Jede MF ist mindestens so mächtig wie der R^n

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -406,7 +406,8 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
         \item Ist $X$ diskreter topologischer Raum, so ist $f:X \rightarrow Y$
               stetig für jeden topologischen Raum $Y$ und jede Abbildung $f$.
         \item Sei $X = [0, 1), Y = S^1 = \Set{z \in \mdc | \|z\| = 1}$
-              und $f(t) = e^{2 \pi i t}$
+              und $f(t) = e^{2 \pi i t}$.
+
               \begin{figure}[htp]
                 \centering
                 \input{figures/topology-continuous-mapping}
@@ -414,6 +415,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
                          Umkehrabbildung $g$ nicht stetig ist.}
                 \label{fig:nicht-stetige-umkehrabbildung}
               \end{figure}
+              
               Die Umkehrabbildung $g$ ist nicht stetig, da $g^{-1}(U)$
               nicht offen ist (vgl. \cref{fig:nicht-stetige-umkehrabbildung}).
     \end{bspenum}

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -22,6 +22,25 @@
 
 Anschaulich ist also ein $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit lokal dem $\mdr^n$ ähnlich.
 
+\begin{bemerkung}
+    Jede Mannigfaltigkeit ist mindestens so mächtig wie $\mdr$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{beweis}
+    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $(U, \varphi)$ mit $U \in \fT$ 
+    und $\varphi:U \rightarrow V \subseteq \mdr^n$,
+    wobei $V$ offen und $\varphi$ ein Homöomorphismus ist, eine Karte auf $X$.
+
+    Es gilt:
+    \begin{itemize}
+        \item Jede offene Teilmenge des $\mdr^n$ ist genauso mächtig wie der $\mdr^n$.
+        \item Als Homöomorphismus muss $\varphi$ insbesondere bijektiv sein.
+        \item Mengen, zwischen denen eine Bijektion existiert, sind gleich mächtig.
+        \item[$\Rightarrow$] $U$ ist genauso mächtig wie der $\mdr^n$
+        \item[$\Rightarrow$] $X$ ist mindestens so mächtig wie der $\mdr^n \qed$
+    \end{itemize}
+\end{beweis}
+
 \begin{bemerkung}
     \begin{bemenum}
         \item Es gibt surjektive, stetige Abbildungen $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -560,6 +560,22 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
     $f$ heißt \textbf{offen} $:\gdw \forall U \in \fT_X: f(U) \in \fT_Y$.
 \end{definition}
 
+\begin{beispiel}[Offene und stetige Abbildungen]
+    Sei $X$ ein topologischer Raum und seien
+    $f_i: \mdr \rightarrow \mdr$ mit $i \in \Set{1,2,3}$ und
+    $g: \mdr \rightarrow S^1 = \Set{z \in \mdc | \|z\| = 1}$ Abbildungen.
+    \begin{bspenum}
+        \item $f_1 := \id_\mdr$ ist eine offene und stetige Abbildung.
+        \item $g(x) := e^{2 \pi \iu x}$ ist eine offene, aber keine stetige Abbildung (vgl. \cref{fig:nicht-stetige-umkehrabbildung}).
+        \item $f_2(x) := 42$ ist eine stetige, aber keine offene Abbildung.
+        \item $f_3(x) := \begin{cases}
+                0  &\text{falls } x \in \mdq\\
+                42 &\text{falls } x \in \mdr \setminus \mdq
+        \end{cases}$\\
+        ist weder stetig noch offen.
+    \end{bspenum}
+\end{beispiel}
+
 \begin{bemerkung}\label{bem:12.2} % Bemerkung 12.2 der Vorlesung
     Überlagerungen sind offene Abbildungen.
 \end{bemerkung}