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Martin Thoma 2014-01-20 20:41:18 +01:00
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documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md
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@ -36,3 +36,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
|16.01.2014 | 17:00 - 19:30 | Digitalisieren der Vorlesung von 14.01.2014
|16.01.2014 | 21:30 - 23:50 | TikZ'en von Bildern
|18.01.2014 | 14:15 - 14:30 | Neuer Korollar; Tippfehler verbessert
|20.01.2014 | 20:00 - 20:15 | TikZ'en eines Bildes

BIN
documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf
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23
documents/GeoTopo/Kapitel3.tex
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@ -157,7 +157,7 @@
\caption{Das Zusammensetzen von Wegen ist nicht assoziativ}
\end{figure}
Das Zusammensetzen von Wegen ist wegen Korollar~\ref{kor:homotope-wege}
Das Zusammensetzen von Wegen ist wegen \cref{kor:homotope-wege}
bis auf Homotopie assoziativ, da
\[\gamma(t) = \begin{cases}
@ -177,8 +177,9 @@
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/skizze-bemerkung-10-6.jpg}
\caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:bemerkung-10-6}}.
%\includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/skizze-bemerkung-10-6.jpg}
\input{figures/topology-homotop-paths-2.tex}
\caption{Situation aus \cref{kor:bemerkung-10-6}}.
\label{fig:situation-bemerkung-10-6}
\end{figure}
@ -215,7 +216,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
\begin{beweis}[Fundamentalgruppe ist eine Gruppe]\leavevmode
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Abgeschlossenheit folgt direkt aus der Definition von $*_G$
\item Assoziativität folgt aus Korollar~\ref{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
\item Assoziativität folgt aus \cref{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
\item Neutrales Element $e = [\gamma_0], \gamma_0(t) = x \;\;\; \forall t \in I$.
$e * [\gamma] = [\gamma] = [\gamma] * e$, da $\gamma_0 * \gamma \sim \gamma$
\item Inverses Element $[\gamma]^{-1} = [\overline{\gamma}] = [\gamma(1-t)]$,
@ -267,7 +268,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
\begin{figure}
\centering
\input{figures/todo.tex}
\caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:gruppenisomorphismus-wege}}.
\caption{Situation aus \cref{kor:gruppenisomorphismus-wege}}.
\label{fig:situation-gruppenisomorphismus-wege}
\end{figure}
@ -540,7 +541,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
\underline{1. Fall}: $p(y_1) = p(y_2) = x$.
Sei $U$ Umgebung von $x$ wie in Definition~\ref{def:12.1},
Sei $U$ Umgebung von $x$ wie in \cref{def:12.1},
$V_{j_1}$ bzw. $V_{j_2}$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die
$y_1$ bzw. $y_2$ enthält.
@ -611,7 +612,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
\begin{figure}
\centering
\input{figures/commutative-diagram-2.tex}
\caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:12.5}}
\caption{Situation aus \cref{kor:12.5}}
\label{fig:situation-kor-12.5}
\end{figure}
@ -694,7 +695,7 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
Dann gilt:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $\tilde{H}$ ist stetig (Beweis wie für Korollar~\ref{kor:12.5})
\item $\tilde{H}$ ist stetig (Beweis wie für \cref{kor:12.5})
\item $\tilde{H}(t,0) = \tilde{\gamma_s}(t) = \tilde{H}(t,1) = \tilde{\gamma_1}(t)$
\item $\tilde{H}(0,s) = \tilde{\gamma_s}(0) = \tilde{0}$
\item $\tilde{H}(1,s) \in p^{-1}(b)$
@ -845,7 +846,7 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
$p:\tilde{X} \rightarrow X$ mit $(g \circ f) (\tilde{x_0}) = \tilde{x_0}$.
Da auch $\id_{\tilde{x}}$ diese Eigenschaft hat, folgt mit
Korollar~\ref{kor:12.4}: $g \circ f = \id_{\tilde{X}}$.
\cref{kor:12.4}: $g \circ f = \id_{\tilde{X}}$.
Analog $f \circ g = \id_{\tilde{Y}}$. $\qed$
\end{beweis}
@ -1166,8 +1167,8 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
\end{beispiel}
\textbf{Erinnerung}:% In Vorlesung: Erinnerung 13.5
Die Konstruktion aus Korollar~\ref{kor:13.3} induziert zu der Gruppenoperation
$\pi_1(X, x_0)$ aus Beispiel~\ref{bsp:13.4} einen Gruppenhomomorphismus
Die Konstruktion aus \cref{kor:13.3} induziert zu der Gruppenoperation
$\pi_1(X, x_0)$ aus \cref{bsp:13.4} einen Gruppenhomomorphismus
$\varrho: \pi_1(X, x_0) \rightarrow \Homoo(X)$. Nach Satz~\ref{thm:12.15}
ist $\varrho(\pi_1(X, x_0)) = \Deck(\tilde{X} / X) = \Set{f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X} \text{ Homöomorphismus} | p \circ f = p}$

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documents/GeoTopo/Loesungen.tex
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@ -132,7 +132,7 @@
\begin{beweis}
\enquote{$\Rightarrow$}: Da $M$ insbesondere ein
topologischer Raum ist folgt diese Richtung direkt
aus Korollar~\ref{kor:wegzusammehang-impliziert-zusammenhang}.
aus \cref{kor:wegzusammehang-impliziert-zusammenhang}.
\enquote{$\Leftarrow$}: Seien $x,y \in M$ und
\[Z := \Set{z \in M | \exists \text{Weg von } x \text{ nach } z}\]

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documents/GeoTopo/figures/todo/skizze-bemerkung-10-6.jpg
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26
documents/GeoTopo/figures/topology-homotop-paths-2.tex Normal file
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@ -0,0 +1,26 @@
\begin{tikzpicture}
\tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt]
\node at (3,1) [red] {$\gamma_1$};
\node at (1,1) [blue] {$\gamma_1'$};
\node (a)[point,label=180:$a$] at (0,0) {};
\node (b)[point,label=-90:$b$] at (4, 0) {};
\node (c)[point,label=0:$c$] at (8, 0) {};
\draw [rounded corners, thick, red] (a) .. controls (1,-1) .. (2,0) .. controls (3,1) .. (b);
\draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1,-0.8) .. (2,0) .. controls (3,0.8) .. (b);
\draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1,-0.6) .. (2,0) .. controls (3,0.6) .. (b);
\draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1,-0.4) .. (2,0) .. controls (3,0.4) .. (b);
\draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1,-0.2) .. (2,0) .. controls (3,0.2) .. (b);
\draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1, 0) .. (2,0) .. controls (3,0.0) .. (b);
\draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1, 0.2) .. (2,0) .. controls (3,-0.2) .. (b);
\draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1, 0.4) .. (2,0) .. controls (3,-0.4) .. (b);
\draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1, 0.6) .. (2,0) .. controls (3,-0.6) .. (b);
\draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1, 0.8) .. (2,0) .. controls (3,-0.8) .. (b);
\draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1, 1.0) .. (2,0) .. controls (3,-1.0) .. (b);
\draw [rounded corners, thick, blue] (a) .. controls (1,1) .. (2,0) .. controls (3,-1) .. (b);
\draw [rounded corners, thick, green!80!black] (b) edge[bend right] node[below] {$\gamma_2'$} (c);
\draw [rounded corners, dashed] (b) edge[bend right=20] (c);
\draw [rounded corners, dashed] (b) edge[bend right=-20] (c);
\draw [rounded corners, dashed] (b) edge[bend right=10] (c);
\draw [rounded corners, dashed] (b) edge[bend right=-10] (c);
\draw [rounded corners, thick, orange] (b) edge[bend left] node[above] {$\gamma_1'$} (c);
\end{tikzpicture}

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documents/GeoTopo/shortcuts.sty
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@ -101,5 +101,6 @@
\crefname{definition}{Definition}{Definitionen}
\crefname{plaindefinition}{Definition}{Definitionen}
\crefname{behauptung}{Behauptung}{Behauptungen}
\crefname{beispiel}{Beispiel}{Beispiele}
%\let\OldAngle\angle
%\let\angle\sphericalangle