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Vorlesung vom 23.01.2014 teilweise geTeXt
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6536ec2326
11 changed files with 179 additions and 8 deletions
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@ -43,3 +43,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
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|23.01.2014 | 09:00 - 10:00 | TikZ'en eines Bildes und Bemerkungen
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|23.01.2014 | 10:30 - 12:15 | TikZ'en von Bildern
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|24.01.2014 | 15:00 - 15:15 | Flag um Dokument in A4 (für den Bildschirm) bzw. A5 (zum drucken und binden)
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|24.01.2014 | 23:00 - 00:15 | Digitalisieren der Vorlesung von 23.01.2014
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Binary file not shown.
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@ -42,7 +42,7 @@
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einer Karte.
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\item $\mdc^n$ ist eine $2n$-dimensionale Mannigfaltigkeit
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mit einem Atlas aus einer Karte:
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\[(z_1, \dots, z_n) \mapsto (\operatorname{Re} z_1, \operatorname{Im}z_1, \dots, \operatorname{Re}z_n, \operatorname{Im}z_n)\]
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\[(z_1, \dots, z_n) \mapsto (\Re(z_1), \Im(z_1), \dots, \Re(z_n), \Im(z_n))\]
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\item \xindex{Raum!projektiver}$\praum^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\praum^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten
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der Dimension $n$ bzw. $2n$, da gilt:
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@ -47,10 +47,10 @@ aufgestellt.
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\begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*]
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\item \textbf{Inzidenzaxiome}\xindex{Inzidenzaxiome}:\label{axiom:1}
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\begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumi{} (\roman*)]
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\item Zu $P \neq Q \in X$ gibt es genau ein $g \in G$ mit
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\item \label{axiom:1.1} Zu $P \neq Q \in X$ gibt es genau ein $g \in G$ mit
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$\Set{P, Q} \subseteq g$.
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\item $|g| \geq 2 \;\;\; \forall g \in G$
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\item $X \notin G$
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\item \label{axiom:1.2} $|g| \geq 2 \;\;\; \forall g \in G$
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\item \label{axiom:1.3} $X \notin G$
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Abstandsaxiom}\xindex{Abstandsaxiom}: Zu $P, Q, R \in X$ gibt es \label{axiom:2}
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genau dann ein $g \in G$ mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$,
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@ -121,8 +121,8 @@ aufgestellt.
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\begin{definition}
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\begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=3]
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\item \textbf{Anordnungsaxiome}\xindex{Anordnungsaxiome}\label{axiom:3}
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\begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=§\theenumi{} (\roman*)]
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||||
\item \label{axiom:3}\textbf{Anordnungsaxiome}\xindex{Anordnungsaxiome}
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\begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumi{} (\roman*)]
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\item \label{axiom:3.1} Zu jedem $P \in X$ jeder
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Halbgerade $H$ mit Anfangspunkt $P$ und jedem
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$r \in \mdr_{\geq 0}$ gibt es genau ein
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@ -137,13 +137,13 @@ aufgestellt.
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\textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl.
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$g$.
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Bewegungsaxiom}\xindex{Bewegungsaxiom}: Zu $P, Q, P', Q' \in X$\label{axiom:4}
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\item \label{axiom:4}\textbf{Bewegungsaxiom}\xindex{Bewegungsaxiom}: Zu $P, Q, P', Q' \in X$
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mit $d(P,Q) = d(P', Q')$. Isometrien $\varphi_1, \varphi_2$
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mit $\varphi_i (P) = P'$ und $\varphi_i(Q) = Q', i=1,2$
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(Spiegelung an der Gerade durch $P$ und $Q$ ist nach
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Identifizierung von $P \cong P'$ und $Q \cong Q'$ eine
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weitere Isometrie.)
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\item \textbf{Parallelenaxiom}: Für jedes $g \in G$ und jedes
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\item \label{axiom:5}\textbf{Parallelenaxiom}: Für jedes $g \in G$ und jedes
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$P \in X \setminus g$ gibt es höchstens ein $h \in G$ mit
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$h \cap g = \emptyset$.\footnote{$h$ heißt \enquote{Parallele zu $g$ durch $P$}.}
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\end{enumerate}
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@ -748,5 +748,94 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
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\end{beweis}
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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% Mitschrieb vom 23.01.2014 %
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\section{Hyperbolische Geometrie}
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\begin{definition}
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Sei
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\[\mdh:= \Set{z \in \mdc | \Im(z) > 0} = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | y > 0}\]
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die obere Halbebene bzw. Poincaré-Halbebene und $G = G_1 \cup G_2$
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mit
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\begin{align*}
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G_1 &= \Set{g_1 \subseteq \mdh | \exists m \in \mdr, r \in \mdr_{>0}: g_1 \in \mdc: g_1 = \Set{|z-m|=r}}\\
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||||
G_2 &= \Set{g_2 \subseteq \mdh | \exists x \in \mdr: g_2 = \Set{z \in \mdc: \Re{z} = x} \cap \mdh}
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\end{align*}
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Die Elemente von $\mdh$ heißen \textbf{hyperbolische Geraden}\xindex{Gerade!hyperbolische}
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}[Eigenschaften der hyperbolischen Geraden]
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Die hyperbolischen Geraden erfüllen\dots
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item \dots die Inzidenzaxiome \ref{axiom:1}
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\item \dots das Anordnungsaxiom \ref{axiom:3.2}
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\item \dots nicht das Parallelenaxiom \ref{axiom:5}
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\end{enumerate}
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\end{bemerkung}
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\begin{beweis}\leavevmode
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item Offensichtlich sind \ref{axiom:1.3} und \ref{axiom:1.2}
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erfüllt. Für \ref{axiom:1.1} gilt:\\
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Gegeben $z_1, z_2 \in \mdh$\\
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\textbf{Existenz:} $\Re(z_1) = \Re(z_2)$
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$\Rightarrow z_1$ und $z_2$ liegen auf
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\[g = \Set{z \in \mdc | \Re(z) = \Re{z_1} \land \mdh}\]
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\item TODO
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\item Siehe \cref{fig:hyperbolische-halbebene-axiom-5}.
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\begin{figure}[htp]
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\centering
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\input{figures/hyperbolic-geometry-not-parallel.tex}
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\caption{Hyperbolische Geraden erfüllen \ref{axiom:5} nicht.}
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\label{fig:hyperbolische-halbebene-axiom-5}
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\end{figure}
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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\begin{proposition}%In Vorlesung: Proposition 15.2
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item Die Gruppe $\SL_2(\mdr)$ operiert auf $\mdh$ durch
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\[\sigma(z):= \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} \circ z := \frac{az + b}{cz + d}\]
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\item Es ist $\sigma(z) = (-\sigma)(z)$ für alle $\sigma \in \SL_2(\mdr)$
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und $z \in \mdh$. Daher operiert $\PSL_2(\mdr) = \SL_2(\mdr) /_{(\pm I)}$
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auf $\mdh$.
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\item $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $\mdr \cup \Set{\infty}$.
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Diese Gruppenoperation ist 3-fach transitiv, d.~h. zu
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$x_0 < x_1 < x_\infty \in \mdr$ gibt es genau ein
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$\sigma \in \PSL_2(\mdr)$ mit $\sigma(x_0) = 0$,
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$\sigma(x_1) = 1$, $\sigma(x_\infty) = \infty$
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\item \label{prop:15.2d} $\SL_2(\mdr)$ wird von den Matrizen
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\[\begin{pmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda^-1\end{pmatrix}, \lambda \in \mdr\]
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\[\begin{pmatrix}1 & a\\ 0 & 1\end{pmatrix}, a \in \mdr\]
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\[\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}\]
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erzeugt
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\item $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $G$
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{beweis}\leavevmode
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item Sei $z = x + iy \in \mdh$, d.~h. $y>0$ und
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$\sigma=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \in \SL_2(\mdr)$
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\begin{align}
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\Rightarrow \sigma(z) &= \frac{ax + aiy + b}{cx + ciy +d}\\
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&= \frac{ax + aiy + b}{cx + ciy +d} \cdot \frac{cx+d-iy}{cx+d-iy}\\
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&= \frac{\Re(...) + i(aycx + ayd - ciyax - cyb)}{(cx+d)^2 + (cy)^2}\\
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&= \frac{\Re(...) + i(ad-bc)y}{(cx+d)^2 + (cy)^2}
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&\overset{\mathclap{\SL_2(\mdr)}}{=} \frac{\Re(...) + iy}{(cx+d)^2 + (cy)^2}
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\end{align}
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$\Rightarrow \Im(\sigma(z)) = \frac{y}{(cx+d)^2 + (cy)^2} > 0$
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\item TODO b)
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\item TODO c)
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\item TODO d)
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\item Es genügt die Aussage für Matrizen aus \cref{prop:15.2d}
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zu zeigen.
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\begin{itemize}
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\item $\sigma = \begin{pmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda^{-1}\end{pmatrix}$, also $\sigma(z) = \lambda^2 z$
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
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\input{Kapitel4-UB}
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@ -29,6 +29,7 @@ $\mdr^+\;$ Echt positive reele Zahlen\\
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$\mdr^\times\;$ Einheitengruppe von $\mdr$ ($\mdr \setminus \Set{0}$)\\
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$\mdc\;\;\;$ Komplexe Zahlen ($\Set{a+ib|a,b \in \mdr}$)\\
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$\mdp\;\;\;$ Primzahlen ($2, 3, 5, 7, \dots$)\\
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$\mdh\;\;\;$ obere Halbebene ($\Set{z \in \mdc | \Im{z} > 0}$)\\
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\section*{Geometrie}
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$AB\;\;\;$ Gerade durch die Punkte $A$ und $B$\\
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@ -43,6 +44,8 @@ $\triangle ABC\;\;\;$ Dreieck mit Eckpunkten $A, B, C$\\
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$\Homoo(X)\;\;\;$ Homöomorphismengruppe\\
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$\Iso(X)\;\;\;$ Isometriengruppe\\
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$\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe (general linear group)\\
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$\SL_n(K)\;\;\;$ Spezielle lineare Gruppe\\
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$\PSL_n(K)\;\;\;$ Projektive lineare Gruppe\\
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$\Perm(X)\;\;\;$ Permutationsgruppe\\
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$\Sym(X)\;\;\;$ Symmetrische Gruppe
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@ -79,3 +82,5 @@ $\pi_1(X,x)\;\;\;$ Fundamentalgruppe im topologischen Raum $X$ um $x \in X$\\
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$\Fix(f)\;\;\;$ Menge der Fixpunkte der Abbildung $f$
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\index{Faser|see{Urbild}}
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\index{kongruent|see{isometrisch}}
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||||
\index{Kongruenz|see{Isometrie}}
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@ -0,0 +1,15 @@
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\begin{tikzpicture}
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\tkzSetUpPoint[shape=circle,size=3,color=black,fill=black]
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||||
\tkzSetUpLine[line width=1]
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||||
\tkzInit[xmax=6,ymax=5,xmin=-5,ymin=0]
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||||
\tkzDefPoints{-2/0/A,3.5/0/B,-0.85/0/C,2/0/D,2/2/P}
|
||||
\tkzDefPoints{-1/0/X, -1/5/Y}
|
||||
\tkzDrawLine[add=0.1 and 0.1](X,Y)
|
||||
\tkzAxeXY
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||||
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||||
\tkzDrawArc[R,line width=1pt,color=red](A,0.5 cm)(0,180)
|
||||
\tkzDrawArc[R,line width=1pt](B,2.5 cm)(0,180)
|
||||
\tkzDrawArc[R,line width=1pt](C,3.5 cm)(0,180)
|
||||
\tkzDrawArc[R,line width=1pt](D,2.0 cm)(0,180)
|
||||
\tkzDrawPoints(P)
|
||||
\end{tikzpicture}
|
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@ -64,6 +64,7 @@
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\def\mdq{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
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\def\mdz{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
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\def\mdn{\ensuremath{\mathbb{N}}}
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\def\mdh{\ensuremath{\mathbb{H}}}
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\def\gdw{\ensuremath{\Leftrightarrow}}
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\def\atlas{\ensuremath{\mathcal{A}}}
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@ -71,6 +72,7 @@
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\def\GL{\ensuremath{\mathrm{GL}}}
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\def\SL{\ensuremath{\mathrm{SL}}}
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\def\PSL{\ensuremath{\mathrm{PSL}}}
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\newcommand\mapsfrom{\mathrel{\reflectbox{\ensuremath{\mapsto}}}}
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\newcommand\dcup{\mathbin{\dot{\cup}}}
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\newcommand{\id}{\textnormal{id}}
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@ -84,6 +86,8 @@
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\DeclareMathOperator{\Diffeo}{Diffeo}
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\DeclareMathOperator{\conv}{conv}
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\DeclareMathOperator{\IWS}{IWS}
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%\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
|
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%\DeclareMathOperator{\Im}{Im}
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%%%Text %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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||||
\newcommand\obda{o.~B.~d.~A.\xspace}
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