tex-projects/LaTeX-examples
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@ -43,7 +43,7 @@ aufgestellt.
\begin{definition}\xindex{Ebene!euklidische}%In Vorlesung: Definition 14.2 \begin{definition}\xindex{Ebene!euklidische}%In Vorlesung: Definition 14.2
Eine \textbf{euklidische Ebene} ist ein metrischer Raum $(X,d)$ Eine \textbf{euklidische Ebene} ist ein metrischer Raum $(X,d)$
zusammen mit einer Teilmenge $G \subseteq \powerset{X}$, sodass die zusammen mit einer Teilmenge $G \subseteq \powerset{X}$, sodass die
Axiome~\ref{axiom:1}~-~IV erfüllt sind: Axiome~\ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4} erfüllt sind:
\begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*] \begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*]
\item \enquote{Inzidenzaxiome}:\label{axiom:1} \item \enquote{Inzidenzaxiome}:\label{axiom:1}
\begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumi{} (\roman*)] \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumi{} (\roman*)]
@ -118,13 +118,13 @@ aufgestellt.
\item Zu jedem $P \in X$ jeder Halbgerade $H$ mit \label{axiom:3.1} \item Zu jedem $P \in X$ jeder Halbgerade $H$ mit \label{axiom:3.1}
Anfangspunkt $P$ und jedem $r \in \mdr_{\geq 0}$ Anfangspunkt $P$ und jedem $r \in \mdr_{\geq 0}$
gibt es genau ein $Q \in H$ mit $d(P,Q) = r$. gibt es genau ein $Q \in H$ mit $d(P,Q) = r$.
\item Jede Gerade zerlegt $X \setminus g = H_1 \dcup H_2$\label{axiom:4} \item Jede Gerade zerlegt $X \setminus g = H_1 \dcup H_2$
in zwei nichtleere Teilmengen $H_1, H_2$. in zwei nichtleere Teilmengen $H_1, H_2$.
(Diese Teilmengen heißen \textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl. $g$), (Diese Teilmengen heißen \textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl. $g$),
sodass für alle $A \in H_i$, $B \in H_j$ sodass für alle $A \in H_i$, $B \in H_j$
$(i,j \in \Set{1,2})$ gilt: $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$ $(i,j \in \Set{1,2})$ gilt: $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$
\end{enumerate} \end{enumerate}
\item \enquote{Bewegungsaxiome}: Zu $P, Q, P', Q' \in X$ \item \enquote{Bewegungsaxiome}: Zu $P, Q, P', Q' \in X$\label{axiom:4}
mit $d(P,Q) = d(P', Q')$. Isometrien $\varphi_1, \varphi_2$ mit $d(P,Q) = d(P', Q')$. Isometrien $\varphi_1, \varphi_2$
mit $\varphi_i (P) = P'$ und $\varpi_i(Q) = Q', i=1,2$ mit $\varphi_i (P) = P'$ und $\varpi_i(Q) = Q', i=1,2$
(Spiegelung an der Gerade durch $P$ und $Q$ ist nach (Spiegelung an der Gerade durch $P$ und $Q$ ist nach