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Verbesserungsvorschläge von Prof. Dr. Herrlich eingearbeitet.
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Martin Thoma
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efc46ee341
commit
3c7d20375c
3 changed files with 64 additions and 54 deletions
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@ -50,3 +50,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
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|26.01.2014 | 21:30 - 22:45 | Textsetzung: enumerate
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|28.01.2014 | 06:45 - 07:45 | Textsetzung (http://tex.stackexchange.com/q/156058/5645); Lösung von Übungsaufgabe geTeXt
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|28.01.2014 | 10:00 - 10:40 | \cref in math mode is now never in italics for all defined names
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|28.01.2014 | 10:40 - 11:25 | Verbesserungsvorschläge von Prof. Dr. Herrlich eingearbeitet.
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Binary file not shown.
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@ -25,7 +25,7 @@
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\begin{defenum}
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\item $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{homotop}\xindex{Weg!homotope},
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wenn es eine stetige Abbildung
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wenn es eine stetige Abbildung $H : I \times I \rightarrow X$ mit
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\[H(t,0) = \gamma_1(t), H(t,1) = \gamma_2(t) \;\;\; \forall t \in [0,1] =: I \]
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und $H(0,s) = a$ und $H(1,s) = b$ für alle $s \in I$ gibt.
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Dann schreibt man: $\gamma_1 \sim \gamma_2$
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@ -44,8 +44,8 @@
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\begin{beweis}\leavevmode
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\begin{itemize}
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\item reflexiv: $H(t,s) = \gamma(t)$ für alle $t,s \in I \times I$
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||||
\item symmetrisch: $H'(t,s) = H(t,1-s)$ für alle $t,s \in I \times I$
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||||
\item reflexiv: $H(t,s) = \gamma(t)$ für alle $(t,s) \in I \times I$
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||||
\item symmetrisch: $H'(t,s) = H(t,1-s)$ für alle $(t,s) \in I \times I$
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||||
\item transitiv: Seien $H'$ bzw. $H''$ Homotopien von $\gamma_1$
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nach $\gamma_2$ bzw. von $\gamma_2$ nach $\gamma_3$.
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@ -54,7 +54,7 @@
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H''(t, 2s-1) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq s \leq 1\end{cases}$
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$\Rightarrow$ $H$ ist stetig und Homotopie von $\gamma_1$ nach
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$\gamma_2$
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$\gamma_3$
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\end{itemize}
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$\qed$
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\end{beweis}
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@ -62,14 +62,14 @@
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\begin{beispiel}
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\begin{bspenum}
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\item Sei $X = S^1$. $\gamma_1$ und $\gamma_2$ aus
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\cref{fig:circle-two-paths} nicht homöotop.
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\cref{fig:circle-two-paths} nicht homotop.
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\item Sei $X = T^2$. $\gamma_1, \gamma_2$ und $\gamma_3$
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aus \cref{fig:torus-three-paths} sind paarweise
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nicht homöotop.
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nicht homotop.
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\item Sei $X = \mdr^2$ und $a=b=(0,0)$.
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Je zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Endpunkt $(0,0)$
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sind homöotop.
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sind homotop.
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\begin{figure}[htp]
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\centering
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@ -79,12 +79,12 @@
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\end{figure}
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Sei $\gamma_0: I \rightarrow \mdr^2$ der konstante Weg
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$\gamma_0(t) = 0 \; \forall t \in I$. Sei
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$\gamma(0) = \gamma(1) = 0$.
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||||
$\gamma_0(t) = (0,0) \; \forall t \in I$. Sei
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||||
$\gamma(0) = \gamma(1) = (0,0)$.
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||||
$H(t,s) := (1-s) \gamma(t)$ ist stetig,
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||||
$H(t,0) = \gamma(t)\; \forall t \in I$ und
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||||
$H(t,1) = 0 \; \forall t \in I$
|
||||
$H(t,1) = (0,0) \; \forall t \in I$.
|
||||
\end{bspenum}
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||||
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||||
\begin{figure}[ht]
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||||
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@ -132,7 +132,7 @@
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|||
\end{definition}
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||||
\begin{bemerkung}\label{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
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||||
Das zusammensetzen von Wegen ist nur bis auf
|
||||
Das Zusammensetzen von Wegen ist nur bis auf
|
||||
Homotopie assoziativ, d.~h.:
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\begin{align*}
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||||
\gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\neq (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3\\
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@ -158,9 +158,9 @@
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\end{figure}
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||||
Das Zusammensetzen von Wegen ist wegen \cref{kor:homotope-wege}
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bis auf Homotopie assoziativ, da
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bis auf Homotopie assoziativ. Verwende dazu
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\[\gamma(t) = \begin{cases}
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||||
\[\varphi(t) = \begin{cases}
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||||
\frac{1}{2} t &\text{falls } 0 \leq t < \frac{1}{2}\\
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||||
t - \frac{1}{4} &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t < \frac{3}{4}\\
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||||
2t - 1 &\text{falls } \frac{3}{4} \leq t \leq 1
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||||
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@ -206,7 +206,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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||||
Durch $[\gamma_1] *_G [\gamma_2] : = [\gamma_1 * \gamma_2]$ wird
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||||
$\pi_1(X,x)$ zu einer Gruppe. Diese Gruppe heißt \textbf{Fundamentalgruppe}\xindex{Fundamentalgruppe}
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||||
in $X$ im Basispunkt $x$.
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||||
von $X$ im Basispunkt $x$.
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||||
\end{definition}
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||||
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||||
\begin{bemerkung}
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@ -228,9 +228,11 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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\begin{bspenum}
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\item $S^1 = \Set{z \in \mdc | {|z|} = 1} = \Set{(\cos \varphi, \sin \varphi) \in \mdr^2 | 0 \leq \varphi \leq 2 \pi}$
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||||
$\pi_1 (S^1, 1) = \Set{[\gamma^k] | k \in \mdz} \cong \mdz$
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||||
$\pi_1 (S^1, 1) = \Set{[\gamma^k] | k \in \mdz} \cong \mdz$.
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||||
Dabei ist $\gamma(t) = e^{2 \pi \iu t} = \cos(2 \pi t) + \iu \sin(2 \pi t)$
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||||
und $\gamma^k := \underbrace{\gamma * \dots * \gamma}_{k \text{ mal}}$
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||||
$[\gamma^k] \mapsto k$
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||||
$[\gamma^k] \mapsto k$ ist ein Isomorphismus.
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||||
\item $\pi_1 (\mdr^2, 0) = \pi_1 (\mdr^2, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^2$
|
||||
\item $\pi_1 (\mdr^n, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^n$
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||||
\item $G \subseteq \mdr^n$ heißt \textbf{sternförmig}\xindex{sternförmig} bzgl. $x \in G$,
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@ -251,8 +253,9 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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Projektion kann von $S^2$ auf den $\mdr^2$ abgebildet
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werden.
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Dieses Argument funktioniert nicht mehr bei flächendeckenden
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Wegen!
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||||
Dieses Argument funktioniert nicht mehr bei flächenfüllenden
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Wegen, d.~h. wenn $\gamma: I \rightarrow S^2$ surjektiv
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ist.
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\end{bspenum}
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||||
\end{beispiel}
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@ -274,7 +277,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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||||
\begin{beweis}
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||||
\begin{align*}
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||||
\alpha([\gamma_1] * [\gamma_2]) &= [\overline{\delta} * (\gamma_1 \gamma_2) * \delta]\\
|
||||
\alpha([\gamma_1] * [\gamma_2]) &= [\overline{\delta} * (\gamma_1 * \gamma_2) * \delta]\\
|
||||
&= [\overline{\delta} * \gamma_1 * \delta * \overline{\delta} * \gamma_2 * \delta]
|
||||
&= [\overline{\delta} * \gamma_1 * \delta] * [\overline{\delta} * \gamma_2 * \delta]\\
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||||
&= \alpha([\gamma_1]) * \alpha([\gamma_2])
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||||
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@ -296,7 +299,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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\begin{bemenum}
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||||
\item Dann ist die Abbildung $f_* : \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Y, y),
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[y] \rightarrow [f \circ y]$ ein Gruppenhomomorphismus.
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||||
[\gamma] \rightarrow [f \circ \gamma]$ ein Gruppenhomomorphismus.
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||||
\item Ist $Z$ ein weiterer topologischer Raum und $g: Y \rightarrow Z$
|
||||
eine stetige Abbildung $z:= g(y)$. Dann ist
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||||
$(g \circ f)_* = g_* \circ f_*: \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Z,z)$
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@ -309,8 +312,8 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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Wege von $x$. z.Z.: $f \circ \gamma_1 \sim f \circ \gamma_2$:
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||||
Nach Voraussetzung gibt es stetige Abbildungen $H:I\times I \rightarrow X$
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||||
mit $H(t,0) = \gamma_1(t), H(t,1) = \gamma_2(t), H(0,S) = H(1, S) = x$.
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||||
Dann ist $f \circ H: I \times I \rightarrow Y$ mit
|
||||
\todo{Warum die Punkte?}{\dots} $(f \circ H)(t,0) = f(H(t,0)) = f(\gamma_1(t)) = (f \circ \gamma_1)(t)$
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||||
Dann ist $f \circ H: I \times I \rightarrow Y$ stetig mit
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||||
$(f \circ H)(t,0) = f(H(t,0)) = f(\gamma_1(t)) = (f \circ \gamma_1)(t)$
|
||||
etc. $\Rightarrow f \circ \gamma_1 \sim f \circ \gamma_2$.
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||||
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||||
$f_*([\gamma_1] * [\gamma_2]) = [f \circ (\gamma_1 * \gamma_2)] = [(f \circ \gamma_1)] * [(f \circ \gamma_2)] = f_*([\gamma_1]) * f_*([\gamma_2])$
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||||
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@ -321,7 +324,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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\begin{beispiel}
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\begin{bspenum}
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||||
\item $f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2$ ist injektiv, aber
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$f_*:\pi_1(S^1, 1) \cong \mdz \rightarrow \pi_1(\mdr^2, 1) -0 \Set{e}$
|
||||
$f_*:\pi_1(S^1, 1) \cong \mdz \rightarrow \pi_1(\mdr^2, 1) = 0 \Set{e}$
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||||
ist nicht injektiv
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||||
\item $f: \mdr \rightarrow S^1, t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$
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||||
ist surjektiv, aber $f_*: \pi_1(\mdr, 0) = \Set{e} \rightarrow \pi_1(S^2, 1) \cong \mdz$
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||||
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@ -350,8 +353,8 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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|||
stetig mit $f(x_0) = y_0 = g(x_0)$.
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||||
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||||
$f$ und $g$ heißen \textbf{homotop} ($f \sim g$), wenn es eine stetige
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||||
Abbildung $H: X \times I \rightarrow Y$ gibt mit $H(X,0) = f(X), H(X,1)=g(x)$
|
||||
für alle $x \in X$ und $H(x_0, S) = y_0$ für alle $s \in I$.
|
||||
Abbildung $H: X \times I \rightarrow Y$ gibt mit $H(x,0) = f(x), H(x,1)=g(x)$
|
||||
für alle $x \in X$ und $H(x_0, s) = y_0$ für alle $s \in I$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
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||||
\begin{bemerkung}
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||||
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@ -364,9 +367,13 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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|||
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||||
Z.~Z.: $f \circ \gamma \sim g \circ \gamma$
|
||||
|
||||
Sei dazu $H_\gamma: I \times I \rightarrow Y, (t,s) \mapsto H(\gamma(t), S)$.
|
||||
Dann gilt: $H_\gamma (t,0) = H(\gamma(t), 0) = (g \circ \gamma)(t)$,
|
||||
$H_\gamma(1,s) = H(\gamma(1), s) = H(x_0, s) = y_0$ für alle $s$.
|
||||
Sei dazu $H_\gamma: I \times I \rightarrow Y, (t,s) \mapsto H(\gamma(t), s)$.
|
||||
Dann gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
H_\gamma(t,0) &= H(\gamma(t), 0) = (f \circ \gamma)(t) \;\forall t \in I\\
|
||||
H_\gamma(1,s) &= H(\gamma(1), s) = H(x_0, s) = y_0\;\forall s \in I\\
|
||||
H_\gamma(t,1) &= H(\gamma(t), 1) = g(\gamma(t))\;\forall t \in I
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
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||||
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@ -379,9 +386,9 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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|||
$\Rightarrow f \circ g = \id_{\Set{0}}$, $g \circ f: \mdr^2 \rightarrow \mdr^2$,
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||||
$x \mapsto 0$ für alle $x$.
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||||
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||||
$g \circ f \sim \id_{\mdr^2}$ mit Homotopie: $H: \mdr^2 \times I \rightarrow \mdr^2, H(x,S) = (1-s) x$ (stetig!)
|
||||
$g \circ f \sim \id_{\mdr^2}$ mit Homotopie: $H: \mdr^2 \times I \rightarrow \mdr^2, H(x,s) = (1-s) x$ (stetig!)
|
||||
|
||||
$\Rightarrow H(X,0) = X = \id_{\mdr^2} (X), H(X, 1) = 0, H(0, s) = 0$ für alle $s \in I$
|
||||
$\Rightarrow H(x,0) = x = \id_{\mdr^2} (x)$, $H(x, 1) = 0$, $H(0, s) = 0\;\forall s \in I$.
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
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||||
\begin{satz}[Satz von Seifert und van Kampen \enquote{light}]\label{thm:seifert-van-kampen}
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||||
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@ -393,8 +400,9 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
|
|||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Sei $\gamma: I \rightarrow X$ ein geschlossener Weg von $x$.
|
||||
Überdecke $I$ mit endlich vielen offenen Intervallen, die ganz in
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||||
Sei $\gamma: I \rightarrow X$ ein geschlossener Weg um $x$.
|
||||
Überdecke $I$ mit endlich vielen offenen Intervallen
|
||||
$I_1, I_2, \dots, I_n$, die ganz in
|
||||
$\gamma^{-1}(U)$ oder ganz in $\gamma^{-1}(V)$ liegen.
|
||||
|
||||
\Obda sei $\gamma(I_1) \subseteq U, \gamma(I_2) \subseteq V$, etc.
|
||||
|
|
@ -501,12 +509,12 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
|
|||
\end{definition}
|
||||
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||||
\begin{bemerkung} % Bemerkung 12.2 der Vorlesung
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||||
Überlappungen sind offene Abbildungen.
|
||||
Überlagerungen sind offene Abbildungen.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
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||||
\begin{beweis}
|
||||
Sei $y \in V$ und $x \in p(V)$, sodass $x=p(y)$ gilt.
|
||||
Sei weiter $U = U_x$ die offene Umgebung von $x$ wie in \cref{def:12.1}
|
||||
Sei weiter $U = U_x$ eine offene Umgebung von $x$ wie in \cref{def:12.1}
|
||||
und $V_j$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die $y$ enthält.
|
||||
|
||||
Dann ist $V \cap V_j$ offene Umgebung von $y$.
|
||||
|
|
@ -521,7 +529,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
|
|||
\todo[inline]{Die Definition von Diskret habe ich mir überlegt. Hatten wir das schon mal?
|
||||
Haben wir Häufungspunkt definiert?}
|
||||
\begin{definition}\xindex{diskret}
|
||||
Sei $M$ eine Menge und $X$ ein topologischer Raum.
|
||||
Sei $X$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$.
|
||||
|
||||
$M$ heißt \textbf{diskret} in $X$, wenn $M$ in $X$ keinen
|
||||
Häufungspunkt hat.
|
||||
|
|
@ -531,7 +539,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
|
|||
Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $x \in X$.
|
||||
\begin{bemenum}
|
||||
\item $X$ hausdorffsch $\Rightarrow Y$ hausdorffsch
|
||||
\item $p^{-1}(X)$ ist diskret in $Y$
|
||||
\item $p^{-1}(x)$ ist diskret in $Y$ für jedes $x \in X$.
|
||||
\end{bemenum}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
|
|
@ -555,8 +563,8 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
|
|||
Dann seien $U_1$ und $U_2$ disjunkte Umgebungen von $p(y_1)$
|
||||
und $p(y_2)$.
|
||||
|
||||
$\Rightarrow p^{-1}(U_1)$ und $p^{-1}(U_2)$ sind Umgebungen von
|
||||
$y_1$ und $y_2$.
|
||||
$\Rightarrow p^{-1}(U_1)$ und $p^{-1}(U_2)$ sind disjunkte
|
||||
Umgebungen von $y_1$ und $y_2$.
|
||||
|
||||
\item Sei $y \in Y$
|
||||
|
||||
|
|
@ -603,10 +611,10 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
|
|||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}\label{kor:12.5}%Bemerkung 12.5 aus Vorlesung
|
||||
Sei $Z$ zusammenhängend und $f_0, \dots, f_1: Z \rightarrow Y$
|
||||
Sei $Z$ zusammenhängend und $f_0, f_1: Z \rightarrow Y$
|
||||
Liftungen von $f$.
|
||||
|
||||
$\exists z_0 \in Z: f_0(z) = f_1(z) \Rightarrow f_0 = f_1$
|
||||
$\exists z_0 \in Z: f_0(z_0) = f_1(z_0) \Rightarrow f_0 = f_1$
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
|
|
@ -622,14 +630,15 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
|
|||
\underline{Z.~Z.}: $T$ ist offen und $Z \setminus T$ ist auch offen.
|
||||
|
||||
Sei $z \in T, x = f(z), U$ Umgebung von $x$ wie in \cref{def:12.1},
|
||||
$V$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die $y:=f_0(z) = f_1(z)$.\todo{deutsch?}
|
||||
$V$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die $y:=f_0(z) = f_1(z)$
|
||||
enthält.
|
||||
|
||||
Sei $q:U \rightarrow V$ die Umkehrabbildung zu $p|_V$.
|
||||
|
||||
Sei $W:= f^{-1}(U) \cap f_0^{-1}(V) \cap f_1^{-1}(V)$. $W$ ist
|
||||
offene Umgebung in $Z$ von $z$.
|
||||
|
||||
\underline{Behauptung:} $B \subseteq T$
|
||||
\underline{Behauptung:} $W \subseteq T$
|
||||
|
||||
Denn für $w \in W$ ist $q(f(w)) = q((p \circ f_0))(w) = ((q \circ p) \circ f_0) (w) = f_0(w) = q(f(w)) = f_1(w)$
|
||||
|
||||
|
|
@ -677,7 +686,7 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
|
|||
$\gamma_0, \gamma_1: I \rightarrow X$ homotope Wege von $a$ nach
|
||||
$b$, $\tilde{a} \in p^{-1}(a), \tilde{\gamma_0}, \tilde{\gamma_1}$
|
||||
Liftungen von $\gamma_0$ bzw. $\gamma_1$ mit
|
||||
$\tilde{\gamma_i}(0) = \tilde{0}$.
|
||||
$\tilde{\gamma_i}(0) = \tilde{a}$.
|
||||
|
||||
Dann ist $\tilde{\gamma_0}(1) = \tilde{\gamma_1}(1)$ und
|
||||
$\tilde{\gamma_0} \sim \tilde{\gamma_1}$.
|
||||
|
|
@ -696,14 +705,14 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
|
|||
Dann gilt:
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
|
||||
\item $\tilde{H}$ ist stetig (Beweis wie für \cref{kor:12.5})
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\item $\tilde{H}(t,0) = \tilde{\gamma_s}(t) = \tilde{H}(t,1) = \tilde{\gamma_1}(t)$
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||||
\item $\tilde{H}(0,s) = \tilde{\gamma_s}(0) = \tilde{0}$
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||||
\item $\tilde{H}(t,0) = \tilde{\gamma_0}(t) = \tilde{H}(t,1) = \tilde{\gamma_1}(t)$
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\item $\tilde{H}(0,s) = \tilde{\gamma_s}(0) = \tilde{a}$
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\item $\tilde{H}(1,s) \in p^{-1}(b)$
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\end{enumerate}
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Da $p^{-1}(b)$ diskrete Teilmenge von $Y$ ist\\
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$\Rightarrow \tilde{H}(1,s) = \tilde{H}(1,0) = \tilde{b_s} \forall s \in I$\\
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$\Rightarrow \tilde{b_0} = \tilde{b_1}$ und $H$ ist Homotopie
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$\Rightarrow \tilde{b_s} = \tilde{H}(1,s) = \tilde{H}(1,0) \;\forall s \in I$\\
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$\Rightarrow \tilde{b_0} = \tilde{b_1}$ und $\tilde{H}$ ist Homotopie
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zwischen $\tilde{\gamma_0}$ und $\tilde{\gamma_1}$. $\qed$
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\end{beweis}
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@ -731,19 +740,19 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
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$\tilde{\gamma}(1) \in \Set{y_0, \dots, y_{d-1}}$ hängt
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nur von $[\gamma] \in \pi_1(X,x_0)$ ab.
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Es gilt:
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Für geschlossene Wege $\gamma_0, \gamma_1$ um $x$ gilt:
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\begin{align*}
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\tilde{\gamma_0}(1) &= \tilde{\gamma_1}(1)\\
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\Leftrightarrow [\tilde{\gamma_0} * \tilde{\gamma_1}^{-1}] &\in \pi_1(Y, y_0)\\
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||||
\Leftrightarrow [\gamma_0 * \gamma_1^{-1}] &\in p_* (\pi_1(Y,y_0))
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||||
\Leftrightarrow [\gamma_0 * \gamma_1^{-1}] &\in p_* (\pi_1(Y,y_0))\\
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||||
\Leftrightarrow [\gamma_0] \text{ und } [\gamma_1] \text{liegen in der selben Nebenklasse bzgl.} p_*(\pi_1(Y, y_0))
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\end{align*}
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Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es Weg $\delta_i$ in
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$Y$ mit $\delta_i(0) = y_0$ und $\sigma_i(1) = y_i$\\
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$\Rightarrow p * \delta_i$ ist geschlossener Weg in
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||||
$Y$ mit $\delta_i(0) = y_0$ und $\delta_i(1) = y_i$\\
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$\Rightarrow p \cup \delta_i$ ist geschlossener Weg in
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$X$ um $x_0$.\\
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$\Rightarrow \sigma_i = \widetilde{p*\delta_i}$\\
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$\Rightarrow$ Jedes $y_i$ mit $i=0, \dots, d-1$ ist
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$\tilde{\gamma}(1)$ für ein $[\gamma] \in \pi_1(X,x_0)$
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||||
$\tilde{\gamma}(1)$ für ein $[\gamma] \in \pi_1(X,x_0)$.
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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@ -759,7 +768,7 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
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bijektiv.
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Nach \todo{Was ist das?}{12.2} ist $p$ offen $\Rightarrow p^{-1}$
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ist stetig. $\qed$
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ist stetig. $\Rightarrow p$ ist Homöomorphismus. $\qed$
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\end{beweis}
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\begin{definition}%In Vorlesung: "Definition 12.10"
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