tex-projects/LaTeX-examples
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cheat-sheets/analysis/Analysis_Wichtige_Formeln.tex
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@ -45,10 +45,10 @@
\centering
\begin{align*}
\cosh x = \frac {1}{2} (e^x + e^{-x}) &= \scriptstyle \sum_{n = 0}^{\infty} \frac {x^{2n}}{(2n)!} \\
\cosh x = \frac {1}{2} (e^x + e^{-x}) &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac {x^{2n}}{(2n)!} \\
\sinh x = \frac {1}{2} (e^x - e^{-x}) &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac {x^{2n + 1}}{(2n + 1)!} \\
e^x &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac {x^n}{n!} \\
\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \frac {x^{n + 1}}{n + 1} &= \log (1+x) (x \in (-1,1)) \\
e^x &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac {x^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \left (1+\frac{x}{n} \right )^n\\
\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \frac {x^{n + 1}}{n + 1} &= \log (1+x) \; x \in (-1,1) \\
\sum_{n = 0}^{\infty} x^n &= \frac {1}{1 - x} (x \in (-1,1)) \\
0,\bar{3} &= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac {3}{(10)^n}
\end{align*}

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documents/Analysis I/Analysis-I.tex
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@ -745,7 +745,7 @@ Fall 2: $c<1 \folgt \frac{1}{c} > 1 \folgtnach{Fall 1} \underbrace{\sqrt[n]{\fra
\begin{satz}[Satz und Definition von $e$]
$$a_n := (1+\frac{1}{n})^n \ (n\in\MdN);\ b_n := \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot3}+ \ldots + \frac{1}{n!}\ (n\in\MdN_0)$$
$(a_n)$ und $(b_n)$ sind konvergent und es gilt $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n$.\\
\textbf{Definition:} $e := \displaystyle\lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n$ heißt eulersche Zahl. ($2<e<3$, $e\approx 2,718$)
\textbf{Definition:} $e := \displaystyle\lim_{n\to\infty} \left (1+\frac{1}{n} \right )^n$ heißt eulersche Zahl. ($2<e<3$, $e\approx 2,718$)
\end{satz}
\begin{beweis}

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documents/Analysis II/Analysis-II.tex
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@ -2709,7 +2709,7 @@ Dann existiert ein Intervall $I_{x_0}$ mit $x_0\in I_{x_0}\subseteq I$ und:
\item Das AwP (ii) hat eine Lösung $y:I_{x_0}\to\MdR$.
\item Die Lösung aus (1) erhält man durch Auflösen der folgenden Gleichung nach $y(x)$.
\begin{align*}
\int_{y_0}^{y(x)}\frac 1{g(t)}\text{ d}t=\int_{x_0}^x f(t)\text{ d}t\tag{$*$}
\importantbox{\int_{y_0}^{y(x)}\frac 1{g(t)}\text{ d}t=\int_{x_0}^x f(t)\text{ d}t\tag{$*$}}
\end{align*}
\item Sei $U\subseteq I$ ein Intervall und $u:U\to\MdR$ eine Lösung des AwPs (ii),
so ist $U\subseteq I_{x_0}$ und $u=y$ auf $U$ (wobei $y$ die Lösung aus (1) ist).\\