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@ -110,21 +110,26 @@ $f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen.
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In diesem Paragraphen sei $\emptyset\ne X$ eine Menge.
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\begin{definition}
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\index{$\sigma$-!Algebra}
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||||
Sei $\fa\subseteq\mathcal{P}(X)$, $\fa$ heißt eine \textbf{$\sigma$-Algebra} auf $X$, wenn gilt:
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\begin{enumerate}
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||||
\item[($\sigma_1$)] $X\in\fa$
|
||||
\item[($\sigma_2$)] Ist $A\in\fa$, so ist auch $A^c\in\fa$.
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||||
\item[($\sigma_3$)] Ist $(A_j)$ eine Folge in $\fa$, so ist $\bigcup A_j\in\fa$.
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||||
\end{enumerate}
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\index{$\sigma$-!Algebra}
|
||||
Sei $\fa\subseteq\mathcal{P}(X)$, $\fa$ heißt eine
|
||||
\textbf{$\sigma$-Algebra} auf $X$, wenn gilt:
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item[($\sigma_1$)] $X\in\fa$
|
||||
\item[($\sigma_2$)] Ist $A\in\fa$, so ist auch $A^c\in\fa$.
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||||
\item[($\sigma_3$)] Ist $(A_j)$ eine Folge in $\fa$, so ist
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||||
$\bigcup A_j\in\fa$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{definition}
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\begin{beispiel}
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\begin{enumerate}
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\item $\{X,\emptyset\}$ und $\mathcal{P}(X)$ sind $\sigma$-Algebren auf $X$.
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||||
\item Sei $A\subseteq X$, dann ist $\{X,\emptyset, A, A^c\}$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
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||||
\item $\fa:=\{A\subseteq X: A$ abzählbar oder $A^c$ abzählbar$\}$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
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||||
\end{enumerate}
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\begin{enumerate}
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||||
\item $\{X,\emptyset\}$ und $\mathcal{P}(X)$ sind
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$\sigma$-Algebren auf $X$.
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\item Sei $A\subseteq X$, dann ist $\{X,\emptyset, A, A^c\}$
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eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
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||||
\item $\fa:=\{A\subseteq X: A$ abzählbar oder $A^c$ abzählbar$\}$
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||||
ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
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\end{enumerate}
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||||
\end{beispiel}
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\begin{lemma}
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@ -143,119 +148,157 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
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|||
\end{lemma}
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\begin{beweis}
|
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\begin{enumerate}
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||||
\item $\emptyset=X^c\in\fa$ (nach ($\sigma_2$)).
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||||
\item $D:=\bigcap A_j$. $D^c=\bigcup A_j^c\in\fa$ (nach ($\sigma_2$) und ($\sigma_3$)), also gilt auch $D=(D^c)^c\in\fa$.
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||||
\item \begin{enumerate}
|
||||
\item $A_1\cup\cdots\cup A_n\in\fa$ folgt aus ($\sigma_3$) mit $A_{n+j}:=\emptyset$ ($j\ge 1$).
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||||
\item $A_1\cap\cdots\cap A_n\in\fa$ folgt aus (2) mit $A_{n+j}:=X$ ($j\ge 1$).
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||||
\item $A_1\setminus A_2=A_1\cap A_2^c\in\fa$
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\end{enumerate}
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||||
\end{enumerate}
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\begin{enumerate}
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||||
\item $\emptyset=X^c\in\fa$ (nach ($\sigma_2$)).
|
||||
\item $D:=\bigcap A_j$. $D^c=\bigcup A_j^c\in\fa$ (nach
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($\sigma_2$) und ($\sigma_3$)), also gilt auch
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||||
$D=(D^c)^c\in\fa$.
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\item \begin{enumerate}
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||||
\item $A_1\cup\cdots\cup A_n\in\fa$ folgt aus
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($\sigma_3$) mit $A_{n+j}:=\emptyset$ ($j\ge 1$).
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||||
\item $A_1\cap\cdots\cap A_n\in\fa$ folgt aus (2) mit
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$A_{n+j}:=X$ ($j\ge 1$).
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||||
\item $A_1\setminus A_2=A_1\cap A_2^c\in\fa$
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\end{enumerate}
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{beweis}
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||||
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||||
\begin{lemma}
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\label{Lemma 1.2}
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||||
Sei $\emptyset\ne\cf$ eine Menge von $\sigma$-Algebren auf $X$. Dann ist
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\[\fa_0:=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\]
|
||||
eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
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\label{Lemma 1.2}
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||||
Sei $\emptyset\ne\cf$ eine Menge von $\sigma$-Algebren auf $X$.
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||||
Dann ist
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||||
\[\fa_0:=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\]
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||||
eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
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\end{lemma}
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\begin{beweis}
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\begin{enumerate}
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||||
\item[($\sigma_1$)] $\forall\fa\in\cf:X\in\fa\implies X\in\fa_0$.
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||||
\item[($\sigma_2$)] Sei $A\in\fa_0$, dann gilt:
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||||
\begin{align*}
|
||||
\forall\fa\in\cf:A\in\fa &\implies \forall\fa\in\cf:A^c\in\fa\\
|
||||
&\implies A^c\in\fa_0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item[($\sigma_3$)] Sei $(A_j)$ eine Folge in $\fa_0$, dann ist $(A_j)$ Folge in $\fa$ für alle $\fa\in\cf$, dann gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\forall\fa\in\cf:\bigcap A_j\in\fa \implies \bigcap A_j\in\fa_0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item[($\sigma_1$)] $\forall\fa\in\cf:X\in\fa\implies X\in\fa_0$.
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||||
\item[($\sigma_2$)] Sei $A\in\fa_0$, dann gilt:
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||||
\begin{align*}
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||||
\forall\fa\in\cf:A\in\fa &\implies \forall\fa\in\cf:A^c\in\fa\\
|
||||
&\implies A^c\in\fa_0
|
||||
\end{align*}
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||||
\item[($\sigma_3$)] Sei $(A_j)$ eine Folge in $\fa_0$, dann
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||||
ist $(A_j)$ Folge in $\fa$ für alle $\fa\in\cf$, dann gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\forall\fa\in\cf:\bigcap A_j\in\fa \implies \bigcap A_j\in\fa_0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
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||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Erzeuger}
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||||
Sei $\emptyset\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$ und $\cf:=\{\fa:\fa$ ist $\sigma$-Algebra auf $X$ mit $\mathcal{E}\subseteq\fa\}$. Definiere
|
||||
\[\sigma(\mathcal{E}):=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\]
|
||||
Dann ist wegen 1.2 $\sigma(\mathcal{E})$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$. $\sigma(\mathcal{E})$ heißt die \textbf{von $\mathcal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra}. $\mathcal{E}$ heißt ein \textbf{Erzeuger} von $\sigma(\mathcal{E})$.
|
||||
\index{Erzeuger}
|
||||
Sei $\emptyset\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$ und
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||||
$\cf:=\{\fa:\fa$ ist $\sigma$-Algebra auf $X$ mit
|
||||
$\mathcal{E}\subseteq\fa\}$. Definiere
|
||||
\[\sigma(\mathcal{E}):=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\]
|
||||
Dann ist wegen 1.2 $\sigma(\mathcal{E})$ eine $\sigma$-Algebra
|
||||
auf $X$. $\sigma(\mathcal{E})$ heißt die
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||||
\textbf{von $\mathcal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra}.
|
||||
$\mathcal{E}$ heißt ein \textbf{Erzeuger} von
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
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||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{Lemma 1.3}
|
||||
Sei $\emptyset\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\mathcal{E}\subseteq\sigma(\mathcal{E})$. $\sigma(\mathcal{E})$ ist die "kleinste" $\sigma$-Algebra auf $X$, die $\mathcal{E}$ enthält.
|
||||
\item Ist $\mathcal{E}$ eine $\sigma$-Algebra, so ist $\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{E}$.
|
||||
\item Ist $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'$, so ist $\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\label{Lemma 1.3}
|
||||
Sei $\emptyset\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\mathcal{E}\subseteq\sigma(\mathcal{E})$.
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})$ ist die "`kleinste"'
|
||||
$\sigma$-Algebra auf $X$, die $\mathcal{E}$ enthält.
|
||||
\item Ist $\mathcal{E}$ eine $\sigma$-Algebra, so ist
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{E}$.
|
||||
\item Ist $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'$, so ist
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
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||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Klar nach Definition.
|
||||
\item $\fa:=\mathcal{E}$, dann gilt $\fa\subseteq\sigma(\mathcal{E})\subseteq\fa$.
|
||||
\item $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$, also folgt nach Definition $\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Klar nach Definition.
|
||||
\item $\fa:=\mathcal{E}$, dann gilt
|
||||
$\fa\subseteq\sigma(\mathcal{E})\subseteq\fa$.
|
||||
\item $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$,
|
||||
also folgt nach Definition
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $A\subseteq X$ und $\mathcal{E}:=\{A\}$. Dann ist $\sigma(\mathcal{E})=\{X,\emptyset,A,A^c\}$.
|
||||
\item $X:=\{1,2,3,4,5\}, \mathcal{E}:=\{\{1\},\{1,2\}\}$. Dann gilt:
|
||||
\[\sigma(\mathcal{E}):=\{X,\emptyset, \{1\},\{2\},\{1,2\},\{3,4,5\},\{1,3,4,5\},\{2,3,4,5\}\}\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $A\subseteq X$ und $\mathcal{E}:=\{A\}$. Dann ist
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})=\{X,\emptyset,A,A^c\}$.
|
||||
\item $X:=\{1,2,3,4,5\}, \mathcal{E}:=\{\{1\},\{1,2\}\}$.
|
||||
Dann gilt:
|
||||
\[\sigma(\mathcal{E}):=\{X,\emptyset, \{1\},\{2\},\{1,2\},\{3,4,5\},\{1,3,4,5\},\{2,3,4,5\}\}\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beispiel}
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||||
\begin{erinnerung}
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||||
\index{Offenheit}\index{Abgeschlossenheit}
|
||||
Sei $d\in\mdn, X\subseteq\mdr^d$. $A\subseteq X$ heißt \textbf{offen} (\textbf{abgeschlossen}) in $X$, genau dann wenn ein offenes (abgeschlossenes) $G\subseteq\mdr^d$ existiert mit $A=X\cap G$.\\
|
||||
Beachte: $A$ abgeschlossen in $X$ $\iff$ $X\setminus A$ offen in $X$.
|
||||
\index{Offenheit}\index{Abgeschlossenheit}
|
||||
Sei $d\in\mdn, X\subseteq\mdr^d$. $A\subseteq X$ heißt
|
||||
\textbf{offen} (\textbf{abgeschlossen}) in $X$, genau dann wenn
|
||||
ein offenes (abgeschlossenes) $G\subseteq\mdr^d$ existiert mit
|
||||
$A=X\cap G$.\\
|
||||
Beachte: $A$ abgeschlossen in $X$ $\iff$ $X\setminus A$ offen in
|
||||
$X$.
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||||
\end{erinnerung}
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||||
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||||
\begin{definition}
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||||
\index{Borel!$\sigma$-Algebra}\index{$\sigma$-!Algebra, Borelsche}
|
||||
\index{Borel!Mengen}
|
||||
Sei $X\subseteq\mdr^d$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\mathcal{O}(X):=\{A\subseteq X:A$ ist offen in $X\}$
|
||||
\item $\fb(X):=\sigma(\mathcal{O}(X))$ heißt \textbf{Borelsche $\sigma$-Algebra} auf $X$.
|
||||
\item $\fb_d:=\fb(\mdr^d)$. Die Elemente von $\fb_d$ heißen \textbf{Borelsche Mengen} oder \textbf{Borel-Mengen}.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\index{Borel!$\sigma$-Algebra}\index{$\sigma$-!Algebra, Borelsche}
|
||||
\index{Borel!Mengen}
|
||||
Sei $X\subseteq\mdr^d$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\mathcal{O}(X):=\{A\subseteq X:A$ ist offen in $X\}$
|
||||
\item $\fb(X):=\sigma(\mathcal{O}(X))$ heißt
|
||||
\textbf{Borelsche $\sigma$-Algebra} auf $X$.
|
||||
\item $\fb_d:=\fb(\mdr^d)$. Die Elemente von $\fb_d$ heißen
|
||||
\textbf{Borelsche Mengen} oder \textbf{Borel-Mengen}.
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Sei $X\subseteq\mdr^d$. Ist $A\subseteq$ offen (abgeschlossen) in $X$, so ist $A\in\fb(X)$.
|
||||
\item Ist $A\subseteq\mdr^d$ offen (abgeschlossen) so ist $A\in\fb_d$.
|
||||
\item Sei $d=1, A=\mdq$. $\mdq$ ist abzählbar, also $\mdq=\{r_1,r_2,\ldots\}$ (mit $r_i\ne r_j$ für $i\ne j$). Also ist $\mdq=\bigcup \{r_j\}$. Sei nun $r\in\mdq$, dann ist $B:=(-\infty,r)\cup(r,\infty)\in\fb_1$. Daraus folgt $\{r_j\}\in\fb_1$, also auch $\mdq\in\fb_1$.\\
|
||||
Allgemeiner lässt sich zeigen: $\mdq^d:=\{(x_1,\ldots,x_n):x_j\in\mdq (j=1,\ldots,n)\}\in\fb_d$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $X\subseteq\mdr^d$. Ist $A\subseteq$ offen
|
||||
(abgeschlossen) in $X$, so ist $A\in\fb(X)$.
|
||||
\item Ist $A\subseteq\mdr^d$ offen (abgeschlossen) so ist
|
||||
$A\in\fb_d$.
|
||||
\item Sei $d=1, A=\mdq$. $\mdq$ ist abzählbar, also
|
||||
$\mdq=\{r_1,r_2,\ldots\}$ (mit $r_i\ne r_j$ für $i\ne j$).
|
||||
Also ist $\mdq=\bigcup \{r_j\}$. Sei nun $r\in\mdq$,
|
||||
dann ist $B:=(-\infty,r)\cup(r,\infty)\in\fb_1$. Daraus
|
||||
folgt $\{r_j\}\in\fb_1$, also auch $\mdq\in\fb_1$.\\
|
||||
Allgemeiner lässt sich zeigen:
|
||||
$\mdq^d:=\{(x_1,\ldots,x_n):x_j\in\mdq (j=1,\ldots,n)\}\in\fb_d$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Intervall}
|
||||
\index{Halbraum}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Seien $I_1,\ldots,I_d$ Intervalle in $\mdr$. $I_1\times\cdots\times I_d$ heißt ein \textbf{Intervall} in $\mdr^d$.
|
||||
\item Seien $a=(a_1,\ldots,a_d), b=(b_1,\ldots,b_d)\in\mdr^d$.
|
||||
\[a\le b:\iff a_j\le b_j\quad (j=1,\ldots,d)\]
|
||||
\item Seien $a,b\in\mdr^d$ und $a\le b$.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
(a,b)&:=(a_1,b_1)\times\cdots\times(a_d,b_d)\\
|
||||
(a,b]&:=(a_1,b_1]\times\cdots\times(a_d,b_d]\\
|
||||
[a,b)&:=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_d,b_d)\\
|
||||
[a,b]&:=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_d,b_d]
|
||||
\end{align*}
|
||||
mit der Festlegung $(a,b):=(a,b]:=[a,b):=\emptyset$, falls $a_j=b_j$ für ein $j\in\{1,\ldots,d\}$.
|
||||
\item Für $k\in\{1,\ldots,d\}$ und $\alpha\in\mdr$ definiere die folgenden \textbf{Halbräume}:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
H_k^-(\alpha):=\{(x_1,\ldots,x_d)\in\mdr^d:x_k\le\alpha\}\\
|
||||
H_k^+(\alpha):=\{(x_1,\ldots,x_d)\in\mdr^d:x_k\ge\alpha\}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\index{Intervall}
|
||||
\index{Halbraum}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Seien $I_1,\ldots,I_d$ Intervalle in $\mdr$.
|
||||
$I_1\times\cdots\times I_d$ heißt ein \textbf{Intervall}
|
||||
in $\mdr^d$.
|
||||
\item Seien $a=(a_1,\ldots,a_d), b=(b_1,\ldots,b_d)\in\mdr^d$.
|
||||
\[a\le b:\iff a_j\le b_j\quad (j=1,\ldots,d)\]
|
||||
\item Seien $a,b\in\mdr^d$ und $a\le b$.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
(a,b) &:= (a_1,b_1)\times\cdots\times(a_d,b_d)\\
|
||||
(a,b] &:= (a_1,b_1]\times\cdots\times(a_d,b_d]\\
|
||||
[a,b) &:= [a_1,b_1)\times\cdots\times[a_d,b_d)\\
|
||||
[a,b] &:= [a_1,b_1]\times\cdots\times[a_d,b_d]
|
||||
\end{align*}
|
||||
mit der Festlegung $(a,b):=(a,b]:=[a,b):=\emptyset$, falls
|
||||
$a_j=b_j$ für ein $j\in\{1,\ldots,d\}$.
|
||||
\item Für $k\in\{1,\ldots,d\}$ und $\alpha\in\mdr$ definiere die
|
||||
folgenden \textbf{Halbräume}:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
H_k^-(\alpha) &:= \Set{(x_1,\ldots,x_d)\in\mdr^d:x_k\le\alpha}\\
|
||||
H_k^+(\alpha) &:= \Set{(x_1,\ldots,x_d)\in\mdr^d:x_k\ge\alpha}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Erzeuger der Borelschen $\sigma$-Algebra auf $\mdr^d$]
|
||||
|
|
@ -273,11 +316,14 @@ Entsprechendes gilt für die anderen Typen von Intervallen und Halbräumen.
|
|||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $G\in\co(\mdr^d), \fm:=\{(a,b):a,b\in\mdq^d,a\le b, (a,b)\subseteq G\}$. Dann ist $\fm$ abzählbar und $G=\bigcup_{I\in\fm}I$. also gilt:
|
||||
\[G\in\sigma(\ce_1)\implies \fb_d=\sigma(\co(\mdr^d))\subseteq\sigma(\ce_1)\]
|
||||
\item Sei $(a,b)\in\ce_1$.\\
|
||||
\textbf{Fall 1:} $(a,b)=\emptyset\in\ce_2\subseteq\sigma(\ce_2)$\\
|
||||
\textbf{Fall 2:} $(a,b)\ne\emptyset, a=(a_1\ldots,a_d), b=(b_1\ldots,b_d)$. Dann gilt für alle $j\in\{1,\ldots,d\}:a_j<b_j$, also gilt auch:
|
||||
\item Sei $G\in\co(\mdr^d), \fm:=\{(a,b):a,b\in\mdq^d,a\le b, (a,b)\subseteq G\}$.
|
||||
Dann ist $\fm$ abzählbar und $G=\bigcup_{I\in\fm}I$. Also
|
||||
gilt:
|
||||
\[G\in\sigma(\ce_1)\implies \fb_d=\sigma(\co(\mdr^d))\subseteq\sigma(\ce_1)\]
|
||||
\item Sei $(a,b)\in\ce_1$.\\
|
||||
\textbf{Fall 1:} $(a,b)=\emptyset\in\ce_2\subseteq\sigma(\ce_2)$\\
|
||||
\textbf{Fall 2:} $(a,b)\ne\emptyset, a=(a_1\ldots,a_d), b=(b_1\ldots,b_d)$.\\
|
||||
Dann gilt für alle $j\in\{1,\ldots,d\}:a_j<b_j$. Also gilt auch:
|
||||
\[\exists N\in\mdn:\forall n\ge N: \forall j\in\{1,\ldots,d\}:a_j<b_j-\frac1n\]
|
||||
Definiere $c_n:=(\frac1n,\ldots,\frac1n)\in\mdq^d$. Dann gilt:
|
||||
\[(a,b)=\bigcup_{n\ge N}(a,b-c_n]\in\sigma(\ce_2)\]
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1,3 +1,4 @@
|
|||
% Original Source: http://mitschriebwiki.nomeata.de/data/mathe.sty
|
||||
\usepackage{latexki}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
|
||||
\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
|
||||
|
|
@ -19,6 +20,9 @@
|
|||
\usepackage{mathtools}
|
||||
\usepackage{dsfont}
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\usepackage[bookmarks,bookmarksnumbered,hypertexnames=false,pdfpagelayout=OneColumn,colorlinks]{hyperref}
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\usepackage{braket} % needed for \Set
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\usepackage{ulem} %needed for uwave
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\usepackage{enumerate}
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%Seitenlayout
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\setlength{\parindent}{0pt}
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@ -1,3 +1,4 @@
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% Original Source: http://mitschriebwiki.nomeata.de/data/saetze-schmoeger.sty
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% Strukturierung
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\theoremstyle{break}
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% Kursiv find ich nicht schön:
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@ -52,3 +53,9 @@
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\newtheorem{folgerung}[satz]{Folgerung}
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\newtheorem{folgerungen}[satz]{Folgerungen}
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% Use this \importantbox{mathmode stuff} to highlight very important stuff
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\newcommand*{\boxedcolorImportant}{red}
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\makeatletter
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\newcommand{\importantbox}[1]{\textcolor{\boxedcolorImportant}{%
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\fbox{\normalcolor\m@th$\displaystyle#1$}}}
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\makeatother
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