{\path{tex.stackexchange.com/a/149706/5645}}
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\item[Abb. \ref{fig:bem.14.9}] Sphärisches Dreieck: \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/User:DemonDeLuxe}{Dominique Toussaint},\\
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\url{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Spherical_triangle_3d_opti.png}
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\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Spherical_triangle_3d_opti.png}{\path{commons.wikimedia.org/wiki/File:Spherical_triangle_3d_opti.png}}
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\end{itemize}
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Binary file not shown.
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@ -19,7 +19,7 @@
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Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind wie z.~B. $[0,1)$.
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Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
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\begin{bemerkung}[Mengen, die offen und abgeschlossen sind, existieren]
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\begin{bemerkung}[Mengen, die offen \& abgeschlossen sind, existieren]
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Betrachte $\emptyset$ und $X$ mit der \enquote{trivialen Topologie}
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\xindex{Topologie!triviale}\index{Klumpentopologie|see{triviale Topologie}} $\fT_{\ts{triv}} = \Set{\emptyset, X}$.
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@ -243,11 +243,12 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
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\end{beispiel}
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\begin{beispiel}[SNCF-Metrik\footnote{Diese Metrik wird auch \enquote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Franz\%C3\%B6sische_Eisenbahnmetrik}{französische Eisenbahnmetrik}} genannt.}] \xindex{Metrik!SNCF}
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\begin{beispiel}[SNCF-Metrik\footnotemark] \xindex{Metrik!SNCF}
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$X = \mdr^2$
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\input{figures/sncf-metrik}
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\end{beispiel}
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\footnotetext{Diese Metrik wird auch \enquote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Franz\%C3\%B6sische_Eisenbahnmetrik}{französische Eisenbahnmetrik}} genannt.}
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\begin{definition} \xindex{Raum!hausdorffscher}
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Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{hausdorffsch}, wenn es
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@ -72,7 +72,8 @@
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\item $S^n = \Set{x \in \mdr^{n+1} | \|x\| = 1}$ ist $n$-dimensionale
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Mannigfaltigkeit.
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Karten: $O_i := \Set{(x_1, \dots, x_{n+1}) \in S^n | x_i > 0} \rightarrow \fB_1 (\underbrace{0, \dots, 0}_{\in \mdr^n})$\\
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Karten: \\
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$O_i := \Set{(x_1, \dots, x_{n+1}) \in S^n | x_i > 0} \rightarrow \fB_1 (\underbrace{0, \dots, 0}_{\in \mdr^n})$\\
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||||
$(x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (x_1, \dots, x_i, \dots, x_{n+1})$\\
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||||
$(x_1, \dots, x_{i-1}, \sqrt{1-\sum_{k=1}^n x_k^2}, x_i, \cdots, x_n)\mapsfrom (x_1, \dots, x_n)$\\
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$S^n = \bigcup_{i=1}^{n+1} (C_i \cup D_i)$
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@ -93,7 +94,7 @@
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\[U \subseteq X \text{ offen } \gdw
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\begin{cases}
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U \text{ offen in } \mdr \setminus \Set{0}, &\text{falls } 0_1 \notin U, 0_2 \in U\\
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||||
\exists \varepsilon > 0 \text{ mit } (-\varepsilon, \varepsilon) \subseteq U &\text{falls } 0_1 \in U, 0_2 \in U
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||||
\exists \varepsilon > 0: (-\varepsilon, \varepsilon) \subseteq U &\text{falls } 0_1 \in U, 0_2 \in U
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||||
\end{cases}\]
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Insbesondere sind $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{0_1}$
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und $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{0_2}$ offen und
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@ -232,11 +233,11 @@
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}%
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\subfloat[Pair of pants]{
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\input{figures/topology-pair-of-pants.tex}
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\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/topology-pair-of-pants.tex}}
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\label{fig:pair-of-pants}
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}%
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||||
\subfloat[Sphäre mit einem Loch]{
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\input{figures/topology-sphere-with-hole.tex}
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\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/topology-sphere-with-hole.tex}}
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\label{fig:sphere-with-hole}
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}%
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\label{Mannigfaltigkeiten mit Rand}
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@ -414,8 +415,9 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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0 & 1
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\end{pmatrix}\]
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hat Rang 2 für alle $(u,v) \in \mdr^2$.
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\item Kugelkoordinaten: $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3, \;\;\; (u, v) \mapsto (R \cos v \cos u, R \cos v \sin u, R \sin v)$
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||||
$F(u,v) \in S_R^2$, denn
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||||
\item Kugelkoordinaten: $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3$,\\
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$(u, v) \mapsto (R \cos v \cos u, R \cos v \sin u, R \sin v)$\\
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||||
Es gilt: $F(u,v) \in S_R^2$, denn
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\begin{align*}
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& R^2 \cos^2(v) \cos^2(u) + R^2 \cos^2(v) \sin^2(u) + R^2 \sin^2(v)\\
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=& R^2 (\cos^2(v) \cos^2(u) + \cos^2(v) \sin^2(u) + \sin^2(v))\\
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@ -892,7 +894,6 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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\begin{beweis}
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Sei $\sigma \in A_n$. Dann gilt:
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\begin{align*}
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d_{n-1}(d_n \sigma) &= d_{n-1} (\sum_{i=0}^n (-1)^i \partial_i \sigma)\\
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&= \sum_{i=0}^n (-1)^i d_{n-1} (\partial_i \sigma)\\
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@ -313,7 +313,12 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
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\item $f_*$ ist wohldefiniert: Seien $\gamma_1, \gamma_2$ homotope
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Wege von $x$. z.Z.: $f \circ \gamma_1 \sim f \circ \gamma_2$:
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Nach Voraussetzung gibt es stetige Abbildungen $H:I\times I \rightarrow X$
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mit $H(t,0) = \gamma_1(t), H(t,1) = \gamma_2(t), H(0,S) = H(1, S) = x$.
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||||
mit
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\begin{align*}
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||||
H(t,0) &= \gamma_1(t),\\
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||||
H(t,1) &= \gamma_2(t),\\
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||||
H(0,s) &= H(1, s) = x\text{.}
|
||||
\end{align*}
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||||
Dann ist $f \circ H: I \times I \rightarrow Y$ stetig mit
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||||
$(f \circ H)(t,0) = f(H(t,0)) = f(\gamma_1(t)) = (f \circ \gamma_1)(t)$
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||||
etc. $\Rightarrow f \circ \gamma_1 \sim f \circ \gamma_2$.
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@ -467,18 +472,17 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
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|||
\item $S^1 \rightarrow S^1$, $z \mapsto z^2$, siehe \cref{fig:liftung-s1-s1}
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\end{bspenum}
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\begin{figure}[ht]
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\begin{figure}[htp]
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\centering
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||||
\subfloat[$\mdr^2 \rightarrow T^2 = \mdr^2 / \mdz^2$]{
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||||
\includegraphics[width=0.6\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/ueberlappung-kaestchen-torus.jpg}
|
||||
\label{fig:ueberlappung-kaestchen-torus}
|
||||
}%
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||||
\subfloat[$t \mapsto (\cos 4 \pi t, \sin 4 \pi t)$]{
|
||||
\input{figures/topology-ueberlagerung.tex}
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||||
\label{fig:liftung-s1-s1}
|
||||
}%
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||||
\label{fig:ueberlagerungen}
|
||||
\caption{Beispiele für Überlagerungen}
|
||||
\resizebox{0.95\linewidth}{!}{\input{figures/ueberlappung-kaestchen-torus.tex}}
|
||||
\caption{$\mdr^2 \rightarrow T^2 = \mdr^2 / \mdz^2$}
|
||||
\label{fig:ueberlappung-kaestchen-torus}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
\input{figures/topology-ueberlagerung.tex}
|
||||
\caption{$t \mapsto (\cos 4 \pi t, \sin 4 \pi t)$}
|
||||
\label{fig:liftung-s1-s1}
|
||||
\end{figure}
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\end{beispiel}
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@ -17,19 +17,6 @@ $A \setminus B\;\;\;$ $A$ ohne $B$\\
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$A \cup B\;\;\;$ Vereinigung\\
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$A \dcup B\;\;\;$ Disjunkte Vereinigung\\
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$A \cap B\;\;\;$ Schnitt\\
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% Zahlenmengen %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\section*{Zahlenmengen}
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$\mdn\;\;\;$ Natürliche Zahlen $(\Set{1, 2, 3, \dots})$\\
|
||||
$\mdz\;\;\;$ Ganze Zahlen ($\mdn \cup \Set{0, -1, -2, \dots}$)\\
|
||||
$\mdq\;\;\;$ Rationale Zahlen ($\mdz \cup \Set{\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}}$)\\
|
||||
$\mdr\;\;\;$ Reele Zahlen ($\mdq \cup \Set{\sqrt{2}, -\sqrt[3]{3}, \dots}$)\\
|
||||
$\mdr^+\;$ Echt positive reele Zahlen\\
|
||||
$\mdr^\times\;$ Einheitengruppe von $\mdr$ ($\mdr \setminus \Set{0}$)\\
|
||||
$\mdc\;\;\;$ Komplexe Zahlen ($\Set{a+ib|a,b \in \mdr}$)\\
|
||||
$\mdp\;\;\;$ Primzahlen ($2, 3, 5, 7, \dots$)\\
|
||||
$\mdh\;\;\;$ obere Halbebene ($\Set{z \in \mdc | \Im{z} > 0}$)\\
|
||||
|
||||
\section*{Geometrie}
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||||
$AB\;\;\;$ Gerade durch die Punkte $A$ und $B$\\
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@ -75,6 +62,20 @@ $X \# Y\;\;\;$ Verklebung von $X$ und $Y$\\
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|||
$\gamma_1 * \gamma_2\;\;\;$ Zusammenhängen von Wegen\\
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\onecolumn
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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||||
% Zahlenmengen %
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||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\section*{Zahlenmengen}
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||||
$\mdn\;\;\;$ Natürliche Zahlen $(\Set{1, 2, 3, \dots})$\\
|
||||
$\mdz\;\;\;$ Ganze Zahlen ($\mdn \cup \Set{0, -1, -2, \dots}$)\\
|
||||
$\mdq\;\;\;$ Rationale Zahlen ($\mdz \cup \Set{\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}}$)\\
|
||||
$\mdr\;\;\;$ Reele Zahlen ($\mdq \cup \Set{\sqrt{2}, -\sqrt[3]{3}, \dots}$)\\
|
||||
$\mdr^+\;$ Echt positive reele Zahlen\\
|
||||
$\mdr^\times\;$ Einheitengruppe von $\mdr$ ($\mdr \setminus \Set{0}$)\\
|
||||
$\mdc\;\;\;$ Komplexe Zahlen ($\Set{a+ib|a,b \in \mdr}$)\\
|
||||
$\mdp\;\;\;$ Primzahlen ($2, 3, 5, 7, \dots$)\\
|
||||
$\mdh\;\;\;$ obere Halbebene ($\Set{z \in \mdc | \Im{z} > 0}$)\\
|
||||
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||||
$f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2\;\;\;$ Einbettung der Kreislinie in die Ebene\\
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||||
$\pi_1(X,x)\;\;\;$ Fundamentalgruppe im topologischen Raum $X$ um $x \in X$\\
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||||
$\Fix(f)\;\;\;$ Menge der Fixpunkte der Abbildung $f$\\
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||||
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44
documents/GeoTopo/figures/ueberlappung-kaestchen-torus.tex
Normal file
44
documents/GeoTopo/figures/ueberlappung-kaestchen-torus.tex
Normal file
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|
@ -0,0 +1,44 @@
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|||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt]
|
||||
\newcommand*{\xMin}{0}%
|
||||
\newcommand*{\xMax}{6}%
|
||||
\newcommand*{\yMin}{0}%
|
||||
\newcommand*{\yMax}{6}%
|
||||
|
||||
\draw (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5);
|
||||
\draw[xscale=-1] (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5);
|
||||
\draw[rotate=180] (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5);
|
||||
\draw[yscale=-1] (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5);
|
||||
|
||||
\draw (-2,.2) .. controls (-1.5,-0.3) and (-1,-0.5) .. (0,-.5) .. controls (1,-0.5) and (1.5,-0.3) .. (2,0.2);
|
||||
\draw (-1.75,0) .. controls (-1.5,0.3) and (-1,0.5) .. (0,.5) .. controls (1,0.5) and (1.5,0.3) .. (1.75,0);
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{scope}[shift={(-12,-3)}]
|
||||
\foreach \i in {\xMin,...,\xMax} {
|
||||
\draw [very thin,gray] (\i,\yMin) -- (\i,\yMax) node [below] at (\i,\yMin) {$\i$};
|
||||
}
|
||||
\foreach \i in {\yMin,...,\yMax} {
|
||||
\draw [very thin,gray] (\xMin,\i) -- (\xMax,\i) node [left] at (\xMin,\i) {$\i$};
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{scope}[shift={(14,2)}]
|
||||
\node (P) at (0.4,0.9) {};
|
||||
\node (Q) at (0.9,0.4) {};
|
||||
\draw [red] (P) rectangle (Q);
|
||||
\draw (0.65, 0.6) node[red] {*};
|
||||
\end{scope}
|
||||
|
||||
\foreach \x in {0,1,2,3,4,5} {
|
||||
\foreach \y in {0,1,2,3,4,5} {
|
||||
\begin{scope}[shift={(\x,\y)}]
|
||||
\node (P) at (0.4,0.9) {};
|
||||
\node (Q) at (0.9,0.4) {};
|
||||
\draw [red] (P) rectangle (Q);
|
||||
\draw (0.65, 0.6) node[red] {*};
|
||||
\end{scope}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\end{scope}
|
||||
\draw (-4.5, 0) node[below] {$\xrightarrow{\text{\;\;\;\;\;\;\;\;}}$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
Binary file not shown.
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