diff --git a/documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md b/documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md index 940cfdc..4c7879a 100644 --- a/documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md +++ b/documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md @@ -43,3 +43,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt: |23.01.2014 | 09:00 - 10:00 | TikZ'en eines Bildes und Bemerkungen |23.01.2014 | 10:30 - 12:15 | TikZ'en von Bildern |24.01.2014 | 15:00 - 15:15 | Flag um Dokument in A4 (für den Bildschirm) bzw. A5 (zum drucken und binden) +|24.01.2014 | 23:00 - 00:15 | Digitalisieren der Vorlesung von 23.01.2014 diff --git a/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf b/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf index d681de0..c0252f0 100644 Binary files a/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf and b/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf differ diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex index 8b6ee31..974a1c4 100644 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex +++ b/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex @@ -42,7 +42,7 @@ einer Karte. \item $\mdc^n$ ist eine $2n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einem Atlas aus einer Karte: - \[(z_1, \dots, z_n) \mapsto (\operatorname{Re} z_1, \operatorname{Im}z_1, \dots, \operatorname{Re}z_n, \operatorname{Im}z_n)\] + \[(z_1, \dots, z_n) \mapsto (\Re(z_1), \Im(z_1), \dots, \Re(z_n), \Im(z_n))\] \item \xindex{Raum!projektiver}$\praum^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\praum^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten der Dimension $n$ bzw. $2n$, da gilt: diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex index 58716c8..55c067a 100644 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex +++ b/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex @@ -47,10 +47,10 @@ aufgestellt. \begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*] \item \textbf{Inzidenzaxiome}\xindex{Inzidenzaxiome}:\label{axiom:1} \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumi{} (\roman*)] - \item Zu $P \neq Q \in X$ gibt es genau ein $g \in G$ mit + \item \label{axiom:1.1} Zu $P \neq Q \in X$ gibt es genau ein $g \in G$ mit $\Set{P, Q} \subseteq g$. - \item $|g| \geq 2 \;\;\; \forall g \in G$ - \item $X \notin G$ + \item \label{axiom:1.2} $|g| \geq 2 \;\;\; \forall g \in G$ + \item \label{axiom:1.3} $X \notin G$ \end{enumerate} \item \textbf{Abstandsaxiom}\xindex{Abstandsaxiom}: Zu $P, Q, R \in X$ gibt es \label{axiom:2} genau dann ein $g \in G$ mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$, @@ -121,8 +121,8 @@ aufgestellt. \begin{definition} \begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=3] - \item \textbf{Anordnungsaxiome}\xindex{Anordnungsaxiome}\label{axiom:3} - \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=§\theenumi{} (\roman*)] + \item \label{axiom:3}\textbf{Anordnungsaxiome}\xindex{Anordnungsaxiome} + \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumi{} (\roman*)] \item \label{axiom:3.1} Zu jedem $P \in X$ jeder Halbgerade $H$ mit Anfangspunkt $P$ und jedem $r \in \mdr_{\geq 0}$ gibt es genau ein @@ -137,13 +137,13 @@ aufgestellt. \textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl. $g$. \end{enumerate} - \item \textbf{Bewegungsaxiom}\xindex{Bewegungsaxiom}: Zu $P, Q, P', Q' \in X$\label{axiom:4} + \item \label{axiom:4}\textbf{Bewegungsaxiom}\xindex{Bewegungsaxiom}: Zu $P, Q, P', Q' \in X$ mit $d(P,Q) = d(P', Q')$. Isometrien $\varphi_1, \varphi_2$ mit $\varphi_i (P) = P'$ und $\varphi_i(Q) = Q', i=1,2$ (Spiegelung an der Gerade durch $P$ und $Q$ ist nach Identifizierung von $P \cong P'$ und $Q \cong Q'$ eine weitere Isometrie.) - \item \textbf{Parallelenaxiom}: Für jedes $g \in G$ und jedes + \item \label{axiom:5}\textbf{Parallelenaxiom}: Für jedes $g \in G$ und jedes $P \in X \setminus g$ gibt es höchstens ein $h \in G$ mit $h \cap g = \emptyset$.\footnote{$h$ heißt \enquote{Parallele zu $g$ durch $P$}.} \end{enumerate} @@ -748,5 +748,94 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right \end{beweis} \end{enumerate} \end{beweis} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +% Mitschrieb vom 23.01.2014 % +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\section{Hyperbolische Geometrie} +\begin{definition} + Sei + \[\mdh:= \Set{z \in \mdc | \Im(z) > 0} = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | y > 0}\] + die obere Halbebene bzw. Poincaré-Halbebene und $G = G_1 \cup G_2$ + mit + \begin{align*} + G_1 &= \Set{g_1 \subseteq \mdh | \exists m \in \mdr, r \in \mdr_{>0}: g_1 \in \mdc: g_1 = \Set{|z-m|=r}}\\ + G_2 &= \Set{g_2 \subseteq \mdh | \exists x \in \mdr: g_2 = \Set{z \in \mdc: \Re{z} = x} \cap \mdh} + \end{align*} + + Die Elemente von $\mdh$ heißen \textbf{hyperbolische Geraden}\xindex{Gerade!hyperbolische} +\end{definition} + +\begin{bemerkung}[Eigenschaften der hyperbolischen Geraden] + Die hyperbolischen Geraden erfüllen\dots + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item \dots die Inzidenzaxiome \ref{axiom:1} + \item \dots das Anordnungsaxiom \ref{axiom:3.2} + \item \dots nicht das Parallelenaxiom \ref{axiom:5} + \end{enumerate} +\end{bemerkung} + +\begin{beweis}\leavevmode + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item Offensichtlich sind \ref{axiom:1.3} und \ref{axiom:1.2} + erfüllt. Für \ref{axiom:1.1} gilt:\\ + Gegeben $z_1, z_2 \in \mdh$\\ + \textbf{Existenz:} $\Re(z_1) = \Re(z_2)$ + $\Rightarrow z_1$ und $z_2$ liegen auf + \[g = \Set{z \in \mdc | \Re(z) = \Re{z_1} \land \mdh}\] + \item TODO + \item Siehe \cref{fig:hyperbolische-halbebene-axiom-5}. + \begin{figure}[htp] + \centering + \input{figures/hyperbolic-geometry-not-parallel.tex} + \caption{Hyperbolische Geraden erfüllen \ref{axiom:5} nicht.} + \label{fig:hyperbolische-halbebene-axiom-5} + \end{figure} + \end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{proposition}%In Vorlesung: Proposition 15.2 + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item Die Gruppe $\SL_2(\mdr)$ operiert auf $\mdh$ durch + \[\sigma(z):= \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} \circ z := \frac{az + b}{cz + d}\] + \item Es ist $\sigma(z) = (-\sigma)(z)$ für alle $\sigma \in \SL_2(\mdr)$ + und $z \in \mdh$. Daher operiert $\PSL_2(\mdr) = \SL_2(\mdr) /_{(\pm I)}$ + auf $\mdh$. + \item $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $\mdr \cup \Set{\infty}$. + Diese Gruppenoperation ist 3-fach transitiv, d.~h. zu + $x_0 < x_1 < x_\infty \in \mdr$ gibt es genau ein + $\sigma \in \PSL_2(\mdr)$ mit $\sigma(x_0) = 0$, + $\sigma(x_1) = 1$, $\sigma(x_\infty) = \infty$ + \item \label{prop:15.2d} $\SL_2(\mdr)$ wird von den Matrizen + \[\begin{pmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda^-1\end{pmatrix}, \lambda \in \mdr\] + \[\begin{pmatrix}1 & a\\ 0 & 1\end{pmatrix}, a \in \mdr\] + \[\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}\] + erzeugt + \item $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $G$ + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{beweis}\leavevmode + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item Sei $z = x + iy \in \mdh$, d.~h. $y>0$ und + $\sigma=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \in \SL_2(\mdr)$ + \begin{align} + \Rightarrow \sigma(z) &= \frac{ax + aiy + b}{cx + ciy +d}\\ + &= \frac{ax + aiy + b}{cx + ciy +d} \cdot \frac{cx+d-iy}{cx+d-iy}\\ + &= \frac{\Re(...) + i(aycx + ayd - ciyax - cyb)}{(cx+d)^2 + (cy)^2}\\ + &= \frac{\Re(...) + i(ad-bc)y}{(cx+d)^2 + (cy)^2} + &\overset{\mathclap{\SL_2(\mdr)}}{=} \frac{\Re(...) + iy}{(cx+d)^2 + (cy)^2} + \end{align} + $\Rightarrow \Im(\sigma(z)) = \frac{y}{(cx+d)^2 + (cy)^2} > 0$ + \item TODO b) + \item TODO c) + \item TODO d) + \item Es genügt die Aussage für Matrizen aus \cref{prop:15.2d} + zu zeigen. + \begin{itemize} + \item $\sigma = \begin{pmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda^{-1}\end{pmatrix}$, also $\sigma(z) = \lambda^2 z$ + \end{itemize} + \end{enumerate} +\end{beweis} + % Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein. \input{Kapitel4-UB} diff --git a/documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex b/documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex index d1c390b..2669d6e 100644 --- a/documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex +++ b/documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex @@ -29,6 +29,7 @@ $\mdr^+\;$ Echt positive reele Zahlen\\ $\mdr^\times\;$ Einheitengruppe von $\mdr$ ($\mdr \setminus \Set{0}$)\\ $\mdc\;\;\;$ Komplexe Zahlen ($\Set{a+ib|a,b \in \mdr}$)\\ $\mdp\;\;\;$ Primzahlen ($2, 3, 5, 7, \dots$)\\ +$\mdh\;\;\;$ obere Halbebene ($\Set{z \in \mdc | \Im{z} > 0}$)\\ \section*{Geometrie} $AB\;\;\;$ Gerade durch die Punkte $A$ und $B$\\ @@ -43,6 +44,8 @@ $\triangle ABC\;\;\;$ Dreieck mit Eckpunkten $A, B, C$\\ $\Homoo(X)\;\;\;$ Homöomorphismengruppe\\ $\Iso(X)\;\;\;$ Isometriengruppe\\ $\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe (general linear group)\\ +$\SL_n(K)\;\;\;$ Spezielle lineare Gruppe\\ +$\PSL_n(K)\;\;\;$ Projektive lineare Gruppe\\ $\Perm(X)\;\;\;$ Permutationsgruppe\\ $\Sym(X)\;\;\;$ Symmetrische Gruppe %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% @@ -79,3 +82,5 @@ $\pi_1(X,x)\;\;\;$ Fundamentalgruppe im topologischen Raum $X$ um $x \in X$\\ $\Fix(f)\;\;\;$ Menge der Fixpunkte der Abbildung $f$ \index{Faser|see{Urbild}} +\index{kongruent|see{isometrisch}} +\index{Kongruenz|see{Isometrie}} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/hyperbolic-geometry-not-parallel.tex b/documents/GeoTopo/figures/hyperbolic-geometry-not-parallel.tex new file mode 100644 index 0000000..8841a7b --- /dev/null +++ b/documents/GeoTopo/figures/hyperbolic-geometry-not-parallel.tex @@ -0,0 +1,15 @@ +\begin{tikzpicture} + \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=3,color=black,fill=black] + \tkzSetUpLine[line width=1] + \tkzInit[xmax=6,ymax=5,xmin=-5,ymin=0] + \tkzDefPoints{-2/0/A,3.5/0/B,-0.85/0/C,2/0/D,2/2/P} + \tkzDefPoints{-1/0/X, -1/5/Y} + \tkzDrawLine[add=0.1 and 0.1](X,Y) + \tkzAxeXY + + \tkzDrawArc[R,line width=1pt,color=red](A,0.5 cm)(0,180) + \tkzDrawArc[R,line width=1pt](B,2.5 cm)(0,180) + \tkzDrawArc[R,line width=1pt](C,3.5 cm)(0,180) + \tkzDrawArc[R,line width=1pt](D,2.0 cm)(0,180) + \tkzDrawPoints(P) +\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/shortcuts.sty b/documents/GeoTopo/shortcuts.sty index a0e6d1c..5d18fbd 100644 --- a/documents/GeoTopo/shortcuts.sty +++ b/documents/GeoTopo/shortcuts.sty @@ -64,6 +64,7 @@ \def\mdq{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \def\mdz{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \def\mdn{\ensuremath{\mathbb{N}}} +\def\mdh{\ensuremath{\mathbb{H}}} \def\gdw{\ensuremath{\Leftrightarrow}} \def\atlas{\ensuremath{\mathcal{A}}} @@ -71,6 +72,7 @@ \def\GL{\ensuremath{\mathrm{GL}}} \def\SL{\ensuremath{\mathrm{SL}}} +\def\PSL{\ensuremath{\mathrm{PSL}}} \newcommand\mapsfrom{\mathrel{\reflectbox{\ensuremath{\mapsto}}}} \newcommand\dcup{\mathbin{\dot{\cup}}} \newcommand{\id}{\textnormal{id}} @@ -84,6 +86,8 @@ \DeclareMathOperator{\Diffeo}{Diffeo} \DeclareMathOperator{\conv}{conv} \DeclareMathOperator{\IWS}{IWS} +%\DeclareMathOperator{\Re}{Re} +%\DeclareMathOperator{\Im}{Im} %%%Text %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand\obda{o.~B.~d.~A.\xspace} diff --git a/tikz/hyperbolic-geometry-not-parallel/Makefile b/tikz/hyperbolic-geometry-not-parallel/Makefile new file mode 100644 index 0000000..9da0a96 --- /dev/null +++ b/tikz/hyperbolic-geometry-not-parallel/Makefile @@ -0,0 +1,31 @@ +SOURCE = hyperbolic-geometry-not-parallel +DELAY = 80 +DENSITY = 300 +WIDTH = 512 + +make: + pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf + make clean + +clean: + rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.data *.gnuplot + +gif: + pdfcrop $(SOURCE).pdf + convert -verbose -delay $(DELAY) -loop 0 -density $(DENSITY) $(SOURCE)-crop.pdf $(SOURCE).gif + make clean + +png: + make + make svg + inkscape $(SOURCE).svg -w $(WIDTH) --export-png=$(SOURCE).png + +transparentGif: + convert $(SOURCE).pdf -transparent white result.gif + make clean + +svg: + #inkscape $(SOURCE).pdf --export-plain-svg=$(SOURCE).svg + pdf2svg $(SOURCE).pdf $(SOURCE).svg + # Necessary, as pdf2svg does not always create valid svgs: + inkscape $(SOURCE).svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg diff --git a/tikz/hyperbolic-geometry-not-parallel/Readme.md b/tikz/hyperbolic-geometry-not-parallel/Readme.md new file mode 100644 index 0000000..bc8fa7a --- /dev/null +++ b/tikz/hyperbolic-geometry-not-parallel/Readme.md @@ -0,0 +1,3 @@ +Compiled example +---------------- +![Example](hyperbolic-geometry-not-parallel.png) diff --git a/tikz/hyperbolic-geometry-not-parallel/hyperbolic-geometry-not-parallel.png b/tikz/hyperbolic-geometry-not-parallel/hyperbolic-geometry-not-parallel.png new file mode 100644 index 0000000..d9f4880 Binary files /dev/null and b/tikz/hyperbolic-geometry-not-parallel/hyperbolic-geometry-not-parallel.png differ diff --git a/tikz/hyperbolic-geometry-not-parallel/hyperbolic-geometry-not-parallel.tex b/tikz/hyperbolic-geometry-not-parallel/hyperbolic-geometry-not-parallel.tex new file mode 100644 index 0000000..8ebdc1a --- /dev/null +++ b/tikz/hyperbolic-geometry-not-parallel/hyperbolic-geometry-not-parallel.tex @@ -0,0 +1,23 @@ +\documentclass[varwidth=true, border=10pt]{standalone} +\usepackage{tkz-euclide} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{patterns} + +\begin{document} +\usetkzobj{all} +\begin{tikzpicture} + \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=3,color=black,fill=black] + \tkzSetUpLine[line width=1] + \tkzInit[xmax=6,ymax=5,xmin=-5,ymin=0] + \tkzDefPoints{-2/0/A,3.5/0/B,-0.85/0/C,2/0/D,2/2/P} + \tkzDefPoints{-1/0/X, -1/5/Y} + \tkzDrawLine[add=0.1 and 0.1](X,Y) + \tkzAxeXY + + \tkzDrawArc[R,line width=1pt,color=red](A,0.5 cm)(0,180) + \tkzDrawArc[R,line width=1pt](B,2.5 cm)(0,180) + \tkzDrawArc[R,line width=1pt](C,3.5 cm)(0,180) + \tkzDrawArc[R,line width=1pt](D,2.0 cm)(0,180) + \tkzDrawPoints(P) +\end{tikzpicture} +\end{document}