misc

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex

@@ -10,7 +10,7 @@ zweiten Spalte nach $y$.
 \subsection*{Lösungsvorschlag 1 (Numerische Lösung)}
 Eine Iteration des Newton-Verfahren ist durch
 \begin{align}
-x_{k+1}&=x_{k}-f'(x_k)^{-1}\cdot f(x_k)
+x_{k+1}&=x_{k}\underbrace{-f'(x_k)^{-1}\cdot f(x_k)}_{\Delta x}
 \end{align}
 gegeben (vgl. Skript, S. 35).
 
@@ -167,12 +167,3 @@ also ausführlich:
 	\end{pmatrix}\\
 	P &= I_2
 \end{align}
-
-TODO: Eigentlich sollten sich ab hier die Lösungsvorschläge gleichen\dots
-
-Es folgt:
-\begin{align}
--f ( \nicefrac{-1}{3}, 0) &= \begin{pmatrix} -2\\ -\frac{26}{27}\end{pmatrix}\\
-c &= \begin{pmatrix} 2\\ \nicefrac{82}{27} \end{pmatrix}\\ %TODO: Was ist c?
-(x_1, y_1) &= \begin{pmatrix} \nicefrac{5}{3}\\ \nicefrac{82}{27}\end{pmatrix}
-\end{align}

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe2.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \section*{Aufgabe 2}
 \subsection*{Teilaufgabe a)}
 \begin{align}
-	r_{ij} = a_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik} \cdot r_{kj} \\
+	r_{ij} = a_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik} \cdot r_{kj} \\ %TODO: Korrektheit überprüfen
 	l_{ij} = \frac{a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \cdot r_{kj}}{r_{jj}}
 \end{align}
 
@@ -9,8 +9,8 @@
 \begin{algorithm}
     \begin{algorithmic}
     	\For{$d \in \Set{1, \dots n}$}
-    		\State berechne d-te Zeile von R
+    		\State berechne d-te Zeile von $R$
-    		\State berechne d-te Spalte von L
+    		\State berechne d-te Spalte von $L$
 	\EndFor
     \end{algorithmic}
 \end{algorithm}

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe3.tex

@@ -3,11 +3,11 @@
 
 \begin{enumerate}
 \item Selbstabbildung: \\
-	Sei $x \in D := [1.75 , 2]$.
+	Sei $x \in D := [1.75 , 2] = [\frac{7}{4}, \frac{8}{4}]$.
 
 	Dann:
 	\begin{align}
-		F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \le 1 + \frac{1}{1.75} + \frac{1}{1.75^2} = 1 + \frac{44}{49} \le 2
+		F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \le 1 + \frac{1}{1.75} + \frac{1}{1.75^2} = 1 + \frac{44}{49} \le 2 %TODO: schöner formulieren
 	\end{align}
 	und: \\
 	\begin{align}
@@ -19,6 +19,7 @@
     %\textbf{Behauptung:} $F(x)$ ist auf $A$ eine Kontraktion.
     %\textbf{Beweis:}
     %z.Z.: $\exists L \in [0, 1): \forall x,y \in A: || F(x) - F(y) || \leq L \cdot || x - y||$
+    Hier ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung von Nutzen.\\
 	$F$ ist Lipschitz-stetig auf $D$ und für alle $x \in D$ gilt: \\
 	\begin{align}
 		|F'(x)| = |-\frac{1}{x^2}-2 \cdot \frac{1}{x^3}| \le \frac{240}{343} =: \theta < 1

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe4.tex

@@ -1,5 +1,8 @@
 \section*{Aufgabe 4}
 
 \begin{align*}
-	I = \int_0^1 \frac{1}{1+4x} dx = \int_0^{0.5} \frac{1}{1+4x} dx +\int_{0.5}^{1} \frac{1}{1+4x} dx = \\ (0.5 - 0) * \frac{f(0) + f(0.5)}{2} + (1 - 0.5) * \frac{f(1) + f(0.5)}{2} = \frac{7}{15}
+	I &= \int_0^1 \frac{1}{1+4x} dx\\
+    &= \int_0^{0.5} \frac{1}{1+4x} dx +\int_{0.5}^{1} \frac{1}{1+4x} dx\\
+    &= (0.5 - 0) * \frac{f(0) + f(0.5)}{2} + (1 - 0.5) * \frac{f(1) + f(0.5)}{2} \\
+    &= \frac{7}{15}
 \end{align*}

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe5.tex

@@ -14,4 +14,8 @@ Für die ersten 3. Ordnungsbedingungen gilt:
 \end{align*}
 
 \subsection*{Teilaufgabe c}
-Da die Ordnung 4 gewünscht ist müssen nach VL die Knoten der QF symmetrisch sein. Damit folgt sofort $c_2 = \frac{1}{2}$. Sind die Knoten gewählt, so sind die Gewichte eindeutig bestimmt. Die Berechnung erfolgt mit den Lagrangepolynomen. Es gilt $b_0 = b_2 = \frac{1}{6}, b_1 = \frac{4}{6}$. Entweder man setzt alles in die 4. Ordnungsbedingung ein oder aber argumentiert, dass es sich hierbei um die Simpson-Regel handelt und diese die Ordnung 4 hat.
+Wähle die Simpson-Regel, also $c_1=0, c_2 = \frac{1}{2}, c_3 = 1$ und 
+$b_1 = b_3 = \frac{1}{6}$ und $b_2 = \frac{4}{6}$.
+
+Überprüfe nun Ordnungsbedingungen 1-4 $\Rightarrow$ Simpson-Regel hat Ordnung 4
+Überprüfe Ordnungsbedingung 5 $\Rightarrow$ Simpson-Regel hat nicht Ordnung 5. %TODO ausführlicher

documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe2.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 \section*{Aufgabe 2}
-Die \emph{Kondition} eines Problems ist die Frage, wie sich Störungen
+Die \emph{Kondition} eines Problems ist die Frage, wie sich kleine Störungen
 der Eingabegrößen unabhängig vom gewählten Algorithmus auf die
 Lösung des Problems auswirken.
 
@@ -11,4 +11,4 @@ zu beziehen und beschäftigt sich mit der Frage, wie sich Rundungsfehler,
 welche während der Durchführung des Algorithmus entstehen, auf
 die Lösung auswirken.
 
-Die Stabilität eines Algorithmus bezeichnet, wie stark der Algorithmus das Ergebnis verfälschen kann. Man kann also die Stabilität der Gauß-Elimination angeben. Man kann allerdings nicht von einer Stabilität des Problems $A \cdot x = b$ sprechen.
+Die Stabilität eines Algorithmus bezeichnet, wie stark der Algorithmus das Ergebnis verfälschen kann. Man kann also die Stabilität der Gauß-Elimination angeben. Man kann allerdings nicht von einer Stabilität des Problems $A \cdot x = b$ sprechen.

documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe2.tex

@@ -1,2 +1,6 @@
 \section*{Aufgabe 2}
-TODO
+Zeige die Aussage für $2\times2$ Matrizen durch Gauß-en mit
+Spaltenpivotwahl.
+
+Begründe, warum sich die Situation für größere Matrizen nicht ändert.
+TODO: Ausfürhlicher beschreiben!

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe2.tex

@@ -42,9 +42,10 @@ Nullstelle von $f$ übereinstimmt. Da es nur in $[0,1]$ eine Nullstelle
 gibt (vgl. Teilaufgabe i), ist die Einschränkung von $x$ auf $\mathbb{R}^+$
 irrelevant.
 
-TODO: Ich vermute, man soll die Kontraktionszahlen ermitteln.
+Man sollte $F_1$ zur Fixpunktiteration verwenden, da $\ln(x)$ nur für
-Die Funktion mit der niedrigern Kontraktionszahl ist besser, da man
+$x>0$ definiert ist. Bei der Iteration kommt man aber schnell in
-bessere Abschätzungen machen kann.
+einen Bereich, der nicht erlaubt ist (das erlaubte Intervall ist klein;
+Rechenungenauigkeit)
 
 $F_1$ ist auf $[0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta = \frac{1}{2}$:
 \begin{align}
@@ -56,7 +57,8 @@ $F_1$ ist auf $[0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta = \frac{1}{2
     \Leftrightarrow \underbrace{e^{-(x+y)}}_{\leq 1} \cdot \|e^{x} - e^{y}\| &\leq \|x-y\|
 \end{align}
 
-TODO: Beweis ist noch nicht fertig
+TODO: Beweis ist noch nicht fertig. Mittelwertsatz der Differentialrechnung
+anwenden.
 
 $F_2$ ist auf $(0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta$:
 \begin{align}

documents/Numerik/Klausur6/aufgabe2.py

@@ -1,4 +1,4 @@
-from math import exp, log
+"""from math import exp, log
 
 def iterate(x):
     #return x - (2.0*x - exp(-x))/(2.0+exp(-x)) #Newton
@@ -9,3 +9,14 @@ x = 0.9
 for i in range(10):
     print (i, x)
     x = iterate(x)
+"""
+from math import log
+f = lambda x: -log(2*x)
+
+x = 0.35173371124919582602
+#x = 0.3517337112491958260249093009299510651715
+for i in range(200):
+    print("x 0.35173371124919582602")
+    print("x 0.3517337112491958260249093009299510651715")
+    print("%i %.30f" % (i, x))
+    x = f(x)