mirror of
https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples.git
synced 2025-04-19 11:38:05 +02:00
Digitalisieren der Vorlesung von 28.01.2014
This commit is contained in:
Martin Thoma
parent
3c7d20375c
commit
13867e1ba0
4 changed files with 106 additions and 2 deletions
|
|
@ -50,4 +50,5 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
|
|||
|26.01.2014 | 21:30 - 22:45 | Textsetzung: enumerate
|
||||
|28.01.2014 | 06:45 - 07:45 | Textsetzung (http://tex.stackexchange.com/q/156058/5645); Lösung von Übungsaufgabe geTeXt
|
||||
|28.01.2014 | 10:00 - 10:40 | \cref in math mode is now never in italics for all defined names
|
||||
|28.01.2014 | 10:40 - 11:25 | Verbesserungsvorschläge von Prof. Dr. Herrlich eingearbeitet.
|
||||
|28.01.2014 | 10:40 - 11:25 | Verbesserungsvorschläge von Prof. Dr. Herrlich eingearbeitet.
|
||||
|28.01.2014 | 11:35 - 12:20 | Digitalisieren der Vorlesung von 28.01.2014
|
||||
|
|
|
|||
Binary file not shown.
|
|
@ -821,7 +821,7 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
|
|||
\item Es ist $\sigma(z) = (-\sigma)(z)$ für alle $\sigma \in \SL_2(\mdr)$
|
||||
und $z \in \mdh$. Daher operiert $\PSL_2(\mdr) = \SL_2(\mdr) /_{(\pm I)}$
|
||||
auf $\mdh$.
|
||||
\item $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $\mdr \cup \Set{\infty}$.
|
||||
\item \label{prop:15.2c} $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $\mdr \cup \Set{\infty}$.
|
||||
Diese Gruppenoperation ist 3-fach transitiv, d.~h. zu
|
||||
$x_0 < x_1 < x_\infty \in \mdr$ gibt es genau ein
|
||||
$\sigma \in \PSL_2(\mdr)$ mit $\sigma(x_0) = 0$,
|
||||
|
|
@ -890,5 +890,107 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
|
|||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
% Mitschrieb vom 28.01.2014 %
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bemerkung 15.3
|
||||
Zu hyperbolischen Geraden $g_1, g_2$ gibt es $\sigma \in \PSL_2(\mdr)$
|
||||
mit $\sigma(g_1) = g_2$.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Nach \cref{prop:15.2c} gibt es $\sigma$ mit $\sigma(a_1) = b_1$
|
||||
und $\sigma(a_2) = b_2$. Dann existiert $\sigma(g_1) := g_2$
|
||||
wegen dem Inzidenzaxiom \ref{axiom:1} und ist eindeutig bestimmt.
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{definition}%In Vorlesung: Def+Prop 15.4
|
||||
Seien $z_1, z_2, z_3, z_4 \in \mdc$ paarweise verschieden.
|
||||
|
||||
Dann heißt
|
||||
\[\DV(z_1, z_2, z_3, z_4) := \frac{\frac{z_1 - z_4}{z_1 - z_2}}{\frac{z_3 - z_4}{z_3 - z_2}} = \frac{(z_1 - z_4) \cdot (z_3 - z_2)}{(z_1 - z_2) \cdot (z_3 - z_4)}\]
|
||||
\textbf{Doppelverhältnis}\xindex{Doppelverhältnis} von
|
||||
$z_1, \dots, z_4$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}[Eigenschaften des Doppelverhältnisses]
|
||||
\begin{bemenum}
|
||||
\item $\DV(z_1, \dots, z_4) \in \mdc \setminus \Set{0,1}$
|
||||
\item \label{bem:15.4b.ii} $\DV(z_1, z_4, z_3, z_2) = \frac{1}{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}$
|
||||
\item $\DV(z_3, z_2, z_1, z_4) = \frac{1}{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}$
|
||||
\item $\DV$ ist auch wohldefiniert, wenn eines der $z_i = \infty$
|
||||
oder wenn zwei der $z_i$ gleich sind.
|
||||
\item $\DV(0, 1, \infty, z_4) = z_4$ (Der Fall $z_4 \in \Set{0, 1, \infty}$ ist zugelassen).
|
||||
\item \label{bem:15.4d} Für $\sigma \in \PSL_2(\mdc)$ und $z_1, \dots, z_4 \in \mdc \cup \Set{\infty}$
|
||||
ist $\DV(\sigma(z_1), \sigma(z_2), \sigma(z_3), \sigma(z_4)) = \DV(z_1, z_2, z_3, z_4)$.
|
||||
und für $\sigma(z) = \frac{1}{\overline{z}}$ gilt
|
||||
\[\DV(\sigma(z_1), \sigma(z_2), \sigma(z_3), \sigma(z_4)) = \overline{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}\]
|
||||
\item \label{bem:15.4e} $\DV(z_1, z_2, z_3, z_4) \in \mdr \in \Set{\infty} \Leftrightarrow z_1, \dots, z_4$
|
||||
liegen auf einem Kreis
|
||||
\end{bemenum}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
von \cref{bem:15.4e}
|
||||
|
||||
Sei $\sigma \in \PSL_2(\mdc)$ mit $\sigma(z_1) = 0$, $\sigma(z_2) = 1$,
|
||||
$\sigma(z_3) = \infty$ (gibt es?)
|
||||
|
||||
$\overset{\crefabbr{bem:15.4d}}{\Rightarrow} \DV(z_1, \dots, z_4) = \DV(0, 1, \infty, \sigma(z_4))$\\
|
||||
$\Rightarrow \DV(z_1, \dots, z_4) \in \mdr \cup \Set{\infty} \Leftrightarrow \sigma(z_4) \in \mdr \cup \Set{infty}$
|
||||
|
||||
Behauptung folgt, weil $\sigma(\mdr \cup \infty)$ ein Kreis oder
|
||||
eine Gerade in $\mdc$ ist.
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Für $z_1, z_2 \in \mdh$ sei $g_{z_1, z_2}$ die eindeutige hyperbolische
|
||||
Gerade durch $z_1$ und $z_2$ und $a_1, a_2$ die
|
||||
\enquote{Schnittpunkte} von $g_{z_1, z_2}$ mit $\mdr \cup \Set{\infty}$.
|
||||
|
||||
Dann sei $d(z_1, z_2) := \frac{1}{2} \ln(\DV(a_1, z_4, a_2, z_2))$
|
||||
und heiße \textbf{hyperbolische Metrik}\xindex{Metrik!hyperbolische}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{behauptung}
|
||||
Die hyperbolische Metrik ist eine Metrik auf $\mdh$.
|
||||
\end{behauptung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Wegen \cref{bem:15.4d} ist
|
||||
\[d(z_1, z_2) := d(\sigma(z_1), \sigma(z_2)) \text{ mit } \sigma(a_1) = 0,\; \sigma(a_2) = \infty\]
|
||||
d.~h. $\sigma(g_{z_1, z_2}) = \iu \mdr$ (imaginäre Achse).
|
||||
|
||||
also gilt \obda $z_1 = \iu a$ und $z_2 = \iu b$ mit $a,b \in \mdr$ und $a < b$.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
2d(\iu a, \iu b) &= \ln(\DV(0, \iu a, \infty, \iu b))\\
|
||||
&= \ln \frac{(0 - \iu b) (\infty - \iu a)}{(0 - \iu a)(\infty - \iu b)}\\
|
||||
&= \ln \frac{b}{a}\\
|
||||
&= \ln b - \ln a
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
Also: $d(z_1, z_2) \geq 0$, $d(z_1, z_2) = 0 \gdw z_1 = z_2$
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
2 d(z_2, z_1) &= \ln \DV(a_2, z_2, a_1, z_1)\\
|
||||
&= \ln \DV(\infty, \iu b, 0, \iu a)\\
|
||||
&\overset{\crefabbr{bem:15.4b.ii}}{=} \ln \DV(0, \iu b, \infty, \iu a)\\
|
||||
&= 2 d(z_1, z_2)
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
Liegen drei Punkte $z_1, z_2, z_3 \in mdc$ auf einer hyperbolischen
|
||||
Geraden, so gilt $d(z_1, z_3) = d(z_1, z_2) + d(z_2, z_3)$
|
||||
(wenn $z_2$ zwischen $z_1$ und $z_3$ liegt).
|
||||
|
||||
Dreiecksungleichung: Beweis ist umständlich und wird hier nicht geführt. Es sei auf die Vorlesung \enquote{Hyperbolische Geometrie}
|
||||
verwiesen.
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{satz}%In Vorlesung: Satz 15.6
|
||||
Die hyperbolische Ebene $\mdh$ mit der hyperbolischen Metrik $d$
|
||||
und den hyperbolischen Geraden bildet eine \enquote{nichteuklidische Geometrie},
|
||||
d.~h. die Axiome~\ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4} sind erfüllt,
|
||||
aber Axiiom~\ref{axiom:5} ist verletzt.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
|
||||
\input{Kapitel4-UB}
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -84,6 +84,7 @@
|
|||
\DeclareMathOperator{\Diffeo}{Diffeo}
|
||||
\DeclareMathOperator{\conv}{conv}
|
||||
\DeclareMathOperator{\IWS}{IWS}
|
||||
\DeclareMathOperator{\DV}{DV}
|
||||
\newcommand{\iu}{{i\mkern1mu}} % imaginary unit
|
||||
%\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
|
||||
%\DeclareMathOperator{\Im}{Im}
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Add table
Add a link
Reference in a new issue