diff --git a/documents/Analysis III/Analysis-III.tex b/documents/Analysis III/Analysis-III.tex index f242318..21f499d 100644 --- a/documents/Analysis III/Analysis-III.tex +++ b/documents/Analysis III/Analysis-III.tex @@ -110,21 +110,26 @@ $f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen. In diesem Paragraphen sei $\emptyset\ne X$ eine Menge. \begin{definition} -\index{$\sigma$-!Algebra} -Sei $\fa\subseteq\mathcal{P}(X)$, $\fa$ heißt eine \textbf{$\sigma$-Algebra} auf $X$, wenn gilt: -\begin{enumerate} -\item[($\sigma_1$)] $X\in\fa$ -\item[($\sigma_2$)] Ist $A\in\fa$, so ist auch $A^c\in\fa$. -\item[($\sigma_3$)] Ist $(A_j)$ eine Folge in $\fa$, so ist $\bigcup A_j\in\fa$. -\end{enumerate} + \index{$\sigma$-!Algebra} + Sei $\fa\subseteq\mathcal{P}(X)$, $\fa$ heißt eine + \textbf{$\sigma$-Algebra} auf $X$, wenn gilt: + \begin{enumerate} + \item[($\sigma_1$)] $X\in\fa$ + \item[($\sigma_2$)] Ist $A\in\fa$, so ist auch $A^c\in\fa$. + \item[($\sigma_3$)] Ist $(A_j)$ eine Folge in $\fa$, so ist + $\bigcup A_j\in\fa$. + \end{enumerate} \end{definition} \begin{beispiel} -\begin{enumerate} -\item $\{X,\emptyset\}$ und $\mathcal{P}(X)$ sind $\sigma$-Algebren auf $X$. -\item Sei $A\subseteq X$, dann ist $\{X,\emptyset, A, A^c\}$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$. -\item $\fa:=\{A\subseteq X: A$ abzählbar oder $A^c$ abzählbar$\}$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$. -\end{enumerate} + \begin{enumerate} + \item $\{X,\emptyset\}$ und $\mathcal{P}(X)$ sind + $\sigma$-Algebren auf $X$. + \item Sei $A\subseteq X$, dann ist $\{X,\emptyset, A, A^c\}$ + eine $\sigma$-Algebra auf $X$. + \item $\fa:=\{A\subseteq X: A$ abzählbar oder $A^c$ abzählbar$\}$ + ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$. + \end{enumerate} \end{beispiel} \begin{lemma} @@ -143,119 +148,157 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann: \end{lemma} \begin{beweis} -\begin{enumerate} -\item $\emptyset=X^c\in\fa$ (nach ($\sigma_2$)). -\item $D:=\bigcap A_j$. $D^c=\bigcup A_j^c\in\fa$ (nach ($\sigma_2$) und ($\sigma_3$)), also gilt auch $D=(D^c)^c\in\fa$. -\item \begin{enumerate} -\item $A_1\cup\cdots\cup A_n\in\fa$ folgt aus ($\sigma_3$) mit $A_{n+j}:=\emptyset$ ($j\ge 1$). -\item $A_1\cap\cdots\cap A_n\in\fa$ folgt aus (2) mit $A_{n+j}:=X$ ($j\ge 1$). -\item $A_1\setminus A_2=A_1\cap A_2^c\in\fa$ -\end{enumerate} -\end{enumerate} + \begin{enumerate} + \item $\emptyset=X^c\in\fa$ (nach ($\sigma_2$)). + \item $D:=\bigcap A_j$. $D^c=\bigcup A_j^c\in\fa$ (nach + ($\sigma_2$) und ($\sigma_3$)), also gilt auch + $D=(D^c)^c\in\fa$. + \item \begin{enumerate} + \item $A_1\cup\cdots\cup A_n\in\fa$ folgt aus + ($\sigma_3$) mit $A_{n+j}:=\emptyset$ ($j\ge 1$). + \item $A_1\cap\cdots\cap A_n\in\fa$ folgt aus (2) mit + $A_{n+j}:=X$ ($j\ge 1$). + \item $A_1\setminus A_2=A_1\cap A_2^c\in\fa$ + \end{enumerate} + \end{enumerate} \end{beweis} \begin{lemma} -\label{Lemma 1.2} -Sei $\emptyset\ne\cf$ eine Menge von $\sigma$-Algebren auf $X$. Dann ist -\[\fa_0:=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\] -eine $\sigma$-Algebra auf $X$. + \label{Lemma 1.2} + Sei $\emptyset\ne\cf$ eine Menge von $\sigma$-Algebren auf $X$. + Dann ist + \[\fa_0:=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\] + eine $\sigma$-Algebra auf $X$. \end{lemma} \begin{beweis} -\begin{enumerate} -\item[($\sigma_1$)] $\forall\fa\in\cf:X\in\fa\implies X\in\fa_0$. -\item[($\sigma_2$)] Sei $A\in\fa_0$, dann gilt: -\begin{align*} -\forall\fa\in\cf:A\in\fa &\implies \forall\fa\in\cf:A^c\in\fa\\ -&\implies A^c\in\fa_0 -\end{align*} -\item[($\sigma_3$)] Sei $(A_j)$ eine Folge in $\fa_0$, dann ist $(A_j)$ Folge in $\fa$ für alle $\fa\in\cf$, dann gilt: -\begin{align*} -\forall\fa\in\cf:\bigcap A_j\in\fa \implies \bigcap A_j\in\fa_0 -\end{align*} -\end{enumerate} + \begin{enumerate} + \item[($\sigma_1$)] $\forall\fa\in\cf:X\in\fa\implies X\in\fa_0$. + \item[($\sigma_2$)] Sei $A\in\fa_0$, dann gilt: + \begin{align*} + \forall\fa\in\cf:A\in\fa &\implies \forall\fa\in\cf:A^c\in\fa\\ + &\implies A^c\in\fa_0 + \end{align*} + \item[($\sigma_3$)] Sei $(A_j)$ eine Folge in $\fa_0$, dann + ist $(A_j)$ Folge in $\fa$ für alle $\fa\in\cf$, dann gilt: + \begin{align*} + \forall\fa\in\cf:\bigcap A_j\in\fa \implies \bigcap A_j\in\fa_0 + \end{align*} + \end{enumerate} \end{beweis} \begin{definition} -\index{Erzeuger} -Sei $\emptyset\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$ und $\cf:=\{\fa:\fa$ ist $\sigma$-Algebra auf $X$ mit $\mathcal{E}\subseteq\fa\}$. Definiere -\[\sigma(\mathcal{E}):=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\] -Dann ist wegen 1.2 $\sigma(\mathcal{E})$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$. $\sigma(\mathcal{E})$ heißt die \textbf{von $\mathcal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra}. $\mathcal{E}$ heißt ein \textbf{Erzeuger} von $\sigma(\mathcal{E})$. + \index{Erzeuger} + Sei $\emptyset\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$ und + $\cf:=\{\fa:\fa$ ist $\sigma$-Algebra auf $X$ mit + $\mathcal{E}\subseteq\fa\}$. Definiere + \[\sigma(\mathcal{E}):=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\] + Dann ist wegen 1.2 $\sigma(\mathcal{E})$ eine $\sigma$-Algebra + auf $X$. $\sigma(\mathcal{E})$ heißt die + \textbf{von $\mathcal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra}. + $\mathcal{E}$ heißt ein \textbf{Erzeuger} von + $\sigma(\mathcal{E})$. \end{definition} \begin{lemma} -\label{Lemma 1.3} -Sei $\emptyset\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$. -\begin{enumerate} -\item $\mathcal{E}\subseteq\sigma(\mathcal{E})$. $\sigma(\mathcal{E})$ ist die "kleinste" $\sigma$-Algebra auf $X$, die $\mathcal{E}$ enthält. -\item Ist $\mathcal{E}$ eine $\sigma$-Algebra, so ist $\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{E}$. -\item Ist $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'$, so ist $\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$. -\end{enumerate} + \label{Lemma 1.3} + Sei $\emptyset\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$. + \begin{enumerate} + \item $\mathcal{E}\subseteq\sigma(\mathcal{E})$. + $\sigma(\mathcal{E})$ ist die "`kleinste"' + $\sigma$-Algebra auf $X$, die $\mathcal{E}$ enthält. + \item Ist $\mathcal{E}$ eine $\sigma$-Algebra, so ist + $\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{E}$. + \item Ist $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'$, so ist + $\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$. + \end{enumerate} \end{lemma} \begin{beweis} -\begin{enumerate} -\item Klar nach Definition. -\item $\fa:=\mathcal{E}$, dann gilt $\fa\subseteq\sigma(\mathcal{E})\subseteq\fa$. -\item $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$, also folgt nach Definition $\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$. -\end{enumerate} + \begin{enumerate} + \item Klar nach Definition. + \item $\fa:=\mathcal{E}$, dann gilt + $\fa\subseteq\sigma(\mathcal{E})\subseteq\fa$. + \item $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$, + also folgt nach Definition + $\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$. + \end{enumerate} \end{beweis} \begin{beispiel} -\begin{enumerate} -\item Sei $A\subseteq X$ und $\mathcal{E}:=\{A\}$. Dann ist $\sigma(\mathcal{E})=\{X,\emptyset,A,A^c\}$. -\item $X:=\{1,2,3,4,5\}, \mathcal{E}:=\{\{1\},\{1,2\}\}$. Dann gilt: -\[\sigma(\mathcal{E}):=\{X,\emptyset, \{1\},\{2\},\{1,2\},\{3,4,5\},\{1,3,4,5\},\{2,3,4,5\}\}\] -\end{enumerate} + \begin{enumerate} + \item Sei $A\subseteq X$ und $\mathcal{E}:=\{A\}$. Dann ist + $\sigma(\mathcal{E})=\{X,\emptyset,A,A^c\}$. + \item $X:=\{1,2,3,4,5\}, \mathcal{E}:=\{\{1\},\{1,2\}\}$. + Dann gilt: + \[\sigma(\mathcal{E}):=\{X,\emptyset, \{1\},\{2\},\{1,2\},\{3,4,5\},\{1,3,4,5\},\{2,3,4,5\}\}\] + \end{enumerate} \end{beispiel} \begin{erinnerung} -\index{Offenheit}\index{Abgeschlossenheit} -Sei $d\in\mdn, X\subseteq\mdr^d$. $A\subseteq X$ heißt \textbf{offen} (\textbf{abgeschlossen}) in $X$, genau dann wenn ein offenes (abgeschlossenes) $G\subseteq\mdr^d$ existiert mit $A=X\cap G$.\\ -Beachte: $A$ abgeschlossen in $X$ $\iff$ $X\setminus A$ offen in $X$. + \index{Offenheit}\index{Abgeschlossenheit} + Sei $d\in\mdn, X\subseteq\mdr^d$. $A\subseteq X$ heißt + \textbf{offen} (\textbf{abgeschlossen}) in $X$, genau dann wenn + ein offenes (abgeschlossenes) $G\subseteq\mdr^d$ existiert mit + $A=X\cap G$.\\ + Beachte: $A$ abgeschlossen in $X$ $\iff$ $X\setminus A$ offen in + $X$. \end{erinnerung} \begin{definition} -\index{Borel!$\sigma$-Algebra}\index{$\sigma$-!Algebra, Borelsche} -\index{Borel!Mengen} -Sei $X\subseteq\mdr^d$. -\begin{enumerate} -\item $\mathcal{O}(X):=\{A\subseteq X:A$ ist offen in $X\}$ -\item $\fb(X):=\sigma(\mathcal{O}(X))$ heißt \textbf{Borelsche $\sigma$-Algebra} auf $X$. -\item $\fb_d:=\fb(\mdr^d)$. Die Elemente von $\fb_d$ heißen \textbf{Borelsche Mengen} oder \textbf{Borel-Mengen}. -\end{enumerate} + \index{Borel!$\sigma$-Algebra}\index{$\sigma$-!Algebra, Borelsche} + \index{Borel!Mengen} + Sei $X\subseteq\mdr^d$. + \begin{enumerate} + \item $\mathcal{O}(X):=\{A\subseteq X:A$ ist offen in $X\}$ + \item $\fb(X):=\sigma(\mathcal{O}(X))$ heißt + \textbf{Borelsche $\sigma$-Algebra} auf $X$. + \item $\fb_d:=\fb(\mdr^d)$. Die Elemente von $\fb_d$ heißen + \textbf{Borelsche Mengen} oder \textbf{Borel-Mengen}. + \end{enumerate} \end{definition} \begin{beispiel} -\begin{enumerate} -\item Sei $X\subseteq\mdr^d$. Ist $A\subseteq$ offen (abgeschlossen) in $X$, so ist $A\in\fb(X)$. -\item Ist $A\subseteq\mdr^d$ offen (abgeschlossen) so ist $A\in\fb_d$. -\item Sei $d=1, A=\mdq$. $\mdq$ ist abzählbar, also $\mdq=\{r_1,r_2,\ldots\}$ (mit $r_i\ne r_j$ für $i\ne j$). Also ist $\mdq=\bigcup \{r_j\}$. Sei nun $r\in\mdq$, dann ist $B:=(-\infty,r)\cup(r,\infty)\in\fb_1$. Daraus folgt $\{r_j\}\in\fb_1$, also auch $\mdq\in\fb_1$.\\ -Allgemeiner lässt sich zeigen: $\mdq^d:=\{(x_1,\ldots,x_n):x_j\in\mdq (j=1,\ldots,n)\}\in\fb_d$. -\end{enumerate} + \begin{enumerate} + \item Sei $X\subseteq\mdr^d$. Ist $A\subseteq$ offen + (abgeschlossen) in $X$, so ist $A\in\fb(X)$. + \item Ist $A\subseteq\mdr^d$ offen (abgeschlossen) so ist + $A\in\fb_d$. + \item Sei $d=1, A=\mdq$. $\mdq$ ist abzählbar, also + $\mdq=\{r_1,r_2,\ldots\}$ (mit $r_i\ne r_j$ für $i\ne j$). + Also ist $\mdq=\bigcup \{r_j\}$. Sei nun $r\in\mdq$, + dann ist $B:=(-\infty,r)\cup(r,\infty)\in\fb_1$. Daraus + folgt $\{r_j\}\in\fb_1$, also auch $\mdq\in\fb_1$.\\ + Allgemeiner lässt sich zeigen: + $\mdq^d:=\{(x_1,\ldots,x_n):x_j\in\mdq (j=1,\ldots,n)\}\in\fb_d$. + \end{enumerate} \end{beispiel} \begin{definition} -\index{Intervall} -\index{Halbraum} -\begin{enumerate} -\item Seien $I_1,\ldots,I_d$ Intervalle in $\mdr$. $I_1\times\cdots\times I_d$ heißt ein \textbf{Intervall} in $\mdr^d$. -\item Seien $a=(a_1,\ldots,a_d), b=(b_1,\ldots,b_d)\in\mdr^d$. -\[a\le b:\iff a_j\le b_j\quad (j=1,\ldots,d)\] -\item Seien $a,b\in\mdr^d$ und $a\le b$. -\begin{align*} -(a,b)&:=(a_1,b_1)\times\cdots\times(a_d,b_d)\\ -(a,b]&:=(a_1,b_1]\times\cdots\times(a_d,b_d]\\ -[a,b)&:=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_d,b_d)\\ -[a,b]&:=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_d,b_d] -\end{align*} -mit der Festlegung $(a,b):=(a,b]:=[a,b):=\emptyset$, falls $a_j=b_j$ für ein $j\in\{1,\ldots,d\}$. -\item Für $k\in\{1,\ldots,d\}$ und $\alpha\in\mdr$ definiere die folgenden \textbf{Halbräume}: -\begin{align*} -H_k^-(\alpha):=\{(x_1,\ldots,x_d)\in\mdr^d:x_k\le\alpha\}\\ -H_k^+(\alpha):=\{(x_1,\ldots,x_d)\in\mdr^d:x_k\ge\alpha\} -\end{align*} -\end{enumerate} + \index{Intervall} + \index{Halbraum} + \begin{enumerate} + \item Seien $I_1,\ldots,I_d$ Intervalle in $\mdr$. + $I_1\times\cdots\times I_d$ heißt ein \textbf{Intervall} + in $\mdr^d$. + \item Seien $a=(a_1,\ldots,a_d), b=(b_1,\ldots,b_d)\in\mdr^d$. + \[a\le b:\iff a_j\le b_j\quad (j=1,\ldots,d)\] + \item Seien $a,b\in\mdr^d$ und $a\le b$. + \begin{align*} + (a,b) &:= (a_1,b_1)\times\cdots\times(a_d,b_d)\\ + (a,b] &:= (a_1,b_1]\times\cdots\times(a_d,b_d]\\ + [a,b) &:= [a_1,b_1)\times\cdots\times[a_d,b_d)\\ + [a,b] &:= [a_1,b_1]\times\cdots\times[a_d,b_d] + \end{align*} + mit der Festlegung $(a,b):=(a,b]:=[a,b):=\emptyset$, falls + $a_j=b_j$ für ein $j\in\{1,\ldots,d\}$. + \item Für $k\in\{1,\ldots,d\}$ und $\alpha\in\mdr$ definiere die + folgenden \textbf{Halbräume}: + \begin{align*} + H_k^-(\alpha) &:= \Set{(x_1,\ldots,x_d)\in\mdr^d:x_k\le\alpha}\\ + H_k^+(\alpha) &:= \Set{(x_1,\ldots,x_d)\in\mdr^d:x_k\ge\alpha} + \end{align*} + \end{enumerate} \end{definition} \begin{satz}[Erzeuger der Borelschen $\sigma$-Algebra auf $\mdr^d$] @@ -273,11 +316,14 @@ Entsprechendes gilt für die anderen Typen von Intervallen und Halbräumen. \begin{beweis} \begin{enumerate} -\item Sei $G\in\co(\mdr^d), \fm:=\{(a,b):a,b\in\mdq^d,a\le b, (a,b)\subseteq G\}$. Dann ist $\fm$ abzählbar und $G=\bigcup_{I\in\fm}I$. also gilt: -\[G\in\sigma(\ce_1)\implies \fb_d=\sigma(\co(\mdr^d))\subseteq\sigma(\ce_1)\] -\item Sei $(a,b)\in\ce_1$.\\ -\textbf{Fall 1:} $(a,b)=\emptyset\in\ce_2\subseteq\sigma(\ce_2)$\\ -\textbf{Fall 2:} $(a,b)\ne\emptyset, a=(a_1\ldots,a_d), b=(b_1\ldots,b_d)$. Dann gilt für alle $j\in\{1,\ldots,d\}:a_j