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115
documents/GeoTopo/Kapitel4.tex
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@ -95,7 +95,7 @@ aufgestellt.
\item \enquote{$\subseteq$} folgt direkt aus der Definition von $PR^+$ und $PR^-$\\
\enquote{$\supseteq$}: Sei $Q \in PR \Rightarrow P, Q, R$
sind kollinear.\\
$\stackrel{\ref{axiom:2}}{\Rightarrow}
$\overset{\ref{axiom:2}}{\Rightarrow}
\begin{cases}
Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \Rightarrow Q \in PR\\
R \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q \Rightarrow Q \in PR\\
@ -123,14 +123,19 @@ aufgestellt.
\begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=3]
\item \textbf{Anordnungsaxiome}\label{axiom:3}
\begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=§\theenumi{} (\roman*)]
\item Zu jedem $P \in X$ jeder Halbgerade $H$ mit \label{axiom:3.1}
Anfangspunkt $P$ und jedem $r \in \mdr_{\geq 0}$
gibt es genau ein $Q \in H$ mit $d(P,Q) = r$.
\item Jede Gerade zerlegt $X \setminus g = H_1 \dcup H_2$
in zwei nichtleere Teilmengen $H_1, H_2$.
(Diese Teilmengen heißen \textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl. $g$),
sodass für alle $A \in H_i$, $B \in H_j$
$(i,j \in \Set{1,2})$ gilt: $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\label{axiom:3.2}
\item \label{axiom:3.1} Zu jedem $P \in X$ jeder
Halbgerade $H$ mit Anfangspunkt $P$ und jedem
$r \in \mdr_{\geq 0}$ gibt es genau ein
$Q \in H$ mit $d(P,Q) = r$.
\item \label{axiom:3.2} Jede Gerade zerlegt
$X \setminus g = H_1 \dcup H_2$ in zwei
nichtleere Teilmengen $H_1, H_2$,
sodass für alle $A \in H_i$, $B \in H_j$ mit
$i,j \in \Set{1,2}$ gilt:
$\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$.\\
Diese Teilmengen $H_i$ heißen
\textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl.
$g$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Bewegungsaxiome}: Zu $P, Q, P', Q' \in X$\label{axiom:4}
mit $d(P,Q) = d(P', Q')$. Isometrien $\varphi_1, \varphi_2$
@ -147,7 +152,6 @@ aufgestellt.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 14.01.2014 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{satz}[Satz von Rasch]\label{satz:rasch} %In Vorlesung: Bemerkung 14.5
Seien $P$, $Q$, $R$ nicht kollinear, $g \in G$ mit $g \cap \Set{P, Q, R} = \emptyset$
und $g \cap \overline{PQ} \neq \emptyset$.
@ -156,14 +160,58 @@ aufgestellt.
$g \cap \overline{QR} \neq \emptyset$.
\end{satz}
Dieser Satz besagt, dass Geraden, die eine Seite eines Dreiecks
(also nicht nur eine Ecke) schneiden, auch eine weitere Seite
scheiden.
\begin{beweis}
$g \cap \overline{PQ} \neq \emptyset \stackrel{\ref{axiom:3.2}}{\Rightarrow}$
$P$ und $Q$ liegen in verschiedenen Halbebenen bzgl. $g$
$g \cap \overline{PQ} \neq \emptyset$\\
$\overset{\mathclap{\ref{axiom:3.2}}}{\Rightarrow} P$ und $Q$ liegen in verschiedenen Halbebenen bzgl. $g$\\
$\Rightarrow$ \obda $R$ und $P$ liegen in verschieden
Halbebenen bzgl. $P$.
Halbebenen bzgl. $P$\todo{bzgl. P? Nicht PQ?}\\
$\Rightarrow g \cap \overline{RP} \neq \emptyset$
\end{beweis}
\begin{korollar}\label{kor:beh3}
Sei $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ sowie $A, B \in X \setminus PQ$
mit $A \neq B$.
Außerdem seien $A$ und $B$ in der selben Halbebene bzgl. $PQ$ sowie
$Q$ und $B$ in der selben Halbenebe bzgl. $PA$.
Dann gilt: $PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$
\end{korollar}
\begin{figure}[htp]
\centering
\input{figures/geometry-5.tex}
\caption{Situation aus \cref{kor:beh3}}
\label{fig:bild-5}
\end{figure}
Auch \cref{kor:beh3} lässt sich Umgangssprachlich sehr viel
einfacher ausdrücken: Die Diagonalen eines konvexen Vierecks
schneiden sich.
\begin{beweis}%In Vorlesung: Behauptung 3
Sei $P' \in PQ^-, P' \neq P$
$\overset{\cref{satz:rasch}}{\Rightarrow} PB$ schneidet
$\overline{AP'} \cup \overline{AQ}$
Sei $C$ der Schnittpunkt. Dann gilt:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $C \in PB^+$, denn $A$ und $B$ liegen in derselben
Halbebene bzgl. $PQ = P'Q$, also auch
$\overline{AP'}$ und $\overline{AQ}$.
\item $C$ liegt in derselben Halbebene bzgl. $PA$ wie
$B$, weil das für $Q$ gilt.
$\overline{AP'}$ liegt in der anderen Halbebene
bzgl. $PA \Rightarrow C \notin \overline{P'A} \Rightarrow C \in \overline{AQ}$
\end{enumerate}
Da $C \in PB^+$ und $C \in \overline{AQ}$ folgt nun direkt:
$\emptyset \neq \Set{C} \subseteq PB^+ \cap \overline{AQ} \qed$
\end{beweis}
\begin{proposition}%In Vorlesung: Satz 14.4
In einer Geometrie, die \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:3} erfüllt,
gibt es zu $P, P', Q, Q'$ mit $d(P, Q) = d(P', Q')$ höchstens
@ -191,21 +239,21 @@ aufgestellt.
\end{behauptung}
Aus Beh. 1 und Beh. 2 folgt, dass $\varphi_2^{-1} \circ \varphi_1 = \id_X$,
also $\varphi_2 = \varphi_1$.
also $\varphi_2 = \varphi_1$.\todo{Wieso?}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{behauptung}
Sind $P \neq Q$ Fixpunkte einer Isometrie, so ist
$\varphi(R) = R$ für jedes $R \in PQ$.
\end{behauptung}
\begin{beweis}[zu Beh. 2]
\begin{beweis}[von Beh. 2 mit Beh. 2']
Seien $P$, $Q$ und $R$ Fixpunkte von $\varphi$, $R \in PG$
und $A \notin \overline{PQ} \cup \overline{PR} \cup \overline{QR}$.
Sei $B \in \overline{PQ} \setminus \Set{P, Q}$. Dann ist
$\varphi(B) = B$ wegen Beh.~2'.
Ist $R \in AB$, so enthält $AB$ 2 Fixpunkte von $\varphi$
$\stackrel{Beh.~2'}{\Rightarrow} \varphi(A) = A$.
$\overset{Beh.~2'}{\Rightarrow} \varphi(A) = A$.
\begin{figure}[htp]
\centering
@ -220,7 +268,7 @@ aufgestellt.
nach Beh.~2' $\Rightarrow \varphi(A) = A$.
\end{beweis}
\begin{beweis}[Beweis 1]
\begin{beweis}[von Beh. 1 mit \cref{kor:14.6}]
Sei $R \in X \setminus PQ$. Von den drei Punkten
$\varphi_1(R), \varphi_2(R), \varphi_3(R)$ liegen zwei
in der selben Halbebene bzgl. $P'Q' = \varphi_i(PQ)$.
@ -246,6 +294,8 @@ aufgestellt.
\end{figure}
\end{beweis}
\Cref{fig:bild-2} beschreibt die Situation in \cref{kor:14.6}:
\begin{korollar}\label{kor:14.6}%In Vorlesung: Bemerkung 14.6
Seien $P, Q \in X$, $P \neq Q$, $A, B \in X \setminus PQ$
in der selben Halbebene bzgl. $PQ$ mit $d(A, P) = d(B, P)$
@ -259,10 +309,8 @@ aufgestellt.
Dann ist $B \notin (PA \cup QA)$ wegen \ref{axiom:2}.
\underline{1. Fall}: $Q$ und $B$ liegen in derselben Halbebene bzgl. $PA$
\begin{behauptung}[Beh. 3]
Dann ist $PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$
\end{behauptung}
$\overset{\cref{kor:beh3}}{\Rightarrow} PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$.
\begin{figure}[htp]
\centering
\input{figures/geometry-3.tex}
@ -270,7 +318,7 @@ aufgestellt.
\label{fig:bild-3}
\end{figure}
Sei $C$ der Schnittpunkt.
Sei $C$ der Schnittpunkt vom $PB$ und $AQ$.
Dann gilt:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
@ -301,31 +349,6 @@ aufgestellt.
Tausche $A$ und $B \Rightarrow$ Fall 1
\end{beweis}
\begin{beweis}[Beweis 3]
\begin{figure}[htp]
\centering
\input{figures/geometry-5.tex}
\caption{TODO}
\label{fig:bild-5}
\end{figure}
Sei $P' \in PQ^-, P' \neq P$
$\stackrel{\cref{satz:rasch}}{\Rightarrow} PB$ schneidet
$\overline{AP'} \cup \overline{AQ}$
Sei $C$ der Schnittpunkt. Dann gilt:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $C \in PB^+$, denn $A$ und $B$ liegen in derselben
Halbebene bzgl. $PQ = P'Q$, also auch
$\overline{AP'}$ und $\overline{AQ}$.
\item $C$ liegt in derselben Halbebene bzgl. $PA$ wie
$B$, weil das für $Q$ gilt.
$\overline{AP'}$ liegt in der anderen Halbebene
bzgl. $PA \Rightarrow C \notin \overline{P'A} \Rightarrow C \in \overline{AQ}$
\end{enumerate}
\end{beweis}
\end{beweis}
\end{beweis}

12
documents/GeoTopo/figures/geometry-3.tex
View file

@ -1,17 +1,19 @@
\begin{tikzpicture}
\tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black]
\tkzSetUpLine[line width=1]
\tkzDefPoints{0/0/P, 4/0/Q, 1/0.5/B, 1/2/H}
\tkzInterLL(P,B)(Q,H) \tkzGetPoint{C}
\tkzDefPoints{0/0/P, 4/0/Q, 1/0.5/B, 1/2/A}
\tkzInterLL(P,B)(Q,A) \tkzGetPoint{C}
\tkzDrawLine(P,H)
\tkzDrawLine(Q,H)
\tkzDrawLine(P,A)
\tkzDrawLine(Q,A)
\tkzDrawLine(P,Q)
\tkzDrawLine[add=0 and 0.5](P,C)
\tkzDrawSegments(B,Q)
\tkzDrawPoints(P,Q,B,C)
\tkzDrawPoints(P,Q,B,C,A)
\tkzLabelPoint[below](P){$P$}
\tkzLabelPoint[below](Q){$Q$}
\tkzLabelPoint[below](B){$B$}
\tkzLabelPoint[below](C){$C$}
\tkzLabelPoint[below](A){$A$}
\end{tikzpicture}

8
documents/GeoTopo/figures/geometry-5.tex
View file

@ -2,19 +2,17 @@
\begin{tikzpicture}
\tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black]
\tkzSetUpLine[line width=1]
\tkzDefPoints{0/0/P, 4/1/Q, 2/3/A, 5/3/B}
\tkzDefPoints{0/0/P, 4/1/Q, 2/3/A, 5/3/B, -0.6/-0.15/Pstrich}
\tkzInterLL(P,B)(A,Q) \tkzGetPoint{C}
\tkzDrawPoints(P,Q,A,B,C)
\tkzDrawPoints(P,Q,A,B,C,Pstrich)
%\tkzDrawSegments(P,Q Q,A A,P)
%\tkzDrawSegments[dashed](P,B B,Q)
\tkzDrawLine(P,Q)
\tkzDrawLine(P,A)
\tkzDrawLine(A,Q)
\tkzDrawLine(P,B)
\tkzLabelPoint[below](P){$P$}
\tkzLabelPoint[above](Pstrich){$P'$}
\tkzLabelPoint[below](Q){$Q$}
\tkzLabelPoint[below](A){$A$}
\tkzLabelPoint[below](B){$B$}

12
tikz/geometry-3/geometry-3.tex
View file

@ -6,18 +6,20 @@
\begin{tikzpicture}
\tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black]
\tkzSetUpLine[line width=1]
\tkzDefPoints{0/0/P, 4/0/Q, 1/0.5/B, 1/2/H}
\tkzInterLL(P,B)(Q,H) \tkzGetPoint{C}
\tkzDefPoints{0/0/P, 4/0/Q, 1/0.5/B, 1/2/A}
\tkzInterLL(P,B)(Q,A) \tkzGetPoint{C}
\tkzDrawLine(P,H)
\tkzDrawLine(Q,H)
\tkzDrawLine(P,A)
\tkzDrawLine(Q,A)
\tkzDrawLine(P,Q)
\tkzDrawLine[add=0 and 0.5](P,C)
\tkzDrawSegments(B,Q)
\tkzDrawPoints(P,Q,B,C)
\tkzDrawPoints(P,Q,B,C,A)
\tkzLabelPoint[below](P){$P$}
\tkzLabelPoint[below](Q){$Q$}
\tkzLabelPoint[below](B){$B$}
\tkzLabelPoint[below](C){$C$}
\tkzLabelPoint[below](A){$A$}
\end{tikzpicture}
\end{document}

5
tikz/geometry-5/geometry-5.tex
View file

@ -6,9 +6,9 @@
\begin{tikzpicture}
\tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black]
\tkzSetUpLine[line width=1]
\tkzDefPoints{0/0/P, 4/1/Q, 2/3/A, 5/3/B}
\tkzDefPoints{0/0/P, 4/1/Q, 2/3/A, 5/3/B, -0.6/-0.15/Pstrich}
\tkzInterLL(P,B)(A,Q) \tkzGetPoint{C}
\tkzDrawPoints(P,Q,A,B,C)
\tkzDrawPoints(P,Q,A,B,C,Pstrich)
\tkzDrawLine(P,Q)
\tkzDrawLine(P,A)
@ -16,6 +16,7 @@
\tkzDrawLine(P,B)
\tkzLabelPoint[below](P){$P$}
\tkzLabelPoint[above](Pstrich){$P'$}
\tkzLabelPoint[below](Q){$Q$}
\tkzLabelPoint[below](A){$A$}
\tkzLabelPoint[below](B){$B$}