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Digitalisieren der Vorlesung von 04.02.2014
This commit is contained in:
Martin Thoma
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63d7e27d76
commit
aa2454bb30
21 changed files with 432 additions and 3 deletions
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@ -9,6 +9,7 @@
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\acro{etc.}{et cetera}
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\acro{o. B. d. A.}{ohne Beschränkung der Allgemeinheit}
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\acro{Vor.}{Voraussetzung}
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\acro{vgl.}{vergleiche}
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\acro{z. B.}{zum Beispiel}
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\acro{zhgd.}{zusammenhängend}
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\acro{z. z.}{zu zeigen}
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@ -59,3 +59,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
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|02.02.2014 | 17:00 - 18:00 | TikZ'en von Bildern
|
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|03.02.2014 | 14:15 - 15:00 | Textsetzung
|
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|03.02.2014 | 18:35 - 19:10 | Verbesserungen
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|04.02.2014 | 09:50 - 11:40 | Digitalisieren der Vorlesung von 04.02.2014
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@ -25,4 +25,6 @@ modifiziert.
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\item[Abb. \ref{fig:ueberlappung-r1-spirale-s1}] Überlagerung von $S^1$ mit $\mdr$: \href{http://tex.stackexchange.com/users/22467/alex}{Alex}, \href{http://tex.stackexchange.com/a/149706/5645}{\path{tex.stackexchange.com/a/149706/5645}}
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||||
\item[Abb. \ref{fig:bem.14.9}] Sphärisches Dreieck: \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/User:DemonDeLuxe}{Dominique Toussaint},\\
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||||
\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Spherical_triangle_3d_opti.png}{\path{commons.wikimedia.org/wiki/File:Spherical_triangle_3d_opti.png}}
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||||
\item[Abb. \ref{fig:moebius-strip}] Möbiusband: \href{http://tex.stackexchange.com/users/2552/jake}{Jake},
|
||||
\href{http://tex.stackexchange.com/a/118573/5645}{\path{tex.stackexchange.com/a/118573/5645}}
|
||||
\end{itemize}
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Binary file not shown.
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@ -952,7 +952,7 @@ $\qed$
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\begin{figure}[htp]
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\centering
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||||
\subfloat[Trivialer Knoten]{
|
||||
\includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-unknot.png}
|
||||
\includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-unknot.png}
|
||||
\label{fig:knot-unknot}
|
||||
}%
|
||||
\subfloat[Kleeblattknoten]{
|
||||
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@ -138,3 +138,143 @@ für eine $C^\infty$-Funktion $f: \mdr^\infty \rightarrow \mdr$.\todo{Wirklich $
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|||
$T_s S = \Set{x \in \mdr^3 | \exists \text{parametrisierte Kurve } \gamma:[- \varepsilon, + \varepsilon] \rightarrow S \text{ für ein } \varepsilon > 0 \text{ mit } \gamma(0) = S \text{ und } \gamma'(0) = x}$
|
||||
\end{behauptung}
|
||||
\end{beweis}
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||||
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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||||
% Mitschrieb vom 04.02.2014 %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bemerkung 17.4
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||||
Sei $S=V(f)$ eine reguläre Fläche in $\mdr^3$, also
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||||
$f:V \rightarrow \mdr$ eine $C^\infty$-Funktion, $V \subseteq \mdr^3$
|
||||
offen, $\grad(f)(x) \neq 0$ für alle $x \in S$.
|
||||
|
||||
Dann ist $T_s S = (\grad(f)(s))^\perp$ für jedes $s \in S$.
|
||||
\end{bemerkung}
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||||
\begin{beweis}
|
||||
Sei $x \in T_s S, \gamma:[-\varepsilon, +\varepsilon] \rightarrow S$
|
||||
eine parametrisierte Kurve mit $\varepsilon > 0$ und $\gamma'(0) = s$,
|
||||
sodass $\gamma'(0) = x$ gilt. Da $\gamma(t) \in S$ für alle
|
||||
$t \in [-\varepsilon, \varepsilon]$, ist $f \circ \gamma = 0$\\
|
||||
$\Rightarrow 0 = (f \circ \gamma)'(0) = \langle \grad(f)(\gamma(0)), \gamma'(0) \rangle$\\
|
||||
$\Rightarrow T_s S \subseteq \grad (f)(s)^\perp$\\
|
||||
$\xRightarrow{\dim = 2} T_s S = (\grad(f)(s))^\perp$
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{definition}%In Vorlesung: Def+Bem 17.5
|
||||
\begin{defenum}
|
||||
\item Ein \textbf{Normalenfeld}\xindex{Normalenfeld} auf der
|
||||
Fläche $S$ ist eine Abbildung $n: S \rightarrow S^2 \subseteq \mdr^3$
|
||||
mit $n(s) \in T_s S^\perp$ für jedes $s \in S$.
|
||||
\item $S$ heißt \textbf{orientierbar}\xindex{Fläche!orientierbare},
|
||||
wenn es ein stetiges Normalenfeld auf $S$ gibt.
|
||||
\end{defenum}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
Manchmal wird zwischen einem \textit{Normalenfeld} und einem
|
||||
\textit{Einheitsnormalenfeld}\xindex{Einheitsnormalenfeld} unterschieden.
|
||||
Im folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
|
||||
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||||
\begin{bemerkung}[Eigenschaften von Normalenfeldern]
|
||||
\begin{bemenum}
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||||
\item Ein Normalenfeld auf $S$ ist genau dann stetig, wenn es
|
||||
glatt ist (also $C^\infty$).
|
||||
\item Zu jedem $s \in S$ gibt es eine Umgebung $V \subseteq \mdr^3$
|
||||
von $s$ und eine lokale Parametrisierung $F: U \rightarrow V$
|
||||
von $S$ um $s$, sodass auf $F(U) = V \cap S$
|
||||
ein stetiges Normalenfeld existiert.
|
||||
\item $S$ ist genau dann orientierbar, wenn es einen
|
||||
differenzierbaren Atlas von $S$ aus lokalen Parametrisierungen
|
||||
$F_i: U_i \rightarrow V_i,\;i \in I$ gibt, sodass
|
||||
für alle $i, j \in F$ und alle $s \in V_i \cap V_j \cap S$
|
||||
gilt:
|
||||
\[\det(\underbrace{D_s \overbrace{F_j \circ F_i^{-1}}^{V_i \rightarrow V_j}}_{\in \mdr^{3 \times 3}})\]
|
||||
\end{bemenum}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Wird hier nicht geführt.%TODO: Übung? Übungsblatt?
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||||
\end{beweis}
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||||
|
||||
\begin{beispiel}
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||||
\begin{bspenum}
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||||
\item $S = S^2$, $n_1 = \id_{S^2}$ ist stetiges Normalenfeld.\\
|
||||
$n_2 = - \id_{S^2}$ ist auch stetiges Normalenfeld.
|
||||
\item $S = \text{Möbiusband}$ (vgl. \cref{fig:moebius-strip})
|
||||
ist nicht orientierbar. Es existiert ein Normalenfeld,
|
||||
aber kein stetiges Normalenfeld.
|
||||
\end{bspenum}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[htp]\xindex{Möbiusband}
|
||||
\centering
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||||
\includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/moebius-strip.pdf}
|
||||
\caption{Möbiusband}
|
||||
\label{fig:moebius-strip}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\section{Gauß-Krümmung}
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||||
\begin{bemerkung}\label{bem:18.1}%In Vorlesung: Bemerkung 18.1
|
||||
Sei $S$ eine reguläre Fläche, $s \in S$, $n(s)$ ist ein Normalenvektor
|
||||
in $s$, $x \in T_s (S)$, $\|x\| = 1$.
|
||||
|
||||
Sei $E$ der von $x$ und $n(s)$ aufgespannte 2-dimensionale
|
||||
Untervektorraum von $\mdr^3$.
|
||||
|
||||
Dann gibt es eine Umgebung $V \subseteq \mdr^3$ von $s$, sodass
|
||||
\[C := (s + E) \cap S \cap V\]
|
||||
das Bild einer durch Bogenlänge parametrisierten Kurve
|
||||
$\gamma:[-\varepsilon, \varepsilon] \rightarrow s$ enthält mit
|
||||
$\gamma(0) = s$ und $\gamma'(0) = x$.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\enquote{Satz über implizite Funktionen}, siehe z.~B.
|
||||
\href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents/Analysis\%20II}{\path{github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents/Analysis\%20II}}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{definition}\xindex{Normalenkrümmung}%In Vorlesung: Definition 18.2
|
||||
In der Situation aus \cref{bem:18.1} heißt die Krümmung $\kappa_\gamma(0)$
|
||||
der Kurve $\gamma$ in der Ebene $(s+ E)$ im Punkt $s$ die
|
||||
\textbf{Normalenkrümmung}\footnotemark von $S$ in $s$ in Richtung
|
||||
$x = \gamma'(0)$.
|
||||
|
||||
Man scheibt: $\kappa_\gamma(0) := \kappa_{\ts{Nor}}(s, x)$
|
||||
\end{definition}
|
||||
\footnotetext{Die Krümmung ist nur bis auf das Vorzeichen bestimmt.}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}%In Vorlesung: Beispiel 18.3
|
||||
\begin{bspenum}
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||||
\item $S = S^2 = V(X^2 + Y^2 + Z^2 - 1)$ ist die Kugel um den Ursprung mit Radius~1,
|
||||
$n = \id$, $s=(0,0,1)$, $x=(1,0,0)$\\
|
||||
$\Rightarrow E = \mdr \cdot x + \mdr \cdot n(s)$ ($x,z\text{-Ebene}$)
|
||||
|
||||
$C = E \cap S$ ist Kreislinie\\
|
||||
$\kappa_{\ts{Nor}} (s, x) = \frac{1}{r} = 1$
|
||||
\item $S = V(X^2 + Z^2 - 1) \subseteq \mdr^3$ ist ein Zylinder (siehe \cref{fig:regular-zylinder}).
|
||||
$s = (1,0,0)$\\
|
||||
$x_1 = (0,1,0) \Rightarrow E_1 = \mdr \cdot e_1 + \mdr \cdot e_2$ ($x,y\text{-Ebene}$)\\
|
||||
$S \cap E_1 = V(X^2 + Y^2 - 1) \cap E$, Kreislinie in $E$\\
|
||||
$\Rightarrow \kappa_{\ts{Nor}}(s, x_1) = \pm 1$\\
|
||||
$x_2 = (0, 0, 1), E_2 = \mdr \cdot e_1 + \mdr \cdot e_3$ ($x,z\text{-Ebene}$)\\
|
||||
$V \cap E_2 \cap S = \Set{(1, 0, z) \in \mdr^3 | z \in \mdr}$ ist eine Gerade\\
|
||||
$\Rightarrow \kappa_{\ts{Nor}}(s, x_2) = 0$
|
||||
\item $S = V(X^2 - Y^2 - Z)$, $s = (0,0,0)$ (Hyperbolisches Paraboloid\xindex{Paraboloid!hyperbolisches}, siehe \cref{fig:hyperbolic-paraboloid})\\
|
||||
$x_1 = (1,0,0)$, $n(s) = (0,0,1)$\\
|
||||
$x_2 = (0, 1, 0)$\\
|
||||
$\kappa_{\ts{Nor}} (s, x_1) = 2$\\
|
||||
$\kappa_{\ts{Nor}} (s, x_2) = -2$
|
||||
\end{bspenum}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[ht]
|
||||
\centering
|
||||
\subfloat[$S = V(X^2 + Z^2 - 1)$]{
|
||||
\resizebox{0.4\linewidth}{!}{\input{figures/cylinder.tex}}
|
||||
\label{fig:regular-zylinder}
|
||||
}%
|
||||
\subfloat[$S = V(X^2 - Y^2 - Z)$]{
|
||||
\resizebox{0.4\linewidth}{!}{\input{figures/hyperbolic-paraboloid.tex}}
|
||||
\label{fig:hyperbolic-paraboloid}
|
||||
}%
|
||||
\label{fig:regular-surfaces}
|
||||
\caption{Beispiele für reguläre Flächen}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
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|||
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@ -28,7 +28,7 @@ $\triangle ABC\;\;\;$ Dreieck mit Eckpunkten $A, B, C$\\
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|||
\section*{Gruppen}
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||||
$\Homoo(X)\;\;\;$ Homöomorphismengruppe\\
|
||||
$\Iso(X)\;\;\;$ Isometriengruppe\\
|
||||
$\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe (general linear group)\\
|
||||
$\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe\footnote{von \textit{\textbf{G}eneral \textbf{L}inear Group}}\\
|
||||
$\SL_n(K)\;\;\;$ Spezielle lineare Gruppe\\
|
||||
$\PSL_n(K)\;\;\;$ Projektive lineare Gruppe\\
|
||||
$\Perm(X)\;\;\;$ Permutationsgruppe\\
|
||||
|
|
@ -51,6 +51,7 @@ $| x |\;\;\;$ Betrag von $x$\\
|
|||
$S^n\;\;\;$ Sphäre\\
|
||||
$T^n\;\;\;$ Torus\\
|
||||
|
||||
$f \circ g\;\;\;$ Verkettung von $f$ und $g$\\
|
||||
$[\gamma]\;\;\;$ Homotopieklasse eines Weges $\gamma$\\
|
||||
$\pi_X\;\;\;$ Projektion auf $X$\\
|
||||
$f|_U\;\;\;$ $f$ eingeschränkt auf $U$\\
|
||||
|
|
@ -81,7 +82,8 @@ $\pi_1(X,x)\;\;\;$ Fundamentalgruppe im topologischen Raum $X$ um $x \in X$\\
|
|||
$\Fix(f)\;\;\;$ Menge der Fixpunkte der Abbildung $f$\\
|
||||
$\|\cdot\|_2\;\;\;$ 2-Norm; Euklidische Norm\\
|
||||
$\kappa\;\;\;$ Krümmung\\
|
||||
$V(f)\;\;\;$ Vanishing set
|
||||
$\kappa_{\ts{Nor}}$
|
||||
$V(f)\;\;\;$ Nullstellenmenge von $f$\footnote{von \textit{\textbf{V}anishing Set}}
|
||||
|
||||
\index{Faser|see{Urbild}}
|
||||
\index{kongruent|see{isometrisch}}
|
||||
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|
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|||
33
documents/GeoTopo/figures/cylinder.tex
Normal file
33
documents/GeoTopo/figures/cylinder.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,33 @@
|
|||
\pgfplotsset{
|
||||
colormap={whitered}{
|
||||
color(0cm)=(white);
|
||||
color(1cm)=(orange!75!red)
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
colormap name=whitered,
|
||||
width=15cm,
|
||||
view={340}{25},
|
||||
enlargelimits=false,
|
||||
grid=major,
|
||||
domain=0:5,
|
||||
y domain=0:2*pi,
|
||||
xmin=-1.5, xmax=1.5,
|
||||
ymin=-1.5, ymax=1.5, zmin=0.0,
|
||||
samples=30, %57 : TeX capacity exceeded, sorry [main memory size=3000000].
|
||||
% see also http://tex.stackexchange.com/a/7954/5645
|
||||
xlabel=$x$,
|
||||
ylabel=$y$,
|
||||
zlabel={$z$},
|
||||
%colorbar,
|
||||
colorbar style={
|
||||
at={(-0.1,0)},
|
||||
anchor=south west,
|
||||
height=0.25*\pgfkeysvalueof{/pgfplots/parent axis height},
|
||||
title={$f(x,y)$}
|
||||
}
|
||||
]
|
||||
\addplot3 [surf,z buffer=sort] ({cos(deg(y))},{sin(deg(y))},{x});
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
31
documents/GeoTopo/figures/hyperbolic-paraboloid.tex
Normal file
31
documents/GeoTopo/figures/hyperbolic-paraboloid.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,31 @@
|
|||
\pgfplotsset{
|
||||
colormap={whitered}{
|
||||
color(0cm)=(white);
|
||||
color(1cm)=(orange!75!red)
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
colormap name=whitered,
|
||||
width=15cm,
|
||||
view={340}{25},
|
||||
enlargelimits=false,
|
||||
grid=major,
|
||||
domain=-2:2,
|
||||
y domain=-2:2,
|
||||
samples=40, %57 : TeX capacity exceeded, sorry [main memory size=3000000].
|
||||
% see also http://tex.stackexchange.com/a/7954/5645
|
||||
xlabel=$x$,
|
||||
ylabel=$y$,
|
||||
zlabel={$z$},
|
||||
colorbar,
|
||||
colorbar style={
|
||||
at={(-0.1,0)},
|
||||
anchor=south west,
|
||||
height=0.25*\pgfkeysvalueof{/pgfplots/parent axis height},
|
||||
title={$f(x,y)$}
|
||||
}
|
||||
]
|
||||
\addplot3[surf,draw=black] {x^2-y^2};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
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