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Nachtrag von Vorlesung am 15.10.2012
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@ -79,16 +79,25 @@ $f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen.
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\textbf{disjunkt}, genau dann wenn $A\cap B=\emptyset$
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für $A,B\in\fm$ mit $A\ne B$.
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\item Sei $(A_j)$ eine Folge in $\mathcal{P}(X)$ (also
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$A_j\subseteq X$), so heißt $(A_j)$ \textbf{disjunkt},
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genau dann wenn $\{A_1,A_2,\ldots\}$ disjunkt ist. In
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diesem Fall schreibe:
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$\dot{\bigcup}_{j=1}^\infty:=\bigcup_{j=1}^\infty A_j$\\
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Allgemein sei $\bigcup_{j=1}^\infty A_j:=\bigcup A_j$
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und $\bigcap_{j=1}^\infty A_j:=\bigcap A_j$.
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$A_j\subseteq X$), so heißt $(A_j)$ \textbf{disjunkt},
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genau dann wenn $\{A_1,A_2,\ldots\}$ disjunkt ist.\\
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\textbf{Schreibweise}:\\
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\begin{align*}
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\dot{\bigcup}_{j=1}^\infty &:=\bigcup_{j=1}^\infty A_j\\
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\bigcup_{j=1}^\infty A_j &:=\bigcup A_j\\
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\bigcap_{j=1}^\infty A_j &:=\bigcap A_j\\
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\sum_{j=1}^\infty a_j &=: \sum a_j
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\end{align*}
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\end{enumerate}
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\item Sei $A\subseteq X$, für $x\in X$ definiere
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\[\mathds{1}_A(x):=\begin{cases}1, x\in A\\ 0, x\in A^c\end{cases}\]
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wobei $A^c:=X\setminus A$.
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\item Sei $A\subseteq X$, $\mathds{1}_A : X \rightarrow R$
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definiert durch:
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\[\mathds{1}_A(x):= \begin{cases}
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1 &\text{falls } x\in A\\
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0 &\text{falls } x\in A^c
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\end{cases}\]
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wobei $A^c:=X\setminus A$. $\mathds{1}_A$ heißt die
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\textbf{charakteristische Funktion} oder
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\textbf{Indikatorfunktion von A}.
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\item Sei $B\subseteq Y$ dann ist $f^{-1}(B):=\{x\in X: f(x)\in B\}$
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und es gelten folgende Eigenschaften:
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\begin{enumerate}
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@ -101,13 +110,12 @@ $f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen.
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\item Ist $C\subseteq Z$, so gilt:
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\[(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))\]
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\end{enumerate}
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\item $\sum_{j=1}^\infty a_j =: \sum a_j$
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\end{enumerate}
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\chapter{$\sigma$-Algebren und Maße}
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\label{Kapitel 1}
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In diesem Paragraphen sei $\emptyset\ne X$ eine Menge.
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In diesem Paragraphen sei $X \neq \emptyset$ eine Menge.
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\begin{definition}
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\index{$\sigma$-!Algebra}
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@ -121,16 +129,16 @@ In diesem Paragraphen sei $\emptyset\ne X$ eine Menge.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{beispiel}
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\begin{beispieleX}
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\begin{enumerate}
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\item $\{X,\emptyset\}$ und $\mathcal{P}(X)$ sind
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\item $\Set{X,\emptyset}$ und $\mathcal{P}(X)$ sind
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$\sigma$-Algebren auf $X$.
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\item Sei $A\subseteq X$, dann ist $\{X,\emptyset, A, A^c\}$
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\item Sei $A\subseteq X$, dann ist $\Set{X,\emptyset, A, A^c}$
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eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
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\item $\fa:=\{A\subseteq X: A$ abzählbar oder $A^c$ abzählbar$\}$
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\item $\fa:=\Set{A\subseteq X | A \text{ abzählbar oder } A^c \text{ abzählbar}}$
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ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
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\end{enumerate}
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\end{beispiel}
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\end{beispieleX}
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\begin{lemma}
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\label{Lemma 1.1}
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@ -149,15 +157,15 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
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\begin{beweis}
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\begin{enumerate}
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\item $\emptyset=X^c\in\fa$ (nach ($\sigma_2$)).
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\item \folgtnach{$\sigma_2$} $\emptyset=X^c\in\fa$.
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\item $D:=\bigcap A_j$. $D^c=\bigcup A_j^c\in\fa$ (nach
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($\sigma_2$) und ($\sigma_3$)), also gilt auch
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$D=(D^c)^c\in\fa$.
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\item \begin{enumerate}
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\item $A_1\cup\cdots\cup A_n\in\fa$ folgt aus
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($\sigma_3$) mit $A_{n+j}:=\emptyset$ ($j\ge 1$).
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\item $A_1\cap\cdots\cap A_n\in\fa$ folgt aus (2) mit
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$A_{n+j}:=X$ ($j\ge 1$).
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\item \folgtnach{($\sigma_3$) mit $A_{n+j}:=\emptyset$ ($j\ge 1$)}
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$A_1\cup\cdots\cup A_n\in\fa$.
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||||
\item \folgtnach{(2) mit $A_{n+j}:=X$ ($j\ge 1)$}
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$A_1\cap\cdots\cap A_n\in\fa$.
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\item $A_1\setminus A_2=A_1\cap A_2^c\in\fa$
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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@ -165,7 +173,7 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
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\begin{lemma}
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\label{Lemma 1.2}
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Sei $\emptyset\ne\cf$ eine Menge von $\sigma$-Algebren auf $X$.
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Sei $\cf \neq \emptyset$ eine Menge von $\sigma$-Algebren auf $X$.
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Dann ist
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\[\fa_0:=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\]
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eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
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@ -189,11 +197,11 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
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\begin{definition}
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\index{Erzeuger}
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Sei $\emptyset\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$ und
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Sei $\emptyset \neq \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$ und
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$\cf:=\{\fa:\fa$ ist $\sigma$-Algebra auf $X$ mit
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$\mathcal{E}\subseteq\fa\}$. Definiere
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\[\sigma(\mathcal{E}):=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\]
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Dann ist wegen 1.2 $\sigma(\mathcal{E})$ eine $\sigma$-Algebra
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\folgtnach{1.2} $\sigma(\mathcal{E})$ ist eine $\sigma$-Algebra
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auf $X$. $\sigma(\mathcal{E})$ heißt die
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\textbf{von $\mathcal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra}.
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$\mathcal{E}$ heißt ein \textbf{Erzeuger} von
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@ -250,7 +258,7 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
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\index{Borel!Mengen}
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Sei $X\subseteq\mdr^d$.
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\begin{enumerate}
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\item $\mathcal{O}(X):=\{A\subseteq X:A$ ist offen in $X\}$
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\item $\mathcal{O}(X):=\Set{A\subseteq X | A \text{ ist offen in } X}$
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\item $\fb(X):=\sigma(\mathcal{O}(X))$ heißt
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\textbf{Borelsche $\sigma$-Algebra} auf $X$.
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\item $\fb_d:=\fb(\mdr^d)$. Die Elemente von $\fb_d$ heißen
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@ -260,10 +268,12 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
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\begin{beispiel}
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\begin{enumerate}
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\item Sei $X\subseteq\mdr^d$. Ist $A\subseteq$ offen
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(abgeschlossen) in $X$, so ist $A\in\fb(X)$.
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\item Ist $A\subseteq\mdr^d$ offen (abgeschlossen) so ist
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$A\in\fb_d$.
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\item Sei $\emptyset \neq X\subseteq\mdr^d$. Ist $A\subseteq$
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$\stackrel{\hbox{offen}}{\hbox{abgeschlossen}}$
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in $X$, so ist $A\in\fb(X)$.
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\item Ist $A\subseteq\mdr^d$
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$\stackrel{\hbox{offen}}{\hbox{abgeschlossen}}$,
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so ist $A\in\fb_d$.
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\item Sei $d=1, A=\mdq$. $\mdq$ ist abzählbar, also
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$\mdq=\{r_1,r_2,\ldots\}$ (mit $r_i\ne r_j$ für $i\ne j$).
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Also ist $\mdq=\bigcup \{r_j\}$. Sei nun $r\in\mdq$,
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@ -271,6 +281,8 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
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folgt $\{r_j\}\in\fb_1$, also auch $\mdq\in\fb_1$.\\
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Allgemeiner lässt sich zeigen:
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$\mdq^d:=\{(x_1,\ldots,x_n):x_j\in\mdq (j=1,\ldots,n)\}\in\fb_d$.
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\item Sei $x_0 \in \mdr^d, \Set{x_0}$ ist abgeschlossen
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$\Rightarrow \Set{x_0} \in \fb$
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\end{enumerate}
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\end{beispiel}
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@ -1707,7 +1719,7 @@ Damit: \(\lvert h\rvert\) ist integrierbar und mit \ref{Satz 4.9} auch \(h\). Da
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\[ \int_X f(x) \text{ d}x = \int_X \left( \mathds{1}_{A\cup B} \cdot f \right)(x) \text{ d}x = \int_X \left( \left( \mathds{1}_A + \mathds{1}_B \right) f\right)(x) \text{ d}x \]
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\[= \int_X \left(\mathds{1}_A f + \mathds{1}_B f \right)(x) \text{ d}x \stackrel{4.11(2)}{=} \int_X \mathds{1}_A f \text{ d}x + \int_X \mathds{1}_B f \text{ d}x \stackrel{4.11(7)}{=} \int_A f \text{ d}x + \int_B f \text{ d}x.\]
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\item $K$ ist kompakt, also gilt: $\lambda(K) < \infty$. Aus \ref{Satz 3.2}(1) folgt, dass $f$ messbar ist. Analysis II (\glqq stetige Funktionen auf kompakten Mengen nehmen Minimum und Maximum an\grqq ) liefert: $f$ ist beschränkt. Insgesamt folgt mit \ref{Satz 4.11}(8) schlie"slich: $f \in \fl^1(K)$.
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\item $K$ ist kompakt, also gilt: $\lambda(K) < \infty$. Aus \ref{Satz 3.2}(1) folgt, dass $f$ messbar ist. Analysis II (\glqq stetige Funktionen auf kompakten Mengen nehmen Minimum und Maximum an\grqq ) liefert: $f$ ist beschränkt. Insgesamt folgt mit \ref{Satz 4.11}(8) schließlich: $f \in \fl^1(K)$.
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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@ -3932,14 +3944,14 @@ Wir versehen $\MdC$ mit der $\sigma$-Algebra $\fb_2$ (wir identifizieren $\MdC$
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\begin{definition}
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\index{messbar}
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$f$ hei"st (Borel-)\textbf{messbar}, genau dann wenn gilt: $f$ ist $\fb_d$-$\fb_2$-messbar.
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$f$ heißt (Borel-)\textbf{messbar}, genau dann wenn gilt: $f$ ist $\fb_d$-$\fb_2$-messbar.
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\end{definition}
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Aus 3.2 folgt: $f$ ist messbar genau dann, wenn $u$ und $v$ messbar sind.
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\begin{definition}
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\index{integrierbar}\index{Integral}
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Sei $f$ messbar. $f$ hei"st \textbf{integrierbar} (ib.) genau dann, wenn $u$ und $v$ integrierbar sind.
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Sei $f$ messbar. $f$ heißt \textbf{integrierbar} (ib.) genau dann, wenn $u$ und $v$ integrierbar sind.
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In diesem Fall setze
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\[ \int_X f \text{ d}x := \int_X u \text{ d}x + i\int_X v \text{ d}x \quad ( \in \MdC) \]
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\end{definition}
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