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\begin{definition}
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\index{Fläche}
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\index{Flächenstück}
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\index{Parameterbereich}
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\index{Normalenvektor}
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\index{Flächeninhalt}
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Es sei $\emptyset \ne B\subseteq \MdR^2$ kompakt, $D\subseteq\MdR^2$ offen und $B\subseteq D$. Weiter sei $\varphi = (\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3) \in C^1(D,\MdR^3)$ und $\varphi = \varphi(u,v)$. Dann heißt $\varphi_{|B}$ eine \textbf{Fläche} (im $\MdR^3$), $S:= \varphi(B)$ heißt \textbf{Flächenstück} und $B$ heißt \textbf{Parameterbereich} der Fläche. Es ist
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\begin{displaymath}
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\varphi' = \begin{pmatrix}\frac{\partial \varphi_1}{\partial u} & \frac{\partial\varphi_1}{\partial v}\\
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\frac{\partial \varphi_2}{\partial u} & \frac{\partial\varphi_2}{\partial v}\\
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\frac{\partial \varphi_3}{\partial u} & \frac{\partial\varphi_3}{\partial v}\\
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\end{pmatrix}
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\end{displaymath}
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Sei $(u_0,v_0)\in B$ und
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\begin{align*}
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\gamma(t) &:= \varphi(t,v_0) &\gamma'(t) &= \varphi_u(t,v_0) &\gamma'(u_0) &= \varphi_u(u_0,v_0)\\
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\tilde{\gamma}(t)&:= \varphi(u_0,t) &\tilde{\gamma}'(t) &= \varphi_v(u_0,v) &\tilde{\gamma}'(v_0) &= \varphi_v(u_0,v_0)
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\end{align*}
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Definere damit den \textbf{Normalenvektor} in $\varphi(u_0,v_0)$:
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\[N(u_0,v_0) := \varphi_u(u_0,v_0)\times\varphi_v(u_0,v_0)\]
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Seien $\Delta u,\Delta v >0$ (aber "`klein"'). $a:= \Delta u\varphi_u(u_0,v_0)$, $b:= \Delta v\varphi_v(u_0,v_0)$.
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\[P:= \{\lambda a+\mu b: \ \lambda,\mu\in [0,1]\}\]
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Aus der Linearen Algebra folgt, der "`Inhalt"' von $P$ ist $\|a \times b\| = \Delta u\Delta v \|N(u_0,v_0)\|$.
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\begin{displaymath}
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I(\varphi) = \int_B \|N(u,v)\| d(u,v)
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\end{displaymath}
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heißt deshalb \textbf{Flächeninhalt} von $\varphi$
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\end{definition}
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\begin{beispiel}
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$B:=[0,2\pi]\times[-\frac\pi2,\frac\pi2]$, $D=\MdR^2$\\
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$\varphi(u,v) := (\cos u\cos v,\sin u\cos v,\sin v)$. Dann: $\varphi(B) = \{(x,y,z)\in\MdR^3:\ x^2+y^2+z^2 = 1\}$.\\
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Nachrechnen: $N(u,v) = \cos v\varphi(u,v)$. Dann: $\|N(u,v)\| = |\cos v|\underbrace{\|\varphi(u,v)\|}_{=1} = \cos v\ \ \ \ ((u,v)\in B)$. \\
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Damit gilt:
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\[I(\varphi) = \int_B \cos v d(u,v) = \int_0^{2\pi} (\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\cos v d(v)) d(u) = 4\pi\]
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\end{beispiel}
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\section{Explizite Parameterdarstellung}
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Seien \(B\) und \(D\) wie in obiger Definition und \(f\in C^{1}(D,\,\mdr)\). Setze
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\[\varphi(u,v):=(u,v,f(u,v))\quad((u,v)\in D)\]
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Damit ist \(\varphi_{|B}\) eine Fläche (in expliziter Darstellung).
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% hier Graphik einfuegen
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Dann ist \(S=\varphi(B)\) gleich dem Graph von \(f_{|B}\).
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\[
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\varphi_{u}=(1,0,f_{u}),\quad \varphi_{v}=(0,1,f_{v}),\quad N(u,v)=(-f_{u},-f_{v},1)\quad\text{(Nachrechnen!)}
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\]
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Damit gilt:
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\[I(\varphi)=\int_{B}{(f_{u}^{2}+f_{v}^{2}+1)^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}(u,v)}\]
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\begin{beispiel}
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Sei \(D=\mdr^{2},\,B:=\{(u,v)\in\mdr^{2}\mid u^{2}+v^{2}\leq 1\}\) und
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\[f(u,v):=u^{2}+v^{2}\]
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Dann ist \(\varphi(u,v)=(u,v,u^{2}+v^{2})\), \(f_{u}=2u\) und \(f_{v}=2v\). Also ist \(S=\varphi(B)\) ein Paraboloid.
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\[I(\varphi)=\int_{B}{(4u^{2}+4v^{2}+1)^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}(u,v)}\overset{\text{PK}}{=}\frac{\pi}{6}\left(\sqrt{5}^{3}-1\right)\quad \text{(Nachrechnen!)}\]
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\end{beispiel}
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