diff --git a/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf b/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf index df42fcc..d29ab50 100644 Binary files a/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf and b/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf differ diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex index 75e9f5c..151922c 100644 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex +++ b/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex @@ -95,7 +95,7 @@ aufgestellt. \item \enquote{$\subseteq$} folgt direkt aus der Definition von $PR^+$ und $PR^-$\\ \enquote{$\supseteq$}: Sei $Q \in PR \Rightarrow P, Q, R$ sind kollinear.\\ - $\stackrel{\ref{axiom:2}}{\Rightarrow} + $\overset{\ref{axiom:2}}{\Rightarrow} \begin{cases} Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \Rightarrow Q \in PR\\ R \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q \Rightarrow Q \in PR\\ @@ -123,14 +123,19 @@ aufgestellt. \begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=3] \item \textbf{Anordnungsaxiome}\label{axiom:3} \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=§\theenumi{} (\roman*)] - \item Zu jedem $P \in X$ jeder Halbgerade $H$ mit \label{axiom:3.1} - Anfangspunkt $P$ und jedem $r \in \mdr_{\geq 0}$ - gibt es genau ein $Q \in H$ mit $d(P,Q) = r$. - \item Jede Gerade zerlegt $X \setminus g = H_1 \dcup H_2$ - in zwei nichtleere Teilmengen $H_1, H_2$. - (Diese Teilmengen heißen \textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl. $g$), - sodass für alle $A \in H_i$, $B \in H_j$ - $(i,j \in \Set{1,2})$ gilt: $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\label{axiom:3.2} + \item \label{axiom:3.1} Zu jedem $P \in X$ jeder + Halbgerade $H$ mit Anfangspunkt $P$ und jedem + $r \in \mdr_{\geq 0}$ gibt es genau ein + $Q \in H$ mit $d(P,Q) = r$. + \item \label{axiom:3.2} Jede Gerade zerlegt + $X \setminus g = H_1 \dcup H_2$ in zwei + nichtleere Teilmengen $H_1, H_2$, + sodass für alle $A \in H_i$, $B \in H_j$ mit + $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: + $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$.\\ + Diese Teilmengen $H_i$ heißen + \textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl. + $g$. \end{enumerate} \item \textbf{Bewegungsaxiome}: Zu $P, Q, P', Q' \in X$\label{axiom:4} mit $d(P,Q) = d(P', Q')$. Isometrien $\varphi_1, \varphi_2$ @@ -147,7 +152,6 @@ aufgestellt. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mitschrieb vom 14.01.2014 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - \begin{satz}[Satz von Rasch]\label{satz:rasch} %In Vorlesung: Bemerkung 14.5 Seien $P$, $Q$, $R$ nicht kollinear, $g \in G$ mit $g \cap \Set{P, Q, R} = \emptyset$ und $g \cap \overline{PQ} \neq \emptyset$. @@ -156,14 +160,58 @@ aufgestellt. $g \cap \overline{QR} \neq \emptyset$. \end{satz} +Dieser Satz besagt, dass Geraden, die eine Seite eines Dreiecks +(also nicht nur eine Ecke) schneiden, auch eine weitere Seite +scheiden. + \begin{beweis} - $g \cap \overline{PQ} \neq \emptyset \stackrel{\ref{axiom:3.2}}{\Rightarrow}$ - $P$ und $Q$ liegen in verschiedenen Halbebenen bzgl. $g$ + $g \cap \overline{PQ} \neq \emptyset$\\ + $\overset{\mathclap{\ref{axiom:3.2}}}{\Rightarrow} P$ und $Q$ liegen in verschiedenen Halbebenen bzgl. $g$\\ $\Rightarrow$ \obda $R$ und $P$ liegen in verschieden - Halbebenen bzgl. $P$. + Halbebenen bzgl. $P$\todo{bzgl. P? Nicht PQ?}\\ $\Rightarrow g \cap \overline{RP} \neq \emptyset$ \end{beweis} +\begin{korollar}\label{kor:beh3} + Sei $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ sowie $A, B \in X \setminus PQ$ + mit $A \neq B$. + Außerdem seien $A$ und $B$ in der selben Halbebene bzgl. $PQ$ sowie + $Q$ und $B$ in der selben Halbenebe bzgl. $PA$. + + Dann gilt: $PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$ +\end{korollar} + +\begin{figure}[htp] + \centering + \input{figures/geometry-5.tex} + \caption{Situation aus \cref{kor:beh3}} + \label{fig:bild-5} +\end{figure} + +Auch \cref{kor:beh3} lässt sich Umgangssprachlich sehr viel +einfacher ausdrücken: Die Diagonalen eines konvexen Vierecks +schneiden sich. + +\begin{beweis}%In Vorlesung: Behauptung 3 + Sei $P' \in PQ^-, P' \neq P$ + $\overset{\cref{satz:rasch}}{\Rightarrow} PB$ schneidet + $\overline{AP'} \cup \overline{AQ}$ + + Sei $C$ der Schnittpunkt. Dann gilt: + \begin{enumerate}[label=(\roman*)] + \item $C \in PB^+$, denn $A$ und $B$ liegen in derselben + Halbebene bzgl. $PQ = P'Q$, also auch + $\overline{AP'}$ und $\overline{AQ}$. + \item $C$ liegt in derselben Halbebene bzgl. $PA$ wie + $B$, weil das für $Q$ gilt. + + $\overline{AP'}$ liegt in der anderen Halbebene + bzgl. $PA \Rightarrow C \notin \overline{P'A} \Rightarrow C \in \overline{AQ}$ + \end{enumerate} + Da $C \in PB^+$ und $C \in \overline{AQ}$ folgt nun direkt: + $\emptyset \neq \Set{C} \subseteq PB^+ \cap \overline{AQ} \qed$ +\end{beweis} + \begin{proposition}%In Vorlesung: Satz 14.4 In einer Geometrie, die \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:3} erfüllt, gibt es zu $P, P', Q, Q'$ mit $d(P, Q) = d(P', Q')$ höchstens @@ -191,21 +239,21 @@ aufgestellt. \end{behauptung} Aus Beh. 1 und Beh. 2 folgt, dass $\varphi_2^{-1} \circ \varphi_1 = \id_X$, - also $\varphi_2 = \varphi_1$. + also $\varphi_2 = \varphi_1$.\todo{Wieso?} \begin{beweis}\leavevmode \begin{behauptung} Sind $P \neq Q$ Fixpunkte einer Isometrie, so ist $\varphi(R) = R$ für jedes $R \in PQ$. \end{behauptung} - \begin{beweis}[zu Beh. 2] + \begin{beweis}[von Beh. 2 mit Beh. 2'] Seien $P$, $Q$ und $R$ Fixpunkte von $\varphi$, $R \in PG$ und $A \notin \overline{PQ} \cup \overline{PR} \cup \overline{QR}$. Sei $B \in \overline{PQ} \setminus \Set{P, Q}$. Dann ist $\varphi(B) = B$ wegen Beh.~2'. Ist $R \in AB$, so enthält $AB$ 2 Fixpunkte von $\varphi$ - $\stackrel{Beh.~2'}{\Rightarrow} \varphi(A) = A$. + $\overset{Beh.~2'}{\Rightarrow} \varphi(A) = A$. \begin{figure}[htp] \centering @@ -220,7 +268,7 @@ aufgestellt. nach Beh.~2' $\Rightarrow \varphi(A) = A$. \end{beweis} - \begin{beweis}[Beweis 1] + \begin{beweis}[von Beh. 1 mit \cref{kor:14.6}] Sei $R \in X \setminus PQ$. Von den drei Punkten $\varphi_1(R), \varphi_2(R), \varphi_3(R)$ liegen zwei in der selben Halbebene bzgl. $P'Q' = \varphi_i(PQ)$. @@ -246,6 +294,8 @@ aufgestellt. \end{figure} \end{beweis} + \Cref{fig:bild-2} beschreibt die Situation in \cref{kor:14.6}: + \begin{korollar}\label{kor:14.6}%In Vorlesung: Bemerkung 14.6 Seien $P, Q \in X$, $P \neq Q$, $A, B \in X \setminus PQ$ in der selben Halbebene bzgl. $PQ$ mit $d(A, P) = d(B, P)$ @@ -259,10 +309,8 @@ aufgestellt. Dann ist $B \notin (PA \cup QA)$ wegen \ref{axiom:2}. \underline{1. Fall}: $Q$ und $B$ liegen in derselben Halbebene bzgl. $PA$ - \begin{behauptung}[Beh. 3] - Dann ist $PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$ - \end{behauptung} + $\overset{\cref{kor:beh3}}{\Rightarrow} PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$. \begin{figure}[htp] \centering \input{figures/geometry-3.tex} @@ -270,7 +318,7 @@ aufgestellt. \label{fig:bild-3} \end{figure} - Sei $C$ der Schnittpunkt. + Sei $C$ der Schnittpunkt vom $PB$ und $AQ$. Dann gilt: \begin{enumerate}[label=(\roman*)] @@ -301,31 +349,6 @@ aufgestellt. Tausche $A$ und $B \Rightarrow$ Fall 1 \end{beweis} - - \begin{beweis}[Beweis 3] - \begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/geometry-5.tex} - \caption{TODO} - \label{fig:bild-5} - \end{figure} - - Sei $P' \in PQ^-, P' \neq P$ - $\stackrel{\cref{satz:rasch}}{\Rightarrow} PB$ schneidet - $\overline{AP'} \cup \overline{AQ}$ - - Sei $C$ der Schnittpunkt. Dann gilt: - \begin{enumerate}[label=(\roman*)] - \item $C \in PB^+$, denn $A$ und $B$ liegen in derselben - Halbebene bzgl. $PQ = P'Q$, also auch - $\overline{AP'}$ und $\overline{AQ}$. - \item $C$ liegt in derselben Halbebene bzgl. $PA$ wie - $B$, weil das für $Q$ gilt. - - $\overline{AP'}$ liegt in der anderen Halbebene - bzgl. $PA \Rightarrow C \notin \overline{P'A} \Rightarrow C \in \overline{AQ}$ - \end{enumerate} - \end{beweis} \end{beweis} \end{beweis} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/geometry-3.tex b/documents/GeoTopo/figures/geometry-3.tex index 8c8e9ec..05f81e9 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/geometry-3.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/geometry-3.tex @@ -1,17 +1,19 @@ \begin{tikzpicture} \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/P, 4/0/Q, 1/0.5/B, 1/2/H} - \tkzInterLL(P,B)(Q,H) \tkzGetPoint{C} + \tkzDefPoints{0/0/P, 4/0/Q, 1/0.5/B, 1/2/A} + \tkzInterLL(P,B)(Q,A) \tkzGetPoint{C} - \tkzDrawLine(P,H) - \tkzDrawLine(Q,H) + \tkzDrawLine(P,A) + \tkzDrawLine(Q,A) \tkzDrawLine(P,Q) \tkzDrawLine[add=0 and 0.5](P,C) + \tkzDrawSegments(B,Q) - \tkzDrawPoints(P,Q,B,C) + \tkzDrawPoints(P,Q,B,C,A) \tkzLabelPoint[below](P){$P$} \tkzLabelPoint[below](Q){$Q$} \tkzLabelPoint[below](B){$B$} \tkzLabelPoint[below](C){$C$} + \tkzLabelPoint[below](A){$A$} \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/geometry-5.tex b/documents/GeoTopo/figures/geometry-5.tex index 64b6558..d915ae6 100644 --- a/documents/GeoTopo/figures/geometry-5.tex +++ b/documents/GeoTopo/figures/geometry-5.tex @@ -2,19 +2,17 @@ \begin{tikzpicture} \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/P, 4/1/Q, 2/3/A, 5/3/B} + \tkzDefPoints{0/0/P, 4/1/Q, 2/3/A, 5/3/B, -0.6/-0.15/Pstrich} \tkzInterLL(P,B)(A,Q) \tkzGetPoint{C} - \tkzDrawPoints(P,Q,A,B,C) + \tkzDrawPoints(P,Q,A,B,C,Pstrich) - %\tkzDrawSegments(P,Q Q,A A,P) - %\tkzDrawSegments[dashed](P,B B,Q) \tkzDrawLine(P,Q) \tkzDrawLine(P,A) \tkzDrawLine(A,Q) \tkzDrawLine(P,B) - \tkzLabelPoint[below](P){$P$} + \tkzLabelPoint[above](Pstrich){$P'$} \tkzLabelPoint[below](Q){$Q$} \tkzLabelPoint[below](A){$A$} \tkzLabelPoint[below](B){$B$} diff --git a/tikz/geometry-3/geometry-3.tex b/tikz/geometry-3/geometry-3.tex index 03d4873..c34856f 100644 --- a/tikz/geometry-3/geometry-3.tex +++ b/tikz/geometry-3/geometry-3.tex @@ -6,18 +6,20 @@ \begin{tikzpicture} \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/P, 4/0/Q, 1/0.5/B, 1/2/H} - \tkzInterLL(P,B)(Q,H) \tkzGetPoint{C} + \tkzDefPoints{0/0/P, 4/0/Q, 1/0.5/B, 1/2/A} + \tkzInterLL(P,B)(Q,A) \tkzGetPoint{C} - \tkzDrawLine(P,H) - \tkzDrawLine(Q,H) + \tkzDrawLine(P,A) + \tkzDrawLine(Q,A) \tkzDrawLine(P,Q) \tkzDrawLine[add=0 and 0.5](P,C) + \tkzDrawSegments(B,Q) - \tkzDrawPoints(P,Q,B,C) + \tkzDrawPoints(P,Q,B,C,A) \tkzLabelPoint[below](P){$P$} \tkzLabelPoint[below](Q){$Q$} \tkzLabelPoint[below](B){$B$} \tkzLabelPoint[below](C){$C$} + \tkzLabelPoint[below](A){$A$} \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/tikz/geometry-5/geometry-5.tex b/tikz/geometry-5/geometry-5.tex index e029a8f..2b7a3bd 100644 --- a/tikz/geometry-5/geometry-5.tex +++ b/tikz/geometry-5/geometry-5.tex @@ -6,9 +6,9 @@ \begin{tikzpicture} \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/P, 4/1/Q, 2/3/A, 5/3/B} + \tkzDefPoints{0/0/P, 4/1/Q, 2/3/A, 5/3/B, -0.6/-0.15/Pstrich} \tkzInterLL(P,B)(A,Q) \tkzGetPoint{C} - \tkzDrawPoints(P,Q,A,B,C) + \tkzDrawPoints(P,Q,A,B,C,Pstrich) \tkzDrawLine(P,Q) \tkzDrawLine(P,A) @@ -16,6 +16,7 @@ \tkzDrawLine(P,B) \tkzLabelPoint[below](P){$P$} + \tkzLabelPoint[above](Pstrich){$P'$} \tkzLabelPoint[below](Q){$Q$} \tkzLabelPoint[below](A){$A$} \tkzLabelPoint[below](B){$B$}