misc

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe2.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \section*{Aufgabe 2}
 \subsection*{Teilaufgabe a)}
 \begin{align}
-	r_{ij} = a_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik} \cdot r_{kj} \\
+	r_{ij} = a_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik} \cdot r_{kj} \\ %TODO: Korrektheit überprüfen
 	l_{ij} = \frac{a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \cdot r_{kj}}{r_{jj}}
 \end{align}
 
@@ -9,8 +9,8 @@
 \begin{algorithm}
     \begin{algorithmic}
     	\For{$d \in \Set{1, \dots n}$}
-    		\State berechne d-te Zeile von R
-    		\State berechne d-te Spalte von L
+    		\State berechne d-te Zeile von $R$
+    		\State berechne d-te Spalte von $L$
 	\EndFor
     \end{algorithmic}
 \end{algorithm}

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe3.tex

@@ -3,11 +3,11 @@
 
 \begin{enumerate}
 \item Selbstabbildung: \\
-	Sei $x \in D := [1.75 , 2]$.
+	Sei $x \in D := [1.75 , 2] = [\frac{7}{4}, \frac{8}{4}]$.
 
 	Dann:
 	\begin{align}
-		F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \le 1 + \frac{1}{1.75} + \frac{1}{1.75^2} = 1 + \frac{44}{49} \le 2
+		F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \le 1 + \frac{1}{1.75} + \frac{1}{1.75^2} = 1 + \frac{44}{49} \le 2 %TODO: schöner formulieren
 	\end{align}
 	und: \\
 	\begin{align}
@@ -19,6 +19,7 @@
     %\textbf{Behauptung:} $F(x)$ ist auf $A$ eine Kontraktion.
     %\textbf{Beweis:}
     %z.Z.: $\exists L \in [0, 1): \forall x,y \in A: || F(x) - F(y) || \leq L \cdot || x - y||$
+    Hier ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung von Nutzen.\\
 	$F$ ist Lipschitz-stetig auf $D$ und für alle $x \in D$ gilt: \\
 	\begin{align}
 		|F'(x)| = |-\frac{1}{x^2}-2 \cdot \frac{1}{x^3}| \le \frac{240}{343} =: \theta < 1

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe4.tex

@@ -1,5 +1,8 @@
 \section*{Aufgabe 4}
 
 \begin{align*}
-	I = \int_0^1 \frac{1}{1+4x} dx = \int_0^{0.5} \frac{1}{1+4x} dx +\int_{0.5}^{1} \frac{1}{1+4x} dx = \\ (0.5 - 0) * \frac{f(0) + f(0.5)}{2} + (1 - 0.5) * \frac{f(1) + f(0.5)}{2} = \frac{7}{15}
+	I &= \int_0^1 \frac{1}{1+4x} dx\\
+    &= \int_0^{0.5} \frac{1}{1+4x} dx +\int_{0.5}^{1} \frac{1}{1+4x} dx\\
+    &= (0.5 - 0) * \frac{f(0) + f(0.5)}{2} + (1 - 0.5) * \frac{f(1) + f(0.5)}{2} \\
+    &= \frac{7}{15}
 \end{align*}

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe5.tex

@@ -14,4 +14,8 @@ Für die ersten 3. Ordnungsbedingungen gilt:
 \end{align*}
 
 \subsection*{Teilaufgabe c}
-Da die Ordnung 4 gewünscht ist müssen nach VL die Knoten der QF symmetrisch sein. Damit folgt sofort $c_2 = \frac{1}{2}$. Sind die Knoten gewählt, so sind die Gewichte eindeutig bestimmt. Die Berechnung erfolgt mit den Lagrangepolynomen. Es gilt $b_0 = b_2 = \frac{1}{6}, b_1 = \frac{4}{6}$. Entweder man setzt alles in die 4. Ordnungsbedingung ein oder aber argumentiert, dass es sich hierbei um die Simpson-Regel handelt und diese die Ordnung 4 hat.
+Wähle die Simpson-Regel, also $c_1=0, c_2 = \frac{1}{2}, c_3 = 1$ und 
+$b_1 = b_3 = \frac{1}{6}$ und $b_2 = \frac{4}{6}$.
+
+Überprüfe nun Ordnungsbedingungen 1-4 $\Rightarrow$ Simpson-Regel hat Ordnung 4
+Überprüfe Ordnungsbedingung 5 $\Rightarrow$ Simpson-Regel hat nicht Ordnung 5. %TODO ausführlicher