diff --git a/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex b/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex index 40ae087..5dac9d6 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex @@ -10,7 +10,7 @@ zweiten Spalte nach $y$. \subsection*{Lösungsvorschlag 1 (Numerische Lösung)} Eine Iteration des Newton-Verfahren ist durch \begin{align} -x_{k+1}&=x_{k}-f'(x_k)^{-1}\cdot f(x_k) +x_{k+1}&=x_{k}\underbrace{-f'(x_k)^{-1}\cdot f(x_k)}_{\Delta x} \end{align} gegeben (vgl. Skript, S. 35). @@ -167,12 +167,3 @@ also ausführlich: \end{pmatrix}\\ P &= I_2 \end{align} - -TODO: Eigentlich sollten sich ab hier die Lösungsvorschläge gleichen\dots - -Es folgt: -\begin{align} --f ( \nicefrac{-1}{3}, 0) &= \begin{pmatrix} -2\\ -\frac{26}{27}\end{pmatrix}\\ -c &= \begin{pmatrix} 2\\ \nicefrac{82}{27} \end{pmatrix}\\ %TODO: Was ist c? -(x_1, y_1) &= \begin{pmatrix} \nicefrac{5}{3}\\ \nicefrac{82}{27}\end{pmatrix} -\end{align} diff --git a/documents/Numerik/Klausur1/Klausur1.pdf b/documents/Numerik/Klausur1/Klausur1.pdf index 6ca2a8a..8deaaa6 100644 Binary files a/documents/Numerik/Klausur1/Klausur1.pdf and b/documents/Numerik/Klausur1/Klausur1.pdf differ diff --git a/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe2.tex b/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe2.tex index d009648..fd79b5e 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe2.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe2.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \section*{Aufgabe 2} \subsection*{Teilaufgabe a)} \begin{align} - r_{ij} = a_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik} \cdot r_{kj} \\ + r_{ij} = a_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik} \cdot r_{kj} \\ %TODO: Korrektheit überprüfen l_{ij} = \frac{a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \cdot r_{kj}}{r_{jj}} \end{align} @@ -9,8 +9,8 @@ \begin{algorithm} \begin{algorithmic} \For{$d \in \Set{1, \dots n}$} - \State berechne d-te Zeile von R - \State berechne d-te Spalte von L + \State berechne d-te Zeile von $R$ + \State berechne d-te Spalte von $L$ \EndFor \end{algorithmic} \end{algorithm} diff --git a/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe3.tex b/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe3.tex index 3e939f0..164f656 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe3.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe3.tex @@ -3,11 +3,11 @@ \begin{enumerate} \item Selbstabbildung: \\ - Sei $x \in D := [1.75 , 2]$. + Sei $x \in D := [1.75 , 2] = [\frac{7}{4}, \frac{8}{4}]$. Dann: \begin{align} - F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \le 1 + \frac{1}{1.75} + \frac{1}{1.75^2} = 1 + \frac{44}{49} \le 2 + F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \le 1 + \frac{1}{1.75} + \frac{1}{1.75^2} = 1 + \frac{44}{49} \le 2 %TODO: schöner formulieren \end{align} und: \\ \begin{align} @@ -19,6 +19,7 @@ %\textbf{Behauptung:} $F(x)$ ist auf $A$ eine Kontraktion. %\textbf{Beweis:} %z.Z.: $\exists L \in [0, 1): \forall x,y \in A: || F(x) - F(y) || \leq L \cdot || x - y||$ + Hier ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung von Nutzen.\\ $F$ ist Lipschitz-stetig auf $D$ und für alle $x \in D$ gilt: \\ \begin{align} |F'(x)| = |-\frac{1}{x^2}-2 \cdot \frac{1}{x^3}| \le \frac{240}{343} =: \theta < 1 diff --git a/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe4.tex b/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe4.tex index d098a24..ff6e764 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe4.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe4.tex @@ -1,5 +1,8 @@ \section*{Aufgabe 4} \begin{align*} - I = \int_0^1 \frac{1}{1+4x} dx = \int_0^{0.5} \frac{1}{1+4x} dx +\int_{0.5}^{1} \frac{1}{1+4x} dx = \\ (0.5 - 0) * \frac{f(0) + f(0.5)}{2} + (1 - 0.5) * \frac{f(1) + f(0.5)}{2} = \frac{7}{15} + I &= \int_0^1 \frac{1}{1+4x} dx\\ + &= \int_0^{0.5} \frac{1}{1+4x} dx +\int_{0.5}^{1} \frac{1}{1+4x} dx\\ + &= (0.5 - 0) * \frac{f(0) + f(0.5)}{2} + (1 - 0.5) * \frac{f(1) + f(0.5)}{2} \\ + &= \frac{7}{15} \end{align*} diff --git a/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe5.tex b/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe5.tex index 7c00166..20a970a 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe5.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe5.tex @@ -14,4 +14,8 @@ Für die ersten 3. Ordnungsbedingungen gilt: \end{align*} \subsection*{Teilaufgabe c} -Da die Ordnung 4 gewünscht ist müssen nach VL die Knoten der QF symmetrisch sein. Damit folgt sofort $c_2 = \frac{1}{2}$. Sind die Knoten gewählt, so sind die Gewichte eindeutig bestimmt. Die Berechnung erfolgt mit den Lagrangepolynomen. Es gilt $b_0 = b_2 = \frac{1}{6}, b_1 = \frac{4}{6}$. Entweder man setzt alles in die 4. Ordnungsbedingung ein oder aber argumentiert, dass es sich hierbei um die Simpson-Regel handelt und diese die Ordnung 4 hat. \ No newline at end of file +Wähle die Simpson-Regel, also $c_1=0, c_2 = \frac{1}{2}, c_3 = 1$ und +$b_1 = b_3 = \frac{1}{6}$ und $b_2 = \frac{4}{6}$. + +Überprüfe nun Ordnungsbedingungen 1-4 $\Rightarrow$ Simpson-Regel hat Ordnung 4 +Überprüfe Ordnungsbedingung 5 $\Rightarrow$ Simpson-Regel hat nicht Ordnung 5. %TODO ausführlicher diff --git a/documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.pdf b/documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.pdf index b443df2..588819b 100644 Binary files a/documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.pdf and b/documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.pdf differ diff --git a/documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe2.tex b/documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe2.tex index 7b8e48e..a792c59 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe2.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe2.tex @@ -1,5 +1,5 @@ \section*{Aufgabe 2} -Die \emph{Kondition} eines Problems ist die Frage, wie sich Störungen +Die \emph{Kondition} eines Problems ist die Frage, wie sich kleine Störungen der Eingabegrößen unabhängig vom gewählten Algorithmus auf die Lösung des Problems auswirken. @@ -11,4 +11,4 @@ zu beziehen und beschäftigt sich mit der Frage, wie sich Rundungsfehler, welche während der Durchführung des Algorithmus entstehen, auf die Lösung auswirken. -Die Stabilität eines Algorithmus bezeichnet, wie stark der Algorithmus das Ergebnis verfälschen kann. Man kann also die Stabilität der Gauß-Elimination angeben. Man kann allerdings nicht von einer Stabilität des Problems $A \cdot x = b$ sprechen. \ No newline at end of file +Die Stabilität eines Algorithmus bezeichnet, wie stark der Algorithmus das Ergebnis verfälschen kann. Man kann also die Stabilität der Gauß-Elimination angeben. Man kann allerdings nicht von einer Stabilität des Problems $A \cdot x = b$ sprechen. diff --git a/documents/Numerik/Klausur4/Klausur4.pdf b/documents/Numerik/Klausur4/Klausur4.pdf index f8ef6c1..1a79a79 100644 Binary files a/documents/Numerik/Klausur4/Klausur4.pdf and b/documents/Numerik/Klausur4/Klausur4.pdf differ diff --git a/documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe2.tex b/documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe2.tex index 7c1e142..2c75d04 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe2.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe2.tex @@ -1,2 +1,6 @@ \section*{Aufgabe 2} -TODO +Zeige die Aussage für $2\times2$ Matrizen durch Gauß-en mit +Spaltenpivotwahl. + +Begründe, warum sich die Situation für größere Matrizen nicht ändert. +TODO: Ausfürhlicher beschreiben! diff --git a/documents/Numerik/Klausur5/Klausur5.pdf b/documents/Numerik/Klausur5/Klausur5.pdf index 26ddce7..d178abf 100644 Binary files a/documents/Numerik/Klausur5/Klausur5.pdf and b/documents/Numerik/Klausur5/Klausur5.pdf differ diff --git a/documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe2.tex b/documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe2.tex index d85270d..9fa83bc 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe2.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe2.tex @@ -42,9 +42,10 @@ Nullstelle von $f$ übereinstimmt. Da es nur in $[0,1]$ eine Nullstelle gibt (vgl. Teilaufgabe i), ist die Einschränkung von $x$ auf $\mathbb{R}^+$ irrelevant. -TODO: Ich vermute, man soll die Kontraktionszahlen ermitteln. -Die Funktion mit der niedrigern Kontraktionszahl ist besser, da man -bessere Abschätzungen machen kann. +Man sollte $F_1$ zur Fixpunktiteration verwenden, da $\ln(x)$ nur für +$x>0$ definiert ist. Bei der Iteration kommt man aber schnell in +einen Bereich, der nicht erlaubt ist (das erlaubte Intervall ist klein; +Rechenungenauigkeit) $F_1$ ist auf $[0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta = \frac{1}{2}$: \begin{align} @@ -56,7 +57,8 @@ $F_1$ ist auf $[0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta = \frac{1}{2 \Leftrightarrow \underbrace{e^{-(x+y)}}_{\leq 1} \cdot \|e^{x} - e^{y}\| &\leq \|x-y\| \end{align} -TODO: Beweis ist noch nicht fertig +TODO: Beweis ist noch nicht fertig. Mittelwertsatz der Differentialrechnung +anwenden. $F_2$ ist auf $(0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta$: \begin{align} diff --git a/documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.pdf b/documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.pdf index d39d86d..ca2b7cd 100644 Binary files a/documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.pdf and b/documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.pdf differ diff --git a/documents/Numerik/Klausur6/aufgabe2.py b/documents/Numerik/Klausur6/aufgabe2.py index 7a15118..16eb9c3 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur6/aufgabe2.py +++ b/documents/Numerik/Klausur6/aufgabe2.py @@ -1,4 +1,4 @@ -from math import exp, log +"""from math import exp, log def iterate(x): #return x - (2.0*x - exp(-x))/(2.0+exp(-x)) #Newton @@ -9,3 +9,14 @@ x = 0.9 for i in range(10): print (i, x) x = iterate(x) +""" +from math import log +f = lambda x: -log(2*x) + +x = 0.35173371124919582602 +#x = 0.3517337112491958260249093009299510651715 +for i in range(200): + print("x 0.35173371124919582602") + print("x 0.3517337112491958260249093009299510651715") + print("%i %.30f" % (i, x)) + x = f(x)